Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf ·...

Matematika 1

Bozidar Ivankovic

Zima, 2012

Bozidar Ivankovic Matematika 1

Ukratko

Matematika 1 sadrzi odabrana poglavlja matematike:

Determinante

Vektori u ravnini i prostoru

Funkcije

Limesi

Derivacija i primjene

Integrali i primjene

Literatura

Marusic: Matematika 1

Minorski: Zbirka zadataka iz vise matematike

Demidovic: Zbirka zadataka iz vise matematike s primjenomna tehnicke nauke

Studentske obaveze

Redovita prisutnost za sada se ne zahtijeva

Tri obavezne domace zadace uvjet su za potpis

Izvanredni ispitni rok tjedan dana nakon predavanja.Pismeni dio ispita obicno subotomUsmeni dio ispita obicno utorkom popodne

Studentske obaveze

Redovita prisutnost

za sada se ne zahtijeva

Studentske obaveze

Izvanredni ispitni rok tjedan dana nakon predavanja.Pismeni dio ispita

obicno subotomUsmeni dio ispita obicno utorkom popodne

Studentske obaveze

Izvanredni ispitni rok tjedan dana nakon predavanja.Pismeni dio ispita obicno subotomUsmeni dio ispita

obicno utorkom popodne

Studentske obaveze

Vektori

Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:

~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).

Uobicajena oznaka vektora je ~a, ~b . . ..

Primjer

U analitickoj geometriji polozaj tocke u ravnini opisan je vektoromkao na primjer A = (3, 2) i B = (1, 4).

Vektori

Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.

Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:Primjer:

~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).

Primjer

Vektori

Skalari su velicine koje se mogu opisati jednim jedinim brojem.Vektori su velicine ciji zapis zahtijeva vise brojeva:

Primjer:~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).

Primjer

Vektori

~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).

Primjer

Vektori

~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).

Primjer

Vektori

~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).

Primjer

Vektori

~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).

Primjer

Vektori

~m = (90, 60, 90).

Poredak je vazan!

(60, 90, 90) 6= (90, 60, 90).

Primjer

Zbrajanje i oduzimanje vektora

Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.

Zadatak

Odredite ~a + ~b, ako je

~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)

(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).

Zbrajanje i oduzimanje vektora izvodi se po komponentama.

Zbrajati i oduzimati mogu se samo vektori s istim brojemkomponenti.

Zadatak

~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)

(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).

Zadatak

~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)

(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).

Zadatak

~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)

(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).

Zadatak

~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)

(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).

Zadatak

~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)

(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).

Zadatak

~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)

(4, 0, 3)

(1, 5,−1, 1).

Zadatak

~a = (3,−2, 0), ~b = (1, 2, 3)

~a = (4, 3,−1, 5), ~b = (−3, 2, 0,−4)

(4, 0, 3) (1, 5,−1, 1).

Mnozenje vektora skalarom

Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.

Tada jeλ~a = (λa1, λa2, λa3)

vektor kolinearan vektoru ~a.

Zadatak

Neka je ~a = (2,−1, 5) Odredite komponente slijedecih vektora:

−3~a

(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).

Neka je zadan vektor ~a = (a1, a2, a3) i skalar λ.Tada je

λ~a = (λa1, λa2, λa3)

Zadatak

−3~a

(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).

λ~a = (λa1, λa2, λa3)

Zadatak

−3~a

(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).

λ~a = (λa1, λa2, λa3)

Zadatak

−3~a

(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).

λ~a = (λa1, λa2, λa3)

Zadatak

−3~a

(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).

λ~a = (λa1, λa2, λa3)

Zadatak

−3~a

(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).

λ~a = (λa1, λa2, λa3)

Zadatak

−3~a

(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).

λ~a = (λa1, λa2, λa3)

Zadatak

−3~a

(8,−4, 20)

(−6, 3,−15) (−2, 1,−5).

λ~a = (λa1, λa2, λa3)

Zadatak

−3~a

(8,−4, 20) (−6, 3,−15)

(−2, 1,−5).

λ~a = (λa1, λa2, λa3)

Zadatak

−3~a

(8,−4, 20) (−6, 3,−15) (−2, 1,−5).

Linearna kombinacija vektora

Linearna kombinacija vektora ~a, ~b, ~c

i skalara λ, µ, νjest vektor

λ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak

Za vektore ~a = (1, 2) i ~b = (−3, 2) odredite 2~a− ~b.

(5, 2)

Zadatak

Vektor ~c = (−9,−2) napisite kao linearnu kombinaciju vektora ~a i~b iz prethodnog zadatka.

Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama.Rjesenje: ~c = −3~a + 2~b.

Linearna kombinacija vektora ~a, ~b, ~c i skalara λ, µ, ν

jest vektorλ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak

(5, 2)

Zadatak

Linearna kombinacija vektora ~a, ~b, ~c i skalara λ, µ, νjest vektor

λ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak

(5, 2)

Zadatak

λ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak

(5, 2)

Zadatak

λ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak

(5, 2)

Zadatak

λ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak

(5, 2)

Zadatak

λ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak

(5, 2)

Zadatak

Vektori su jednaki ako se podudaraju u svim komponentama.

Rjesenje: ~c = −3~a + 2~b.

λ~a + µ~b + ν~c .

Zadatak

(5, 2)

Zadatak

Linearna nezavisnost vektora

Vektori ~a1, ~a2, . . . , ~an su linearno nezavisni ako ih ponistava samotrivijalna linearna kombinacija:

λ1~a1 + λ2~a2 + · · ·+ λn~an = 0⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.

Pitanje

Da li su vektori ~a = (1, 3), ~b = (5,−2) i ~c = (1, 0) linearnonezavisni?

Nisu, jer sustav s vise nepoznanica a manje jednadzbi uvijek imarjesenje.

λ1~a1 + λ2~a2 + · · ·+ λn~an = 0⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.

Pitanje

λ1~a1 + λ2~a2 + · · ·+ λn~an = 0⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.

Pitanje

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti,

asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

1 kvaziasocijativno α(β~a) = (αβ)~a

2 distributivno obzirom na zbrajanje vektora α(~a+~b) = α~a+α~b

3 distributivno obzirom na zbrajanje skalara (α+ β)~a = α~a + β~a

4 1 · ~a = ~a

5 0 · ~a = ~0

Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora. Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti

i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

4 1 · ~a = ~a

5 0 · ~a = ~0

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti.

Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

4 1 · ~a = ~a

5 0 · ~a = ~0

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje

i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

4 1 · ~a = ~a

5 0 · ~a = ~0

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje,

svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

4 1 · ~a = ~a

5 0 · ~a = ~0

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,

a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

4 1 · ~a = ~a

5 0 · ~a = ~0

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.

Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

4 1 · ~a = ~a

5 0 · ~a = ~0

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno,

asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

4 1 · ~a = ~a

5 0 · ~a = ~0

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno

i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

4 1 · ~a = ~a

5 0 · ~a = ~0

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.

Mnozenje vektora skalarima je

4 1 · ~a = ~a

5 0 · ~a = ~0

Vektorski prostor

U skupu skalara definirano je zbrajanje i mnozenje sa svojstvimakomutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Postoje neutralnielementi za zbrajanje i za mnozenje, svaki skalar ima sebi suprotni,a osim 0, svaki skalar ima i sebi inverzni skalar.Zbrajanje vektora je komutativno, asocijativno i postoji neutralnielement za zbrajanje. Svaki vektor ima sebi suprotan vektor.Mnozenje vektora skalarima je

4 1 · ~a = ~a

5 0 · ~a = ~0

Vektorski prostor

4 1 · ~a = ~a

5 0 · ~a = ~0

Vektorski prostor

4 1 · ~a = ~a

5 0 · ~a = ~0

Vektorski prostor

4 1 · ~a = ~a

5 0 · ~a = ~0

Vektorski prostor

4 1 · ~a = ~a

5 0 · ~a = ~0

Vektorski prostor

4 1 · ~a = ~a

5 0 · ~a = ~0

Vektorski prostor

4 1 · ~a = ~a

5 0 · ~a = ~0

Tako skup vektora s istim brojem komponenti ima strukturuvektorskog prostora.

Dimenzija vektorskog prostora jednaka jebroju komponenti vektora.

Vektorski prostor

4 1 · ~a = ~a

5 0 · ~a = ~0

Usmjerena duzina

Zadatak

U koordinatnom sustavu X0Y prikazite vektorima zadane tockeA = (3, 2) i B = (1, 4).

Definicija

Vektor kojeg predstavlja orijentirana duzina s pocetkom u ishodistuO, a zavrsetkom u tocki A naziva se radijus-vektor tocke A i mozese poistovjetiti s tockom A:

~rA =−→OA = A.

Zadatak

Istaknite orijentirane duzine−→OA i

−→OB.

Usmjerena duzina

Zadatak

Definicija

~rA =−→OA = A.

Zadatak

−→OB.

Usmjerena duzina

Zadatak

Definicija

~rA =−→OA = A.

Zadatak

−→OB.

Usmjerena duzina

Zadatak

Definicija

~rA =−→OA = A.

Zadatak

−→OB.

Zbrajanje usmjerenih duzina

Zadatak

Zadani su radijus vektori−→OA = (6, 1) i

−→OB = (−2, 5). U

koordinatnom sustavu X0Y prikazite tocku zadanu vektorom−→OA +

−→OB.

Zadatak

Zadana je tocka C = (0, 3). Rastavite−→OC po komponentama u

smjerovima vektora−→OA i

−→OB.

Rjesenje:−→OC = 3

−→OA + 9

−→OB ili

−→OC = 18.75%

−→OA + 56.25%

−→OB

Zadatak

−→OB = (−2, 5). U

−→OB.

Zadatak

−→OB.

−→OA + 9

−→OB ili

−→OC = 18.75%

−→OA + 56.25%

−→OB

Zadatak

−→OB = (−2, 5). U

−→OB.

Zadatak

−→OB.

−→OA + 9

−→OB ili

−→OC = 18.75%

−→OA + 56.25%

−→OB

Zadatak

−→OB = (−2, 5). U

−→OB.

Zadatak

−→OB.

−→OA + 9

−→OB ili

−→OC = 18.75%

−→OA + 56.25%

−→OB

Koordinatni sustavi

Definicija (Bazicni vektori)

Svaki se uredeni par moze jednoznacno prikazati kao linearnakombinacija posebnih uredenih parova:

~i = (1, 0)

~j = (0, 1)

Primjer

Izrazite uredene parove−→OA,−→OB i

−→OC iz zadatka 5 kao linearne

kombinacije vektora ~i i ~j .

Napomena

U trodimenzionalnom vektorskom prostoru V 3 bazicni vektori su~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) i ~k = (0, 0, 1).

Koordinatni sustavi

~i = (1, 0)

~j = (0, 1)

Primjer

Napomena

Koordinatni sustavi

~i = (1, 0)

~j = (0, 1)

Primjer

Napomena

Koordinatni sustavi

~i = (1, 0)

~j = (0, 1)

Primjer

Napomena

Od tocke do tocke

Zadatak

Nacrtajte u koordinatnoj ravnini tocke A = (2, 3) i B = (6, 5).

Nacrtajte usmjerenu duzinu−→AB.

Izracunajte−→OB −

−→OA.

Izrazite−→OB −

−→OA pomocu koordinatnih vektora ~i i ~j .

Teorem

Komponente vektora odredenog orijentiranom duzinom s pocetkomu A = (xA, yA) i zavrsetkom u B = (xB , yB) racunaju se po formuli

−→AB =

−→OB −

−→OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j = (xB − xA, yB − yA).

Od tocke do tocke

Zadatak

−→OA.

Teorem

−→AB =

−→OB −

Od tocke do tocke

Zadatak

−→OA.

Teorem

−→AB =

−→OB −

Od tocke do tocke

Zadatak

−→OA.

Teorem

−→AB =

−→OB −

Od tocke do tocke

Zadatak

−→OA.

Teorem

−→AB =

−→OB −

Od tocke do tocke

Zadatak

−→OA.

Teorem

−→AB =

−→OB −

Problem

Zadatak

Zadane su tri tocke paralelograma ABCD: A = (5, 1), B = (1, 4) iC = (−4, 1). Odredite koordinate cetvrtog vrha D.

Rjesenje: D = (0,−2)

Problem

Zadatak

Problem

Zadatak

Skalarni produkt vektora

Definicija

Skalarni ili unutrasnji produkt vektora ~a = (a1, . . . , an) i~b = (b1, . . . , bn) je skalar

~a · ~b =n∑

akbk .

Zadatak

Izracunajte skalarni produkt ~a · ~b ako je zadano:

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1

Definicija

~a · ~b =n∑

akbk .

Zadatak

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1

Definicija

~a · ~b =n∑

akbk .

Zadatak

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1

Definicija

~a · ~b =n∑

akbk .

Zadatak

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1

Definicija

~a · ~b =n∑

akbk .

Zadatak

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1

Definicija

~a · ~b =n∑

akbk .

Zadatak

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1

Definicija

~a · ~b =n∑

akbk .

Zadatak

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1

Definicija

~a · ~b =n∑

akbk .

Zadatak

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1)

2 ~a = (1,−2), ~b = (−3, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3, 2), ~b = (4, 2, 5,−6)

4 ~a = (−2, 3,−3,−2, 0), ~b = (0, 4, 3, 2,−1)

Rjesenja: 12, -5, -41, -1Bozidar Ivankovic Matematika 1

Skalarni kvadrat i duljina vektora

Zadatak

Izracunajte ~c2 ako je

1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),

Skalarni kvadrat je uvijek pozitivni skalar, pa ima smisla definiratiduljinu ili modul vektora:

|~c | =√~c2.

Primjer

Izracunajte duljine ili module vektora iz prethodnog zadatka.

Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1

Zadatak

1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),

|~c | =√~c2.

Primjer

Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1

Zadatak

1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),

|~c | =√~c2.

Primjer

Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1

Zadatak

1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),

|~c | =√~c2.

Primjer

Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1

Zadatak

1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),

|~c | =√~c2.

Primjer

Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1

Zadatak

1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),

|~c | =√~c2.

Primjer

Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1

Zadatak

1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),

|~c | =√~c2.

Primjer

Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1

Zadatak

1 ~c = (1, 3, 2)

2 ~c = (1,−2)

3 ~c = (−4, 1,−3, 2),

4 ~c = (−2, 3,−3,−2, 0),

|~c | =√~c2.

Primjer

Rjesenja: 3.7, 2.2, 5.5, 5.1Bozidar Ivankovic Matematika 1

Jedinicni vektor

Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:

~c0 =1

|~c |· ~c.

Zadatak

Odredite jedinicne vektore u smjerovima slijedecih vektora:

~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).

Jedinicni vektor

Svaki je vektor odreden duljinom, smjerom i orijentacijom.

