Post on 07-Jul-2018
8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf
1/20
Bab 2. Fungsi dan Grafik Fungsi
Fungsi
Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat
aturan dimana nilai y (tunggal) mengkait nilai x.Contoh:
Definisi Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimanahimpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain) dan himpunansemua nilai y = f ( x) disebut daerah hasil (codomain) dari fungsi.
A B
f
Notasi f : A → B x y = f ( x)
Daerah asal Daerah hasil
8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf
2/20
Contoh: y=2x2+5
Fungsi y=f(x) adalah himpunan pasangan terurut ( x, y) sehingga x
dan y memenuhi:
x 0 1 -1 2 -2 … 10
y 5 7 7 13 13 205
Fungsi f memuat pasangan terurut (0,5);(1,7);(-1,7);(2,13);(-2,13);(10,205).
f memuat tak berhingga banyak pasangan terurut.
8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf
3/20
Catatan:
1. Himpunan A, B ϵ R
2. Fungsi: y = f ( x)
x
peubah bebas y
peubah tak bebas, bergantung pada x
3. Daerah asal fungsi: D f = A = { x | fungsi f terdefinisi}
4. Daerah hasil fungsi: R f = { y ϵ B | y = f ( x), x ϵ D f }
5. Grafik fungsi: {( x, y) | x ϵ D f , y = f ( x)) } y
y = f ( x)
y
R f
x x
D
f
Latihan 1:
Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian tentukandaerah asal dan dan daerah hasilnya.
1. y = 2 x + 1 2. y = x2 – 1
Beberapa penyajian fungsi
a. Secara verbal : dengan uraian
b. Secara numerik : dengan tabel
c. Secara visual : dengan grafik
d. Secara aljabar : dengan rumusan eksplisit
8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf
4/20
Contoh:
1. Secara verbal
Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w).
Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut.
Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampaisatu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan
sampai 5 ons.
2. Secara numerik
Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut.
Berat w (ons) Biaya B(w) (rupiah)
0 < w ≤ 1 1.000
1< w ≤ 2 1.250
2 < w ≤ 3 1.500
3 < w ≤ 4 1.750
4 < w ≤ 5 2.000
3. Secara visual
Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut.
Rupiah B
R 2.000
p
i 1.500
h 1.000
w 0 1 2 3 4 5
Ons
8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf
5/20
4. Secara aljabar Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut. 1.000, jika 0 w 1
1.250, jika 1 w 2
jika 2 w 3 w . , 1.750, jika 3 w 4
jika 4 w 5 2.000,
Jenis-jenis Fungsi
1. Fungsi linear
Bentuk umum: y = f ( x) = ax + b, a dan b konstanta
a = kemiringan garis b = perpotongan garis dengan sumbu- y
Daerah asal dan daerah hasil: D f = R , R f =R
Grafik: y
y = ax + b
b
x
2. Polinomial
Bentuk umum:
y = P ( x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a2 x2 + a1 x + a0
dimana: an, an-1, …, a1, a0 = konstanta,
n = derajat polinom
Daerah asal: D = R
8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf
6/20
Grafik:
Polinom derajat 2:
y y = P ( x)
c x a < 0, D > 0
y = P ( x) = ax2 + bx + c, D = b
2 - 4ac,
Titik puncak (x p,y p)=(-b/2a,P(x p)).
R f : dari D dan titik puncak.
y y
x x
c y = P ( x) c y = P ( x)
a < 0, D = 0 a < 0, D < 0
y y y = P ( x)
y = P ( x) y = P ( x) c c
c
x x x
a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D < 0
Latihan 2:
Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut.
