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©2009 Jean-Claude SISSON Tous droits réservés
Les Plans d’Expériences Factoriels
Présentation de la méthode des Plans d’expériences et d’une formation e-learning développée par le CACEMI et le CREX
N° manifestation : 235 Date : 12/10/09 18:30
Adresse : Arts et Métiers - Hôtel d’Iéna - 9bis, avenue d’Iéna – 75016 Paris
Programme : Chacun, dans sa vie professionnelle, a été un moment ou à un autre impliqué dans des démarches de conception, de simulation numérique, d’industrialisation, de fabrication, faisant intervenir une multiplicité de facteurs contribuant à l’atteinte des objectifs. L’approche intuitive est encore généralement la solution privilégiée. Elle oblige à tester les effets de chacun des facteurs un par un. Elle ne permet pas la prise en compte de leurs interactions et de la variabilité aléatoire des grandeurs étudiées. Lorsque les grandeurs étudiées sont multiples et leurs comportements complexes, elle se révèle encore plus inefficace, fastidieuse, vorace en temps et en coûts !
Plus d'information et inscription en ligne : www.crex.fr
Organisateur : GP 43 QUALITÉ – SERVICES
Intervenants : Jean-Claude SISSON et Patrice LEFRANCOIS
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Les Plans d’Expériences Factoriels
Les essais coûtent chers, comment les optimiser?
La Méthode des Plans d’Expériences Factoriels
Introduction à la méthode
Jean-Claude SISSON
jc.sisson@wanadoo.fr
CREX / SERAM / ENSAM 151, Bd de l’Hôpital 75013 PARIS
2
1
2
1
2
1
A
3
3
2
2
1
1
B
13 15
18 18
14 18
19 17
16 14
20 22
Y
Y( A, B, … ) = m + [ a1 a2 ] [ A ] + [ b1 b2 b3 ] [ B ] + … + [ tA ] c11 c12 c13 [ B ] + …c21 c22 c23
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Les Plans d’Expériences Factoriels
• Méthode statistique développée par Sir Arnold FISHER vers la fin des années 1920 pour les besoins de l’agronomie, faisant suite àses travaux sur l’analyse de la variance
• Méthode rendue plus facile à pratiquer par des non statisticiens, dans d’autres secteurs que l’agronomie, suite aux travaux de GenichiTAGUCHI, dans les années 1950
Les gourous
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Les Plans d’Expériences Factoriels
• Objectif de la méthode• Introduction• Le principe de la méthode• Le code de bonne pratique • Une étude de cas détaillée• Bibliographie et Logiciels
Sommaire
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Les Plans d’Expériences Factoriels
Objectif de la méthode
En secteur industrielAccroître l’efficacité des activités appelant une expérimentation
(essais physiques, simulations numériques, sondages, …) pendant la définition et le développement
des produits ou des process
Pour :Réduire les coûts et le délais
Rechercher des solutions plus optimiséesMieux interpréter les comportements observés
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Les Plans d’Expériences Factoriels
• Objectif de la méthode• Les campagnes d’essais ordinaires• Les plans d’expériences factoriels • Une étude de cas détaillée• Bibliographie et Logiciels
Sommaire
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Les Plans d’Expériences Factoriels
On abandonne les campagnes d’essais ordinaires…
qui sont caractérisées par :
• Une succession d’essais « à la queue leu leu » définis par tâtonnement• Une démarche facteur par facteur• Une analyse non statistique, résultat par résultat• Un cheminement expérimental non planifié et de type labyrinthique• Une incapacité à prévoir le comportement du système étudié, donc de
dégager une solution si un « bon essai » n’a pas encore été réalisé,• Une recherche de solution pouvant être très difficile, notamment, lorsque
plusieurs grandeurs doivent être optimisées conjointement
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Les Plans d’Expériences Factoriels
Parce qu’elles présentent 2 défauts en rapport avec la complexité des phénomènes étudiés et la difficulté de planifier scientifiquement des essais :
1. Les couplages d’effets entre facteurstrès difficiles à mettre en évidence avec une campagne d’essais ordinaire
2. La variabilité naturelle des grandeurs à optimiserqui appelle l’usage des Proba-Stat et dont le recours n’est pas fréquent lors de l’interprétation des effets de facteurs
Les principales conséquences:• une mauvaise interprétation des lois de comportement étudiées• beaucoup d’essais, en nombre souvent imprévisibles• des solutions techniques pas toujours optimisées
On abandonne les campagnes d’essais ordinaires… Pourquoi?
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Les Plans d’Expériences Factoriels
N°1. Les couplages d’effets entre facteurs
Cr1 = 2% Cr2 = 4% Cr3 = 8 % Cr
Réponse Y = DURETE en RC D’UN ACIER AU CHROME MOLYBDENE
Mo2 = 3%
Mo1 = 1%
EFFE
T TO
TAL
DU
FA
CTE
UR
Cr/
Mo2
EFFE
T TO
TAL
DU
FA
CTE
UR
Cr/
Mo1
Les effets du facteur Chrome dépendent des niveaux du facteur Molybdène
et réciproquement…
⇒ Nécessité de tester toutes les combinaisons de niveaux entre 2 facteurs
Les 2 défauts des campagnes d’essais ordinaires
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Les Plans d’Expériences Factoriels
N°2. La variabilité aléatoire des grandeurs Y à optimiser
Les 2 défauts des campagnes d’essais ordinaires
M120 = 38 500 km
m100 = 47 500 km
55 000 km
40 000 km
EFFET REEL INCONNUEFFET REEL ESTIME
= - 9 000 km
V1 = 100 km/h V2 = 120 km/h
Réponse Y = Durée de vie d’un pneumatique
Facteur V = Vitesse
En raisonnant sur les résultats moyens à V1 et a V2
⇒ Nécessité de comparer des moyennes pour obtenir une meilleure estimation des effets réels
47 000 km
30 000 km
μμ 100100 inconnueinconnue
μμ 120 120 inconnueinconnue
Les paramLes paramèètres de ces distributionstres de ces distributionssont les inconnuessont les inconnues
Première série d’essaisDeuxième série d’essaisEffet finalement estimé
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Les Plans d’Expériences Factoriels
Citons les principales:
– L’interprétation physique des résultats d’essais n’est pas objective, car trop dépendante de la succession des essais réalisés par l’expérimentateur
– Le nombre d’essais pour atteindre un objectif est souvent imprévisible
– Les solutions techniques obtenues pas toujours optimisées
– Impossibilité de faire des essais « en parallèle » (très utiles en agronomie notamment)
Les conséquences de ces 2 deux défauts congénitaux
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Les Plans d’Expériences Factoriels
Pour prendre en compte:
1. Les couplages d’effets entre facteurs :
Il faut étudier conjointement tous les facteurs d’intérêt, notamment, tous les couples de niveaux entre couples de facteurs
2. La variabilité naturelle:
Il est nécessaire de comparer des moyennes de résultats et non plus des résultats individuels, ce qui implique de faire des répétitions
Avec une contrainte:Ne pas accroître le nombre d’essais!