Jedinicni vektor ~c0 u smjeru vektora ~c je vektor istog smjera iorijentacije kao ~c , ali |~c0| = 1:

~c0 =1

|~c |· ~c.

Zadatak

~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).

Jedinicni vektor

~c0 =1

|~c |· ~c.

Zadatak

~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).

Jedinicni vektor

~c0 =1

|~c |· ~c.

Zadatak

~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).

Jedinicni vektor

~c0 =1

|~c |· ~c.

Zadatak

~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).

Jedinicni vektor

~c0 =1

|~c |· ~c.

Zadatak

~a = (2,−1, 3,−9)

−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).

Jedinicni vektor

~c0 =1

|~c |· ~c.

Zadatak

~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).

Jedinicni vektor

~c0 =1

|~c |· ~c.

Zadatak

~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),

−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).

Jedinicni vektor

~c0 =1

|~c |· ~c.

Zadatak

~a = (2,−1, 3,−9)−→AB, ako je A = (1, 0,−2) i B = (4, 2,−9).

Rjesenja: ~a0 = (0.2,−0.1, 0.3,−0.9),−→AB0 = (0.38, 0.25,−0.89).

Skalarna projekcija vektora

Definicija

Skalarna projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je skalar

a~b =~a · ~b|~b|

Zadatak

Odredite skalarnu projekciju a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).

a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak

Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).Odredite AC−→

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95

Definicija

a~b =~a · ~b|~b|

Zadatak

a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95

Definicija

a~b =~a · ~b|~b|

Zadatak

a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95

Definicija

a~b =~a · ~b|~b|

Zadatak

a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95

Definicija

a~b =~a · ~b|~b|

Zadatak

a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95

Definicija

a~b =~a · ~b|~b|

Zadatak

a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95

Definicija

a~b =~a · ~b|~b|

Zadatak

a~b = 14√42

= 2.16

Zadatak

AC−→AB

= − 3√10

= −0.95Bozidar Ivankovic Matematika 1

Vektorska projekcija vektora

Definicija

Vektorska projekcija vektora ~a na smjer vektora ~b je Vektor

~a~b =~a · ~b~b2· ~b.

Zadatak

Odredite vektorsku projekciju ~a~b, ako je ~a = (2, 4,−1) i~b = (−1, 5, 4).

~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1

3 ,53 ,

Zadatak

Zadane su tocke A = (0, 3,−3), B = (3, 3,−2) i C = (−2, 1, 0).

Odredite−→AC−→

−→AC−→

AB= − 3

10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)

Definicija

~a~b =~a · ~b~b2· ~b.

Zadatak

~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1

3 ,53 ,

Zadatak

−→AC−→

AB= − 3

10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)

Definicija

~a~b =~a · ~b~b2· ~b.

Zadatak

~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1

3 ,53 ,

Zadatak

−→AC−→

AB= − 3

10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)

Definicija

~a~b =~a · ~b~b2· ~b.

Zadatak

~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1

3 ,53 ,

Zadatak

−→AC−→

AB= − 3

10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)

Definicija

~a~b =~a · ~b~b2· ~b.

Zadatak

~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1

3 ,53 ,

Zadatak

−→AC−→

AB= − 3

10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)

Definicija

~a~b =~a · ~b~b2· ~b.

Zadatak

~a~b = 1442 · (−1, 5, 4) = (−1

3 ,53 ,

Zadatak

−→AC−→

AB= − 3

10 (3, 0, 1) = (−0.9, 0,−0.3)Bozidar Ivankovic Matematika 1

Kut koji zatvaraju vektori

Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|

≤ 1 omogucava definiciju kuta ϕ izmedu

vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

Zadatak

Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)140.

Zadatak

Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4). 980.

Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|

vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

Zadatak

Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|

vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

Zadatak

Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|

vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

Zadatak

Odredite kut kojeg zatvaraju vektori ~a = (1, 2, 3, 4) i~b = (5, 6, 7, 8)

Zadatak

Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|

vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

Zadatak

Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|

vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

Zadatak

Izracunajte najveci kut trokuta ∆ABC , ako je A = (4, 1,−2),B = (0,−3,−1) i C = (−3, 0, 4).

Svojstvo −1 ≤~a · ~b|~a| · |~b|

vektora ~a i ~b:

cosϕ =~a · ~b|~a| · |~b|

Zadatak

Geometrijska definicija i svojstva skalarnogprodukta

Neka je |~a| duljina vektora ~a. Skalarni produkt definira seformulom:

~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ

gdje je ϕ kut medu vektorima. Svojstva skalarnog produkta:

komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2

~a · ~b = 0 ako su vektori okomiti ili ako je jedan od njih ~0nulvektor.

~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ

gdje je ϕ kut medu vektorima.

Svojstva skalarnog produkta:

~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ

komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~a

distributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2

~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ

komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~c

kvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b~a2 = |~a|2

~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ

komutativnost: ~a · ~b = ~b · ~adistributivnost ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~ckvaziasocijativnost: α~a · β~b = αβ~a · ~b

~a2 = |~a|2

~a · ~b = |~a| · |~b| · cosϕ

Primjena skalarnog produkta

Zadatak

Sile od 60 N i 80 N djeluju pod kutem od 500. Odredite intenzitetrezultante i kut koji zatvara sa smjerom veceg vektora.

Zadatak

Kamion ukupne mase 10 t vozi 6% nizbrdicom stalnom brzinom40km/h. Kolika je sila kocenja? Koliki je koeficijent trenjapotreban, pa da vozilo ne bi proklizalo?

rjesenja: 127 N, 210 ~F = 6 kN, µ = 0.06.

Zadatak

rjesenja: 127 N, 210 ~F = 6 kN, µ = 0.06.

Zadatak

rjesenja: 127 N, 210 ~F = 6 kN, µ = 0.06.

Zadatak

rjesenja:

127 N, 210 ~F = 6 kN, µ = 0.06.

Zadatak

rjesenja: 127 N,

210 ~F = 6 kN, µ = 0.06.

Zadatak

rjesenja: 127 N, 210

~F = 6 kN, µ = 0.06.

Zadatak

rjesenja: 127 N, 210 ~F = 6 kN,

µ = 0.06.

Zadatak

rjesenja: 127 N, 210 ~F = 6 kN, µ = 0.06.

Domaca zadaca

1 Tocke A = (2, 1) i B = (5, 7) dva su susjedna vrhaparalelograma ABCD. Tocka S = (3, 4) sjeciste je njegovih

dijagonala. Odredite koordinate vektora−→AC i

−→BD, pa pomocu

njih koordinate vrhova C i D tog paralelograma.

2 Zadani su vektori ~a = −2~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = 7~i − 5~j .Prikazite vektor ~c kao linearnu kombinaciju vektora ~a i ~b, uobliku ~c = α~a + β~b, α, β ∈ R.

3 Napisite tablicu skalarnog mnozenja za bazicne vektore ~i , ~j i ~k .

4 Nadite duljine stranica i kuteve trokuta s vrhovimaA(−1, 2, 3),B = (2, 1, 2) i C = (0, 3, 0).

5 Sile ~F1, ~F2 i ~F3 djeluju intenzitetima od 90 N, 60 N i 80 Nredom. Sile djeluju na istu materijalnu tocku u smjeruobrnutom od kazaljke na satu tako da ~F2 djeluje pod kutomod 750 prema ~F1, a ~F3 pod 450 prema ~F2. Izracunajte iznosrezultantne sile i kut koji zatvara prema ~F1.

Domaca zadaca

−→BD, pa pomocu

Domaca zadaca

−→BD, pa pomocu

Domaca zadaca

−→BD, pa pomocu

Domaca zadaca

−→BD, pa pomocu

Domaca zadaca

−→BD, pa pomocu

Rjesenja

1−→AS = ~i + 3~j , C = (4, 7), D = (1, 1).

2 ~c = −2~a + 3~b.

3 ~i · ~i = ~j · ~j = ~k · ~k = 1; ~i · ~j = ~i · ~k = ~j · ~k = 0.

4 Dvije su stranice po 3.3, jedna je 3.5 jedinicne duljine, kutevi: dva po58.5o , jedan od 63o .

5 ~R = 143 N, ϕ = 630.

DETERMINANTE

Determinante su funkcije koje kolekciji od n2 brojeva zapisanih utablicu s n redaka i n stupaca pridruze broj.Postupak racunanja je induktivan.

Za n = 1 govorimo o determinanti prvog reda u oznaci

|a11| = a11

gdje je tesko oznaku ne zamijeniti s funkcijomapsolutne vrijednosti, no determinante prvog reda sene proucavaju.

DETERMINANTE

|a11| = a11

DETERMINANTE

|a11| = a11

Determinante drugog reda

Determinante drugog reda racunaju se po formuli:∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

Izracunajte vrijednost determinante

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

1 Izracunajte determinantu:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ . Rjesenje: -2

2 Izracunajte vrijednost determinanti:

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣ 1 logb aloga b 1

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ .

rj. (−2).

Zadaci:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ .

Rjesenje: -2

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ;

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ;

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣

Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Zadatak

∣∣∣∣ 3 45 6

∣∣∣∣ . rj. (−2).

Zadaci:

∣∣∣∣ 1 23 4

∣∣∣∣ 3 28 5

∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣ n + 1 nn n − 1

∣∣∣∣ ; c)

∣∣∣∣Rjesenja: a)-1, b)-1, c)0

...za odrasle...

Zadatak

Rijesite jednadzbu:

∣∣∣∣ sin x cos x−4 1

∣∣∣∣ = 3.

Rjesenje univerzalnom trigonometrijskom supstitucijom:tg x

2 = t sin x = 2t1+t2 , cos x = 1−t2

1+t2 ,

x12 = 0.50047 + kπ; x2

2 = −0.2612 + kπ.

...za odrasle...

Zadatak

Rijesite jednadzbu:

∣∣∣∣ = 3.

2 = t sin x = 2t1+t2 , cos x = 1−t2

1+t2 ,

x12 = 0.50047 + kπ; x2

2 = −0.2612 + kπ.

...za odrasle...

Zadatak

Rijesite jednadzbu:

∣∣∣∣ = 3.

2 = t sin x = 2t1+t2 , cos x = 1−t2

1+t2 ,

x12 = 0.50047 + kπ; x2

2 = −0.2612 + kπ.

Determinante treceg reda

Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:

∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h

∣∣∣∣ .1 Izracunajte vrijednost determinante:

∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38

2 Rijesite determinantu

∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

6 −16 i , z2 = −

6 −16 i .Rj: 3

Determinanta treceg reda racuna se pomocu determinanti drugogreda:∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h k

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h

∣∣∣∣ .

1 Izracunajte vrijednost determinante:

∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38

∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

6 −16 i , z2 = −

6 −16 i .Rj: 3

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h

∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣

Rj: -38

∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

6 −16 i , z2 = −

6 −16 i .Rj: 3

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h

∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38

∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

6 −16 i , z2 = −

6 −16 i .Rj: 3

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h

∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38

∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣

Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

6 −16 i , z2 = −

6 −16 i .Rj: 3

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h

∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38

∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

6 −16 i , z2 = −

6 −16 i .Rj: 3

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h

∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38

∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

6 −16 i , z2 = −

6 −16 i .

∣∣∣∣∣∣ = a·∣∣∣∣ e fh k

∣∣∣∣−b ·∣∣∣∣ d fg k

∣∣∣∣+c ·∣∣∣∣ d eg h

∣∣∣∣∣∣−2 4 13 −1 2−1 3 5

∣∣∣∣∣∣ Rj: -38

∣∣∣∣∣∣3 2 12 5 33 4 2

∣∣∣∣∣∣ Rj: -3

3 Izracunati

∣∣∣∣∣∣1 z 11 z2 1z2 1 z

∣∣∣∣∣∣ , gdje je

z = z1z2, z1 =

6 −16 i , z2 = −

6 −16 i .Rj: 3

Primjena determinanti

Primjer

Rijesite sustav

3x − 2y = 4

4x + 6y = 9

Primjer

Rijesite sustav

x + y + 2z = 9

2x + 3y − z = −4

3x − 2y − 3z = 1

Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.

Primjer

Rijesite sustav

3x − 2y = 4

4x + 6y = 9

Primjer

Rijesite sustav

x + y + 2z = 9

2x + 3y − z = −4

3x − 2y − 3z = 1

Primjer

Rijesite sustav

3x − 2y = 4

4x + 6y = 9

Primjer

Rijesite sustav

x + y + 2z = 9

2x + 3y − z = −4

3x − 2y − 3z = 1

Primjer

Rijesite sustav

3x − 2y = 4

4x + 6y = 9

Primjer

Rijesite sustav

x + y + 2z = 9

2x + 3y − z = −4

3x − 2y − 3z = 1

Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse

Cramerovim sustavima. Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.

Primjer

Rijesite sustav

3x − 2y = 4

4x + 6y = 9

Primjer

Rijesite sustav

x + y + 2z = 9

2x + 3y − z = −4

3x − 2y − 3z = 1

Sustavi u kojima je determinanta sustava razlicita od nule nazivajuse Cramerovim sustavima.

Gabriel Cramer, Zeneva, 1704-1752.

Primjer

Rijesite sustav

3x − 2y = 4

4x + 6y = 9

Primjer

Rijesite sustav

x + y + 2z = 9

2x + 3y − z = −4

3x − 2y − 3z = 1

VEKTORSKI PRODUKT

Samo za 3-dimenzionalne vektore.

Rezultat je opet 3-dimenzionalni vektor.

Definition

Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).Vektorski produkt kvazideterminantom:

~a× ~b =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣ .

Zadatak

Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odreditekomponente vektora ~c = ~a× ~b.(8, 12,−6)

VEKTORSKI PRODUKT

Definition

~a× ~b =

∣∣∣∣∣∣ .

Zadatak

VEKTORSKI PRODUKT

Definition

~a× ~b =

∣∣∣∣∣∣ .

Zadatak

VEKTORSKI PRODUKT

Definition

Neka su zadani vektori ~a = (ax , ay , az) i ~b = (bx , by , bz).

Vektorski produkt kvazideterminantom:

~a× ~b =

∣∣∣∣∣∣ .

Zadatak

VEKTORSKI PRODUKT

Definition

~a× ~b =

∣∣∣∣∣∣ .

Zadatak

VEKTORSKI PRODUKT

Definition

~a× ~b =

∣∣∣∣∣∣ .

Zadatak

Zadani su vektori ~a = (−3, 2, 0) i ~b = (9,−4, 4). Odreditekomponente vektora ~c = ~a× ~b.

(8, 12,−6)

VEKTORSKI PRODUKT

Definition

~a× ~b =

∣∣∣∣∣∣ .

