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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
AUTORE: S. Caltabiano
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)
Dott. S. Caltabiano i
Indice Generale
1 Funzioni elementari ............................................................................................ 1
1.1 La funzione esponenziale ............................................................................... 1
1.2 La funzione logaritmo .................................................................................... 3
1.3 La funzione potenza ....................................................................................... 5
1.4 Le funzioni trigonometriche. Le funzioni reciproche delle funzioni
trigonometriche. Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche .......................... 6
1.5 Le funzioni iperboliche. Inverse delle funzioni iperboliche. ......................... 16
1.6 Disuguaglianze notevoli delle funzioni elementari ....................................... 23
1.7 Tabella delle derivate e degli integrali delle funzioni elementari e delle
funzioni ad esse associate. .................................................................................... 23
2 Richiami di trigonometria ................................................................................. 25
2.1 Angolo improprio ridotto ad angolo proprio ................................................. 25
2.2 Angolo proprio ridotto al primo quadrante ................................................... 26
2.3 Relazioni tra funzioni trigonometriche ed angoli particolari ......................... 26
2.4 Rappresentazione delle funzioni trigonometriche sulla circonferenza unitaria 28
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Dott. S. Caltabiano 1
1 Funzioni elementari
Le funzioni elementari sono: la funzioni esponenziale, la funzione logaritmo, la
funzione potenza, le funzioni trigonometriche, e le funzioni iperboliche. In seguito
denoteremo con R0 l’insieme dei numeri reali meno lo zero, con R+ l’insieme dei
numeri reali non negativi (cioè R+=[0,+[) e con 0R l’insieme dei numeri reali
strettamente positivi (cioè 0R =]0,+[). Ricordiamo che una funzione non
decrescente o non crescente si dice monotona, mentre una funzione strettamente
crescente o strettamente decrescente si dice strettamente monotona.
1.1 La funzione esponenziale
Assegnato un a 0R -{1}, allora si può dimostrare che esiste un'unica funzione da R
in 0R che denotiamo con expa:R
0R che soddisfa alle seguenti tre proprietà:
(1) expa(x+y)= expa(x)expa (y) x,yR
(2) expa(1)=a
(3) expa è strettamente monotona
ed è detta esponenziale di base a. Usualmente si adopera anche la notazione:
expa(x)=ax xR
Nel caso a=e l’esponenziale viene detto esponenziale neperiano.
A partire dalla (1), (2) e (3) si possono dimostrare, le proprietà della funzione
esponenziale, di seguito riportate.
Proprietà dell’esponenziale
1) expa(0)=1
2) expa(–x)=( expa(x))–1 xR
3) yxxyxya aaa(xy)exp )()( x,yR
4) expa è una funzione convessa
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5) Se 0<a<1 allora expa è strettamente decrescente e , mentre se a>1 allora expa è
strettamente crescente
6) D(expa(x))=ln(a)expa(x)
7) expa(x)dx=)ln(
1a
expa(x)+cost.
Vediamo adesso il grafico dell’esponenziale. Nel caso a>1 il grafico è:
Figura 1
Mentre nel caso 0<a<1 il grafico è:
Figura 2
1
x
y
1
x
y
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1.2 La funzione logaritmo
Assegnato a 0R -{1}, allora si può dimostrare che esiste un'unica funzione da R in
0R che denotiamo con loga:
0R R che soddisfa alle seguenti tre proprietà:
(1) loga(xy)= loga(x)+loga (y) x,yR
(2) loga(a)=1
(3) loga è strettamente monotona
ed è detta funzione logaritmo in base a. Per dimostrare l’esistenza della funzione
logaritmo si sceglie come loga l’inversa della funzione expa, cioè si pone loga:= 1aexp ,
e si dimostra che questa soddisfa (1), (2), (3). Nel caso a=e si parla di logaritmo
neperiano.
A partire dalla (1), (2) e (3) si possono dimostrare, le proprietà della funzione
logaritmo, di seguito riportate.
