Impresje algebraiczne na temat kwantowej teorii informacji

Katarzyna Rejzner

Kraków, 06.06.2011

II. Institute for Theoretical Physics, Hamburg University

1 / 27Impresje algebraiczne

N

Szkic

1 Wprowadzenie

2 Podstawy

3 Splatanie

2 / 27Impresje algebraiczne

N

1 Wprowadzenie

2 Podstawy

3 Splatanie

3 / 27Impresje algebraiczne

N

Wprowadzenie

Czym jest AQFT?

ogólny formalizm opisujacy kwantowateorie pola i fizyke statystyczna,

matematyczne ramy pozwalajacesformułowac precyzyjnie twierdzenia wkwantowej teorii pola,

narzedzie do głebszego zrozumieniafizycznych zjawisk,

sprytny sposób na uproszczenianiektórych rachunków,

droga do poszukiwania nowych zjawiskpoprzez lepsze zrozumieniefundamentalnej struktury,

pomost pomiedzy matematyka a fizyka.

4 / 27Impresje algebraiczne

N

Wprowadzenie

Czym jest AQFT?

ogólny formalizm opisujacy kwantowateorie pola i fizyke statystyczna,

matematyczne ramy pozwalajacesformułowac precyzyjnie twierdzenia wkwantowej teorii pola,

narzedzie do głebszego zrozumieniafizycznych zjawisk,

sprytny sposób na uproszczenianiektórych rachunków,

droga do poszukiwania nowych zjawiskpoprzez lepsze zrozumieniefundamentalnej struktury,

pomost pomiedzy matematyka a fizyka.

4 / 27Impresje algebraiczne

N

Wprowadzenie

Czym jest AQFT?

ogólny formalizm opisujacy kwantowateorie pola i fizyke statystyczna,

matematyczne ramy pozwalajacesformułowac precyzyjnie twierdzenia wkwantowej teorii pola,

narzedzie do głebszego zrozumieniafizycznych zjawisk,

sprytny sposób na uproszczenianiektórych rachunków,

droga do poszukiwania nowych zjawiskpoprzez lepsze zrozumieniefundamentalnej struktury,

pomost pomiedzy matematyka a fizyka.

4 / 27Impresje algebraiczne

N

Wprowadzenie

Czym jest AQFT?

ogólny formalizm opisujacy kwantowateorie pola i fizyke statystyczna,

matematyczne ramy pozwalajacesformułowac precyzyjnie twierdzenia wkwantowej teorii pola,

narzedzie do głebszego zrozumieniafizycznych zjawisk,

sprytny sposób na uproszczenianiektórych rachunków,

droga do poszukiwania nowych zjawiskpoprzez lepsze zrozumieniefundamentalnej struktury,

pomost pomiedzy matematyka a fizyka.

4 / 27Impresje algebraiczne

N

Wprowadzenie

Czym jest AQFT?

ogólny formalizm opisujacy kwantowateorie pola i fizyke statystyczna,

matematyczne ramy pozwalajacesformułowac precyzyjnie twierdzenia wkwantowej teorii pola,

narzedzie do głebszego zrozumieniafizycznych zjawisk,

sprytny sposób na uproszczenianiektórych rachunków,

droga do poszukiwania nowych zjawiskpoprzez lepsze zrozumieniefundamentalnej struktury,

pomost pomiedzy matematyka a fizyka.

4 / 27Impresje algebraiczne

N

Wprowadzenie

Czym jest AQFT?

ogólny formalizm opisujacy kwantowateorie pola i fizyke statystyczna,

matematyczne ramy pozwalajacesformułowac precyzyjnie twierdzenia wkwantowej teorii pola,

narzedzie do głebszego zrozumieniafizycznych zjawisk,

sprytny sposób na uproszczenianiektórych rachunków,

droga do poszukiwania nowych zjawiskpoprzez lepsze zrozumieniefundamentalnej struktury,

pomost pomiedzy matematyka a fizyka.

4 / 27Impresje algebraiczne

N

Wprowadzenie

Czym jest AQFT?

AQFT

KWANTOWA

FIZYKA

STATYSTY-CZNA

stany KMS

KON-STRUOWANIE

MODELIkonforemnateoria pola

w 2D

Deformacje

QFT NA

PRZESTRZENI-ACH NIEKO-

MUTATY-WNYCH

PERTUR-BACYJNA

AQFT

Renor-malizacja

QFT na za-krzywionej

czaso-przestrzeni

ALGE-BRAICZNA

KWANTOWA

TEORIA

INFORMACJI

KWANTOWA

TEORIA

INFORMACJI

QFT, FIZYKACZASTEK

KOSMOLOGIA

NIEKOMUTATYWNAGEOMETRIA

KONSTRUK-TYWNA QFT

Wprowadzenie

Odpowiemy na pytania:

Czym jest splatanie w kwantowej teorii pola?

Czy daje sie ono pogodzic z przyczynowoscia?Czy pusta przestrzen moze byc splatana?

6 / 27Impresje algebraiczne

N

Wprowadzenie

Odpowiemy na pytania:

Czym jest splatanie w kwantowej teorii pola?Czy daje sie ono pogodzic z przyczynowoscia?

Czy pusta przestrzen moze byc splatana?

6 / 27Impresje algebraiczne

N

Wprowadzenie

Odpowiemy na pytania:

Czym jest splatanie w kwantowej teorii pola?Czy daje sie ono pogodzic z przyczynowoscia?

Czy pusta przestrzen moze byc splatana?

6 / 27Impresje algebraiczne

N

Wprowadzenie

Odpowiemy na pytania:

Czym jest splatanie w kwantowej teorii pola?Czy daje sie ono pogodzic z przyczynowoscia?

Czy pusta przestrzen moze byc splatana?

6 / 27Impresje algebraiczne

N

Wprowadzenie

Ten referat oparty jest na:

S. J. Summers, R. Werner, The vacuum violatesBell’s inequalities, Phys. Lett. 110A (1985)257-259.

S. J. Summers, R. Werner, Bell’s inequalities andquantum field theory. I, II., J. Math. Phys 28(1987), 2440-2456.

S. J. Summers, Bell’s inequalities and algebraicstructure, in Operator Algebras and QuantumField Theory, edited by S. Doplicher, R. Longo,J. E. Roberts, and L. Zsido (International,Cambridge, MA, 1997).