Le diminuer si possible !!
Comment corriger ces 2 défauts congénitaux
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Les Plans d’Expériences Factoriels
12212121122
22111212122
21221111222
11221222112
21112221212
12122112212
11212212221
12121221221
21122122121
22211122211
22222211111
11111111111
LKJHGFEDCBA
Exemple de matrice factorielle à 11 facteurs à 2 niveaux
M =
Il existe une solution !!!Les essais structurés avec les matrices d’expériences factorielles
Quelques propriétés la matrice d’expériences présentée• Pour passer d’une combinaison d’essais à une autre, on modifie les niveaux de plusieurs facteurs en
même temps• Dans une colonne qcq, tous les niveaux d’un facteur sont présents et uniformément répétés• Dans deux colonnes qcq, toutes les combinaisons de niveaux de ces deux facteurs sont présentes et
uniformément répétées• La matrice ne comporte ici que 12 combinaisons d’essais parmi les 211 = 2048 possibles• La solution sera ici recherchée dans les 2048 combinaisons à partir des résultats de ces 12 essais !!!
Y12
Y11
Y10
Y9
Y8
Y7
Y6
Y5
Y4
Y3
Y2
Y1
Y
Essais
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Les Plans d’Expériences Factoriels
• Objectif de la méthode• Les campagnes d’essais ordinaires• Les plans d’expériences factoriels • Une étude de cas détaillée• Bibliographie et Logiciels
Sommaire
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Les Plans d’Expériences Factoriels
Relation Finconnue Yi
A
B…
Z
Les facteurs La ou les réponses
Fluctuations aléatoires ω
Il doit exister une relation de causalité F telle que:Y = F (A,B,C, …, ω )
entre: les grandeurs à optimiser Yi (les réponses) et les variables A,B,…,Z (les facteurs) sur lesquelles on compte agir pour atteindre les objectifs sur le Yi
Cible Cible ààatteindreatteindre
Une 1ère Condition d’application des PEF
Les ω représentent les sources de fluctuations aléatoires sur Y
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Les Plans d’Expériences Factoriels
Quels niveaux àfixer aux facteurs
A,B,C… ?
On vise: • Y1 mini• Y2 = Y20• …
Problème inverse à résoudre:
Relation Finconnue
Les facteurs:• A = Rapport Volumétrique
• B = Avance à l’injection
• C = Pression de sural.
• Etc.
Les réponses Yi :
• Y1 = Consommation• Y2 = Puissance• Etc.
Fluctuations aléatoires ω
Exemple de problématique relevant des PEF
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Les Plans d’Expériences Factoriels
2. Tous les facteurs susceptibles d’avoir un effet sur Y doivent avoir leurs niveaux parfaitement identifiables et, dans la mesure du possible, maîtrisables(*) pendant les essais qui devront être réalisés
3. Les niveaux des facteurs quantitatifs ne doivent pas être liés par une contrainte égalitaire (telle que, par exemple, leur somme soit toujours égale à 1)
4. Pendant les essais, toutes les combinaisons de niveaux entre 2 facteurs quelconques doivent être réalisables (voir 3 ou 4 facteurs)
Trois autres conditions d’application des PEF
(*) si certains facteurs ne peuvent pas être parfaitement maîtrisés, il est généralement possible d’adapter la méthode pour la mettre en oeuvre
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Les Plans d’Expériences Factoriels
• Les réponses Y peuvent être multiples
• Les facteurs peuvent être indifféremment qualitatifs, ou quantitatifs ( leurs niveaux sont alors des attributs ou des valeurs numériques) :
Exemple de facteurs qualitatifs:
• une géométrie de culasse,• une nuance de matériaux,• une référence d’huile,
• Le nombre de facteurs susceptibles d’avoir un effet sur Y peut être assez grand :Une vingtaine maxi, rarement plus, bien qu’il soit possible en théorie d’en prendre beaucoup plus
Spécificité des campagnes structurées avec les PEF
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Les Plans d’Expériences Factoriels
En Marketing :• pendant les études quantitatives de marché, de comportement des consommateurs…• en analyse sensorielle multifactorielle
En Recherche Appliquée :• pour la modélisation empirique des lois de comportement
En Développement et en industrialisation :• pour la définition des produits et des procédés de fabrication• pour l’optimisation de la fiabilité• pour le dimensionnement probabiliste de certaines structures
En Méthodes Fabrication et Contrôle :• pour la définition des paramètres essentiels des procédés de fabrication• pour l’optimisation et la robustesse des réglages• pour l’optimisation de calculateurs et de logiciels• pour l’amélioration des capabilités
En Fabrication :• pour la réduction des taux de défauts et de rebuts
Leur domaine d’application (*)(*) liste non limitative(*) liste non limitative
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Les Plans d’Expériences Factoriels
• Objectif de la méthode• Introduction• Le principe de la méthode• Le code de bonne pratique • Une étude de cas détaillée• Bibliographie et Logiciels
Sommaire
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Les Plans d’Expériences Factoriels
Le principe de la méthode des PEF
Relation FInconnue
????Yi
A
B…
Z
Les facteurs La ou les réponses
Fluctuations aléatoires ω
La relation F sera modéliséepour chacune des réponses
L’exploitation des modèles permettrasi nécessaire la résolution du problème inverse
Les facteurs sontqualitatifs ou quantitatifs
Les réponses peuventêtre multiples
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Les Plans d’Expériences Factoriels
1. On définit en fonction de la problématique (*) les facteurs du modèle (ceux de la relation Y = F(A,B,C, D, …)
2. On fixe les niveaux à affecter aux facteurs(le domaine expérimental se trouve ainsi maillé, voir la figure, les combinaisons des facteurs correspondent aux nœuds du maillage)
3. On fait choix d’un type de modèles pour G en fonction du type d’objectifs visés, (ses coefficients sont les inconnues):
Y = I + A + B + C + D + … + AB + AC + …
Pour l’ensemble des réponses Y étudiées conjointement:
(*) en respectant fidèlement le guide de bonne pratique des PEF
La démarche générale de mise en œuvre d’un Plan d’expériences
Y
0
Part déterministe de F
A
B …A1
B1
A2
B2 B3
Part déterministe de F
A
B …A1
B1
A2
B2 B3
Domaine expérimental
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Les Plans d’Expériences Factoriels
4. On construit une « matrice d’expériences » qui définit les essais à réaliser, spécifique au type de modèles retenu, des facteurs et de leurs nombres de niveaux:
22
11
22
11
22
11
22
11
22
11
22
11
CC
11
22
22
11
11
22
22
11
11
22
22
11
DD
2233
1133
2222
1133
2222
1122
22
11
22
22
11
11
BB
33
22
11
11
11
11
AA
Matrice M =
Ici se
ulem
ent 1
2 ess
ais
néce
ssair
es pa
rmi le
s
24 po
ssib
les !!
Essais de la matrice d’expériencesEssais non utiles
Y
0
Part déterministe de F
A
B …A1
B1
A2
B2 B3
Part déterministe de F
A
B …A1
B1
A2
B2 B3
Domaine expérimental
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Les Plans d’Expériences Factoriels
G = 120 + [ 3 2 -5 ][A] + [ -10 10 ][B] + [ 0 0 ][C] + [ 20 -20 ][D] + [ tA] -1 1 [B] + [ tA] 5 -5 [C] 0 0 10 -10 1 -1 -15 15
5. On réalise les essais appelés par la « matrice d’expériences »
33
33
33
33
22
22
22
22
11
11
11
11
AA
22
22
11
11
22
22
11
11
22
22
11
11
BB
22
11
22
11
22
11
22
11
22
11
22
11
CC
11
22
22
11
11
22
22
11
11
22
22
11
DD
M =
159
89
11
111
142
122
82
142
149
119
87
137
Y
6. On estime ponctuellement les coefficients du modèle:
EssaisEssais
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Les Plans d’Expériences Factoriels
7. On prend en compte la part de variabilité aléatoire et on procède àl’interprétation statistique du ou des modèles, en vue de déterminer les effets significativement différents de 0
8. On exploite, pour chaque réponse Y, le modèle final obtenu , en vue notamment de:
• Connaître l’importance des effets de facteurs et des interactions
• D’avoir une interprétation objective de la loi de comportement F pour chacune des réponse Y
• Pouvoir faire, le cas échéant, des prévisions des valeurs prises par une réponse Y, pour des combinaisons de la matrice d’expériences complète sous-jacente, non réalisée avec la matrice d’expériences incomplète
• Trouver une solution répondant, le mieux possible, au problème posé
Le principe des PEF: L’exploitation des modèles
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Les Plans d’Expériences Factoriels
• Objectif de la méthode• Introduction• Le principe de la méthode• Le code de bonne pratique • Une étude de cas détaillée• Bibliographie et Logiciels
Sommaire
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Les Plans d’Expériences Factoriels
LE RÔLE FONDAMENTAL DU TRAVAIL EN GROUPE
L’efficacité d’un plan d’expériences dépend beaucoup de la connaissance initiale du sujet à traiter
Cette méthode appelle le recours au travail en groupe, lorsque la connaissance technique nécessaire au traitement du sujet est partagée par un groupe de personnes préalablement identifiées
Un animateur est requis lorsque le groupe de travail est au moins constitué d’une demi-douzaine de personnes
11
11
11
11
AA
22
22
11
11
BB
22
11
22
11
CC
11
22
22
11
DD
11
AA
11
BB
Plan dPlan d’’expexpéériences Dieselriences Diesel....
Un Code de bonne pratique
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Les Plans d’Expériences Factoriels
LES PRINCIPALES ETAPES DE
LA DEMARCHE DES
PLANS D’EXPERIENCES (*)
Formulation des objectifs
Choix des facteurs
Choix de leurs niveaux
Choix d’un type de modèles
Construction de la matrice
Réalisation des essais
Analyse des résultats
Recherche d’une solution
Validation de la solution
Choix d’une stratégie
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10(*) La procédure complète comporte 14 Étapes
Le code de bonne pratiqueminimise les risques d’échecs
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Les Plans d’Expériences Factoriels
2. Choix d’une stratégie d’expérimentation
Elle est fonction du type d’objectifs à atteindre:
Objectifs de Type P : Les facteurs influents doivent d’abord être connus
• Recherche d’une valeur nominale pour au moins une réponse• Recherche d’un extremum avec peu de facteurs• Modélisation prédictive d’une loi de comportement
Objectifs de Type Q :
• Recherche des facteurs influents parmi un assez grand nombre• Rechercher un domaine expérimental pour la recherche de solutions• Recherche d’extremum (mini ou maxi) pour toutes les réponses
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Les Plans d’Expériences Factoriels
Stratégies par défaut de type P
Pour objectifs P: Les facteurs influents doivent être connus
• Recherche d’une valeur nominale pour au moins une réponse• Recherche d’un extremum avec peu de facteurs• Modélisation prédictive d’une loi de comportement
Elle appelle généralement la prise en compte:
• d’un faible nombre de facteurs, inférieur ou égal à 5 ou 6• d’un modèle (du 2ième ordre), dans lequel seules les interactions dont on
a la certitude du caractère négligeable, peuvent ne pas être présentes• d’une matrice d’expériences de type P
On peut aussi avoir recours à des stratégies plus élaborées
2. Choix d’une stratégie d’expérimentation
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Les Plans d’Expériences Factoriels
Stratégies par défaut de type Q
Pour objectifs Q : • Recherche des facteurs influents parmi un assez grand nombre• Rechercher un domaine expérimental pour la recherche de la solution• Recherche d’extremum (mini ou maxi) avec beaucoup de facteurs pour
toutes les réponses
Elle appelle généralement la prise en compte:
• d’un assez grand nombre de facteurs (nb compris entre 7 et 19 ou +)• d’un modèle (du 1er ordre) dans lequel toutes les interactions sont
volontairement absentes• d’une matrice d’expériences de type Q
On peut aussi avoir recours à des stratégies plus élaborées
2. Choix d’une stratégie d’expérimentation
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Les Plans d’Expériences Factoriels
A1 A2 A3A
Y
Effet a1 = -5
Effet a2 = 20
Effet a3 = - 15Moyenne des Y = 100
Y(A) = 100 + [ -5 20 -15 ] [ A ]
5. Choix d’un type de modèles
321A
8512095
Y
Principe de la modélisation : cas d’un facteur
EXEMPLE NUMERIQUE
95
120
85
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Les Plans d’Expériences Factoriels
B2 B1
A1 A2 A3
20
15
A
Y
B
21
15
18 18
1416
231322122111BA
141816181521
Y
Principe de la modélisation: cas de deux facteurs
EXEMPLE NUMERIQUE
5. Choix d’un type de modèles
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Les Plans d’Expériences Factoriels
AA1 A2 A3
Y
18
21
Y(A ,B1) = 19 + [ 2 -1 -1 ] [ A ]
19
A
Facteur B fixé au niveau 1
A1 A2 A3
Y
1615 14
Y(A ,B2) = 15 + [ 0 1 -1 ] [ A ]
15
Facteur B fixé au niveau 2
Description des effets du facteur A en fonction des niveaux de BPrincipe de la modélisation: cas de deux facteurs
5. Choix d’un type de modèles
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Les Plans d’Expériences Factoriels
Facteur A fixé au niv.1
B1 B2
Y
15
21
Y (A1 ,B) = 18 + [ 3 - 3 ] [ B ]
18
B
Facteur A fixé au niv.2
B1 B2
Y
16
18
Y (A2 ,B) = 17 + [ 1 - 1 ] [ B ]
17
B
Facteur A fixé au niv.3
B1 B2
Y
14
18
Y (A3 ,B) = 16 + [ 2 - 2 ] [ B ]
16
B
Description des effets du facteur B en fonction des niveaux de A
5. Choix d’un type de modèles
Principe de la modélisation: cas de deux facteurs
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Les Plans d’Expériences Factoriels
Y(A ,B1) = 19 + [ 2 -1 -1 ] [ A ]Y(A ,B2) = 15 + [ 0 1 -1 ] [ A ]
Effets moyens de A: [ 1 0 -1] [ A ]
Y(A1 ,B) = 18 + [ 3 -3 ] [ B ]Y(A2 ,B) = 17 + [ 1 -1 ] [ B ]Y(A3 ,B) = 16 + [ 2 -2 ] [ B ]
Effets moyens de B: [ 2 -2 ] [ B ]
Ecarts pour B1: [ 1 -1 0 ] [ A ]Ecarts pour B2: [ -1 1 0 ] [ A ]
Ecarts pour A1: [ 1 -1 ] [ B ]Ecarts pour A2: [ -1 1 ] [ B ] Ecarts pour A3: [ 0 0 ] [ B ]
Termes de couplage: [ tA] 1 -1 [ B ]-1 1 0 0
Définition des Effets Moyens et des Termes de Couplage
La grande moyenne ou moyenne des moyennes est: Yb = 17
5. Choix d’un type de modèlesPrincipe de la modélisation: cas de deux facteurs
7
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Les Plans d’Expériences Factoriels
La fusion des expressions précédentes conduit à l’expression du modèle sous la forme:
17 est la constante [ou potentiel moyen] du modèle,[ 1 0 -1 ] [ A ] représente les effets moyens du facteur A[ 2 - 2 ] [ B ] représente les effets moyens du facteur BLe dernier terme caractérise l’interaction entre les facteurs A et B
Cette modélisation se généralise à un nombre quelconque de facteurs
Y( A, B ) = 17 + [ 1 0 -1 ] [ A ] + [ 2 -2 ] [ B ] + [ tA] 1 -1 [ B]-1 1 0 0
5. Choix d’un type de modèles
Principe de la modélisation: cas de deux facteurs
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Les Plans d’Expériences Factoriels
Tant que les essais n’ont pas été réalisés, les coefficients d’un modèle sont des inconnues. Les modèles sont représentés symboliquement par:
Cas d’un facteur A : Y = I + A
Cas de 2 facteurs A et B:avec interaction : Y = I + A + B + ABsans interaction: Y = I + A + B
Cas de 3 facteurs A, B et C : avec toutes interactions: Y = I + A + B + C + AB + AC + BC + ABCsans l’interaction ABC (*): Y = I + A + B + C + AB + AC + BCsans interactions: Y = I + A + B + C
(*) les interactions entre 3 facteurs et plus sont généralement négligées
NB 1: Les nombres de niveaux affectés aux facteurs seront mentionnés dans le modèle symbolique, en dessous de la lettre qui désigne le facteurNB 2: La structure des modèles retenus peut aussi être décrite avec un graphe linéaire
Modélisation: Représentation symbolique5. Choix d’un type de modèles
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Les Plans d’Expériences Factoriels
Dès que les nombres de niveaux des facteurs sont définis on les fait figurer dans les modèles symboliques, sous les lettres attribuées aux facteurs:
Exemple:
Y = I + A + B + C + D + E + AB + AD + AE(3) (2) (2) (2) (2)
Mention des nombres de niveaux des facteurs
5. Choix d’un type de modèles
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Les Plans d’Expériences Factoriels
Pour les modèles qui ne comportent pas d’interactions entre plus de 2 facteurs
– Les facteurs sont disposés aux sommets d’un polygone régulier ( dont la dimension correspond au nombre de facteurs inclus dans le modèle),
– Chaque interaction entre 2 facteurs est représentée par une brancheentre les sommets des facteurs correspondants.
