Post on 03-Aug-2015
2014
TÜREV KAVRAMI
TÜREV ALMA KURALLARI
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU
BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ
KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ
RASYONEL ÜSLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ
TERS FONKSİYONLARIN TÜREVİ
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
LOGARİTMA FONKSİYONLARIN TÜREVİ
ÜSTEL FONKSİYONLARIN TÜREVİ
YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER
DİFERANSİYEL KAVRAMI
ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR
EXTREMUM NOKTALAR VE EXTREMUM DEĞERLER
İKİNCİ TÜREVİN YEREL EXTREMUM NOKTALARIYLA İLŞKİSİ
İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
L’’HOSPİTAL KURALI
FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
TÜREV KAVRAMI
TANIM: f : A R , y=f(x) fonksiyonu ve a A da sürekli olmak üzere
limiti bir reel sayı ise bu değere f fonksiyonunun
x=a noktasındaki türevi denir. f’(a) veya sembolleri ile gösterilir.
h > 0 olmak üzere, x=a+h ise x - a =h dır.
= olur.
ax
afxf
ax
)()(lim
)(adx
df
0)( axax0 h
ax
afxf
ax
)()(lim
h
afhaf
h
)()(lim
0
ÖRNEK: f: R R , f(x)=x2 fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini bulalım.
ÇÖZÜM= f(x)=x2 fonksiyonu x=2 de süreklidir
2
)2()(lim)2( 2
x
fxff x
42
)2)(2(lim
2
4lim)2( 2
2
2
x
xx
x
xf xx
SOLDAN SAĞDAN TÜREV
TANIM:
1. Limitinin bir reel sayıdeğeri varsa
bu değere f fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi denir ve f’(a-) şeklinde gösterilir.
2. Limitinin bir reel sayı değeri
varsa bu değere f fonksiyonu, a noktasındaki sağdan türevi denir ve f’(a+) şeklinde gösterilir.
AaRA ,
ax
afxfax
)()(
lim _
ax
afxfax
)()(lim
f’(a-)= f’(a+) ise , f fonksiyonu a noktasında türevlidir. Bu durumda f’(a-) = f’(a+) = f’(a) dır.
f’(a-) f’(a+) ise fonksiyonun a noktasında türev yoktur.
ÖRNEK: f: R R , f(x)= a)f’(2-)=?
b)f’(2+)=?
ÇÖZÜM: f(2) = 6 olduğundan fonksiyon x=2 de süreklidir.
a ) = = = 4
b) = =
isexx
isexx
2,2
2,242 <
2
)2()(lim 2
x
fxfx
2
4lim
2
2
x
xx )2(lim 2 xx
2
)2()(lim 2
x
fxfx 2
84lim 2
x
xx 44lim
TÜREVİN SÜREKLİLİKLE İLİŞKİSİ
Teorem: olmak üzere; fonksiyonu a
noktasında türevli ise bu noktada süreklidir.
1. y=f(x) a A , da türevli ise x=a da süreklidir.
2.f '(a) =f(a) ve f(x) x=a da sürekli olmalıdır ki f(x) , x =a da türevli olsun
3.Bir fonksiyonun kritik noktalarında türevi araştırılırken bu noktalarda süreksiz ise türevsizdir. Sürekliyse sağdan ve soldan türevlerini eşitliğine bakılır.
AaRA , RAf :
Örnek: hangi noktalarda türevsizdir?
Çözüm: f fonksiyonu paydanın 0 olduğu noktalarda tanımsız dolayısıyla süreksizdir.
x=-1 ve x=2 noktalarında
süreksiz dolayısıyla türevsizdir.
22
2)(
2
2
x
xxf
22
2)(
2
2
x
xxf
BİR ARALIKTA TÜREVLENEBİLME
TANIM: a,b olmak üzere fonksiyonunun (a,b) aralığının her noktasında türev varsa f fonksiyonu (a,b) aralığında türevlidir. olmak üzere
fonksiyonu A tanım kümesinin her noktasında türevli ise f fonksiyonu tanımlı kümesinde türevlidir.