K. Fredenhagen, Quantum information theory,notatki z wykładu dostepne na stronieinternetowej (w jezyku niemieckim).

. . . inspirowanyobrazamiimpresjonistów

7 / 27Impresje algebraiczne

N

Wprowadzenie

Ten referat oparty jest na:

S. J. Summers, R. Werner, The vacuum violatesBell’s inequalities, Phys. Lett. 110A (1985)257-259.

S. J. Summers, R. Werner, Bell’s inequalities andquantum field theory. I, II., J. Math. Phys 28(1987), 2440-2456.

S. J. Summers, Bell’s inequalities and algebraicstructure, in Operator Algebras and QuantumField Theory, edited by S. Doplicher, R. Longo,J. E. Roberts, and L. Zsido (International,Cambridge, MA, 1997).

K. Fredenhagen, Quantum information theory,notatki z wykładu dostepne na stronieinternetowej (w jezyku niemieckim).

. . . inspirowanyobrazamiimpresjonistów

7 / 27Impresje algebraiczne

N

Wprowadzenie

Ten referat oparty jest na:

S. J. Summers, R. Werner, The vacuum violatesBell’s inequalities, Phys. Lett. 110A (1985)257-259.

S. J. Summers, R. Werner, Bell’s inequalities andquantum field theory. I, II., J. Math. Phys 28(1987), 2440-2456.

S. J. Summers, Bell’s inequalities and algebraicstructure, in Operator Algebras and QuantumField Theory, edited by S. Doplicher, R. Longo,J. E. Roberts, and L. Zsido (International,Cambridge, MA, 1997).

K. Fredenhagen, Quantum information theory,notatki z wykładu dostepne na stronieinternetowej (w jezyku niemieckim).

. . . inspirowanyobrazamiimpresjonistów

7 / 27Impresje algebraiczne

N

Wprowadzenie

Ten referat oparty jest na:

S. J. Summers, R. Werner, The vacuum violatesBell’s inequalities, Phys. Lett. 110A (1985)257-259.

S. J. Summers, R. Werner, Bell’s inequalities andquantum field theory. I, II., J. Math. Phys 28(1987), 2440-2456.

S. J. Summers, Bell’s inequalities and algebraicstructure, in Operator Algebras and QuantumField Theory, edited by S. Doplicher, R. Longo,J. E. Roberts, and L. Zsido (International,Cambridge, MA, 1997).

K. Fredenhagen, Quantum information theory,notatki z wykładu dostepne na stronieinternetowej (w jezyku niemieckim).

. . . inspirowanyobrazamiimpresjonistów

7 / 27Impresje algebraiczne

N

Wprowadzenie

Ten referat oparty jest na:

S. J. Summers, R. Werner, The vacuum violatesBell’s inequalities, Phys. Lett. 110A (1985)257-259.

S. J. Summers, R. Werner, Bell’s inequalities andquantum field theory. I, II., J. Math. Phys 28(1987), 2440-2456.

S. J. Summers, Bell’s inequalities and algebraicstructure, in Operator Algebras and QuantumField Theory, edited by S. Doplicher, R. Longo,J. E. Roberts, and L. Zsido (International,Cambridge, MA, 1997).

K. Fredenhagen, Quantum information theory,notatki z wykładu dostepne na stronieinternetowej (w jezyku niemieckim).

. . . inspirowanyobrazamiimpresjonistów

7 / 27Impresje algebraiczne

N

1 Wprowadzenie

2 Podstawy

3 Splatanie

8 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Sformułowanie algebraicznePrzyporzadkowujemy algebry podzbiorom O ⊂ M czasoprzestrzeniMinkowskiego, w taki sposób, ze:

A(O) odpowiada algebrze obserwabli, jakie mozna zmierzyc w O,

A(O) jest C∗-algebra z jedynka (np.: algebra macierzy Mn(C),ograniczone operatory na przestrzeni Hilberta),

spełniony jest warunek izotonii, czyli: O1 ⊂ O2 ⇒ A(O1) ⊂ A(O2).

Typowy przykład obszaru O to tzw. "stozek podwójny".

OO′ O

′′M

9 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Sformułowanie algebraicznePrzyporzadkowujemy algebry podzbiorom O ⊂ M czasoprzestrzeniMinkowskiego, w taki sposób, ze:

A(O) odpowiada algebrze obserwabli, jakie mozna zmierzyc w O,

A(O) jest C∗-algebra z jedynka (np.: algebra macierzy Mn(C),ograniczone operatory na przestrzeni Hilberta),

spełniony jest warunek izotonii, czyli: O1 ⊂ O2 ⇒ A(O1) ⊂ A(O2).

Typowy przykład obszaru O to tzw. "stozek podwójny".

O1

A(O1)

OO′ O

′′M

9 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Sformułowanie algebraicznePrzyporzadkowujemy algebry podzbiorom O ⊂ M czasoprzestrzeniMinkowskiego, w taki sposób, ze:

A(O) odpowiada algebrze obserwabli, jakie mozna zmierzyc w O,

A(O) jest C∗-algebra z jedynka (np.: algebra macierzy Mn(C),ograniczone operatory na przestrzeni Hilberta),

spełniony jest warunek izotonii, czyli: O1 ⊂ O2 ⇒ A(O1) ⊂ A(O2).

Typowy przykład obszaru O to tzw. "stozek podwójny".

A(O2)

O2 O1

A(O1)⊃

⊃OO′ O

′′M

9 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Sformułowanie algebraicznePrzyporzadkowujemy algebry podzbiorom O ⊂ M czasoprzestrzeniMinkowskiego, w taki sposób, ze:

A(O) odpowiada algebrze obserwabli, jakie mozna zmierzyc w O,

A(O) jest C∗-algebra z jedynka (np.: algebra macierzy Mn(C),ograniczone operatory na przestrzeni Hilberta),

spełniony jest warunek izotonii, czyli: O1 ⊂ O2 ⇒ A(O1) ⊂ A(O2).

Typowy przykład obszaru O to tzw. "stozek podwójny".

