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Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 1/40
Álgebra LinealMa1010
Vectores en Rn y producto puntoDepartamento de Matemáticas
ITESM
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 2/40
Introducción
En este apartado se introduce el concepto devectores en el espacio n-dimensional asi como elconcepto producto punto entre vectores en elespacio n-dimensional. Se incluyen anotacionesgeométricas sobre estos conceptos.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 3/40
Vector
Un vector n es arreglo vertical de n númerosreales de la forma:
x =
x1
x2
...xn
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 3/40
Vector
Un vector n es arreglo vertical de n númerosreales de la forma:
x =
x1
x2
...xn
Los elementos xi se llamarán las componentes delvector y podrán ser números reales cualquiera.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 4/40
Ejemplo
El vector
x =
5
−3
8
−2
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 4/40
Ejemplo
El vector
x =
5
−3
8
−2
es un vector 4, es decir es un vector con 4componentes.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 4/40
Ejemplo
El vector
x =
5
−3
8
−2
es un vector 4, es decir es un vector con 4componentes. La componente 1 es 5,
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Ejemplo
El vector
x =
5
−3
8
−2
es un vector 4, es decir es un vector con 4componentes. La componente 1 es 5, lacomponente 2 es -3,
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Ejemplo
El vector
x =
5
−3
8
−2
es un vector 4, es decir es un vector con 4componentes. La componente 1 es 5, lacomponente 2 es -3, la componente 3 es 8,
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Ejemplo
El vector
x =
5
−3
8
−2
es un vector 4, es decir es un vector con 4componentes. La componente 1 es 5, lacomponente 2 es -3, la componente 3 es 8, y lacomponente 4 es -2 �
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AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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000
0.5 1
0.5
1.50.5
2
1
1.5
1
2
1.5
2.5
3
2
Figura 1: Componentes de un Vector
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Igualdad entre vectores
Dos vectores ~x y ~y se dicen vectores iguales sitienen la misma dimensión y las coordenadascorrespondientes son todas iguales.
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AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Ejemplo
Indique para que valor de x y y los vectores soniguales:
x =
[
x− 1
3
]
y =
[
y − 3
x+ 1
]
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Ejemplo
Indique para que valor de x y y los vectores soniguales:
x =
[
x− 1
3
]
y =
[
y − 3
x+ 1
]
Soluci onIgualando componentes:
x− 1 = y − 3
3 = x+ 1
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Ejemplo
Indique para que valor de x y y los vectores soniguales:
x =
[
x− 1
3
]
y =
[
y − 3
x+ 1
]
Soluci onIgualando componentes:
x− 1 = y − 3
3 = x+ 1
Resolviendo primero para x y luego para yobtenemos:
x = 2 y = 4�
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Suma entre vectores
La suma entre vectores ~x y ~y sólo puede realizarsecuando los vectores tienen la misma dimensión,en cuyo caso la suma se calcula:
x1
x2
...xn
+
y1
y2...yn
=
x1 + y1
x2 + y2...