Zadatak

Geometrija vektorskog produkta

Primjer

Neka je ~c = ~a× ~b, gdje je ~a = (1, 2,−3) i ~b = (5,−4, 3). Odredite

a) Komponente vektora ~c .

b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).

c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.d) Kut ϕ = ](~a, ~b).

e) Izracunajte povrsinu paralelograma kojeg odreduju ~a i ~b poformuli P = |~a| · |~b| · sinϕ.

f) Odredite komponente vektora ~b × ~a.

Primjer

b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).

Primjer

b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).

Primjer

b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).

c) Iznose ili module |~c |, |~a| i |~b|.

d) Kut ϕ = ](~a, ~b).

Primjer

b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).

Primjer

b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).

Primjer

b) Kutove α = ](~c, ~a) i β = ](~c , ~b).

Geometrijska definicija vektorskog produkta

Vektorski produkt u R3 je binarna operacija

rezultat je vektor ~c = ~a× ~b,

koji ima smjer, orijentaciju i iznos:

1) ~c je okomit na ravninu odredenu vektorima ~a i ~b

2) ~a, ~b i ~c u navedenom poretku cine desnu bazu

3) |~c | = |~a× ~b| = |~a||~b| · sinϕ odgovara povrsini paralelograma

razapetog vektorima ~a i ~b.

koji ima

smjer, orijentaciju i iznos:

koji ima smjer,

orijentaciju i iznos:

koji ima smjer, orijentaciju

i iznos:

Svojstva vektorskog produkta

Svojstva vektorskog produkta su

1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b × ~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b + ~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a× ~a = ~0

1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b × ~a

2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b + ~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a× ~a = ~0

1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b × ~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b + ~a× ~c

3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a× ~a = ~0

1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b × ~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b + ~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b

4 mnozenje jednakih vektora ~a× ~a = ~0

1 antikomutativnost ~a× ~b = −~b × ~a2 distributivnost ~a× (~b + ~c) = ~a× ~b + ~a× ~c3 kvaziasocijativnost λ~a× ν~b = λν~a× ~b4 mnozenje jednakih vektora ~a× ~a = ~0

...da li razumijemo?

Zadatak

Izracunajte povrsinu paralelograma i duljinu krace visine ako jeparalelogram razapet vektorima 2~b − ~a i 3~a + 2~b, a poznato je|~a| = 5, |~b| = 4 i kut ∠(~a, ~b) = π

4 . P = 80√

2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28

Zadatak

Napisite tablicu vektorskog produkta za bazicne vektore.

Rjesenje:

× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0

Zadatak

P = 80√

2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28

Zadatak

Rjesenje:

× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0

Zadatak

4 . P = 80√

2 ≈ 113.14;

v ≈ 5.28

Zadatak

Rjesenje:

× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0

Zadatak

4 . P = 80√

2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28

Zadatak

Rjesenje:

× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0

Zadatak

4 . P = 80√

2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28

Zadatak

Rjesenje:

× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0

Zadatak

4 . P = 80√

2 ≈ 113.14; v ≈ 5.28

Zadatak

Rjesenje:

× ~i ~j ~k~i ~0 ~k −~j~j −~k ~0 ~i~k ~j −~i ~0

... a koordinate?

Zadatak

Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b = ~i + 2~k . Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.

Zadatak

Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2). Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica

Zadatak

Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a = ~i + ~j + 2~k i~b = 2~i + ~j + ~k. Rjesenje: ~n0 = ± 1√

11(−~i + 3~j − ~k)

... a koordinate?

Zadatak

Nadite povrsinu i visinu paralelograma razapetog vektorima~a = 2~j + ~k i ~b = ~i + 2~k .

Rjesenje: P = 4.6, v = 2.05, a radi se o rombu.

Zadatak

11(−~i + 3~j − ~k)

... a koordinate?

Zadatak

11(−~i + 3~j − ~k)

... a koordinate?

Zadatak

Odredite povrsinu trokuta ciji su vrhovi A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) iC (4, 3, 2).

Rjesenje P = 4.9 kvadratnih jedinica

Zadatak

11(−~i + 3~j − ~k)

... a koordinate?

Zadatak

11(−~i + 3~j − ~k)

... a koordinate?

Zadatak

Odredite jedinicni vektor okomit na vektore ~a = ~i + ~j + 2~k i~b = 2~i + ~j + ~k.

Rjesenje: ~n0 = ± 1√11

(−~i + 3~j − ~k)

... a koordinate?

Zadatak

11(−~i + 3~j − ~k)

Mjesoviti produkt

Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru. Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:

(~a× ~b) · ~c =

∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz

∣∣∣∣∣∣Zadatak

Izracunajte mjesoviti produkt (~a× ~b) · ~c , ako je zadano:

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)

Mjesoviti produkt

Definiran je za tri vektora u trodimenzionalnom vektorskomprostoru.

Definicija i racunanje mjesovitog produkta ukoordinatnom zapisu vektora dani su relacijom:

(~a× ~b) · ~c =

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)

Mjesoviti produkt

(~a× ~b) · ~c =

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)

Mjesoviti produkt

(~a× ~b) · ~c =

∣∣∣∣∣∣

Zadatak

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)

Mjesoviti produkt

(~a× ~b) · ~c =

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)

Mjesoviti produkt

(~a× ~b) · ~c =

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)

Mjesoviti produkt

(~a× ~b) · ~c =

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)

Mjesoviti produkt

(~a× ~b) · ~c =

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)

Mjesoviti produkt

(~a× ~b) · ~c =

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)

Mjesoviti produkt

(~a× ~b) · ~c =

1 ~a = (1, 3, 2), ~b = (4, 2, 1), ~c = (3, 4, 1)

2 ~a = (1,−2, 0), ~b = (−3, 1, 4), ~c = (2,−5, 1)

3 ~a = (−4, 1,−3), ~b = (−4, 1,−3), ~c = (3, 4, 1)

4 ~a = (−2, 3,−3), ~b = (0,−4, 3), ~c = (0,−4, 3)

5 ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 4, 2), ~c = (3, 5, 5)

Mjesoviti produkt, geometrijski

Apsolutna vrijednost mjesovitog produkta je volumenparalelepipeda razapetog vetorima ~a, ~b i ~c .

Volumen tetraedra odradenog vektorima ~a, ~b i ~c racuna se poformuli: Vtetraedra = 1

6 |(~a× ~b) · ~c |.Svojstva mjesovitog produkta:

a) Ciklickom zamjenom poretka vektora mjesovitise produkt ne mijenja. Zamjena bilo koja dvavektora u mjesovitom produktu povlacipromjenu predznaka.

b) Zamjenom vektorskog i skalarnog produktamjesoviti produkt se ne mijenja

c) Mjesoviti produkt jednak je nuli kodkomplanarnih vektora.

6 |(~a× ~b) · ~c |.

Svojstva mjesovitog produkta:

Zadaci i rjesenja

1 Izracunati volumen i visinu paralelepipeda razapetog vektorima

~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k

(rj: V = 33, v = 4.4)

2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka? (rj: V = 5.5)

3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b. (rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)

4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.(rj: ~c = (4,−5, 1))

Zadaci i rjesenja

~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k

(rj: V = 33, v = 4.4)

Zadaci i rjesenja

~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k

(rj: V = 33, v = 4.4)

Zadaci i rjesenja

~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k

(rj: V = 33, v = 4.4)

2 Koliki je volumen tetraedra razapetog vektorima iz prvogzadatka?

(rj: V = 5.5)

Zadaci i rjesenja

~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k

(rj: V = 33, v = 4.4)

Zadaci i rjesenja

~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k

(rj: V = 33, v = 4.4)

3 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 3~j + 2~k , ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni i rastavite vektor ~c nakomponente u smjeru vektora ~a i ~b.

(rj: V = 0, ~c = 5~a + ~b)

Zadaci i rjesenja

~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k

(rj: V = 33, v = 4.4)

Zadaci i rjesenja

~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k

(rj: V = 33, v = 4.4)

4 Zadani su vektori ~a = (1, 1, 1) i ~b = (1,−2, 0). Nadite takavvektor ~c koji je komplanaran s ~a i ~b, okomit na ~a i ~c · ~b = 14.

(rj: ~c = (4,−5, 1))

Zadaci i rjesenja

~a = 2~i − ~j − ~k~b = ~i + 3~j − ~k~c = ~i + ~j + 4~k

(rj: V = 33, v = 4.4)

Obavezna domaca zadaca

1 Za tocke A = (0,−1, 0), B = (−3, 4, 1), C = (5, 0,−3)odredite

1 ~BA + ~AC2 −2 ~AC + 3 ~BC

2 Odredite kut izmedu vektora ~a = 2~i − ~j + ~k i ~b = 2~i + 3~j − ~k .

3 Tocke A(3, 2, 0), B(−3, 3,−1) i D(1,−1,−1) vrhovi suparalelograma ABCD. Odredite koordinate cetvrtog vrha C ,te opseg i povrsinu paralelograma.

4 Izracunajte volumen tetraedra ako su mu vrhoviA(2, 0, 0), B(2,−3, 0), C (0, 3, 0) i D(1, 1, 4).

5 Izracunajte visinu iz vrha D za trostranu piramidu prethodnogzadatka.

1 ~BA + ~AC2 −2 ~AC + 3 ~BC

Zadaci

1 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D.

2 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C .

3 Zadani su vektori ~a = ~i + ~j , ~b = ~i − ~j i ~c = −~j + 2~k . Odreditivektor ~d iz uvjeta ~c · ~d = 1 i ~d × ~a = ~b, a zatim naci skalarnuprojekciju vektora ~d na smjer vektora ~c.

4 Zadane su tocke: A = (t,−2, 1), B = (0, 2, 0) iC = (−1, 2,−3). Odredite parametar t, pa da trokut ∆ABCima povrsinu 18 kvadratnih jedinica.

5 Izracunajte duljine stranica i povrsinu paralelogramarazapetog vektorima ~a = 2 ~m + ~n i ~b = ~m − 2~n, ako je| ~m| = 2, |~n| = 4, dok je kut ∠( ~m, ~n) = π/3.

Zadaci

Rjesenja

1 Rjesenje. O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratnajedinica, D = (−1, 1, 1).

2 Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.

3 Rjesenje: ~d = (−3,−3,−1), ~d~c = (0,−1/5, 2/5).

4 Rjesenje: t1 = 11.57, t2 = −10.90

5 Rjesenje. Duljine stranica: |~a| = 4√

3 ∼ 7, |~b| = 2√

13 ∼ 7.2jedinicnih duljina. P = 20

√3 ∼ 34.6 jedinicnih duljina.

Rjesenja

1 Rjesenje. O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratnajedinica, D = (−1, 1, 1).

2 Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.

3 Rjesenje: ~d = (−3,−3,−1), ~d~c = (0,−1/5, 2/5).

4 Rjesenje: t1 = 11.57, t2 = −10.90

5 Rjesenje. Duljine stranica: |~a| = 4√

3 ∼ 7, |~b| = 2√

13 ∼ 7.2jedinicnih duljina. P = 20

√3 ∼ 34.6 jedinicnih duljina.

Ispitni zadaci i rjesenja

1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora. Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.

2 Vektori ~a i ~b zadani su tako, da je |~a| = 3, |~b| = 4, a kut

medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.

3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2). Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).

4 Tocke A(−3,−2, 0), B(3,−3, 1) i C (5, 0, 2) tri su uzastopnavrha paralelograma ABCD. Odredite opseg i povrsinu togparalelograma. Nadite koordinate cetvrtog vrha D. Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).

5 Zadani su vrhovi trokuta A(2, 1, 1), B(3, 1, 4) i C (0, 2, 1).Izracunajte povrsinu zadanog trokuta i duljinu visine spusteneiz vrha C . Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.

1 Pokazite da su vektori ~a = −~i + 2~k, ~b = 2~i − 3~j − 4~k i~c = −3~i + 12~j + 6~k komplanarni, pa rastavite vektor ~c nalinearnu kombinaciju druga dva vektora.

Rjesenje: ~c = 5~a + ~b.

medu njima je 120o . Kolika je duljina vektora ~c = 2~a− 1.5~b?

Rjesenje: |~c| = 10.4 jedinicne duljine.

3 Odredite volumen i oplosje trostrane piramide ciji su vrhovitocke A(0, 0, 1), B(2, 3, 5), C (6, 2, 3) i C (3, 7, 2).

Rjesenje:V = 20 kubicnih, a O = 56.2 kvadratne jedinice (Oplosje tijela je ukupnapovrsina ploha koje omeduju tijelo).

Rjesenje.O = 20 jedinicnih duljina, P = 21 kvadratna jedinica, D = (−1, 1, 1).

Rjesenje. P = 3.4 kvadratne jedinice, h = 2.1 jedinicneduzine.

Zadaci

1 Trokut je zadan tockama A(3, 1, 2), B(0,−1,−2) i C(−1,−2, 1).

Odredite vektore−→AB,−→BC i

−→AC . Izracunajte kut α. Koliki je opseg

trokuta? Koja je najdulja stranica trokuta? Koliki je najveci kut trokuta?

2 Poznati su vektori ~a i ~b. Kut izmedu vektora je 200, a iznosi vektora su|~a| = 1.2 i |~b| = 2.5. Izracunajte ~a · ~b, (~a + ~b)2, |~a + ~b| i konacno

|(~a · ~b)(~a + ~b)|.3 Zadani su vrhovi paralelograma A(1,−1, 0), B(1, 1, 2), C(−1,−2, 1) i

D(−1,−4,−1). Odredite vektore−→AB,−→BC ,−→DC i

−→AD. Odredite

−→AB ×

−→BC

i izracunajte |−→AB ×

−→BC |. Skicirajte paralelogram. Kolika je povrsina

paralelograma? Kolika je duljina najdulje stranice u paralelogramu?Koliko je dugacka najkraca visina u paralelogramu?

4 U prostoru su zadane tocke A(1, 1, 0),B(2, 1,−3),C(−1, 2, 1) i

D(−1, 4,−1). Odredite vektore−→AB,−→AC ,−→AD. Izracunajte

(−→AB ×

−→AC) ·

−→AD. Odredite

−→AB ×

−→AC i izracunajte |

−→AB ×

−→AC |. Koliki je

volumen tetraedra odredenog tockama A,B,C i D? Koliku povrsinu imatrokut ABC? Koliko je visoko tocka D iznad trokuta baze ABC?.

5 Zadane su tocke A(3,−5, 0) i B(2, 4, 6). Zadan je vektor ~c = 3~i − ~j + ~k.

Izracunajte−→AB × (~c −

−→AB)× ~c.

Rjesenja

1 α = 370, O = 13.8, γ = 760.

2 ~a · ~b = 2.8, (~a + ~b)2 = 13.34, |~a + ~b| =3.65, |(~a · ~b)(~a + ~b)| = 10.28.