Rbaf ),(:R A
RAf :
TÜREV ALMA KURALLARI
1) f(x)= c f’(x) = 0
2) f(x) = xn f’(x) = n . xn-1
3) (c . f (x) )’ = c . f’(x)
4)
5)
6)
)()()()( xgxfxgxf
)().()().()().( xfxgxgxfxgxf
2)(
)().()().(
)(
)(
xg
xfxgxgxf
xg
xf
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
teğetkesen
Y=f(x)
F(a+h)
F(a)
a a+h
aha
afhaf
)(
)()(
h
afhaf )()( AC
BCmAB=tan =
AB kirişinin eğimi h 0 için AT teğetinin eğimine eşit olacağından
aha
afhaf
)(
)()(0lim hmAT = )(' af
O halde y= f(x) fonksiyonunun grafiğini x=a noktasındaki teğetinin eğimi f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevine eşittir. B noktası, B(a-h , f(a-h)) şeklinde alınarak da yukarıdaki yorum yapılabilir.
TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ
.f(a)
y
xa
n
t
Y=f(x)
A (a, f (a)) noktasından çizilen teğet denkleminibulmak için önce eğim bulunur. Fonksiyonun bunoktadaki türevi eğimi vereceğindeny-f (a) =f '(a) . (x- a) teğet denklemi bulunur.
1m.m nt )a('f
1
m
1m
tn
A noktasındaki normal denklemi ise şöyle olur:
)a('f
1)a(fy . (x-a)
Örnek: f(x) -x2 +2x -3 parabolünün x=3 apsisli noktasındaki teğetinin ve normalinin denklemini bulalım.
Çözüm: x=3, y=-6 olur. f '(x)= -2x +2 olduğundan
teğetin eğimi: mı =f'(3)=-2 . 3+2 =-4
normalin eğimi : mn =
teğet denklemi: y-(6)=-4(x-3) y=-4x +6
normal denklemi : y-(6)=1/4(x-3) y=x/4- 27/4
4
1
)3('
11
fmt
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
f(x) =sinx , f'(u)=cosu . (u')f(x) =cosx , f'(u) = -sinu . (u')f(x) =tan u , f'(u)=u’ / cos 2u = u' . Sec 2u =u ' . (tan 2u +1)f(x) =cot u , f'(u)= -u’ / sin 2u = -u' . Cosec 2u = -u ' . (cot 2u +1)
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİMUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ g(x), g(x)>0
y=|g(x)|= 0 , g(x)=0 -g(x) , g(x)<0
g'(x) , g(x)>0 y'= araştırılır , g(x)=0 -g'(x) , g(x)<0
{
{
ÖRNEK:|x2-9| x=3 deki türevi nedir?
ÇÖZÜM: -3 +3 + | - | + x2-9 | 9-x2 | x2 -9 türevi 2x | -2x | 2x
x= 3 de sürekli f'(3) =6 f'(3)=-6 türevsiz.Kritik noktayı araştıdık ve sağdan türevinin soldan türevine eşit olmadığını dolayısıyla x=3 de tüğrevsiz olduğunu gördük.
TAM KISIM FONKSİYONUN TÜREVİ
f: A R y=||f(x)|| fonksiyonu için ;sürekli olduğu noktalarda sonucu sayı çıktığından türevi 0 dır.Süreksiz olduğu noktalarda ise türevsizdir.
ÖRNEK: f(x)=||x/ 2 -3|| fonksiyonunda f '(1) değerini bulalım.
ÇÖZÜM: x=1 için tamdeğerin içi -5/2 çıkar. Bu da dışarı -3 olarak çıkar. Bu da bir tamsayı olduğu için türevi 0 dır. Yani f '(1)=0 olur. Eğer sonuç tamsayı çıksaydı. Türevsiz olurdu, çünkü sağdan ve soldan türevleri birbirine eşit olmazdı.
İŞARET FONKSİYONUNUN TÜREVİf: A R , y=sgn (f(x) )fonksiyonunda içini 0 yapan değerler türevsizdir. (soldan (+) sağdan (-) çıkar.) diğer durumlarda tamsayı çıkacağından türevin sonucu 0 olur.
ÖRNEK: f(x)=sgn ( x2-x-6) fonksiyonunun türevsiz olduğu değerleri bulun.
ÇÖZÜM: Türevsiz olduğu noktalar içini 0 yapan değerler olduğu için, içinin kökleri bulunur.
(x2-x-6)=(x-3)(x+2) , olduğundan cevap : x1=3 , x2=-2 dir.
KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ
TANIM:x ve y değişken olmak üzere F(x,y)=0 denklemiyle verilen bağıntılara kapalı fonksiyon denir.
1. YÖNTEM: örnek olarak F(x,y)=x2+y2-2x-24=0 ise dy/dx=?
2x+2y(dy / dx)-2-0=0 Buradan y'= bulunur.
II.YÖNTEM: y'= förmülü ile soınuca gidilir.
ÖRNEK: 3xy-x+y-5=0 ise dy/dx=?
ÇÖZÜM:
y
x
y
x
dx
dy
1
2
22
),('
),('
yxF
yxF
dx
dy
y
x
),('
),('
yxF
yxF
dx
dy
y
x
13
31
x
y
RASYONEL ÜSLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ
TEOREM: x R ve n N+ olmak üzere y=
fonksiyonunun türevi
PARAMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİy=f(x) fonksiyonunda x ve y değişkenleri t R olmak üzere t parametresine bağlı olarak x=h(t) biçiminde tanımlanırsa y=g(t) bu fonksiyona parametrik fonksiyon denir.
nx1
111
'
nxn
y
)('
)('.
th
tg
dx
dt
dt
dy
dx
dy
ÖRNEK: x=t-2 parametrik fonlksiyonu veriliyor. y'=? y=t2 -t +3
ÇÖZÜM
x=t-2 ise t=x+2 olur ve y'=2(x+2) -1 =2x+3 olur.
}
121
12'
tt
dtdxdtdy
dx
dyy
TERS FONKSİYONUN TÜREVİ
KURAL:f’(x) 0 ise
ÖRNEK: f(x)=x3-1 , (f-1)’(-9)=?
ÇÖZÜM: y=-9 , x=-2
))(('
1
)('
11 yffxf
12
1
3
1
)2('
12
xf
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
1.(arcsinu)'=
2.(arccosu)'=
3.(arctanu)'=
4.(arccotu)'=
21
'
u
u
21
'
u
u
21
'
u
u
21
'
u
u
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ
1.f(u)=logau , f’(u) logae
2.f(u)=ınu , f’(u)
u
u'
u
u'
ÜSTEL FONKSİYONUN TÜREVİ
1.f(x)=au , f’(x)=au . u’ . lna
2.f(x)=eu , f’(x)=eu . u’
LOGARİTMİK TÜREV ALMA y=xx ıny=ınxx
ıny= x . Inx
y’= (lnx+1).y y’= (lnx+1).xx
xx
xy
y.
1ln
'
YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER
y=x -x+4y'=2x-1 (1.Mertebeden türev)y''=2 (2.Mertebeden türev)y'''=0 (3.Mertebeden türev)
n
n
n
nnn
dx
fd
dx
ydxfy )()()( Fonksiyonunun n.
Mertebeden türevi
DİFERANSİYEL KAVRAMI
TEOREM: A R , f: A R , y=f(x) fonksiyonu A da türevlenebilen bir fonksiyon olsun. X deki değişimi x buna karşılık gelen y deki değişimi y ile gösterelim. X in diferansiyeli dx= x olmak üzere y nin diferansiyeli
dy= f’(x).dx
ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR
a a ab b b
azalan artan sabit
f(a,b) fonksiyonu sürekli ve türevli ise
f’(x)>0 f(x) , (a,b) aralığında artandır.
f’(x)<0 f(x) , (a,b) aralığında azalandır.
f’(x)=0 f(x) , (a,b) aralığında sabit fonksiyondur.
ÖRNEK f(x)=x3-9x2+24x-7 fonksiyonunun artan veya azalan olup olmadığını inceleyelim.
ÇÖZÜM:f’(x)=3x2-18x+24 f’(x)=0 , x1=2 x2=4
x - 2 4
f’(x) + - +
f(x) f(2) f(4)
artan azalan artan
EXTREMUM NOKTALAR VE EXTREMUM DEĞERLER
Mutlak Extremum Noktası ve Değeri
TANIM(a,b) aralığında f(b) f(x) ise f(b) mutlak maximum veya en büyük değerdir.
(a,b) aralığında f(b) f(x) ise f(b) mutlak minumum veya en küçük değerdir.