A(O2)

O2 O1

A(O1)⊃

⊃OO′ O

′′M

9 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Aksjomaty Haaga-KastleraPrzyporzadkowujemy algebry podzbiorom O ⊂ M czasoprzestrzeniMinkowskiego, w taki sposób, ze:

Przyczynowosc (lokalnosc): algebry przyporzadkowane przestrzennierozdzielonym regionom komutuja:O1 przestrzennie oddzielony od O2, to [A,B] = 0, ∀A ∈ A(O1),B ∈ A(O2)

Kowariantnosc: istnieje rodzina izomorfizmów αOL : A(O)→ A(LO)(gdzie L jest transformacja Poincaré) takich, ze dla O1 ⊂ O2zawezenie αO2

L do A(O1) jest równe αO1L oraz αLO

L′ αOL = αOL′L,

"Time slice axiom": algebra stowarzyszona z otoczeniempowierzchni Cauchy’ego w danym regionie jest izomorficzna z pełnaalgebra dla tego regionu.

Warunek spektralny (stabilnosc): dodatniosc energii (szczegóły wdalszej czesci referatu. . . )

10 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Aksjomaty Haaga-KastleraPrzyporzadkowujemy algebry podzbiorom O ⊂ M czasoprzestrzeniMinkowskiego, w taki sposób, ze:

Przyczynowosc (lokalnosc): algebry przyporzadkowane przestrzennierozdzielonym regionom komutuja:O1 przestrzennie oddzielony od O2, to [A,B] = 0, ∀A ∈ A(O1),B ∈ A(O2)

Kowariantnosc: istnieje rodzina izomorfizmów αOL : A(O)→ A(LO)(gdzie L jest transformacja Poincaré) takich, ze dla O1 ⊂ O2zawezenie αO2

L do A(O1) jest równe αO1L oraz αLO

L′ αOL = αOL′L,

"Time slice axiom": algebra stowarzyszona z otoczeniempowierzchni Cauchy’ego w danym regionie jest izomorficzna z pełnaalgebra dla tego regionu.

Warunek spektralny (stabilnosc): dodatniosc energii (szczegóły wdalszej czesci referatu. . . )

10 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Aksjomaty Haaga-KastleraPrzyporzadkowujemy algebry podzbiorom O ⊂ M czasoprzestrzeniMinkowskiego, w taki sposób, ze:

Przyczynowosc (lokalnosc): algebry przyporzadkowane przestrzennierozdzielonym regionom komutuja:O1 przestrzennie oddzielony od O2, to [A,B] = 0, ∀A ∈ A(O1),B ∈ A(O2)

Kowariantnosc: istnieje rodzina izomorfizmów αOL : A(O)→ A(LO)(gdzie L jest transformacja Poincaré) takich, ze dla O1 ⊂ O2zawezenie αO2

L do A(O1) jest równe αO1L oraz αLO

L′ αOL = αOL′L,

"Time slice axiom": algebra stowarzyszona z otoczeniempowierzchni Cauchy’ego w danym regionie jest izomorficzna z pełnaalgebra dla tego regionu.

Warunek spektralny (stabilnosc): dodatniosc energii (szczegóły wdalszej czesci referatu. . . )

10 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Aksjomaty Haaga-KastleraPrzyporzadkowujemy algebry podzbiorom O ⊂ M czasoprzestrzeniMinkowskiego, w taki sposób, ze:

Przyczynowosc (lokalnosc): algebry przyporzadkowane przestrzennierozdzielonym regionom komutuja:O1 przestrzennie oddzielony od O2, to [A,B] = 0, ∀A ∈ A(O1),B ∈ A(O2)

Kowariantnosc: istnieje rodzina izomorfizmów αOL : A(O)→ A(LO)(gdzie L jest transformacja Poincaré) takich, ze dla O1 ⊂ O2zawezenie αO2

L do A(O1) jest równe αO1L oraz αLO

L′ αOL = αOL′L,

"Time slice axiom": algebra stowarzyszona z otoczeniempowierzchni Cauchy’ego w danym regionie jest izomorficzna z pełnaalgebra dla tego regionu.

Warunek spektralny (stabilnosc): dodatniosc energii (szczegóły wdalszej czesci referatu. . . )

10 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Algebry C∗

DefinicjaInwolucja nazywamy odwzorowanie A 3 A 7→ A∗ ∈ A, t.z.:

A∗∗ = A, (AB)∗ = B∗A∗

(αA + βB)∗ = αA∗ + βB∗

DefinicjaZespolona, unormowana algebre A z inwolucja nazywamyC∗-algebra, jezeli:

Norma spełnia warunki:

||AB|| ≤ ||A|| · ||B||||A∗|| = ||A||, ||A∗A|| = ||A||2

A jest zupełna wzgledem normy ||.||.

11 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Algebry C∗

DefinicjaInwolucja nazywamy odwzorowanie A 3 A 7→ A∗ ∈ A, t.z.:

A∗∗ = A, (AB)∗ = B∗A∗

(αA + βB)∗ = αA∗ + βB∗

DefinicjaZespolona, unormowana algebre A z inwolucja nazywamyC∗-algebra, jezeli:

Norma spełnia warunki:

||AB|| ≤ ||A|| · ||B||||A∗|| = ||A||, ||A∗A|| = ||A||2

A jest zupełna wzgledem normy ||.||.

11 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Algebry C∗

DefinicjaInwolucja nazywamy odwzorowanie A 3 A 7→ A∗ ∈ A, t.z.:

A∗∗ = A, (AB)∗ = B∗A∗

(αA + βB)∗ = αA∗ + βB∗

DefinicjaZespolona, unormowana algebre A z inwolucja nazywamyC∗-algebra, jezeli:

Norma spełnia warunki:

||AB|| ≤ ||A|| · ||B||||A∗|| = ||A||, ||A∗A|| = ||A||2

A jest zupełna wzgledem normy ||.||.

11 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Algebry C∗

DefinicjaInwolucja nazywamy odwzorowanie A 3 A 7→ A∗ ∈ A, t.z.:

A∗∗ = A, (AB)∗ = B∗A∗

(αA + βB)∗ = αA∗ + βB∗

DefinicjaZespolona, unormowana algebre A z inwolucja nazywamyC∗-algebra, jezeli:

Norma spełnia warunki:

||AB|| ≤ ||A|| · ||B||||A∗|| = ||A||, ||A∗A|| = ||A||2

A jest zupełna wzgledem normy ||.||.