3−→AB×

−→BC = (4,−4, 4), |

−→AB×

−→BC | = 6.9, P = 6.9, vmin = 1.85

4 (−→AB ×

−→AC ) ·

−→AD = 8,

−→AB ×

−→AC = (3, 5, 1), |

−→AB ×

−→AC | =

5.9, V = 1.33, P∆ = 2.96, h = 1.35.

5 −7~i − 93~j − 72~k.

FUNKCIJE

Funkcijsko pridruzivanje ili preslikavanja slozeni je matematickipojam koji ukljucuje:

Dva neprazna skupa:D,K 6= ∅.

Pravilo pridruzivanja:

f : D → K,

sa svojstvima:1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.

Zadatak

Pridodavanje registarskih oznaka vozilima objasniti pojmovimafunkcijskog pridruzivanja.

FUNKCIJE

f : D → K,

Zadatak

FUNKCIJE

f : D → K,

Zadatak

FUNKCIJE

f : D → K,

Zadatak

FUNKCIJE

f : D → K,

sa svojstvima:

1 svakom elementu iz D2 pridruziti samo jedan element iz K.

Zadatak

FUNKCIJE

f : D → K,

sa svojstvima:1 svakom elementu iz D

2 pridruziti samo jedan element iz K.

Zadatak

FUNKCIJE

f : D → K,

Zadatak

FUNKCIJE

f : D → K,

Zadatak

Graf funkcije

Graf funkcije je skup svih pridruzenih parova:

Γ = {(x , y), x ∈ D, y ∈ K, y = f (x)}.

Zadatak

Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije koja je zadanaformulom

f (x) = log x .

Graf funkcije

Graf funkcije je skup svih pridruzenih parova:

Γ = {(x , y), x ∈ D, y ∈ K, y = f (x)}.

Zadatak

Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije koja je zadanaformulom

f (x) = log x .

Osobine pridruzivanja

Neka je f : D → K zadana funkcija. Za x , x1, x2 ∈ D pridruzivanjemoze imati slijedece osobine:

Injektivnost:

f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.

Surjektivnost: za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)

Bijektivnost: injektivnost i surjektivnost

Pitanje

Gdje ima vise tocaka? Na duzini ili na pravcu?

Injektivnost:f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.

Pitanje

Surjektivnost:

za svaki y ∈ K postoji bar jedan x ∈ D tako davrijedi y = f (x)

Pitanje

Bijektivnost:

injektivnost i surjektivnost

Pitanje

Inverz

Ako je f : D → K bijekcija, tada postoji funkcija

g : K → D,

s pravilom preslikavanja:

∀y ∈ K, g(y) = x ⇔ f (x) = y .

Ouobicajena oznaka

x = f −1(y) = g(y).

Zadatak

Odredite formulu f −1(x) ako je f (x) = log x .

Inverz

Ako je f : D → K bijekcija, tada postoji funkcija

g : K → D,

s pravilom preslikavanja:

∀y ∈ K, g(y) = x ⇔ f (x) = y .

Ouobicajena oznaka

x = f −1(y) = g(y).

Zadatak

Odredite formulu f −1(x) ako je f (x) = log x .

Realne funkcije realne varijable

Ako je K ⊆ R, tada se funkcijsko pridruzivanje naziva funkcijom.

Realna varijabla podrazumijeva D ⊆ R

Zadatak

Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = x3. Istraziteosobine pridruzivanja. Zapisite inverz funkcije.

Zadatak

Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije zadane formulomf (x) = x2. Istrazite osobine pridruzivanja. Da li je moguce zapisatifunkciju zadanu istom formulom tako da ima inverz? Zapisitetakvu funkciju i inverz te funkcije.

Ako je K ⊆ R, tada se funkcijsko pridruzivanje naziva funkcijom.Realna varijabla podrazumijeva D ⊆ R

Zadatak

Parnost i neparnost funkcije

Funkcija f : D → K je parna ako za x ,−x ∈ D vrijedi

f (−x) = f (x).

Funkcija je neparna ako je

f (−x) = −f (x).

Zadatak

Nacrtajte grafove funkcija f (x) = |x | i f (x) = 1x .

f (−x) = f (x).

f (−x) = −f (x).

Zadatak

f (−x) = f (x).

f (−x) = −f (x).

Zadatak

Periodicnost funkcije

Funkcija f (x) je periodicna, ako postoji T ∈ R sa svojstvomf (x + T ) = f (x).

Zadatak

Nacrtajte graf funkcije f (x) = sin x

Zadatak

Nacrtajte graf funkcije g(x) = cos x .

Zadatak

Ispitajte parnost, neparnost, injektivnost i surjektivnost navedenihfunkcija. Definirajte inverze zadanih funkcija.

Zadatak

Monotone funkcije i lokalni ekstremi

Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).

Zadatak

Nacrtajte graf funkcije y = (x2 − 1)2. Odredite intervalemonotonosti i lokalne ekstreme funkcije.

Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).

Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).

Zadatak

Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).

Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).

Zadatak

Funkcija f (x) je rastuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).Funkcija f (x) je padajuca na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 vrijedi x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).Funkcija f (x) ima lokalni maksimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≤ f (x0).

Funkcija f (x) ima lokalni minimum u tocki x0 ∈ D ako postojiδ > 0 tako da 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊆ D ix ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⇒ f (x) ≥ f (x0).

Zadatak

Konveksnost, konkavnost i tocke infleksije

Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.

Zadatak

Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = tg x . Istakniteintervale konveksnosti konkavnosti i tocke infleksije.

Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).

Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.

Zadatak

Funkcija f (x) je konveksna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf (x1) + (1− λ)f (x2).Funkcija f (x) je konkavna na intervalu 〈a, b〉 ⊆ R, ako zax1, x2 ∈ 〈a, b〉 i za λ ∈ [0, 1] vrijedif (λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf (x1) + (1− λ)f (x2).

Tocka infleksije je ona tocka grafa (x0, f (x0)) u kojoj graf funkcijemijenja svoju zakrivljenost.

Zadatak

Zadaci

1 Nacrtajte graf funkcije f (x) = −x2 + x + 2. Odreditedomenu, intervale rasta, pada i lokalni ekstrem funkcije.

2 Funkcija je zadana formulom f (x) =12

x. Odredite domenu i

intervale konveksnosti i konkavnosti. Da li je funkcija parna ilineparna.

3 Odredite domenu i nacrtajte graf funkcije y = 2x . Ispitajteosobine preslikavanja, napisite formulu inverza i nacrtajte grafinverzne funkcije.

4 Nacrtajte graf funkcije y = 3 sin(2x − π). Odredite tockeinfleksije funkcije.

5 Ispitajte domenu i nacrtajte graf funkcije f (x) = sin−1 x .

Zadaci

ELEMENTARNE FUNKCIJE

Polinomi 1 Nacrtajte graf y = 2x + 12 Nacrtajte graf y = x2 + x − 2

Primjer

Rastavite na proste faktore polinom P(x) = x3 + 1 i polinomQ(x) = x4 − 1.

Primjer

Polinomi 1 Nacrtajte graf y = 2x + 1

2 Nacrtajte graf y = x2 + x − 2

Primjer

Racionalne funkcije

Oblik: R(x) =P(x)

Q(x). Nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.

Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji. Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.

Zadatak

Rastavite na parcijalne razlomke funkcije funkciju:f (x) = x2+2

x3+5x2+6x

Racionalne funkcije

Oblik: R(x) =P(x)

Nemaju vrijednosti u nultockama nazivnika.

Zadatak

x3+5x2+6x

Racionalne funkcije

Oblik: R(x) =P(x)

Zadatak

x3+5x2+6x

Racionalne funkcije

Oblik: R(x) =P(x)

Ako je stupanj brojnika veci od nazivnika, govori se o nepravojracionalnoj funkciji.

Nakon rastava nazivnika na proste faktore,svaka se prava racionalna funkcija moze rastaviti na parcijalnerazlomke.

Zadatak

x3+5x2+6x

Racionalne funkcije

Oblik: R(x) =P(x)

Zadatak

x3+5x2+6x

Racionalne funkcije

Oblik: R(x) =P(x)

Zadatak

x3+5x2+6x

Broj e.

Baza prirodnog logaritma i prirodne eksponencijalne funkcije.

Zadatak

Netko dobije milijun kuna i ulozi ih u banku na godinu dana uz12% godisnjih kamata. Kojom svotom raspolaze nakon godinedana?

Zadatak

Netko je dobio milijun kuna, ali ih je ulozio na godinu dana ubanku uz dogovor, da mu se mjesecno p

12 = 1% kamata pripisujeglavnici.Kojom ce svotom raspolagati na kraju godine?

Zadatak

Kolika ce biti svota od milijun kuna na kraju godine, ako p360

ukamacujemo svaki dan, uz p = 12% godisnjeg kamatnjaka?

Broj e.

Zadatak

Broj e.

Zadatak

Broj e.

Zadatak

Granicna vrijednost

Zadatak

Neka je f : N→ R niz zadan formulom: f (n) = (1 + 1n )n. Odredite

f (100), f (10000), f (1000000), f (108) zaokruzeno na 5 decimala.

Napomena

Zadatkom je pokazano da za n > 106 vrijednost funkcijezaokruzena na 5 decimala iznosi 2.71828.

Definicija

Baza prirodne eksponencijalne progresije e je granicna vrijednost

niza realnih brojeva 2,

. . . cija vrijednost

zaokruzena na 5 decimala iznosi e = 2.71828

Granicna vrijednost

Zadatak

Napomena

Definicija

Granicna vrijednost

Zadatak

Napomena

Definicija

Granicna vrijednost

Zadatak

Napomena

Definicija

Fundamentalno

Zadatak

Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ex .

Ispitajte osobine preslikavanja.

Zadatak

Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ln x .

Fundamentalno

Zadatak

Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ex . Ispitajte osobine preslikavanja.

Zadatak

Fundamentalno

Zadatak

Odredite prirodnu domenu i nacrtajte graf funkcije zadaneformulom f (x) = ex . Ispitajte osobine preslikavanja.

Zadatak

Eksponencijalna funkcija

Definicija

Formula eksponencijalne funkcije je oblika f (x) = ax , gdje jea > 0, a 6= 1.

Zapamtiti

Domenu funkcije ax cine svi realni brojevi R, dok slici funkcijepripadaju samo pozitivni brojevi {(R) =< 0,+∞ > .

Zadatak

Napisite domenu funkcije f (x) = 0.5x i nacrtajte graf funkcije.Istaknite osobine preslikavanja, parnost, monotonost i konkavnost,odnosno konveksnost, grafa.

Definicija

Zapamtiti

Zadatak

Definicija

Zapamtiti

Zadatak

Logaritamska funkcija

Definicija

Neka je b > 0 i b 6= 1. Formula y = logb x za pozitivne vrijednostiargumenta x daje vrijednosti funkcije y ako je by = x :

logb x = y

x = by

Zapamtiti

Domena logaritamske funkcije f (x) = logb x su pozitivni brojevi,x > 0. Slika logaritamske funkcije su svi realni brojevi.

Zadatak

Odredite domene i nacrtajte grafove funkcija zadanih formulama:

y = log0.5 x

y = ln |x |

Definicija

logb x = y

x = by

Zapamtiti

Zadatak

y = log0.5 x

y = ln |x |

Definicija

logb x = y

x = by

Zapamtiti

Zadatak

y = log0.5 x

y = ln |x |

Definicija

logb x = y

x = by

Zapamtiti

Zadatak

y = log0.5 x

y = ln |x |

Definicija

logb x = y

x = by

Zapamtiti

Zadatak

y = log0.5 x

y = ln |x |

Definicija

logb x = y

x = by

Zapamtiti

Zadatak

y = log0.5 x

y = ln |x |Bozidar Ivankovic Matematika 1

Trigonometrijske funkcije

Racunanje udaljenosti do poznatih nepristupacnih objekata koji sevide pod poznatim kutem.

Zadatak

Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100? rjesenje: 85 m

Argument trigonometrijske funkcije je kut.

Stupnjevi u seksagezimalnom sustavu

Radijani u dekadskom sustavu

Gradi u gradevinarsvu

Zadatak

Odredite domene trigonometrijskih funkcija.

Zadatak

Koliko je daleko brod ciji se jarbol visine 15 m vidi pod kutom od100?

rjesenje: 85 m

Zadatak

Grafovi trigonometrijskih funkcija

Nacrtajte grafove funkcija

1 y = sin x

2 y = sin 3x

3 y = 4 sinx

24 y = 3 sin(2x − π

5 y = 2 cos( x3 − π)

6 y = tan x

1 y = sin x

2 y = sin 3x

3 y = 4 sinx

24 y = 3 sin(2x − π

5 y = 2 cos( x3 − π)

6 y = tan x

1 y = sin x

2 y = sin 3x

3 y = 4 sinx

24 y = 3 sin(2x − π

5 y = 2 cos( x3 − π)

6 y = tan x

1 y = sin x

2 y = sin 3x

3 y = 4 sinx

24 y = 3 sin(2x − π

5 y = 2 cos( x3 − π)

6 y = tan x

1 y = sin x

2 y = sin 3x

3 y = 4 sinx

4 y = 3 sin(2x − π4 )

5 y = 2 cos( x3 − π)

6 y = tan x

1 y = sin x

2 y = sin 3x

3 y = 4 sinx

24 y = 3 sin(2x − π

5 y = 2 cos( x3 − π)

6 y = tan x

1 y = sin x

2 y = sin 3x

3 y = 4 sinx

24 y = 3 sin(2x − π

5 y = 2 cos( x3 − π)

6 y = tan x

1 y = sin x

2 y = sin 3x

3 y = 4 sinx

24 y = 3 sin(2x − π

5 y = 2 cos( x3 − π)

6 y = tan x

Ciklometrijske funkcije

Definicija (Arkus sinus)

Funkcija arcsin : [−1, 1]→[−π

2 ,π2

]zadana je pravilom:

y = arcsin x ⇔ sin y = x

Definicija (Arkus kosinus)

Funkcija arccos : [−1, 1]→ [0, π] zadana je pravilom:y = arccos x ⇔ cos y = x

Definicija (Arkus tangens)

Funkcija arctg = arctan = tan−1 : R→(−π

2 ,π2

)zadana je

pravilom: y = arctgx ⇔ tg y = x

2 ,π2

)zadana je

2 ,π2

)zadana je

2 ,π2

)zadana je

Domena funkcije

Zadatak

Odredite domenu definicije funkcije zadane formulom

f (x) =ln(1 + x)

x − 1.

Zadatak

Odredite podrucje definicije funkcije y =

√x2 − 5x + 6

x − 1

Zadatak

Nadite domenu funkcije f (x) =√

1− 2x + 3 arcsin3x − 1

Zadatak

Istrazite podrucja u kojima je definirana funkcija

f (x) = arccos

(3x − 2

4− x

Domena funkcije

Zadatak

f (x) =ln(1 + x)

x − 1.

