Post on 26-May-2015
description
www.online.lyceo.nl
4.1 Bewijzen in de vlakke meetkunde
Wiskunde B – VWO
4. Voortgezette meetkunde
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Onderwerpen Wiskunde B
Wiskunde B
1. Functies en grafieken
2. Differentiaal‐ en integraalrekening
3. Goniometrischefuncties
4. Voortgezettemeetkunde
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Onderwerpen Wiskunde B
Wiskunde B
1. Functies en grafieken
1.1 Standaardfuncties
1.2 Functies, grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden
2. Differentiaal‐ en integraalrekening
2.1 Differentiaal‐rekening
2.2 Integraalrekening
3. Goniometrischefuncties
3.1 Goniometrische functies
3.2 Parameter‐krommen
4. Voortgezettemeetkunde
4.1 Bewijzen in de vlakke meetkunde
4.2 Afstanden en conflictlijnen
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Driehoeken
• Hoeken samen zijn 180°
• Oppervlakte =
• Rechthoekige driehoek
– 1 hoek is 90 °
– Phytagoras:
hoogtebasis ⋅⋅21
222 cba =+
a
b
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Speciale Driehoeken
• Gelijkbenige driehoek
– 2 zijden met gelijke lengte
– 2 hoeken zijn gelijk
• Gelijkzijdige driehoek
– 3 zijden met gelijke lengte
– Alle hoeken zijn 60°
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Hoeken
• Cosinusregel:
• Sinusregel:
)(babac γcos2222 ⋅⋅−+=
)(c
)(b
)(a
γβα sinsinsin==
a
b
c
α
β
γ
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Congruentie
2 driehoeken zijn congruent als ze gelijk hebben:
– Alle zijden (ZZZ)
– 2 zijde en 1 tussenliggende hoek (ZHZ)
– 1 zijde en 2 aanliggende hoeken (ZHH)
– 1 zijde, aanliggende en overstaande hoek (ZHH)
– 2 zijden en overstaande rechthoekige hoek (ZZR)
a
b
c
α
β
γ
a
b
c
α
β
γ
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Gelijkvormigheid
2 driehoeken zijn gelijkvormig als:
– Minimaal 2 hoeken gelijk (hh)
– Verhouding van zijden gelijk (zzz)
– 1 hoek en verhouding omliggende zijden (zhz)
– 2 zijden en rechte hoek (zzr)
a
b
c
α
β
γ
a
b
c
α
β
γ
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Speciale lijnen
Wiskunde B – vwo
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Speciale lijnen in driehoeken
• Zwaartelijn
– Vanuit hoekpunt naar midden overstaande zijde
• Hoogtelijn
– Vanuit hoekpunt loodrecht op overstaande zijde
• Bisectrice
– Vanuit hoekpunt, deelt hoek in 2 gelijke delen
• Middelloodlijn
– Vanuit midden van zijde loodrecht op zijde
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Hoeken
Wiskunde B – vwo
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Hoeken in het algemeen
• F – hoeken
• Z ‐ hoeken
• Overstaande hoeken
• Gestrekte hoeken
∗
∗
∗
∗
∗∗ ••
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Overige figuren
Wiskunde B – vwo
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Parallellogram
• Overstaande zijden lopen evenwijdig
• Hoeken samen 360°
• Overstaande hoeken zijn gelijk
• Oppervlakte:
• Speciale gevallen: rechthoek, vierkant, ruit
)(BAhoogte basis ψsin⋅⋅⋅ of
A
A
B B
ψ
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Regelmatige veelhoek
• Alle hoeken zijn even groot
• Alle zijden zijn even lang
• Voorbeeld: vierkant, 5‐hoek etc.
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Trapezium
• Vierhoek waarbij minstens 2 zijden evenwijdig lopen
• Hoeken samen 360°
• Oppervlakte: hb)(a ⋅+21
a
b
h
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Cirkel
• Omtrek:
• Oppervlakte:
• Oppervlakte cirkelsector:
• Lijn k is een koorde
rπ ⋅⋅2
2rπ ⋅
2
360rπ
α⋅⋅
r
αk
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Cirkeleigenschappen
• Lijn van middelpunt loodrecht op koorde:
– Deelt koorde middendoor
• Raaklijn aan cirkel:
– Staat loodrecht op verbindingslijn van middelpunt naar raakpunt
M
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Bogen en koorden
• Bij gelijke bogen horen gelijke koorden
• Als b1 = b2 dan geldt dat k1 = k2
k2
k1
b2
b1
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Koordenvierhoek
• Alle punten van vierhoek liggen op een cirkel
• Som van elk paar overstaande hoeken is 180°:
AB
CD
αβ
γδ
°=+=+ 180δβγα
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Thales
• Als in driehoek ABC geldt dan:
– Ligt C op cirkel met middellijn AB
• Omgekeerd: Als C op cirkel ligt met middellijn AB dan geldt:
–
°=∠ 90C
°=∠ 90C
B
CA
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Constante hoek
• Als C en D op cirkel liggen, aan dezelfde kant van koorde AB dan:
–
A
BC
D
γ
δ
ADBACB ∠=∠
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Middelpunts‐ en omtrekshoek
• Punten A,B en C liggen op cirkel met middelpunt M
• Omtrekshoek =
• Middelpuntshoek =
• Er geldt: AMCABC ∠=∠21
A
B
C
M
AMC∠
ABC∠
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Raaklijnhoek
• Punten A en B liggen op cirkel met middelpunt M
• Lijn k is raaklijn aan cirkel in punt A
• Hoek tussen koorde AB en lijn k is helft van middelpuntshoek:
–
A
B
k
M
α
AMB∠=∠21α
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Tips & Tricks
Wiskunde B – vwo
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Stappenplan voor bewijzen
1. Lees de vraag goed, schets figuur en geef aan wat je weet
2. Geef aan wat bewezen moet worden
3. Zoek naar
a. Z‐hoeken en F‐hoeken
b. Congruente, gelijkvormige of gelijkbenige driehoeken
c. Evenwijdigheid van lijnen
4. Verwijs in je bewijs naar:
a. Gegevens in de opgaven
b. Formules van je formuleblad
5. Sluit af met een conclusie
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Tips & Tricks
• Stellingen die op het formule blad staan mag je gebruiken zonder ze
te bewijzen
• Schets altijd de situatie en schrijf in je schets alle gegeven
informatie
• Moet je bewijzen dat een punt M op de verbindingslijn van punten
A en B ligt:
– Bewijs dan dat °=∠ 180AMB
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Samenvatting
Het volgende is behandeld:
• Driehoeken
• Andere figuren
• Lijnen
• Hoeken
• Cirkeleigenschappen
• Bewijzen
Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl
Lyceo – Vergroot je kans van slagen!
Lyceo biedt begeleiding en training voor iedere scholier!
• Examentraining – ga naar www.lyceo.nl
• Huiswerkbegeleiding – ga naar www.huiswerkklasdelft.nl
• Online training – ga naar lyceo.memotrainer.nl
Partners van Lyceo: