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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 1/15
Álgebra LinealMa1010
Matrices ElementalesDepartamento de Matemáticas
ITESM
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Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 2/15
Matriz Elemental
Una matriz n× n se llama matriz elemental sipuede obtenerse de la matriz identidad In×n pormedio de sólo una operación elemental derenglón, es decir:■ intercambiando los renglones i y j,■ multiplicando el renglón i por una constante c
diferente de cero, o■ sumando al renglón i el renglón j multiplicado
por la constante c.
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Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 3/15
Ejemplo
Son matrices elementales de intercambio:
E1 =
[
0 1
1 0
]
, E2 =
0 1 0
1 0 0
0 0 1
, E3 =
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Porque
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Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 3/15
Ejemplo
Son matrices elementales de intercambio:
E1 =
[
0 1
1 0
]
, E2 =
0 1 0
1 0 0
0 0 1
, E3 =
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Porque■ E1 corresponde a R1 ↔ R2 sobre I2×2;
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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 3/15
Ejemplo
Son matrices elementales de intercambio:
E1 =
[
0 1
1 0
]
, E2 =
0 1 0
1 0 0
0 0 1
, E3 =
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Porque■ E1 corresponde a R1 ↔ R2 sobre I2×2;■ E2 corresponde a R1 ↔ R2 sobre I3×3; y
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Ejemplo
Son matrices elementales de intercambio:
E1 =
[
0 1
1 0
]
, E2 =
0 1 0
1 0 0
0 0 1
, E3 =
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Porque■ E1 corresponde a R1 ↔ R2 sobre I2×2;■ E2 corresponde a R1 ↔ R2 sobre I3×3; y■ E3 corresponde a R2 ↔ R3 sobre I3×3.
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Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 4/15
Ejemplo
Son matrices elementales de multiplicación:
E4 =
[
5 0
0 1
]
, E5 =
1 0 0
0 −7 0
0 0 1
, E6 =
1 0 0
0 1 0
0 0 2/5
Porque
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Ejemplo
Son matrices elementales de multiplicación:
E4 =
[
5 0
0 1
]
, E5 =
1 0 0
0 −7 0
0 0 1
, E6 =
1 0 0
0 1 0
0 0 2/5
Porque■ E4 corresponde a R1 ← 5R1 sobre I2×2;
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Ejemplo
Son matrices elementales de multiplicación:
E4 =
[
5 0
0 1
]
, E5 =
1 0 0
0 −7 0
0 0 1
, E6 =
1 0 0
0 1 0
0 0 2/5
Porque■ E4 corresponde a R1 ← 5R1 sobre I2×2;■ E5 corresponde a R2 ← −7R2; sobre I3×3 y
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Ejemplo
Son matrices elementales de multiplicación:
E4 =
[
5 0
0 1
]
, E5 =
1 0 0
0 −7 0
0 0 1
, E6 =
1 0 0
0 1 0
0 0 2/5
Porque■ E4 corresponde a R1 ← 5R1 sobre I2×2;■ E5 corresponde a R2 ← −7R2; sobre I3×3 y■ E6 corresponde a R3 ←
2
5R3 sobre I3×3.
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Ejemplo
Son matrices elementales de eliminación:
E7 =
[
1 1/3
0 1
]
, E8 =
1 0 0
0 1 −5
0 0 1
, E9 =
1 0 0
0 1 0
0 7 1
Porque
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Ejemplo
Son matrices elementales de eliminación:
E7 =
[
1 1/3
0 1
]
, E8 =
1 0 0
0 1 −5
0 0 1
, E9 =
1 0 0
0 1 0
0 7 1
Porque■ E7 corresponde a R1 ← R1 + 1/3R2 sobre I2×2;
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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15
Ejemplo
Son matrices elementales de eliminación:
E7 =
[
1 1/3
0 1
]
, E8 =
1 0 0
0 1 −5
0 0 1
, E9 =
1 0 0
0 1 0
0 7 1
Porque■ E7 corresponde a R1 ← R1 + 1/3R2 sobre I2×2;■ E8 corresponde a R2 ← R2 − 5R3 sobre I3×3; y
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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15
Ejemplo
Son matrices elementales de eliminación:
E7 =
[
1 1/3
0 1
]
, E8 =
1 0 0
0 1 −5
0 0 1
, E9 =
1 0 0
0 1 0
0 7 1
Porque■ E7 corresponde a R1 ← R1 + 1/3R2 sobre I2×2;■ E8 corresponde a R2 ← R2 − 5R3 sobre I3×3; y■ E9 corresponde a R3 ← R3 + 7R2 sobre I3×3.
