Autoinduzione Dimensioni e unità dellautoinduttanza Fem autoindotta Induzione mutua Circuito LR...
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Autoinduzione
Dimensioni e unità dell’autoinduttanza
Fem autoindotta
Induzione mutua
Circuito LR
Energia magnetica
Energia magnetica di due circuiti accoppiati
Circuito LC
Rocchetto di Ruhmkorff
Elettrodinamica 224 ottobre 2013
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Autoinduzione
• Un circuito percorso da corrente genera un campo B
• Il flusso di B concatenato al circuito è
• B può essere calcolato usando la prima formula di Laplace
• B è proporzionale alla corrente, ne segue che anche il flusso lo è
S
AdBSB
|
3
0
4 r
rldiB
2
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Autoinduttanza. Dimensioni, unità di misura
• Il coefficiente di proporzionalità è detto autoinduttanza del circuito
• Dipende soltanto da fattori geometrici, come la capacità elettrica
• Le dimensioni sono
• L’unità di misura è lo henry (H)
Li
iL
A
Tm
A
WbH
2
3
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Autoinduttanza di un solenoide
• Il campo B dentro un solenoide di N spire, sezione A e lunghezza l è
• Il flusso di B concatenato con le N spire è
• L’autoinduttanza è
il
NniB 00
AlinnlBANBA 20
Alni
L 20
4
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Fem autoindotta
• In un circuito non deformabile, se varia la corrente, varia il flusso di B e quindi viene indotta una fem
• In un circuito indeformabile l’autoinduttanza è costante, la legge di Faraday si scrive
dt
diL
dt
Lid
dt
d
)(E
5
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Induzione mutua
• Se due circuiti C1 e C2 sono vicini, il flusso magnetico attraverso uno dipende anche dal campo B, e quindi dalla corrente, dell’altro
• Di nuovo il flusso è proporzionale alla corrente
• Ove M21 il coefficiente di induzione del circuito 2 sul circuito 1
1
121212 |S
AdBSB
3
22
02 4 r
rldiB
22112 iM
C1
C2
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Induzione mutua
• A questo termine si aggiunge naturalmente quello di autoinduzione, il flusso totale è quindi
• Simmetricamente per il circuito 2 avremo
• Si può dimostrare che
• Il valore comune M è detto induttanza mutua• Dipende sia dalla forma di entrambi i circuiti che dalla
loro disposizione relativa e distanza• Dimensioni e unità di misura sono le stesse di L
112222 iMiL
221111 iMiL
2112 MM
7
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Circuito LR
• Contiene un resistore R e un induttore L• Inizialmente il circuito è aperto e i=0• Alla chiusura del circuito i è ancora zero, ma
varia come e nell’induttanza c’è una fem
• Al tempo t circola una corrente i e ai capi di R c’è una caduta di potenziale iR
• Per la 2a legge di Kirchhoff
dtdi
dtdiL
0 iRdt
diLiR bib EEE
8
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Analisi qualitativa del circuito LR
• Al tempo t=0, i=0 e la fem è uguale all’opposto della fem della batteria. Ne segue che i cresce come
• Al crescere di i, cresce la caduta di potenziale sulla resistenza. Ne segue che i cresce come
• Cioè più lentamente che per t=0
dtdiL
Ldt
di bE
0
L
iR
Ldt
di b E
9
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Analisi qualitativa del circuito LR
• Il valore finale di i si ottiene uguagliando a zero e vale
• L’equazione del circuito ha la stessa forma che per il circuito di carica di un condensatore
• Si ottiene come soluzione
• Con costante di tempo del circuito
dtdi
R
L
tb eR
i 1E
Ri bf
E
10
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Energia Magnetica
• Partiamo dall’equazione del circuito LR e moltiplichiamo tutti i termini per la corrente
• Il primo membro rappresenta la potenza erogata dalla batteria
• Il primo termine a secondo membro è la potenza dissipata nella resistenza
• Il secondo termine rappresenta la rapidità con cui viene erogata energia all’induttore
dt
diLiRii 2E
11
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Energia Magnetica
• Possiamo dunque scrivere
• La quantità totale di energia accumulata nell’induttore si trova integrando da i=0 a i=If
• Si deve dunque compiere lavoro per instaurare una corrente in un induttore
dt
diLi
dt
dUm
2
0 2
1f
I
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12
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Energia Magnetica
• Nell’istaurare una corrente in un induttore si genera un campo B
• Il lavoro compiuto può quindi interpretarsi come il lavoro necessario per produrre il campo B
• L’energia accumulata in un induttore è accumulata nel campo B
• Nel caso particolare di un solenoide rettilineo
niB 0 AlnL 20
13
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Energia Magnetica
• L’energia magnetica accumulata è
• Poiché Al è il volume del solenoide, definiamo la densità di energia magnetica
• Questo risultato, anche se ricavato per un caso particolare, è valido in generale
lAB
n
BAlnLIU fm
0
22
0
20
2
22
1
2
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14
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Energia magnetica di due circuiti accoppiati
• Applichiamo la legge di Kirchhoff ai due circuiti
• Isoliamo il termine di induzione
M
R1
EB1
L1
R2
EB2
L2
0
0
222
111
RiB
RiB
VEE
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111
RBi
RBi
VEE
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15
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Energia magnetica di due circuiti accoppiati
• Moltiplichiamo la prima eq. per la corrente del primo circuito e analogamente procediamo con la seconda eq.
