Matematika 2 - FPZe-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_II/Novosti/...Kona cna suma Zbrojiti a + aq...

Matematika 2

Bozidar Ivankovic

Proljece, 2012, izvanredna nastava

Bozidar Ivankovic Matematika 2

Matematika 2

Odabrana poglavlja matematike:

I Redovi brojeva i funkcija

I Analiza funkcija vise varijabli

I Visestruki integrali

I Diferencijalne jednadzbe

I Matrice i linearni sustavi jednadzbi

Literatura:Elizabeta Kovac Striko: Matematika 2

Matematika 2

Literatura:

Elizabeta Kovac Striko: Matematika 2

Matematika 2

Konacna suma

Zbrojiti a + aq + aq2 + · · ·+ aqn−1 = a1− qn

1− q

ZadatakIzracunajte vrijednost svih uplata od po R = 100 novcanih jedinicakoje su uplacivane svakog prvog u mjesecu, a na kraju prve godine.Kamatnjak p = 0.2% mjesecno.

ZadatakIzracunajte kojom ce svotom raspolagati onaj koji se odluci 35godina uplacivati po 100 novcanih jedinica svakog prvog umjesecu. Kamatnjak uobicajen, 0.2% mjesecno.

Konacna suma

Zbrojiti a + aq + aq2 + · · ·+ aqn−1 =

a1− qn

1− q

Konacna suma

1− q

Konacna suma

1− q

Konacna suma

1− q

Beskonacna suma

Geometrijski red je a + aq + aq2 + · · ·+ aqn + · · ·

n-te parcijalne suma reda: 1 + q + q2 + · · ·+ qn =1− qn+1

1− q

Suma reda je limn→∞

1− qn+1

1− q

Suma reda postoji za |q| < 1:∞∑n=0

1− q.

Primjer

Tvornica ulja proizvela je u proslom mjesecu 6000 litara ulja iodlucila svaki iduci mjesec proizvoditi 40% manje ulja negoprethodni mjesec. Koliko ulja ce ukupno proizvesti?

Beskonacna suma

n-te parcijalne suma reda:

1 + q + q2 + · · ·+ qn =1− qn+1

1− q

1− qn+1

1− q

1− q.

Primjer

Beskonacna suma

1− q

1− qn+1

1− q

1− q.

Primjer

Beskonacna suma

1− q

Suma reda je

limn→∞

1− qn+1

1− q

1− q.

Primjer

Beskonacna suma

1− q

1− qn+1

1− q

1− q.

Primjer

Beskonacna suma

1− q

1− qn+1

1− q

Suma reda postoji za |q| < 1:

∞∑n=0

1− q.

Primjer

Beskonacna suma

1− q

1− qn+1

1− q

1− q.

Primjer

Beskonacna suma

1− q

1− qn+1

1− q

1− q.

Primjer

Definicija redova brojeva i primjeri

Zapis:∞∑n=1

an = a1 + a2 + · · ·+ an + · · · .

Zapisite i pokusajte zbrojiti redove:

1. 1 +1

7+ · · ·

2. 4− 4

5− 4

7+ · · ·

3. 1 + 1 +1

1 · 2+

1 · 2 · 3+

1 · 2 · 3 · 4+ · · ·

60+ · · ·

4− 4

16− 6

25+ · · ·

14+ · · ·

7. 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · ·8. 1 +

2+ 3 +

4+ 5 +

6+ · · ·

Zapis:

∞∑n=1

an = a1 + a2 + · · ·+ an + · · · .

1. 1 +1

7+ · · ·

2. 4− 4

5− 4

7+ · · ·

3. 1 + 1 +1

1 · 2+

1 · 2 · 3+

1 · 2 · 3 · 4+ · · ·

60+ · · ·

4− 4

16− 6

25+ · · ·

14+ · · ·

7. 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · ·8. 1 +

2+ 3 +

4+ 5 +

6+ · · ·

Zapis:∞∑n=1

an = a1 + a2 + · · ·+ an + · · · .

1. 1 +1

7+ · · ·

2. 4− 4

5− 4

7+ · · ·

3. 1 + 1 +1

1 · 2+

1 · 2 · 3+

1 · 2 · 3 · 4+ · · ·

60+ · · ·

4− 4

16− 6

25+ · · ·

14+ · · ·

7. 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · ·8. 1 +

2+ 3 +

4+ 5 +

6+ · · ·

Zapis:∞∑n=1

an = a1 + a2 + · · ·+ an + · · · .

1. 1 +1

7+ · · ·

2. 4− 4

5− 4

7+ · · ·

3. 1 + 1 +1

1 · 2+

1 · 2 · 3+

1 · 2 · 3 · 4+ · · ·

60+ · · ·

4− 4

16− 6

25+ · · ·

14+ · · ·

7. 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · ·8. 1 +

2+ 3 +

4+ 5 +

6+ · · ·

Zapis:∞∑n=1

an = a1 + a2 + · · ·+ an + · · · .

1. 1 +1

7+ · · ·

2. 4− 4

5− 4

7+ · · ·

3. 1 + 1 +1

1 · 2+

1 · 2 · 3+

1 · 2 · 3 · 4+ · · ·

60+ · · ·

4− 4

16− 6

25+ · · ·

14+ · · ·

7. 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · ·8. 1 +

2+ 3 +

4+ 5 +

6+ · · ·

Zapis:∞∑n=1

an = a1 + a2 + · · ·+ an + · · · .

1. 1 +1

7+ · · ·

2. 4− 4

5− 4

7+ · · ·

3. 1 + 1 +1

1 · 2+

1 · 2 · 3+

1 · 2 · 3 · 4+ · · ·

60+ · · ·

4− 4

16− 6

25+ · · ·

14+ · · ·

7. 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · ·8. 1 +

2+ 3 +

4+ 5 +

6+ · · ·

Zapis:∞∑n=1

an = a1 + a2 + · · ·+ an + · · · .

1. 1 +1

7+ · · ·

2. 4− 4

5− 4

7+ · · ·

3. 1 + 1 +1

1 · 2+

1 · 2 · 3+

1 · 2 · 3 · 4+ · · ·

60+ · · ·

4− 4

16− 6

25+ · · ·

14+ · · ·

7. 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · ·8. 1 +

2+ 3 +

4+ 5 +

6+ · · ·

Zapis:∞∑n=1

an = a1 + a2 + · · ·+ an + · · · .

1. 1 +1

7+ · · ·

2. 4− 4

5− 4

7+ · · ·

3. 1 + 1 +1

1 · 2+

1 · 2 · 3+

1 · 2 · 3 · 4+ · · ·

60+ · · ·

4− 4

16− 6

25+ · · ·

14+ · · ·

7. 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · ·8. 1 +

2+ 3 +

4+ 5 +

6+ · · ·

Zapis:∞∑n=1

an = a1 + a2 + · · ·+ an + · · · .

1. 1 +1

7+ · · ·

2. 4− 4

5− 4

7+ · · ·

3. 1 + 1 +1

1 · 2+

1 · 2 · 3+

1 · 2 · 3 · 4+ · · ·

60+ · · ·

4− 4

16− 6

25+ · · ·

14+ · · ·

7. 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · ·8. 1 +

2+ 3 +

4+ 5 +

6+ · · ·

Zapis:∞∑n=1

an = a1 + a2 + · · ·+ an + · · · .

1. 1 +1

7+ · · ·

2. 4− 4

5− 4

7+ · · ·

3. 1 + 1 +1

1 · 2+

1 · 2 · 3+

1 · 2 · 3 · 4+ · · ·

60+ · · ·

4− 4

16− 6

25+ · · ·

14+ · · ·

7. 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · ·8. 1 +

2+ 3 +

4+ 5 +

6+ · · ·

Zapis:∞∑n=1

an = a1 + a2 + · · ·+ an + · · · .

1. 1 +1

7+ · · ·

2. 4− 4

5− 4

7+ · · ·

3. 1 + 1 +1

1 · 2+

1 · 2 · 3+

1 · 2 · 3 · 4+ · · ·

60+ · · ·

4− 4

16− 6

25+ · · ·

14+ · · ·

7. 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · ·

8. 1 +1

2+ 3 +

4+ 5 +

6+ · · ·

Zapis:∞∑n=1

an = a1 + a2 + · · ·+ an + · · · .

1. 1 +1

7+ · · ·

2. 4− 4

5− 4

7+ · · ·

3. 1 + 1 +1

1 · 2+

1 · 2 · 3+

1 · 2 · 3 · 4+ · · ·

60+ · · ·

4− 4

16− 6

25+ · · ·

14+ · · ·

7. 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · ·8. 1 +

2+ 3 +

4+ 5 +

6+ · · ·

Konvergencija. Apsolutna konvergencija

Apsolutna konvergencija - konvergencija reda s pozitivnimclanovima.

Ako red konvergira apsolutno - onda konvergira za svaki izborpredznaka.

Ako red ne konvergira apsolutno moze konvergirati uvjetno.

Primjer

Konvergiraju redovi

1− 1

9− 1

16− 1

81− · · ·

1− 1√2

+1√3− 1√

1√5− · · ·

Apsolutna konvergencija -

konvergencija reda s pozitivnimclanovima.

Primjer

Konvergiraju redovi

1− 1

9− 1

16− 1

81− · · ·

1− 1√2

+1√3− 1√

1√5− · · ·

Primjer

Konvergiraju redovi

1− 1

9− 1

16− 1

81− · · ·

1− 1√2

+1√3− 1√

1√5− · · ·

Ako red konvergira apsolutno -

onda konvergira za svaki izborpredznaka.

Primjer

Konvergiraju redovi

1− 1

9− 1

16− 1

81− · · ·

1− 1√2

+1√3− 1√

1√5− · · ·

Primjer

Konvergiraju redovi

1− 1

9− 1

16− 1

81− · · ·

1− 1√2

+1√3− 1√

1√5− · · ·

Primjer

Konvergiraju redovi

1− 1

9− 1

16− 1

81− · · ·

1− 1√2

+1√3− 1√

1√5− · · ·

Primjer

Konvergiraju redovi

1− 1

9− 1

16− 1

81− · · ·

1− 1√2

+1√3− 1√

1√5− · · ·

Primjer

Konvergiraju redovi

1− 1

9− 1

16− 1

81− · · ·

1− 1√2

+1√3− 1√

1√5− · · ·

Primjer

Konvergiraju redovi

1− 1

9− 1

16− 1

81− · · ·

1− 1√2

+1√3− 1√

1√5− · · ·

D’Alembertov kriterij apsolutne konvergencije...

Neka je limn→∞

∣∣∣∣an+1

∣∣∣∣ = |q|,

Ako je |q| < 1 onda∑

an apsolutno konvergira.

Ako je |q| > 1, onda∑

an apsolutno divergira.

Ako je |q| = 1, onda D’Alembertov kriterij ne daje odlukuo konvergenciji.

ZadatakIspitajte konvergenciju reda

∞∑n=1

Neka je limn→∞

∣∣∣∣an+1

∣∣∣∣ = |q|,

∞∑n=1

Neka je limn→∞

∣∣∣∣an+1

∣∣∣∣ = |q|,

Ako je |q| < 1

onda∑

∞∑n=1

Neka je limn→∞

∣∣∣∣an+1

∣∣∣∣ = |q|,

∞∑n=1

Neka je limn→∞

∣∣∣∣an+1

∣∣∣∣ = |q|,

Ako je |q| > 1,

onda∑

∞∑n=1

Neka je limn→∞

∣∣∣∣an+1

∣∣∣∣ = |q|,

∞∑n=1

Neka je limn→∞

∣∣∣∣an+1

∣∣∣∣ = |q|,

Ako je |q| = 1,

onda D’Alembertov kriterij ne daje odlukuo konvergenciji.

∞∑n=1

Neka je limn→∞

∣∣∣∣an+1

∣∣∣∣ = |q|,

∞∑n=1

Neka je limn→∞

∣∣∣∣an+1

∣∣∣∣ = |q|,

∞∑n=1

Rjesenje:

Nuzan uvjet konvergencije

limn→∞

3 · 6 · 9 · · · 3n

n · n · n · · · n= 0

D’Alambertov uvjet:

limn→∞

3n+1(n+1)!(n+1)n+1

3n·n!nn

= limn→∞

3 · nn

(n + 1)n

= 3 · limn→∞

(1 + 1n )n

= 3 · 1

ukazuje na apsolutnu divergenciju.

Rjesenje:

limn→∞

3 · 6 · 9 · · · 3n

n · n · n · · · n= 0

limn→∞

3n+1(n+1)!(n+1)n+1

3n·n!nn

= limn→∞

3 · nn

(n + 1)n

= 3 · limn→∞

(1 + 1n )n

= 3 · 1

Rjesenje:

limn→∞

3 · 6 · 9 · · · 3n

n · n · n · · · n= 0

limn→∞

3n+1(n+1)!(n+1)n+1

3n·n!nn

= limn→∞

3 · nn

(n + 1)n

= 3 · limn→∞

(1 + 1n )n

= 3 · 1

Rjesenje:

limn→∞

3 · 6 · 9 · · · 3n

n · n · n · · · n= 0

limn→∞

3n+1(n+1)!(n+1)n+1

3n·n!nn

= limn→∞

3 · nn

(n + 1)n

= 3 · limn→∞

(1 + 1n )n

= 3 · 1

Rjesenje:

limn→∞

3 · 6 · 9 · · · 3n

n · n · n · · · n= 0

limn→∞

3n+1(n+1)!(n+1)n+1

3n·n!nn

= limn→∞

3 · nn

(n + 1)n

= 3 · limn→∞

(1 + 1n )n

= 3 · 1

Rjesenje:

limn→∞

3 · 6 · 9 · · · 3n

n · n · n · · · n= 0

limn→∞

3n+1(n+1)!(n+1)n+1

3n·n!nn

= limn→∞

3 · nn

(n + 1)n

= 3 · limn→∞

(1 + 1n )n

= 3 · 1

Rjesenje:

limn→∞

3 · 6 · 9 · · · 3n

n · n · n · · · n= 0

limn→∞

3n+1(n+1)!(n+1)n+1

3n·n!nn

= limn→∞

3 · nn

(n + 1)n

= 3 · limn→∞

(1 + 1n )n

= 3 · 1

Cauchyjev kriterij apsolutne konvergencije...

Neka je limn→∞

n√|an| = |q|,

Ako je |q| < 1, onda red∑

Ako je |q| > 1, onda red∑

Ako je limn→∞

n√|an| = |q| = 1, onda Cauchyjev kriterij ne

daje odluku o konvergenciji.

Neka je limn→∞

n√|an| = |q|,

Ako je limn→∞

Neka je limn→∞

n√|an| = |q|,

Ako je limn→∞

Neka je limn→∞

n√|an| = |q|,

Ako je |q| > 1,

onda red∑

Ako je limn→∞

Neka je limn→∞

n√|an| = |q|,

Ako je limn→∞

Neka je limn→∞

n√|an| = |q|,

Ako je limn→∞

n√|an| = |q| = 1,

onda Cauchyjev kriterij ne

Neka je limn→∞

n√|an| = |q|,

Ako je limn→∞

Zadatak

Ispitati konvergenciju

∞∑n=1

(−1)n+1n(3

Konvergenira

Primjenimo li Cauchyjev kriterij, dobiva se apsolutna konvergencija:

limn→∞

√∣∣∣∣(−1)n+1n(3

4)n∣∣∣∣ = lim

n→∞n

√| − 1|n+1n(

= limn→∞

Konvergenira

limn→∞

√∣∣∣∣(−1)n+1n(3

4)n∣∣∣∣ = lim

n→∞n

√| − 1|n+1n(

= limn→∞

Konvergenira

limn→∞

√∣∣∣∣(−1)n+1n(3

4)n∣∣∣∣ =

limn→∞

√| − 1|n+1n(

= limn→∞

Konvergenira

limn→∞

√∣∣∣∣(−1)n+1n(3

4)n∣∣∣∣ = lim

n→∞n

√| − 1|n+1n(

= limn→∞

Konvergenira

limn→∞

√∣∣∣∣(−1)n+1n(3

4)n∣∣∣∣ = lim

n→∞n

√| − 1|n+1n(

= limn→∞

Konvergenira

limn→∞

√∣∣∣∣(−1)n+1n(3

4)n∣∣∣∣ = lim

n→∞n

√| − 1|n+1n(

= limn→∞

Konvergenira

limn→∞

√∣∣∣∣(−1)n+1n(3

4)n∣∣∣∣ = lim

n→∞n

√| − 1|n+1n(

= limn→∞

Dirichletovi redovi i konvergencija

Nuzan uvjet konvergencije∞∑n=1

an je limn→∞

an = 0

Dirichletovi redovi su oblika∞∑n=1

Konvergencija - ako je p > 1.

Divergencija - ako je p ≤ 1.

ZadatakDemonstrirati u Excelu konvergenciju, odnosno divergencijuDirichletovih redova.

an je limn→∞

an = 0

an je limn→∞

an = 0

an je limn→∞

an = 0

an je limn→∞

an = 0

Konvergencija -

ako je p > 1.

an je limn→∞

an = 0

an je limn→∞

an = 0

Divergencija -

ako je p ≤ 1.

an je limn→∞

an = 0

an je limn→∞

an = 0

Usporedba apsolutno konvergentnih redova

Ako konvergira∑

an, onda konvergira i red∑

bn s manjimclanovima

Ako divergira∑

an, onda divergira i red∑

bn s vecim clanovima

Zadatak

Napisati prvih pet clanova reda∞∑n=1

n3i ispitati konvergenciju.

Ako konvergira∑

Ako divergira∑

Zadatak

Ako konvergira∑

Ako divergira∑

Zadatak

Ako konvergira∑

Ako divergira∑

Zadatak

Usporedivanje redova

Teorem

Ako je limn→∞

= L 6= 0,±∞, onda∞∑n=1

bn i∞∑n=1

an zajedno

konvergiraju ili divergiraju.

Teorem

Ako je limn→∞

= L 6= 0,±∞,

onda∞∑n=1

bn i∞∑n=1

an zajedno

Teorem

Ako je limn→∞

= L 6= 0,±∞, onda∞∑n=1

bn i∞∑n=1

zajedno

Teorem

Ako je limn→∞

= L 6= 0,±∞, onda∞∑n=1

bn i∞∑n=1

an zajedno

Ispitivanje konvergencije

Ispitajte konvergenciju slijedecih redova:

1.∞∑n=2

2n + 1

n − 1

2.∞∑n=1

n2 − 2n − 1

3.∞∑n=2

n3 − 1

4.∞∑n=2

√n + 1

n2 − 1

1.∞∑n=2

2n + 1

n − 1

2.∞∑n=1

n2 − 2n − 1

3.∞∑n=2

n3 − 1

4.∞∑n=2

√n + 1

n2 − 1

1.∞∑n=2

2n + 1

n − 1

2.∞∑n=1

n2 − 2n − 1

3.∞∑n=2

n3 − 1

4.∞∑n=2

√n + 1

n2 − 1

1.∞∑n=2

2n + 1

n − 1

2.∞∑n=1

n2 − 2n − 1

3.∞∑n=2

n3 − 1

4.∞∑n=2

√n + 1

n2 − 1

1.∞∑n=2

2n + 1

n − 1

2.∞∑n=1

n2 − 2n − 1

3.∞∑n=2

n3 − 1

4.∞∑n=2

√n + 1

n2 − 1

1.∞∑n=2

2n + 1

n − 1

2.∞∑n=1

n2 − 2n − 1

3.∞∑n=2

n3 − 1

4.∞∑n=2

√n + 1

n2 − 1

Leibnitzov kriterij

Alternirani red je red∞∑n=0

(−1)n|an|.

Leibnitzova uvjetna konvergencija ima dva uvjeta:

1. nuzan uvjet limn→∞

an = 0.

2. dovoljan uvjet |an| > |an+1|.

ZadatakIspitajte konvergenciju reda 1− 1√

2+ 1√

3− · · · .

Leibnitzov kriterij

(−1)n|an|.

an = 0.

2+ 1√

3− · · · .

Leibnitzov kriterij

(−1)n|an|.

an = 0.

2+ 1√

3− · · · .

Leibnitzov kriterij

(−1)n|an|.

an = 0.

1− 1√2

+ 1√3− · · · .

Leibnitzov kriterij

(−1)n|an|.

an = 0.

2+ 1√

3− · · · .

Ispitajte konvergenciju

1.∞∑n=0

2.∞∑n=1

(−1)n

n ·√

3.∞∑n=1

(−1)n−1 2n + 1

n(n + 1)

4.1√2

2+ · · ·+ 2n − 1

2)n+ · · ·

5.∞∑n=1

2 · 5 · 8 · · · (3n − 1)

1 · 5 · 9 · · · (4n − 3)

6.∞∑n=1

2n + 1

1.∞∑n=0

2.∞∑n=1

(−1)n

n ·√

3.∞∑n=1

(−1)n−1 2n + 1

n(n + 1)

4.1√2

2+ · · ·+ 2n − 1

2)n+ · · ·

5.∞∑n=1

2 · 5 · 8 · · · (3n − 1)

1 · 5 · 9 · · · (4n − 3)

6.∞∑n=1

2n + 1

1.∞∑n=0

2.∞∑n=1

(−1)n

n ·√

3.∞∑n=1

(−1)n−1 2n + 1

n(n + 1)

4.1√2

2+ · · ·+ 2n − 1

2)n+ · · ·

5.∞∑n=1

2 · 5 · 8 · · · (3n − 1)

1 · 5 · 9 · · · (4n − 3)

6.∞∑n=1

2n + 1

1.∞∑n=0

2.∞∑n=1

(−1)n

n ·√

3.∞∑n=1

(−1)n−1 2n + 1

n(n + 1)

4.1√2

2+ · · ·+ 2n − 1

2)n+ · · ·

5.∞∑n=1

2 · 5 · 8 · · · (3n − 1)

1 · 5 · 9 · · · (4n − 3)

6.∞∑n=1

2n + 1

1.∞∑n=0

2.∞∑n=1

(−1)n

n ·√

3.∞∑n=1

(−1)n−1 2n + 1

n(n + 1)

4.1√2

2+ · · ·+ 2n − 1

2)n+ · · ·

5.∞∑n=1

2 · 5 · 8 · · · (3n − 1)

1 · 5 · 9 · · · (4n − 3)

6.∞∑n=1

2n + 1

1.∞∑n=0

2.∞∑n=1

(−1)n

n ·√

3.∞∑n=1

(−1)n−1 2n + 1

n(n + 1)

4.1√2

2+ · · ·+ 2n − 1

2)n+ · · ·

5.∞∑n=1

2 · 5 · 8 · · · (3n − 1)

1 · 5 · 9 · · · (4n − 3)

6.∞∑n=1

2n + 1

1.∞∑n=0

2.∞∑n=1

(−1)n

n ·√

3.∞∑n=1

(−1)n−1 2n + 1

n(n + 1)

4.1√2

2+ · · ·+ 2n − 1

2)n+ · · ·

5.∞∑n=1

2 · 5 · 8 · · · (3n − 1)

1 · 5 · 9 · · · (4n − 3)

6.∞∑n=1

2n + 1

Rjesenja

1. (konvergira po Cauchyu)

2. (konvergira apsolutno zbog∑

3. (apsolutno, u limesu sa harmonijskim redom divergira, no red je alternirani clanovi reda apsolutno cine silazan niz, pa red uvjetno konvergira.)

4. (konvergira po Cauchyju.)

5. (konvergira po D’Alembertu.)

6. (divergira jer nuzan uvjet nije zadovoljen.)

Rjesenja

Ispitajte za domacu zadacu

1.∞∑n=1

2n−1

(n − 1)!

2.∞∑n=1

2n−1

3.∞∑n=1

4.∞∑n=1

n + 1)n

5.∞∑n=1

Rjesenja

1. (konvergira po D’Alambertovom kriteriju.)

2. (konvergira po Cauchyu.)

3. (konvergira po D’Alembertovom kriteriju.)

4. (konvergira po Cauchyjevom kriteriju, jer

limn→∞

n + 1)n = lim

n→∞

(1 + 1n

5.∞∑n=1

nn(divergira i to po, zbog faktorijele, jedino primjenjivom

kriteriju D’Alemberta.)

Red funkcija

Niz funkcija - f1(x), f2(x), . . . , fn(x), . . .

Red funkcija -∞∑n=1

fn(x).

Podrucje konvergencije - interval I ∈ R takav da za svaki x ∈ I

red∞∑n=1

fn(x) konvergira kao red brojeva.

Funkcija razvijena u red - f (x) =∑∞

n=1 fn(x).

Red funkcija

Niz funkcija -

f1(x), f2(x), . . . , fn(x), . . .

fn(x).

red∞∑n=1

n=1 fn(x).

Red funkcija

fn(x).

red∞∑n=1

n=1 fn(x).

Red funkcija

Red funkcija -

∞∑n=1

fn(x).

red∞∑n=1

n=1 fn(x).

Red funkcija

fn(x).

red∞∑n=1

n=1 fn(x).

Red funkcija

fn(x).

Podrucje konvergencije -

interval I ∈ R takav da za svaki x ∈ I

red∞∑n=1

n=1 fn(x).

Red funkcija

fn(x).

red∞∑n=1

n=1 fn(x).

Red funkcija

fn(x).

red∞∑n=1

Funkcija razvijena u red -

f (x) =∑∞

n=1 fn(x).

Red funkcija

fn(x).

red∞∑n=1

n=1 fn(x).

Garancija apsolutne konvergencije

Cauchyjeva - limn→∞

n√|an| < 1

D’Alembertova - limn→∞

∣∣∣∣an+1

∣∣∣∣ < 1

Posebno: konvergencija u granicnim tockama.

Zadatak

Odredite podrucje konvergencije reda∞∑n=1

(2x − 1)ni ispitajte

ponasanje na rubovima intervala.

ZadatakOdredite podrucje konvergencije reda∞∑n=3

1 · 3 · · · (2n − 1)

1 · 2 · · · n

1 + x2

i ispitati ponasanje na rubovima.

intervala.

Cauchyjeva -

limn→∞

n√|an| < 1

∣∣∣∣an+1

∣∣∣∣ < 1

Zadatak

1 · 3 · · · (2n − 1)

1 · 2 · · · n

1 + x2

intervala.

n√|an| < 1

∣∣∣∣an+1

∣∣∣∣ < 1

Zadatak

1 · 3 · · · (2n − 1)

1 · 2 · · · n

1 + x2

intervala.

n√|an| < 1

D’Alembertova -

limn→∞

∣∣∣∣an+1

∣∣∣∣ < 1

Zadatak

1 · 3 · · · (2n − 1)

1 · 2 · · · n

1 + x2

intervala.

n√|an| < 1

∣∣∣∣an+1

∣∣∣∣ < 1

Zadatak

1 · 3 · · · (2n − 1)

1 · 2 · · · n

1 + x2

intervala.

n√|an| < 1

∣∣∣∣an+1

∣∣∣∣ < 1

Zadatak

1 · 3 · · · (2n − 1)

1 · 2 · · · n

1 + x2

intervala.

n√|an| < 1

∣∣∣∣an+1

∣∣∣∣ < 1

Zadatak

1 · 3 · · · (2n − 1)

1 · 2 · · · n

1 + x2

intervala.

n√|an| < 1

∣∣∣∣an+1

∣∣∣∣ < 1

Zadatak

1 · 3 · · · (2n − 1)

1 · 2 · · · n

1 + x2

intervala.

Ispitajte konvergencije redova:

1.∞∑n=1

2.∞∑n=1

3.∞∑n=1

en(x−1)

4.∞∑n=1

5.∞∑n=1

2n(ln x)n

Rjesenja:

1. Cauchy daje konvergenciju za x ∈< −∞, 0 >2. D’Alembert x ∈ R \ 0

3. Cauchy x ∈< −∞, 1 >4. D’Alembert daje divergenciju na cijelom R

5. Cauchy x ∈ [e−12 , e

Ispitajte konvergencije redova:

1.∞∑n=1

(ln x)n

n2 · 5n

2.∞∑n=1

(2x + 3)n

3.∞∑n=1

en2 · xn2

4.∞∑n=1

(ln x)n

Rjesenja:

1. Cauchy x ∈ [e−5, e5]

2. Cauchy x ∈ [−2,−1 >

3. Cauchy vodi na zahtjev limn |ex |n < 1 koji je jedino ispunjenza |ex | < 1, pa red konvergira za x ∈< −1

e ,1e >.

4. x ∈< e−3, e3 >

Red potencija

Red potencija oko realnog broja c ∈ R s koeficijentima cn ∈ R jered oblika

∞∑n=0

cn(x−c)n = c0 + c1(x−c) + c2(x−c)2 + · · ·+ cn(x−c)n + · · ·

ZadatakOdrediti interval konvergencije reda

(x − 2) +(x − 2)2

2 · 10+

(x − 2)3

3 · 102+

(x − 2)4

4 · 103+ · · · .

Red potencija

∞∑n=0

(x − 2) +(x − 2)2

2 · 10+

(x − 2)3

3 · 102+

(x − 2)4

4 · 103+ · · · .

Red potencija

∞∑n=0

(x − 2) +(x − 2)2

2 · 10+

(x − 2)3

3 · 102+

(x − 2)4

4 · 103+ · · · .

Ispitajte konvergenciju redova

1. ∑ xn

2. ∑ xn

n · 2n3. ∑ (3n − 2)(x − 3)n

(n + 1)2 · 2n+1

Rjesenja

1. D’Alembert x ∈ R

2. Cauchy x ∈ [−2, 2 >

3. D’Alembert vodi na |x−3|2 < 1 i dobiva se x ∈ [−1, 5 >

Ispitajte konvergenciju slijedecih redova

1. ∑(−1)n

(x − 2)n

2. ∑ n5(x + 5)n

(n + 1)!

x − 1

2)4 + · · ·

1. ∑(−1)n

(x − 2)n

2. ∑ n5(x + 5)n

(n + 1)!

x − 1

2)4 + · · ·

1. ∑(−1)n

(x − 2)n

2. ∑ n5(x + 5)n

(n + 1)!

x − 1

2)4 + · · ·

1. ∑(−1)n

(x − 2)n

2. ∑ n5(x + 5)n

(n + 1)!

x − 1

2)4 + · · ·

Rjesenja

1. Konvergencija za x ∈< 1, 3].

2. Konvergencija za x ∈ R3. Konvergencija za x ∈< 1− π, 1 + π >

Taylorov red

Taylorov red funkcije f (x) razvijen u tocki x = c:

∞∑n=0

f (n)(c)

n!(x − c)n,

f (n)(c) - vrijednost n-te derivacije funkcije u tocki c .

ZadatakRazvijte u Taylorov red oko tocke c = 1 funkciju

f (x) = ln x .

Taylorov red

∞∑n=0

f (n)(c)

n!(x − c)n,

f (x) = ln x .

Taylorov red

∞∑n=0

f (n)(c)

n!(x − c)n,

f (x) = ln x .

Taylorov red

∞∑n=0

f (n)(c)

n!(x − c)n,

f (n)(c) -

vrijednost n-te derivacije funkcije u tocki c .

f (x) = ln x .

Taylorov red

∞∑n=0

f (n)(c)

n!(x − c)n,

f (x) = ln x .

Taylorov red

∞∑n=0

f (n)(c)

n!(x − c)n,

f (x) = ln x .

Eksponencijalna funkcija

ZadatakRazvijte u MacLaurinov red elementarnu funkciju

f (x) = ex

i odrediti podrucje konvergencije.

ex =∑ xn

podrucje konvergencije je R.

f (x) = ex

ex =∑ xn

f (x) = ex

ex =∑ xn

f (x) = ex

ex =∑ xn

Funkcija sinusa

f (x) = sin x

i odredite podrucje konvergencije.

sin x =∑

(−1)nx2n+1

(2n + 1)!,

Funkcija sinusa

f (x) = sin x

sin x =∑

(−1)nx2n+1

(2n + 1)!,

Funkcija sinusa

f (x) = sin x

sin x =∑

(−1)nx2n+1

(2n + 1)!,

Funkcija sinusa

f (x) = sin x

sin x =∑

(−1)nx2n+1

(2n + 1)!,

Funkcija kosinusa

f (x) = cos x

cos x = 1− x2

4!− · · ·+ (−1)n

(2n)!+ · · ·

Funkcija kosinusa

f (x) = cos x

cos x = 1− x2

4!− · · ·+ (−1)n

(2n)!+ · · ·

Funkcija kosinusa

f (x) = cos x

cos x = 1− x2

4!− · · ·+ (−1)n

(2n)!+ · · ·

Funkcija kosinusa

f (x) = cos x

cos x = 1− x2

4!− · · ·+ (−1)n

(2n)!+ · · ·

Neki McLaurinovi redovi

ez = 1 +z

2!+ · · ·+ zn

n!+ · · · |z | <∞,

sin z =z

1!− z3

5!− · · ·+ (−1)n

(2n + 1)!+ · · · |z | <∞,

cos z = 1− z2

4!− · · ·+ (−1)n

(2n)!+ · · · |z | <∞,

ln(1 + z) = z − z2

3− · · ·+ (−1)n+1 zn

n+ · · · |z | < 1,

arctan z = z − z3

5− · · ·+ (−1)n

2n + 1+ · · · |z | < 1

Neki McLaurinovi redovi

ez = 1 +z

2!+ · · ·+ zn

n!+ · · · |z | <∞,

sin z =z

1!− z3

5!− · · ·+ (−1)n

(2n + 1)!+ · · · |z | <∞,

cos z = 1− z2

4!− · · ·+ (−1)n

(2n)!+ · · · |z | <∞,

ln(1 + z) = z − z2

3− · · ·+ (−1)n+1 zn

n+ · · · |z | < 1,

arctan z = z − z3

5− · · ·+ (−1)n

2n + 1+ · · · |z | < 1

Fourierovi redovi.

Periodicko prosirenje funkcije f : [a, b]→ R koja je:

- ogranicena: |f (x)| ≤ M

- s konacnim brojem prekida s konacnim limesima ,

- po dijelovima glatka

- integrabilna.

Primjer

Periodicki prosirite funkciju

f (x) =

2x , x ∈ [0, 1]2, x ∈ [−1, 0]

Fourierovi redovi.

- integrabilna.

Primjer

f (x) =

2x , x ∈ [0, 1]2, x ∈ [−1, 0]

Fourierovi redovi.

- integrabilna.

Primjer

f (x) =

2x , x ∈ [0, 1]2, x ∈ [−1, 0]

Fourierovi redovi.

- integrabilna.

Primjer

f (x) =

2x , x ∈ [0, 1]2, x ∈ [−1, 0]

Fourierovi redovi.

- integrabilna.

Primjer

f (x) =

2x , x ∈ [0, 1]2, x ∈ [−1, 0]

Fourierovi redovi.

- integrabilna.

Primjer

f (x) =

2x , x ∈ [0, 1]2, x ∈ [−1, 0]

Fourierovi redovi.

- integrabilna.

Primjer

f (x) =

2x , x ∈ [0, 1]2, x ∈ [−1, 0]

Fourierov red

Fourierov red funkcije f : [a, b]→ R:

F (x) =a0

2+∞∑k=1

(ak cos2kπx

b − a+ bk sin

b − a).

a0, a1, . . . , b1, . . . su Fourierovim koeficijentima

Fourierovi koeficijenti

b − a

af (x)dx

b − a

af (x) · cos

b − adx

b − a

af (x) · sin

b − adx

Primjer

Zapisite Fourierov red za funkciju iz prethodnog primjera.

ZadatakNapisite Fourierov red funkcije

f (x) = x , x ∈ [0, 1).

b − a

af (x)dx

b − a

af (x) · cos

b − adx

b − a

af (x) · sin

b − adx

Primjer

f (x) = x , x ∈ [0, 1).

b − a

af (x)dx

b − a

af (x) · cos

b − adx

b − a

af (x) · sin

b − adx

Primjer

f (x) = x , x ∈ [0, 1).

b − a

af (x)dx

b − a

af (x) · cos

b − adx

b − a

af (x) · sin

b − adx

Primjer

f (x) = x , x ∈ [0, 1).

b − a

af (x)dx

b − a

af (x) · cos

b − adx

b − a

af (x) · sin

b − adx

Primjer

f (x) = x , x ∈ [0, 1).

b − a

af (x)dx

b − a

af (x) · cos

b − adx

b − a

af (x) · sin

b − adx

Primjer

f (x) = x , x ∈ [0, 1).

Problemski zadaci:

1. Odredite Fourierov red funkcije: f (x) =

0, −1 < x < 0

2x , 0 < x < 1

2. Razvijte u Fourierov red funkciju nastalu parnim prosirenjem

funkcije f (x) =

2 < x < 23− x 2 < x < 3

3. Periodicki prosirite funkciju f (x) = x2, −π < x < π. ikonstruirajte Fourierov red.

Problemski zadaci:

0, −1 < x < 0

2x , 0 < x < 1

funkcije f (x) =

2 < x < 23− x 2 < x < 3

Problemski zadaci:

0, −1 < x < 0

2x , 0 < x < 1

funkcije f (x) =

2 < x < 23− x 2 < x < 3

Problemski zadaci:

0, −1 < x < 0

2x , 0 < x < 1

funkcije f (x) =

2 < x < 23− x 2 < x < 3

Problemski zadaci:

1. Odredite Fourierov red funkcije f (x) =

−1, −1 < x < 01, 0 < x < 1

i pomocu reda izracunajte π.

2. Razvijte parnu funkciju f (x) =

x , x ∈ [0, π]−x , x ∈ [−π, 0]

Fourierov red.

3. Po neparnom periodickom zakonu prosirite funkciju:

f (x) =

1, 0 < x < 1

2− x , 1 < x < 2

Problemski zadaci:

−1, −1 < x < 01, 0 < x < 1

x , x ∈ [0, π]−x , x ∈ [−π, 0]

Fourierov red.

f (x) =

1, 0 < x < 1

2− x , 1 < x < 2

Problemski zadaci:

−1, −1 < x < 01, 0 < x < 1

x , x ∈ [0, π]−x , x ∈ [−π, 0]

Fourierov red.

f (x) =

1, 0 < x < 1

2− x , 1 < x < 2

Problemski zadaci:

−1, −1 < x < 01, 0 < x < 1

x , x ∈ [0, π]−x , x ∈ [−π, 0]

Fourierov red.

f (x) =

1, 0 < x < 1

2− x , 1 < x < 2

Domaca zadaca

1. Odredite konvergenciju reda∞∑n=1

2. Ispitajte konvergenciju reda1

4− 1 · 3

4 · 7+

1 · 3 · 54 · 7 · 10

− 1 · 3 · 5 · 74 · 7 · 10 · 13

+ · · ·

3. Odredite interval konvergencije reda∞∑n=1

(2− 3x)n

4. Napisite petu parcijalnu sumu Taylorovog reda funkcijef (x) = 3

√x razvijenog oko broja c = 1

5. U ravnini spojite tocku (−1, 0) na osi X i tocku (0, 2) na osiY . Prosirite periodicki funkciju ciju ste graf nacrtali i napisitepripadni Fourierov red.

Funkcije vise varijabli.

Definicija (Funkcija dviju varijabli)

Neka je Ω ⊆ R× R. Ako za svaku tocku (x , y) iz Ω postoji realanbroj f (x , y), onda je na Ω definirana funkcija dviju varijabli.

Ω je podrucje definicije ili domena funkcije.

ZadatakNacrtajte prirodno podrucja definicije funkcija:

1. z = arcsin yx2 .

2. z = ln [(x2 + y 2 − 9)(16− x2 − y 2)]

3. z =ctgx√

36− 4x2 − 9y 2+

y − x

4. z = ln(y 2 + y − x) + 2x

5. z =√

x2 − 4y 2 − 16

Neka je Ω ⊆ R× R. Ako za svaku tocku (x , y) iz Ω postoji realanbroj f (x , y), onda je na Ω definirana funkcija dviju varijabli.Ω je podrucje definicije ili domena funkcije.

1. z = arcsin yx2 .

2. z = ln [(x2 + y 2 − 9)(16− x2 − y 2)]

3. z =ctgx√

36− 4x2 − 9y 2+

y − x

4. z = ln(y 2 + y − x) + 2x

5. z =√

x2 − 4y 2 − 16

1. z = arcsin yx2 .

2. z = ln [(x2 + y 2 − 9)(16− x2 − y 2)]

3. z =ctgx√

36− 4x2 − 9y 2+

y − x

4. z = ln(y 2 + y − x) + 2x

5. z =√

x2 − 4y 2 − 16

1. z = arcsin yx2 .

2. z = ln [(x2 + y 2 − 9)(16− x2 − y 2)]

3. z =ctgx√

36− 4x2 − 9y 2+

y − x

4. z = ln(y 2 + y − x) + 2x

5. z =√

x2 − 4y 2 − 16

1. z = arcsin yx2 .

2. z = ln [(x2 + y 2 − 9)(16− x2 − y 2)]

3. z =ctgx√

36− 4x2 − 9y 2+

y − x

4. z = ln(y 2 + y − x) + 2x

5. z =√

x2 − 4y 2 − 16

1. z = arcsin yx2 .

2. z = ln [(x2 + y 2 − 9)(16− x2 − y 2)]

3. z =ctgx√

36− 4x2 − 9y 2+

y − x

4. z = ln(y 2 + y − x) + 2x

5. z =√

x2 − 4y 2 − 16

1. z = arcsin yx2 .

2. z = ln [(x2 + y 2 − 9)(16− x2 − y 2)]

3. z =ctgx√

36− 4x2 − 9y 2+

y − x

4. z = ln(y 2 + y − x) + 2x

5. z =√

x2 − 4y 2 − 16

1. z = arcsin yx2 .

