Lyceo Wiskunde B Hoofdstuk 4 1 Vlakke Meetkunde

www.online.lyceo.nl

4.1 Bewijzen in de vlakke meetkunde

Wiskunde B – VWO

4. Voortgezette meetkunde

Presentatie Lyceo Online www.online.lyceo.nl

Onderwerpen Wiskunde B

Wiskunde B

1. Functies en grafieken

2. Differentiaal‐ en integraalrekening

3. Goniometrischefuncties

4. Voortgezettemeetkunde


Onderwerpen Wiskunde B

Wiskunde B

1. Functies en grafieken

1.1 Standaardfuncties

1.2 Functies, grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

2. Differentiaal‐ en integraalrekening

2.1 Differentiaal‐rekening

2.2 Integraalrekening

3. Goniometrischefuncties

3.1 Goniometrische functies

3.2 Parameter‐krommen

4. Voortgezettemeetkunde

4.1 Bewijzen in de vlakke meetkunde

4.2 Afstanden en conflictlijnen


Driehoeken

• Hoeken samen zijn 180°

• Oppervlakte =

• Rechthoekige driehoek

– 1 hoek is 90 °

– Phytagoras:

hoogtebasis ⋅⋅21

222 cba =+

a

b


Speciale Driehoeken

• Gelijkbenige driehoek

– 2 zijden met gelijke lengte

– 2 hoeken zijn gelijk

• Gelijkzijdige driehoek

– 3 zijden met gelijke lengte

– Alle hoeken zijn 60°


Hoeken

• Cosinusregel:

• Sinusregel:

)(babac γcos2222 ⋅⋅−+=

)(c

)(b

)(a

γβα sinsinsin==

a

b

c

α

β

γ


Congruentie

2 driehoeken zijn congruent als ze gelijk hebben:

– Alle zijden (ZZZ)

– 2 zijde en 1 tussenliggende hoek (ZHZ)

– 1 zijde en 2 aanliggende hoeken (ZHH)

– 1 zijde, aanliggende en overstaande hoek (ZHH)

– 2 zijden en overstaande rechthoekige hoek (ZZR)

a

b

c

α

β

γ

a

b

c

α

β

γ


Gelijkvormigheid

2 driehoeken zijn gelijkvormig als:

– Minimaal 2 hoeken gelijk (hh)

– Verhouding van zijden gelijk (zzz)

– 1 hoek en verhouding omliggende zijden (zhz)

– 2 zijden en rechte hoek (zzr)

a

b

c

α

β

γ

a

b

c

α

β

γ


Speciale lijnen

Wiskunde B – vwo


Speciale lijnen in driehoeken

• Zwaartelijn

– Vanuit hoekpunt naar midden overstaande zijde

• Hoogtelijn

– Vanuit hoekpunt loodrecht op overstaande zijde

• Bisectrice

– Vanuit hoekpunt, deelt hoek in 2 gelijke delen

• Middelloodlijn

– Vanuit midden van zijde loodrecht op zijde


Hoeken

Wiskunde B – vwo


Hoeken in het algemeen

• F – hoeken

• Z ‐ hoeken

• Overstaande hoeken

• Gestrekte hoeken

∗

∗

∗

∗

∗∗ ••


Overige figuren

Wiskunde B – vwo


Parallellogram

• Overstaande zijden lopen evenwijdig

• Hoeken samen 360°

• Overstaande hoeken zijn gelijk

• Oppervlakte:

• Speciale gevallen: rechthoek, vierkant, ruit

)(BAhoogte basis ψsin⋅⋅⋅ of

A

A

B B

ψ


Regelmatige veelhoek

• Alle hoeken zijn even groot

• Alle zijden zijn even lang

• Voorbeeld: vierkant, 5‐hoek etc.


Trapezium

• Vierhoek waarbij minstens 2 zijden evenwijdig lopen

• Hoeken samen 360°

• Oppervlakte: hb)(a ⋅+21

a

b

h


Cirkel

• Omtrek:

• Oppervlakte:

• Oppervlakte cirkelsector:

• Lijn k is een koorde

rπ ⋅⋅2

2rπ ⋅

2

360rπ

α⋅⋅

r

αk


Cirkeleigenschappen

• Lijn van middelpunt loodrecht op koorde:

– Deelt koorde middendoor

• Raaklijn aan cirkel:

– Staat loodrecht op verbindingslijn van middelpunt naar raakpunt

M


Bogen en koorden

• Bij gelijke bogen horen gelijke koorden

• Als b1 = b2 dan geldt dat k1 = k2

k2

k1

b2

b1


Koordenvierhoek

• Alle punten van vierhoek liggen op een cirkel

• Som van elk paar overstaande hoeken is 180°:

AB

CD

αβ

γδ

°=+=+ 180δβγα


Thales

• Als in driehoek ABC geldt dan:

– Ligt C op cirkel met middellijn AB

• Omgekeerd: Als C op cirkel ligt met middellijn AB dan geldt:

–

°=∠ 90C

°=∠ 90C

B

CA


Constante hoek

• Als C en D op cirkel liggen, aan dezelfde kant van koorde AB dan:

–

A

BC

D

γ

δ

ADBACB ∠=∠


Middelpunts‐ en omtrekshoek

• Punten A,B en C liggen op cirkel met middelpunt M

• Omtrekshoek =

• Middelpuntshoek =

• Er geldt: AMCABC ∠=∠21

A

B

C

M

AMC∠

ABC∠


Raaklijnhoek

• Punten A en B liggen op cirkel met middelpunt M

• Lijn k is raaklijn aan cirkel in punt A

• Hoek tussen koorde AB en lijn k is helft van middelpuntshoek:

–

A

B

k

M

α

AMB∠=∠21α


Tips & Tricks

Wiskunde B – vwo


Stappenplan voor bewijzen

1. Lees de vraag goed, schets figuur en geef aan wat je weet

2. Geef aan wat bewezen moet worden

3. Zoek naar

a. Z‐hoeken en F‐hoeken

b. Congruente, gelijkvormige of gelijkbenige driehoeken

c. Evenwijdigheid van lijnen

4. Verwijs in je bewijs naar:

a. Gegevens in de opgaven

b. Formules van je formuleblad

5. Sluit af met een conclusie


Tips & Tricks

• Stellingen die op het formule blad staan mag je gebruiken zonder ze

te bewijzen

• Schets altijd de situatie en schrijf in je schets alle gegeven

informatie

• Moet je bewijzen dat een punt M op de verbindingslijn van punten

A en B ligt:

– Bewijs dan dat °=∠ 180AMB


Samenvatting

Het volgende is behandeld:

• Driehoeken

• Andere figuren

• Lijnen

• Hoeken

• Cirkeleigenschappen

• Bewijzen


Lyceo – Vergroot je kans van slagen!

Lyceo biedt begeleiding en training voor iedere scholier!

• Examentraining – ga naar www.lyceo.nl

• Huiswerkbegeleiding – ga naar www.huiswerkklasdelft.nl

• Online training – ga naar lyceo.memotrainer.nl

Partners van Lyceo:

http://www.lyceo.nl/

http://www.huiswerkklasdelft.nl/

http://lyceo.memotrainer.nl/

http://www.fontys.nl/lerarenopleiding/tilburg/

http://www.tudelft.nl/

http://www.vu.nl/

http://www.betawijs.nl/

Lyceo Wiskunde B Hoofdstuk 4 1 Vlakke Meetkunde

Education

Transcript of Lyceo Wiskunde B Hoofdstuk 4 1 Vlakke Meetkunde