Proprietà del logaritmo
1) loga(1)=0
2) loga(xy)=y loga(x) x 0R e yR
3) loga(x–1)=–loga(x) x 0R
4) xa xa )(log x 0R e loga(ax)=x xR (per definizione d’inversa)
5) ax= )(log ax bb xR con b 0R -{1}
6) (a)log(x)log
(x)logb
ba x
0R con b 0R -{1}
7) y
xx a
a y
)(log)(log x
0R e con yR0
8) Se 0<a<1 allora loga è strettamente decrescente ed è convessa, mentre se a>1
allora loga è strettamente crescente ed è concava
Ricordiamo che assegnata una funzione reale invertibile, allora il grafico
dell’inversa si ottiene ribaltando il grafico della funzione assegnata, attorno alla
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bisettrice del I e del III quadrante e successivamente lo si ruota di 45 gradi in senso
antiorario.
Il grafico del logaritmo nel caso 0<a<1 è:
Figura 3
quindi in tal caso expa è strettamente crescente. Mentre nel caso a>1 il grafico è:
Figura 4
Definiamo adesso una funzione, mediante composizione di una funzione
esponenziale, con una funzione logaritmica. Siano f:R 0R e g:RR due funzioni,
si pone allora per definizione:
1 x
y
1 x
y
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)(log)()( :)( xfxgxg bbxf xR
dove b 0R -{1} è una qualunque base fissata. Ovviamente la definizione non dipende
dalla base b.
1.3 La funzione potenza
Fissato un numero reale R, allora alla funzione esponenziale è legata la funzione
potenza, che usualmente si denota con il simbolo: ) (
ed è definita a seconda del valore di , come mostrato nella tabella che segue:
Se R-K e
>0 ) ( : R
0R con )(x :=
1 se 10 se 0
{1}- se )( 0
xx
Rxxexpx
Se =0 ) ( :R0{1} con )(x :=1 xR0
Se =–1 1) ( :R0R0 con 1)( x :=x1 xR0
Se I ) ( :RR con )(x :=
1 e 0 se )(
1 se 11 se 1
0 se 01 e 0 se )()(
xxxexp
xx
xxxxexp
x
x
Se J ) ( :RR con )(x :=
1 e 0 se )(
1 se 11 se 1
0 se 01 e 0 se )()(
xxxexp
xx
xxxxexp
x
x
Se <0 In questo caso la funzione potenza è definita come la composizione
delle funzioni potenza (sopra definite) ) ( e 1) ( , cioè:
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)(x := 1x xdom ) ( -{0}
Tabella 1
Dove si è posto:
I:=
11212M.C.Dcon }0{:, :
1212
0 )n,m.(NNmnnm
J:=
1122M.C.Dcon , :
122
0 )nm,.(NmNnn
m
K:=IJ
Ricordiamo che due numeri interi m,nN si dicono primi tra loro se M.C.D.(m,n)=1
e questo evidentemente equivale ad affermare che il rapporto m/n è ridotto ai minimi
termini (ovvero m e n non hanno divisori primi in comune diversi da 1). Si osserva
che le funzioni irrazionali sono casi particolari della funzione potenza. Facciamo
osservare inoltre che a partire dalla funzione potenza è possibile definire la funzione
modulo, come composizione della funzione 2/1) ( con la funzione 2) ( , cioè:
22/12: xxx xR
Proprietà
Sia b 0R -{1} e R, allora vale la seguente identità:
x= )(log xbb x 0R
1.4 Le funzioni trigonometriche. Le funzioni reciproche delle funzioni
trigonometriche. Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche
Si può dimostrare che esiste un'unica coppia di funzioni reali f,g:RR dette funzioni
circolari che soddisfano alle seguenti quattro proprietà:
(1) f2(x)+g2(x)=1 xR
(2) f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x) x,yR
(3) g(x+y)=g(x)g(y)–f(x)f(y) x,yR
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(4) 0R t.c. 0<f(x)<x<
)()(
xgxf x]0,[
Tali funzioni f e g esistono poiché le funzioni sin e cos introdotte in trigonometria
(mediante la circonferenza trigonometrica), soddisfano alle suddette proprietà. Si
dimostra che tali funzioni f e g sono uniche, cioè prese due funzioni h, k che
soddisfano alle quattro proprietà allora necessariamente deve essere che {f,g}={h,k}.