2. z = ln [(x2 + y 2 − 9)(16− x2 − y 2)]

3. z =ctgx√

36− 4x2 − 9y 2+

y − x

4. z = ln(y 2 + y − x) + 2x

5. z =√

x2 − 4y 2 − 16

Skicirajte domene

1. z = 1x−1 + 1

2. z = 1 +√−(x2 − y)

3. z =√

y sin x

4. z = ln(4x2 + y 2 − 4)

5. z = x + arccos y

6. z =√

x2 − 4−√

y 2 − 4

7. z =√

1− x2 +√

1− y 2

8. z =√

sin(x2 + y 2)

9. z = lnx2 + y 2

x2 − y 2

10. z =√

1 + x2 − y 2 + ln(4− x2 − y 2) +1

x2 + y 2

Skicirajte domene

1. z = 1x−1 + 1

2. z = 1 +√−(x2 − y)

3. z =√

y sin x

4. z = ln(4x2 + y 2 − 4)

5. z = x + arccos y

6. z =√

x2 − 4−√

y 2 − 4

7. z =√

1− x2 +√

1− y 2

8. z =√

sin(x2 + y 2)

9. z = lnx2 + y 2

x2 − y 2

10. z =√

1 + x2 − y 2 + ln(4− x2 − y 2) +1

x2 + y 2

Skicirajte domene

1. z = 1x−1 + 1

2. z = 1 +√−(x2 − y)

3. z =√

y sin x

4. z = ln(4x2 + y 2 − 4)

5. z = x + arccos y

6. z =√

x2 − 4−√

y 2 − 4

7. z =√

1− x2 +√

1− y 2

8. z =√

sin(x2 + y 2)

9. z = lnx2 + y 2

x2 − y 2

10. z =√

1 + x2 − y 2 + ln(4− x2 − y 2) +1

x2 + y 2

Skicirajte domene

1. z = 1x−1 + 1

2. z = 1 +√−(x2 − y)

3. z =√

y sin x

4. z = ln(4x2 + y 2 − 4)

5. z = x + arccos y

6. z =√

x2 − 4−√

y 2 − 4

7. z =√

1− x2 +√

1− y 2

8. z =√

sin(x2 + y 2)

9. z = lnx2 + y 2

x2 − y 2

10. z =√

1 + x2 − y 2 + ln(4− x2 − y 2) +1

x2 + y 2

Skicirajte domene

1. z = 1x−1 + 1

2. z = 1 +√−(x2 − y)

3. z =√

y sin x

4. z = ln(4x2 + y 2 − 4)

5. z = x + arccos y

6. z =√

x2 − 4−√

y 2 − 4

7. z =√

1− x2 +√

1− y 2

8. z =√

sin(x2 + y 2)

9. z = lnx2 + y 2

x2 − y 2

10. z =√

1 + x2 − y 2 + ln(4− x2 − y 2) +1

x2 + y 2

Skicirajte domene

1. z = 1x−1 + 1

2. z = 1 +√−(x2 − y)

3. z =√

y sin x

4. z = ln(4x2 + y 2 − 4)

5. z = x + arccos y

6. z =√

x2 − 4−√

y 2 − 4

7. z =√

1− x2 +√

1− y 2

8. z =√

sin(x2 + y 2)

9. z = lnx2 + y 2

x2 − y 2

10. z =√

1 + x2 − y 2 + ln(4− x2 − y 2) +1

x2 + y 2

Skicirajte domene

1. z = 1x−1 + 1

2. z = 1 +√−(x2 − y)

3. z =√

y sin x

4. z = ln(4x2 + y 2 − 4)

5. z = x + arccos y

6. z =√

x2 − 4−√

y 2 − 4

7. z =√

1− x2 +√

1− y 2

8. z =√

sin(x2 + y 2)

9. z = lnx2 + y 2

x2 − y 2

10. z =√

1 + x2 − y 2 + ln(4− x2 − y 2) +1

x2 + y 2

Skicirajte domene

1. z = 1x−1 + 1

2. z = 1 +√−(x2 − y)

3. z =√

y sin x

4. z = ln(4x2 + y 2 − 4)

5. z = x + arccos y

6. z =√

x2 − 4−√

y 2 − 4

7. z =√

1− x2 +√

1− y 2

8. z =√

sin(x2 + y 2)

9. z = lnx2 + y 2

x2 − y 2

10. z =√

1 + x2 − y 2 + ln(4− x2 − y 2) +1

x2 + y 2

Skicirajte domene

1. z = 1x−1 + 1

2. z = 1 +√−(x2 − y)

3. z =√

y sin x

4. z = ln(4x2 + y 2 − 4)

5. z = x + arccos y

6. z =√

x2 − 4−√

y 2 − 4

7. z =√

1− x2 +√

1− y 2

8. z =√

sin(x2 + y 2)

9. z = lnx2 + y 2

x2 − y 2

10. z =√

1 + x2 − y 2 + ln(4− x2 − y 2) +1

x2 + y 2

Skicirajte domene

1. z = 1x−1 + 1

2. z = 1 +√−(x2 − y)

3. z =√

y sin x

4. z = ln(4x2 + y 2 − 4)

5. z = x + arccos y

6. z =√

x2 − 4−√

y 2 − 4

7. z =√

1− x2 +√

1− y 2

8. z =√

sin(x2 + y 2)

9. z = lnx2 + y 2

x2 − y 2

10. z =√

1 + x2 − y 2 + ln(4− x2 − y 2) +1

x2 + y 2

Skicirajte domene

1. z = 1x−1 + 1

2. z = 1 +√−(x2 − y)

3. z =√

y sin x

4. z = ln(4x2 + y 2 − 4)

5. z = x + arccos y

6. z =√

x2 − 4−√

y 2 − 4

7. z =√

1− x2 +√

1− y 2

8. z =√

sin(x2 + y 2)

9. z = lnx2 + y 2

x2 − y 2

10. z =√

1 + x2 − y 2 + ln(4− x2 − y 2) +1

x2 + y 2

Parcijalne derivacije.

Deriviraju se samo funkcije jedne varijable. Uz tocku (x0, y0) ∈ Ωpostoje za z = f (x , y) funkcije z = f (x , y0) i z = f (x0, y).

Primjer

Za f (x , y) = x2y uz (4, 3): z = 3x2, z = 16y.

Primjer

Za funkciju z = x2y odredite derivacije u tocki (x0, y0)

ZadatakParcijalno derivirajte funkcije

1. z = x3 + 4x2y + 5xy 2 − y 3

2. z = 3x2y − 4x3y 3 + 4xy 4 − 6xy

3. z =x2

4. z = ln(xy)

5. z =√

x2 − y 2

Deriviraju se samo funkcije jedne varijable.

Uz tocku (x0, y0) ∈ Ωpostoje za z = f (x , y) funkcije z = f (x , y0) i z = f (x0, y).

Primjer

Za f (x , y) = x2y uz (4, 3): z = 3x2, z = 16y.

Primjer

1. z = x3 + 4x2y + 5xy 2 − y 3

2. z = 3x2y − 4x3y 3 + 4xy 4 − 6xy

3. z =x2

4. z = ln(xy)

5. z =√

x2 − y 2

Primjer

Za f (x , y) = x2y uz (4, 3): z = 3x2, z = 16y.

Primjer

1. z = x3 + 4x2y + 5xy 2 − y 3

2. z = 3x2y − 4x3y 3 + 4xy 4 − 6xy

3. z =x2

4. z = ln(xy)

5. z =√

x2 − y 2

Primjer

Za f (x , y) = x2y uz (4, 3):

z = 3x2, z = 16y.

Primjer

1. z = x3 + 4x2y + 5xy 2 − y 3

2. z = 3x2y − 4x3y 3 + 4xy 4 − 6xy

3. z =x2

4. z = ln(xy)

5. z =√

x2 − y 2

Primjer

Za f (x , y) = x2y uz (4, 3): z = 3x2,

z = 16y.

Primjer

1. z = x3 + 4x2y + 5xy 2 − y 3

2. z = 3x2y − 4x3y 3 + 4xy 4 − 6xy

3. z =x2

4. z = ln(xy)

5. z =√

x2 − y 2

Primjer

Za f (x , y) = x2y uz (4, 3): z = 3x2, z = 16y.

Primjer

1. z = x3 + 4x2y + 5xy 2 − y 3

2. z = 3x2y − 4x3y 3 + 4xy 4 − 6xy

3. z =x2

4. z = ln(xy)

5. z =√

x2 − y 2

Primjer

Za f (x , y) = x2y uz (4, 3): z = 3x2, z = 16y.

Primjer

1. z = x3 + 4x2y + 5xy 2 − y 3

2. z = 3x2y − 4x3y 3 + 4xy 4 − 6xy

3. z =x2

4. z = ln(xy)

5. z =√

x2 − y 2

Primjer

Za f (x , y) = x2y uz (4, 3): z = 3x2, z = 16y.

Primjer

1. z = x3 + 4x2y + 5xy 2 − y 3

2. z = 3x2y − 4x3y 3 + 4xy 4 − 6xy

3. z =x2

4. z = ln(xy)

5. z =√

x2 − y 2

Primjer

Za f (x , y) = x2y uz (4, 3): z = 3x2, z = 16y.

Primjer

1. z = x3 + 4x2y + 5xy 2 − y 3

2. z = 3x2y − 4x3y 3 + 4xy 4 − 6xy

3. z =x2

4. z = ln(xy)

5. z =√

x2 − y 2

Primjer

Za f (x , y) = x2y uz (4, 3): z = 3x2, z = 16y.

Primjer

1. z = x3 + 4x2y + 5xy 2 − y 3

2. z = 3x2y − 4x3y 3 + 4xy 4 − 6xy

3. z =x2

4. z = ln(xy)

5. z =√

x2 − y 2

Primjer

Za f (x , y) = x2y uz (4, 3): z = 3x2, z = 16y.

Primjer

1. z = x3 + 4x2y + 5xy 2 − y 3

2. z = 3x2y − 4x3y 3 + 4xy 4 − 6xy

3. z =x2

4. z = ln(xy)

5. z =√

x2 − y 2

Primjer

Za f (x , y) = x2y uz (4, 3): z = 3x2, z = 16y.

Primjer

1. z = x3 + 4x2y + 5xy 2 − y 3

2. z = 3x2y − 4x3y 3 + 4xy 4 − 6xy

3. z =x2

4. z = ln(xy)

5. z =√

x2 − y 2

Primjer

Za f (x , y) = x2y uz (4, 3): z = 3x2, z = 16y.

Primjer

1. z = x3 + 4x2y + 5xy 2 − y 3

2. z = 3x2y − 4x3y 3 + 4xy 4 − 6xy

3. z =x2

4. z = ln(xy)

5. z =√

x2 − y 2

Definicija parcijalnih derivacija

Definicija

Neka je z = f (x , y) funkcija dviju varijabli. Parcijalne derivacije suformule:

∂x=∂f

∂x= lim

f (x + t, y)− f (x , y)

∂y=∂f

∂y= lim

f (x , y + s)− f (x , y)

Definicija

Neka je z = f (x , y) funkcija dviju varijabli.

Parcijalne derivacije suformule:

∂x=∂f

∂x= lim

f (x + t, y)− f (x , y)

∂y=∂f

∂y= lim

f (x , y + s)− f (x , y)

Definicija

∂x=∂f

∂x= lim

f (x + t, y)− f (x , y)

∂y=∂f

∂y= lim

f (x , y + s)− f (x , y)

Definicija

∂x=∂f

∂x= lim

f (x + t, y)− f (x , y)

∂y=∂f

∂y= lim

f (x , y + s)− f (x , y)

Definicija

∂x=∂f

∂x= lim

f (x + t, y)− f (x , y)

∂y=∂f

∂y= lim

f (x , y + s)− f (x , y)

Prvi diferencijal

Prvi ili totalni diferencijal funkcije z = f (x , y):

dz(x , y) =∂z

∂xdx +

∂ydy .

1. Napisite formulu totalnog diferencijala funkcije z = y · xy uproizvoljnoj tocki domene.

2. Izracunajte formulu prvog diferencijala funkcije z = arcsiny

u tocki T = (1, 12 ).

3. Odredite prve diferencijale funkcija:

3.1 F (x , y , z) = 36z2 − 4y 2 − 9x2

3.2 u = ln2x2 − yz2

x + 3y + 4zu T = (3, 2, 1)

Prvi diferencijal

dz(x , y) =∂z

∂xdx +

∂ydy .

u tocki T = (1, 12 ).

3.1 F (x , y , z) = 36z2 − 4y 2 − 9x2

3.2 u = ln2x2 − yz2

x + 3y + 4zu T = (3, 2, 1)

Prvi diferencijal

dz(x , y) =∂z

∂xdx +

∂ydy .

u tocki T = (1, 12 ).

3.1 F (x , y , z) = 36z2 − 4y 2 − 9x2

3.2 u = ln2x2 − yz2

x + 3y + 4zu T = (3, 2, 1)

Prvi diferencijal

dz(x , y) =∂z

∂xdx +

∂ydy .

u tocki T = (1, 12 ).

3.1 F (x , y , z) = 36z2 − 4y 2 − 9x2

3.2 u = ln2x2 − yz2

x + 3y + 4zu T = (3, 2, 1)

Prvi diferencijal

dz(x , y) =∂z

∂xdx +

∂ydy .

u tocki T = (1, 12 ).

3.1 F (x , y , z) = 36z2 − 4y 2 − 9x2

3.2 u = ln2x2 − yz2

x + 3y + 4zu T = (3, 2, 1)

Prvi diferencijal

dz(x , y) =∂z

∂xdx +

∂ydy .

u tocki T = (1, 12 ).

3.1 F (x , y , z) = 36z2 − 4y 2 − 9x2

3.2 u = ln2x2 − yz2

x + 3y + 4zu T = (3, 2, 1)

Prvi diferencijal

dz(x , y) =∂z

∂xdx +

∂ydy .

u tocki T = (1, 12 ).

3.1 F (x , y , z) = 36z2 − 4y 2 − 9x2

3.2 u = ln2x2 − yz2

x + 3y + 4zu T = (3, 2, 1)

Teorem o srednjoj vrijednosti

TeoremNeka su A = (x0, y0) i B = (x1, y1) iz Ω tako da AB pripada Ω.Ako je dx = x1 − x0 i ako je dy = y1 − y0, onda postoji C ∈ AB:

∆f = f (B)− f (A) =∂f

∣∣∣∣C

dx +∂f

∣∣∣∣C

Napomena

Ako su dx , dy ∼ 0, onda je ∆f ∼ df u tocki A.

Primjer

Mate mjeri potrosnju svog Audi-ja i zakljuci da pri tankiranju40± 2 l goriva prolazi 450± 50 km. Koliko trosi Audi na 100 km?

TeoremNeka su A = (x0, y0) i B = (x1, y1) iz Ω tako da AB pripada Ω.

Ako je dx = x1 − x0 i ako je dy = y1 − y0, onda postoji C ∈ AB:

∆f = f (B)− f (A) =∂f

∣∣∣∣C

dx +∂f

∣∣∣∣C

Napomena

Primjer

∆f = f (B)− f (A) =∂f

∣∣∣∣C

dx +∂f

∣∣∣∣C

Napomena

Primjer

∆f = f (B)− f (A) =∂f

∣∣∣∣C

dx +∂f

∣∣∣∣C

Napomena

Primjer

∆f = f (B)− f (A) =∂f

∣∣∣∣C

dx +∂f

∣∣∣∣C

Napomena

Primjer

∆f = f (B)− f (A) =∂f

∣∣∣∣C

dx +∂f

∣∣∣∣C

Napomena

Primjer

Zadaci

1. Limenka Coca-Cole u promjeru je 58± 2 mm. Visina limenkeje 11.5± 0.5 cm. Koliko litara Coca-cole stane u limenku?

2. Pri deformaciji valjka njegov polumjer R poveca se od 2 na2.05dm. Visina valjka pri istoj deformaciji smanji se sa 10 na9.95dm. Nadite pribliznu vrijednost promjene volumena.

3. Katete pravokutnog trokuta izmjerene su s tocnoscu od 0.1cmi iznosile su 7.5 i 18cm. Kolika je tocnost u racunanjuhipotenuze?

Zadaci

Tangencijalna ravnina i normala

Ploha u 3-dim prostoru: F (x , y , z) = 0.

Ravnina u 3-dim prostoru: Ax + By + Cz = 0

Pravac u 3-dim prostoru:x − x0

y − y0

z − z0

CTangencijalna ravnina na plohu u T (x0, y0, z0), F (x0, y0, z0) = 0:

∂x(x − x0) +

∂y(y − y0) +

∂z(z − z0) = 0.

Normala na plohu je pravac okomit na tangencijalnu ravninu:x − x0

=y − y0

=z − z0

Parcijalne derivacije racunaju se u tocki plohe!

y − y0

z − z0

∂x(x − x0) +

∂y(y − y0) +

∂z(z − z0) = 0.

=y − y0

=z − z0

y − y0

z − z0

Tangencijalna ravnina na plohu u T (x0, y0, z0), F (x0, y0, z0) = 0:∂F

∂x(x − x0) +

∂y(y − y0) +

∂z(z − z0) = 0.

=y − y0

=z − z0

y − y0

z − z0

∂x(x − x0) +

∂y(y − y0) +

∂z(z − z0) = 0.

=y − y0

=z − z0

y − y0

z − z0

∂x(x − x0) +

∂y(y − y0) +

∂z(z − z0) = 0.

=y − y0

=z − z0

y − y0

z − z0

∂x(x − x0) +

∂y(y − y0) +

∂z(z − z0) = 0.

Normala na plohu je pravac okomit na tangencijalnu ravninu:

x − x0

=y − y0

=z − z0

y − y0

z − z0

∂x(x − x0) +

∂y(y − y0) +

∂z(z − z0) = 0.

=y − y0

=z − z0

y − y0

z − z0

∂x(x − x0) +

∂y(y − y0) +

∂z(z − z0) = 0.

=y − y0

=z − z0

Zadaci

ZadatakNapisite jednadzbu tangencijalne ravnine na elipticki paraboloidz = x2 + 2y 2 u tocki (1, 1, ?).

ZadatakNapisite jednadzbe normale na plohu stosca x2 + y 2 = z2 u tocki(3, 4, 5).

ZadatakNapisite jednadbu tangencijalne ravnine i normale na elipsoid9x2

100= 1 u tocki (2, y > 0, 2)

Zadaci

100= 1 u tocki (2, y > 0, 2)

Zadaci

100= 1 u tocki (2, y > 0, 2)

Zadaci

100= 1 u tocki (2, y > 0, 2)

Druge parcijalne derivacije

Druge parcijalne derivacije dobivaju se parcijalnim deriviranjemprvih. Mjesovite derivacije su po Schwartzovom teoremu jednake.

ZadatakOdredite formule drugih parcijalnih derivacija funkcijez = ln(y + x2).

ZadatakIzracunajte drugu mjesovitu derivaciju funkcije z u tocki:

1. z = arctgx + y

1− xyu (2,−3)

2. z = arcsin

√x − y

xu (9, 5)

Rjesenja: 0;√

Druge parcijalne derivacije dobivaju se parcijalnim deriviranjemprvih.

Mjesovite derivacije su po Schwartzovom teoremu jednake.

1. z = arctgx + y

1− xyu (2,−3)

2. z = arcsin

√x − y

xu (9, 5)

Rjesenja: 0;√

1. z = arctgx + y

1− xyu (2,−3)

2. z = arcsin

√x − y

xu (9, 5)

Rjesenja: 0;√

1. z = arctgx + y

1− xyu (2,−3)

2. z = arcsin

√x − y

xu (9, 5)

Rjesenja: 0;√

1. z = arctgx + y

1− xyu (2,−3)

2. z = arcsin

√x − y

xu (9, 5)

Rjesenja: 0;√

1. z = arctgx + y

1− xyu (2,−3)

2. z = arcsin

√x − y

xu (9, 5)

Rjesenja: 0;√

1. z = arctgx + y

1− xyu (2,−3)

2. z = arcsin

√x − y

xu (9, 5)

Rjesenja: 0;√

1. z = arctgx + y

1− xyu (2,−3)

2. z = arcsin

√x − y

xu (9, 5)

Rjesenja: 0;

1. z = arctgx + y

1− xyu (2,−3)

2. z = arcsin

√x − y

xu (9, 5)

Rjesenja: 0;√

Drugi diferencijal

d2z(x , y) =∂2z

∂x2dx2 + 2

∂x∂ydxdy +

∂y 2dy 2

ZadatakNapisite d2z za z = x ln

ZadatakNapisite formulu d2u(1, 1) za funkciju u = x3 sin y + y 3 sin x.(d2z = 4.2dx2 + 6.5dxdy + 4.2dy 2).

ZadatakIzracunajte vrijednost d2f (1,−2) funkcije f (x , y) = (x2 + y 2)ex+y

za vrijednosti dx = 0.3 i dy = 0.4. (0.56)

Drugi diferencijal

d2z(x , y) =∂2z

∂x2dx2 + 2

∂x∂ydxdy +

∂y 2dy 2

Drugi diferencijal

d2z(x , y) =∂2z

∂x2dx2 + 2

∂x∂ydxdy +

∂y 2dy 2

Drugi diferencijal

d2z(x , y) =∂2z

∂x2dx2 + 2

∂x∂ydxdy +

∂y 2dy 2

ZadatakNapisite formulu d2u(1, 1) za funkciju u = x3 sin y + y 3 sin x.

(d2z = 4.2dx2 + 6.5dxdy + 4.2dy 2).

Drugi diferencijal

d2z(x , y) =∂2z

∂x2dx2 + 2

∂x∂ydxdy +

∂y 2dy 2

Drugi diferencijal

d2z(x , y) =∂2z

∂x2dx2 + 2

∂x∂ydxdy +

∂y 2dy 2

za vrijednosti dx = 0.3 i dy = 0.4.