Zadatak

√x2 − 5x + 6

x − 1

Zadatak

1− 2x + 3 arcsin3x − 1

Zadatak

f (x) = arccos

(3x − 2

4− x

Domena funkcije

Zadatak

f (x) =ln(1 + x)

x − 1.

Zadatak

√x2 − 5x + 6

x − 1

Zadatak

1− 2x + 3 arcsin3x − 1

Zadatak

f (x) = arccos

(3x − 2

4− x

Domena funkcije

Zadatak

f (x) =ln(1 + x)

x − 1.

Zadatak

√x2 − 5x + 6

x − 1

Zadatak

1− 2x + 3 arcsin3x − 1

Zadatak

f (x) = arccos

(3x − 2

4− x

Domena funkcije

Zadatak

f (x) =ln(1 + x)

x − 1.

Zadatak

√x2 − 5x + 6

x − 1

Zadatak

1− 2x + 3 arcsin3x − 1

Zadatak

f (x) = arccos

(3x − 2

4− x

Limes niza

Niz realnih brojeva je funkcija a : N→ R u oznaci a(n) = an.

Limes niza je granicna vrijednost niza.

Oznaka limn→∞

an = L.

Konvergentan niz ima limes.

Divergentni nizovi nemaju limes.

Zadatak

Odredite limn→∞

n − 1

Limes niza

Oznaka limn→∞

an = L.

Zadatak

Odredite limn→∞

n − 1

Limes niza

Oznaka limn→∞

an = L.

Zadatak

Odredite limn→∞

n − 1

Limes niza

Oznaka limn→∞

an = L.

Zadatak

Odredite limn→∞

n − 1

Limes niza

Oznaka limn→∞

an = L.

Zadatak

Odredite limn→∞

n − 1

Limes niza

Oznaka limn→∞

an = L.

Zadatak

Odredite limn→∞

n − 1

Limes niza

Oznaka limn→∞

an = L.

Zadatak

Odredite limn→∞

n − 1

Limes funkcije

Zadatak

Ispitajte i zapisite rjesenje:

1 limx→0

ex − 1

2 limx→1

x − 1

Definicija

Funkcija je neprekidna u tocki c ∈ D ako jelim

x→c+f (x) = lim

x→c−f (x).

Limes funkcije

Zadatak

1 limx→0

ex − 1

2 limx→1

x − 1

Definicija

x→c+f (x) = lim

x→c−f (x).

Limes funkcije

Zadatak

1 limx→0

ex − 1

2 limx→1

x − 1

Definicija

x→c+f (x) = lim

x→c−f (x).

Limes funkcije

Zadatak

1 limx→0

ex − 1

2 limx→1

x − 1

Definicija

x→c+f (x) = lim

x→c−f (x).

Limes funkcije

Zadatak

1 limx→0

ex − 1

2 limx→1

x − 1

Definicija

x→c+f (x) = lim

x→c−f (x).

Domaca zadaca

1 Odredite domenu funkcije

√x + 1

ln(1− x)

2 Nacrtajte graf funkcije y = cosx

3 Pomocu niza x ∈ {0.1, 0.01, 0.001, ...} odredite limx→0

4 Odredite domenu funkcije y =√x − 2 + arcsin

x − 2

5 Napisite formulu funkcije inverzne funkciji f (x) = e3x−2

Domaca zadaca

1 Odredite domenu funkcije

√x + 1

ln(1− x)

2 Nacrtajte graf funkcije y = cosx

3 Pomocu niza x ∈ {0.1, 0.01, 0.001, ...} odredite limx→0

4 Odredite domenu funkcije y =√x − 2 + arcsin

x − 2

5 Napisite formulu funkcije inverzne funkciji f (x) = e3x−2

DERIVACIJA I PRIMJENE

Neka je...

x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak

Izracunajte ∆y za funkciju zadanu formulom y = x2. Sto je dy?

Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,

f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak

Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,

y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak

Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,

∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak

Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,

∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak

Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,

dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak

Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak

Neka je...x . . . trenutna vrijednost nezavisne varijable, argumenta,f (x) . . . formula funkcije u kojoj je jedina varijabla x ,y = f (x) . . . vrijednost funkcije izracunata u tocki x ,∆x = dx . . . promjena nezavisne varijable,∆y = f (x + dx)− f (x) . . . promjena vrijednosti funkcije,dy . . . glavni dio promjene vrijednosti funkcije proporcionalanvrijednosti dx .

Zadatak

Definicija derivacije

Definicija

Derivacija funkcije zadane formulom y = f (x) je nova formulay ′ = f ′(x) koja, u slucaju da postoji, glasi:

f ′(x) = limdx→0

f (x + dx)− f (x)

dx, odnosno dy = y ′ · dx .

Zadatak

Odredite formule prvih derivacija funkcija:

1 y = 12

2 y = x

3 y = 1x

4 y =√x

5 y = sin x

6 y = cos x

Definicija

f (x + dx)− f (x)

dx, odnosno

dy = y ′ · dx .

Zadatak

1 y = 12

2 y = x

3 y = 1x

4 y =√x

5 y = sin x

6 y = cos x

Definicija

f (x + dx)− f (x)

Zadatak

1 y = 12

2 y = x

3 y = 1x

4 y =√x

5 y = sin x

6 y = cos x

Definicija

f (x + dx)− f (x)

Zadatak

1 y = 12

2 y = x

3 y = 1x

4 y =√x

5 y = sin x

6 y = cos x

Definicija

f (x + dx)− f (x)

Zadatak

1 y = 12

2 y = x

3 y = 1x

4 y =√x

5 y = sin x

6 y = cos x

Definicija

f (x + dx)− f (x)

Zadatak

1 y = 12

2 y = x

3 y = 1x

4 y =√x

5 y = sin x

6 y = cos x

Definicija

f (x + dx)− f (x)

Zadatak

1 y = 12

2 y = x

3 y = 1x

4 y =√x

5 y = sin x

6 y = cos x

Definicija

f (x + dx)− f (x)

Zadatak

1 y = 12

2 y = x

3 y = 1x

4 y =√x

5 y = sin x

6 y = cos x

Definicija

f (x + dx)− f (x)

Zadatak

1 y = 12

2 y = x

3 y = 1x

4 y =√x

5 y = sin x

6 y = cos x

Definicija

f (x + dx)− f (x)

Zadatak

1 y = 12

2 y = x

3 y = 1x

4 y =√x

5 y = sin x

6 y = cos x

Derivacije elementarnih funkcija

Zadatak

Odredite derivaciju eksponencijalne funkcije f (x) = ex preko

limesa dobivenog eksperimentalno: limx→0

ex − 1

Zadatak

Nadite formulu derivacije funkcije prirodnog logaritma f (x) = ln x

koristeci algebru i eksperimentalno dobiven limx→1

x − 1= 1.

Zadatak

Odredite formulu derivacije potencije f (x) = xn koristeci sebinomnom formulom.

Zadatak

ex − 1

Zadatak

x − 1= 1.

Zadatak

ex − 1

Zadatak

x − 1= 1.

Zadatak

ex − 1

Zadatak

x − 1= 1.

Zadatak

Osnovna pravila deriviranja

Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:

1 y = log2 x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√x − 3x

2 + 2x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√x

8 y =3√x2 − 2√

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√x .

Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijedi

y = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x) Derivirajte:

1 y = log2 x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√x − 3x

2 + 2x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√x

8 y =3√x2 − 2√

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√x .

Ako je poznato: f ′(x) i g ′(x) onda vrijediy = af (x) + bg(x)⇒ y ′ = af ′(x) + bg ′(x)

Derivirajte:

1 y = log2 x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√x − 3x

2 + 2x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√x

8 y =3√x2 − 2√

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√x .

1 y = log2 x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√x − 3x

2 + 2x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√x

8 y =3√x2 − 2√

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√x .

1 y = log2 x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√x − 3x

2 + 2x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√x

8 y =3√x2 − 2√

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√x .

1 y = log2 x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√x − 3x

2 + 2x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√x

8 y =3√x2 − 2√

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√x .

1 y = log2 x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√x − 3x

2 + 2x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√x

8 y =3√x2 − 2√

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√x .

1 y = log2 x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√x − 3x

2 + 2x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√x

8 y =3√x2 − 2√

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√x .

1 y = log2 x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√x − 3x

2 + 2x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√x

8 y =3√x2 − 2√

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√x .

1 y = log2 x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√x − 3x

2 + 2x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√x

8 y =3√x2 − 2√

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√x .

1 y = log2 x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√x − 3x

2 + 2x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√x

8 y =3√x2 − 2√

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√x .

1 y = log2 x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√x − 3x

2 + 2x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√x

8 y =3√x2 − 2√

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√x .

1 y = log2 x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√x − 3x

2 + 2x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√x

8 y =3√x2 − 2√

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√x .

1 y = log2 x

2 y = 3x3 + 4x2 − 5x − 2

3 y = 2√x − 3x

2 + 2x

4 y = 1x + 2

x2 + 3x3

5 y = 1x + 1

+ 13√x

6 y = sinx − cosx

7 y = x√x

8 y =3√x2 − 2√

9 y = (2− x)x + (x − 1)(x + 2)

10 f (x) = x3 −

3√x .

Derivacija umnoska

Ako su poznate f ′(x) i g ′(x), tada je derivacija umnozka:(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).

Zadatak

Derivirati slijedece umnoske

1 y = xlnx

2 y = x2ex

3 y = (2− x2)cosx + 2xsinx

Derivacija umnoska

Ako su poznate f ′(x) i g ′(x), tada je derivacija umnozka:

(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x).

Zadatak

1 y = xlnx

2 y = x2ex

Derivacija umnoska

Zadatak

1 y = xlnx

2 y = x2ex

Derivacija umnoska

Zadatak

1 y = xlnx

2 y = x2ex

Derivacija umnoska

Zadatak

1 y = xlnx

2 y = x2ex

Derivacija umnoska

Zadatak

1 y = xlnx

2 y = x2ex

Derivacija umnoska

Zadatak

1 y = xlnx

2 y = x2ex

Derivacija kvocijenta funkcija

Ako je moguce derivirati f (x) i g(x), tada za y = f (x)g(x) vrijedi

y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2

Derivirajte:

1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2

x4 − 3

2 a) y =x

lnxb) y =

x2c) y =

3 Izracunajte f ′(−2) za funkciju f (x) =x3

x2 + 3.

4 Izracunajte f ′(0) funkcije: f (x) =cos x − 1

cos x − sin x.

y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2

Derivirajte:

1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2

x4 − 3

2 a) y =x

lnxb) y =

x2c) y =

x2 + 3.

cos x − sin x.

y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2

Derivirajte:

1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2

x4 − 3

2 a) y =x

lnxb) y =

x2c) y =

x2 + 3.

cos x − sin x.

y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2

Derivirajte:

1 a) y = tgx

b) y =2x3 − 4x2 − x + 2

x4 − 3

2 a) y =x

lnxb) y =

x2c) y =

x2 + 3.

cos x − sin x.

y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2

Derivirajte:

1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2

x4 − 3

2 a) y =x

lnxb) y =

x2c) y =

x2 + 3.

cos x − sin x.

y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2

Derivirajte:

1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2

x4 − 3

2 a) y =x

b) y =ex

x2c) y =

x2 + 3.

cos x − sin x.

y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2

Derivirajte:

1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2

x4 − 3

2 a) y =x

lnxb) y =

c) y =

x2 + 3.

cos x − sin x.

y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2

Derivirajte:

1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2

x4 − 3

2 a) y =x

lnxb) y =

x2c) y =

x2 + 3.

cos x − sin x.

y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2

Derivirajte:

1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2

x4 − 3

2 a) y =x

lnxb) y =

x2c) y =

x2 + 3.

cos x − sin x.

y ′ =f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2

Derivirajte:

1 a) y = tgx b) y =2x3 − 4x2 − x + 2

x4 − 3

2 a) y =x

lnxb) y =

x2c) y =

x2 + 3.

cos x − sin x.

Derivacija inverzne funkcije

Neka je y = f (x). Onda je x = f −1(y).

Slijedi y ′ = f ′(x) =dy

dxi x ′ = (f −1)′(y) =

dy. Tada je

(f −1)′(y) =dx

f ′(x)=

f ′(f −1(y)). Formula derivacije

inverzne funkcije: (f −1)′(x) =1

f ′(f −1(x)).

Primjer

Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x i f (x) = arccos x .

Zadatak

Izvedite derivaciju funkcije y = arctan x .

Neka je y = f (x).

Onda je x = f −1(y).

dxi x ′ = (f −1)′(y) =

dy. Tada je

(f −1)′(y) =dx

f ′(x)=

f ′(f −1(x)).

Primjer

Zadatak

Slijedi y ′ = f ′(x)

dxi x ′ = (f −1)′(y) =

dy. Tada je

(f −1)′(y) =dx

f ′(x)=

f ′(f −1(x)).

Primjer

Zadatak

i x ′ = (f −1)′(y) =dx

dy. Tada je

(f −1)′(y) =dx

f ′(x)=

f ′(f −1(x)).

Primjer

Zadatak

dxi x ′ =

(f −1)′(y) =dx

dy. Tada je

(f −1)′(y) =dx

f ′(x)=

f ′(f −1(x)).

Primjer

Zadatak

dxi x ′ = (f −1)′(y) =

dy. Tada je

(f −1)′(y) =dx

f ′(x)=

f ′(f −1(x)).

Primjer

Zadatak

dxi x ′ = (f −1)′(y) =

Tada je

(f −1)′(y) =dx

f ′(x)=

f ′(f −1(x)).

Primjer

Zadatak

dxi x ′ = (f −1)′(y) =

dy. Tada je

(f −1)′(y) =

f ′(x)=

f ′(f −1(x)).

Primjer

Zadatak

dxi x ′ = (f −1)′(y) =

dy. Tada je

(f −1)′(y) =dx

f ′(x)=

f ′(f −1(x)).

Primjer

Zadatak

dxi x ′ = (f −1)′(y) =

dy. Tada je

(f −1)′(y) =dx

f ′(x)=

f ′(f −1(x)).

Primjer

Zadatak

dxi x ′ = (f −1)′(y) =

dy. Tada je

(f −1)′(y) =dx

f ′(x)=

f ′(f −1(x)).

Primjer

Zadatak

dxi x ′ = (f −1)′(y) =

dy. Tada je

(f −1)′(y) =dx

f ′(x)=

f ′(f −1(y)).

Formula derivacije

f ′(f −1(x)).

Primjer

Zadatak

dxi x ′ = (f −1)′(y) =

dy. Tada je

(f −1)′(y) =dx

f ′(x)=

f ′(f −1(x)).