xn + yn
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AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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00
0
1
0.5
2
z
1
3
1
4
y
1.52 2
x
34
Figura 2: Suma de dos vectores por Componentes
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AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Producto por escalares
El producto de un escalar c (número real) por unvector ~x da como resultado un vector. Esteproducto se define como:
c
x1
x2
...xn
=
cx1
cx2
...cxn
En la figura 3 se ilustra que el resultado de escalarun vector (hacerlo más pequeño o más grande,inclusive cambiarlo de sentido) coincide con elescalamiento de las componentes del vector.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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-3
-2
-8
-6
-1
-4
-6-4
-2
-200
02
2
4
zx
4
y 1
6
2
Figura 3: Producto de escalar por vector
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Propiedades
Las operaciones de suma entre vectores yproducto de un escalar por un vector satisfacen lassiguientes propiedades:1 Ley asociativa de la suma de vectores:
(~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w)
2 Ley conmutativa de la suma de vectores:
~u+ ~v = ~v + ~u
3 Vector cero:
~u+~0 = ~0 + ~u = ~u
4 Inversos aditivos:
~u+ (−~u) = (−~u) + ~u = ~0
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AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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5 Propiedad distributiva del producto sobre lasuma:
a (~u+ ~v) = a~u+ a~v
6 Propiedad distributiva de la suma se escalaressobre el producto:
(a+ b) ~u = a~u+ b~u
7 Propiedad asociativa del producto:
(ab) ~u = a (b~u) = b (a~u)
8 Propiedades generales:
1~u = ~u y 0~u = ~0
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Aplicaciones de vectores
Ejemplo
Suponga una empresa maquiladora que a partirde componentes tipos básicos A, B y C ensamblaotros componentes. A los componentes A, B y C
los podemos considerar como materia prima,además son direrentes y un tipo no puede suplir aotro. Normalmente, la empresa tiene almacenadoen un buen número de estos componentes y llevaun control estricto de las cantidades. El personalde almacen por conveniencia reporta el contenidoy la salida de materiales por un vector de 3componentes. En lugar de decir: en bodega hay200 componentes tipo A, 250 componentes tipo B
y 347 componentes tipo C, la gente de bodegadice tenemos < 200, 250, 347 >.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Ejemplo
Siguiendo con el ejemplo, suponga queinicialmente poseen < 1200, 1400, 800 >. Un mesdespués salen cuatro pedidos por < 25, 30, 50 >cada uno y entra < 100, 300, 200 >. En el siguientemes salen tres pedidos por < 30, 25, 30 > cada unoy no hay entrada. Indique cuál es la cantidad dematerial en bodega.
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AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Ejemplo
Siguiendo con el ejemplo, suponga queinicialmente poseen < 1200, 1400, 800 >. Un mesdespués salen cuatro pedidos por < 25, 30, 50 >cada uno y entra < 100, 300, 200 >. En el siguientemes salen tres pedidos por < 30, 25, 30 > cada unoy no hay entrada. Indique cuál es la cantidad dematerial en bodega.Soluci on
1200
1400
800
−4
25
30
50
+
100
300
200
−3
30
25
30
=
1110
1505
710
Quedan 1110 tipo A, 1505 tipo B y 710 tipo C �
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Producto punto
Sean ~u =< u1, u2, · · · , un >, y ~v =< v1, v2, · · · , vn >dos vectores cualquiera en Rn.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Producto punto
Sean ~u =< u1, u2, · · · , un >, y ~v =< v1, v2, · · · , vn >dos vectores cualquiera en Rn. El producto Punto,o producto escalar, de ~u y ~v se define como
~u • ~v = u1 v1 + u2 v2 + · · ·+ un vn
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Ejemplo
Determine el producto punto entre los vectores:
v =< 2, 3,−4 > y v =< 2,−1,−1 >