11 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Algebry C∗

DefinicjaInwolucja nazywamy odwzorowanie A 3 A 7→ A∗ ∈ A, t.z.:

A∗∗ = A, (AB)∗ = B∗A∗

(αA + βB)∗ = αA∗ + βB∗

DefinicjaZespolona, unormowana algebre A z inwolucja nazywamyC∗-algebra, jezeli:

Norma spełnia warunki:

||AB|| ≤ ||A|| · ||B||||A∗|| = ||A||, ||A∗A|| = ||A||2

A jest zupełna wzgledem normy ||.||.

11 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Algebry C∗

DefinicjaInwolucja nazywamy odwzorowanie A 3 A 7→ A∗ ∈ A, t.z.:

A∗∗ = A, (AB)∗ = B∗A∗

(αA + βB)∗ = αA∗ + βB∗

DefinicjaZespolona, unormowana algebre A z inwolucja nazywamyC∗-algebra, jezeli:

Norma spełnia warunki:

||AB|| ≤ ||A|| · ||B||

||A∗|| = ||A||, ||A∗A|| = ||A||2

A jest zupełna wzgledem normy ||.||.

11 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Algebry C∗

DefinicjaInwolucja nazywamy odwzorowanie A 3 A 7→ A∗ ∈ A, t.z.:

A∗∗ = A, (AB)∗ = B∗A∗

(αA + βB)∗ = αA∗ + βB∗

DefinicjaZespolona, unormowana algebre A z inwolucja nazywamyC∗-algebra, jezeli:

Norma spełnia warunki:

||AB|| ≤ ||A|| · ||B||||A∗|| = ||A||, ||A∗A|| = ||A||2

A jest zupełna wzgledem normy ||.||.

11 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Algebry C∗

DefinicjaInwolucja nazywamy odwzorowanie A 3 A 7→ A∗ ∈ A, t.z.:

A∗∗ = A, (AB)∗ = B∗A∗

(αA + βB)∗ = αA∗ + βB∗

DefinicjaZespolona, unormowana algebre A z inwolucja nazywamyC∗-algebra, jezeli:

Norma spełnia warunki:

||AB|| ≤ ||A|| · ||B||||A∗|| = ||A||, ||A∗A|| = ||A||2

A jest zupełna wzgledem normy ||.||.11 / 27

Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Czasoprzestrzen Minkowskiego

Czasoprzestrzen Minkowskiego: R4 zmetryka o sygnaturze: (+−−−)

Stozek przyszłosci V+:(x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2 ≥ 0,x0 > 0

Stozek podwójny (diament):przyczynowe dopełnienie sferyprzestrzennej.

Wprowadzenie do geometriiczasoprzestrzeni: A. Herdegen, Flatspacetime in a capsule.

12 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Czasoprzestrzen Minkowskiego

Czasoprzestrzen Minkowskiego: R4 zmetryka o sygnaturze: (+−−−)

Stozek przyszłosci V+:(x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2 ≥ 0,x0 > 0

Stozek podwójny (diament):przyczynowe dopełnienie sferyprzestrzennej.

Wprowadzenie do geometriiczasoprzestrzeni: A. Herdegen, Flatspacetime in a capsule.

12 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Czasoprzestrzen Minkowskiego

Czasoprzestrzen Minkowskiego: R4 zmetryka o sygnaturze: (+−−−)

Stozek przyszłosci V+:(x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2 ≥ 0,x0 > 0

Stozek podwójny (diament):przyczynowe dopełnienie sferyprzestrzennej.

Wprowadzenie do geometriiczasoprzestrzeni: A. Herdegen, Flatspacetime in a capsule.

12 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Czasoprzestrzen Minkowskiego

Czasoprzestrzen Minkowskiego: R4 zmetryka o sygnaturze: (+−−−)

Stozek przyszłosci V+:(x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2 ≥ 0,x0 > 0

Stozek podwójny (diament):przyczynowe dopełnienie sferyprzestrzennej.

Wprowadzenie do geometriiczasoprzestrzeni: A. Herdegen, Flatspacetime in a capsule.

12 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Stany

Stan odpowiada przygotowaniu układu do pomiaru. Zakładamy, zepomiar jest powtarzalny.

Majac dany układ w pewnym stanie, mozemy przyporzadkowac kazdejobserwabli A liczbe, bedaca wartoscia oczekiwana pomiaru A w danymstanie.

Rozkład prawdopodobienstwa dla danej obserwabli mozemyzrekonstruowac, znajac jego momenty, czyli wartosci oczekiwane A2,A3, . . .∈ A.

Bardziej abstrakcyjna definicja: stanem na algebrze A (C∗ z jedynka)nazywamy liniowy funkcjonał ω, taki ze: ω(1) = 1, ω(A∗A) ≥ 0,A ∈ A.

13 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Stany

Stan odpowiada przygotowaniu układu do pomiaru. Zakładamy, zepomiar jest powtarzalny.

Majac dany układ w pewnym stanie, mozemy przyporzadkowac kazdejobserwabli A liczbe, bedaca wartoscia oczekiwana pomiaru A w danymstanie.

Rozkład prawdopodobienstwa dla danej obserwabli mozemyzrekonstruowac, znajac jego momenty, czyli wartosci oczekiwane A2,A3, . . .∈ A.

Bardziej abstrakcyjna definicja: stanem na algebrze A (C∗ z jedynka)nazywamy liniowy funkcjonał ω, taki ze: ω(1) = 1, ω(A∗A) ≥ 0,A ∈ A.

13 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Stany

Stan odpowiada przygotowaniu układu do pomiaru. Zakładamy, zepomiar jest powtarzalny.

Majac dany układ w pewnym stanie, mozemy przyporzadkowac kazdejobserwabli A liczbe, bedaca wartoscia oczekiwana pomiaru A w danymstanie.

Rozkład prawdopodobienstwa dla danej obserwabli mozemyzrekonstruowac, znajac jego momenty, czyli wartosci oczekiwane A2,A3, . . .∈ A.

Bardziej abstrakcyjna definicja: stanem na algebrze A (C∗ z jedynka)nazywamy liniowy funkcjonał ω, taki ze: ω(1) = 1, ω(A∗A) ≥ 0,A ∈ A.

13 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Stany

Stan odpowiada przygotowaniu układu do pomiaru. Zakładamy, zepomiar jest powtarzalny.