• Come nel caso di un circuito singolo, il termine di sinistra rappresenta la potenza magnetica
222222
111111
IVIEIE
IVIEIE
RBi
RBi
222
111
IEP
IEP
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Energia magnetica di due circuiti accoppiati
• L’energia magnetica totale sara` la somma delle energie magnetiche dei due circuiti
• Esplicitando la fem dei due circuiti
dtIEIEdtPdtPdU iimmm 221121
2
2221
2
11
22
221
12
11
1
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2121
1
2
1
2
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dt
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dt
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dt
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dt
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dt
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17
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Energia magnetica di due circuiti accoppiati
• E integrando• Tale energia non puo` essere negativa, questo
matematicamente si esprime dicendo che la forma quadratica seguente e` non negativa
• La condizione perche’ cio` avvenga e` che il determinante sia negativo o nullo
2
2221
2
11 2
1
2
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02 2
2
2
1 yLMxyxL
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2 LLM
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Coefficiente di accoppiamento
• Fisicamente cio` significa che il coefficiente di mutua induzione e` compreso nei limiti
• Si definisce coefficiente di accoppiamento
• r e` compreso tra zero (circuiti disaccoppiati) e uno (circuiti completamente accoppiati)
2121 LLMLL
21
2
LL
Mr 10 r
19
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Circuito LC – Oscillazioni libere
• Applichiamo la 2a legge di Kirchhoff
• È l’equazione del moto armonico di pulsazione
• che ha soluzione
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1
01
2
2
QLCdt
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L
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10
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0 CL VE
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Circuito LC
• Ove A e si determinano imponendo le condizioni iniziali
• Se p.e. imponiamo che al tempo t=0 la carica sia Q0 e la corrente sia 0, otteniamo
• Carica e corrente sono sfasate di /2
tQQ 00 costQI 000 sin
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Circuito LC
• L’energia accumulata nel circuito è in parte elettrica e in parte magnetica
• Questa energia è costante
• Ciò significa che l’energia si trasforma da elettrica a magnetica e viceversa, conservandosi globalmente
• La presenza di resistenze comporta una diminuzione di energia e.m. e la comparsa di energia termica
0)(
LC
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C
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dt
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C
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1)(
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22
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Rocchetto a induzione(*)
• Un rocchetto ad induzione (o di Ruhmkorff) è un tipo di trasformatore utilizzato per produrre impulsi ad alta tensione (dell’ordine di 10 kV) partendo da una sorgente di corrente continua a bassa tensione
• (*) le pagine da 23 a 28 sono adattate da Wikipedia
23
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Funzionamento• Un rocchetto ad induzione
consiste di due solenoidi di filo di rame isolato avvolti attorno ad un unico nucleo di ferro
• Un solenoide (avvolgimento primario) è costituito di decine o centinaia di spire di filo smaltato ed è percorso da una corrente elettrica che crea un campo magnetico
• L'altro (avvolgimento secondario) consiste di diverse migliaia di spire di filo sottile ed è accoppiato magneticamente al primario attraverso il nucleo di ferro
24
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Funzionamento• Il primario agisce da induttore, immagazzinando l'energia nel
campo magnetico associato• Per produrre le variazioni di flusso necessarie ad indurre la
forza elettromotrice nell'avvolgimento secondario, la corrente che circola nel primario è interrotta ripetutamente mediante un contatto vibrante chiamato interruttore
• Quando la corrente elettrica del primario viene interrotta improvvisamente, il campo magnetico cala rapidamente e questo, per induzione elettromagnetica, causa un impulso ad alta tensione attraverso il secondario
• Grazie all'alto numero di spire dell'avvolgimento secondario, la fem generata crea una ddp tra i terminali del secondario di molte migliaia di volt. Questa tensione è sufficiente a generare una scarica elettrica attraverso l'aria che separa i terminali