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Ejemplo
Determine el producto punto entre los vectores:
v =< 2, 3,−4 > y v =< 2,−1,−1 >
Soluci onDe la propia definición del producto punto:
2
3
−4
•
2
−1
−1
=
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Ejemplo
Determine el producto punto entre los vectores:
v =< 2, 3,−4 > y v =< 2,−1,−1 >
Soluci onDe la propia definición del producto punto:
2
3
−4
•
2
−1
−1
= (2) · (2) + (3) · (−1) + (−4) · (−1)
=
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 17/40
Ejemplo
Determine el producto punto entre los vectores:
v =< 2, 3,−4 > y v =< 2,−1,−1 >
Soluci onDe la propia definición del producto punto:
2
3
−4
•
2
−1
−1
= (2) · (2) + (3) · (−1) + (−4) · (−1)
= 4− 3 + 4 = 5�
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 18/40
NotaEs importante observar que el producto punto essólo entre vectores de la misma dimensión:
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 18/40
NotaEs importante observar que el producto punto essólo entre vectores de la misma dimensión: Noentre un escalar y un vector;
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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NotaEs importante observar que el producto punto essólo entre vectores de la misma dimensión: Noentre un escalar y un vector; No entre dosvectores de diferente dimensión.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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NotaEs importante observar que el producto punto essólo entre vectores de la misma dimensión: Noentre un escalar y un vector; No entre dosvectores de diferente dimensión. También debeobservarse que el resultado del producto punto esun escalar, no un vector.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Ejemplo
Indique cuales opciones contienen operacionesindefinidas:
1. ~u • (~v • ~w) 2. ~u • ~u+ 2
3. (~u • ~v)~w 4. ~u • (3~v)5. (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + ~w)
7. (~u • ~v)(~v • ~w)
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Ejemplo
Indique cuales opciones contienen operacionesindefinidas:
1. ~u • (~v • ~w) 2. ~u • ~u+ 2
3. (~u • ~v)~w 4. ~u • (3~v)5. (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + ~w)
7. (~u • ~v)(~v • ~w)
Soluci on1. Indefinida porque (~v • ~w) es un escalar.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Ejemplo
Indique cuales opciones contienen operacionesindefinidas:
1. ~u • (~v • ~w) 2. ~u • ~u+ 2
3. (~u • ~v)~w 4. ~u • (3~v)5. (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + ~w)
7. (~u • ~v)(~v • ~w)
Soluci on2. Definida porque es una suma entre escalares.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Ejemplo
Indique cuales opciones contienen operacionesindefinidas:
1. ~u • (~v • ~w) 2. ~u • ~u+ 2
3. (~u • ~v)~w 4. ~u • (3~v)5. (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + ~w)
7. (~u • ~v)(~v • ~w)
Soluci on3. Definida porque es un escalar por un vector.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Ejemplo
Indique cuales opciones contienen operacionesindefinidas:
1. ~u • (~v • ~w) 2. ~u • ~u+ 2
3. (~u • ~v)~w 4. ~u • (3~v)5. (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + ~w)
7. (~u • ~v)(~v • ~w)
Soluci on4. Definida.
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AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
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Ejemplo
Indique cuales opciones contienen operacionesindefinidas:
1. ~u • (~v • ~w) 2. ~u • ~u+ 2
3. (~u • ~v)~w 4. ~u • (3~v)5. (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + ~w)
7. (~u • ~v)(~v • ~w)
Soluci on5. Definida: es un escalar al cubo.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 19/40
Ejemplo
Indique cuales opciones contienen operacionesindefinidas:
1. ~u • (~v • ~w) 2. ~u • ~u+ 2
3. (~u • ~v)~w 4. ~u • (3~v)5. (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + ~w)
7. (~u • ~v)(~v • ~w)
