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Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik II
Teil 1: Elektrizitätslehre, Elektrodynamik
1. Elektrische Ladung und elektrische Felder2. Kapazität3. Elektrischer Strom4. Magnetostatik5. Elektrodynamik6. Schwingkreise und Wechselstrom
Teil 2: Optik
7. Elektromagnetische Wellen8. Optik
346
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
7 Elektromagnetische Wellen
7.1 Wiederholung: MechanischeSchwingungen
Der harmonische Os-zillator ist die ein-fachste Form einer Schwingung. Beim Fe-derpendel ist die rück-treibende Kraft:
( )F A D A= −
D
FT
F(A)
m
A(t)
2 2
2 2
( ) ( )( ) ( ) 0d A t d A t Dm DA t A tdt dt m
= − ⇔ + =
0DA Am
+ =&&
Das zweite Newton-sche Gesetz liefert dann die Bewegungs-gleichung:
oder in Kurzschreibweise
347
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
0
0
(0)
(0) 0
A A
A A
=
= =& &
Spezielle Anfangsbedingungen:
00( ) cos( ) sin( )AA t A t tω ω
ω= +
&
( ), ( )A t A t&
0A
0 0A =& t
( )A t
( )A t&
Eine Schwingung ist ein zeitlich perio-discher Vorgang.
Allgemeine Lösung der Schwingungs-(differential-) gleichung (DGL) sind harmonische Funktionen
t
A(x,t)
A(t)
x
T
Startamplitude:
Startgeschwindigkeit:
348
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
7.2 Wellen - 1D Betrachtung
Eine Welle beschreibt einen zeitlich und räumlich periodischen Vorgang. Die Auslenkung A einer Welle hängt also von zwei Variablen ab:
( , )A A x t=
Für einen festen Ort x soll A eine Schwingungs-DGL erfüllen, also:
22
2 0A At
ω∂+ =
∂
2Tπω =
Dabei ist
die (Kreis-) Frequenz und T die Schwingungsdauer.
( , )A x t
1t
T
t
x = const.
A(x,t1)
Für eine feste Zeit t soll A einen räum-lich periodischen Vorgang beschreiben. Für die Variable x muss also die folgen-de DGL gelten:
22
2 0A k Ax
∂+ =
∂
349
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
1x
λ
x
t = const.A(x1,t)
( , )A x t
Dabei ist 2k πλ
=
die Wellenzahl mit der Wellenlänge λ, die die räumliche Periodenlänge beschreibt.
22
2 0A k Ax
∂+ =
∂
22
2 0A At
ω∂+ =
∂
Die beiden DGL's für A(x,t) lauten
und lassen sich zusammenfassen als
2
2 2
2 2 2
2 2 2
1
0
AAt
A k Ax t
ω
ω
∂= −
∂∂ ∂
⇒ − =∂ ∂
350
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Wir werden später sehen, dass der Quotient v = ω/k die (Phasen-) Geschwindigkeit der Welle beschreibt. Damit ergibt sich für die Auslenkung A die folgende Gleichung:
2 2
2 2 2
( , ) 1 ( , ) 0A x t A x tx v t
∂ ∂− =
∂ ∂
Bemerkungen:Dies ist die eindimensionale Wellengleichung. Jede Lösung A(x,t) der obigen DGL wird als Welle bezeichnet. Die Wellengleichung ist eine lineare, partielle DGL 2. Ordnung mitkonstanten Koeffizienten. Die Größe v ist hierbei die sog. „Phasengeschwindigkeit“ der Welle.Anschaulich gibt sie an, mit welcher Geschwindigkeit sich eineAuslenkung bewegt. Dies ist zu unterscheiden von der sog.„Gruppengeschwindigkeit“ einer Welle, die die Geschwindigkeit derräumlichen Ausbreitung beschreibt.In einer Welle findet kein Materie- sondern Energietransport statt.