Primjer

Zadatak

dxi x ′ = (f −1)′(y) =

dy. Tada je

(f −1)′(y) =dx

f ′(x)=

f ′(f −1(x)).

Primjer

Izvedite derivaciju funkcije y = arcsin x

i f (x) = arccos x .

Zadatak

dxi x ′ = (f −1)′(y) =

dy. Tada je

(f −1)′(y) =dx

f ′(x)=

f ′(f −1(x)).

Primjer

Zadatak

dxi x ′ = (f −1)′(y) =

dy. Tada je

(f −1)′(y) =dx

f ′(x)=

f ′(f −1(x)).

Primjer

Zadatak

Derivacija slozene funkcija

Argument jedne funkcija vrijednost je neke druge funkcije:

y = f (g(x))⇒ y = f (z), z = g(x)

y ′ =dy

dz· dzdx

= f ′(z) · g ′(x)

y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x)

Primjer

Derivirati funkciju y = (x2 − 3x + 4)3.

Zadatak

Odredite derivaciju opce eksponencijalne funkcije: y = ax .

y = f (g(x))⇒ y = f (z), z = g(x)

y ′ =dy

dz· dzdx

= f ′(z) · g ′(x)

y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x)

Primjer

Zadatak

y = f (g(x))⇒ y = f (z), z = g(x)

y ′ =dy

dz· dzdx

= f ′(z) · g ′(x)

y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x)

Primjer

Zadatak

y = f (g(x))⇒ y = f (z), z = g(x)

y ′ =dy

dz· dzdx

= f ′(z) · g ′(x)

y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x)

Primjer

Zadatak

y = f (g(x))⇒ y = f (z), z = g(x)

y ′ =dy

dz· dzdx

= f ′(z) · g ′(x)

y ′ = f ′(g(x)) · g ′(x)

Primjer

Zadatak

Odrediti prve derivacije:

Napisite formule prvih derivacija:

1 y =√x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x

Izracunajte vrijednost funkcije i vrijednost prve derivacije funkcije uzadanoj tocki domene:

1 y =√xex − x , za x = −1

2 y =3√

sin2 x − (arcsin x)3, za x = 0.6

3 y = arctg(ln x) + ln(arctgx), za x = e

4 y = ln cos x−1x , za x = 1

1 y =√x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x

1 y =√xex − x , za x = −1

2 y =3√

4 y = ln cos x−1x , za x = 1

1 y =√x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x

1 y =√xex − x , za x = −1

2 y =3√

4 y = ln cos x−1x , za x = 1

1 y =√x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x

1 y =√xex − x , za x = −1

2 y =3√

4 y = ln cos x−1x , za x = 1

1 y =√x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x

1 y =√xex − x , za x = −1

2 y =3√

4 y = ln cos x−1x , za x = 1

1 y =√x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x

1 y =√xex − x , za x = −1

2 y =3√

4 y = ln cos x−1x , za x = 1

1 y =√x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x

1 y =√xex − x , za x = −1

2 y =3√

4 y = ln cos x−1x , za x = 1

1 y =√x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x

1 y =√xex − x , za x = −1

2 y =3√

4 y = ln cos x−1x , za x = 1

1 y =√x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x

1 y =√xex − x , za x = −1

2 y =3√

4 y = ln cos x−1x , za x = 1

1 y =√x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x

1 y =√xex − x , za x = −1

2 y =3√

4 y = ln cos x−1x , za x = 1

1 y =√x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x

1 y =√xex − x , za x = −1

2 y =3√

4 y = ln cos x−1x , za x = 1

1 y =√x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x

1 y =√xex − x , za x = −1

2 y =3√

4 y = ln cos x−1x , za x = 1

1 y =√x2 + 1

2 y =√

2x3 − 1

3 y = sin2x

4 y = sin2x

5 y = ex2−x

6 y = ln x−23−2x

1 y =√xex − x , za x = −1

2 y =3√

4 y = ln cos x−1x , za x = 1

Tangenta i normala na graf funkcije y = f (x)

Tangenta na graf funkcije y = f (x) je pravac:y − y0 = k(x − x0).

Tri velicine :

x0 apscisa diralistay0 = f (x0) ordinata diralistavrijednost prve derivacije y ′(x0) = f ′(x0) = k .

Normala je pravac y − y0 = − 1k (x − x0).

Primjer

Nacrtajte tangentu i normalu na graf funkcije f (x) = ln1− x2

tocki x0 = 12 .

Tri velicine :

Primjer

tocki x0 = 12 .

Tri velicine :

Primjer

tocki x0 = 12 .

Tri velicine :

x0 apscisa diralista

y0 = f (x0) ordinata diralistavrijednost prve derivacije y ′(x0) = f ′(x0) = k .

Primjer

tocki x0 = 12 .

Tri velicine :

x0 apscisa diralistay0 = f (x0) ordinata diralista

vrijednost prve derivacije y ′(x0) = f ′(x0) = k .

Primjer

tocki x0 = 12 .

Tri velicine :

Primjer

tocki x0 = 12 .

Tri velicine :

Primjer

tocki x0 = 12 .

Tri velicine :

Primjer

tocki x0 = 12 .

Zadaci

1 Nacrtajte grafove i napisite jednadzbe tangenata na grafove:

1 graf y = 2x − x2, u tocki s x = 12

2 krivulja y = 12x u tocki x = 4

3 funkcija y =√x , u tocki y = 3

2 Napisite jedndzbe tangente i normale na grafove

1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).

2 y = arcsin x−12 u sjecistu s x-osi.

3 y = e1−x2

u sjecistima s pravcem y = 1.

3 Formula funkcije f (x) = ln x+√

1−x2

x . Napisite jednadzbutangente i jednadzbu normale na graf funkcije zadaneformulom.

Zadaci

1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).

3 y = e1−x2

1−x2

Zadaci

1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).

3 y = e1−x2

1−x2

Zadaci

1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).

3 y = e1−x2

1−x2

Zadaci

1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).

3 y = e1−x2

1−x2

Zadaci

1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).

3 y = e1−x2

1−x2

Zadaci

1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).

3 y = e1−x2

1−x2

Zadaci

1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).

3 y = e1−x2

1−x2

Zadaci

1 y = 3√x − 1 u tocki (1, 0).

3 y = e1−x2

1−x2

Rjesenja zadataka

1 a)4x − 4y + 1 = 0; b)y = −34x + 6; c)y = 1

6x + 32

2 Tangenta i normala redom: a)x = 1, y = 0;b)x − 2y − 1 = 0, 2x + y − 2 = 0;c)2x + y − 3 = 0, x − 2y + 1 = 0 za (1, 1);2x − y + 3 = 0, x + 2y − 1 = 0 za (−1, 1).

3 Iz y ′ = 1x+√

1−x2· −1−x2

1−x2ocito je y ′(1)→∞, sto daje za

tangentu vertikalu x = 1, a za normalu y = 0.

Derivacija implicitno zadane funkcije

Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy

dx ima dvije varijable.

Primjer

Formule prvih derivacija navedenih funkcija.

Zadatak

Napisati formulu za y ′ ako je y zadana implicitno formulomx3 + y3 − 6xy = 0.

Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .

Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy

Primjer

Zadatak

Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25,

y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy

Primjer

Zadatak

Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x ,

4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy

Primjer

Zadatak

Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36

i25x2 − 16y2 = 400.Formula prve derivacije y ′ = dy

Primjer

Zadatak

Iz jednadzbe F (x , y) = 0 moguce je y izracunati za zadani x .Primjeri: x2 + y2 = 25, y2 = 12x , 4x2 + 9y2 = 36 i25x2 − 16y2 = 400.

Formula prve derivacije y ′ = dydx ima dvije varijable.

Primjer

Zadatak

Primjer

Zadatak

Primjer

Zadatak

Primjer

Zadatak

Zadaci

1 Napisite jednadzbu tangente i normale na krivulju3x2 + 3y2 − 4x + y − 13 = 0 u tocki x = 1, y = 2.

2 Napisite formulu za y ′ ako je y3 = x−yx+y .

3 Funkcija y zadana je implicitno formulom ey = x + y .Napisati formulu za y ′.

4 Naci formulu y ′ iz formule3√x2 + 3

√y2 =

3√a2, gdje je a

proizvoljna konstanta.

Rjesenja:

1 2x + 7y = 16, 7x − 2y = 3

2 y ′ = 2y2

3(x2−y2)+2xy

3 y ′ = 1ey−1

4 y ′ = − 3√

Zadaci

√y2 =

3√a2, gdje je a

Rjesenja:

1 2x + 7y = 16, 7x − 2y = 3

2 y ′ = 2y2

3(x2−y2)+2xy

3 y ′ = 1ey−1

4 y ′ = − 3√

Zadaci

√y2 =

3√a2, gdje je a

Rjesenja:

1 2x + 7y = 16, 7x − 2y = 3

2 y ′ = 2y2

3(x2−y2)+2xy

3 y ′ = 1ey−1

4 y ′ = − 3√

Zadaci

√y2 =

3√a2, gdje je a

Rjesenja:

1 2x + 7y = 16, 7x − 2y = 3

2 y ′ = 2y2

3(x2−y2)+2xy

3 y ′ = 1ey−1

4 y ′ = − 3√

Zadaci

√y2 =

3√a2, gdje je a

Rjesenja:

1 2x + 7y = 16, 7x − 2y = 3

2 y ′ = 2y2

3(x2−y2)+2xy

3 y ′ = 1ey−1

4 y ′ = − 3√

Zadaci

√y2 =

3√a2, gdje je a

Rjesenja:

1 2x + 7y = 16, 7x − 2y = 3

2 y ′ = 2y2

3(x2−y2)+2xy

3 y ′ = 1ey−1

4 y ′ = − 3√

Deriviranje parametarski zadanih funkcija

Teorem

Neka komponente radijus vektora tocke krivulje ovise o parametrut > 0 formulama ~r(t) = (x(t), y(t)). Komponente vektora brzine

tangencijalnog na krivulju su ~v(t) =d~r

dt= (x(t), y(t)).

Akceleracija ~a(t) =d~v

dt(x(t), y(t)).

1 Krivulja je zadana parametarski: ~r(t) = (2t2, 6t ln t), gdje jet ∈ R+. Nacrtajte ~v(t) u trenutku t = 3. Nacrtajte vektor~a(t) u istom trenutku. Odredite iznos brzine, akceleracije,tangencijalne akceleracije i centripetalne akceleracije.

2 Gibanje je zadano parametarski:~r(t) = (2t + 3t2, t2 + 2t3, 16t

√t). Izracunajte brzinu i

akceleraciju na pocetku 4. sekunde. Kolika sila djeluje akotijelo koje se giba ima 45 kg? Kolika je centripetalnakomponenta sile potrebna?

Teorem

dt= (x(t), y(t)).

dt(x(t), y(t)).

Teorem

dt= (x(t), y(t)).

dt(x(t), y(t)).

1 Krivulja je zadana parametarski: ~r(t) = (2t2, 6t ln t), gdje jet ∈ R+.

Nacrtajte ~v(t) u trenutku t = 3. Nacrtajte vektor~a(t) u istom trenutku. Odredite iznos brzine, akceleracije,tangencijalne akceleracije i centripetalne akceleracije.

Teorem

dt= (x(t), y(t)).

dt(x(t), y(t)).

1 Krivulja je zadana parametarski: ~r(t) = (2t2, 6t ln t), gdje jet ∈ R+. Nacrtajte ~v(t) u trenutku t = 3.

Nacrtajte vektor~a(t) u istom trenutku. Odredite iznos brzine, akceleracije,tangencijalne akceleracije i centripetalne akceleracije.

Teorem

dt= (x(t), y(t)).

dt(x(t), y(t)).

1 Krivulja je zadana parametarski: ~r(t) = (2t2, 6t ln t), gdje jet ∈ R+. Nacrtajte ~v(t) u trenutku t = 3. Nacrtajte vektor~a(t) u istom trenutku.

Odredite iznos brzine, akceleracije,tangencijalne akceleracije i centripetalne akceleracije.

Teorem

dt= (x(t), y(t)).

dt(x(t), y(t)).

Teorem

dt= (x(t), y(t)).

dt(x(t), y(t)).

akceleraciju na pocetku 4. sekunde. Kolika sila djeluje akotijelo koje se giba ima 45 kg?

Kolika je centripetalnakomponenta sile potrebna?

Teorem

dt= (x(t), y(t)).

dt(x(t), y(t)).

Rjesenja

1 ~v(3) = (12, 12.6), ~a(3) = (4, 2), |~v(3)| = 17.4, |~a(3)| = 4.5,~a3 = (2.9, 3), |~at(3)| = 4.2, ~acp(3) = (1.1,−1), |~acp(3)| = 1.5.

2 ~v(4) = (26, 104, 48), ~a(4) = (6, 48, 6), F = 2 134N,~at(4) = 492

13 796 · (26, 104, 48) = (0.9, 3.7, 1.7), Fcp = 2016N.

Tangenta na parametriziranu krivulju

Teorem

Neka je radijus vektor tocke krivulje parametarski zadan formulama~r(t) = (x(t), y(t)). Koeficijent smjera tangente u tocki parametra

t0 je k = y ′(t0) =y(t0)

Zadatak

Nacrtajte tangentu na graf funkcije zadane parametarski formulamax(t) = t2−1

2t−ln t i y(t) =√

3t2 − 2t − 6, a za vrijednost parametrat = 4. Za koje je vrijednosti parametra t definirana funkcija?

Teorem

t0 je k = y ′(t0) =y(t0)

Zadatak

Teorem

t0 je k = y ′(t0) =y(t0)

Zadatak

3t2 − 2t − 6, a za vrijednost parametrat = 4.

Za koje je vrijednosti parametra t definirana funkcija?

Teorem

t0 je k = y ′(t0) =y(t0)

Zadatak

Primjena derivacija na ispitivanje toka funkcije

Teorem (Fermat)

Ako f : [a, b]→ R ima u tocki c ∈ 〈a, b〉 lokalni ekstrem i akopostoji f ′(c), tada je f ′(c) = 0

Teorem (Lagrangeov srednje vrijednosti)

Neka je f na [a, b] nepredinuta funkcija, a na 〈a, b〉 derivabilna.Tada postoji c ∈ 〈a, b〉 za koji je f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a).

Teorem (O karakterizaciji)

Neka je f : 〈a, b〉 derivabilna.