Graphe linéaire associé à un modèle
Exemple:Y = I + A + B + C + D + E + AB + AD + AE
A
B
CD
E
5. Choix d’un type de modèles
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Les Plans d’Expériences Factoriels
Pour préciser le statut des interactions manquantes dans un modèle incomplet, nous leur attribuerons, le:
– Code P: lorsque les interactions manquantes du modèle, sont toutes fortement présumées négligeablesOn se limitera en pratique aux modèles d’ordre 2 au plus
– Code Q: lorsque les interactions manquantes du modèle, sont toutes volontairement négligéesOn se limitera en pratique aux modèles d’ordre 1 au plus
NB: Cette attribution est en rapport direct avec la notion de « stratégie d’expérimentation » qui sera développée dans le prochain chapitre
Codes attribués à un modèle incomplet
5. Choix d’un type de modèles
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6. Construction de la matrice d’expériences
?????????????????????????????????????????????????????????????????……CBA
QUELLE MATRICE ?à associer à un modèle
symbolique tel que:
Y = I + A + B + C + D + E + AB + AD + AE(3) (2) (2) (2) (2) Code P
1. On doit d’abord déterminer le format de la matrice d’expériences, c’est à dire:
• son nombre de colonnes• son nombre N de lignes
2. On doit ensuite remplir les colonnes
8
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?????????????????????????????????????????????????????????????????EDCBA
Etape 1: Le Format de la Matrice
Son nombre de colonnes
Le nombre de colonnes correspond au nombre de facteurs du modèle
Exemple:
Y = I+A+B+C+D+E+AB+AD+AE(3) (2) (2) (2) (2) Code P
La matrice comportera donc 5 colonnes
6. Construction de la matrice d’expériences
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?????????????????????????????????????????????????????????????????EDCBA
Etape 1: Le Format de la Matrice
Son nombre N de lignes
Les lignes d’une matrice d’expériences définissent les combinaisons distinctes de
niveaux des facteurs pour les essais.
Le nombre N doit toujours satisfaire la condition d’algèbre générale:
Nmin ≤ N ≤ Nmax
6. Construction de la matrice d’expériences
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Le nombre minimum Nmin de combinaisons distinctes d’une matrice d’expériences doit toujours être au moins égal au nombre p de coefficients indépendants du modèle retenu.Ainsi: Nmin = p
Le nombre p de coefficients indépendants d’un modèle est égal à la somme des nombres de coefficients indépendants de chacune des actions I, A, B, …, AB, …, qui le compose:
Pour le terme constant I:Nb de coefficients indépendants = 1
Pour un facteur A quelconque à nA niveaux:Nb de coefficients indépendants = nA – 1
Pour une interaction entre facteurs:Nb de coefficients indépendants = produit des nombres de coefficients
indépendants des facteurs qui la compose
Format d’une matrice d’expériences
Nombre minimum Nmin de lignes
6. Construction de la matrice d’expériences
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Exemple:
1 2 1 1 1 1 2x1 2x1 2x1 ⇒ p = 13Y = I + A + B + C + D + E + AB + AD + AE
(3) (2) (2) (2) (2)
Donc: N mini = 13
Format d’une matrice d’expériences
Nombre minimum de lignes
6. Construction de la matrice d’expériences
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Le nombre maximum Nmax de combinaisons distinctes d’une matrice d’expériences est toujours égal au produit des nombres de niveaux des facteurs du modèle. La matrice correspondante est qualifiée de « matrice complète ».Ainsi: Nmax = nA nB nC ….
Exemple: Y = I + A + B + C + D + E + AB + AD + AE
(3) (2) (2) (2 ) (2)
Nmax = 3 x 2 x 2 x 2 x 2 = 48
Format d’une matrice d’expériences
Nombre maximum Nmax de lignes
6. Construction de la matrice d’expériences
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?????????????????????????????????????????????????????????????????EDCBA
Format d’une matrice d’expériences
Fin de l’exemple:Y = I + A + B + C + D + E + AB + AD + AE
(3) (2) (2) (2) (2) Code P
Son nombre N de combinaisons distinctes doit satisfaire la condition
d’algèbre générale:
13 ≤ N ≤ 48
6. Construction de la matrice d’expériences
9
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Plusieurs méthodes peuvent être utilisées: • La méthode TAGUCHI (*)• La construction algorithmique• La construction analytique
La méthode TAGUCHI appelle, pour l’obtention des matrices d’expériences les plus usuelles, l’utilisation de « tables orthogonales » (voir leur recueil)
Elles sont désignées par des expressions du type LN (ar) ou LN ( ar x bs):• N désigne le nombre de combinaisons des matrices pouvant être construite avec
la table• ar mentionne que la table possède r colonnes, pouvant être affectées à des
facteurs possédant « a » niveaux• bs indiquant que la table possède s colonnes pour des facteurs à « b » niveaux
(*) Seule cette méthode est abordée ici
Étape 2: Remplissage des colonnes
6. Construction de la matrice d’expériences
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Les Tables de TAGUCHI Un exemple la table L8 (27)Elle permet de construire des plans d’expériences à N = 8 combinaisons
lorsque les facteurs n’ont que 2 niveaux
Comment extraire les colonnes qui vont constituer la matrice d’expériences?
