2

3 2

2

2

3-1

1 xy sin

Daerah asal terbatas

2

2

2

2

-1 1

yx 1sin

2

-1 1

xy1

cos

y

x

Fungsi Transenden

FUNGSI BALIKAN TRIGONOMETRI

Fungsi trigonometri mempunyai balikan dengan cara membatasi daerah aslnya. Contoh fungsi

y=sin x akan mempunyai balikan bila daerah asalnya dibatasi menjadi −π

2≤x≤π

2 . Fungsi

balikan diperoleh dengan pencerminan terhadap garis y=x

Balikan sinus dan kosinus

Definisi.Untuk memperoleh balikan dari sinus dan kosinus, kita batasi daerak asal mereka masing-masing

pada selang [−π2 ,

π2 ]

dan [ 0 , π ] sehingga

x=sin−1 y ⇔ y=sin x dan -π2

≤x≤π2

x=cos−1 y ⇔ y=cos x dan 0≤x≤π

Lambang arcsin sering digunakan untuk sin−1, dan arccos digunakan untuk cos−1

. Ini mempunyai arti “busur yang sinusnya adalah” atau “sudut yang sinusnya adalah”.

Contoh.

Hitutnglah (a) sin−1 (√2

2 )(b)

sin−1 (−12 )

(c) cos−1(√3

2 )

Balikan sinus dan kosinus hal 1

2 ππ2−π

2

π−π 3 π2

-1

1

Daerah asal terbatas

π0

y=cos x

y

y

y

x

x

x

y

x

xy tan

-1

1

2

2

2

3

2

3

2

2

Daerah asal terbatas

-1 1

2

2

y

xxy 1tan

2

1-1 x

yxy

1sec

Fungsi Transenden

(d) cos−1(−1

2 )(e) cos (cos−1 (0,6 ) ) (f)

sin−1 (sin3π2 )

Penyelesaian.

c.sin−1 (√2

2 )=π4 b. sin−1 (−1

2 )=− π6 c.

cos−1(√32 )=π6

e.cos−1(−1

2 )=2 π3 e. cos (cos−1 (0,6 )=0,6 ) f.

sin−1 (sin3π2 )=sin(−1)=−π

2

Balikan tangen

Definisi

Untuk memperoleh balikan untuk tangen, kita batasi daerah pada (− π2 , π2 )

. Sehingga,

x=tan−1 y ⇔ y=tan x dan −π2≤x≤π

2

Balikan sekan

Balikan sinus dan kosinus hal 2

y

x

y=secx

-1

1

π2

−π2

−3 π2

3 π2

π−π

π0 Daerah asal terbatas

Fungsi Transenden

DefinisiUntuk memperoleh balikan untuk sekan, kita batasi daerah asal pada

[ 0 ,π2

)∪( π2, π ]

Sehingga

x=sex−1 y ⇔ y=sec x dan 0≤x≤π , x≠ π2

Contoh

Hitunglah (a) sec−1 (−1 ) , (b) sec−1(2 ), dan (c) sec−1(−1 ,32)

Ingat bahwa sec x= 1

cos x sehingga sec−1 y=cos−1 ( 1

y )(a) sec−1(−1)=cos−1(−1)=π

(b)sec−1(2 )=cos−1( 1

2 )=π3(c)

sec−1(−1 ,32)=cos−1(− 11 ,32 )=cos−1 (−0 ,7575758 )=2 ,4303875

Empat kesamaan yang bagus

(i) sin (cos−1 x )=√1−x2

(ii) cos ( sin−1 x )=√1−x2

(iii) sec (tan−1x )=√1+ x2

(iv) tan ( sec−1x )=√1+ x2

Bukti (i)

sin2θ+cos2θ=1 , khususnya untuk 0≤θ≤π , maka sin θ=√1−cos2θ . Kita terapkan ini

dengan θ=cos−1x dan gunakan kenyataan bahwa cos ( cos−1 x )=x , diperoleh

sin (cos−1 x )=√1−cos2 ( cos−1 x )=√1−x2

Bukti lainnya dilakukan dengan cara serupa

Balikan sinus dan kosinus hal 3

1 1

1 1x

x x x√1−x 2

√1−x 2

√1+x2

√1+x2

cos−1x sin−1 x tan−1 x sec−1 x

Fungsi Transenden

Contoh.

1. Hitunglah sin [2cos−1( 2

3 )]Gunakan kesamaan sudut ganda sin 2θ=2 sin θ cosθ , maka

sin [2 cos−1( 23 )]=2 sin(cos−1 [ 2

3 ])cos [cos−1( 23 )]=2.√1−(2

3 )2

.23=

4 √59

2. Perlihatkan bahwa cos ( 2 tan−1 x )=1−x2

1+x2

Gunakan kesamaan sudut ganda cos2θ=2 cos2θ−1 dan θ=tan−1x , maka

cos ( 2 tan−1 x )=cos2θ=2 cos2θ−1=2

sec2θ−1=

2

1+ tan2θ−1

¿21+x2

−1=1−x2

1+x2

Soal.Carilah nilai-nilai eksak tanpa menggunakan kalkulator

1.arccos(√2

2 )2.

sin−1 (−√32 )

3. arctan (√3 )

4. arc sec (2 ) 5. sin (sin−1 0 .4567 ) 6. cos ( sin−10 .56 )

Soal.

Nyatakan θ dalam x dengan menggunakan fungsi-fungsi balikan trigonometri sin−1, cos−1

, tan−1,

dan sec−1

1. 2. 3. 4.

Soal.Perlihatkan bahwa persamaan-persamaan berikut merupakan kesamaan

1.tan ( sin−1 x )= x

√1−x22.

sin ( tan−1 x )= x

√1+ x2

3. cos ( 2sin−1 x)=1−2 x24.

cos ( tan−1 x )= 1

√1+x2

Soal.Cari masing-masing limit berikut

Balikan sinus dan kosinus hal 4

x x x x8

6

5

9θ θ θ θ

Fungsi Transenden

1.limx→∞

tan−1 x2.

limx→−∞

tan−1 x

3.limx→∞

sec−1x4.

limx→−∞

sec−1 x

Balikan sinus dan kosinus hal 5