Soluci on6. Indefinida: lo que falla es la suma de escalarcon vector.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 19/40
Ejemplo
Indique cuales opciones contienen operacionesindefinidas:
1. ~u • (~v • ~w) 2. ~u • ~u+ 2
3. (~u • ~v)~w 4. ~u • (3~v)5. (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + ~w)
7. (~u • ~v)(~v • ~w)
Soluci on7. Definida: es un producto entre escalares �
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 20/40
Ortogonalidad
Dos vectores ~u y ~v, se dice que son vectoresortogonales, si
~u • ~v = 0
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 21/40
Ejemplo
Diga si las siguientes parejas de vectores son o noortogonales:
u1 =< 2, 3,−4 > y u2 =< 1, 2, 3 >
v1 =< 2, 3 > y v2 =< −3, 2 >
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 21/40
Ejemplo
Diga si las siguientes parejas de vectores son o noortogonales:
u1 =< 2, 3,−4 > y u2 =< 1, 2, 3 >
v1 =< 2, 3 > y v2 =< −3, 2 >
Soluci onLos vectores < 2, 3,−4 > y < 1, 2, 3 > no sonortogonales debido a que
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 21/40
Ejemplo
Diga si las siguientes parejas de vectores son o noortogonales:
u1 =< 2, 3,−4 > y u2 =< 1, 2, 3 >
v1 =< 2, 3 > y v2 =< −3, 2 >
Soluci onLos vectores < 2, 3,−4 > y < 1, 2, 3 > no sonortogonales debido a que
< 2, 3,−4 > • < 1, 2, 3 >= (2)·(1)+(3)·(2)+(−4)·(3) = −4 6= 0
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 21/40
Ejemplo
Diga si las siguientes parejas de vectores son o noortogonales:
u1 =< 2, 3,−4 > y u2 =< 1, 2, 3 >
v1 =< 2, 3 > y v2 =< −3, 2 >
Soluci onLos vectores < 2, 3,−4 > y < 1, 2, 3 > no sonortogonales debido a que
< 2, 3,−4 > • < 1, 2, 3 >= (2)·(1)+(3)·(2)+(−4)·(3) = −4 6= 0
Los vectores < 2, 3 > y < −3, 2 > sí sonortogonales debido a que:
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 21/40
Ejemplo
Diga si las siguientes parejas de vectores son o noortogonales:
u1 =< 2, 3,−4 > y u2 =< 1, 2, 3 >
v1 =< 2, 3 > y v2 =< −3, 2 >
Soluci onLos vectores < 2, 3,−4 > y < 1, 2, 3 > no sonortogonales debido a que
< 2, 3,−4 > • < 1, 2, 3 >= (2)·(1)+(3)·(2)+(−4)·(3) = −4 6= 0
Los vectores < 2, 3 > y < −3, 2 > sí sonortogonales debido a que:
< 2, 3 > • < −3, 2 >= (2) · (−3) + (3) · (2) = 0�
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 22/40
Longitud o norma
La norma de un vector ~u se define como
‖~u‖ =√~u • ~u =
√
u12 + · · · un
2
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 23/40
Ejemplo
Determine la norma del vector:
v =< 2,−3, 1 >
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 23/40
Ejemplo
Determine la norma del vector:
v =< 2,−3, 1 >
Soluci onDirectamente de la definción:
‖ < 2,−3, 1 > ‖ =
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 23/40
Ejemplo
Determine la norma del vector:
v =< 2,−3, 1 >
Soluci onDirectamente de la definción:
‖ < 2,−3, 1 > ‖ =√
(2) · (2) + (−3) · (−3) + (1) · (1)
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 23/40
Ejemplo
Determine la norma del vector:
v =< 2,−3, 1 >
Soluci onDirectamente de la definción:
‖ < 2,−3, 1 > ‖ =√
(2) · (2) + (−3) · (−3) + (1) · (1)=
√14�
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 24/40
Distancia entre vectores
La distancia euclidiana entre los vectores ~u y ~v, sedefine como
d~u,~v = ‖~u− ~v‖
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 25/40
Ejemplo
Determine la distancia entre el punto P (2, 3, 0) y elpunto Q = (0, 6,−1).
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 25/40
Ejemplo
Determine la distancia entre el punto P (2, 3, 0) y elpunto Q = (0, 6,−1).Soluci onDirectamente de la definición tenemos:
d~P , ~Q =
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 25/40
Ejemplo
Determine la distancia entre el punto P (2, 3, 0) y elpunto Q = (0, 6,−1).Soluci onDirectamente de la definición tenemos:
d~P , ~Q = ‖ < 2, 3, 0 > − < 0, 6,−1 > ‖=
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 25/40
Ejemplo
