Post on 18-Apr-2015
Integrais Definidas
Propriedades da Integral Definidas
Integrais
• A idéia de integral está relacionada ao cálculo de áreas e distâncias.
• Existe uma conexão entre o cálculo integral e o diferencial, que são relacionados pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
• Tal teorema simplifica bastante a solução de muitos problemas.
O Problema da Área
• Tentemos resolver o seguinte problema:
• Achar a área de uma região S que está sob a curva y = f(x) de a até b.
O Problema da Área
• S está limitada por:• O gráfico de uma função
contínua f;• Pelas retas verticais
x=a e x=b ;
• Pelo eixo x
O Problema da Área
• Ao tentar resolver o problema devemos pergunar:
• - Qual o significado da palavra área?
O Problema da Área
• Esta pergunta é facil de ser respondida para regiões de lados retos.
O Problema da Área
• Não é fácil encontrar área de regiões com lados curvos.
– Temos uma idéia intuitiva de qual é a área de uma região.
– Parte do problema da área é tornar precisa essa idéia intuitiva, dando uma definição exata de área.
O Problema da Área
• Lembre-se de que, ao defnir uma tangente, primeiro aproximamos a inclinação da reta tangente por inclinações de retas secantes, e então, tomamos o limite dessas aproximações.
– Uma idéia similar será usada para áreas.
Exemplo 1
Use retângulos para estimar a área da sob a parábola y = x2 de 0 até 1 ilustrada a seguir.
Solução
Note que a área se S deve estar compriendida entre 0 e 1, pois S está contido em um quadrado de lado 1.
- Mas podemos fazer melhor que isso!
Solução
Suponha que S seja dividida em quatro faixas S1, S2, S3, e S4 traçando as retas verticais x = ¼, x = ½, e x = ¾.
Solução
Podemos aproximar cada faixa por um retângulo com base igual à largura da faixa e altura igual ao lado direito da faixa.
Solução
Cada retângulo tem largura ¼e as alturas são (¼)2, (½)2, (¾)2, e 12.
Solução
• Se charmarmos de R4 a soma das áreas desses retângulos aproximantes obtemos:
22 2 231 1 1 1 1 14 4 4 4 2 4 4 4 1R
1532
0.46875
Solução
Vemos que a área A de S é menor que R4.
Portanto , A < 0,46875
Solução
Em vez de usar os retângulos desta figura, podemos usar retângulos menores da figura a seguir.
Solução
Aqui, as alturas são os valores de f à esquerda dos subintervalos.
– O retângulo mais à esquerda desapareceu porque sua altura é zero.
Solução
• A soma das áreas desses retângulos aproximantes é:
22 22 31 1 1 1 1 14 4 4 4 4 2 4 40L
732
0.21875
Solução
Vemos que a área de S é maior que L4.
Portanto, temos uma estimativa superior e inferior para A: 0,21875 < A < 0,46875
Solução
A figura mostra o que acontece quando dividimos a região S em oito faixas com a mesma largura.
0,2734375 < A < 0,3984375
Vídeo
Solução
• Portanto, é possível mostrar que
1lim lim
3n nn nR L
Regiões mais gerais
A largura do intervalo [a,b] é b – a.
x
b a
n
Definição
A área da região S que está sob o gráfico de uma função contínua f é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes
Também pode ser mostrado que:
Pontos amostrais
Podemos tomar como altura do i-ésimo retângulo como o valor de f em qualquer número no i-ésimo subintervalo
*ix
1,i ix x
Pontos amostrais
Chamamos os pontos de pontos amostrais.
* * *1 2, , , nx x x
Integral definida
Se f é uma função contínua definida em , dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de comprimentos iguais.
Sejam as extremidades desses subintervalos, escolhemos os pontos amostrais nesses subintervalos .
Então a integral definida de f de a a b é
desde que o limite exista.
*
1
( ) lim ( )nb
i xa ni
f x dx f x
0 1, , na x x x b * * *1 2, , , nx x x
(Integral de Riemann)
Integral definida
Quando o limite anterior existe dizemos que f é integrável.