(0.56)

Drugi diferencijal

d2z(x , y) =∂2z

∂x2dx2 + 2

∂x∂ydxdy +

∂y 2dy 2

Taylorova formula

TeoremNeka f : Ω→ R ima neprekidne parcijalne derivacije do n + 1-vogreda i neka je spojnica (x0, y0) i (x , y) u domeni Ω. Tada je

f (x , y) = f (x0, y0) + df (x0, y0) +d2f (x0, y0)

d3f (x0, y0)

3!+ · · ·

+dnf (x0, y0)

n!+ Rn(x , y),

gdje je ostatak Rn(x , y) =dn+1f (xc , yc)

(n + 1)!jednak vrijednosti u nekoj

tocki (xc , yc), spojnice (x0, y0) i (x , y), dnf =

∂xdx +

∂ydy

i dx = x − x0, dy = y − y0.

Taylorova formula

f (x , y) = f (x0, y0) + df (x0, y0) +d2f (x0, y0)

d3f (x0, y0)

3!+ · · ·

+dnf (x0, y0)

n!+ Rn(x , y),

∂xdx +

∂ydy

i dx = x − x0, dy = y − y0.

Taylorova formula

f (x , y) = f (x0, y0) + df (x0, y0) +d2f (x0, y0)

d3f (x0, y0)

3!+ · · ·

+dnf (x0, y0)

n!+ Rn(x , y),

∂xdx +

∂ydy

i dx = x − x0, dy = y − y0.

Lokalni ekstremi

Definicija

f (x , y) ima u (a, b) lokalni maksimum, ako je f (x , y) < f (a, b)unutar kruga polumjera r oko (a, b). Analogno za minimum.

Nuzno ponistavanje prvih parcijalnih derivacija:∂f∂x = 0; ∂f

∂y = 0.

Lokalni ekstremi

Definicija

f (x , y) ima u (a, b) lokalni maksimum,

ako je f (x , y) < f (a, b)unutar kruga polumjera r oko (a, b). Analogno za minimum.

∂y = 0.

Lokalni ekstremi

Definicija

f (x , y) ima u (a, b) lokalni maksimum, ako je f (x , y) < f (a, b)unutar kruga polumjera r oko (a, b).

Analogno za minimum.

∂y = 0.

Lokalni ekstremi

Definicija

∂y = 0.

Lokalni ekstremi

Definicija

Nuzno ponistavanje prvih parcijalnih derivacija:

∂f∂x = 0; ∂f

∂y = 0.

Lokalni ekstremi

Definicija

∂y = 0.

Dovoljan uvjet

Pozitivnost Hesseove determinante:

∣∣∣∣∣∣∣∣∂2f

∂x∂y∂2f

∂x∂y

∂y 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ > 0.

Lokalni minimum za∂2f

∂x2> 0

Lokalni maksimum za∂2f

∂x2< 0

Ekstrema nema za negativnu determinantu.

Odluke nema za determinantu jednaka nuli.

Zadatak

Odrediti i ispitati lokalni ekstrem funkcije z = xy − 50

Dovoljan uvjet

∣∣∣∣∣∣∣∣∂2f

∂x∂y∂2f

∂x∂y

∂y 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ > 0.

∂x2> 0

∂x2< 0

Zadatak

Dovoljan uvjet

∣∣∣∣∣∣∣∣∂2f

∂x∂y∂2f

∂x∂y

∂y 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ > 0.

∂x2> 0

∂x2< 0

Zadatak

Dovoljan uvjet

∣∣∣∣∣∣∣∣∂2f

∂x∂y∂2f

∂x∂y

∂y 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ > 0.

∂x2> 0

∂x2< 0

Zadatak

Dovoljan uvjet

∣∣∣∣∣∣∣∣∂2f

∂x∂y∂2f

∂x∂y

∂y 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ > 0.

∂x2> 0

∂x2< 0

Zadatak

Dovoljan uvjet

∣∣∣∣∣∣∣∣∂2f

∂x∂y∂2f

∂x∂y

∂y 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ > 0.

∂x2> 0

∂x2< 0

Zadatak

Dovoljan uvjet

∣∣∣∣∣∣∣∣∂2f

∂x∂y∂2f

∂x∂y

∂y 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ > 0.

∂x2> 0

∂x2< 0

Zadatak

Zadaci

Odredite lokalne ekstreme slijedecih funkcija:

1. z = 2x3 + 2y 3 − 36xy + 430

2. z = 14x3 + 27xy 2 − 69x − 54y

3. z = x2 − xy + y 2 + 1x + 1

4. z = −23 x3 + 2xy − y 2 − 1

5. z = x2y 2 + 12 x2 + 1

2 y 2 + xy + 1

Zadaci

1. z = 2x3 + 2y 3 − 36xy + 430

2. z = 14x3 + 27xy 2 − 69x − 54y

3. z = x2 − xy + y 2 + 1x + 1

4. z = −23 x3 + 2xy − y 2 − 1

5. z = x2y 2 + 12 x2 + 1

2 y 2 + xy + 1

Zadaci

1. z = 2x3 + 2y 3 − 36xy + 430

2. z = 14x3 + 27xy 2 − 69x − 54y

3. z = x2 − xy + y 2 + 1x + 1

4. z = −23 x3 + 2xy − y 2 − 1

5. z = x2y 2 + 12 x2 + 1

2 y 2 + xy + 1

Zadaci

1. z = 2x3 + 2y 3 − 36xy + 430

2. z = 14x3 + 27xy 2 − 69x − 54y

3. z = x2 − xy + y 2 + 1x + 1

4. z = −23 x3 + 2xy − y 2 − 1

5. z = x2y 2 + 12 x2 + 1

2 y 2 + xy + 1

Zadaci

1. z = 2x3 + 2y 3 − 36xy + 430

2. z = 14x3 + 27xy 2 − 69x − 54y

3. z = x2 − xy + y 2 + 1x + 1

4. z = −23 x3 + 2xy − y 2 − 1

5. z = x2y 2 + 12 x2 + 1

2 y 2 + xy + 1

Zadaci

1. z = 2x3 + 2y 3 − 36xy + 430

2. z = 14x3 + 27xy 2 − 69x − 54y

3. z = x2 − xy + y 2 + 1x + 1

4. z = −23 x3 + 2xy − y 2 − 1

5. z = x2y 2 + 12 x2 + 1

2 y 2 + xy + 1

Zadaci

1. z = 2x3 + 2y 3 − 36xy + 430

2. z = 14x3 + 27xy 2 − 69x − 54y

3. z = x2 − xy + y 2 + 1x + 1

4. z = −23 x3 + 2xy − y 2 − 1

5. z = x2y 2 + 12 x2 + 1

2 y 2 + xy + 1

Rjesenja...

1. (rj.zmin(6, 6) = −2)

2. (rj. zmin(1, 1) = −82; zmax(−1,−1) = 82);

3. (rj. zmin(1, 1) = 4; )

4. (rj. zmax(1, 1) = −23 .)

5. (rj. zmin(0, 0) = 1 tek nakon daljneg ispitivanja. Ispituje seprvi diferencijal za dx = x i dy = y i dobiva se zbroj kvadratakoji je uvijek veci od nule.)

Rjesenja...

1. (rj.zmin(6, 6) = −2)

2. (rj. zmin(1, 1) = −82; zmax(−1,−1) = 82);

3. (rj. zmin(1, 1) = 4; )

4. (rj. zmax(1, 1) = −23 .)

5. (rj. zmin(0, 0) = 1 tek nakon daljneg ispitivanja. Ispituje seprvi diferencijal za dx = x i dy = y i dobiva se zbroj kvadratakoji je uvijek veci od nule.)

Uvjetni ekstremi

Lokalni ekstrem z = f (x , y) uz uvjet ϕ(x , y) = 0.Lagrangeova funkcija F (x , y) = f (x , y) + λ · ϕ(x , y).

Nuzan uvjet

∂x+ λ · ∂ϕ

∂x= 0

∂y+ λ · ∂ϕ

∂y= 0

ϕ(x , y) = 0

Dovoljna nepromjenjivost predznaka (d2F )T0 uzdϕ(x , y)T0 = 0 .

I (d2F )|T0 < 0 znaci lokalni maksimum.I (d2F )|T0 > 0 znaci lokalni minimum.I Ako (d2F )T0 mijenja predznak, sigurno nema ekstremaI d2F = 0 trazi dalje ispitivanje.I d2F (x , y) = ∂2F

∂x2 dx2 + 2 ∂2F∂x∂y dxdy + ∂2F

∂y2 dy 2.

ZadatakOdredite ekstreme funkcije z = x + 2y uz uvjet x2 + y 2 = 5.

Uvjetni ekstremi

Lokalni ekstrem z = f (x , y) uz uvjet ϕ(x , y) = 0.

Lagrangeova funkcija F (x , y) = f (x , y) + λ · ϕ(x , y).Nuzan uvjet

∂x+ λ · ∂ϕ

∂x= 0

∂y+ λ · ∂ϕ

∂y= 0

ϕ(x , y) = 0

∂x2 dx2 + 2 ∂2F∂x∂y dxdy + ∂2F

∂y2 dy 2.

Uvjetni ekstremi

Nuzan uvjet

∂x+ λ · ∂ϕ

∂x= 0

∂y+ λ · ∂ϕ

∂y= 0

ϕ(x , y) = 0

∂x2 dx2 + 2 ∂2F∂x∂y dxdy + ∂2F

∂y2 dy 2.

Uvjetni ekstremi

Nuzan uvjet

∂x+ λ · ∂ϕ

∂x= 0

∂y+ λ · ∂ϕ

∂y= 0

ϕ(x , y) = 0

∂x2 dx2 + 2 ∂2F∂x∂y dxdy + ∂2F

∂y2 dy 2.

Uvjetni ekstremi

Nuzan uvjet

∂x+ λ · ∂ϕ

∂x= 0

∂y+ λ · ∂ϕ

∂y= 0

ϕ(x , y) = 0

∂x2 dx2 + 2 ∂2F∂x∂y dxdy + ∂2F

∂y2 dy 2.

Uvjetni ekstremi

Nuzan uvjet

∂x+ λ · ∂ϕ

∂x= 0

∂y+ λ · ∂ϕ

∂y= 0

ϕ(x , y) = 0

I (d2F )|T0 < 0 znaci lokalni maksimum.

I (d2F )|T0 > 0 znaci lokalni minimum.I Ako (d2F )T0 mijenja predznak, sigurno nema ekstremaI d2F = 0 trazi dalje ispitivanje.I d2F (x , y) = ∂2F

∂x2 dx2 + 2 ∂2F∂x∂y dxdy + ∂2F

∂y2 dy 2.

Uvjetni ekstremi

Nuzan uvjet

∂x+ λ · ∂ϕ

∂x= 0

∂y+ λ · ∂ϕ

∂y= 0

ϕ(x , y) = 0

I (d2F )|T0 < 0 znaci lokalni maksimum.I (d2F )|T0 > 0 znaci lokalni minimum.

I Ako (d2F )T0 mijenja predznak, sigurno nema ekstremaI d2F = 0 trazi dalje ispitivanje.I d2F (x , y) = ∂2F

∂x2 dx2 + 2 ∂2F∂x∂y dxdy + ∂2F

∂y2 dy 2.

Uvjetni ekstremi

Nuzan uvjet

∂x+ λ · ∂ϕ

∂x= 0

∂y+ λ · ∂ϕ

∂y= 0

ϕ(x , y) = 0

I (d2F )|T0 < 0 znaci lokalni maksimum.I (d2F )|T0 > 0 znaci lokalni minimum.I Ako (d2F )T0 mijenja predznak, sigurno nema ekstrema

I d2F = 0 trazi dalje ispitivanje.I d2F (x , y) = ∂2F

∂x2 dx2 + 2 ∂2F∂x∂y dxdy + ∂2F

∂y2 dy 2.

Uvjetni ekstremi

Nuzan uvjet

∂x+ λ · ∂ϕ

∂x= 0

∂y+ λ · ∂ϕ

∂y= 0

ϕ(x , y) = 0

I (d2F )|T0 < 0 znaci lokalni maksimum.I (d2F )|T0 > 0 znaci lokalni minimum.I Ako (d2F )T0 mijenja predznak, sigurno nema ekstremaI d2F = 0 trazi dalje ispitivanje.

I d2F (x , y) = ∂2F∂x2 dx2 + 2 ∂2F

∂x∂y dxdy + ∂2F∂y2 dy 2.

Uvjetni ekstremi

Nuzan uvjet

∂x+ λ · ∂ϕ

∂x= 0

∂y+ λ · ∂ϕ

∂y= 0

ϕ(x , y) = 0

∂x2 dx2 + 2 ∂2F∂x∂y dxdy + ∂2F

∂y2 dy 2.

Uvjetni ekstremi

Nuzan uvjet

∂x+ λ · ∂ϕ

∂x= 0

∂y+ λ · ∂ϕ

∂y= 0

ϕ(x , y) = 0

∂x2 dx2 + 2 ∂2F∂x∂y dxdy + ∂2F

∂y2 dy 2.

Odredite lokalne ekstreme...

Zadatak... funkcije z = x2 + y 2 uz uvjet x

2 + y3 = 1

Zadatak

... funkcije z =1

y 2= 1.

Zadatak... funkcije z = xy uz uvjet x + y = 1

Zadatak... funkcije z = cos2 x + cos2 y uz uvjet y − x =

2 + y3 = 1

Zadatak

... funkcije z =1

y 2= 1.

2 + y3 = 1

Zadatak

... funkcije z =1

y 2= 1.

2 + y3 = 1

Zadatak

... funkcije z =1

y 2= 1.

Zadaci

1. Izracunajte odstupanje vrijednosti funkcije z = xy ako su utocki (5, 4) odstupanja varijabli za dx = ±0.1 i dy = ±0.2.Koliko je relativno odstupanje.

2. Izracunati√

4.052 + 2.932 i arctg( 2.020.97 − 1) primjenama prvog

diferencijala.

3. Nadite prvi diferencijal funkcije u = exy u tocki x = 1, y = 2.Izracunajte vrijednost du za dx = 0.3 i dy = 0.5.

Zadaci

2. Izracunati√

diferencijala.

Zadaci

2. Izracunati√

diferencijala.

Zadaci

2. Izracunati√

diferencijala.

Zadaci

1. Napisite jednadzbu normale na plohu x2z + y 2z = 4 u tockiT (−2, 0, 1). Skicirajte plohu i normalu.

2. Nadite kuteve koje s koordinatnim osima zatvara normala kojaje na plohu x2 + y 2− xz − yz = 0 povucena u tocki T (0, 2, 2).

3. Dokazite da svaka tangencijalna ravnina plohe xyz = 27 tvoris koordinatnim osima piramidu istog volumena.

Zadaci

Pojam dvostrukog integrala i izracunavanje

I Neka je z = f (x , y)

I Neka je I = [a, b]× [c , d ] ⊆ D pravokutnik unutar domenefunkcije D

I Neka je a = x0 < x1 < · · · < xn = bi neka je c = y0 < y1 < · · · < ym = d

I Neka su ∆xi = xi − xi−1 i ∆yi = yi − yi−1

Integralna suma

Dvostruka integralna suma

n∑i=1

m∑j=1

f (xi , yj)∆xi∆yj =n∑

m∑j=1

f (xi , yj)∆yj .

Dvostruki integral funkcije f (x , y) po pravokutniku I definirase izrazom∫ ∫

If (x , y)dxdy = lim

max ∆xi ,∆yj→0

n∑i=1

m∑j=1

f (xi , yj)∆xi∆yj .

Integralna suma

n∑i=1

m∑j=1

f (xi , yj)∆yj .

n∑i=1

m∑j=1

Integralna suma

n∑i=1

m∑j=1

f (xi , yj)∆yj .

Dvostruki integral funkcije f (x , y) po pravokutniku I definirase izrazom

∫ ∫I

f (x , y)dxdy = limmax ∆xi ,∆yj→0

n∑i=1

m∑j=1

Integralna suma

n∑i=1

m∑j=1

f (xi , yj)∆yj .

n∑i=1

m∑j=1

Izracunavanje dvostrukog integrala

ZadatakIzracunati ∫ ∫

Iy 2dxdy ,

gdje je I pravokutnik zadan sa x = 2, x = 6, y = 1, y = 3.

Iy 2dxdy ,

gdje je I pravokutnik zadan sa x = 2, x = 6, y = −1, y = 2.

Iy 2dxdy ,

Zadaci izracunavanja dvostrukih integrala

Ixy 3dxdy

gdje je I zadan sa x = 0, x = 5, y = 1, y = 4

I(x2 + y 2)dxdy

gdje je I zadan sa x = −2, x = 6, y = −3, y = 4

Ixy 3dxdy

I(x2 + y 2)dxdy

Ixy 3dxdy

I(x2 + y 2)dxdy

Ixy 3dxdy

I(x2 + y 2)dxdy

Dvostruki integral po podrucju

I Podrucje je otvoren, povezan skup D ⊆ D, domenez = f (x , y)

I Neka postoji pravokutnik koji sadrzi D

I Neka postoji dvostuki integral funkcije∫ ∫

I f (x , y)dxdy , gdje

je f (x , y) =

f (x , y), (x , y) ∈ D

0, (x , y) ∈ I \ D

Tada je dvostruki integral po podrucju D∫ ∫D

f (x , y)dxdy =

∫ ∫I

f (x , y)dxdy .

je f (x , y) =

f (x , y), (x , y) ∈ D

0, (x , y) ∈ I \ D

f (x , y)dxdy =

∫ ∫I

f (x , y)dxdy .

je f (x , y) =

f (x , y), (x , y) ∈ D

0, (x , y) ∈ I \ D

f (x , y)dxdy =

∫ ∫I

f (x , y)dxdy .

I Neka postoji dvostuki integral funkcije

∫ ∫I f (x , y)dxdy , gdje

je f (x , y) =

f (x , y), (x , y) ∈ D

0, (x , y) ∈ I \ D

f (x , y)dxdy =

∫ ∫I

f (x , y)dxdy .

I f (x , y)dxdy ,

je f (x , y) =

f (x , y), (x , y) ∈ D

0, (x , y) ∈ I \ D

f (x , y)dxdy =

∫ ∫I

f (x , y)dxdy .

f (x , y) =

f (x , y), (x , y) ∈ D

0, (x , y) ∈ I \ D

f (x , y)dxdy =

∫ ∫I

f (x , y)dxdy .

je f (x , y) =

f (x , y), (x , y) ∈ D

0, (x , y) ∈ I \ D

f (x , y)dxdy =

∫ ∫I

f (x , y)dxdy .

je f (x , y) =

f (x , y), (x , y) ∈ D

0, (x , y) ∈ I \ D

f (x , y)dxdy =

∫ ∫I

f (x , y)dxdy .

je f (x , y) =

f (x , y), (x , y) ∈ D

0, (x , y) ∈ I \ D

f (x , y)dxdy =

∫ ∫I

f (x , y)dxdy .

Svostva dvostrukog integrala

1.∫ ∫

D [f (x , y) + g(x , y)]dxdy =∫ ∫D f (x , y)dxdy +

∫ ∫D g(x , y)dxdy .

2.∫ ∫

D λf (x , y)dxdy = λ∫ ∫

D f (x , y)dxdy , λ ∈ R3. f (x , y) ≤ g(x , y), za svaki (x , y) ∈ D, povlaci∫ ∫

D f (x , y)dxdy ≤∫ ∫

D g(x , y)dxdy

4. Ako je D1 ∩ D2 = ∅, tada je∫ ∫

D1∪D2Df (x , y)dxdy =∫ ∫

D1f (x , y)dxdy +

∫ ∫D2

f (x , y)dxdy

1.∫ ∫

2.∫ ∫

D g(x , y)dxdy

4. Ako je D1 ∩ D2 = ∅, tada je∫ ∫

D1f (x , y)dxdy +

∫ ∫D2

f (x , y)dxdy

1.∫ ∫

2.∫ ∫

D f (x , y)dxdy , λ ∈ R

3. f (x , y) ≤ g(x , y), za svaki (x , y) ∈ D, povlaci∫ ∫D f (x , y)dxdy ≤

∫ ∫D g(x , y)dxdy

4. Ako je D1 ∩ D2 = ∅, tada je∫ ∫

D1f (x , y)dxdy +

∫ ∫D2

f (x , y)dxdy

1.∫ ∫

2.∫ ∫

D g(x , y)dxdy

4. Ako je D1 ∩ D2 = ∅, tada je∫ ∫

D1f (x , y)dxdy +

∫ ∫D2

f (x , y)dxdy

1.∫ ∫

2.∫ ∫

D g(x , y)dxdy

4. Ako je D1 ∩ D2 = ∅,

tada je∫ ∫

D1f (x , y)dxdy +

∫ ∫D2

f (x , y)dxdy

1.∫ ∫

2.∫ ∫

D g(x , y)dxdy

4. Ako je D1 ∩ D2 = ∅, tada je∫ ∫

D1f (x , y)dxdy +

∫ ∫D2

f (x , y)dxdy

Integriranje po podrucju

ZadatakIzracunajte ∫ ∫

Deydxdy ,

gdje je D podrucje omedeno pravcem y = 2x, vertikalom x = 4 iosi apscisa.

Zadatak

Izracunajte

∫ ∫D

y 2dxdy , gdje je D podrucje omedeno parabolom

y = x2 + 1 i horizontalom y = 5.

Deydxdy ,

Zadatak

Izracunajte

∫ ∫D

Deydxdy ,

Zadatak

Izracunajte

∫ ∫D

Integriranje po podrucju II

ZadatakOdredite vrijednost ∫ ∫

Dln xdxdy ,

ako je D omedeno krivuljama x = 2, y = x i xy = 1.