Determine la distancia entre el punto P (2, 3, 0) y elpunto Q = (0, 6,−1).Soluci onDirectamente de la definición tenemos:
d~P , ~Q = ‖ < 2, 3, 0 > − < 0, 6,−1 > ‖= ‖ < 2,−3, 1 > ‖=
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 25/40
Ejemplo
Determine la distancia entre el punto P (2, 3, 0) y elpunto Q = (0, 6,−1).Soluci onDirectamente de la definición tenemos:
d~P , ~Q = ‖ < 2, 3, 0 > − < 0, 6,−1 > ‖= ‖ < 2,−3, 1 > ‖=
√
22 + (−3)2 + 12
=
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 25/40
Ejemplo
Determine la distancia entre el punto P (2, 3, 0) y elpunto Q = (0, 6,−1).Soluci onDirectamente de la definición tenemos:
d~P , ~Q = ‖ < 2, 3, 0 > − < 0, 6,−1 > ‖= ‖ < 2,−3, 1 > ‖=
√
22 + (−3)2 + 12
=√14�
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 26/40
Vector unitario
Un vector ~u se dice vector unitario, o simplementeunitario , si
‖~u‖ = 1
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 27/40
Ejemplo
Diga si los siguientes vectores son unitarios:
u =< 1, 2 > y v =< 1/√2,−1/
√2 >
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 27/40
Ejemplo
Diga si los siguientes vectores son unitarios:
u =< 1, 2 > y v =< 1/√2,−1/
√2 >
Soluci onEl vector < 1, 2 > no es unitario debido a que:
‖ < 1, 2 > ‖ =√
< 1, 2 > • < 1, 2 > =√1 + 4 6= 1
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 27/40
Ejemplo
Diga si los siguientes vectores son unitarios:
u =< 1, 2 > y v =< 1/√2,−1/
√2 >
Soluci on
Mientras que el vector < 1/√2,−1/
√2 > sí es
unitario porque:
‖ < 1/√2,−1/
√2 > ‖ =
√
1/2 + 1/2 = 1�
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 28/40
Ángulo entre vectores
El ángulo entre vectores ~u y ~v, se define como elúnico número θ (0 ≤ θ ≤ π)que cumple
cos (θ) =~u • ~v
‖~u‖ ‖~v‖
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 29/40
Ejemplo
Determine el ángulo entre los vectores~P =< 1, 2 > y ~Q =< 1,−1 >.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 29/40
Ejemplo
Determine el ángulo entre los vectores~P =< 1, 2 > y ~Q =< 1,−1 >.Soluci onComo
~P • ~Q = 1− 2 = −1, ‖~P‖ =√5, ‖ ~Q‖ =
√2
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 29/40
Ejemplo
Determine el ángulo entre los vectores~P =< 1, 2 > y ~Q =< 1,−1 >.Soluci onComo
~P • ~Q = 1− 2 = −1, ‖~P‖ =√5, ‖ ~Q‖ =
√2
De donde:
cos (θ) =~P • ~Q
‖~P‖ · ‖ ~Q‖=
−1√10
≈= −0.31622,
de donde
θ ≈ 1.8925(en radianes), θ ≈ 108.43o�
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 30/40
Proyección ortogonal
Sean ~u y ~v dos vectores en Rn, ninguno de los dosel vector cero, La proyección ortogonal de ~u sobre~v se define como el vector
~upr,~v =
(
~u • ~v~v • ~v
)
~v.
En la figura 4 se ilustra la proyección ortogonal deun vector sobre otro.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 31/40
Componentes de un vector
0
0.5
1
1.5
2
–1
–0.5 0.5 1 1.5 2
Figura 4: Proyección Ortogonal
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 32/40
Ejemplo
Determine la proyección de ~u =< 1, 2 > sobre~v =< 1, 1 >.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 32/40
Ejemplo
Determine la proyección de ~u =< 1, 2 > sobre~v =< 1, 1 >.Soluci onComo
~u • ~v = 3, ~v • ~v = 2
Así
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 32/40
Ejemplo
Determine la proyección de ~u =< 1, 2 > sobre~v =< 1, 1 >.Soluci onComo
~u • ~v = 3, ~v • ~v = 2
Así
~upr,~v =3
2< 1, 1 >=<
3
2,3
2> �
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 33/40
Componente vectorial
La componente vectorial de ~u ortogonal a ~v sedefine como el vector
~uc,~v = ~u−(
~u • ~v~v • ~v
)
~v
En la figura 5 se ilustra la componente vectorialsobre un vector.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 34/40
Componentes de un vector
0
0.5
1
1.5
2
–1
–0.5 0.5 1 1.5 2
Figura 5: Componente vectorial
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 35/40
Ejemplo
Determine la componente ortogonal de~u =< 1, 2 > sobre ~v =< 1, 1 >.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 35/40
Ejemplo
Determine la componente ortogonal de~u =< 1, 2 > sobre ~v =< 1, 1 >.