( )b
af x dx
integrando
limite inferior
lim. superior
indica que a variável
independente é x
Cálculo da Integral2
0xdx
2
0
O cálculo da integral
,
pode ser calculada
pela determinação
da área do triângulo
retângulo da figura
destacado em
vermelhoaolado.
xdx
20 x
y
2
y x
Cálculo da Integral2
0xdx
20 x
y
2
Logo teremos:
2
0A xdx
y x
2 2
2
2
2
02xdx
Cálculo da Integral 0
2x dx
0
2
O cálculo da integral
,
pode ser calculada
pela determinação
da área do triângulo
retângulo da figura
destacado em
vermelhoaolado.
x dx
2 0 x
y
2
y x
Cálculo da Integral2
0xdx
Logo teremos:
0
2A x dx
2 22
2
0
22x dx
2 0 2
2
2 0 x
y
2
y x
Observação
Quando definimos a integral definida ,
implicitamente assumimos que .
Mas a definição como o limite da somas de
Riemann faz sentido mesmo que .
b
af x dx
a b
a b
Observação
Observe que se invertermos e , então
mudará de para .
Logo se , então .
a b x
/b a n /a b n
a b a b
b af x dx f x dx
Observação
Se , então , e
Vamos desenvolver agora algumas proprieda-
des básicas das integrais que nos ajudarão a
calcular as integrais de forma mais simples.
Para todos os efeitos vamos supor que as
funções a seguir sejam contínuas.
0x a b
0a
af x dx
Propriedades da Integral
Propriedade 1:
onde é qualquer constante.
b
acdx c b a
c
Observação da Propriedade 1
A propriedade 1 diz que a integral de uma
função constante, , é a função
constante vezes o comprimento do intervalo
.
f x c
,a b
Sendo e , então é a área
do retângulo da figura a seguir:
0c a b c b a
Observação da Propriedade 1
x
y
c
a b
área c b a
Exemplo
Determine . 2
04dx
Solução: Fazendo uso da propriedade 1
temos que:
b
acdx c b a
2
04dx 4 2 8 4 2 0
Propriedades da Integral
Propriedade 2:(Linearidade da Integral)Se e
são funções integráveis em , então
é uma função integrável em ,
para todo valendo a seguinte regra:
f
g ,a b
f g ,a b
,
b b b
a a af x g x dx f x dx g x dx
Observação
No caso de α β 1, 0 e 0
, , temos que
f x g x
x a b
b b b
a a af x g x dx f x dx g x dx
pode ser interpretado
como se segue:
Exemplo
Use as propriedades das integrais para calcular
. 2
04 3x dx
Solução
Fazendo uso das propriedades 1 e 2 temos:
2
04 3x dx
14
2 2
0 04 3dx xdx 4 2 0 3 2
2
04 3 14x dx
Propriedades da Integral
Propriedade 3:
Sejam e uma função integrável em
, e , respectivamente. Então
integrávelem , , valendo a seguinte regra:
a c b f
a c c b f
a b
b c b
a a cf x dx f x dx f x dx
Propriedades da Integral
Propriedade 3:
b c b
a a cf x dx f x dx f x dx
Aplicação
2
2
Fazendo uso das propriedadesdas integrais,
determine
, 0 2 onde, = .
, 2 0
f x dx
x se xf x
x se x
Solução
A representação do gráfico da função ,
, 0 2definida por = é:
, 2 0
f
x se xf x
x se x
20 x
y
2
2
Solução
2
2
Vamos fazer uso da propriedade 3 para
calcular .f x dx
20 x
y
2
2
Solução
2 0 2
2 2 0f x dx f x dx f x dx
0 2
2 0x dx xdx
2 2
4
2
24f x dx
Propriedades da Integral
Propriedade 4:
Se 0para todo , , então
( ) 0.b
a
f x x a b
f x dx
Se 0 para todo , , então
,0 ; ,f
f x x a b
G x x a b
0 x
y
a b
0.b
af x dx
Idéia Geométrica da 4P
Se 0 para todo , , então
, ; ,f
f x x a b
G x f x x a b
0b
af x dx
0 x
y
a b
Idéia Geométrica da 4P
Propriedades da Integral
Propriedade 5:
Se para todo , , então
.b b
a a
f x g x x a b
f x dx g x dx
Propriedades da Integral
Idéia de solução da Propriedade 5:
Se para todo , , então
0.
f x g x x a b
f x g x
Pela Propriedade 4, temos que
0 para todo , .b
af x g x dx x a b
Segue dai que .b b
a af x dx g x dx
Propriedades da Integral
Propriedade 6:
Se m para todo , , então
.b
a
f x M x a b
m b a f x dx M b a
M b a m b a b
af x dx
Idéia Geométrica da 6P
0 x
y
a b
m
M
f x
x
b
am b a f x dx M b a