Majac dany układ w pewnym stanie, mozemy przyporzadkowac kazdejobserwabli A liczbe, bedaca wartoscia oczekiwana pomiaru A w danymstanie.

Rozkład prawdopodobienstwa dla danej obserwabli mozemyzrekonstruowac, znajac jego momenty, czyli wartosci oczekiwane A2,A3, . . .∈ A.

Bardziej abstrakcyjna definicja: stanem na algebrze A (C∗ z jedynka)nazywamy liniowy funkcjonał ω, taki ze: ω(1) = 1, ω(A∗A) ≥ 0,A ∈ A.

13 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Reprezentacje algebr

Definicja

Reprezentacja π, C∗-algebry A na przestrzeni Hilberta H nazy-wamy homomorfizm π pomiedzy A i algebra ograniczonych op-eratorów naH, taki ze π(A∗) jest operatorem sprzezonym do π(A).Jezeli A posiada jedynke, wymagamy dodatkowo π(1) = 1H.

Znormalizowane wektory Φ przestrzeni HilbertaH definiuja stanyna A poprzez: ωΦ(A)

.= 〈Φ, π(A)Φ〉,

Zbiór stanów jest wypukły,

Inny stany mozemy skonstruowac przy uzyciu macierzy gestosci ρ(sladowe operatory naH, o sladzie 1). Odpowiadajacy jej stan to:ωρ(A) = trρA.

14 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Reprezentacje algebr

Definicja

Reprezentacja π, C∗-algebry A na przestrzeni Hilberta H nazy-wamy homomorfizm π pomiedzy A i algebra ograniczonych op-eratorów naH, taki ze π(A∗) jest operatorem sprzezonym do π(A).Jezeli A posiada jedynke, wymagamy dodatkowo π(1) = 1H.

Znormalizowane wektory Φ przestrzeni HilbertaH definiuja stanyna A poprzez: ωΦ(A)

.= 〈Φ, π(A)Φ〉,

Zbiór stanów jest wypukły,

Inny stany mozemy skonstruowac przy uzyciu macierzy gestosci ρ(sladowe operatory naH, o sladzie 1). Odpowiadajacy jej stan to:ωρ(A) = trρA.

14 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Reprezentacje algebr

Definicja

Reprezentacja π, C∗-algebry A na przestrzeni Hilberta H nazy-wamy homomorfizm π pomiedzy A i algebra ograniczonych op-eratorów naH, taki ze π(A∗) jest operatorem sprzezonym do π(A).Jezeli A posiada jedynke, wymagamy dodatkowo π(1) = 1H.

Znormalizowane wektory Φ przestrzeni HilbertaH definiuja stanyna A poprzez: ωΦ(A)

.= 〈Φ, π(A)Φ〉,

Zbiór stanów jest wypukły,

Inny stany mozemy skonstruowac przy uzyciu macierzy gestosci ρ(sladowe operatory naH, o sladzie 1). Odpowiadajacy jej stan to:ωρ(A) = trρA.

14 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Reprezentacje algebr

Definicja

Reprezentacja π, C∗-algebry A na przestrzeni Hilberta H nazy-wamy homomorfizm π pomiedzy A i algebra ograniczonych op-eratorów naH, taki ze π(A∗) jest operatorem sprzezonym do π(A).Jezeli A posiada jedynke, wymagamy dodatkowo π(1) = 1H.

Znormalizowane wektory Φ przestrzeni HilbertaH definiuja stanyna A poprzez: ωΦ(A)

.= 〈Φ, π(A)Φ〉,

Zbiór stanów jest wypukły,

Inny stany mozemy skonstruowac przy uzyciu macierzy gestosci ρ(sladowe operatory naH, o sladzie 1). Odpowiadajacy jej stan to:ωρ(A) = trρA.

14 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Reprezentacje algebr

Definicja

Reprezentacja π, C∗-algebry A na przestrzeni Hilberta H nazy-wamy homomorfizm π pomiedzy A i algebra ograniczonych op-eratorów naH, taki ze π(A∗) jest operatorem sprzezonym do π(A).Jezeli A posiada jedynke, wymagamy dodatkowo π(1) = 1H.

Znormalizowane wektory Φ przestrzeni HilbertaH definiuja stanyna A poprzez: ωΦ(A)

.= 〈Φ, π(A)Φ〉,

Zbiór stanów jest wypukły,

Inny stany mozemy skonstruowac przy uzyciu macierzy gestosci ρ(sladowe operatory naH, o sladzie 1). Odpowiadajacy jej stan to:ωρ(A) = trρA.

14 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Representations of algebras

Twierdzenie (Gelfand, Naimark, Segal)

Niech ω bedzie stanem na C∗-algebrze A z jedynka, wtedy ist-nieje przestrzen Hilberta Hω, representacja πω A na Hω i znor-malizowany wektor Ωω ∈ Hω takie ze:

ω(A) = 〈Ωω, πω(A)Ωω〉

ponadto πω(A)Ωω jest gesta podprzestrzeniaHω.

Wniosek

Mozemy identyfikowac stany z reprezentacjami.

15 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Representations of algebras

Twierdzenie (Gelfand, Naimark, Segal)

Niech ω bedzie stanem na C∗-algebrze A z jedynka, wtedy ist-nieje przestrzen Hilberta Hω, representacja πω A na Hω i znor-malizowany wektor Ωω ∈ Hω takie ze:

ω(A) = 〈Ωω, πω(A)Ωω〉

ponadto πω(A)Ωω jest gesta podprzestrzeniaHω.

Wniosek

Mozemy identyfikowac stany z reprezentacjami.

15 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Spektrum

Mozliwe wyniki pomiarów obserwabli A tworza tzw. spektrum.Bardziej abstrakcyjna definicja:

Definicja

Spektrum obserwabli A ∈ A nazywamy zbiór λ ∈ C, takich zeelement A− λ1 nie jest odwracalny w A.

16 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Spektrum

Mozliwe wyniki pomiarów obserwabli A tworza tzw. spektrum.Bardziej abstrakcyjna definicja:

Definicja

Spektrum obserwabli A ∈ A nazywamy zbiór λ ∈ C, takich zeelement A− λ1 nie jest odwracalny w A.