Soluci onComo
~u • ~v = 3, ~v • ~v = 2
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 35/40
Ejemplo
Determine la componente ortogonal de~u =< 1, 2 > sobre ~v =< 1, 1 >.
Soluci onComo
~u • ~v = 3, ~v • ~v = 2
Así
~uc~v =< 1, 2 > −3
2< 1, 1 >=< −1
2,1
2>
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 36/40
Propiedades del Producto Punto
Para cualquier vectores ~u, ~v, y ~w en Rn y escalar cse cumple1 Simetrıa :
~u • ~v = ~v • ~u
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 36/40
Propiedades del Producto Punto
Para cualquier vectores ~u, ~v, y ~w en Rn y escalar cse cumple1 Simetrıa :
~u • ~v = ~v • ~u2 Aditividad :
~u • (~v + ~w) = ~u • ~v + ~u • ~w
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 37/40
3. Homogeneidad :
c (~u • ~v) = (c ~u) • ~v = ~u • (c~v)
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 37/40
3. Homogeneidad :
c (~u • ~v) = (c ~u) • ~v = ~u • (c~v)
4. Positividad :~u • ~u ≥ 0
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 37/40
3. Homogeneidad :
c (~u • ~v) = (c ~u) • ~v = ~u • (c~v)
4. Positividad :~u • ~u ≥ 0
Además,
~u • ~u = 0 si y sólo si ~u = ~0
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 38/40
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Teorema
Para cualquiera dos vectores ~u y ~v en Rn secumple
|~u • ~v| ≤ ‖~u‖ ‖~v‖
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 38/40
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Teorema
Para cualquiera dos vectores ~u y ~v en Rn secumple
|~u • ~v| ≤ ‖~u‖ ‖~v‖Además, la igualdad se cumple si y sólo si
los vectores ~u y ~v son múltiplos escalaresentre sí.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 38/40
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Teorema
Para cualquiera dos vectores ~u y ~v en Rn secumple
|~u • ~v| ≤ ‖~u‖ ‖~v‖Además, la igualdad se cumple si y sólo si
los vectores ~u y ~v son múltiplos escalaresentre sí.
El resultado anterior se conoce como ladesigualdad de Cauchy-Schwarz.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 39/40
Desigualdad del Triángulo
Teorema
Para cualquiera dos vectores ~u y ~v en Rn secumple
‖~u+ ~v‖ ≤ ‖~u‖+ ‖~v‖.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 39/40
Desigualdad del Triángulo
Teorema
Para cualquiera dos vectores ~u y ~v en Rn secumple
‖~u+ ~v‖ ≤ ‖~u‖+ ‖~v‖.
El resultado anterior se conoce como ladesigualdad del triángulo.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 40/40
Teorema de Pitágoras
Teorema
Los vectores ~u y ~v son ortogonales si y sólosi se cumple
‖~u+ ~v‖2 = ‖~u‖2 + ‖~v‖2.
IntroduccionVectorEjemplo 1IgualdadEjemplo 2SumaProducto porEscalaresPropiedadesEjemplo 3Producto PuntoEjemplo 1Ejemplo 2OrtogonalidadEjemplo 3Norma de UnVectorEjemplo 5DistanciaEjemplo 6Vector UnitarioEjemplo 7
AnguloEjemplo 8ProyeccionEjemplo 9ComponenteEjemplo 10Propiedades
Vectores en Rn y producto punto Álgebra Lineal - p. 40/40
Teorema de Pitágoras
Teorema
Los vectores ~u y ~v son ortogonales si y sólosi se cumple
‖~u+ ~v‖2 = ‖~u‖2 + ‖~v‖2.
El resultado anterior se conoce como el Teoremade Pitágoras.