25
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Funzionamento
• Il rocchetto di Ruhmkorff utilizza una lamina metallica vibrante chiamata interruttore per aprire e chiudere rapidamente il circuito primario
• L'interruttore è montato ad una estremità del nucleo ferroso, il campo magnetico generato dal primario attira la lamina, trattenuta da una molla, e apre il circuito
• All'apertura del circuito, il campo magnetico si interrompe, la molla richiama l’interruttore e il circuito viene chiuso nuovamente
26
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Funzionamento
• La tensione nel secondario è indotta sia quando il circuito si apre che quando si chiude, ma la variazione della corrente è molto più rapida quando il circuito si apre così l'impulso nel secondario all'apertura è molto maggiore
• NOTA: un condensatore è posto in parallelo all'interruttore del primario per sopprimere l'arco elettrico fra i contatti e permettere un'apertura più rapida e quindi una tensione maggiore
• La forma d'onda dell'uscita di un rocchetto ad induzione è costituita da una serie di impulsi positivi e negativi ma una delle due polarità è molto più ampia dell'altra
27
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Funzionamento
• Il nucleo ferroso è costruito con un fascio di fili di ferro rivestiti con lacca per isolarli elettricamente
• Questo diminuisce la formazione di correnti parassite perpendicolari all'asse magnetico
28
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Circuito chiuso
• Equazione del primario in assenza di corrente nel secondario
• Soluzione
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diL 1
11
TtB er
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Circuito chiuso• Flusso nel secondario
• Fem nel secondario
• Fintanto che non passa corrente nel secondario, la fem si riduce a
• Nell’istante di chiusura del primario (t=0) essa vale
dt
diM
dt
diLE 1222
1222 MiiL
R
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L1 L2
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Circuito apertomodellato con una R molto grande
• Equazione del primario
• Soluzione
BEirRdt
diL 1
11
tBtBBtB er
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r
R
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E
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1
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![Page 32: Autoinduzione Dimensioni e unità dellautoinduttanza Fem autoindotta Induzione mutua Circuito LR Energia magnetica Energia magnetica di due circuiti accoppiati.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052821/5542eb49497959361e8b4fd2/html5/thumbnails/32.jpg)
Circuito aperto
• Fintanto che non passa corrente nel secondario, la fem e`
• Nell’istante di apertura del primario (t=0) essa vale
tB e
rrR
REM
dt
diME
112
r
R
L
EM
rrR
REME BBaper
1
2
1
R
r
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L2
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![Page 33: Autoinduzione Dimensioni e unità dellautoinduttanza Fem autoindotta Induzione mutua Circuito LR Energia magnetica Energia magnetica di due circuiti accoppiati.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052821/5542eb49497959361e8b4fd2/html5/thumbnails/33.jpg)
Fem nelle commutazioni
• Le fem all’apertura e chiusura del primario, tenuto conto del buon accoppiamento, sono
• L’ultimo passaggio deriva dal diverso numero di spire nei due avvolgimenti
• Il rapporto delle fem all’apertura e chiusura del primario e`
33
BBBBchius EE
L
L
L
ELL
L
EME
1
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1
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RE
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BBaper 1
2
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Echius
aper
![Page 34: Autoinduzione Dimensioni e unità dellautoinduttanza Fem autoindotta Induzione mutua Circuito LR Energia magnetica Energia magnetica di due circuiti accoppiati.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052821/5542eb49497959361e8b4fd2/html5/thumbnails/34.jpg)
Fem nelle commutazioni
• Il rocchetto e` costruito in modo che generi una ddp tra i terminali aperti del secondario, sufficiente a superare la rigidita` dielettrica dell’aria e provocare quindi una scarica
aperE2
34
E2
tapertura del primariochiusura del primario
Potenziale di scarica in aria
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Importanza scientifica
• Un rocchetto di questo tipo fu usato da H. Hertz per dimostrare sperimentalmente l'esistenza delle onde elettromagnetiche
35