E pertanto le funzioni f e g rimangono univocamente determinate rispettivamente da
sin e cos.
Proprietà
1) sin e cos sono funzioni periodiche, di periodo 2
2) sin è una funzione dispari e cos è una funzione pari
3) 1)( xsin xR e 1)cos( x xR
Le ulteriori proprietà delle funzioni sin e cos sono mostrate nel capitolo 2.
Il grafico delle funzione sin nell’intervallo [0,2] è:
Figura 5
Il grafico delle funzione cos nell’intervallo [0,2] è:
/2 2
m
–
–m
+ 3/2 2– x
y
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Figura 6
Definiamo adesso la funzione:
tg:R-{k/2 : kZ}R con tg(x):=cos(x)
xsin )( xR-{k/2 : kZ}
detta funzione tangente.
Proprietà
1) tg è una funzioni periodica, di periodo
2) tg è una funzione dispari
Le ulteriori proprietà della funzione tg sono mostrate nel capitolo 2. Il grafico
delle funzione tg in [–/2, /2,] è:
/2
3/2 2–
m
+ –
–m
2 x
y
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Figura 7
Trattiamo adesso tre funzioni che si definiscono come reciproche
rispettivamente di sin, cos e tg. Consideriamo la funzione:
sec:R-{k : kZ}R con sec(x):=)cos(
1x
x R-{k : kZ}
detta funzione secante.
Proprietà
1) sec è una funzioni periodica, di periodo 2
2) sec è una funzione pari
Le ulteriori proprietà della funzione sec si ottengono a partire dalle proprietà della
funzione cos riportate di seguito e nel capitolo 2.
Consideriamo la funzione:
cosec:R-{/2+k : kZ }R con cosec(x):=)(
1xsin
xR-{/2+k : kZ }
detta funzione cosecante.
Proprietà
1) cosec è una funzioni periodica, di periodo 2
2) cosec è una funzione dispari
–/2 /2
–m
m
– x
y
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Le ulteriori proprietà della funzione cosec si ottengono a partire dalle proprietà
della funzione sin riportate di seguito e nel capitolo 2.
Consideriamo la funzione:
cotg:R-{k : kZ }R con cotg(x):=)()cos(
)(1
xsinx
xtg xR-{k : kZ}
detta funzione cotangente.
Proprietà
1) cotg è una funzioni periodica, di periodo
2) cotg è una funzione dispari
Le ulteriori proprietà della funzione cotg si ottengono a partire dalle proprietà
della funzione tg riportate di seguito e nel capitolo 2.
Relazione fondamentale
sin2()+cos2()=1
Periodicità delle funzioni trigonometriche
sin(+2k)=sin() ; cos(+2k)=cos() ; tg(+k)=tg()
Formule di addizione e sottrazione
sin( )=sin()cos() sin()cos()
cos( )=cos()cos() sin()sin()
)()(1)()()(
tgtgtgtgtg
Formule di duplicazione e di n-uplicazione
Facendo uso delle formule di addizione si ottengono le formule di duplicazione:
sin(2)=2sin()cos()
cos(2)=cos2()–sin2()=2cos2()–1=1– 2sin2()
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)(1)(2)2( 2
tgtgtg
Iterando il ragionamento, si ottengono le formule di n-uplicazione:
sin(n)=2sin((n–1))cos()–cos((n–2))
cos(n)=2cos((n–1))cos()–sin((n–2))
)())1((1)())1(()(
tgntgtgntgtg
Formule di bisezione
2
)cos(12
sin
2)cos(1
2cos
)cos(1)cos(1
2
tg con +k
Formule di prostafersi
sin()+sin()=2sin
2 cos
2
sin()–sin()=2sin
2 cos
2
cos()+cos()=2cos
2 cos
2
cos()–cos()=–2sin
2 sin
2
tg() tg()=)cos()cos(
)(
sin
Formule di Werner
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Dalle formule di prostafersi si ricavano facilmente le formule:
sin()sin()=21 [cos(–)–cos(+)]
cos()cos()=21 [cos(–)+cos(+)]
sin()cos()=21 [sin(+)–sin(–)]
cos()sin()=21 [sin(+)–cos(–)]
Espressione di una funzione trigonometrica mediante le altre
A partire dalla relazione fondamentale e dalla definizione di tangente ricavano
facilmente le relazioni riportate nella tabella che segue.