351
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
7.3 Wellen - 3D Betrachtung
Die Auslenkung A einer Welle hängt jetzt von den drei räumlichen Koordinaten und der Zeit ab:
( , , , ) ( , )A A x y z t A r t= =r
Wenn die gleiche Überlegung wie im 1D Fall in allen drei Raumrichtungen durchgeführt wird, dann ergibt sich als Wellengleichung für eine sich zeitlich und räumlich periodisch ausbreitende Auslenkung:
2 2 2 2
2 2 2 2 2
( , ) ( , ) ( , ) 1 ( , ) 0A r t A r t A r t A r tx y z v t
∂ ∂ ∂ ∂+ + − =
∂ ∂ ∂ ∂
r r r r
Dies lässt sich mit dem Laplace-Operator zusammenfassen zu:
2
2 2
1 ( , )( , ) 0A r tA r tv t
∂Δ − =
∂
rr
Dabei ist v der Betrag der Phasengeschwindigkeit in 3D.
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂
∂∂
∂∂
=Δ 2
2
2
2
2
2
,,zyx
355
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beispiel: Schallwellen
p(x,t)
⇒ Schallwellen sind longitudinale Druckschwankungen der Luft:
Luft 0 Schall( , ) cos( ),p x t p p kx t c kω ω= + − =
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Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Schallgeschwindigkeit in Luft: cSchall = 340 m/sLichtgeschwindigkeit: cLicht = 300000000 m/s
⇒ cLicht >> cSchallEntfernung x eines Gewitters:
x ≈ cSchall Δt = cSchall 3s ≈ 1 km/sx [km] ≈ Δt [s] / 3
Dabei ist Δt die Zeit zwischen dem Sehen des Blitzesund dem Hören des Donners.
x = ? Δt
358
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Klingel unter Vakuum
Wenn die Luft aus der Glocke gepumpt wird, dann ist die Klingel nicht mehr zu hören.
Bei einer mechanischen Welle wird immer ein Medium zur Übertragung benötigt.
360
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Wanne zur Erzeugung von Wasserwellen
Wanne mit WasserMotor Halterung
An die Halterung werden verschiedene Wellenerreger befestigt, mit denen sich z.B. Kreiswellen und ebene Wellen erzeugen lassen.
361
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
7.4 Lösungen der Wellengleichung
2 2
2 2 2
( , ) 1 ( , ) 0A x t A x tx v t
∂ ∂− =
∂ ∂
Die einfachste Lösung der 1D-Wellen-gleichung
ist eine monochromatische harmonische ebene Welle:
( )0( , ) cos2 2mit ,
A x t A k x t
kT
ω
π πωλ
= −
= =
Einsetzen in die Wellengleichung ergibt:
( )2
202
22
2
cos 0
0
k A k x tv
k vv k
ω ω
ω ω
⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
⇒ − + = ⇒ =
Hier ist v ist die Phasengeschwindigkeit.Dabei wird der Ausdruck (kx – ωt) als die „Phase“ der Welle bezeichnet.
Durch Einsetzen zeigt man leicht, dass dies eine Lösung ist:
( )
( )
22
02
22
02
( , ) cos
( , ) cos
A x t k A k x tx
A x t A k x tt
ω
ω ω
∂= − −
∂∂
= − −∂
362
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Für Werte konstanter Phase gilt:.k x t constω− =
1 1
2 2
1 2 1 2
1 2
1 2
.
.( ) ( ) 0
k x t constk x t const
k x x t tx x xvt t t k
ωω
ωω
− =− =
⇒ − − − =− Δ
⇒ = = =− Δ
An zwei Punkten (x1,t1) und (x2,t2) mit gleicher Phase ist dann:
Dies ist nicht die einzige Lösung der Wellengleichung in 1D. Beispielsweise wäre auch
( )0( , ) sinA x t A k x tω= −
eine Lösung. Die Wellengleichung hat viele Lösungen.
Hier soll auch gleich wieder an die komplexe Schreibweise erinnert wer-den. Deswegen wird auch die Funktion
( )0( , ) exp ( )2 2mit ,
A x t A i k x t
kT
ω
π πωλ
= −
= =
als Welle bezeichnet. Physikalisch sinn-voll ist natürlich wieder nur der Realteil:
( )( )( )
0
0
( , ) Re exp ( )
cos
A x t A i k x t
A k x t
ω
ω
= −
= −
363
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Der Zusammenhang der Phasengeschwindigkeit v einer Welle und ihrer Wellenlänge und Frequenz ergibt sich einfach aus der Darstellung mit der Wellenzahl k und der Kreisfrequenz ω zu:
2 2 mit , 2v k f v fk Tω π πω π λ
λ= = = = ⇒ =
x
A(x,t)
vTλ
=T
A(t)
364
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Orte konstanter Phase breiten sich in der Zeit t = T um die Strecke x = λ aus.