)('
)('lim
)(
)(lim
1lim
0
0
)1(1
11
..lim 11 xg
xf
xg
xf
ınx
ınx
xx
ınx
xxınxx
axaxxx
a c b
a,c mutlak min
b, mutlak max
YEREL EXT NOKTASI VE DEĞERİ
Yerel min
Yerel max
Yerel min
Yerel max
Mutlak max
Yerel min
Mutlak min
Şekilde görüldüğü gibi artandan azalana geçen noktalar yerel max veya min dir
EXT NOKTASI İLE TÜREVİN İLİŞKİSİ
TANIM: Yerel ext noktalarında f’(x)=0 dır.fakat türevi 0 olan her nokta ext noktası değildir;olması için f’(x) in işaret değiştirmesi(artandan azalana geçmesi) gerekir. Fonksiyonun türevinin 0 olduğu veya türevinin olmadığı noktalara kritik noktalar denir. Yerel ext değerleri k.n.ların içindedir.
X 0 1
f’(x) - - +
f(x)
Yerel min
TÜREVİN EXT İLE İLİŞKİSİ
İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
DÖNÜM (BÜKÜM) NOKTASI
KONVEKS KONKAV
(DIŞBÜKEY) (İÇBÜKEY)
f’’(x)=0 ın dönüm noktası olması için
Konveks
konkav
Geçiş
Max (f’)
min (f’)
d.n
MAX MİN PROBLEMLERİ
Problemin denklemi kurulur.türevi 0 a eşitlenir. Çıkan kök f(x) de yerine konulur. İstenilen değer bulunur.
Örnek: 3X +6 MAX ALAN?
6-X
ÇÖZÜM:A(x)=(3x +6 ) (6-x) A’(x)=12-6x
A(x)=18x+36-3x2-6x x=2
A(2)=48
L’ HOSPİTAL KURALI
0. Veya - belirsizlikleri veya a çevrilir.
Örnek :
)('
)('lim
)(
)(lim
0
0.0)().(lim
xg
xf
xg
xfveyaxgxf axaxax
0
0
41
2lim 2
xx 4
1
2lim 2
xx
0. BELİRSİZLİĞİ
veya a çevrilir.
.0)().(lim xgxfax
0
0
Örnek :
2
5
/1
2/5sinlim)
2
5sin(.lim x
x
xx xx
- BELİRSİZLİĞİ
veya a çevrilir.
0
0
0
0
)1(
1.lim
1
1lim 11
ınxx
xınxx
ınxx
xxxÖrnek :
2
1
/1/1
/1lim
0
01
1lim
0
0
)1(1
11
..lim
2111
xx
x
xınx
ınx
xx
ınx
xxınxx
xxx
FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
Bir fonksiyonunun grafiği, bir doğru veya eğridir. Bir fonksiyonun grafiği, fonksiyonun kuralını sağlayan bütün noktaların koordinat düzlemine işaretlenmesiyle elde edilir. Fakat bir fonksiyon sonsuz çoklukta noktadan oluşabilir. Bu sonsuz boşluktaki noktanın koordinat düzleminde işaretlenmesi mümkün değildir. Bu nedenle eğrinin karakterini belirten bazı özel noktalarını ve bazı özelliklerini bulursak, bunlardan faydalanarak eğriyi aslına uygun bir biçimde çizebiliriz.. Grafiğe ait özel noktalar; grafiğin eksenleri kestiği noktalar, ekstremum noktaları ve dönüm noktalarıdır. Grafiiğn karakterini belirleyen özellikler ise; artan ya da azalan olması, çukurluğun yönü, sonsuza uzanabilen kolunun bir doğru ya da eğriye asimptot olmasıdır.
2
43)(
x
xxf
Örnek: fonksiyonunun düşey asimptotunun x=2 doğrusu olduğunu
gösterelim.
Çözüm:
0
2
2
43lim 2 x
xx
Düşey Asimptot
Tanım: y=f(x) fonksiyonunun x=a noktasındaki soldan ya da sağdan limitlerinde en az biri + ya da - ise , x=a doğrusuna, y=f(x) fonksiyonunun bir düşey asimptotudur.
HP
y=f(x)
x
y
a
Yatay Asimptot
Tanım: y=f(x) fonksiyonu için veya ise
y=b doğrusuna, y=f(x) fonksiyonunun yatay asimptotu denir.
bxfx )(lim bxfx )(lim
y=f(x)
b
x
y
P
H
Örnek: fonksiyonunun yatay asimptotunun y=3 doğrusu olduğunu
gösterelim.