Dsin(x − 2y)dxdy

ako je D podrucje omedeno s x = 0, y = 0 i x − 2y =π

Dln xdxdy ,

Dsin(x − 2y)dxdy

Dln xdxdy ,

Dsin(x − 2y)dxdy

Ispitni zadaci

Zadatak

Izracunajte

∫ ∫D

xydxdy gdje je podrucje D omedeno grafom

funkcijey = x2 i pravcem y = 9.

Zadatak

Izracunajte

∫ ∫D

(x + y)dxdy, gdje je D podrucje u ravnini

ograniceno pravcima y = x − 2, y = 2− x i y = 2.

Ispitni zadaci

Zadatak

Izracunajte

∫ ∫D

xydxdy gdje je podrucje D omedeno grafom

funkcijey = x2 i pravcem y = 9.

Zadatak

Izracunajte

∫ ∫D

(x + y)dxdy, gdje je D podrucje u ravnini

ograniceno pravcima y = x − 2, y = 2− x i y = 2.

Ispitni zadaci II

Zadatak

Izracunajte

∫ ∫D

(xy − x2)dxdy , gdje je D trokut s vrhovima u

tockama T1(0, 0), T2(1, 1), i T3(1, 10).

Zadatak

Izracunajte

∫ ∫D

(x2 + xy)dxdy, gdje je D = ∆ABC s vrhovima

A(0, 0), B = (4, 0) i C = (4, 4).

Ispitni zadaci II

Zadatak

Izracunajte

∫ ∫D

tockama T1(0, 0), T2(1, 1), i T3(1, 10).

Zadatak

Izracunajte

∫ ∫D

A(0, 0), B = (4, 0) i C = (4, 4).

Ispitni zadaci II

Zadatak

Izracunajte

∫ ∫D

tockama T1(0, 0), T2(1, 1), i T3(1, 10).

Zadatak

Izracunajte

∫ ∫D

A(0, 0), B = (4, 0) i C = (4, 4).

Domaca zadaca

Dx sin(x + y)dxdy

gdje je D omedeno sa x = 0, x = π, y = 0 i y = π2 .

y 2dxdy ,

gdje je D podrucje ograniceno krivuljama xy = 12 i x + y = 13.

Domaca zadaca

Dx sin(x + y)dxdy

gdje je D omedeno sa x = 0, x = π, y = 0 i y = π2 .

y 2dxdy ,

gdje je D podrucje ograniceno krivuljama xy = 12 i x + y = 13.

Domaca zadaca

1. Funkcija je zadana formulom f (x , y) = ln1 + x2 − y

4− x2 − y 2

Nacrtajte domenu i izracunajte prvi diferencijal u tocki (1,−1)

2. Napisite jednadzbe tangente i normale na hiperbolickiparaboloid 12z = 4x2 − 3y 2 u toci (2, 1, z)

3. Odredite lokalne ekstreme funkcijez = 3x2 − 4xy − 2y 2 − 4x + 3y + 100

4. Izracunajte∫ ∫

D(y + x)dxdy gdje je D pravokutnik odredenpravcima x = −2, x = 4, y = 0 i y = 3.

T x2dxdy ako je T trokut s vrhovimaA(0,−2), B = (3, 1) i C = (5,−2).

Domaca zadaca

1. Funkcija je zadana formulom f (x , y) = ln1 + x2 − y

4− x2 − y 2

Nacrtajte domenu i izracunajte prvi diferencijal u tocki (1,−1)

2. Napisite jednadzbe tangente i normale na hiperbolickiparaboloid 12z = 4x2 − 3y 2 u toci (2, 1, z)

3. Odredite lokalne ekstreme funkcijez = 3x2 − 4xy − 2y 2 − 4x + 3y + 100

D(y + x)dxdy gdje je D pravokutnik odredenpravcima x = −2, x = 4, y = 0 i y = 3.

T x2dxdy ako je T trokut s vrhovimaA(0,−2), B = (3, 1) i C = (5,−2).

Prijelaz na polarne koordinate

Polarne koordinate

x = r cosϕ

y = r sinϕ

dxdy = = rdrdϕ∫ ∫D

f (x , y) · dx · dy =

∫ ∫D

f (r cosϕ, r sinϕ) · r · dr · dϕ

∣∣∣∣∣ ∂x∂r

∂x∂ϕ

∂y∂r

∂y∂ϕ

∣∣∣∣∣ = r

Polarne koordinate

x = r cosϕ

y = r sinϕ

f (x , y) · dx · dy =

∫ ∫D

∣∣∣∣∣ ∂x∂r

∂x∂ϕ

∂y∂r

∂y∂ϕ

∣∣∣∣∣ = r

Polarne koordinate

x = r cosϕ

y = r sinϕ

f (x , y) · dx · dy =

∫ ∫D

∣∣∣∣∣ ∂x∂r

∂x∂ϕ

∂y∂r

∂y∂ϕ

∣∣∣∣∣ = r

Polarne koordinate

x = r cosϕ

y = r sinϕ

f (x , y) · dx · dy =

∫ ∫D

∣∣∣∣∣ ∂x∂r

∂x∂ϕ

∂y∂r

∂y∂ϕ

∣∣∣∣∣ = r

Polarne koordinate

x = r cosϕ

y = r sinϕ

dxdy = = rdrdϕ

∫ ∫D

f (x , y) · dx · dy =

∫ ∫D

∣∣∣∣∣ ∂x∂r

∂x∂ϕ

∂y∂r

∂y∂ϕ

∣∣∣∣∣ = r

Polarne koordinate

x = r cosϕ

y = r sinϕ

f (x , y) · dx · dy =

∫ ∫D

∣∣∣∣∣ ∂x∂r

∂x∂ϕ

∂y∂r

∂y∂ϕ

∣∣∣∣∣ = r

Polarne koordinate

x = r cosϕ

y = r sinϕ

f (x , y) · dx · dy =

∫ ∫D

∣∣∣∣∣ ∂x∂r

∂x∂ϕ

∂y∂r

∂y∂ϕ

∣∣∣∣∣ = r

Zadaci

Zadatak

Izracunajte

∫ ∫D

ln(x2 + y 2)dxdy , gdje je podrucje D omedjeno

krivuljama x2 + y 2 = e2, i x2 + y 2 = e4.

Zadatak

Izracunajte vrijednost

∫ ∫S

dxdy√x2 + y 2

, gdje je S podrucje

omedjeno kruznicom x2 + y 2 = 6x.

Zadaci

Zadatak

Izracunajte

∫ ∫D

Zadatak

∫ ∫S

dxdy√x2 + y 2

Zadaci

Zadatak

Izracunajte

∫ ∫D

Zadatak

∫ ∫S

dxdy√x2 + y 2

Zadaci II

ZadatakIzracunajte vrijednost∫ ∫

π2≤x2+y2≤4π2

sin√

x2 + y 2dxdy .

Dxydxdy

gdje je D podrucje omedjeno krivuljama zadanim jednadzbamax2 + y 2 = 4x, x2 + y 2 = 8x, koordinatnom osi y = 0, a za y ≥ 0.Obavezno nacrtajte podrucje D.

Zadaci II

ZadatakIzracunajte vrijednost∫ ∫

π2≤x2+y2≤4π2

sin√

x2 + y 2dxdy .

Dxydxdy

gdje je D podrucje omedjeno krivuljama zadanim jednadzbamax2 + y 2 = 4x, x2 + y 2 = 8x, koordinatnom osi y = 0, a za y ≥ 0.Obavezno nacrtajte podrucje D.

Ispitni zadaci

1. Izracunati ∫ ∫D

dxdy√16− x2 − y 2

gdje je D ograniceno sa x2 + y 2 = 16, y = x i y =√

3x , zay > 0.

2. Izracunajte ∫D

∫ √x2 + y 2 · cos2

√x2 + y 2 · dxdy

ako je D podrucje omedeno krivuljama x2 + y 2 = π2 ix2 + y 2 = 4π2 i pravcima y = x i y =

√3x .

Ispitni zadaci

dxdy√16− x2 − y 2

3x , zay > 0.

2. Izracunajte ∫D

∫ √x2 + y 2 · cos2

√x2 + y 2 · dxdy

√3x .

Ispitni zadaci

dxdy√16− x2 − y 2

3x , zay > 0.

2. Izracunajte ∫D

∫ √x2 + y 2 · cos2

√x2 + y 2 · dxdy

√3x .

Povrsina ravninskog lika

ZadatakIzracunati povrsinu polukruga.

ZadatakIzracunati povrsinu kruznog odsjecka koji se iz sredista vidi podkutom od 60o .

ZadatakIzracunati povrsinu koju u krugu promjera 20cm odreduju sekantepovucene iz iste tocke na kruznici pod kutom od 450, ako duljasekanta s promjerom zatvara kut od 150, a promjer je izmedusekanti.

Rjesenje je (25(√

3 + 1 + π) = 147cm2.

Rjesenje je (25(√

3 + 1 + π) = 147cm2.

Rjesenje je (25(√

3 + 1 + π) = 147cm2.

Rjesenje je (25(√

3 + 1 + π) = 147cm2.

Rjesenje je (25(√

3 + 1 + π) = 147cm2.

Izracunavanje mase i koordinata tezista ploce

Neka je ρ(x , y) formula povrsinske gustoce ploce koja zauzimapodrucje D u X 0Y ravnini. Tada se masa racuna po formuli

∫ ∫Dρ(x , y)dxdy .

Statisticki momenti obzirom na koordinatne osi:

∫ ∫D

yρ(x , y)dxdy , My =

∫ ∫D

xρ(x , y)dxdy .

Koordinate tezista:

xT =My

M; yT =

Geometrijsko teziste ako je ρ(x , y) = 1.

Neka je ρ(x , y) formula povrsinske gustoce ploce koja zauzimapodrucje D u X 0Y ravnini.

Tada se masa racuna po formuli

∫ ∫D

xρ(x , y)dxdy .

Koordinate tezista:

xT =My

M; yT =

∫ ∫D

xρ(x , y)dxdy .

Koordinate tezista:

xT =My

M; yT =

∫ ∫D

xρ(x , y)dxdy .

Koordinate tezista:

xT =My

M; yT =

∫ ∫D

xρ(x , y)dxdy .

Koordinate tezista:

xT =My

M; yT =

∫ ∫D

xρ(x , y)dxdy .

Koordinate tezista:

xT =My

M; yT =

Teziste

ZadatakOdredite teziste polukruga i cetvrtine kruga

ZadatakOdredite teziste trokuta koje zatvara pravac s koordinatnim osima,ako ordinatu presjeca u 3, a apscisu u 6.

ZadatakOdredite teziste paralelograma ABCD s vrhovima A = (0, 0),B = (5, 0) i C = (7, 3)

Teziste

Staticki moment inercije

ZadatakIzracunajte moment inercije kad povrsina ogranicena parabolama:

y 2 = 10x + 25; y 2 = −6x + 9

rotira oko osi simetrije.

ZadatakOdredite moment rotacije kad dvije nasuprotne cetvrtine krugax2 + y 2 ≤ 16 rotiraju oko ishodista. Da li je moment isti kadpolukrug istog kruga rotira oko ishodista?

y 2 = 10x + 25; y 2 = −6x + 9

ZadatakOdredite moment rotacije kad dvije nasuprotne cetvrtine krugax2 + y 2 ≤ 16 rotiraju oko ishodista.

Da li je moment isti kadpolukrug istog kruga rotira oko ishodista?

y 2 = 10x + 25; y 2 = −6x + 9

Diferencijalne jednadzbe. Definicija i primjeri

Jednadzbe u kojima su nepoznanice formule funkcija, a ujednadzbe ulaze derivacije nepoznatih funkcija.

Rjesenje ili korjen diferencijalne jednadzbe je formula funkcije kojauvrstavanjem jednadzbu prevodi u identitet.

Jednoznacnost zadavanjem pocetnih uvjeta

ZadatakPri brzini od 963 km/h pocinje se potisna sila motora aviona od 60tona povecavati tempom od 4 500 N po sekundi, sve dok nedosegne silu od 90 000 N. Koliki put preleti avion za vrijemepovecanja potisne sile?

Rjesenje diferencijalne jednadzbe

ZadatakPokazati da je (x − y + 1)y ′ = 1 diferencijalna jednadzba familijekrivulja y = x + cey .

Primjer

Naci onu integralnu krivulju opceg rjesenja

y = c1ex + c2e−2x

za koju je y(0) = 1, y ′(0) = 2.

Primjer

Odrediti diferencijalnu jednadzbu koja ima rjesenje

y = c1(x − c2)2

Primjer

y = c1ex + c2e−2x

za koju je y(0) = 1, y ′(0) = 2.

Primjer

y = c1(x − c2)2

Primjer

y = c1ex + c2e−2x

za koju je y(0) = 1, y ′(0) = 2.

Primjer

y = c1(x − c2)2

Primjer

y = c1ex + c2e−2x

za koju je y(0) = 1, y ′(0) = 2.

Primjer

y = c1(x − c2)2

Diferencijalne jednadzbe prvog reda

Formalni zapis je F (x , y , y ′) = 0, a rjesenja su eksplicitnay = ϕ(x , c) ili implicitna ψ(x , y , c) = 0

Uobicajene oznake:

y ′ =dy

dx; x ′ =

Uobicajene oznake:

y ′ =dy

dx; x ′ =

Uobicajene oznake:

y ′ =dy

dx; x ′ =

Uobicajene oznake:

y ′ =dy

x ′ =dx

Uobicajene oznake:

y ′ =dy

dx; x ′ =

Diferencijalne jednadzbe sa separiranimvarijablama

I na jednoj strani samo x , a na drugoj samo y ,

I X (x)dx = Y (y)dy .

I Rjesenje antideriviranjem;∫

X (x)dx =∫

Y (y)dy

ZadatakSeparirajte varijable i rijesite y ′ = − y

X (x)dx =∫

Y (y)dy

X (x)dx =∫

Y (y)dy

X (x)dx =∫

Y (y)dy

X (x)dx =∫

Y (y)dy

Zadaci

ZadatakRijesite tgx sin2 ydx + cos2 xctgydy = 0.

ZadatakIntegrirajte jednadzbu xyy ′ = 1− x2.

ZadatakOdredite partikularno rjesenje jednadzbe (1 + ex)yy ′ = ex kojezadovoljava pocetni uvjet y(0) = 1.

Zadaci

Primjena

ZadatakBrzina raspada radioaktivnih cestica proporcionalan je koliciniradioaktivnih cestica. Ako se polovica cestica raspadne za 80godina, na pocetku raspada je 25 molova cestica, a sada ih je 5molova, koliko je godina proslo od pocetka raspada?

ZadatakBrzina hladenja motora proporcionalna je razlici vanjsketemperature i trenutne temperature motora. Kod vanjsketemperature 250C , motor zagrijan na 900C rashladio se na 800Cza 5 min. Koliko bi trebalo da motor koji je zakuhao i trenutno jeugasen dode u stanje da mu se moze naliti voda temperature izpipe? Vani je 100C . Sto ako je vani 250C ?

Primjena

Homogenost

Definicija

Funkcija f (x , y) je homogena ako je f (kx , ky) = knf (x , y). Broj nje stupanj homogenosti.

Primjer

Funkcija f (x , y) = x2 − xy + y 2 je homogena stupnja 2.

Primjer

Funkcija f (x , y) = g(y

)je homogena stupnja 0.

Homogenost

Definicija

Primjer

Homogenost

Definicija

Primjer

Funkcija f (x , y) = x2 − xy + y 2 je homogena stupnja

Primjer

Homogenost

Definicija

Primjer

Homogenost

Definicija

Primjer

)je homogena stupnja

Homogenost

Definicija

Primjer

Homogena diferencijalna jednadzba

Diferencijalna jednadzba oblika M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 shomogenim funkcijama M(x , y) i N(x , y) istogstupnja.

Supstitucijom se separiraju varijable

x, z = z(x) =?

y = zx ,

y ′ = z ′x + z ,

dy = xdz + zdx

ZadatakRijesiti y ′ − y

x, z = z(x) =?

y = zx ,

y ′ = z ′x + z ,

dy = xdz + zdx

x, z = z(x) =?

y = zx ,

y ′ = z ′x + z ,

dy = xdz + zdx

x, z = z(x) =?

y = zx ,

y ′ = z ′x + z ,

dy = xdz + zdx

x, z = z(x) =?

y = zx ,

y ′ = z ′x + z ,

dy = xdz + zdx

Rijesiti homogene diferencijalne jednadzbe

ZadatakNadjite partikularno rjesenje jednadzbe (x2 − 3y 2)dx + 2xydy = 0,ako se trazi y(2) = 1.

ZadatakIntegrirajte ydx + (2

√xy − x)dy = 0.

Zadatak (Knjiga)

Rijesite homogenu jednadzbu (x − y)ydx − x2dy = 0.

√xy − x)dy = 0.

Zadatak (Knjiga)

√xy − x)dy = 0.

Zadatak (Knjiga)

√xy − x)dy = 0.

Zadatak (Knjiga)

Linearna diferencijalna jednadzba

Jednadzba oblika y ′ + f (x)y = g(x). Varijacije konstante:

1o korak Jednadzba y ′ + f (x)y = 0 separacijom varijabli, koja dajey = ϕ(x ,C ).

2o korak pretpostaviti da je konstanta nepoznata funkcija C → C (x).Uvrstavanje daje C (x).

ZadatakRijesite y ′ − tgxy = cos x.

Jednadzba oblika y ′ + f (x)y = g(x).

Varijacije konstante:

2o korak pretpostaviti da je konstanta nepoznata funkcija

C → C (x).Uvrstavanje daje C (x).

2o korak pretpostaviti da je konstanta nepoznata funkcija C → C (x).

Uvrstavanje daje C (x).

Rjesavanje linearnih diferencijalnih jednadzbi

ZadatakRijesite y ′ +

x= sin x.

ZadatakOdredite rjesenje jednadzbe xy ′ + y − ex = 0 koje zadovoljavapocetni uvjet y(a) = b.

ZadatakRijesite diferencijalnu jednadzbu(1 + y 2)dx = (

√1 + y 2 sin y − xy)dy

x= sin x.

Egzaktna diferencijalna jednadzba

Jednadzba P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0, ako je∂P

∂y=∂Q

(∂2g

∂x∂y=∂P

∂y=∂Q

Tehnika rjesavanja Postoji g(x , y), tako da jeP(x , y) = ∂g

∂x ; Q(x , y) = ∂g∂y .

Rjesenje je u obliku g(x , y) = c .

Integriranje po x daje g(x , y) =∫

P(x , y)dx + ϕ(y)

Parcijalnom derivacijom po y , iz∂g

∂y= Q(x , y), odredi se ϕ(y).

ZadatakRijesite diferencijalnu jednadzbu (x + y)dx + (x + 2y)dy = 0.

Jednadzba P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0,

ako je∂P

∂y=∂Q

(∂2g

∂x∂y=∂P

∂y=∂Q

∂x ; Q(x , y) = ∂g∂y .

P(x , y)dx + ϕ(y)

∂y=∂Q

(∂2g

∂x∂y=∂P

∂y=∂Q

∂x ; Q(x , y) = ∂g∂y .

P(x , y)dx + ϕ(y)

∂y=∂Q

(∂2g

∂x∂y=∂P

∂y=∂Q

∂x ; Q(x , y) = ∂g∂y .

P(x , y)dx + ϕ(y)

∂y=∂Q

(∂2g

∂x∂y=∂P

∂y=∂Q

∂x ; Q(x , y) = ∂g∂y .

P(x , y)dx + ϕ(y)

∂y=∂Q

(∂2g

∂x∂y=∂P

∂y=∂Q

∂x ; Q(x , y) = ∂g∂y .

P(x , y)dx + ϕ(y)

∂y=∂Q

(∂2g

∂x∂y=∂P

∂y=∂Q

∂x ; Q(x , y) = ∂g∂y .

P(x , y)dx + ϕ(y)

∂y=∂Q

(∂2g

∂x∂y=∂P

∂y=∂Q

∂x ; Q(x , y) = ∂g∂y .

P(x , y)dx + ϕ(y)

Rjesavanje egzaktnih jednadzbi

ZadatakOdredite opce rjesenje diferencijalne jednadzbe2xy3 dx + y2−3x2

y4 dy = 0.

ZadatakRijesiti jednadzbu xdx + ydy = xdy+ydx

x2+y2 .

ZadatakRijesite

xdx + (y 3 + ln x)dy = 0.

y4 dy = 0.

x2+y2 .

ZadatakRijesite

xdx + (y 3 + ln x)dy = 0.

y4 dy = 0.

x2+y2 .

ZadatakRijesite

xdx + (y 3 + ln x)dy = 0.

y4 dy = 0.

x2+y2 .

ZadatakRijesite

xdx + (y 3 + ln x)dy = 0.

Diferencijalne jednadzbe viseg reda

U diferencijalnim jednadzbama viseg reda treba pronaci formulufunkcije kojoj se u jednadzbi javljaju osim prve, druga, treca i visederivacije. U iznimnim situacijama takvu je jednadzbu mogucerijesiti, pa se ovdje prezentira rjesavanje nekoliko tipova.