)(xsin )cos(x )(xtg
)(xsin = )(xsin )(cos1 2 x )(1
)(2 xtg
xtg
)cos(x = )(1 2 xsin )cos(x )(1
12 xtg
)(xtg = )(1
)(2 xsin
xsin
)cos()(cos1 2
xx
)(xtg
Tabella 2
Espressione delle funzioni trigonometriche mediante tg(x/2)
Le espressioni che seguono sono anche dette formule di parametrizzazione
razionale.
21
22
)(2 xtg
xtgxsin con x+2k con kZ
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21
21
)cos(2
2
xtg
xtgx con x+2k con kZ
21
22
)(2 xtg
xtgxtg con x+2k con kZ
Concludiamo questo paragrafo introducendo le inverse rispettivamente delle
funzioni sin, cos e tg opportunamente ristrette.
Consideriamo la funzione sin nell’intervallo [–/2,/2]:
Figura 8
Come si osserva dalla Figura 8 in tale intervallo sin è strettamente crescente e di
conseguenza su di esso è invertibile. Chiamiamo allora tale inversa arcoseno e la
denotiamo con arcsin, che è quindi definita in [–1,1] e a valori in [–/2,/2] cioè:
arcsin:[–1,1][–/2,/2]
Il grafico della funzione arcsin è:
x –/2
y
/2
x
y /2
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Figura 9
Consideriamo la funzione cos nell’intervallo [0,]:
Figura 10
Dalla Figura 10 si osserva che in tale intervallo cos è strett. decresc. e di conseguenza
su di esso è invertibile. Chiamiamo allora tale inversa arcocoseno e la denotiamo con
arccos, che è quindi una funzione definita in [–1,1] a valori in [0,] cioè:
arccos:[–1,1][0,]
Il grafico della funzione arccos è:
y
x
/2
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Figura 11
Consideriamo la funzione tg nell’intervallo [–/2,/2]. Come si osserva dalla Figura
7 in tale intervallo la funzione tg è strettamente crescente e di conseguenza su di esso
è invertibile. Chiamiamo allora tale inversa arcotangente e la denotiamo con arctg,
che è quindi una funzione definita in [–1,1] a valori in [–/2,/2] cioè:
arctg:[–1,1] [–/2,/2]
Il grafico della funzione arctg è:
Figura 12
y
x
/2
–/2
/2
x
y
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Posto y:= 21 x e z:= 21 x riportiamo nella seguente tabella le relazioni
che intercorrono tra le inverse delle funzioni trigonometriche: arcsin(x)= arccos(x)= arctg(x)=
x>0 x<0 x>0 x<0 x>0 x<0
–arcsin(–x) –arcsin(–x) –arcsin(x)+/2 –arcsin(x)+/2 arcsin(x/z) arcsin(x/z
–arcsin(y)+/2 arcsin(y)–/2 arcsin(–x)+/2 arcsin(–x)+/2 –arccos(x/z)+/2 –arccos(x/z)+/2
arccos(–x)–/2 arcccos(–x)–/2 arcsin(y) –arcsin(y)+ arccos(1/z) –arccos(1/z)
–arccos(x)+/2 –arccos(x)+/2 –arccos(–x)+ –arccos(–x)+ –arctg(–x) –arctg(–x)
arccos(y) –arcos(y) –arccos(y)+/2 arccos(y)+/2 –arctg(1/x)+/2 –arctg(1/x)–/2
arctg(x/y) arctg(x/y) –arctg(x/y)+/2 –arctg(x/y)+/2 –arctg(x)+/2 –arctg(x)+/2
1.5 Le funzioni iperboliche. Inverse delle funzioni iperboliche.
Consideriamo le seguenti due funzioni reali:
sinh:RR con sinh(x):=2
xx ee xR
cosh:RR con cosh(x):=2
xx ee xR
che sono dette rispettivamente seno iperbolico e coseno iperbolico. Come si evince
dalle proprietà che seguono e da altre che elencheremo alla fine del paragrafo, le
funzioni iperboliche sinh e cosh,, verificano molte relazioni simili a quelle delle
funzioni circolari sin e cos.