Çözüm: veya olduğundan,
y=3 doğrusu yatay asimptottur.
1
23
x
xy
31
23lim
x
xx 3
1
23lim
x
xx
Eğik ve Eğri Asimptot
Tanım: y=f(x) eğrisi ve y=g(x) doğrusu verilsin. Veya
ise, y=g(x) doğrusuna, eğrinin eğik asimptotu denir. 0)(lim xgxfx
0)(lim xgxfx
)(xgy
) (x f y)(xgy
) (x f y
Eğer, y=g(x) in grafiği bir eğri ise; buna, eğrinin eğri asimptotu denir.
)(
)()(
xQ
xPxfy biçiminde rasyonel fonksiyon verilsin. (P(x) ve Q(x) polinom
fonksiyonudur.)
1. Payın derecesi paydanın derecesinden 1 fazla ise; y=f(x)=mx+n+
biçiminde yazılabilir. Bu durumda,
olacağından, y=mx+n doğrusu fonksiyonun eğik asimptotu olur.
2. Payın derecesi paydanın derecesinden 2 fazla ise;
der[K(x)]<der[Q(x)] şeklinde yazılabilir.
Olacağından, y=a + bx+c fonksiyonunun grafiği eğri asimptotu olur.
O halde, eğik veya eğri asimptotları bulmak için; pay, paydaya bölünür ve bölüm O halde, eğik veya eğri asimptotları bulmak için; pay, paydaya bölünür ve bölüm asimptot denklemi olarak alınır.asimptot denklemi olarak alınır.
)(xQ
C
0)(
lim)(lim xQ
Cnmxxf xx
)(
)(2
xQ
xKcbxaxxf
0)(
)(limlim 2 xQ
xKcbxaxxf xx 2x
POLİNOM FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
1. f(x)=x3-12x ‘i inceleyelim.
2. Tanm kümesi: R
3.
4.x=0, y=0 y=0, x1= x2= -
5.f’’(x)=6x, (0,0) d.n
32 )(lim xfx32 32
x - - -2 0 2
f’(x) + + - - + + +
f’’(x) - - - + + + +
f(x)
32 32
Pol. Fonk. Larda
asimptot yoktur.pe
riyodik değildir.
)
2()0
342
42' 22 a
bxavey
xx
xy
3 3
2
0
-2
-1 1
RASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
DÜŞEY ASİMTOTLARI VARDIR, YATAY ASİMPTOT OLMAYABİLİR.PERİYODİK DEĞİLDİR.
1. f(x)=
2. T . K. =R- (-2)
3.pay için. (D. A.) , x-2=0 x=2
4.payda için (Y. A. ) ,paydanın derecesi payın derecesinden büyük eşit olduğu için Y.A. vardır. Dereceler eşit olduğu için YA=katsayılar oranı=1 der(payda) > der(pay) olduğu durumlarda ise YA=0 olur.
5.(0,-1/2) , (-1,0)
2
1
x
x
x -1 0 2
f’(x) - - - -
f(x) 1 0 -1/2
-1 -1/22
1
İRRASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ
f(x)= a<0, asimptot yok
a>0 , asimptot var ve eğik
1.y=
2.y1=x-2(EA) y2=2-x(EA)
3x2-4x +3 0 T=R-(1,3)
+ - +
3.(0, ) , (1,0) . (3, 0)
4, x=2 tanım kümesinin
elemanı olmadığı için
bu noktada ext yoktur.
cbxax 2
)2
()2
( 21 a
bxavey
a
bxay
342 xx
1 3
3
0342
42'
2
xx
xy
X 1 2 3
Y’ - + - +
Y 0 0
1 2 3
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ
1.y=sinx+3
2.T . R. = R
3.periyodu(T)=2 olduğu için fonksiyonu (0, )aralığıda inceleyelim.
4. Asimptot yok.
5.f’(x)=cosx =0 için (x 1= , y1=4 ) (x2= ,y2=2)
6.f(0)=3 , f( 2 )=3
7. F’’(x)=-sinx=0 için DN ları (0,3) , ( ,3)
2
2
3
X 0 /2
f’(x) + + - - + +
f’’(x)
f(x) 3 4 3 2 3
DN yer DN yerel DN
max min
3 /2 2