365
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
2
2 2
1 ( , )( , ) 0A r tA r tv t
∂Δ − =
∂
rr
Dies lässt sich einfach für 3D-Wellen verallgemeinern. So erhält man als Lösung der 3D-Wellengleichung
eine ebene, monochromatische, harmo-nische Welle der Form:
( )0( , ) cos
2mit ,x
y
z
A r t A k r t
kk k k
k
ω
πλ
= ⋅ −
⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
rr r
r r
Einsetzen in die Wellengleichung ergibt:
( )2
202
22
2
2 2 2
cos 0
0
x y z
k A k r tv
kv
vk k k k
ω ω
ω
ω ω
⎛ ⎞− + ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
⇒ − + =
⇒ = =+ +
r r
Dabei ist der Ausdruck wieder die Phase der Welle.
k r tω⋅ −r r
( )
( )
20
2 2 2 2
22
02
( , ) cos
mit
( , ) cos
x y z
A r t k A k r t
k k k k
A r t A k r tt
ω
ω ω
Δ = − ⋅ −
= + +
∂= − ⋅ −
∂
rr r
r r r
Jetzt ist:
366
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
( )0( , ) cosA r t A k r tω= ⋅ −rr r
Eine ebene Welle der Form
kann durch das Bild rechts veran-schaulicht werden. Die Ausbreitungs-richtung der Welle ist durch den Vektor gegeben. Dieser Vektor steht senkrecht auf den Wellenfronten.
kr
00
x
x
k xk r y k x
z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
r r
( )0( , ) exp ( )A r t A i k r tω= ⋅ −rr r
Komplexe Schreibweise:
x
y
00
x x
y
z
k kk k
k
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
r
367
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
x
y
z
krk k kr
k
⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
rr( )0( , ) cosA r t A kr tω= −r
Eine Kugelwelle ist beispielsweise durch
gegeben. Mit
2 2 2r x y z= + +
kann man leicht zeigen, dass diese Funktion die Wellengleichung erfüllt.
Die Ausbreitungsrichtung ist nun radial nach Außen, also:
( )k k r r k r k r r r kr= ⇒ ⋅ = ⋅ =r rr r r r
( )0( , ) exp ( )A r t A i kr tω= −r
Die komplexe Schreibweise lautet hier
368
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
7.5 Überlagerung von Wellen: Schwebungen
Wir betrachten nun zwei 1D-Wellen mit gleicher Amplitude A0 aber unterschiedlicher Wellenlänge und Frequenz:
1 0 1 1
2 0 2 2
( , ) cos( )( , ) cos( )
A x t A k x tA x t A k x t
ωω
= −= −
Dann gilt für die Überlagerung beider Wellen:
12 1 2
0 1 1 0 2 2
( , ) ( , ) ( , )cos( ) cos( )
A x t A x t A x tA k x t A k x tω ω
= += − + −
Ganz allgemein gilt der folgende Zusammenhang:
cos( ) cos( ) 2cos cos2 2
a b a ba b + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Da die Wellengleichung linear ist, ist die Superposition zweier Wellen wieder eine Lösung der Wellengleichung.
369
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
12 0 1 1 0 2 2
1 2 1 2 1 2 1 20
( , ) cos( ) cos( )( ) ( ) ( ) ( )2cos cos
2 2
A x t A k x t A k x tk k x t k k x tA
ω ωω ω ω ω
= − + −
+ − + − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Damit folgt für die Überlagerung der beiden Wellen:
Dies lässt sich mit den Definitionen
1 2 1 2 1 2 1 2, , ,2 2 2 2
k k k kk kω ω ω ωω ω+ + − −= = Δ = Δ =
folgendermaßen schreiben:
( ) ( )( )
12 0
0
( , ) 2 cos cos
( , )cos
A x t A k x t k x t
A x t k x t
ω ω
ω
= Δ − Δ −
= −%
Dies ist eine Welle mit der mittleren Frequenz und der mittleren Wellenzahl und einer orts- und zeitabhängigen Amplitude .