1 Ako je f ′(x) > 0, onda je f rastuca funkcija

2 Ako je f ′(x) < 0, onda je f padajuca funkcija

Teorem (Fermat)

Zadaci

Zadatak

Odredite domenu, intervale monotonosti i otkrijte lokalne ekstremeslijedecih funkcija:

1 f (x) = x2 − ln x2

2 f (x) = e−x2+8x−14

3 f (x) = x1−ln x

4 f (x) =sin x − 2

Zadaci

Zadatak

1 f (x) = x2 − ln x2

2 f (x) = e−x2+8x−14

3 f (x) = x1−ln x

4 f (x) =sin x − 2

Zadaci

Zadatak

1 f (x) = x2 − ln x2

2 f (x) = e−x2+8x−14

3 f (x) = x1−ln x

4 f (x) =sin x − 2

Zadaci

Zadatak

1 f (x) = x2 − ln x2

2 f (x) = e−x2+8x−14

3 f (x) = x1−ln x

4 f (x) =sin x − 2

Zadaci

Zadatak

1 f (x) = x2 − ln x2

2 f (x) = e−x2+8x−14

3 f (x) = x1−ln x

4 f (x) =sin x − 2

Primjena derivacija na ispitivanje konkavnostifunkcije

Teorem

Neka je f : 〈a, b〉 dvaput derivabilna funkcija.

1 Ako je f ′′(x) ≥ 0, onda je f konveksna.

2 Ako je f ′′(x) ≤ 0, onda je f konkavna.

Napomena

Ako f ′′ : 〈a, b〉 → R nema prekid, tada su intervali konveksnosti ikonkavnosti omedeni tockom x0 u kojoj je f ′′(x0) = 0. To je tockainfleksije.

Teorem

Napomena

Teorem

Napomena

Teorem

Napomena

Ako f ′′ : 〈a, b〉 → R nema prekid, tada su intervali konveksnosti ikonkavnosti omedeni tockom x0 u kojoj je f ′′(x0) = 0.

To je tockainfleksije.

Teorem

Napomena

Zadaci

1 Nadite intervale konveksnosti i konkavnosti sljedecih funkcija

1 f (x) = arctan x − x2 f (x) = xex

3 f (x) = x ln2 x

4 f (x) = e3−4x−5x2

2 Odredite domenu, te tocke infleksije sljedecih funkcija:

1 f (x) = (x − 1) 7√

(x − 1)6

2 f (x) =x3

x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4

Zadaci

1 f (x) = arctan x − x

2 f (x) = xex

3 f (x) = x ln2 x

4 f (x) = e3−4x−5x2

1 f (x) = (x − 1) 7√

(x − 1)6

2 f (x) =x3

x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4

Zadaci

3 f (x) = x ln2 x

4 f (x) = e3−4x−5x2

1 f (x) = (x − 1) 7√

(x − 1)6

2 f (x) =x3

x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4

Zadaci

3 f (x) = x ln2 x

4 f (x) = e3−4x−5x2

1 f (x) = (x − 1) 7√

(x − 1)6

2 f (x) =x3

x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4

Zadaci

3 f (x) = x ln2 x

4 f (x) = e3−4x−5x2

1 f (x) = (x − 1) 7√

(x − 1)6

2 f (x) =x3

x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4

Zadaci

3 f (x) = x ln2 x

4 f (x) = e3−4x−5x2

1 f (x) = (x − 1) 7√

(x − 1)6

2 f (x) =x3

x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4

Zadaci

3 f (x) = x ln2 x

4 f (x) = e3−4x−5x2

1 f (x) = (x − 1) 7√

(x − 1)6

2 f (x) =x3

x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4

Zadaci

3 f (x) = x ln2 x

4 f (x) = e3−4x−5x2

1 f (x) = (x − 1) 7√

(x − 1)6

2 f (x) =x3

x2 + 12

3 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4

Zadaci

3 f (x) = x ln2 x

4 f (x) = e3−4x−5x2

1 f (x) = (x − 1) 7√

(x − 1)6

2 f (x) =x3

x2 + 123 f (x) = (x − 4)5 + 4x + 4

L’Hospitalovo pravilo

Neodredljivi oblici kod racunanja limesa su

∞−∞,∞∞,

0, 0 · ∞,∞0, 0∞, 1∞, 00.

Teorem

L’Hospitalovo pravilo Neka je limx→a f (x) = 0 i limx→a g(x) = 0.Neka su f i g derivabilne u svakoj tocki 〈a− δ, a + δ〉 osim mozdau a i neka je g(x) 6= 0 za x ∈ 〈a− δ, a + δ〉.

Ako je limx→af ′(x)

g ′(x)= L, onda je L = limx→a

∞−∞,∞∞,

0, 0 · ∞,∞0, 0∞, 1∞, 00.

Teorem

∞−∞,∞∞,

0, 0 · ∞,∞0, 0∞, 1∞, 00.

Teorem

L’Hospitalovo pravilo Neka je limx→a f (x) = 0 i limx→a g(x) = 0.

Neka su f i g derivabilne u svakoj tocki 〈a− δ, a + δ〉 osim mozdau a i neka je g(x) 6= 0 za x ∈ 〈a− δ, a + δ〉.

∞−∞,∞∞,

0, 0 · ∞,∞0, 0∞, 1∞, 00.

Teorem

∞−∞,∞∞,

0, 0 · ∞,∞0, 0∞, 1∞, 00.

Teorem

Zadaci

Odredite limese sljedecih funkcija:

1 limx→0

e3x − 3x − 1

sin2 5x

2 limx→∞

π − 2 arctan x

e3x − 1

3 limx→0

x ln x

4 limx→1

1− x2− 3

1− x3

)5 lim

x→π2

(π − 2x)cos x

Zadaci

1 limx→0

e3x − 3x − 1

sin2 5x

2 limx→∞

π − 2 arctan x

e3x − 1

3 limx→0

x ln x

4 limx→1

1− x2− 3

1− x3

)5 lim

x→π2

(π − 2x)cos x

Zadaci

1 limx→0

e3x − 3x − 1

sin2 5x

2 limx→∞

π − 2 arctan x

e3x − 1

3 limx→0

x ln x

4 limx→1

1− x2− 3

1− x3

)5 lim

x→π2

(π − 2x)cos x

Zadaci

1 limx→0

e3x − 3x − 1

sin2 5x

2 limx→∞

π − 2 arctan x

e3x − 1

3 limx→0

x ln x

4 limx→1

1− x2− 3

1− x3

)5 lim

x→π2

(π − 2x)cos x

Zadaci

1 limx→0

e3x − 3x − 1

sin2 5x

2 limx→∞

π − 2 arctan x

e3x − 1

3 limx→0

x ln x

4 limx→1

1− x2− 3

1− x3

)5 lim

x→π2

(π − 2x)cos x

Zadaci

1 limx→0

e3x − 3x − 1

sin2 5x

2 limx→∞

π − 2 arctan x

e3x − 1

3 limx→0

x ln x

4 limx→1

1− x2− 3

1− x3

5 limx→π

(π − 2x)cos x

Zadaci

1 limx→0

e3x − 3x − 1

sin2 5x

2 limx→∞

π − 2 arctan x

e3x − 1

3 limx→0

x ln x

4 limx→1

1− x2− 3

1− x3

)5 lim

x→π2

(π − 2x)cos x

Asimptote

Pravac je asimptota ako udaljenost grafa funkcije do pravca tezi knuli za x →∞ ili y →∞.

Zadatak

Odredite asimptote sljedecih funkcija

1 f (x) =sin x

2 f (x) =ln2 x

x− 3x

Asimptote

Zadatak

1 f (x) =sin x

2 f (x) =ln2 x

x− 3x

Asimptote

Zadatak

1 f (x) =sin x

2 f (x) =ln2 x

x− 3x

Asimptote

Zadatak

1 f (x) =sin x

2 f (x) =ln2 x

x− 3x

Crtanje grafova funkcija

Zadatak

Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije f (x) =x3

x2 − 4.

Zadatak

Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije f (x) = 16x(x − 1)3.

Crtanje grafova funkcija

Zadatak

Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije f (x) =x3

x2 − 4.

Zadatak

Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije f (x) = 16x(x − 1)3.

Zadaca

Odredite sve asimptote sljedecih funkcija

1 f (x) = 1−ln x1+ln x

2 f (x) = xex

(1+x)2

Ispitajte tok i skicirajte grafove funkcija

1 f (x) = xe−1x

2 f (x) = x2−1x2+1

3 f (x) = (x + 1) ln2(x + 1)

Primjena crtanja grafova na rjesavanjenealgebarskih jednadzbi

1 Rijesite jednadzbu x ln x = 1

2 Rijesite jednadzbu x + sin x = 1

3 Odredite nultocke funkcije f (x) = ln2 xx − 3x

Treca obavezna domaca zadaca

1 Izracunajte f ′(−1) za funkciju f (x) =3x2 − x − 2

x3 + x + 1.

2 Napisite jednadzbu tangente i normale na graf funkcijey = e−x

2−2x u tocki grafa s apscisom x = 0.

3 Odredite intervale rasta, pada i lokalne ekstreme funkcijef (x) = arctan(4x − x2).

4 Izracunajte limx→∞

π − 2 arctan x

e3x − 1

5 Ispitajte tok i skicirajte graf funkcije f (x) =ln x√x

Integrali i primjene. Definicija odredenogintegrala

Zadatak

Odredite velicinu povrsine omedene horizontalom y = 4,vertikalama x = 1 i x = 5, te osi apscisa OX .

Zapis zadatka:

Zadatak

Izracunajte velicinu povrsine odredene pravcem y = 2x , vertikalomx = 3 i osi OX . Zapis zadatka:

Zadatak

Izracunajte povrsinu ispod grafa funkcije f (x) = 2x + 1, a izmeduvertikala x = 2 i x = 6. Zapis zadatka:

Zadatak

Zapis zadatka:

Zadatak

Zapis zadatka:

Zadatak

Izracunajte velicinu povrsine odredene pravcem y = 2x , vertikalomx = 3 i osi OX .

Zapis zadatka:

Zadatak

Zapis zadatka:

Zadatak

Zapis zadatka:

Zadatak

Izracunajte povrsinu ispod grafa funkcije f (x) = 2x + 1, a izmeduvertikala x = 2 i x = 6.

Zapis zadatka:

Zadatak

Zapis zadatka:

Zadatak

Newton-Leibnitzova formula

Antiderivacija formule f (x) je formula F (x) koja ima svojstvoF ′(x) = f (x).

Teorem

Neka je F ′(x) = f (x) za x ∈ [a, b] ⊂ R. Tada je∫ b

af (x)dx = F (x)

∣∣∣∣ba

= F (b)− F (a).

Zadatak

Primjenom Teorema rijesite prethodne zadatke.

Teorem

Neka je F ′(x) = f (x) za x ∈ [a, b] ⊂ R. Tada je

af (x)dx = F (x)

∣∣∣∣ba

= F (b)− F (a).

Zadatak

Teorem

af (x)dx = F (x)

∣∣∣∣ba

= F (b)− F (a).

Zadatak

Teorem

af (x)dx = F (x)

∣∣∣∣ba

= F (b)− F (a).

Zadatak

Primjena Newton-Leibnitzove formule

Rijesite Newton-Leibnitzovom formulom nekoliko slijedecihzadataka.

1 Izracunati povrsinu koju omeduju graf funkcije y = 3x2,vertikalni pravci x = 1 i x = 3 i os apscsa: y = 0.

2 Izracunajte povrsinu koju omeduju hiperbola xy = 12, osapscisa i vertikale x = 2 i x = 6.

3 Koliko je velika jedna od povrsina koju sinusoida y = sin xzatvara s x-osi?

Neodredeni integral

Definicija

Postupak trazenja antiderivacije naziva se neodredenim integralom.

Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Ispisite tablicu neodredenih integrala

Neodredeni integral

Definicija

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Neodredeni integral

Definicija

Rjesenje problema je formula odredena do na aditivnu konstantu.

Odredite antiderivacije slijedecih funkcija:

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Neodredeni integral

Definicija

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Neodredeni integral

Definicija

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Neodredeni integral

Definicija

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Neodredeni integral

Definicija

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Neodredeni integral

Definicija

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Neodredeni integral

Definicija

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Neodredeni integral

Definicija

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Neodredeni integral

Definicija

∫xdx ,

∫x2dx

∫x4dx

∫xndx

∫ √xdx

Zadatak

Metode integriranja. Direktno integriranje

Teorem

Za neodredene integrale vrijedi∫(αf (x) + βg(x))dx = α

∫f (x)dx + β

∫g(x)dx .

Zadatak

Direktnim integriranjem odredite sljedece neodredene integrale:

(2 + x2)3dx ,

∫x2 + 2

x2 + 1dx

tan2 xdx ,

∫ √x − 2

3√x2 + 1

Teorem

∫f (x)dx + β

∫g(x)dx .

Zadatak

(2 + x2)3dx ,

∫x2 + 2

x2 + 1dx

tan2 xdx ,

∫ √x − 2

3√x2 + 1

Teorem

∫f (x)dx + β

∫g(x)dx .

Zadatak

(2 + x2)3dx ,

∫x2 + 2

x2 + 1dx

tan2 xdx ,

∫ √x − 2

3√x2 + 1

Teorem

∫f (x)dx + β

∫g(x)dx .

Zadatak

(2 + x2)3dx ,

∫x2 + 2

x2 + 1dx

tan2 xdx ,

∫ √x − 2

3√x2 + 1

Teorem

∫f (x)dx + β

∫g(x)dx .

Zadatak

(2 + x2)3dx ,

∫x2 + 2

x2 + 1dx

tan2 xdx ,

∫ √x − 2

3√x2 + 1

Metoda supstitucije. Prvi diferencijal

Prvi diferencijal formule f = f (x) je df = f ′(x)dx . Analogno, prvidiferencijal formule ϕ(t) je dϕ = ϕ′(t)dt.