Elle comporte des graphes linéaires pour faciliter l’attribution des facteurs aux colonnes lorsque il y a des interactions dans le modèle
6. Construction de la matrice d’expériences
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DCBA
N = 8
Le principe d’utilisation des tables de TAGUCHI
Les colonnes de la matrice seront extraites de la table et affectées aux facteurs selon
une procédure bien précise
Y = I + A + B + C + D + AB + AC(2) (2) (2) (2)
Selon procédure développée ci-après
6. Construction d’une matrice d’expériences
p = 7⇓
N ≥ 7⇓
L N ≥ 7(2 ≥ 4)
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Procédure simplifiée
1. Écrire le modèle symbolique retenu, préciser les nb de niveaux des facteurs et le code
2. Établir le graphe linéaire correspondant
3. Calculer le nombre p de coefficients indépendants du modèle
4. Rechercher une table LN (akxbl) telle que N≥p compatible avec le besoin (*)
5. Affecter à chaque facteur une colonne de la table, en commençant par ceux qui sont en interaction dans le modèle
6. Constituer la matrice d’expériences en extrayant de la table les colonnes affectées aux facteurs
(*) Les principales tables de Taguchi sont disponibles dans un fichier séparé
6. Construction d’une matrice d’expériences
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A
D
B
C
Illustration de l’utilisation des Tables de TAGUCHI1. Écrire le modèle symbolique retenu et préciser les niveaux affectés aux facteurs
Y = I + A + B + C + D + AB + AC Code P(2) (2) (2) (2)
2. Établir le graphe linéaire du modèle,
3. Calculer le nombre p de coefficients indépendants du modèle
1 1 1 1 1 1 1 ⇒ p = 7 ⇒ N ≥ 7Y = I + A + B + C + D + AB + AC
(2) (2) (2) (2)
4. Besoin en tables: L N≥7 (2≥4)P ,
Tables retenues : L 8(27)P
6. Construction d’une matrice d’expériences
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Illustration de l’utilisation des Tables de TAGUCHI
5. Affectation des colonnes :
• aux facteurs en interaction :a. Graphe des interactions du modèle : b. Graphe retenu de la table
c. superposition des 2 graphes :
d. tableau d’affectation des colonnes aux facteurs :
• aux facteurs non en interaction :reste pour D les colonnes 6 ou 7 au choix (on retient 7)
A B
C
1
2 4
753
6
1A
2B 4C
753
6
DACCABBA
7654321
6. Construction d’une matrice d’expériences
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Illustration de l’utilisation des Tables de TAGUCHI,
6. Constituer de la matrice d’expériences en extrayant les colonnes affectés aux facteurs dans la table de Taguchi L 8(27)P retenue :
12212112
12121212
11221122
11112222
Den 7
C en 4
Ben 2
Aen 1
M =
6. Construction d’une matrice d’expériences
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Modèle à estimer: Y = I + A + B + C + D + AB + AC(3) (2) (2) (2)
Y = 120 + [3 2 -5][A] + [-10 10][B] + [0 0][C] + [20 -20][D] + [ tA] -1 1 [B] + [ tA] 5 -5 [C] 0 0 10 -10 1 -1 -15 15
Matrice
122112211221
D 137871191491428212214211110189159
Y121212121212
112211221122
111122223333
C B A
L’estimation ponctuelle des coefficients des modèles appelle l’usage des 4
opérations élémentaires de l’arithmétique
8. Analyse des résultats
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• Objectif de la méthode• Introduction• Le principe de la méthode• Le code de bonne pratique • Une étude de cas détaillée• Bibliographie et Logiciels
Sommaire
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Les Plans d’Expériences Factoriels
Optimisation de la consommation spécifique d’une version de moteurs Diesel suralimentés, semi rapidesCAHIER DES CHARGES
OBJECTIF : Déterminer la loi d’adaptation d’un type de moteurs Diesel permettant de minimiser leur consommation spécifique sous contrainte d’une puissance nominale qui doit répondre au cas par cas à l’expression des besoins clients
DELAI: Le cycle de développement de ces moteurs prévoit la conduite de ces essais, après toute évolution substantielle de la définition de la chambre à combustion (environ tous les deux ans)
PERIMETRE DE L’ETUDE: Les facteurs d’adaptation faisant l’objet de l’optimisation au cas par cas, sont généralement au nombre de trois:
• Rapport volumétrique: souhaitable entre 12,6 et 16• Avance à l’injection: souhaitable entre 12° et 18,5°• Pression de suralimentation: souhaitable entre 2,7 et 3,3 bar
NB: la course de l’arbre-manivelle est parfois un quatrième facteur d’optimisation
Étude de cas
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CAHIER DES CHARGES MOTEURS DIESEL
REPONSE PRINCIPALE :
• Y : Consommation spécifique des moteurs Diesel en g/CV.h
RÉPONSE CONTRAINTE :
• Z : Puissance spécifique en CV
CIBLES VISEES:
On impose ici plusieurs valeurs de la contrainte Z (la puissance spécifique nominale), susceptibles de répondre à des besoins distincts de clients, en fonction des applications marines ou terrestres:
Z0 = 140, 150, 160, 200
On recherche parmi toutes les combinaisons de niveaux des trois facteurs qui satisfont la contrainte Z = Z0, celle qui minimise la consommation spécifique Y
Etude de cas
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Les Plans d’Expériences Factoriels
STRATEGIE D’EXPERIMENTATION MOTEURS DIESEL
L’objectif est de type P:
• Puisque qu’on vise pour la réponse Z (puissance spécifique) une valeur nominale Z = Z0
LA STRATÉGIE RETENUE EST DU TYPE P
• Les facteurs influents sont au nombre de 3
• Les nombres de niveaux des facteurs sont choisis de telle sorte que l’on puisse modéliser le comportement de Y et de Z de façon continue dans tout leur domaine de variation
• Un modèle d’ordre 2 de type P c’est à dire un modèle dans lequel toutes les interactions entre deux facteurs sont présentes, car elles ne sont pas négligeables,
• Une matrice d’expériences compatible avec le code P du modèle