ω k0 ( , )A x t%
370
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
( ) ( )( )
12 0
0
( , ) 2 cos cos
( , )cos
A x t A k x t k x t
A x t k x t
ω ω
ω
= Δ −Δ −
= −%
( )0 0( , ) 2 cosA x t A k x tω= Δ −Δ%
Die Amplitude
hüllt die Welle ein, da Δk und Δω kleine Frequenzen und Wellenzahlen sind.
371
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
7.6 Stehende Wellen
Wir betrachten jetzt die Überlagerung zweier 1D Wellen mit gleicher Amplitude aber entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung:
()
1 0 2 0
1 2
0 0
0
( , ) cos( ), ( , ) cos( )( , ) ( , ) ( , )
cos( ) cos( )( , ) cos( ) cos( ) sin( )sin( )
cos( ) cos( ) sin( )sin( )
A x t A kx t A x t A kx tA x t A x t A x t
A kx t A kx tA x t A kx t kx t
kx t kx t
ω ω
ω ωω ω
ω ω
= + − = − −⇒ = +
= + − + − −
⇒ = +
+ −
0( , ) 2 cos( )cos( )A x t A kx tω⇒ =
Das ist eine sog. „stehende Welle“, bei der an jedem festen Ort x eine harmonische Schwingung mit der Amplitude 2A0cos(kx) stattfindet.
372
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Die Überlagerung einer hin- und rück-laufenden Welle ergibt also eine ste-hende Welle mit raumfesten Knoten-punkten:
Knotenpunkte beikx = nπ + π/2⇒ x = nλ/2 + λ/4
Wellenbäuche kx = nπ ⇒ x = nλ/2
reflektierendeWand
Beispiel: Schwingung einer Saite
hinlaufend rücklaufend
373
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
700 600 500 400nm
sichtbaresLicht
105104 106 107 108 109 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019 1020 1021 1022 1023
Hz][vFrequenz
104 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-1010-1110-1210-1310-14
m][λ
Mittel-& Kurz-
welle
Lich
tLang-welle
UKWund
Fernsehen
Rad
ar Mikro-wellen
Infrarot-strahlung
Ultra-violett-
strahlung
Röntgen-strahlung
Gamma-strahlung
Wellenlängesm10997925.2mit 8⋅==λ c
vc
7.7 Elektromagnetisches Spektrum
374
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Glühdraht
Die hohe Spannung baut ein entspre-chend hohes E-Feld auf. Schlägt der Funken über, bricht innerhalb von Nanosekunden das Feld zusammen. Dabei werden die Ladungen stark beschleunigt und strahlen. Heute wird der primitive Funken durch aktive Bau-elemente (Transistoren) ersetzt.
Historische Erzeugung von Radiowellen durch Hochspannungsfunken
Durch hohe Tempera-turen werden die La-dungen in den Mole-külen so stark zu ther-mischen Bewegungen (Beschleunigung) an-geregt, dass sie elek-tromagnetische Wellen aussenden.
Erzeugung von Licht durch eine Glühbirne
Prisma
Weißes Licht enthält Wellen verschie-dener Frequenzen = „Farben“
375
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Die Elektronen werden im Kristall stark abgebremst (d.h. negativ beschleunigt) und strahlen dabei kurzwellige Strahlung ab („Bremsstrahlung“).
einige 10 - 100 kV
Kristall
Elektron
Atomkern
Erzeugung von Röntgenstrahlung
376
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Typisches Röntgenspektrum aus Brems- und charakteristischer Strahlung
377
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Im Prinzip wie bei der Röntgenröhre durch Bremsstrahlung. Die Elektronenenergie ist allerdings wesentlich höher. Sie wird durch Teilchenbeschleuniger (z.B. „LINAC“) erzeugt.
DELTA-LINAC
MeV75Elektron =E
6.4 m
SLAC in Kalifornien, USA
3 km
GeV50Elektron =E
Erzeugung von Gammastrahlung
378
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Experimenteller Nachweis elektromagnetischer Wellen
Heinrich Rudolf Hertz(1857-1894)
Nachweis elektro-magnetischer Wellen
in den Jahren 1885 bis1889 an der Universität
in Karlsruhe.