Proprietà
1) cosh2(x)–sinh2(x)=1 xR
2) sinh è una funzione dispari mentre cosh è una funzione pari
3) sinh(0)=0; sinh(x)>0 x>0 e sinh(x)<0 x<0; cod(sinh)=R ;sinh è strett- cresc.
4) cosh(0)=1; cosh(x)>1 xR0 ; cod(cosh)=[1,+[ ; cosh è strett. cresc. per x>0 e
strett. decresc. per x<0
Vediamo i grafici delle funzioni sinh e cosh. Il grafico della funzione sinh è:
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Figura 13
Il grafico della funzione cosh è:
Figura 14
Definiamo adesso la funzione:
tgh:RR con tgh(x):= xx
xx
eeee
cosh(x)xsinh
)( xR
detta funzione tangente iperbolica.
Proprietà
1) tgh è una funzione dispari
x
y
x
y
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2) tgh(0)=0; tgh(x)>0 x>0 e tgh(x)<0 x<0; cod(tgh)=]–1,1[ ; tgh è strett. cresc.
Il grafico della tangente iperbolica è:
Figura 15
Concludiamo questo paragrafo introducendo le inverse rispettivamente delle
funzioni sinh, cosh e tgh.
La funzione sinh è strettamente crescente e di conseguenza è invertibile.
Chiamiamo allora tale inversa settore seno iperbolico e la denotiamo con settsinh,
che è quindi una funzione definita in R a valori in R cioè:
settsinh:RR
Ci proponiamo di trovare l’espressione analitica del settsinh. Posto y=sinh(x):
y=2
xx ee
dobbiamo esprimere la x in funzione delle y. Poniamo t=ex (che è quindi una quantità
strettamente positiva) e otteniamo:
y=2
1 tt
segue:
t2–2yt–1=0
e quindi:
x
y 1
–1
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12 yyt
sostituendo t=ex, scartando la soluzione con il segno – (essendo la quantità al primo
membro positiva) e successivamente passando al logaritmo neperiano, otteniamo:
x= 1ln 2 yy
E quindi in definitiva:
settsinh(y)= 1ln 2 yy yR
per riferirci al piano Oxy possiamo scambiare x con y:
settsinh(x)= 1ln 2 xx xR
Il grafico di settsinh è:
Figura 16
La funzione cosh è strettamente crescente in R+ e di conseguenza è invertibile
in 0R . Chiamiamo allora tale inversa settore coseno iperbolico e la denotiamo con
settcosh, che è quindi una funzione definita in [1,+[ a valori in R+ cioè:
settcosh:[1,+[R+
Procedendo in maniera analoga al caso del settsinh, si trova che l’espressione
analitica del settcosh è:
settcosh(x)= 1ln 2 xx x[1,+[
x
y
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Il grafico di settcosh è:
Figura 17
La funzione tgh è strettamente crescente e di conseguenza è invertibile.
Chiamiamo allora tale inversa settore tangente iperbolico e la denotiamo con
setttgh, che è quindi una funzione definita in ]–1,1[ a valori in R cioè:
setttgh:]–1,1[R
Procedendo in maniera analoga al caso del settsinh, si trova che l’espressione
analitica del setttgh è:
setttgh(x)=
xx
11ln
21 x]–1,1[
Il grafico di setttgh è:
y
x
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Figura 18
Come suddetto le funzioni iperboliche soddisfano a proprietà analoghe a quelle
delle funzioni trigonometriche. In tale contesto ci limiteremo soltanto ad elencare tali
proprietà.