Diferencijalne jednadzbe viseg reda

U diferencijalnim jednadzbama viseg reda treba pronaci formulufunkcije kojoj se u jednadzbi javljaju osim prve, druga, treca i visederivacije. U iznimnim situacijama takvu je jednadzbu mogucerijesiti, pa se ovdje prezentira rjesavanje nekoliko tipova.

Snizavanje reda diferencijalnih jednadzbi

Visestruko sukcesivno antideriviranje metoda je koja mudro rjesavajednadzbe oblika:

y (n) = f (x)

ukoliko je moguce iznalaziti niz primitivnih formula:

y (n−1) =

∫f (x)dx + C1

y (n−2) =

∫f (x)dx) + C1t + C2

y (n) = f (x)

y (n−1) =

∫f (x)dx + C1

y (n−2) =

∫f (x)dx) + C1t + C2

y (n) = f (x)

y (n−1) =

∫f (x)dx + C1

y (n−2) =

∫f (x)dx) + C1t + C2

y (n) = f (x)

y (n−1) =

∫f (x)dx + C1

y (n−2) =

∫f (x)dx) + C1t + C2

y (n) = f (x)

y (n−1) =

∫f (x)dx + C1

y (n−2) =

∫f (x)dx) + C1t + C2

y (n) = f (x)

y (n−1) =

∫f (x)dx + C1

y (n−2) =

∫f (x)dx) + C1t + C2

Primjer snizavanjem reda

ZadatakRijesite jednadzbu

y ′′ =1

cos2 x

ako je za x =π

4, y =

2, y ′ = 1.

ZadatakRijesite slijedece diferencijalne jednadzbe:

1. y ′′ = xex .

2. y ′′′ = sin x

3. y ′′ = x + sin x

y ′′ =1

cos2 x

ako je za x =π

4, y =

2, y ′ = 1.

1. y ′′ = xex .

2. y ′′′ = sin x

3. y ′′ = x + sin x

y ′′ =1

cos2 x

ako je za x =π

4, y =

2, y ′ = 1.

1. y ′′ = xex .

2. y ′′′ = sin x

3. y ′′ = x + sin x

y ′′ =1

cos2 x

ako je za x =π

4, y =

2, y ′ = 1.

1. y ′′ = xex .

2. y ′′′ = sin x

3. y ′′ = x + sin x

y ′′ =1

cos2 x

ako je za x =π

4, y =

2, y ′ = 1.

1. y ′′ = xex .

2. y ′′′ = sin x

3. y ′′ = x + sin x

y ′′ =1

cos2 x

ako je za x =π

4, y =

2, y ′ = 1.

1. y ′′ = xex .

2. y ′′′ = sin x

3. y ′′ = x + sin x

Kad nema oznake za y

Snizavanje reda u jednadzbama

F (x , y (p), y (p−1) . . . , y (n)) = 0,

u kojima najniza derivacija funkcije y bude p-ta,svodi se na supstituciju

p = y (p).

Konacno se rjesenje dobiva visestrukim integriranjemkao u zadatku (77).

ZadatakOdredite opce rjesenje diferencijalne jednadzbe drugog reda

(1 + x2)y ′′ + 2xy ′ = x3.

F (x , y (p), y (p−1) . . . , y (n)) = 0,

p = y (p).

(1 + x2)y ′′ + 2xy ′ = x3.

F (x , y (p), y (p−1) . . . , y (n)) = 0,

p = y (p).

(1 + x2)y ′′ + 2xy ′ = x3.

Kad nema oznake varijable x ...

Snizavanje reda moguce je provesti i kod jednadzbi oblika

F (y , y ′, y ′′, . . . , y (n))

supstitucijom y ′ = p, gdje se pretpostavlja p = p(y).Tada je

y ′′ =dp

dx= p′p,

jer se na p u novonapisanoj jednadzbi gleda kao nap = p(y).

Analogno

y ′′′ =d

dx(p′ · p) =

dy(p′p) · dy

dx= (p′′p + (p′)2)p = p′′p2 + pp′2.

Pomocno rjesenje se dobiva u obliku

p = Φ(y)

pa se konacno rjesenje zadane jednadzbe dobiva separacijomvarijabli:

dx= Φ(y)

Φ(y)= dx

F (y , y ′, y ′′, . . . , y (n))

y ′′ =dp

dx= p′p,

Analogno

y ′′′ =d

dx(p′ · p) =

dy(p′p) · dy

dx= (p′′p + (p′)2)p = p′′p2 + pp′2.

p = Φ(y)

dx= Φ(y)

Φ(y)= dx

F (y , y ′, y ′′, . . . , y (n))

y ′′ =dp

dx= p′p,

Analogno

y ′′′ =d

dx(p′ · p) =

dy(p′p) · dy

dx= (p′′p + (p′)2)p = p′′p2 + pp′2.

p = Φ(y)

dx= Φ(y)

Φ(y)= dx

F (y , y ′, y ′′, . . . , y (n))

y ′′ =dp

dx= p′p,

Analogno

y ′′′ =d

dx(p′ · p) =

dy(p′p) · dy

dx= (p′′p + (p′)2)p = p′′p2 + pp′2.

p = Φ(y)

dx= Φ(y)

Φ(y)= dx

F (y , y ′, y ′′, . . . , y (n))

y ′′ =dp

dx= p′p,

Analogno

y ′′′ =d

dx(p′ · p) =

dy(p′p) · dy

dx= (p′′p + (p′)2)p = p′′p2 + pp′2.

p = Φ(y)

dx= Φ(y)

Φ(y)= dx

F (y , y ′, y ′′, . . . , y (n))

y ′′ =dp

dx= p′p,

Analogno

y ′′′ =d

dx(p′ · p) =

dy(p′p) · dy

dx= (p′′p + (p′)2)p = p′′p2 + pp′2.

p = Φ(y)

dx= Φ(y)

Φ(y)= dx

F (y , y ′, y ′′, . . . , y (n))

y ′′ =dp

dx= p′p,

Analogno

y ′′′ =d

dx(p′ · p) =

dy(p′p) · dy

dx= (p′′p + (p′)2)p = p′′p2 + pp′2.

p = Φ(y)

dx= Φ(y)

Φ(y)= dx

Zadatak

y ′′y 3 = 1.

Zadatak

y ′′y 3 = 1.

Rijesite slijedece diferencijalne jednadzbe

1. (y ′)2 = y ′′.

2. (1− x2)y ′′ − xy ′ − 2 = 0

3. y ′′ + y ′tgx − sin 2x = 0

4. y ′′ + y ′ + x = 0

5. (1 + x2)y ′′ + 1 + (y ′)2 = 0

6. 2xy ′y ′′ = (y ′)2 − 1

7. y ′′(ex + 1) + y ′ = 0

8. y ′′ + 2y(y ′)3 = 0

9. 3yy ′′ − 5(y ′)2 = 0

1. (y ′)2 = y ′′.

2. (1− x2)y ′′ − xy ′ − 2 = 0

3. y ′′ + y ′tgx − sin 2x = 0

4. y ′′ + y ′ + x = 0

5. (1 + x2)y ′′ + 1 + (y ′)2 = 0

6. 2xy ′y ′′ = (y ′)2 − 1

7. y ′′(ex + 1) + y ′ = 0

8. y ′′ + 2y(y ′)3 = 0

9. 3yy ′′ − 5(y ′)2 = 0

1. (y ′)2 = y ′′.

2. (1− x2)y ′′ − xy ′ − 2 = 0

3. y ′′ + y ′tgx − sin 2x = 0

4. y ′′ + y ′ + x = 0

5. (1 + x2)y ′′ + 1 + (y ′)2 = 0

6. 2xy ′y ′′ = (y ′)2 − 1

7. y ′′(ex + 1) + y ′ = 0

8. y ′′ + 2y(y ′)3 = 0

9. 3yy ′′ − 5(y ′)2 = 0

1. (y ′)2 = y ′′.

2. (1− x2)y ′′ − xy ′ − 2 = 0

3. y ′′ + y ′tgx − sin 2x = 0

4. y ′′ + y ′ + x = 0

5. (1 + x2)y ′′ + 1 + (y ′)2 = 0

6. 2xy ′y ′′ = (y ′)2 − 1

7. y ′′(ex + 1) + y ′ = 0

8. y ′′ + 2y(y ′)3 = 0

9. 3yy ′′ − 5(y ′)2 = 0

1. (y ′)2 = y ′′.

2. (1− x2)y ′′ − xy ′ − 2 = 0

3. y ′′ + y ′tgx − sin 2x = 0

4. y ′′ + y ′ + x = 0

5. (1 + x2)y ′′ + 1 + (y ′)2 = 0

6. 2xy ′y ′′ = (y ′)2 − 1

7. y ′′(ex + 1) + y ′ = 0

8. y ′′ + 2y(y ′)3 = 0

9. 3yy ′′ − 5(y ′)2 = 0

1. (y ′)2 = y ′′.

2. (1− x2)y ′′ − xy ′ − 2 = 0

3. y ′′ + y ′tgx − sin 2x = 0

4. y ′′ + y ′ + x = 0

5. (1 + x2)y ′′ + 1 + (y ′)2 = 0

6. 2xy ′y ′′ = (y ′)2 − 1

7. y ′′(ex + 1) + y ′ = 0

8. y ′′ + 2y(y ′)3 = 0

9. 3yy ′′ − 5(y ′)2 = 0

1. (y ′)2 = y ′′.

2. (1− x2)y ′′ − xy ′ − 2 = 0

3. y ′′ + y ′tgx − sin 2x = 0

4. y ′′ + y ′ + x = 0

5. (1 + x2)y ′′ + 1 + (y ′)2 = 0

6. 2xy ′y ′′ = (y ′)2 − 1

7. y ′′(ex + 1) + y ′ = 0

8. y ′′ + 2y(y ′)3 = 0

9. 3yy ′′ − 5(y ′)2 = 0

1. (y ′)2 = y ′′.

2. (1− x2)y ′′ − xy ′ − 2 = 0

3. y ′′ + y ′tgx − sin 2x = 0

4. y ′′ + y ′ + x = 0

5. (1 + x2)y ′′ + 1 + (y ′)2 = 0

6. 2xy ′y ′′ = (y ′)2 − 1

7. y ′′(ex + 1) + y ′ = 0

8. y ′′ + 2y(y ′)3 = 0

9. 3yy ′′ − 5(y ′)2 = 0

1. (y ′)2 = y ′′.

2. (1− x2)y ′′ − xy ′ − 2 = 0

3. y ′′ + y ′tgx − sin 2x = 0

4. y ′′ + y ′ + x = 0

5. (1 + x2)y ′′ + 1 + (y ′)2 = 0

6. 2xy ′y ′′ = (y ′)2 − 1

7. y ′′(ex + 1) + y ′ = 0

8. y ′′ + 2y(y ′)3 = 0

9. 3yy ′′ − 5(y ′)2 = 0

1. (y ′)2 = y ′′.

2. (1− x2)y ′′ − xy ′ − 2 = 0

3. y ′′ + y ′tgx − sin 2x = 0

4. y ′′ + y ′ + x = 0

5. (1 + x2)y ′′ + 1 + (y ′)2 = 0

6. 2xy ′y ′′ = (y ′)2 − 1

7. y ′′(ex + 1) + y ′ = 0

8. y ′′ + 2y(y ′)3 = 0

9. 3yy ′′ − 5(y ′)2 = 0

Linearne diferencijalne jednadzbe n-tog reda

Oznake za nepoznatu funkciju i njene derivacije su u osnovnomobliku, bez kvadrata, korjena ili slaganja s nekim drugimfunkcijama. Jednadzbe se opcenito rjesavaju metodom Varijacijekonstanti.

Opci oblik linearne diferencijalne jednadzbe

y (n)+p1(x)·y (n−1)+· · ·+pn−1(x)·y ′(x)+pn(x)·y = f (x).

Linearne diferencijalne jednadzbe viseg reda s konstantnimkoeficijentima: pi (x) = ci .

Oznake za nepoznatu funkciju i njene derivacije su u osnovnomobliku, bez kvadrata, korjena ili slaganja s nekim drugimfunkcijama.

Jednadzbe se opcenito rjesavaju metodom Varijacijekonstanti.

Linearno nezavisan sustav funkcija jednevarijable

Linearno nezavisan sustav funkcija y1(x), . . . , yn(x) samo trivijalnoponistava svoju linearnu kombinaciju:

α1 · y1(x) + · · ·αn · yn(x) = 0⇒ α1 = · · · = αn = 0.

Eulerov zapis kompleksnog broja

Eulerov zapis kompleksnog broja glasi

ea+bi = ea · ebi = ea(cos b + i sin b).

Eulerov zapis kompleksnog broja

Eulerov zapis kompleksnog broja glasi

ea+bi = ea · ebi = ea(cos b + i sin b).

Homogene diferencijalne jednadzbe viseg reda

Fundamentalna rjesenja jednadzbe

αny (n) + αn−1yn−1 + · · ·+ α2y ′′ + α1y ′ + α0y = 0

su linearno nezavisne funkcije oblika

gdje je λ =? Opce rjesenje je linearna kombinacija fundamentalnihrjesenja.Red diferencijalne jednadzbe jednak je broju linearno nezavisnihrjesenja

αny (n) + αn−1yn−1 + · · ·+ α2y ′′ + α1y ′ + α0y = 0

gdje je λ =?

Opce rjesenje je linearna kombinacija fundamentalnihrjesenja.Red diferencijalne jednadzbe jednak je broju linearno nezavisnihrjesenja

αny (n) + αn−1yn−1 + · · ·+ α2y ′′ + α1y ′ + α0y = 0

gdje je λ =? Opce rjesenje je linearna kombinacija fundamentalnihrjesenja.

Red diferencijalne jednadzbe jednak je broju linearno nezavisnihrjesenja

αny (n) + αn−1yn−1 + · · ·+ α2y ′′ + α1y ′ + α0y = 0

Rijesite jednadzbe

1. y ′′ − 3y ′ + 2y = 0

2. y ′′ − 2y ′ + 2y = 0

3. y ′′ − 2y ′ + y = 0

4. y ′′ + 2y ′ + 3y = 0

5. y ′′′ − 8y = 0

6. y ′′ + 4y = 0

7. y ′′′ + y = 0

8. y IV − y = 0

Rijesite jednadzbe

1. y ′′ − 3y ′ + 2y = 0

2. y ′′ − 2y ′ + 2y = 0

3. y ′′ − 2y ′ + y = 0

4. y ′′ + 2y ′ + 3y = 0

5. y ′′′ − 8y = 0

6. y ′′ + 4y = 0

7. y ′′′ + y = 0

8. y IV − y = 0

Rijesite jednadzbe

1. y ′′ − 3y ′ + 2y = 0

2. y ′′ − 2y ′ + 2y = 0

3. y ′′ − 2y ′ + y = 0

4. y ′′ + 2y ′ + 3y = 0

5. y ′′′ − 8y = 0

6. y ′′ + 4y = 0

7. y ′′′ + y = 0

8. y IV − y = 0

Rijesite jednadzbe

1. y ′′ − 3y ′ + 2y = 0

2. y ′′ − 2y ′ + 2y = 0

3. y ′′ − 2y ′ + y = 0

4. y ′′ + 2y ′ + 3y = 0

5. y ′′′ − 8y = 0

6. y ′′ + 4y = 0

7. y ′′′ + y = 0

8. y IV − y = 0

Rijesite jednadzbe

1. y ′′ − 3y ′ + 2y = 0

2. y ′′ − 2y ′ + 2y = 0

3. y ′′ − 2y ′ + y = 0

4. y ′′ + 2y ′ + 3y = 0

5. y ′′′ − 8y = 0

6. y ′′ + 4y = 0

7. y ′′′ + y = 0

8. y IV − y = 0

Rijesite jednadzbe

1. y ′′ − 3y ′ + 2y = 0

2. y ′′ − 2y ′ + 2y = 0

3. y ′′ − 2y ′ + y = 0

4. y ′′ + 2y ′ + 3y = 0

5. y ′′′ − 8y = 0

6. y ′′ + 4y = 0

7. y ′′′ + y = 0

8. y IV − y = 0

Rijesite jednadzbe

1. y ′′ − 3y ′ + 2y = 0

2. y ′′ − 2y ′ + 2y = 0

3. y ′′ − 2y ′ + y = 0

4. y ′′ + 2y ′ + 3y = 0

5. y ′′′ − 8y = 0

6. y ′′ + 4y = 0

7. y ′′′ + y = 0

8. y IV − y = 0

Rijesite jednadzbe

1. y ′′ − 3y ′ + 2y = 0

2. y ′′ − 2y ′ + 2y = 0

3. y ′′ − 2y ′ + y = 0

4. y ′′ + 2y ′ + 3y = 0

5. y ′′′ − 8y = 0

6. y ′′ + 4y = 0

7. y ′′′ + y = 0

8. y IV − y = 0

Rijesite jednadzbe

1. y ′′ − 3y ′ + 2y = 0

2. y ′′ − 2y ′ + 2y = 0

3. y ′′ − 2y ′ + y = 0

4. y ′′ + 2y ′ + 3y = 0

5. y ′′′ − 8y = 0

6. y ′′ + 4y = 0

7. y ′′′ + y = 0

8. y IV − y = 0

Nehomogene diferencijalne jednadzbe

Nakon dobivanja opceg rjesenja homogenog dijela jednadzbe

y0(x) = C1y1(x) + · · ·+ Cnyn(x),

u konstantama se traze nepoznate formule iz sustava:

C ′1(x) · y1(x) + · · ·C ′n(x) · yn(x) = 0

C ′1(x) · y ′1(x) + · · ·C ′n(x) · y ′n(x) = 0

C ′1(x) · y ′′1 (x) + · · ·C ′n(x) · y ′′n (x) = 0...

C ′1(x) · y (n−1)1 (x) + · · ·C ′n(x) · y (n−1)

n (x) = f (x) (0.1)

y0(x) = C1y1(x) + · · ·+ Cnyn(x),

C ′1(x) · y1(x) + · · ·C ′n(x) · yn(x) = 0

C ′1(x) · y ′1(x) + · · ·C ′n(x) · y ′n(x) = 0

C ′1(x) · y ′′1 (x) + · · ·C ′n(x) · y ′′n (x) = 0...

C ′1(x) · y (n−1)1 (x) + · · ·C ′n(x) · y (n−1)

n (x) = f (x) (0.1)

y0(x) = C1y1(x) + · · ·+ Cnyn(x),

C ′1(x) · y1(x) + · · ·C ′n(x) · yn(x) = 0

C ′1(x) · y ′1(x) + · · ·C ′n(x) · y ′n(x) = 0

C ′1(x) · y ′′1 (x) + · · ·C ′n(x) · y ′′n (x) = 0...

C ′1(x) · y (n−1)1 (x) + · · ·C ′n(x) · y (n−1)

n (x) = f (x) (0.1)

Rijesite sljedece jednadzbe

1. y ′′ − 2y ′ + y =ex

2. y ′′ − y =2ex

ex − 13. y ′′ + 4y = 2tg x

4. y ′′ + y =1

1. y ′′ − 2y ′ + y =ex

2. y ′′ − y =2ex

ex − 13. y ′′ + 4y = 2tg x

4. y ′′ + y =1

1. y ′′ − 2y ′ + y =ex

2. y ′′ − y =2ex

ex − 1

3. y ′′ + 4y = 2tg x

4. y ′′ + y =1

1. y ′′ − 2y ′ + y =ex

2. y ′′ − y =2ex

ex − 13. y ′′ + 4y = 2tg x

4. y ′′ + y =1

1. y ′′ − 2y ′ + y =ex

2. y ′′ − y =2ex

ex − 13. y ′′ + 4y = 2tg x

4. y ′′ + y =1

Pogadanje partikularnog rjesenja

Funkcije smetnje I ex ,I sin x , cos x ,I f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · a2x2 + a1x + a0

i njihovi umnosci.

Navedeni oblici funkcije smetnje vode k pogadanju partikularnogrjesenja nakon rjesavanja homogenog dijela.

Opcenitoyp = xkeax [Rm(x) cos bx + Sm(x) sin bx ],

gdje su

I Rm(x),Sm(x) nepoznati polinomi stupnjam = maxr , s stupanja poznatih polinom uzsin bx , odnosno cos bx

I k kratnost rjesenja homogene jednadzbe koje sejavlja u funkciji smetnje.

i njihovi umnosci.

gdje su

i njihovi umnosci.

gdje su

i njihovi umnosci.

gdje su

i njihovi umnosci.

gdje su

i njihovi umnosci.

gdje su

Primjer

y ′′ − y = e−x

Primjer

y ′′ − y = e−x

Zadaci

Nadite opci integral jednadzbi

1. y ′′ + 2y = x2 + 2.

dt2+ 2

dt+ 2s = 2t3 − 2.

3. y ′′ − 2y ′ + y = e3x .

4. y ′′ + y ′ − 2y = (x2 − 1)e2x .

5. y ′′′ + y ′′ = x2 + 1 + 3ex .

6. y ′′ + y = sin 2x .

7. y ′′ + y = xex cos x .

Zadaci

1. y ′′ + 2y = x2 + 2.

dt2+ 2

dt+ 2s = 2t3 − 2.

3. y ′′ − 2y ′ + y = e3x .

4. y ′′ + y ′ − 2y = (x2 − 1)e2x .

5. y ′′′ + y ′′ = x2 + 1 + 3ex .