379
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Erzeugung elektromagnetischer Wellen mittels Funkeninduktor
380
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Durch den Funkeninduktor werden in der Antenne hochfrequente Wechsel-spannungen erzeugt
AntenneSende-station
FunkeninduktorAntennen
Empfänger
Verstärker
empfangenesSignal
hochfrequentesSignal
381
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
7.8 Elektromagnet. Wellengleichung
0
0 0
0
E
B
BEt
EB jt
ρε
μ ε
∇ ⋅ =
∇ ⋅ =
∂∇× = −
∂⎛ ⎞∂
∇× = +⎜ ⎟∂⎝ ⎠
r r
r r
rr r
rr r r
Die vier Maxwell-Gleichungen lauten
Aus diesen Gleichungen folgt direkt eine Wellengleichung, wie man folgen-dermaßen sieht:
Im materiefreien Raum verschwinden sowohl die Ladungs- als auch die Strom-dichte, also:
( , ) 0, ( , ) 0j r t r tρ= =rr r r
Dann lautet die vierte Maxwell-Glei-chung:
0 0EBt
μ ε ∂∇× =
∂
rr r
Diese Gleichung wird nun nach der Zeit abgeleitet:
2
0 0 2
B Et t
μ ε∂ ∂∇× =
∂ ∂
r rr
382
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Die 3. Maxwell-Gleichung besagt aber:
B Et
∂= −∇×
∂
rr r
2
0 0 2
B Et t
μ ε∂ ∂∇× =
∂ ∂
r rr
Einsetzen in die linke Seite ergibt:
( )2
0 0 2
EEt
μ ε ∂−∇× ∇× =
∂
rr r r
Nun gilt für ein beliebiges Vektorfeld:
( ) ( )E E E∇× ∇× = ∇ ∇⋅ − Δr r r r r r r
Im materiefreien Raum gilt wegen der 1. Maxwell-Gleichung:
0
0E ρε
∇ ⋅ = =r r
Damit folgt:
( )E E∇× ∇× = −Δr r r r
Dies eingesetzt in die linke Seite der Gleichung vorher ergibt:
2
0 0 2
EEt
μ ε ∂Δ =
∂
rr
383
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Es ergibt sich also die folgende Gleichung für das elektrische Feld im materiefreien Raum:
2
2 20 0
1 10 mitEE cc t μ ε
∂Δ − = =
∂
rr
Bemerkungen:• Dies ist eine Wellengleichung. Neben der trivialen Lösung E = 0 für das Feld im
Vakuum gibt es also noch „wellenförmige“ Lösungen der Maxwell-Gleichungen.• Diese Gleichung gilt für jede Komponente des elektrischen Feldes. Es sind also
genau genommen drei (3D) Wellengleichungen.• Die Phasengeschwindigkeit c dieser Wellen ist durch die Feldkonstanten
gegeben. Sie ist damit eine universelle Naturkonstante. • Es ist zu beachten, dass das elektrische Feld allein aber nicht ausreicht, um eine
solche Welle zu generieren. Bei der Herleitung wurde das Induktionsgesetz verwendet.
James Clerk Maxwell(1831-1879)
384
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Hertzscher Dipol als Sender und Empfänger
Senderdipol
Empfangs-dipol
HF-Generator mit Röhrenverstärker
Verstärkerröhre
Auskoppel-schleife
Die von hochfrequentem Wechsel-strom durchflossene Auskoppel-schleife erzeugt ein magnetisches Wechselfeld, das in dem Dipol eine HF-Spannung induziert. Der Strom in dem Empfangsdipol bringt die Glühbirne zum Leuchten.
385
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
SpannungStrom
2λ
Dipol
starkesSignal
2λ
=L
L
Den besten Wirkungsgrad hat ein Dipol, wenn seine Länge L = λ/2 beträgt. Dann kann sich eine stehende Welle optimal ausbilden.
Ein optimal abgestimmter Dipol ist gleichermaßen gut zum Senden wie zum Empfangen von elektromagne-tischen Wellen geeignet.
386
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
x
y
z Br
Er
kr
λ
,
B E
B k E k
⊥
⊥ ⊥
r r
r rr r
Ausbreitung elektromagnetischer Wellen
In einer elektromagnetischen Welle stehen elektrisches und magnetisches Feld senkrecht aufeinander. Beide Felder sind senkrecht zur Ausbreitungs-richtung der Welle orientiert. Die Welle ist damit transversal.