Formule di addizione e sottrazione per le funzioni iperboliche
sinh(x y)=sinh(x)cosh(y) sinh(x)cosh(y)
cosh(x y)=cosh(x)cosh(y) sinh(x)sinh(y)
Formule di duplicazione per le funzioni iperboliche
Facendo uso delle formule di addizione si ottengono le formule di duplicazione:
sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)
cosh(2x)=cosh2(x)–sinh2(x)=2cosh2(x)–1=1+ 2sinh2(x)
Formule di bisezione per le funzioni iperboliche
2
1)cosh(2
xxsinh ;
21)cosh(
2cosh
xx ;
1)cosh(1)cosh(
2
xxxtgh
Formule di prostafersi per le funzioni iperboliche
1 –1
y
x
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sinh(x)–sinh(y)=2sinh
2yx cosh
2yx
sinh(x)+sinh(y)=2sinh
2yx cosh
2yx
cosh(x)+cosh(y)=2cos
2yx cos
2yx
cosh(x)–cosh(y)=2sin
2yx sin
2yx
Formule di Werner per le funzioni iperboliche
Dalle formule di prostafersi si ricavano facilmente le formule:
sinh(x)cosh(y)=21 [sinh(x+y)–sinh(x–y)]
cosh(x)sinh(y)=21 [sinh(x+y)+sinh(x–y)]
cos(x)cos(y)=21 [cosh(x+y)+cosh(x–y)]
sin(x)sin(y)=21 [cosh(x+y)–cosh(x–y)]
Espressione di una funzione iperbolica mediante le altre
)(xsinh )cosh(x )(xtgh
)(xsinh = )(xsinh 1)(cosh 2 x )(1
)(2 xtgh
xtgh
)cosh(x = )(1 2 xsinh )cosh(x )(1
12 xtg
)(xtgh = )(1
)(2 xsinh
xsinh
)cosh(1)(cosh 2
xx
)(xtgh
Tabella 3
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Espressione delle funzioni iperboliche mediante tgh(x/2)
Le espressioni che seguono sono anche dette formule di parametrizzazione
razionale.
21
22
)(2 xtgh
xtghxsinh ;
21
21
)cosh(2
2
xtgh
xtghx ;
21
22
)(2 xtgh
xtghxtgh
1.6 Disuguaglianze notevoli delle funzioni elementari
Per la verifica delle seguenti disuguaglianze basta ricordare che se una funzione è
convessa (concava) allora la tangente in un punto sta sempre sotto (sopra) al grafico
della funzione.
1) ln(a)x+1<expa(x) xR
2) Se 0<a<1 allora (x–1)/ln(a)<loga(x) e se a>1 allora (x–1)/ln(a)>loga(x)
3) sin(x)<x x>0 e sin(x)>x x<0
4) tg(x)>x x>0 e tg(x)<x x<0
5) sinh(x)<x x>0 e sinh(x)>x x<0
6) tgh(x)>x x>0 e tgh(x)<x x<0
1.7 Tabella delle derivate e degli integrali delle funzioni elementari e delle
funzioni ad esse associate-
f=f(x) Df f dx
ax ln(a)ax )ln(a
a x
loga(x) xa)ln(1
)ln(ax [ln(x)–1]
sin(x) cos(x) –cos(x)
cos(x) –sin(x) sin(x)
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tg(x) )(cos
12 x
=1+tg2(x) –ln[cos(x)]
cosec(x) –)()cos(
2 xsinx ln[cosec(x)–cotg(x)]
sec(x) )(cos
)(2 x
xsin ln[sec(x)+tg(x)]
cotg(x) –)(
12 xsin
= –[1+cotg2(x)] ln[sin(x)]
arcsin(x) 21
1
x x arcsin(x)+ 21 x
arccos(x) –21
1
x x arccos(x)– 21 x
arctg(x) 211x
x arctg(x)–21 ln(1+x2)
sinh(x) cosh(x) cosh(x)
cosh(x) sinh(x) sinh(x)
tgh(x) )(cosh
12 x
=1–tg2(x) ln(cosh(x))
settsinh(x) 1
12 x
x settsinh(x)– 12 x
settcosh(x) 1
12 x
x settcosh(x)– 12 x
setttgh(x) 211x
x setttgh(x)+21 ln(1–x2)
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2 Richiami di trigonometria
2.1 Angolo improprio ridotto ad angolo proprio
Diciamo che un angolo (positivo o negativo) è proprio se non è superiore ad un
angolo giro (angolo d’ampiezza 2), in caso contrario l’angolo è detto improprio. Se
è un angolo proprio negativo, allora diciamo che l’angolo 2+ è il suo
corrispondente angolo proprio positivo (vedi Figura 19).