• Le mode d’exploitation des modèles appellera la mise en œuvre de la méthode d’optimisation sous contraintes, du Lagrangien généralisé
Etude de cas
11
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Les Plans d’Expériences Factoriels
FACTEURS, DOMAINE ET NIVEAUX MOTEURS DIESEL
Les facteurs, leur domaine de variation et les niveaux retenus sont les suivants:
2,7 - 3 - 3,3 2,7 à 3,3 barW: Pression de suralimentation12 - 18,512° à 18,5°V: Avance à l’injection12,6 - 1612,6 à 16U: Rapport volumétrique
NIVEAUXDOMAINE DE VARIATION
FACTEURS
Etude de cas
NB: Les nombres de niveaux optimaux ont NB: Les nombres de niveaux optimaux ont ééttéé ddééterminterminéés par exploitation des donns par exploitation des donnéées es existantes existantes
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MODELE SYMBOLIQUE RETENU MOTEURS DIESEL
Compte tenu: • du choix de la stratégie P• du nombre de niveaux retenu pour les facteurs • de la liste des facteurs retenus, l’expression symbolique du modèle à étudier est le suivant:
Y = I + U + V + W + UV + UW + VW(2) (2) (3)
On montre que le nombre de combinaisons de la matrice orthogonale à retenir est de la forme :
N = 12 k avec k ≥ 1
Le nombres de combinaisons de la matrice complète étant: NC=12
Il conviendra alors de construire la matrice factorielle complète
Etude de cas
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CONSTRUCTION DE LA MATRICE MOTEURS DIESEL
La matrice factorielle compète estla suivante:
322
222
122
312
212
112
321
221
121
311
211
111
WVU
M =
Etude de cas
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EXECUTION DES ESSAIS MOTEURS DIESEL
Les mesures au banc de la consommation Y et de la puissance spécifique mesurées pour chacune des combinaisons de ma matrice M figurent ci-après:
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
U
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
V
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
W
228,2187,6
215,5189
202,9191,1
189,5195
177,1196,4
166,5200,3
176,5196,6
166,3197,9
156,8201,7
147,1204,4
138,6207
130,9211,8
ZY
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ANALSE DES RESULTATS D’ESSAIS MOTEURS DIESEL
Estimation des coefficients du modèle de Y, exprimée en g/CV.h :
Y = 198,23 + [ 5,00 - 5,00 ] [ U ]
+ [ 4,25 - 4,25 ] [ V ]
+ [ 2,99 - 0,66 - 2,33 ] [ W ]
+ [ tU ] 0,25 - 0,25 [ V ]
- 0,25 0,25
+ [ tU ] 0,53 - 0,13 - 0,40 [ W ]
- 0,53 0,13 0,40
+ [ tV ] 0,58 - 0,13 - 0,45 [ W ]
- 0,58 0,13 0,45
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ANALSE DES RESULTATS D’ESSAIS MOTEURS DIESEL
Estimation des coefficients du modèle de Z, exprimée en CV:
Z = 174,67 + [ - 21,95 21,95 ] [ U ]
+ [ - 16,37 16,37 ] [ V ]
+ [ - 10,38 - 0,30 10,68 ] [ W ]
+ [ tU ] 2,53 - 2,53 [ V ]
- 2,53 2,53
+ [ tU ] 1,53 0,05 - 1,58 [ W ]
- 1,53 - 0,05 1,58
+ [ tV ] 0,79 - 0,13 - 0,66 [ W ]
- 0,79 0,13 0,66
Etude de cas
12
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ANALSE DES RESULTATS D’ESSAIS MOTEURS DIESEL
Modèle symbolique polynomial de la surface de réponse pour Y:
Y = (I + U) (I + V) (I + W + W2)
Modèle polynomial tronqué au second degré:
Y = m + a u + b v + c w + d w2 + e uv + f uw + g vw
L’estimation des coefficients du modèle polynomial à partir des résultats de la matrice d’expériences est :
Y = 457,78 - 6,35 u - 3,53 v - 95,69 w + 10,07 w2 + 0,05 uv + 0,91 uw + 0,53 vw
Valable dans le domaine de variation précédemment défini
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ANALSE DES RESULTATS D’ESSAIS MOTEURS DIESEL
Modèle symbolique polynomial de la surface de réponse avec: Z = w u1,4 + Z’
Z’ = Z – w u1,4 = (I + U) (I + V) (I + W + W2)
Modèle polynomial de Z tronqué au second degré:
Z’ = m + a u + b v + c w + d w2 + e uv + f uw + g vw
L’estimation des coefficients du modèle à partir des résultats de la matrice d’expériences est :
Z = w u1,4 + 83,54 – 3,07 u – 4,60 v - 5,86 w + 0,95 uv – 1,16 uw
Valable dans le domaine de variation précédemment défini
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RECHERCHE D’UNE SOLUTION MOTEURS DIESEL
Nous recherchons parmi toutes les valeurs de [ u, v, w] qui satisfont Z = Zo la valeur [uo, vo, wo] qui minimise Y.
La démarche consiste à rechercher l’extremum du Lagrangien:
L(λ, u, v, w) = Y (u, v, w) + λ [ Z(u, v, w) – Zo]
obtenu en résolvant le système d’équations des dérivées partielles nulles de L par rapport à λ, u,v,w:
∂λL = 0 ∂uL= 0 ∂vL = 0 ∂wL = 0
Si λ est positif, l’extremum obtenu pour la réponse Y est minimum.
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RECHERCHE D’UNE SOLUTION MOTEURS DIESEL
On a recherché parmi toutes les valeurs de [ u, v, w] qui satisfont Z = Z0 la valeur [u0, v0, w0] à affecter aux facteurs U, V, W, qui minimise Y.
Les résultats sont les suivants pour les différentes valeurs de Z0 retenues:
2,89
3,13
3,20
3,27
w0
191,5915,8317,090,226200
200,9213,7313,090,258160
203,4213,1312,080,269150
206,0312,5111,040,280140
Yminiv0u0λZ0
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CONCLUSION:
La méthode présentée a été mise en œuvre à partir d’une base de données existantes, correspondant à une campagne de 72 essais durant 6 mois, dont l’exploitation était réalisée graphiquement.
La campagne structurée selon la méthode des plans d’expériences factoriels ne comporte que 12 essais.
La comparaison des deux démarches, effectuée par le Service Essais de la Société qui développe ces moteurs, a établi que les résultats de l’optimisation conduite avec la méthode présentée, sont tout a fait en accord avec leurs résultats d’optimisation, à 1 ou 2% près.
Le rapport d’efficacité Ref de la méthode présentée, par rapport à la démarche traditionnelle est :
Ref = 72/12 = 6
NB: On notera que le domaine de variation des facteurs dans lequel était recherchée une solution optimale, avait été préalablement déterminé avant la réalisation des 72 essais.