Das elektrische und magnetische Feld schwingt jeweils nur in einer Ebene. Eine solche Welle wird als „linear polarisiert“ bezeichnet.
( )( )( )( )
1 0
2 0
ges 1 2
ˆ exp
ˆ exp
E x E i k r t
E z E i k r t
E E E
ω
ω
= ⋅ −
= ⋅ −
⇒ = +
rr r
rr r
r r r
Beide Wellen sind in Phase, d.h. es ist Δϕ = 0. Es ergibt sich wieder eine linear polarisierte Welle, aber mit gedrehter Polarisationsebene.
Die Überlagerung zweier linear pola-risierter Wellen ergibt:
387
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
0=Δϕ
x
z
y
Welle E1
Welle E2
x
z
yges 1 2E E E= +r r r x
y
z Welle E1
Welle E2
ges 1 2E E E= +r r r
( )( )( )( )
1 0
2 0
ges 1 2
ˆ exp
ˆ exp
E x E i k r t
E z E i k r t
E E E
ω
ω ϕ
= ⋅ −
= ⋅ − + Δ
⇒ = +
rr r
rr r
r r r
Bei einer Phasenverschiebung der beiden sich überlagernden Wellen um Δϕ = π/2 erhält man eine zirkular polarisierte Welle, d.h. der elektrische Feldvektor läuft auf einem Kreis.
2πϕΔ =
Δϕ = 0
388
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
r
r
r
r
7.9 Rotierender Dipol: Retardierung
Das Entstehen einer elektromagne-tischen Welle kann qualitativ mit dem Beispiel eines schnell rotierenden Dipols erläutert werden.
Beim ruhenden Dipol sieht ein Beobach-ter in der Entfernung r eine feste Feld-richtung. Führt der Dipol schnell eine volle Umdrehung aus, so merkt der Beo-bachter zunächst nichts. Die Information kommt verzögert (retardiert) nach der Zeit
cvvrt ==
im Abstand r an.
Durch die endliche Laufzeit entsteht also eine „Wellenbewegung“ im Feld.
389
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Rotation 0 Hz Rotation 200 Hz
Rotation 2000 Hz Rotation 10000 Hz
Auch das Magnetfeld breitet sich mit caus. Bei schneller Rotation des Magneten „hinkt“ das weiter entfernt gemessene Feld hinterher; es entsteht in größerem Abstand eine Kugelwelle. Das ist das Prinzip der extrem starken Abstrahlung eines Neutronensterns.
Bereich 800×800 km2
r
ω
m
Frage: Kann man einen Stabmagneten mit der Frequenz f = 10 kHz rotieren lassen?
( )
2Z
242
7
kgm0.05 0.05 2 10s
10 Nentspricht 1000 Tonnen (!)
F m rω
π
=
= ⋅ ⋅ ⋅
≈⇒
Sei r = 5 cm und der Polbereich habe die Masse m = 50 g, dann ist die Zentrifugalkraft:
390
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
7.10 Hertzscher Dipol
EL EC
EL EC
EL EC EL EC
EL EC
EL ECEL ECEL EC
In einem elektrischen Schwingkreis oszilliert die Energie periodisch zwischen elektrischem und magnetischem Feld.
Der Hertzsche Dipol als einfacher Schwingkreis ist das Standardbei-spiel, an dem die Abstrahlung elektro-magnetischer Wellen diskutiert wird.
Oszillierende Ladungen und Ströme erzeugen entsprechende elektrische und magnetische Felder:
391
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
pr
Wenn Abstand d = d(t) zeitlich verän-derlich ist, so gilt auch p = p(t). Dann verändert sich auch das E-Feld zeitlich, d.h. nach der 4. Maxwell-Gleichung wird ein Magnetfeld induziert: der Dipol strahlt elektromagnetische Wellen ab.