16 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Dodatniosc energii

Mozemy wreszcie sprecyzowac co oznacza aksjomat stabilnosci(dodatniosc energii). Mówi on, ze:

Istnieje reprezentacja π algebry A naH kowariantna ze wzgledu natranslacje, czyli naH niesie dodatkowo silnie ciagła, unitarnareprezentacje grupy translacji.

Translacje implementowane sa jako: U(a)π(A)U(a)−1 = π(αa(A)) ,a ∈ R4, A ∈ A

Niech P oznacza generator translacji: eiaP = U(a), aP = aµPµ.Wspólne spektrum składowych P jest zawarte w stozku przyszłosci:σ(P) ⊂ V+.

17 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Dodatniosc energii

Mozemy wreszcie sprecyzowac co oznacza aksjomat stabilnosci(dodatniosc energii). Mówi on, ze:

Istnieje reprezentacja π algebry A naH kowariantna ze wzgledu natranslacje, czyli naH niesie dodatkowo silnie ciagła, unitarnareprezentacje grupy translacji.

Translacje implementowane sa jako: U(a)π(A)U(a)−1 = π(αa(A)) ,a ∈ R4, A ∈ A

Niech P oznacza generator translacji: eiaP = U(a), aP = aµPµ.Wspólne spektrum składowych P jest zawarte w stozku przyszłosci:σ(P) ⊂ V+.

17 / 27Impresje algebraiczne

N

Podstawy

Dodatniosc energii

Mozemy wreszcie sprecyzowac co oznacza aksjomat stabilnosci(dodatniosc energii). Mówi on, ze:

Istnieje reprezentacja π algebry A naH kowariantna ze wzgledu natranslacje, czyli naH niesie dodatkowo silnie ciagła, unitarnareprezentacje grupy translacji.

Translacje implementowane sa jako: U(a)π(A)U(a)−1 = π(αa(A)) ,a ∈ R4, A ∈ A

Niech P oznacza generator translacji: eiaP = U(a), aP = aµPµ.Wspólne spektrum składowych P jest zawarte w stozku przyszłosci:σ(P) ⊂ V+.

17 / 27Impresje algebraiczne

N

1 Wprowadzenie

2 Podstawy

3 Splatanie

18 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Nierównosci Bella

Nierównosci Bella: Dla dwóch par detektorów ai, bj, (i, j = 1, 2)zachodzi:0 ≤ p(a1)+p(b1)+p(a2∧b2)−p(a1∧b1)−p(a1∧b2)−p(a2∧b1) ≤ 1.

W formalizmie AQFT: Niech Oi, i = 1, 2 beda obszaramirozdzielonymi przestrzennie. Detektor, który daje dwa mozliwe wynikizlokalizowany w Oi modelowany jest przez F ∈ A(Oi), 0 ≤ F ≤ 1,

Prawdopodobienstwo wyniku "tak" dla układu przygotowanego wstanie ω na A =

⋃O⊂M

A(O) wynosi ω(F),

Jezeli F1, F2 zlokalizowane sa w przestrzennie rozdzielonychobszarach, to prawdopodobienstwo rezultatu "tak-tak" dane jest przez:ω(F1F2) .

19 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Nierównosci Bella

Nierównosci Bella: Dla dwóch par detektorów ai, bj, (i, j = 1, 2)zachodzi:0 ≤ p(a1)+p(b1)+p(a2∧b2)−p(a1∧b1)−p(a1∧b2)−p(a2∧b1) ≤ 1.

W formalizmie AQFT: Niech Oi, i = 1, 2 beda obszaramirozdzielonymi przestrzennie. Detektor, który daje dwa mozliwe wynikizlokalizowany w Oi modelowany jest przez F ∈ A(Oi), 0 ≤ F ≤ 1,

Prawdopodobienstwo wyniku "tak" dla układu przygotowanego wstanie ω na A =

⋃O⊂M

A(O) wynosi ω(F),

Jezeli F1, F2 zlokalizowane sa w przestrzennie rozdzielonychobszarach, to prawdopodobienstwo rezultatu "tak-tak" dane jest przez:ω(F1F2) .

19 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Nierównosci Bella

Nierównosci Bella: Dla dwóch par detektorów ai, bj, (i, j = 1, 2)zachodzi:0 ≤ p(a1)+p(b1)+p(a2∧b2)−p(a1∧b1)−p(a1∧b2)−p(a2∧b1) ≤ 1.

W formalizmie AQFT: Niech Oi, i = 1, 2 beda obszaramirozdzielonymi przestrzennie. Detektor, który daje dwa mozliwe wynikizlokalizowany w Oi modelowany jest przez F ∈ A(Oi), 0 ≤ F ≤ 1,

Prawdopodobienstwo wyniku "tak" dla układu przygotowanego wstanie ω na A =

⋃O⊂M

A(O) wynosi ω(F),

Jezeli F1, F2 zlokalizowane sa w przestrzennie rozdzielonychobszarach, to prawdopodobienstwo rezultatu "tak-tak" dane jest przez:ω(F1F2) .

19 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Nierównosci Bella

Nierównosci Bella: Dla dwóch par detektorów ai, bj, (i, j = 1, 2)zachodzi:0 ≤ p(a1)+p(b1)+p(a2∧b2)−p(a1∧b1)−p(a1∧b2)−p(a2∧b1) ≤ 1.

W formalizmie AQFT: Niech Oi, i = 1, 2 beda obszaramirozdzielonymi przestrzennie. Detektor, który daje dwa mozliwe wynikizlokalizowany w Oi modelowany jest przez F ∈ A(Oi), 0 ≤ F ≤ 1,

Prawdopodobienstwo wyniku "tak" dla układu przygotowanego wstanie ω na A =

⋃O⊂M

A(O) wynosi ω(F),

Jezeli F1, F2 zlokalizowane sa w przestrzennie rozdzielonychobszarach, to prawdopodobienstwo rezultatu "tak-tak" dane jest przez:ω(F1F2) .

19 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Relacja porzadku

Niech A bedzie C∗-algebra z jedynka.Mozemy zdefiniowac na A relacje porzadku jako:

A ≥ B⇔ A− B ≥ 0,

gdzie: A− B ≥ 0 oznacza, ze istnieje element C ∈ A taki ze:

A− B = C∗C.

