Post on 25-Oct-2021
INDUTTANZA - circuiti RLENERGIA MAGNETICA
Una corrente variabile in una bobina induce una f.e.m. in un’altra bobina: è possibile avere lo stesso fenomeno in una sola bobina quando la corrente i
varia nel tempo?
Fenomenologia
Quando si chiude l’interruttore, la corrente non passa istantaneamente da 0 al suo valore massimo Vo/R
R
Vo
i
B
Autoinduzione• Un circuito di forma qualunque percorso da
corrente produce un campo magnetico proporzionale alla corrente i (legge di Biot-Savart): il flusso di questo campo attraverso una qualunque superficie che abbia come contorno il circuito stesso sarà µ i:
FB = Li
L è detto coefficiente di autoinduzione o induttanza del circuito.
Unità di misura: Tm2/A = Vs/A = henry (H)
• Se la corrente nel circuito non è costante nel tempo, compare una forza elettromotrice indotta:
• L’induttanza dà una misura della capacità di opporsi alla variazione della corrente
• Quando l’induttanza si può pensare concentrata in un tratto particolare del circuito (ad esempio in un solenoide), lo si chiama induttore e si indica con il simbolo
Significato: l’induttanza del resto del circuito è trascurabile rispetto a quella dell’induttore (anche un circuito senza bobine ha sempre una qualche induttanza che può influire sul comportamento)
dtdiL
dtd B
L -=F
-=e(L costante in condizioni di quasi-stazionarietà : i ha lostesso valore in tutto il circuito)
Calcolo dell’induttanza: solenoide
Tratto di lunghezza l di un solenoide indefinito di sezione A: B = µoni
FB= nlBA = µon2iAlè L = µon2AlInduttanza per unità di lunghezza:
L / l = µon2AØL ∝ n2
ØDipende solo da fattori geometrici (non dalla corrente, né dal campo magnetico)Analogamente, la capacità di un condensatore dipende
solo dalla geometria
Calcolo dell’induttanza: toroidea sezione rettangolare
• Flusso attraverso una spira:
• Flusso attraverso N spire: Induttanza:
Φ1(B) = B
a
b
∫ ⋅dA= Bhdr =
a
b
∫ µoNih2π
drra
b
∫ =µoNih2π
ln ba
abihN
NB o ln2
)(2
1 pµ
=F=FabhN
iB
L o ln2
)( 2
pµ
=F
=
Ø L ∝ N2
Ø dipende solo da fattori geometrici
B = µoNi2πr
Induttori con materiali magneticiLa presenza di un materiale modifica il campo magnetico all’interno dell’induttore:
B = µrBo, e di conseguenza anche FB
µr = permeabilità magnetica relativa del materiale
è L = µrLo
La presenza di materiali ferromagnetici permette di aumentare l’induttanza anche di un fattore 103-104, così come i materiali dielettrici nei condensatori permettono di ottenere capacità elevate.
Circuiti LRLa presenza di un induttore in un circuito impedisce alla corrente di aumentare o diminuire istantaneamente.
ε +εL − Ri = 0→ε − L didt− Ri = 0
diε − Ri
=dtL→ ln(ε − Ri) = − R
Lt + cost
e
L
R
tLR
AeRi-
=-e
Chiusura del circuito in a:
Chiusura del circuito
RL
L =t
)1()(tLR
eR
ti-
-=eCondizioni iniziali
i (0) = 0:
costante di tempo (induttiva):
rappresenta il tempo necessario affinchè la corrente
nel circuito raggiunga un valore (1 – 1/e) i∞ ~ 63% i∞
Es.: per R = 100 Ω, L=10-3 H è tL = 10-5 s (normale circuito resistivo)
ΔVR = iR = ε 1− e−RLt#
$%
&
'(
ΔVL = Ldidt= εe
−RLt
“stesse equazioni, stesse soluzioni”Feynman, Maxwell
Circuiti RC: carica di un condensatore
q(t) =Cε 1− e−tRC
"
#$
%
&'
equazione del circuito:
ε − Ri−QC= 0
Commutando l’interruttore in b:
tLR
eR
ti-
=e)(
Per t = 0 io = e / R:
εL − Ri = 0→ L didt+ Ri = 0
dii= −
RLdt→ ln(i) = − R
Lt + cost.
i (A) /R
“stesse equazioni, stesse soluzioni”Circuiti RC: scarica di un condensatore
equazione del circuito:
−Ri−QC= 0
i(t) = dQdt
= −εRe−tRC
Mutua induttanzaMolto spesso il flusso magnetico cheattraversa un’area chiusa da un circuito varianel tempo a causa delle variazioni dellecorrenti che scorrono in altri circuiti posti nellevicinanze: ciò dà origine a una f.e.m. indotta. Ilprocesso si chiama mutua induzione perchédipende dall’interazione fra i due circuiti.
Φ12 = B1 ⋅dA2A2
∫ =M12i1
analogamente Φ21 =M21i2Si può dimostrare che M12 = M21 = M coefficiente di mutua induzioneDipende dalla forma dei due circuiti e dalla loro posizione relativa
Energia magnetica
dtdiLiRii += 2e
potenza fornita dal generatore
potenza dissipatadalla resistenza R
potenza immagazzinatanell’induttore = "#$
"%
2
0 21LiLidiU
dtdiLi
dtdU i
BB ò ==®=
rappresenta l’energia totale immagazzinatain un’induttanza L percorsa dalla corrente i
ε = Ri+ L didt
Un induttore immagazzina energia nel campo magnetico B(il condensatore immagazzina energia nel campo elettrico E)
Densità di energia e campo magnetico
• Tratto l di solenoide rettilineo indefinito:
UB =12Li2 = 1
2(µon
2A)li2 = B2
2µo
Al( )
0
2
2µBuB =Densità di energia magnetica:
Densità di energia immagazzinata in ogni punto in cui sia presente un campo magnetico.L’espressione (ricavata in un caso particolare) è generalizzabile a tutte le configurazioni.
Analogamente si era ricavata la densità di energia in presenza di campo elettrico: uE =
12εoE
2
Esercizio (per casa): linea elettrica in ariaCostituita da due fili conduttori rettilinei paralleli a sezione circolaredi raggio a la cui distanza D >> a. Ad un estremo della linea c’è un generatore G, mentre all’altro estremo è posto un carico R. La corrente i circola in versi opposti. Se la linea ha lunghezza h >> D, calcolare l’espressione del coefficiente di autoinduzione L del tratto h.[nel calcolo del flusso FB si trascuri il contributo della parte di spazio interna ai fili]
Soluzione: ! = #$% = &'(
) ln ,-.. ≅ &'(
)ln ,
.