Post on 08-Dec-2015
2
3 2
2
2
3-1
1 xy sin
Daerah asal terbatas
2
2
2
2
-1 1
yx 1sin
2
-1 1
xy1
cos
y
x
Fungsi Transenden
FUNGSI BALIKAN TRIGONOMETRI
Fungsi trigonometri mempunyai balikan dengan cara membatasi daerah aslnya. Contoh fungsi
y=sin x akan mempunyai balikan bila daerah asalnya dibatasi menjadi −π
2≤x≤π
2 . Fungsi
balikan diperoleh dengan pencerminan terhadap garis y=x
Balikan sinus dan kosinus
Definisi.Untuk memperoleh balikan dari sinus dan kosinus, kita batasi daerak asal mereka masing-masing
pada selang [−π2 ,
π2 ]
dan [ 0 , π ] sehingga
x=sin−1 y ⇔ y=sin x dan -π2
≤x≤π2
x=cos−1 y ⇔ y=cos x dan 0≤x≤π
Lambang arcsin sering digunakan untuk sin−1, dan arccos digunakan untuk cos−1
. Ini mempunyai arti “busur yang sinusnya adalah” atau “sudut yang sinusnya adalah”.
Contoh.
Hitutnglah (a) sin−1 (√2
2 )(b)
sin−1 (−12 )
(c) cos−1(√3
2 )
Balikan sinus dan kosinus hal 1
2 ππ2−π
2
π−π 3 π2
-1
1
Daerah asal terbatas
π0
y=cos x
y
y
y
x
x
x
y
x
xy tan
-1
1
2
2
2
3
2
3
2
2
Daerah asal terbatas
-1 1
2
2
y
xxy 1tan
2
1-1 x
yxy
1sec
Fungsi Transenden
(d) cos−1(−1
2 )(e) cos (cos−1 (0,6 ) ) (f)
sin−1 (sin3π2 )
Penyelesaian.
c.sin−1 (√2
2 )=π4 b. sin−1 (−1
2 )=− π6 c.
cos−1(√32 )=π6
e.cos−1(−1
2 )=2 π3 e. cos (cos−1 (0,6 )=0,6 ) f.
sin−1 (sin3π2 )=sin(−1)=−π
2
Balikan tangen
Definisi
Untuk memperoleh balikan untuk tangen, kita batasi daerah pada (− π2 , π2 )
. Sehingga,
x=tan−1 y ⇔ y=tan x dan −π2≤x≤π
2
Balikan sekan
Balikan sinus dan kosinus hal 2
y
x
y=secx
-1
1
π2
−π2
−3 π2
3 π2
π−π
π0 Daerah asal terbatas
Fungsi Transenden
DefinisiUntuk memperoleh balikan untuk sekan, kita batasi daerah asal pada
[ 0 ,π2
)∪( π2, π ]
Sehingga
x=sex−1 y ⇔ y=sec x dan 0≤x≤π , x≠ π2
Contoh
Hitunglah (a) sec−1 (−1 ) , (b) sec−1(2 ), dan (c) sec−1(−1 ,32)
Ingat bahwa sec x= 1
cos x sehingga sec−1 y=cos−1 ( 1
y )(a) sec−1(−1)=cos−1(−1)=π
(b)sec−1(2 )=cos−1( 1
2 )=π3(c)
sec−1(−1 ,32)=cos−1(− 11 ,32 )=cos−1 (−0 ,7575758 )=2 ,4303875
Empat kesamaan yang bagus
(i) sin (cos−1 x )=√1−x2
(ii) cos ( sin−1 x )=√1−x2
(iii) sec (tan−1x )=√1+ x2
(iv) tan ( sec−1x )=√1+ x2
Bukti (i)
sin2θ+cos2θ=1 , khususnya untuk 0≤θ≤π , maka sin θ=√1−cos2θ . Kita terapkan ini
dengan θ=cos−1x dan gunakan kenyataan bahwa cos ( cos−1 x )=x , diperoleh
sin (cos−1 x )=√1−cos2 ( cos−1 x )=√1−x2
Bukti lainnya dilakukan dengan cara serupa
Balikan sinus dan kosinus hal 3
1 1
1 1x
x x x√1−x 2
√1−x 2
√1+x2
√1+x2
cos−1x sin−1 x tan−1 x sec−1 x
Fungsi Transenden
Contoh.
1. Hitunglah sin [2cos−1( 2
3 )]Gunakan kesamaan sudut ganda sin 2θ=2 sin θ cosθ , maka
sin [2 cos−1( 23 )]=2 sin(cos−1 [ 2
3 ])cos [cos−1( 23 )]=2.√1−(2
3 )2
.23=
4 √59
2. Perlihatkan bahwa cos ( 2 tan−1 x )=1−x2
1+x2
Gunakan kesamaan sudut ganda cos2θ=2 cos2θ−1 dan θ=tan−1x , maka
cos ( 2 tan−1 x )=cos2θ=2 cos2θ−1=2
sec2θ−1=
2
1+ tan2θ−1
¿21+x2
−1=1−x2
1+x2
Soal.Carilah nilai-nilai eksak tanpa menggunakan kalkulator
1.arccos(√2
2 )2.
sin−1 (−√32 )
3. arctan (√3 )
4. arc sec (2 ) 5. sin (sin−1 0 .4567 ) 6. cos ( sin−10 .56 )
Soal.
Nyatakan θ dalam x dengan menggunakan fungsi-fungsi balikan trigonometri sin−1, cos−1
, tan−1,
dan sec−1
1. 2. 3. 4.
Soal.Perlihatkan bahwa persamaan-persamaan berikut merupakan kesamaan
1.tan ( sin−1 x )= x
√1−x22.
sin ( tan−1 x )= x
√1+ x2
3. cos ( 2sin−1 x)=1−2 x24.
cos ( tan−1 x )= 1
√1+x2
Soal.Cari masing-masing limit berikut
Balikan sinus dan kosinus hal 4
x x x x8
6
5
9θ θ θ θ
Fungsi Transenden
1.limx→∞
tan−1 x2.
limx→−∞
tan−1 x
3.limx→∞
sec−1x4.
limx→−∞
sec−1 x
Balikan sinus dan kosinus hal 5