20 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Splatanie a przyczynowosc

Uwaga

W sformułowaniu AQFT nie ma sprzecznosci miedzy korelacja aprzyczynowoscia! Ta pierwsza zapisana jest w konkretnym stanie,a druga jest własnoscia algebry obserwabli.

Mozemy teraz sformułowac nierównosci Bella w jezyku AQFT:Niech A = 2F − 1 (tak, ze −1 ≤ A ≤ 1). Wtedy dla Ai, Bj (i, j = 1, 2)nalezacych do przestrzennie rozdzielonych obszarów i stanu ω,nierównosci te przyjmuja postac:

|ω(A1(B1 + B2) + A2(B1 − B2))| ≤ 2

21 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Splatanie a przyczynowosc

Uwaga

W sformułowaniu AQFT nie ma sprzecznosci miedzy korelacja aprzyczynowoscia! Ta pierwsza zapisana jest w konkretnym stanie,a druga jest własnoscia algebry obserwabli.

Mozemy teraz sformułowac nierównosci Bella w jezyku AQFT:

Niech A = 2F − 1 (tak, ze −1 ≤ A ≤ 1). Wtedy dla Ai, Bj (i, j = 1, 2)nalezacych do przestrzennie rozdzielonych obszarów i stanu ω,nierównosci te przyjmuja postac:

|ω(A1(B1 + B2) + A2(B1 − B2))| ≤ 2

21 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Splatanie a przyczynowosc

Uwaga

W sformułowaniu AQFT nie ma sprzecznosci miedzy korelacja aprzyczynowoscia! Ta pierwsza zapisana jest w konkretnym stanie,a druga jest własnoscia algebry obserwabli.

Mozemy teraz sformułowac nierównosci Bella w jezyku AQFT:Niech A = 2F − 1 (tak, ze −1 ≤ A ≤ 1). Wtedy dla Ai, Bj (i, j = 1, 2)nalezacych do przestrzennie rozdzielonych obszarów i stanu ω,nierównosci te przyjmuja postac:

|ω(A1(B1 + B2) + A2(B1 − B2))| ≤ 2

21 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Splatanie a przyczynowosc

Uwaga

W sformułowaniu AQFT nie ma sprzecznosci miedzy korelacja aprzyczynowoscia! Ta pierwsza zapisana jest w konkretnym stanie,a druga jest własnoscia algebry obserwabli.

Mozemy teraz sformułowac nierównosci Bella w jezyku AQFT:Niech A = 2F − 1 (tak, ze −1 ≤ A ≤ 1). Wtedy dla Ai, Bj (i, j = 1, 2)nalezacych do przestrzennie rozdzielonych obszarów i stanu ω,nierównosci te przyjmuja postac:

|ω(A1(B1 + B2) + A2(B1 − B2))| ≤ 2

21 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Nierównosci Bella w AQFT

Interesuje nas wielkosc:

β(A(O1),A(O2), ω).=

12

supω(Al(B1 + B2) + A2(B1 − B2))|Ai ∈ A(O1),Bj ∈ A(O2)

Jezeli β(A(O1),A(O2), ω) = 1, wtedy nierównosci Bella sa spełnione.W szczególnosci zachodzi to gdy:

obie algebry sa abelowe (sytuacja klasyczna),lub stan jest kombinaja liniowa stanów produktowych (brak korelacji).

Maksymalne mozliwe złamanie nierównosci zachodzi przy:β(A(O1),A(O2), ω) =

√2.

22 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Nierównosci Bella w AQFT

Interesuje nas wielkosc:

β(A(O1),A(O2), ω).=

12

supω(Al(B1 + B2) + A2(B1 − B2))|Ai ∈ A(O1),Bj ∈ A(O2)

Jezeli β(A(O1),A(O2), ω) = 1, wtedy nierównosci Bella sa spełnione.W szczególnosci zachodzi to gdy:

obie algebry sa abelowe (sytuacja klasyczna),lub stan jest kombinaja liniowa stanów produktowych (brak korelacji).

Maksymalne mozliwe złamanie nierównosci zachodzi przy:β(A(O1),A(O2), ω) =

√2.

22 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Nierównosci Bella w AQFT

Interesuje nas wielkosc:

β(A(O1),A(O2), ω).=

12

supω(Al(B1 + B2) + A2(B1 − B2))|Ai ∈ A(O1),Bj ∈ A(O2)

Jezeli β(A(O1),A(O2), ω) = 1, wtedy nierównosci Bella sa spełnione.W szczególnosci zachodzi to gdy:

obie algebry sa abelowe (sytuacja klasyczna),

lub stan jest kombinaja liniowa stanów produktowych (brak korelacji).

Maksymalne mozliwe złamanie nierównosci zachodzi przy:β(A(O1),A(O2), ω) =

√2.

22 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Nierównosci Bella w AQFT

Interesuje nas wielkosc:

β(A(O1),A(O2), ω).=

12

supω(Al(B1 + B2) + A2(B1 − B2))|Ai ∈ A(O1),Bj ∈ A(O2)

Jezeli β(A(O1),A(O2), ω) = 1, wtedy nierównosci Bella sa spełnione.W szczególnosci zachodzi to gdy:

obie algebry sa abelowe (sytuacja klasyczna),lub stan jest kombinaja liniowa stanów produktowych (brak korelacji).

Maksymalne mozliwe złamanie nierównosci zachodzi przy:β(A(O1),A(O2), ω) =

√2.

22 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Nierównosci Bella w AQFT

Interesuje nas wielkosc:

β(A(O1),A(O2), ω).=

12

supω(Al(B1 + B2) + A2(B1 − B2))|Ai ∈ A(O1),Bj ∈ A(O2)

Jezeli β(A(O1),A(O2), ω) = 1, wtedy nierównosci Bella sa spełnione.W szczególnosci zachodzi to gdy:

obie algebry sa abelowe (sytuacja klasyczna),lub stan jest kombinaja liniowa stanów produktowych (brak korelacji).

Maksymalne mozliwe złamanie nierównosci zachodzi przy:β(A(O1),A(O2), ω) =

√2.