6. y ′′ + y = sin 2x .

7. y ′′ + y = xex cos x .

Zadaci

1. y ′′ + 2y = x2 + 2.

dt2+ 2

dt+ 2s = 2t3 − 2.

3. y ′′ − 2y ′ + y = e3x .

4. y ′′ + y ′ − 2y = (x2 − 1)e2x .

5. y ′′′ + y ′′ = x2 + 1 + 3ex .

6. y ′′ + y = sin 2x .

7. y ′′ + y = xex cos x .

Zadaci

1. y ′′ + 2y = x2 + 2.

dt2+ 2

dt+ 2s = 2t3 − 2.

3. y ′′ − 2y ′ + y = e3x .

4. y ′′ + y ′ − 2y = (x2 − 1)e2x .

5. y ′′′ + y ′′ = x2 + 1 + 3ex .

6. y ′′ + y = sin 2x .

7. y ′′ + y = xex cos x .

Zadaci

1. y ′′ + 2y = x2 + 2.

dt2+ 2

dt+ 2s = 2t3 − 2.

3. y ′′ − 2y ′ + y = e3x .

4. y ′′ + y ′ − 2y = (x2 − 1)e2x .

5. y ′′′ + y ′′ = x2 + 1 + 3ex .

6. y ′′ + y = sin 2x .

7. y ′′ + y = xex cos x .

Zadaci

1. y ′′ + 2y = x2 + 2.

dt2+ 2

dt+ 2s = 2t3 − 2.

3. y ′′ − 2y ′ + y = e3x .

4. y ′′ + y ′ − 2y = (x2 − 1)e2x .

5. y ′′′ + y ′′ = x2 + 1 + 3ex .

6. y ′′ + y = sin 2x .

7. y ′′ + y = xex cos x .

Zadaci

1. y ′′ + 2y = x2 + 2.

dt2+ 2

dt+ 2s = 2t3 − 2.

3. y ′′ − 2y ′ + y = e3x .

4. y ′′ + y ′ − 2y = (x2 − 1)e2x .

5. y ′′′ + y ′′ = x2 + 1 + 3ex .

6. y ′′ + y = sin 2x .

7. y ′′ + y = xex cos x .

Zadaci

1. y ′′ + 2y = x2 + 2.

dt2+ 2

dt+ 2s = 2t3 − 2.

3. y ′′ − 2y ′ + y = e3x .

4. y ′′ + y ′ − 2y = (x2 − 1)e2x .

5. y ′′′ + y ′′ = x2 + 1 + 3ex .

6. y ′′ + y = sin 2x .

7. y ′′ + y = xex cos x .

Zadaci

1. y ′′ + 2y = x2 + 2.

dt2+ 2

dt+ 2s = 2t3 − 2.

3. y ′′ − 2y ′ + y = e3x .

4. y ′′ + y ′ − 2y = (x2 − 1)e2x .

5. y ′′′ + y ′′ = x2 + 1 + 3ex .

6. y ′′ + y = sin 2x .

7. y ′′ + y = xex cos x .

Primjene diferencijalnih jednadzbi

ZadatakBiciklist pocinje spustanje 4% nizbrdicom iz stanja mirovanja bezokretanja pedala. Odredite njegov polozaj i brzinu na kraju 5.sekunde spustanja. Koeficijent trenja je 2%.

ZadatakS visine od 60 m izbaceno je vertikalno prema gore tijelo brzinom18 km/h. Napisite jednadzbu koja ce u svakom trenutku tizracunati visinu y na kojoj se nalazi tijelo. Kolika je brzina tijela utom trenutku? Koja je brzina pri udarcu u tlo?

ZadatakKondenzator kapaciteta C nabija se pod naponom U. Otporstrujnog kruga neka je R. Odredite jednadzbu koja daje napon nakondenzatoru u trenutku t od pocetka nabijanja kondenzatora?Koliko vremena treba za nabijanje kondenzatora?

ZadatakU casu od 2 dl, vrhom punu vinom, ulazi otrov koncentracije 90%brzinom od 30 ml/min. Ako je smrtonosna koncentracija otrova10%, nakon koliko vremena ce vino biti otrovano?

Linearna jednadzba

Izraz oblika α1x1 + α2x2 + · · ·+ αnxn = β, gdje su α1, . . . , αn, βpoznanice, a x1, x2, . . . , xn nepoznate.

ZadatakRijesite linearne jednadzbe

1. 8x = 4

2. 4x1 + x2 = 8

3. x1 − 3x2 + 4x3 = 12

Linearna jednadzba

1. 8x = 4

2. 4x1 + x2 = 8

3. x1 − 3x2 + 4x3 = 12

Linearna jednadzba

1. 8x = 4

2. 4x1 + x2 = 8

3. x1 − 3x2 + 4x3 = 12

Linearna jednadzba

1. 8x = 4

2. 4x1 + x2 = 8

3. x1 − 3x2 + 4x3 = 12

Linearna jednadzba

1. 8x = 4

2. 4x1 + x2 = 8

3. x1 − 3x2 + 4x3 = 12

Linearna jednadzba

1. 8x = 4

2. 4x1 + x2 = 8

3. x1 − 3x2 + 4x3 = 12

Linearni sustav

Kolekcija linearnih jednadzbi:

α11x1 + α12x2 + · · ·+ α1nxn = β1

α21x1 + α22x2 + · · ·+ α2nxn = β2

αm1x1 + αm2x2 + · · ·+ αmnxn = βm

Rjesenje je uredjena n-torka brojeva

γ3...γn

cije uvrstavanje

zadovoljava jednadzbe.

Linearni sustav

α11x1 + α12x2 + · · ·+ α1nxn = β1

α21x1 + α22x2 + · · ·+ α2nxn = β2

αm1x1 + αm2x2 + · · ·+ αmnxn = βm

γ3...γn

cije uvrstavanje

Linearni sustav

α11x1 + α12x2 + · · ·+ α1nxn = β1

α21x1 + α22x2 + · · ·+ α2nxn = β2

αm1x1 + αm2x2 + · · ·+ αmnxn = βm

γ3...γn

cije uvrstavanje

Definicija matrice

Matrica A tipa m × n je pravokutni zapis (brojeva) u obliku

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

... · · ·...

am1 am2 · · · amn

Primjeri

1. Rijesite linearni sustav:

x + 3z = 15

y + 2z = 12

2. Rijesite sustav i napisite bar dva rjesenja:

4x + 3y − 5z = 15

y − 6z = 3

2x − 3y + 4z = 2

3x − y − z = 3

Primjeri

x + 3z = 15

y + 2z = 12

4x + 3y − 5z = 15

y − 6z = 3

2x − 3y + 4z = 2

3x − y − z = 3

Primjeri

x + 3z = 15

y + 2z = 12

4x + 3y − 5z = 15

y − 6z = 3

2x − 3y + 4z = 2

3x − y − z = 3

Primjeri

x + 3z = 15

y + 2z = 12

4x + 3y − 5z = 15

y − 6z = 3

2x − 3y + 4z = 2

3x − y − z = 3

Matricni zapis sustava

Matrica sustava - koeficijenti uz nepoznanice

Prosirena matrica sustava - stupcem slobodnih koeficijenata.

Primjer

Zapisite matricno sustav:

2x1 + 3x2 + 11x3 + 5x4 = 2

x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 1

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = −3

x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = −3

ZadatakRjesite sustav.

Matrica sustava -

koeficijenti uz nepoznanice

Primjer

2x1 + 3x2 + 11x3 + 5x4 = 2

x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 1

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = −3

x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = −3

Primjer

2x1 + 3x2 + 11x3 + 5x4 = 2

x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 1

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = −3

x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = −3

Prosirena matrica sustava -

stupcem slobodnih koeficijenata.

Primjer

2x1 + 3x2 + 11x3 + 5x4 = 2

x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 1

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = −3

x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = −3

Primjer

2x1 + 3x2 + 11x3 + 5x4 = 2

x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 1

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = −3

x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = −3

Primjer

2x1 + 3x2 + 11x3 + 5x4 = 2

x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 1

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = −3

x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = −3

Primjer

2x1 + 3x2 + 11x3 + 5x4 = 2

x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 1

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = −3

x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = −3

Neobican primjer

Rijesite sustav i napisite bar jedno netrivijalno rjesenje:

x + 2y + 3z = 0

2x + y + z = 0

3x + 3y + 4z = 0

Elementarne transformacije nad retcima matrice

Elementarne transformacije nad retcima matrice su:

1. Zamjena redaka.

2. Mnozenje retka skalarom razlicitim od nule.

3. Dodavanje retka pomnozenog skalarom drugom retku.

ZadatakRijesite Gauss-Jordanovom metodom eliminacije

2x1 + 3x2 + 11x3 + 5x4 = 2

x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 1

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = −3

1. Zamjena redaka.

2x1 + 3x2 + 11x3 + 5x4 = 2

x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 1

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = −3

1. Zamjena redaka.

2x1 + 3x2 + 11x3 + 5x4 = 2

x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 1

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = −3

1. Zamjena redaka.

2x1 + 3x2 + 11x3 + 5x4 = 2

x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 1

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = −3

1. Zamjena redaka.

2x1 + 3x2 + 11x3 + 5x4 = 2

x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 1

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = −3

1. Zamjena redaka.

2x1 + 3x2 + 11x3 + 5x4 = 2

x1 + x2 + 5x3 + 2x4 = 1

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = −3

Egzistencija i jednoznacnost

Sustav moze biti:

1. nerjesiv ili inkonzistentan,

2. jedinstveno rjesiv ili deterministicki

3. neodreden, s beskonacno mnogo parametarskih rjesenja

Primjer

Nerjesiv sustav

2x + y + 4z + 8t = −1

x + 3y − 6z + 2t = 3

3x + 4y − 2z + 10t = 8.

Sustav moze biti:

Primjer

Nerjesiv sustav

2x + y + 4z + 8t = −1

x + 3y − 6z + 2t = 3

3x + 4y − 2z + 10t = 8.

Sustav moze biti:

Primjer

Nerjesiv sustav

2x + y + 4z + 8t = −1

x + 3y − 6z + 2t = 3

3x + 4y − 2z + 10t = 8.

Sustav moze biti:

Primjer

Nerjesiv sustav

2x + y + 4z + 8t = −1

x + 3y − 6z + 2t = 3

3x + 4y − 2z + 10t = 8.

Sustav moze biti:

Primjer

Nerjesiv sustav

2x + y + 4z + 8t = −1

x + 3y − 6z + 2t = 3

3x + 4y − 2z + 10t = 8.

Jednoznacno rjesenje

ZadatakRijesite metodom eliminacije

2x + y + 4z + 8t = −1

x + 3y − 6z + 2t = 3

3x − 2y + 2z − 2t = 8

2x − y + 2z = 4

Rjesenje: x = 2, y = −3, z = −3/2, t = 1/2

2x + y + 4z + 8t = −1

x + 3y − 6z + 2t = 3

3x − 2y + 2z − 2t = 8

2x − y + 2z = 4

Rjesenje: x = 2, y = −3, z = −3/2, t = 1/2

2x + y + 4z + 8t = −1

x + 3y − 6z + 2t = 3

3x − 2y + 2z − 2t = 8

2x − y + 2z = 4

Rjesenje: x = 2, y = −3, z = −3/2, t = 1/2

Primjeri matrica

1. kvadratna matrica: m = n

2. nul-matrica tipa m × n: aij = 0, ∀i , j

3. dijagonalna kvadratna matrica: i 6= j ⇒ aij = 0: dij = δij · aij4. jedinicna matrica I ili E , je kvadratna matrica za koju vrijedi

eij = δij

5. transponirana matrica matrice A tipa m × n je matrica AT

tipa n ×m, u kojoj je (aij)T = (aji )

6. simetricna matrica je kvadratna matrica A = AT

7. antisimetricna matrica je AT = −A

8. gornja trokutasta matrica: i > j ⇒ aij = 0

9. donja trokutasta matrica: i < j ⇒ aij = 0

Primjeri matrica

eij = δij

Primjeri matrica

eij = δij

Primjeri matrica

3. dijagonalna kvadratna matrica: i 6= j ⇒ aij = 0: dij = δij · aij

4. jedinicna matrica I ili E , je kvadratna matrica za koju vrijedieij = δij

Primjeri matrica

eij = δij

Primjeri matrica

eij = δij

Primjeri matrica

eij = δij

Primjeri matrica

eij = δij

Primjeri matrica

eij = δij

Primjeri matrica

eij = δij

Zbrajanje matrica. Mnozenje matricaskalarom

Neka su zadane matrice

[1 −2 90 2 −4

], B =

[4 −1 3−2 4 −1

Odredite 2A− 4B.

Skalarni produkt vektora

Zadatak

Neka su zadani vektori ~a =[

3 4 5]

i ~b =

62−7

Izracunajte ~a · ~b.

Skalarni produkt vektora

Zadatak

Neka su zadani vektori ~a =[

3 4 5]

i ~b =

62−7

Izracunajte ~a · ~b.

Mnozenje matrica

Definicija

Umnozak matrice A tipa m × n i s njom ulancane matrice B tipan × p je matrica C tipa m × p ciji se elementi dobivaju skalarnim

umnoskom cij =n∑

aik · bkj . A. Komutativnost ne vrijedi.

ZadatakIzracunajte 2 3

−1 40 −5

· [ 2 −4 0 6 −34 1 −5 2 −4

Mnozenje matrica

Definicija

umnoskom

cij =n∑

−1 40 −5

· [ 2 −4 0 6 −34 1 −5 2 −4

Mnozenje matrica

Definicija

umnoskom cij =n∑

−1 40 −5

· [ 2 −4 0 6 −34 1 −5 2 −4

Mnozenje matrica

Definicija

umnoskom cij =n∑

−1 40 −5

· [ 2 −4 0 6 −34 1 −5 2 −4

Pomnozite matrice

ZadatakPrimjenom definicije pomnozite zadane matrice:

1. [3 −25 −4

3 42 5

]2. 1 −3 2

3 −4 12 −5 3

· 2 5 6

1 2 51 3 2

Rjesenja

[5 27 0

1 5 −53 10 02 9 −7

Svojstva mnozenja matrica

Kvadratne matrice reda n zatvorene su za mnozenje matrica kojenije komutativno.

Jedinicna matrica reda n je neutralan element.

Determinante se prirodno odnose prema mnozenju:

det(A · B) = detA · detB,

Binet-Cauchyjev teorem. Augustin-Louis Cauchy1789-1857 i Jacques Philippe Marie Binet 1786-1856.

Binet-Cauchyjev teorem.

Augustin-Louis Cauchy1789-1857 i Jacques Philippe Marie Binet 1786-1856.

Matricni polinom

Neka je zadana matrica

1 −2 32 −4 13 −5 2

i neka je zadan polinom f (x) = 3x2 − 2x + 5. Izracunajte matricuf (A).

Inverzna matrica

Regularna matrica M je matrica s detM 6= 0.

Singularne nisu regularne.

TeoremZa svaku regularnu matricu M postoji jedinstvena matrica u oznaciM−1 za koju vrijedi

M ·M−1 = M−1 ·M = E .

Primjer

Za matricu

[1 −2−3 4

]odredite A−1.

ZadatakOdredite inverz matrice 3 −1 2

2 1 2−1 0 1

Inverzna matrica

Regularna matrica M je matrica s detM 6= 0.Singularne nisu regularne.

M ·M−1 = M−1 ·M = E .

Primjer

Za matricu

[1 −2−3 4

]odredite A−1.

2 1 2−1 0 1

Inverzna matrica

M ·M−1 = M−1 ·M = E .

Primjer

Za matricu

[1 −2−3 4

]odredite A−1.

2 1 2−1 0 1

Inverzna matrica

M ·M−1 = M−1 ·M = E .

Primjer

Za matricu

[1 −2−3 4

]odredite A−1.

2 1 2−1 0 1

Inverzna matrica

M ·M−1 = M−1 ·M = E .

Primjer

Za matricu

[1 −2−3 4

]odredite A−1.

2 1 2−1 0 1

.Bozidar Ivankovic Matematika 2

Matricna jednadzba

ZadatakRijesite matricnu jednadzbu:

0 1 00 0 −21 −1 0

1 −2 02 −3 41 0 −2

ZadatakOdredite nepoznatu matricu X : 2 0

−1 41 3

2 1 31 0 4−3 0 1

· X .

Matricna jednadzba

0 1 00 0 −21 −1 0

1 −2 02 −3 41 0 −2

−1 41 3

2 1 31 0 4−3 0 1

· X .

Matricna jednadzba

0 1 00 0 −21 −1 0

1 −2 02 −3 41 0 −2

−1 41 3

2 1 31 0 4−3 0 1

· X .

Zadatak

ZadatakOdredite inverz matrice

2 0 1−1 1 30 2 4

Provjerite rjesenje mnozenjem matrice i njenog inverza.

Odredite inverze slijedecih matrica:

1. [1 23 4

3 45 7

]3. 2 5 7

6 3 45 −2 −3

Drugi kolokvij

1. Zamjenom poretka integracije rijesite∫ 1

∫ −√y−√

4−2y2

2. Izracunati∫ ∫

D e−3(x2+y2)dxdy , gdje je D ogranicenokrivuljama x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 4, y = x i y = 0 a zay > 0.

3. Rijesite diferencijalnu jednadzbu y ′x−yx+yy ′ = −2.

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu x(x + 1)y ′′ − y ′ = x(x + 1)uz pocetni uvjet y(1) = 0.

5. Odredite opce rjesenje jednadzbe y ′′ − 4y ′ + 4y = e2x .

Drugi kolokvij

∫ −√y−√

4−2y2

Drugi kolokvij

∫ −√y−√

4−2y2

Drugi kolokvij

∫ −√y−√

4−2y2

Drugi kolokvij

∫ −√y−√

4−2y2

Drugi kolokvij

∫ −√y−√

4−2y2

Drugi kolokvij

1. Izracunajte

∫ ∫D

(xy − x2)dxdy , gdje je D trokut s vrhovima

u tockama T1(0, 0), T2(1, 1), i T3(1, 10).

2. Izracunajte

∫ ∫D

ln(x2 + y 2)

2(x2 + y 2)dxdy ako je podrucje D kruzni

vijenac zadan kruznicama x2 + y 2 = e2 i x2 + y 2 = e4.

3. Rijesite diferencijalnu jednadzbu y ′ − sin 2x = −y cos x

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu y ′′ − 5y ′ + 6y = 6xex .Odredite vrijednost konstanti za pocetne uvjete: y(0) = 1,y ′(0) = 0.

5. Rijesite diferencijalnu jednadzbu(yex + e−y )dx + (ex − xe−y )dy = 0 .

Drugi kolokvij

1. Izracunajte

∫ ∫D

u tockama T1(0, 0), T2(1, 1), i T3(1, 10).

2. Izracunajte

∫ ∫D

ln(x2 + y 2)

Drugi kolokvij

1. Izracunajte

∫ ∫D

u tockama T1(0, 0), T2(1, 1), i T3(1, 10).

2. Izracunajte

∫ ∫D

ln(x2 + y 2)

Drugi kolokvij

1. Izracunajte

∫ ∫D

u tockama T1(0, 0), T2(1, 1), i T3(1, 10).

2. Izracunajte

∫ ∫D

ln(x2 + y 2)

Drugi kolokvij

1. Izracunajte

∫ ∫D

u tockama T1(0, 0), T2(1, 1), i T3(1, 10).

2. Izracunajte

∫ ∫D

ln(x2 + y 2)

Drugi kolokvij, II

1. Izracunajte

∫ ∫D

(2x + y)dxdy , gdje je D podrucje omedeno

sa y = x2 − 2 i y = 1− 2x .

2. Izracunajte prelaskom na polarne koordinate

∫ ∫D

xydxdy ako

je podrucje D krug zadan kruznicom x2 + y 2 = 4x .

3. Rijesite diferencijalnu jednadzbu(1 + x

√x2 + y 2)dx + (y

√x2 + y 2 − y)dy = 0

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu dydx −

3yx = exx3.

5. Rijesite diferencijalnu jednadzbuy ′′ − 2y ′ + 10y = 37 cos 3x + 10 .

Drugi kolokvij, II

1. Izracunajte

∫ ∫D

sa y = x2 − 2 i y = 1− 2x .

∫ ∫D

xydxdy ako

√x2 + y 2)dx + (y

√x2 + y 2 − y)dy = 0

3yx = exx3.

Drugi kolokvij, II

1. Izracunajte

∫ ∫D

sa y = x2 − 2 i y = 1− 2x .

∫ ∫D

xydxdy ako

√x2 + y 2)dx + (y

√x2 + y 2 − y)dy = 0

3yx = exx3.

Drugi kolokvij, II

1. Izracunajte

∫ ∫D

sa y = x2 − 2 i y = 1− 2x .

∫ ∫D

xydxdy ako

√x2 + y 2)dx + (y

√x2 + y 2 − y)dy = 0

3yx = exx3.

Drugi kolokvij, II

1. Izracunajte

∫ ∫D

sa y = x2 − 2 i y = 1− 2x .

∫ ∫D

xydxdy ako

√x2 + y 2)dx + (y

√x2 + y 2 − y)dy = 0

3yx = exx3.

Drugi kolokvij, II

1. Izracunajte

∫ ∫D

sa y = x2 − 2 i y = 1− 2x .