( )3
0
31( )4
mit und
r r
r
p e e pE r
rre p qdr
πε⋅ −
=
= =
r r r rr r
r rr r
Das Feld eines statischen elektrischen Dipols war (siehe Abschnitt 1.5):
Eine etwas längere Rechnung ergibt für das Fernfeld (r >> d) eines Dipols mit dem zeitlich veränderlichen Dipolmoment :( )p tr
0
0
( , )4
( , )4
rB r t pc r r
p r rE r t pr r r
μπ
μπ
= ×
⎛ ⎞⋅= ⋅ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
rr r r&&
r r r&&r r r&&
Dabei ist im Argument des Dipolmomentes wegen der endlichen Lichtgeschwindigkeitc nicht die Zeit t selbst, sondern der sog. „retardierte Zeitpunkt“ t – r/c einzusetzen:
( )r rp p t p t p t krc c
ω ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
r r r r
392
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Es gilt offensichtlich:
( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
B r t E r t B r t E r t r rrB r t E r t E r t c B r tcr
⇒ ⋅ = ⇒ ⊥ ⊥
⇒ = × ⇒ =
r r r rr r r r r
rr r r rr r r r
( )p p t krω= −r r
Wegen strahlt der Dipol elektromagnetische Wellen in radialer Richtung ab („Kugelwellen“) mit den Beträgen der Felder:
( )( , ) ( , )
p t krE r t B r t
r
ω −∝ ∝
r&&r rr r
Wegen
folgt: ( ) ( )p t qd t=rr &&&&
( ) ( )p t qd t=rr
Nur eine beschleunigte Ladung in einem Dipol strahlt elektromagnetische Wellen ab.
Teilchen-bahn
q( )r tr
Auch eine einzelne Ladung hat bzgl. eines festen Raumpunktes immer ein Dipolmoment:
( ) ( )
( ) ( )
p t qr t
p t qr t
=
=
r r
r r&& &&
Dann gilt für die abgestrahlten Felder:
( , ) ( , )E r t B r t r∝ ∝r rr r r&&
d.h. beschleunigte Ladungen strahlen immer elektromagnetische Wellen ab.
393
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Wir hatten für die Energiedichte im elektromagnetischen Feld gefunden:
2 20
0
1 12 2
dWw E BdV
εμ
= = +
Es gilt für elektromagnetische Wellen:
rE cBr
= ×rr r
Einsetzen in den Ausdruck für die Energiedichte führt auf:
2 2
2 2 202
0
1 12 2
r B
cw B r Brε
μ=
= × +r r
123
7.11 Abgestrahlte Leistung
2 20
0
1w B Eεμ
⇒ = =
Die abgestrahlte Energie pro Volumen steckt also zur Hälfte im elektrischen und zur anderen Hälfte im magnetischenFeld. Wir berechnen nun die abge-strahlte Leistung pro Fläche.
{0
2 2 20
01
2 2
0 0
1 12 2
1 12 2
w c B B
B B
μ
εμ
μ μ
=
= +
= +
394
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Der Vektor ist der sog. Poynting-Vek-tor. Sein Betrag gibt die Strahlungs-leistung an, die durch die Fläche dA tritt; seine Richtung ist die Richtung des Energieflusses.
Sr
Sr
dAr
Dipol: ( )p tr
rrFür die Energie W, die durch die FlächedA tritt, gilt:
dW dW dWw wdrdV drdA dA
= = ⇒ =
Damit folgt für die abgestrahlte Energie pro Fläche und Zeit, also für die Leistung pro Fläche:
{{2
0
2 2
0 02B
c
dW dr c c rS w B S BdtdA dt r
μ
μ μ= =
= = = ⇒ =rr
John Henry Poynting(1852-1914)
395
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Wir betrachten den Ausdruck
( )
( ) ( ){
0 0
00
2
0
1 1
E
cE B B r Br
c B B r B r Br
c rBr
μ μ
μ
μ
=
=
× = × ×
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ − ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
=
r
r r r rr
14243
r r r rr r
r
Der Poynting-Vektor kann also auch folgendermaßen ausgedrückt werden:
0
1S E Bμ
= ×r r r
Dieses Resultat gilt allgemein für jede e.m. Welle. Der Poynting-Vektor ist das Vektorprodukt aus E und B und zeigt in Ausbreitungsrichtung.
Abstrahlung des Hertzschen Dipols
Er
Er
Br
Sr
Br
S = 0, da hier das elektrische Feld in Richtung der Ausbrei-tung verläuft: ϑ = 0
S = Smax, da hier das elektrische Feld senkrecht zur Ausbreitung ist: ϑ = 90°
396
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Wir definieren zunächst den Begriff der Intensität einer elektromagnetischen Welle. Die Intensität I ist die mittlere übertragene Leistung pro Fläche, also:
ttI S w c= =
r
Hierbei ist S der schon eingeführte Poynting-Vektor und ⟨w⟩t die über die Zeit gemittelte Energiedichte des elektro-magnetischen Feldes.