22 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Splatanie w AQFT

Twierdzenie (Summers, Werner (1985))

Niech A(O)O⊂M bedzie siecia algebr obserwabli swobodnej re-latywistycznej kwantowej teorii pola ze stanem prózni ω0. Wtedydla klinu W ⊂ M:

β(A(W),A(Wc), ω0) =√

2

W definiujemy jako obraz WR = x ∈ R4| |x0| < |x1| poddziałaniem dowolnej transformacji Poincaré. x0 oznacza współrzednaczasowa, a Wc kauzalne dopełnienie W, czyli podzbiór R4

przestrzennie oddzielony od W.

23 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Splatanie w AQFT

Twierdzenie (Summers, Werner (1985))

Niech A(O)O⊂M bedzie siecia algebr obserwabli swobodnej re-latywistycznej kwantowej teorii pola ze stanem prózni ω0. Wtedydla klinu W ⊂ M:

β(A(W),A(Wc), ω0) =√

2

W definiujemy jako obraz WR = x ∈ R4| |x0| < |x1| poddziałaniem dowolnej transformacji Poincaré. x0 oznacza współrzednaczasowa, a Wc kauzalne dopełnienie W, czyli podzbiór R4

przestrzennie oddzielony od W.

23 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Splatanie w AQFT

Twierdzenie (Summers, Werner)

Dla teorii niezmienniczych ze wzgledu na dylatacje, spełniajacychwarunek A(W)′ = A(Wc) poprzedni rezultat mozna uogólnic dladowolnych przestrzennie rozdzielonych klinów W1, W2,niezaleznie od odległosci.

Dla teorii niezmienniczych ze wzgledu na dylatacje, rezultat moznarówniez uogólnic na dowolna pare stycznych podwójnych stozkówO1, O2.

24 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Splatanie w AQFT

Twierdzenie (Summers, Werner)

Dla teorii niezmienniczych ze wzgledu na dylatacje, spełniajacychwarunek A(W)′ = A(Wc) poprzedni rezultat mozna uogólnic dladowolnych przestrzennie rozdzielonych klinów W1, W2,niezaleznie od odległosci.

Dla teorii niezmienniczych ze wzgledu na dylatacje, rezultat moznarówniez uogólnic na dowolna pare stycznych podwójnych stozkówO1, O2.

24 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Splatanie w AQFT

Twierdzenie (Summers, Werner)

Dla teorii niezmienniczych ze wzgledu na dylatacje, spełniajacychwarunek A(W)′ = A(Wc) poprzedni rezultat mozna uogólnic dladowolnych przestrzennie rozdzielonych klinów W1, W2,niezaleznie od odległosci.

Dla teorii niezmienniczych ze wzgledu na dylatacje, rezultat moznarówniez uogólnic na dowolna pare stycznych podwójnych stozkówO1, O2.

24 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Podsumowanie

Nie ma sprzecznosci pomiedzykorelacja kwantowa a przyczynowoscia.

Do wykrycia splatania w zasadzieniekonieczne jest zródło.

Same fluktuacje prózni zapewniajamaksymalne złamanie nierównosciBella.

Obserwacja tego efektu byłaby dosctrudna ze wzgledu na pewne ogólnewłasnosci stanu prózni.

Stopien łamania nierównosci Bellaspada eksponencjalnie z przestrzennymdystansem dzielacym obszary O1, O2.

25 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Podsumowanie

Nie ma sprzecznosci pomiedzykorelacja kwantowa a przyczynowoscia.

Do wykrycia splatania w zasadzieniekonieczne jest zródło.

Same fluktuacje prózni zapewniajamaksymalne złamanie nierównosciBella.

Obserwacja tego efektu byłaby dosctrudna ze wzgledu na pewne ogólnewłasnosci stanu prózni.

Stopien łamania nierównosci Bellaspada eksponencjalnie z przestrzennymdystansem dzielacym obszary O1, O2.

25 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Podsumowanie

Nie ma sprzecznosci pomiedzykorelacja kwantowa a przyczynowoscia.

Do wykrycia splatania w zasadzieniekonieczne jest zródło.

Same fluktuacje prózni zapewniajamaksymalne złamanie nierównosciBella.

Obserwacja tego efektu byłaby dosctrudna ze wzgledu na pewne ogólnewłasnosci stanu prózni.

Stopien łamania nierównosci Bellaspada eksponencjalnie z przestrzennymdystansem dzielacym obszary O1, O2.

25 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Podsumowanie

Nie ma sprzecznosci pomiedzykorelacja kwantowa a przyczynowoscia.

Do wykrycia splatania w zasadzieniekonieczne jest zródło.

Same fluktuacje prózni zapewniajamaksymalne złamanie nierównosciBella.

Obserwacja tego efektu byłaby dosctrudna ze wzgledu na pewne ogólnewłasnosci stanu prózni.

Stopien łamania nierównosci Bellaspada eksponencjalnie z przestrzennymdystansem dzielacym obszary O1, O2.

25 / 27Impresje algebraiczne

N

Splatanie

Podsumowanie

Nie ma sprzecznosci pomiedzykorelacja kwantowa a przyczynowoscia.

Do wykrycia splatania w zasadzieniekonieczne jest zródło.

Same fluktuacje prózni zapewniajamaksymalne złamanie nierównosciBella.

Obserwacja tego efektu byłaby dosctrudna ze wzgledu na pewne ogólnewłasnosci stanu prózni.

Stopien łamania nierównosci Bellaspada eksponencjalnie z przestrzennymdystansem dzielacym obszary O1, O2.

25 / 27Impresje algebraiczne

N

Kierunki badan

Algebraiczna teoria informacji

Splatanie dla nieskonczenie wymiarowych układow (np. nieskonczonełancuchy spiowe). Przykład: M. Keyl, T. Matsui, D. Schlingemann, R.F. Werner, Entanglement, Haag-Duality and Type Properties of InfiniteQuantum Spin Chains, Rev. Math. Phys., 18 (2006) 935-970.

Bramki kwantowe, komputer kwantowy. . .

Quantum error correction.

Quantum walks, quantum cellular automata.

Wiecej informacji dostepnych na:http://www.itp.uni-hannover.de/~werner/

Informacje na temat grupy AQFT w Hamburgu mozna znalezc na:http://unith.desy.de/research/aqft/

Slajdy z biezacej prezentacji zamieszczone zostana na mojej stronie:http://katarzyna.rejzner.pl/

26 / 27Impresje algebraiczne

N

Dziekuje Panstwu za uwage

27 / 27Impresje algebraiczne

N