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Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 6/15
NotasLas operaciones elementales sobre los renglonesde una matriz son reversibles, es decir es posibleretornar a la matriz inicial haciendo otra operaciónelemental.
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Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 6/15
NotasLas operaciones elementales sobre los renglonesde una matriz son reversibles, es decir es posibleretornar a la matriz inicial haciendo otra operaciónelemental.En general:
Operación Elemental Operación inversa correspondiente
Ri ↔ Rj Ri ↔ Rj
Ri ← cRi Ri ← (1/c)Ri
Ri ← Ri + cRj Ri ← Ri − cRj
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Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15
Ejemplo
■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,
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Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15
Ejemplo
■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,■ La inversa de R2 ↔ R3 es R2 ↔ R3,
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Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15
Ejemplo
■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,■ La inversa de R2 ↔ R3 es R2 ↔ R3,■ La inversa de R1 ← 2R1 es R1 ← 1/2R1,
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Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15
Ejemplo
■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,■ La inversa de R2 ↔ R3 es R2 ↔ R3,■ La inversa de R1 ← 2R1 es R1 ← 1/2R1,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,
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Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15
Ejemplo
■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,■ La inversa de R2 ↔ R3 es R2 ↔ R3,■ La inversa de R1 ← 2R1 es R1 ← 1/2R1,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,
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Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15
Ejemplo
■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,■ La inversa de R2 ↔ R3 es R2 ↔ R3,■ La inversa de R1 ← 2R1 es R1 ← 1/2R1,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,■ La inversa de R3 ← R3 + 5R1 esR3 ← R3 − 5R1,y
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Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15
Ejemplo
■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,■ La inversa de R2 ↔ R3 es R2 ↔ R3,■ La inversa de R1 ← 2R1 es R1 ← 1/2R1,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,■ La inversa de R3 ← R3 + 5R1 esR3 ← R3 − 5R1,y
■ La inversa de R2 ← R2 − 4R3 es R2 ← R2 − 4R3.
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Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 8/15
Matrices y operaciones elementales
Si E corresponde a la operación elemental Opentonces:
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Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 8/15
Matrices y operaciones elementales
Si E corresponde a la operación elemental Opentonces:
Si AOp−→ A1, entonces EA = A1
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Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 8/15
Matrices y operaciones elementales
Si E corresponde a la operación elemental Opentonces:
Si AOp−→ A1, entonces EA = A1
Es decir que
El resultado de aplicarle a la matriz A laoperación elemental Op equivale a multiplicarla matriz A por la izquierda por la matrizelemental asociada a Op.