Beispiel: Intensität einer ebenen Welle
0 0
1 1 20 0 0 0
ˆ ˆcos( ) cos( )
ˆ cos ( )
E yE t kx B zB t kx
S E B x E B t kx
ω ω
μ μ ω− −
= − = −
= × = −
r r
r r r
7.12 Intensität und Strahlungsdruck Nun muss der Betrag des Poynting-Vektors gebildet und über die Zeit gemittelt werden:
1 20 0 0
1 20 0 0
1 20 0 0
1 2
0 00 0 eff eff
0 0 0
ˆ cos ( )
cos ( )
cos ( )
1 1 1 2 2 2
tt
S x E B t kx
S E B t kx
I S E B t kx
E BE B E B
μ ω
μ ω
μ ω
μ μ μ
−
−
−
=
= −
⇒ = −
⇒ = = −
= = =
r
r
r
1442443
220 0 0 0 0
0 0 0 0
12 2 2t
B B E c E BB Iwc cμ μ μ μ
= = = = =r
Die zeitlich gemittelte Energiedichte ist:
397
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
y
x
z Br
Er
kr
q
EF qE=
Wir betrachten nun eine Ladung q mit der Masse m, die vom elektrischen Feld der Welle in y-Richtung be-schleunigt wird. Die Geschwindigkeit vy und die kinetische Energie W der Ladung nach der Zeit Δt ist:
Da sich die Ladung im Magnetfeld der Welle in y-Richtung bewegt, wird sie durch die Lorentz-Kraft in x-Richtung abgelenkt. Für einen beliebigen Zeit-punkt t gilt:
2
,L x yq EBF qv B t
m= =
Die Welle hat die Energie W auf das Teilchen übertragen.
222
2 )(21
21 t
mEqmvW
tmqEtav
y
y
Δ==
Δ=Δ=
398
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Der auf das Teilchen wirkende Kraftstoßist gleich dem Impuls px, der von der Welle auf das Teilchen übertragen wird:
2 22
,0 0
( )2
t t
x L xq EB q EBp F dt t dt t
m m
Δ Δ
= = = Δ∫ ∫
Wegen B = E/c ergibt sich:
2 2 22 21 1( ) ( )
2 2xq EB q E Wp t t
m c m c= Δ = Δ =
Der von der elektromagnetischen Welle übertragene Impuls ist also gleich der übertragenen Energie W dividiert durch die Ausbreitungsgeschwindigkeit c.
Die Intensität I einer Welle ist die übertragene Energie pro Zeit und Fläche. Wegen p = W/c ist I/c also ein Impuls pro Zeit und Fläche, also eine Kraft pro Fläche, d.h. ein Druck. Somit erhält man den Strahlungs-druck PS einer elektromagnetischen Welle:
1S tt
IP S wc c
= = =r
)2/()2/()cos(ˆ
)cos(ˆ
000
000
0
0
μμ
ω
ω
cBEPBEI
kxtBzB
kxtEyE
S =⇒=
−=
−=r
rBeispiel: Strahlungsdruck ebene Welle
399
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beispiel: Radiometer
Lichtwellen, die auf die reflektierende Seite treffen übertragen den dop-pelten Impuls im Vergleich zu Licht-wellen, die auf die absorbierende Seite treffen.
In der Praxis dreht sich das Radio-meter aber genau anders herum. Warum?
Beispiel: Strahlungsdruck Sonne-Erde
Mittlere Intensität der Sonnenstrahlung:
62 8 2 2
Watt 1400 Watt N1400 5 10m 3 10 m sm mSI P −≈ ⇒ ≈ = ⋅
⋅
(vgl. Luftdruck PL ≈ 1000 hPa = 105 N/m2) Auf die ganze Erde wirkt dann die Kraft:
2 6 2Erde 2
8
N5 10 3.14 (6400km)m
6.4 10 N 65000 Tonnen !!!
SF P R
g
π −= ≈ ⋅ ⋅ ⋅
≈ ⋅ ≈ ×