Figura 19
Premettiamo che dato un numero kR denotiamo con [k] la sua parte intera (ad
esempio [2.67]=2).
Sia un angolo improprio, diciamo allora riduzione ad angolo proprio di ,
l’angolo:
=–2m con m:=[/2]
quindi si può anche scrivere come:
=+2m
2+
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2.2 Angolo proprio ridotto al primo quadrante
La riduzione al primo quadrante di un angolo è l’angolo compreso tra 0 e /2, in
corrispondenza del quale le funzioni sin e cos assumono in valore assoluto lo stesso
valore rispetto all’angolo dato. E quindi se è un angolo proprio positivo, in base a
quanto detto la sua riduzione al primo quadrante è:
223 se 2
23 se
2 se
20 se
:
Se è un angolo improprio positivo la sua riduzione al primo quadrante è la
riduzione al primo quadrante, della sua riduzione ad angolo proprio.
Se è un angolo proprio negativo la sua riduzione al primo quadrante è la riduzione
al primo quadrante del suo corrispondente angolo proprio positivo 2+ (o
equivalentemente del suo opposto –).
Evidentemente se è un angolo proprio e è la sua riduzione allora:
223 se 2
23 se
2 se
20 se
2.3 Relazioni tra funzioni trigonometriche ed angoli particolari
Assegnato un angolo qualunque (proprio, improprio, negativo, …), diamo alcune
definizioni.
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Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è , ossia e –. In
corrispondenza a tali angoli si ha che:
sin(–)=sin()
cos(–)=–cos()
tg(–)=–tg()
In corrispondenza di angoli la cui differenza è , ossia e +. si ha che:
sin(+)=–sin()
cos(+)=–cos()
tg(+)=tg()
Due angoli si dicono esplementari se la loro somma è 2, ossia e 2–. In
corrispondenza a tali angoli si ha che:
sin(2–)=–sin()
cos(2–)=cos()
tg(2–)=–tg()
Si dicono angoli associati ad un dato angolo i seguenti tre angoli: l’angolo
supplementare, l’angolo che differisce di e l’angolo esplementare. Si osserva che in
corrispondenza degli angoli associati le funzioni sin e cos assumono lo stesso valore a
meno del segno cioè in valore assoluto. Quindi incidentalmente osserviamo che la
riduzione al primo quadrante si un angolo proprio positivo non è altro che il suo
angolo associato compreso tra 0 e /2.
Due angoli si dicono opposti se la loro somma è 0, ossia e –. In corrispondenza a
tali angoli si ha che:
sin(–)=–sin()
cos(–)=cos()
tg(–)=–tg()
Due angoli si dicono complementari se la loro somma è /2, ossia e /2–. In
corrispondenza a tali angoli si ha che:
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)cos(2
sin
)(2
cos sin
)(2
cotgtg
In corrispondenza di angoli la cui differenza è /2, ossia e /2+. si ha che:
)cos(2
sin
)(2
cos sin
)(2
cotgtg
2.4 Rappresentazione delle funzioni trigonometriche sulla circonferenza unitaria
Figura 20
Con riferimento alla Figura 20 valgono le seguenti identità:
sin()= AB ; cos()=OA ; tg()=CD
cosec()=OF ; sec()=OE ; cotg()=GH
O E
F
A
B
D
C
G H