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Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 9/15
Ejemplo
Una operación del método de eliminacióngaussiana es
3 6 −9 3
0 0 −2 −2
0 1 −2 1
R2↔R3
−−−−→
3 6 −9 3
0 1 −2 1
0 0 −2 −2
![Page 28: Álgebra Lineal Ma1010 - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-25a.pdf · Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15 Ejemplo Son matrices elementales de eliminación: E7](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042620/5f3d6a1bb35ff6180b277c45/html5/thumbnails/28.jpg)
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 9/15
Ejemplo
Una operación del método de eliminacióngaussiana es
3 6 −9 3
0 0 −2 −2
0 1 −2 1
R2↔R3
−−−−→
3 6 −9 3
0 1 −2 1
0 0 −2 −2
Esta corresponde a
1 0 0
0 0 1
0 1 0
3 6 −9 3
0 0 −2 −2
0 1 −2 1
=
3 6 −9 3
0 1 −2 1
0 0 −2 −2
![Page 29: Álgebra Lineal Ma1010 - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-25a.pdf · Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15 Ejemplo Son matrices elementales de eliminación: E7](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042620/5f3d6a1bb35ff6180b277c45/html5/thumbnails/29.jpg)
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 10/15
Ejemplo
Una operación del método de eliminacióngaussiana es
3 6 0 12
0 1 0 3
0 0 1 1
R1←R1−6R2
−−−−−−−−→
3 0 0 −6
0 1 0 3
0 0 1 1
![Page 30: Álgebra Lineal Ma1010 - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-25a.pdf · Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15 Ejemplo Son matrices elementales de eliminación: E7](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042620/5f3d6a1bb35ff6180b277c45/html5/thumbnails/30.jpg)
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 10/15
Ejemplo
Una operación del método de eliminacióngaussiana es
3 6 0 12
0 1 0 3
0 0 1 1
R1←R1−6R2
−−−−−−−−→
3 0 0 −6
0 1 0 3
0 0 1 1
Esta corresponde a
1 −6 0
0 1 0
0 0 1
3 6 0 12
0 1 0 3
0 0 1 1
=
3 0 0 −6
0 1 0 3
0 0 1 1
![Page 31: Álgebra Lineal Ma1010 - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-25a.pdf · Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15 Ejemplo Son matrices elementales de eliminación: E7](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042620/5f3d6a1bb35ff6180b277c45/html5/thumbnails/31.jpg)
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 11/15
Ejemplo
Una operación del método de eliminacióngaussiana es
3 0 0 −6
0 1 0 3
0 0 1 1
R1←1/3R1
−−−−−−→
1 0 0 −2
0 1 0 3
0 0 1 1
![Page 32: Álgebra Lineal Ma1010 - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-25a.pdf · Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15 Ejemplo Son matrices elementales de eliminación: E7](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042620/5f3d6a1bb35ff6180b277c45/html5/thumbnails/32.jpg)
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 11/15
Ejemplo
Una operación del método de eliminacióngaussiana es
3 0 0 −6
0 1 0 3
0 0 1 1
R1←1/3R1
−−−−−−→
1 0 0 −2
0 1 0 3
0 0 1 1
Esta corresponde a
1
30 0
0 1 0
0 0 1
3 0 0 −6
0 1 0 3
0 0 1 1
1 0 0 −2
0 1 0 3
0 0 1 1
![Page 33: Álgebra Lineal Ma1010 - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-25a.pdf · Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15 Ejemplo Son matrices elementales de eliminación: E7](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042620/5f3d6a1bb35ff6180b277c45/html5/thumbnails/33.jpg)
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 12/15
Las matrices elementales son invertibles
Toda matriz elemental es matriz invertible. Másaún, si E es una matriz elemental, E−1 se obtieneal invertir la operación elemental que produjo a Ea partir de la identidad I.
operación elemental operación elemental
matriz elemental matriz elemental
operación inversa
matriz asociada
matriz inversa
matriz asociada
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Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 13/15
Ejemplo
Si
E1 =
[
1 −3
0 1
]
, E2 =
[
0 1
1 0
]
, E3 =
[
1 0
0 −4
]
![Page 35: Álgebra Lineal Ma1010 - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-25a.pdf · Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15 Ejemplo Son matrices elementales de eliminación: E7](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042620/5f3d6a1bb35ff6180b277c45/html5/thumbnails/35.jpg)
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 13/15
Ejemplo
Si
E1 =
[
1 −3
0 1
]
, E2 =
[
0 1
1 0
]
, E3 =
[
1 0
0 −4
]
entonces:
E1−1 =
[
1 3
0 1
]
, E2−1 =
[
0 1
1 0
]
, E3−1 =
[
1 0
0 −1
4
]
![Page 36: Álgebra Lineal Ma1010 - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-25a.pdf · Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15 Ejemplo Son matrices elementales de eliminación: E7](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042620/5f3d6a1bb35ff6180b277c45/html5/thumbnails/36.jpg)
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 14/15
Matrices elementales en la equivalencia de matrices
1. A ≡ B si y sólo si existen matrices elementalesE1,...,Ek tales que:
B = Ek Ek−1 . . . , E1 A
2. La forma escalonada de una matriz cuadrada A
es In×n o bien tiene un renglón de ceros.3. Sean A y B matrices n× n, si A o B no son
invertibles entonces AB tampoco es invertible.