∫ ∫D

xydxdy ako

√x2 + y 2)dx + (y

√x2 + y 2 − y)dy = 0

3yx = exx3.

Drugi kolokvij, III

1. Izracunajte integral∫ ∫

D(x + 2y)dxdy , gdje je D podrucjeomedeno sa y = x , y = 2x i x + y = 6.

2. Izracunajte prelaskom na polarne koordinate∫ ∫D(x2 + y 2)dxdy , gdje je D podrucje ograniceno kruznicom

x2 + y 2 = 2y .

3. Nadite ono rjesenje diferencijalne jednadzbe(3x − x2)dy = (2xy − 3y)dx za koje vrijedi uvjet y(1) = 2.

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu xy ′′ + y ′ − 3x3 = 0, a zatimodredite rjesenje koje zadovoljava pocetne uvjete y(1) = e2,y ′(1) = e.

5. Rijesite diferencijalnu jednadzbu y ′′ − 3y ′ + 2y = 7ex .

Drugi kolokvij, III

x2 + y 2 = 2y .

Drugi kolokvij, III

x2 + y 2 = 2y .

Drugi kolokvij, III

x2 + y 2 = 2y .

Drugi kolokvij, III

x2 + y 2 = 2y .

Drugi kolokvij, III

x2 + y 2 = 2y .

Zavrsni kolokvij, izvanredni studij, pocetak...

1. Odredite lokalne ekstreme funkcijef (x , y) = 2y 3 + x2y + 5y 2 + x2.(rj.min(0, 0) = 0; max(0,−5/3) = 125

27 ; (−2,−1), (2,−1)nemaju ekstrema)

2. Ispitajte konvergenciju reda∑∞

n=1(2x+1)n

2nn2 .(konvergencija na[−3

D(4− x − y)dxdy , ako je D podrucjeograniceno krivuljama x − y 2 = 0 i x − 1 = 0. (68/15)

27 ; (−2,−1), (2,−1)nemaju ekstrema)

n=1(2x+1)n

27 ; (−2,−1), (2,−1)nemaju ekstrema)

n=1(2x+1)n

27 ; (−2,−1), (2,−1)nemaju ekstrema)

n=1(2x+1)n

... i zavrsetak.

1. Rijesite diferencijalnu jednadzbu (x3 + ln y)dx + xy dy = 0

Napisite ono rjesenje koje zadovoljava rubni uvjety(1) = 1.(rj.x ln y + x4

4 = 14 )

2x − 3y + 4z = 2

3x − y − z = 3

(rjesenje:

+ α ·

... i zavrsetak.

4 = 14 )

2x − 3y + 4z = 2

3x − y − z = 3

(rjesenje:

+ α ·

... i zavrsetak.

4 = 14 )

2x − 3y + 4z = 2

3x − y − z = 3

(rjesenje:

+ α ·

Treci kolokvij, Krapina, redovi, priprema!

1. Napisati petu parcijalnu sumu i ispitati konvergenciju reda∑∞n=1

1·3·5···(2n−1)3n·n! .

2. Odredite podrucja konvergencije reda∑∞

(4+x)n .

3. Odredite interval konvergencije reda∑∞

n=1(2x−4)n

n√n.

4. Razvijte u Taylorov red oko tocke x0 = π funkcijuf (x) = sin x .

5. Nacrtajte spojnicu tocaka (2, 0) i (0, 2). Prosite periodickifunkciju ciji je graf spojnica. Napisite Fourierov red ovefunkcije.

1·3·5···(2n−1)3n·n! .

(4+x)n .

n=1(2x−4)n

n√n.

1·3·5···(2n−1)3n·n! .

(4+x)n .

n=1(2x−4)n

n√n.

1·3·5···(2n−1)3n·n! .

(4+x)n .

n=1(2x−4)n

n√n.

1·3·5···(2n−1)3n·n! .

(4+x)n .

n=1(2x−4)n

n√n.

1·3·5···(2n−1)3n·n! .

(4+x)n .

n=1(2x−4)n

n√n.

1·3·5···(2n−1)3n·n! .

(4+x)n .

n=1(2x−4)n

n√n.

Treci kolokvij, Krapina, redovi, druga priprema!

1. Napisati trecu parcijalnu sumu i ispitati konvergenciju reda∑∞n=1

(3x−24+x

n=1(2−x)n√

4. Razvijte u Taylorov red oko tocke x0 = 1 funkciju f (x) = 3√

x .Odredite interval konvergencije reda.

5. Napisite Fourierov red funkcije f : [−1, 1]→ R zadane

formulom f (x) =

2, x ∈ [−1, 0]0, x ∈ [0, 1]

(3x−24+x

n=1(2−x)n√

formulom f (x) =

2, x ∈ [−1, 0]0, x ∈ [0, 1]

(3x−24+x

n=1(2−x)n√

formulom f (x) =

2, x ∈ [−1, 0]0, x ∈ [0, 1]

(3x−24+x

n=1(2−x)n√

formulom f (x) =

2, x ∈ [−1, 0]0, x ∈ [0, 1]

(3x−24+x

n=1(2−x)n√

formulom f (x) =

2, x ∈ [−1, 0]0, x ∈ [0, 1]

(3x−24+x

n=1(2−x)n√

formulom f (x) =

2, x ∈ [−1, 0]0, x ∈ [0, 1]

Zavrsni kolokvij, izvanredni studij.

1. Nacrtajte domenu i napisite formulu prvog diferencijalafunkcije f (x , y) = ln(9− x2 − y) u tocki (1, 2).

2. Ispitajte konvergenciju reda∞∑n=1

(2x + 3)n

3. Izracunajte

∫ ∫D

(x2 + xy)dxdy , gdje je D = ∆ABC s

vrhovima A(0, 0), B = (4, 0) i C = (4, 4).

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu x2y ′ + y = 4.

5. Rijesite sustav jednadzbi

x + 3y − z = 5

2x − y + z = 6

(2x + 3)n

3. Izracunajte

∫ ∫D

vrhovima A(0, 0), B = (4, 0) i C = (4, 4).

x + 3y − z = 5

2x − y + z = 6

(2x + 3)n

3. Izracunajte

∫ ∫D

vrhovima A(0, 0), B = (4, 0) i C = (4, 4).

x + 3y − z = 5

2x − y + z = 6

(2x + 3)n

3. Izracunajte

∫ ∫D

vrhovima A(0, 0), B = (4, 0) i C = (4, 4).

x + 3y − z = 5

2x − y + z = 6

(2x + 3)n

3. Izracunajte

∫ ∫D

vrhovima A(0, 0), B = (4, 0) i C = (4, 4).

x + 3y − z = 5

2x − y + z = 6

(2x + 3)n

3. Izracunajte

∫ ∫D

vrhovima A(0, 0), B = (4, 0) i C = (4, 4).

x + 3y − z = 5

2x − y + z = 6

1. Nacrtajte domenu i napisite formulu prvog diferencijalafunkcijef (x , y) =

√9− x2 − y u tocki (1, 7).

(3− 2x)n

3. Izracunajte

∫ ∫D

(xy + y 2)dxdy , gdje je D = ∆ABC s

vrhovima A(0, 0), B = (2, 2) i C = (0, 2).

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu xy ′ − y = x3 ln x .

x − y + 3z = 2

x + 3y − z = 1

√9− x2 − y u tocki (1, 7).

(3− 2x)n

3. Izracunajte

∫ ∫D

vrhovima A(0, 0), B = (2, 2) i C = (0, 2).

x − y + 3z = 2

x + 3y − z = 1

√9− x2 − y u tocki (1, 7).

(3− 2x)n

3. Izracunajte

∫ ∫D

vrhovima A(0, 0), B = (2, 2) i C = (0, 2).

x − y + 3z = 2

x + 3y − z = 1

√9− x2 − y u tocki (1, 7).

(3− 2x)n

3. Izracunajte

∫ ∫D

vrhovima A(0, 0), B = (2, 2) i C = (0, 2).

x − y + 3z = 2

x + 3y − z = 1

√9− x2 − y u tocki (1, 7).

(3− 2x)n

3. Izracunajte

∫ ∫D

vrhovima A(0, 0), B = (2, 2) i C = (0, 2).

x − y + 3z = 2

x + 3y − z = 1

√9− x2 − y u tocki (1, 7).

(3− 2x)n

3. Izracunajte

∫ ∫D

vrhovima A(0, 0), B = (2, 2) i C = (0, 2).

x − y + 3z = 2

x + 3y − z = 1

1. Napisite jednadzbu tangencijalne ravnine na plohuy ln(x + 2z) + xz + y − 1 = 0 u tocki T = (1, 1, 0).

D(xy − y 2)dxdy , gdje je D trokut s vrhovima utockama T1(0, 0), T2(1, 1), i T3(10, 1).

3. Ispitajte interval konvergencije reda3x − 1

(3x − 1)2

(3x − 1)3

27+ · · · i ponasanje na

rubovima tog intervala.

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu y ′′ + 4y = 9 cos 3x . Odreditevrijednost konstanti za pocetne uvjete: y(0) = 1, y ′(0) = 0.

5. Rijesite matricnu jednadzbu: 1 1 30 2 10 0 1

1 0 −10 1 21 0 1

1 0 02 2 04 1 3

(3x − 1)2

(3x − 1)3

1 0 −10 1 21 0 1

1 0 02 2 04 1 3

(3x − 1)2

(3x − 1)3

1 0 −10 1 21 0 1

1 0 02 2 04 1 3

(3x − 1)2

(3x − 1)3

1 0 −10 1 21 0 1

1 0 02 2 04 1 3

(3x − 1)2

(3x − 1)3

1 0 −10 1 21 0 1

1 0 02 2 04 1 3

(3x − 1)2

(3x − 1)3

1 0 −10 1 21 0 1

1 0 02 2 04 1 3

1. Napisite jednadzbu tangencijalne ravnine na plohux ln(y + 2z) + yz + x − 1 = 0 u tocki T = (1, 1, 0) .

2. Izracunajte

∫ ∫D

u tockama T1(0, 0), T2(1, 1), i T3(1, 10).

3. Ispitajte interval konvergencije reda

3x − 1) + 9(

3x − 1)2 + 27(

3x − 1)3 + · · ·

4. Rijesite diferencijalnu jednadzbu y ′′ − 5y ′ + 6y = 6xex . uzuvjete: y(0) = 1, y ′(0) = 0.

5. Rijesite matricnu jednadzbu: 2 1 −10 3 20 0 1

1 0 −11 −1 00 1 1

1 0 01 2 02 1 3

2. Izracunajte

∫ ∫D

u tockama T1(0, 0), T2(1, 1), i T3(1, 10).

3x − 1) + 9(

3x − 1)2 + 27(

3x − 1)3 + · · ·

1 0 −11 −1 00 1 1

1 0 01 2 02 1 3

2. Izracunajte

∫ ∫D

u tockama T1(0, 0), T2(1, 1), i T3(1, 10).

3x − 1) + 9(

3x − 1)2 + 27(

3x − 1)3 + · · ·

1 0 −11 −1 00 1 1

1 0 01 2 02 1 3

2. Izracunajte

∫ ∫D

u tockama T1(0, 0), T2(1, 1), i T3(1, 10).

3x − 1) + 9(

3x − 1)2 + 27(

3x − 1)3 + · · ·

1 0 −11 −1 00 1 1

1 0 01 2 02 1 3

2. Izracunajte

∫ ∫D

u tockama T1(0, 0), T2(1, 1), i T3(1, 10).

3x − 1) + 9(

3x − 1)2 + 27(

3x − 1)3 + · · ·

1 0 −11 −1 00 1 1

1 0 01 2 02 1 3

2. Izracunajte

∫ ∫D

u tockama T1(0, 0), T2(1, 1), i T3(1, 10).

3x − 1) + 9(

3x − 1)2 + 27(

3x − 1)3 + · · ·

1 0 −11 −1 00 1 1

1 0 01 2 02 1 3

Numericko rjesavanje jednadzbi

Newtonova metoda.

I Jednadzba: f (x) = 0

I Funkcija f (x) mora biti dvaput derivabilnaI Izolirani interval rjesenja je [a, b] ako je

I f (a) · f (b) < 0I za svaki x ∈ [a, b], prva derivacija ima isti predznak: f ′(x) 6= 0I za svaki x ∈ [a, b], druga derivacija ima isti predznak:

f ′′(x) ≥ 0 ili f ′′(x) ≤ 0I druga derivacija u rubovima ne smije biti nula:

f ′′(a) · f ′′(b) 6= 0

I izolirani interval je najteze naci

Newtonova metoda.

f ′′(a) · f ′′(b) 6= 0

Newtonova metoda.

I Funkcija f (x) mora biti dvaput derivabilna

I Izolirani interval rjesenja je [a, b] ako jeI f (a) · f (b) < 0I za svaki x ∈ [a, b], prva derivacija ima isti predznak: f ′(x) 6= 0I za svaki x ∈ [a, b], druga derivacija ima isti predznak:

f ′′(a) · f ′′(b) 6= 0

Newtonova metoda.

f ′′(a) · f ′′(b) 6= 0

Newtonova metoda.

I f (a) · f (b) < 0

I za svaki x ∈ [a, b], prva derivacija ima isti predznak: f ′(x) 6= 0I za svaki x ∈ [a, b], druga derivacija ima isti predznak:

f ′′(a) · f ′′(b) 6= 0

Newtonova metoda.

I f (a) · f (b) < 0I za svaki x ∈ [a, b], prva derivacija ima isti predznak: f ′(x) 6= 0

I za svaki x ∈ [a, b], druga derivacija ima isti predznak:f ′′(x) ≥ 0 ili f ′′(x) ≤ 0

I druga derivacija u rubovima ne smije biti nula:f ′′(a) · f ′′(b) 6= 0

Newtonova metoda.

f ′′(x) ≥ 0 ili f ′′(x) ≤ 0

I druga derivacija u rubovima ne smije biti nula:f ′′(a) · f ′′(b) 6= 0

Newtonova metoda.

f ′′(a) · f ′′(b) 6= 0

Newtonova metoda.

f ′′(a) · f ′′(b) 6= 0

Iteracija

I postupak je iterativan i popunjava se tablica:

x f(x) f’(x)

I formula:

xn+1 = xn −f (xn)

f ′(xn)

I pocetak:

a, f ′′(a) · f (a) > 0b, f ′′(b) · f (b) > 0

Iteracija

x f(x) f’(x)

I formula:

xn+1 = xn −f (xn)

f ′(xn)

I pocetak:

a, f ′′(a) · f (a) > 0b, f ′′(b) · f (b) > 0

Iteracija

x f(x) f’(x)

I formula:

xn+1 = xn −f (xn)

f ′(xn)

I pocetak:

a, f ′′(a) · f (a) > 0b, f ′′(b) · f (b) > 0

Iteracija

x f(x) f’(x)

I formula:

xn+1 = xn −f (xn)

f ′(xn)

I pocetak:

a, f ′′(a) · f (a) > 0b, f ′′(b) · f (b) > 0

Iteracija

x f(x) f’(x)

I formula:

xn+1 = xn −f (xn)

f ′(xn)

I pocetak:

a, f ′′(a) · f (a) > 0b, f ′′(b) · f (b) > 0

Iteracija

x f(x) f’(x)

I formula:

xn+1 = xn −f (xn)

f ′(xn)

I pocetak:

a, f ′′(a) · f (a) > 0b, f ′′(b) · f (b) > 0

Iteracija

x f(x) f’(x)

I formula:

xn+1 = xn −f (xn)

f ′(xn)

I pocetak:

a, f ′′(a) · f (a) > 0b, f ′′(b) · f (b) > 0

Primjeri

ZadatakRijeite jednadzbu

x + ln x − 2 = 0

ZadatakOdredite broj za koji se podudara kvadrat i vrijednosteksponencijalne funkcije, odnosno rijesite jednadzbu

x2 = ex .

ZadatakOdredite broj x =? koji se podudara sa vrijednosti svojeg kosinusa,odnosno rijesite jednadzbu

x = cos x .

Primjeri

x + ln x − 2 = 0

x2 = ex .

x = cos x .

Primjeri

x + ln x − 2 = 0

x2 = ex .

x = cos x .

Priblizno integriranje

Trapezna formula

I Rjesava problem ∫ b

af (x)dx

I PostupakI podjela intervala na n jednakih dijelova:

∆x =b − a

I ocitati tockex0 = a, x1 = a + ∆x , . . . xn = bI izracunati yi = f (xi ), za i = 0, 1, . . . , nI tada je∫ b

f (x)dx ≈ ∆x

(y0 + yn

2+ y1 + y2 + · · ·+ yn−1

Trapezna formula

af (x)dx

∆x =b − a

f (x)dx ≈ ∆x

(y0 + yn

2+ y1 + y2 + · · ·+ yn−1

Trapezna formula

af (x)dx

∆x =b − a

f (x)dx ≈ ∆x

(y0 + yn

2+ y1 + y2 + · · ·+ yn−1

Trapezna formula

af (x)dx

I Postupak

I podjela intervala na n jednakih dijelova:

∆x =b − a

f (x)dx ≈ ∆x

(y0 + yn

2+ y1 + y2 + · · ·+ yn−1

Trapezna formula

af (x)dx

∆x =b − a

f (x)dx ≈ ∆x

(y0 + yn

2+ y1 + y2 + · · ·+ yn−1

Trapezna formula

af (x)dx

∆x =b − a

f (x)dx ≈ ∆x

(y0 + yn

2+ y1 + y2 + · · ·+ yn−1

Trapezna formula

af (x)dx

∆x =b − a

I ocitati tocke

x0 = a, x1 = a + ∆x , . . . xn = bI izracunati yi = f (xi ), za i = 0, 1, . . . , nI tada je∫ b

f (x)dx ≈ ∆x

(y0 + yn

2+ y1 + y2 + · · ·+ yn−1

Trapezna formula

af (x)dx

∆x =b − a

I ocitati tockex0 = a, x1 = a + ∆x , . . . xn = b

I izracunati yi = f (xi ), za i = 0, 1, . . . , nI tada je∫ b

f (x)dx ≈ ∆x

(y0 + yn

2+ y1 + y2 + · · ·+ yn−1

Trapezna formula

af (x)dx

∆x =b − a

I ocitati tockex0 = a, x1 = a + ∆x , . . . xn = bI izracunati yi = f (xi ), za i = 0, 1, . . . , n

I tada je∫ b

f (x)dx ≈ ∆x

(y0 + yn

2+ y1 + y2 + · · ·+ yn−1

Trapezna formula

af (x)dx

∆x =b − a

f (x)dx ≈ ∆x

(y0 + yn

2+ y1 + y2 + · · ·+ yn−1

Uvjet i ocjena pogreske

I Druga derivacija f ′′(x) bez prekida i omedena na [a, b]:|f ′′(x)| < M za svaki x ∈ [a, b]

I Razlika prave vrijednosti integrala i navedene sume Trapezneformule je manja od

Mb − a

12∆x2.

ZadatakTrapeznom formulom odredite∫ 5

√x3 + x2 + 1dx .

Mb − a

12∆x2.

√x3 + x2 + 1dx .

Mb − a

12∆x2.

√x3 + x2 + 1dx .

Mb − a

12∆x2.

√x3 + x2 + 1dx .

Zadaci

ZadatakIzracunajte ∫ 1

−1e−x

arctan2 x

x2 + 1dx

Pokusajte provjeriti rjesenje.

x2 + x + 1

sin2 x + 1dx .

Zadaci

−1e−x

arctan2 x

x2 + 1dx

x2 + x + 1

sin2 x + 1dx .

Zadaci

−1e−x

arctan2 x

x2 + 1dx

x2 + x + 1

sin2 x + 1dx .

Zadaci

−1e−x

arctan2 x

x2 + 1dx

x2 + x + 1

sin2 x + 1dx .

Priprema drugog kolokvija

1. Izracunajte

−4e−x

2dx tako da podijelite interval na 8

jednakih dijelova. Kvadrirajte dobiveni iznos.

2. Nacrtajte cetvrtinu kruga sa centrom u ishodistu, polumjera4, kojeg odreduju pravci y = x i y = −x . Izracunajte∫ ∫

D ydxdy prelaskom na polarne koordinate, ako je podrucjeD ono koje ste nacrtali. Izracunajte povrcinu podrucja. Iz

formule

∫ ∫D ydxdy

P(D)odredite teziste lika.

3. Odredite onaj x 6= 0 za koji je arctan x = x2 do nastotisucinku.

4. Ispitajte konvergenciju redan(4x − 8)n

2n(n3 − n + 1). Posebno ispitajte

konvergenciju u rubnim tockama intervala.

5. Razvijte funkciju f (x) =√

(3x − 2) u Taylorov red oko tockex = 1 i odredite interval apsolutne konvergencije.

1. Izracunajte

−4e−x

formule

∫ ∫D ydxdy

1. Izracunajte

−4e−x

formule

∫ ∫D ydxdy

1. Izracunajte

−4e−x

formule

∫ ∫D ydxdy

1. Izracunajte

−4e−x

formule

∫ ∫D ydxdy

1. Izracunajte

−4e−x

formule

∫ ∫D ydxdy

Matematika 2 - FPZe-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_II/Novosti/...Kona cna suma Zbrojiti a + aq...

Documents

Transcript of Matematika 2 - FPZe-student.fpz.hr/Predmeti/M/Matematika_II/Novosti/...Kona cna suma Zbrojiti a + aq...