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Les Plans d’Expériences Factoriels
204,40147,103,2812,6012,0025
207,00138,602,9912,6012,0024
211,80130,902,6912,6012,0023
205,00168,202,4112,6024,5022
200,80178,602,7012,6024,5021
196,80209,303,5912,6024,5020
196,30202,203,2912,6024,5019
197,80191,803,0012,6024,5018
199,30183,303,8912,6016,3017
198,40174,103,5712,6016,3016
197,80168,203,3012,6016,3015
199,80158,303,0012,6016,3014
203,60148,902,6912,6016,3013
209,60139,902,4112,6016,3012
198,10191,203,8712,6018,5011
196,60184,403,5812,6018,5010
196,60176,503,2912,6018,509
197,40166,302,9912,6018,508
201,70156,802,7012,6018,507
206,60147,302,2912,6018,506
200,80164,802,7112,6021,005
206,50155,002,4112,6021,004
197,80175,903,0112,6021,003
196,50194,503,6012,6021,002
196,00187,003,3112,6021,001
ZYWVUEssai ZYWVUEssai
217,20129,602,4014,6010,0050
208,50140,402,6914,6010,0049
201,90171,903,5914,6010,0048
201,30163,003,2914,6010,0047
203,10152,302,9914,6010,0046
209,50143,602,3916,0010,0045
198,10193,403,5816,0010,0044
197,70182,603,3016,0010,0043
199,10171,403,0016,0010,0042
202,90156,902,7016,0010,0041
204,60174,802,1016,0018,5040
189,00215,402,9916,0018,5039
191,10202,902,7016,0018,5038
195,20190,702,4016,0018,5037
192,30211,503,2816,0015,5036
191,60199,102,9716,0015,5035
194,40187,402,6816,0015,5034
198,70175,002,3916,0015,5033
207,10151,602,3716,0012,0032
195,90200,203,5616,0012,0031
195,00189,503,2616,0012,0030
196,40177,102,9716,0012,0029
200,30166,502,6716,0012,0028
204,50162,303,8812,6012,0027
204,00155,103,5912,6012,0026
ZYWVUEssai
209,50143,002,4014,6013,0072
202,60154,602,7014,6013,0071
199,10185,703,5914,6013,0070
197,90176,103,2914,6013,0069
199,50167,103,0014,6013,0068
216,80146,502,1014,6016,0067
203,30157,502,3914,6016,0066
197,30169,702,7014,6016,0065
193,90201,903,5914,6016,0064
193,40192,603,2914,6016,0063
195,80183,703,0014,6016,0062
198,70180,302,4114,6022,0061
193,60193,302,7114,6022,0060
190,60216,903,3014,6022,0059
191,30202,103,0114,6022,0058
205,10168,702,2214,6022,0057
209,50157,702,1114,6019,0056
199,80171,302,4014,6019,0055
195,00183,502,7014,6019,0054
193,90215,803,5914,6019,0053
192,70207,403,2914,6019,0052
192,60199,303,0014,6019,0051
Base de données des 72 essais initialement réalisés
13
©2009 Jean-Claude SISSON Tous droits réservés
Les Plans d’Expériences Factoriels
Y = F (A, B,…, Z, ω) = G (A,B,…, Z) + H (ω)
Part déterministe de F Part aléatoire de F
Hypothèses usuelles
1. F est décomposée en une part déterministe G et une part aléatoire H:
2. La part déterministe G de F est la médiane de F pour A,B,…,Z fixés
Elle sera modélisée algébriquement avec les plans d’expériences
3. La part aléatoire H de F est distribuée selon H ∼ (0, σ)
⇒ F (A, B,…, Z, ω) ∼ [ G(A, B,…,Z) ; ω ]Elle sera modélisée par une distribution de Laplace-Gauss
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Les Plans d’Expériences Factoriels
G
0
A
B …
A
B …
Part déterministe de F Part aléatoire de FH
0
M M
Modélisation déterministe(spécifique aux PEF)
Modélisation probabiliste(classique)
Y = F (A, B,…, Z, ω) = G (A,B,…, Z) + H (ω)
Illustration de la décomposition de F
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Les Plans d’Expériences Factoriels
G
0
A
B …A1
B1
A2
B2
A3
Part déterministe de F
4. On construit une « matrice d’expériences » qui définit les essais à réaliser, en fonction de l’expression du modèle retenu, des facteurs et de leurs nombres de niveaux:
22
11
22
11
22
11
22
11
22
11
22
11
CC
11
22
22
11
11
22
22
11
11
22
22
11
DD
2233
1133
2222
1133
2222
1122
22
11
22
22
11
11
BB
33
22
11
11
11
11
AA
Matrice =
Exem
ple:
Ici se
ulem
ent 1
2 ess
ais
parm
i les 2
4 pos
sibles
!!
Essais de la matrice d’expériencesEssais non utiles
G = m + [ a1 a2 a3 ][A] + [ b1 b2 ][B] + [ c1 c2 ][C] + [ d1 d2 ][D] + [ tA] e11 e12 [B] + [ tA] f11 f12 [C] e21 e22 f21 f22e31 e32 f31 f32
Domaine expérimental
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FORMATION E-LEARNING AUX PLANS D’EXPÉRIENCES FACTORIELS
Développement assuré par le CACEMI et le CREX
Sommaire
• Présentation du CACEMI • Les modules de formation du CACEMI• Les formations e-learning proposées par le CACEMI• La formation e-learning aux plans d’expériences factoriels
• Son objectif pédagogique• Le programme• Les « plus » de cette formation• Renseignements et inscription
• Le tutorat des formations e-learning• Les modalités de contrôle des connaissances
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E-learning aux Plans d’Expériences FactorielsObjectif pédagogique
• Faire en sorte que le niveau de formation acquis par les apprenants leur permettre d’animer ou de prendre en charge la réalisation d’un plan d’expériences, avec un minimum de risque,
• Permettre notamment aux apprenants, de se former à cette méthode, à leur rythme, dans l’entreprise ou chez eux, tout en bénéficiant d’une assistance de tutorat pour répondre à leurs difficultés et aux questions qu’ils se posent,
• Délivrer aux apprenants à l’issue de la formation d’un certificat de réussite aux deux contrôles des connaissance acquises, auxquels ils devront se soumettre pendant et à l’issue de la formation, avec remise d’un support complet reprenant les différentes séquences de la formation,
• Un pré-requis: il souhaitable d’avoir un minimum de connaissances de « proba/stat » pour pouvoir exploiter statistiquement les résultats d’un plan d’expériences
Le programme: les 17 séquences de la formation
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E-learning aux Plans d’Expériences Factoriels
Les plus de cette formation
• Elle est plus complète que les formations intra ou inter-entreprisesgénéralement dispensées,
• Elle est très progressive et mathématiquement simple. Toutes lesséquences sont assorties de pages html avec bandes son,
• Elle fait l’objet d’un ensemble copieux de questions-réponses et d’exercices complètement corrigés,
• Elle permet, avec certaines précautions, de s’initier à la construction de matrices d’expériences orthogonales « au sens généralisé »,dont le nombre de combinaisons est encore plus réduit qu’avec les méthodes classiques, en ayant recours à des techniques de construction relativement récentes,
• L’exploitation des plans d’expériences factoriels orthogonaux, appelle l’usage d’une simple calculette comportant des fonctionsélémentaires de statistiques (niveau bac)
E-learning aux Plans d’Expériences FactorielsRenseignements et inscriptions
CACEMI : www.cnam.fr/cacemi/Tel : 33(0)1 40 27 24 49Fax : 33(0)1 40 71 94 76
Courrier de confirmation à adresser à:Cacemi-CnamCase « I 321 »292, rue Saint-Martin75141 Paris cedex03