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Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15
Resultado Clave
Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible
![Page 38: Álgebra Lineal Ma1010 - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-25a.pdf · Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15 Ejemplo Son matrices elementales de eliminación: E7](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042620/5f3d6a1bb35ff6180b277c45/html5/thumbnails/38.jpg)
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15
Resultado Clave
Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible
2. A es el producto de matrices elementales.
![Page 39: Álgebra Lineal Ma1010 - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-25a.pdf · Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15 Ejemplo Son matrices elementales de eliminación: E7](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042620/5f3d6a1bb35ff6180b277c45/html5/thumbnails/39.jpg)
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15
Resultado Clave
Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible
2. A es el producto de matrices elementales.
3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.
![Page 40: Álgebra Lineal Ma1010 - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-25a.pdf · Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15 Ejemplo Son matrices elementales de eliminación: E7](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042620/5f3d6a1bb35ff6180b277c45/html5/thumbnails/40.jpg)
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15
Resultado Clave
Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible
2. A es el producto de matrices elementales.
3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.
4. Al reducir A, en cada renglón queda un pivote.
![Page 41: Álgebra Lineal Ma1010 - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-25a.pdf · Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15 Ejemplo Son matrices elementales de eliminación: E7](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042620/5f3d6a1bb35ff6180b277c45/html5/thumbnails/41.jpg)
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15
Resultado Clave
Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible
2. A es el producto de matrices elementales.
3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.
4. Al reducir A, en cada renglón queda un pivote.
5. Las columnas de A son linealmente independientes.
![Page 42: Álgebra Lineal Ma1010 - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-25a.pdf · Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15 Ejemplo Son matrices elementales de eliminación: E7](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042620/5f3d6a1bb35ff6180b277c45/html5/thumbnails/42.jpg)
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15
Resultado Clave
Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible
2. A es el producto de matrices elementales.
3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.
4. Al reducir A, en cada renglón queda un pivote.
5. Las columnas de A son linealmente independientes.
6. Las columnas de A generan a Rn.
![Page 43: Álgebra Lineal Ma1010 - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-25a.pdf · Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15 Ejemplo Son matrices elementales de eliminación: E7](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042620/5f3d6a1bb35ff6180b277c45/html5/thumbnails/43.jpg)
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15
Resultado Clave
Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible
2. A es el producto de matrices elementales.
3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.
4. Al reducir A, en cada renglón queda un pivote.
5. Las columnas de A son linealmente independientes.
6. Las columnas de A generan a Rn.
7. El sistema A ~x = ~b tiene al menos una solución para todo vector~b ∈ R
n.
![Page 44: Álgebra Lineal Ma1010 - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-25a.pdf · Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15 Ejemplo Son matrices elementales de eliminación: E7](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042620/5f3d6a1bb35ff6180b277c45/html5/thumbnails/44.jpg)
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15
Resultado Clave
Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible
2. A es el producto de matrices elementales.
3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.
4. Al reducir A, en cada renglón queda un pivote.
5. Las columnas de A son linealmente independientes.
6. Las columnas de A generan a Rn.
7. El sistema A ~x = ~b tiene al menos una solución para todo vector~b ∈ R
n.
8. El sistema A ~x = ~b tiene solamente una solución para todovector ~b ∈ R
n.
![Page 45: Álgebra Lineal Ma1010 - Teccb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-25a.pdf · Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15 Ejemplo Son matrices elementales de eliminación: E7](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042620/5f3d6a1bb35ff6180b277c45/html5/thumbnails/45.jpg)
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15
Resultado Clave
Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible
2. A es el producto de matrices elementales.
3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.
4. Al reducir A, en cada renglón queda un pivote.
5. Las columnas de A son linealmente independientes.
6. Las columnas de A generan a Rn.
7. El sistema A ~x = ~b tiene al menos una solución para todo vector~b ∈ R
n.
8. El sistema A ~x = ~b tiene solamente una solución para todovector ~b ∈ R
n.
9. El sistema homogéneo A ~x = ~0 tiene sólo la solución trivial~x = ~0.