Zadatak

Odredite prve diferencijale sljedecih funkcija:

1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3

2 f (x) = ln x ϕ(t) = t

Zadatak

Metodom supstitucije odgonetnuti

1∫ dx

2x + 3

∫ √3x + 5dx

2∫ 2

4x + 5

3− xdx

∫tgxdx

Zadatak

1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3

2 f (x) = ln x ϕ(t) = t

Zadatak

1∫ dx

2x + 3

∫ √3x + 5dx

2∫ 2

4x + 5

3− xdx

∫tgxdx

Zadatak

1 f (x) = 3x2 − 2

ϕ(t) = t3

2 f (x) = ln x ϕ(t) = t

Zadatak

1∫ dx

2x + 3

∫ √3x + 5dx

2∫ 2

4x + 5

3− xdx

∫tgxdx

Zadatak

1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3

2 f (x) = ln x

ϕ(t) = t

Zadatak

1∫ dx

2x + 3

∫ √3x + 5dx

2∫ 2

4x + 5

3− xdx

∫tgxdx

Zadatak

1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3

2 f (x) = ln x ϕ(t) = t

Zadatak

1∫ dx

2x + 3

∫ √3x + 5dx

2∫ 2

4x + 5

3− xdx

∫tgxdx

Zadatak

1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3

2 f (x) = ln x ϕ(t) = t

Zadatak

1∫ dx

2x + 3

∫ √3x + 5dx

2∫ 2

4x + 5

3− xdx

∫tgxdx

Zadatak

1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3

2 f (x) = ln x ϕ(t) = t

Zadatak

1∫ dx

2x + 3

∫ √3x + 5dx

2∫ 2

4x + 5

3− xdx

∫tgxdx

Zadatak

1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3

2 f (x) = ln x ϕ(t) = t

Zadatak

1∫ dx

2x + 3

∫ √3x + 5dx

2∫ 2

4x + 5

3− xdx

∫tgxdx

Zadatak

1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3

2 f (x) = ln x ϕ(t) = t

Zadatak

1∫ dx

2x + 3

∫ √3x + 5dx

2∫ 2

4x + 5

3− xdx

∫tgxdx

Zadatak

1 f (x) = 3x2 − 2 ϕ(t) = t3

2 f (x) = ln x ϕ(t) = t

Zadatak

1∫ dx

2x + 3

∫ √3x + 5dx

2∫ 2

4x + 5

3− xdx

∫tgxdx

Metoda supstitucije

Zadatak

1∫ dx√

2− 3x

∫ xdx

4 + 5x2

2∫ dx

(cos x + sin x)2

∫x2 3√

x3 − 8dx

3 Izracunajte povrsinu koju s osi 0X zatvara graf funkcijey = 2 sin(3x + π)

Zadatak

Nacrtajte graf funkcije y = tan x . Izracunajte povrsinu koju graffunkcije zatvara s osi 0X i vertikalom x = 1.57.

Metoda supstitucije

Zadatak

1∫ dx√

2− 3x

∫ xdx

4 + 5x2

2∫ dx

(cos x + sin x)2

∫x2 3√

x3 − 8dx

Zadatak

Metoda supstitucije

Zadatak

1∫ dx√

2− 3x

∫ xdx

4 + 5x2

2∫ dx

(cos x + sin x)2

∫x2 3√

x3 − 8dx

Zadatak

Metoda supstitucije

Zadatak

1∫ dx√

2− 3x

∫ xdx

4 + 5x2

2∫ dx

(cos x + sin x)2

∫x2 3√

x3 − 8dx

Zadatak

Metoda supstitucije

Zadatak

1∫ dx√

2− 3x

∫ xdx

4 + 5x2

2∫ dx

(cos x + sin x)2

∫x2 3√

x3 − 8dx

Zadatak

Metoda supstitucije

Zadatak

1∫ dx√

2− 3x

∫ xdx

4 + 5x2

2∫ dx

(cos x + sin x)2

∫x2 3√

x3 − 8dx

Zadatak

Rjesenja

1 Supstitucija 2− 3x = t2 vodi na dx = −2tdt3 i konacno daje

−∫

23dt = −2

3 t = −23

√2− 3x + c .

2 Uz 4 + 5x2 = t dobiva se∫

dt10x = 1

10 ln(4 + 5x2) + c .

3 Trik je transformacija∫

dxcos2 x(1+tan x)2 . Tada uzeti tan x = t.

Rjesenje je − 11+tan x + c .

414 (x3 − 8) 3

√x3 − 8.

6 7.14

Metoda parcijalne integracije

Dva faktora u podintegralnoj funkciji:∫f (x) · dx =

∫u(x) · dv(x) , gdje je dv(x) = v ′(x) · dx prvi

diferencijal. Nada da ce biti jednostavnije pogoditi:∫u(x) · dv(x) = u(x) · v(x)−

∫v(x) · du(x).

Primjer

Integrirati

ln xdx

∫arctan xdx

arcsin xdx∫

ln(x +√

1 + x2)dx

∫v(x) · du(x).

Primjer

Integrirati

ln xdx∫

arctan xdx

arcsin xdx∫

ln(x +√

1 + x2)dx

∫v(x) · du(x).

Primjer

Integrirati

ln xdx∫

arctan xdx

arcsin xdx

∫ln(x +

√1 + x2)dx

∫v(x) · du(x).

Primjer

Integrirati

ln xdx∫

arctan xdx

arcsin xdx∫

ln(x +√

1 + x2)dx

Zadaci za vjezbu

1 Izracunajte

1exdx . (4.67)

2 Izracunajte metodom supstitucije

2x − 1

3x + 4dx ( 12

9 −59 ln 1.6)

3 Nacrtajte graf funkcije y = 3 cos 2x i izracunajte jednu odpovrsina koju zatvara sa osi 0X . (3)

4 Odredite povrsinu koju zatvara vertikala x = 5, graf funkcijey = x2 − 2x − 3 i os 0X . (10.67)

5 Izracunajte

∫x cos xdx metodom parcijalne integracije.

(x sin x + cos x + c)

Slozeniji zadaci

1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X . (11.62)

2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije. (π)

3 Metodom parcijalne integracije izracunajte

1∫ 3

0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx

0x2e−xdx

x cos x dx∫e2x sin 3xdx

1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.

Slozeniji zadaci

1 Nacrtati graf y = arctan x . Izracunati povrsinu koju grafzatvara s vertikalom x = 10 i osi 0X .

(11.62)

1∫ 3

0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx

0x2e−xdx

1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.

Slozeniji zadaci

1∫ 3

0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx

0x2e−xdx

1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.

Slozeniji zadaci

2 Nacrtati graf funkcije f (x) = arccos x . Izracunati povrsinuispod grafa funkcije.

1∫ 3

0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx

0x2e−xdx

1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.

Slozeniji zadaci

1∫ 3

0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx

0x2e−xdx

1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.

Slozeniji zadaci

1∫ 3

0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx

0x2e−xdx

1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.

Slozeniji zadaci

1∫ 3

0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx

0x2e−xdx

1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.

Slozeniji zadaci

1∫ 3

0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx

0x2e−xdx

x cos x dx

∫e2x sin 3xdx

1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.

Slozeniji zadaci

1∫ 3

0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx

0x2e−xdx

1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.

Slozeniji zadaci

1∫ 3

0(3x2 + 2x) ln(x + 1)dx

0x2e−xdx

1 40.92 1.753 0.2854 F (fanatic) −10.

Univerzalna trigonometrijska supstitucija

2= t, sin x =

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2, dx =

1 + t2.

Zadatak

Odredite

∫sin x

sin x + cos xdx

∫ π2

4 sin x + 3 cos x + 5

2= t, sin x =

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2, dx =

1 + t2.

Zadatak

Odredite

∫sin x

sin x + cos xdx

∫ π2

4 sin x + 3 cos x + 5

2= t, sin x =

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2, dx =

1 + t2.

Zadatak

Odredite

∫sin x

sin x + cos xdx

∫ π2

4 sin x + 3 cos x + 5

2= t, sin x =

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2, dx =

1 + t2.

Zadatak

Odredite

∫sin x

sin x + cos xdx

∫ π2

4 sin x + 3 cos x + 5

2= t, sin x =

1 + t2, cos x =

1− t2

1 + t2, dx =

1 + t2.

Zadatak

Odredite

∫sin x

sin x + cos xdx

∫ π2

4 sin x + 3 cos x + 5

Integrali trigonometrijskih funkcija

∫ π

0.01ctg3x dx

∫ 2π

0sin2 x cos2 xdx

∫ 0.3

−0.3cos x cos 3x cos 5xdx

∫ 2π3

5− cos x

∫ 5π12

√tg x

sin x cos xdx .

∫ π

0.01ctg3x dx

∫ 2π

0sin2 x cos2 xdx

∫ 0.3

∫ 2π3

5− cos x

∫ 5π12

√tg x

sin x cos xdx .

∫ π

0.01ctg3x dx

∫ 2π

0sin2 x cos2 xdx

∫ 0.3

∫ 2π3

5− cos x

∫ 5π12

√tg x

sin x cos xdx .

∫ π

0.01ctg3x dx

∫ 2π

0sin2 x cos2 xdx

∫ 0.3

∫ 2π3

5− cos x

∫ 5π12

√tg x

sin x cos xdx .

∫ π

0.01ctg3x dx

∫ 2π

0sin2 x cos2 xdx

∫ 0.3

∫ 2π3

5− cos x

∫ 5π12

√tg x

sin x cos xdx .

∫ π

0.01ctg3x dx

∫ 2π

0sin2 x cos2 xdx

∫ 0.3

∫ 2π3

5− cos x

∫ 5π12

√tg x

sin x cos xdx .

Primjene odredenog integrala u geometriji

Zadatak

Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0. 11

Zadatak

Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y2 i osi y . 1256

Zadatak

Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y2 = 2x + 1 iy = x − 1. 16

Zadatak

U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama. 9

Zadatak

Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = x2 + x + 1,te pravcima x = 0, x = 1 i y = 0.

Zadatak

Izracunajte povrsinu omedenu krivuljom x = 6− y − y2 i osi y .

Zadatak

Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y2 = 2x + 1 iy = x − 1.

Zadatak

U tockama presjeka pravca x − y + 1 = 0 i paraboley = x2 − 4x + 5 povucene su tangente na parabolu. Izracunajtepovrsinu omedenu parabolom i tangentama.

Zadatak

Ispitni zadaci

Zadatak

Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = 2x ihorizontalom y = 8.

Zadatak

Izracunajte povrsinu omedenu grafom funkcije f (x) = ln x i

vertikalama x =1

ei x = e.

Zadatak

Izracunajte jednu od povrsina koje graf funkcijey = − sin(3x − 2π) zatvara s osi 0x .

Ispitni zadaci

Zadatak

vertikalama x =1

ei x = e.

Zadatak

Ispitni zadaci

Zadatak

vertikalama x =1

ei x = e.

Zadatak

Ispitni zadaci

Zadatak

vertikalama x =1

ei x = e.

Zadatak

Ispitni zadaci

Zadatak

vertikalama x =1

ei x = e.

Zadatak

Dopunski zadaci

1 Izracunajte neposredno

x−√

2 Odredite metodom supstitucije

∫3x2 − x

3x − 1dx .

3 Izracunajte metodom parcijalne integracije

1x ln x dx .

4 Nacrtajte graf funkcije f (x) = ln x . Izracunajte povrsinu ispodgrafa funkcije omedenu vertikalom x = 10 i osi 0X .

5 Izracunajte velicinu povrsine omedene parabolom y = 4− x2 ipravcem y = x + 2.

Dopunski zadaci

1 Izracunajte neposredno

x−√

2 Odredite metodom supstitucije

∫3x2 − x

3x − 1dx .

3 Izracunajte metodom parcijalne integracije

1x ln x dx .

4 Nacrtajte graf funkcije f (x) = ln x . Izracunajte povrsinu ispodgrafa funkcije omedenu vertikalom x = 10 i osi 0X .

5 Izracunajte velicinu povrsine omedene parabolom y = 4− x2 ipravcem y = x + 2.

Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf ·...

Documents

Transcript of Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Novosti/nastava_izvanrednih.pdf ·...

Matematika 1 - 6. vaja - mat03.fe.uni-lj.simat03.fe.uni-lj.si/html/sola/Sandbox/FE/UNI/matematika_1/VAJE... · Odvod funkcije Diferencial in ekstremalni problemi Graﬁ Funkcij Poisˇci

Matematika 1 - 1. vajamatematika.fe.uni-lj.si/html/sola/Sandbox/FE/UNI/matematika_1/VAJ… · Matematika 1 1. vaja B. Jurciˇ c Zlobecˇ 1 1Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko

Matematika - MATEMATIKA

Pregled elementarnih funkcij - matematika.fe.uni-lj.simatematika.fe.uni-lj.si/html/sola/Sandbox/FE/VSS/matematika_1/Mat1vs... · Kotne funkcije so sinus, kosinus, tangens in kotangens.

Matematika 2 - FPZe-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_II/Novosti/...Kona cna suma Zbrojiti a + aq + aq2 + + aqn 1 = a 1 qn 1 q Zadatak Izra cunajte vrijednost svih uplata od po

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/A/Arhitektura_telekomunikacijske_mreze/... · Arhitektura telekomunikacijske mreže Mobilni Mobilni kumunikacijski

Matematika 1 - mat03.fe.uni-lj.simat03.fe.uni-lj.si/html/sola/Sandbox/FE/UNI/matematika_1/Predavanja... · Stevilske mnoˇziceˇ Cela ˇstevila Racionalna ˇstevila Primer ˇStevilo

Matematika 1-4. évfolyamsarkadaltisk1.hu/wordpress/wp-content/uploads/Matematika_1-4.pdf · Ének-zene: ritmus, taps. Magyar nyelv és irodalom: mesékben előforduló számok. Számok

Danko 1P., Popov A., Kozhevnikova T. Vysshaja matematika_1

1.évfolyam - mfai.hu tanterv/matematika_1-4.pdf · - Egyszerű matematikai szakkifejezések, jelölések megismertetése. - Az összehasonlítás képességének fejlesztése. -

Matematika 1 - 3. vajamatematika.fe.uni-lj.si/html/sola/Sandbox/FE/UNI/matematika_1/VAJE... · Matematika 1 3. vaja B. Jurciˇ c Zlobecˇ 1 1Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko

babagay-schkola.narod.rubabagay-schkola.narod.ru/matematika_1-4_klass.docx · Web viewКОД Проверяемые умения РАЗдел «Числа и величины» 1.1

MATEMATIKA - mathos.unios.hrmihaela/Matematika_1/Knjige/Matematika_CJS.… · ⇒ A⇒ B znakimplikacije.IzA slijediB ⇔ A⇔ B znakekvivalencije.IzA slijediB iizB slijediA

Matematika 1 - 4. vajamatematika.fe.uni-lj.si/html/sola/Sandbox/FE/UNI/matematika_1/VAJE... · Matematika 1 4. vaja B. Jurciˇ c Zlobecˇ 1 1Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko

Sveska Matematika_1 v1

Matematika 1 - e-Studente-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_1/Materijali/Predavanja_2.pdf · Literatura Maru si c: Matematika 1 Minorski: Zbirka zadataka iz vi se matematike Demidovi

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКАinternatplat.ucoz.ru/.../Rab_prog19-20/matematika_1-4.pdf · 2019-12-21 · 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая

DIJAGNOSTIKA - e-student.fpz.hre-student.fpz.hr/Predmeti/O/Odrzavanje_vozila_javnog_gradskog... · OSNOVE DIJAGNOSTIKE STANJA Fizičke osnove dijagnostike Tehnička dijagnostika je

Matematika Matematika Matematika Geográfia Informatika ...

afsosh.ucoz.netafsosh.ucoz.net/obrazovanie/prog_HOO/matematika_1-4.docx · Web viewЧисло и цифра 4, состав числа 4. Письмо цифры 4. И спользовать