1. y = x2 + 2 x - 1 2. y = -2 x2 + 2 x - 4
3. Fungsi pangkat
Bentuk umum: y = f ( x) = xn ,n є
Daerah asal: D = R Grafik:
y y = x y
= x2 y = x3
0 x x x
0
8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf
7/20
4. Fungsi akar
Bentuk Umum: y f ( x ) n
x , n 2,3, 4,... Daerah asal dan daerah hasil:
D f = R f = [0, ∞), jika n genap
D f = R f = R, jika n ganjil
Grafik: y y
y 2 x
y
3 x
0
x
0
x
Latihan 3 : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut
1. y x 1 2. y x 2 2 x 2
5. Fungsi kebalikan
Bentuk umum: y 1
, x 0 x Daerah asal dan daerah hasil: D = R \{ 0}, Rf = R\{0}
Grafik : y
y 1
x
0 x
8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf
8/20
6. Fungsi rasional
Bentuk umum: P ( x)
dimana: P , Q adalah polinom Q( x)
Daerah asal: D f = R \{ x | Q( x) = 0}
Latihan 4:
Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut
1. y x 1
2. y
x 2
x 1 x 1
7. Fungsi aljabar
Definisi:
Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat
dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu:
penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan
penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.
Contoh:
x 1 + ( x - 2) f ( x)
x 1 Catatan:
Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar,
fungsi balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar .
8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf
9/20
8. Fungsi trigonometri
8.1 Fungsi sinus Bentuk umum: y = f ( x) = sin x, x dalam radian
Daerah asal dan daerah hasil: D =R, R = [-1,1] Grafik: Y
1 y = sin x
-2π -π π 2π 0 -1
8.2 Fungsi cosinus
x
Bentuk umum:
Daerah asal dan
Grafik:
y = f ( x) = cos x, x dalam radian
daerah hasil: D f =R, R f = [-1,1]
Y
1 y = cos x
π -π
-2π 0 2π
-1
x
8.3 Fungsi tangen
Bentuk umum: y f ( x ) tan x, x dalam radian
Daerah asal : D f =R\{π/2 + nπ | n ϵ Z}Daerah hasil: R f =R
8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf
10/20
Grafik: y
y = tan x
1
x -2π -π 0 π 2π
-
8.4 Fungsi trigonometri lainnya
Bentuk umum: 1
a. y
f ( x )
sec x
, x dalam radian cos x
b. y f ( x ) cosec x 1 , x dalam radian sin x
c. y f ( x ) cot x 1 , x dalam radian tan x
Latihan (PR)
Gambarkan grafik fungsi sec x, cosec x, dan cot x.
8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf
11/20
8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri
a. -1≤ sin x ≤ 1
c. sin x = sin ( x + 2π)
e. tan x = tan ( x + π)
b. -1 ≤ cos x ≤ 1
d. cos x = cos ( x + 2π
)
8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf
12/20
9. Fungsi eksponensial
Bentuk umum: y = f ( x) = a x
, a > 0
Daerah asal dan daerah hasil: D =R, R =(0,∞)
Grafik: y y
y = a x
, a > 1 y = a x
, 0 0
Daerah asal dan daerah hasil: D f = (0, , R = R
Grafik: y
1 y = loga x
x 0 1
8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf
13/20
11. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong( piecewise function)
Definisi:
Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalahfungsi dengan aturan-aturan, dimana setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal.
Contoh: y
x 0 y = | x|
x 1. f ( x ) | x |
x x 0 1
x
- 1 0 1
2. Definisikan f(x)=bilangan bulat terbesar yang lebih kecil
atau sama dengan x. y 0 0 x 1 y = f ( x)
1
x
2 3
f ( x) = 2 x 3
2
1
3 3 x 4 0 1 2 3 4
8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf
14/20
Latihan 5:
x 0 x 1
x 1 x 2 f ( x ) 2
x ≥ 2 0
Tentukan:
1. Range f
2. Grafik fungsi f.
8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf
15/20
12. Fungsi genap dan fungsi ganjil
Definisi: [Fungsi genap]
Jika fungsi f memenuhi f (-x) = f ( x) untuk setiap x didalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap. y
f ( x) y = f ( x)
x -x x\
Catatan:
Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu- y.
8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf
16/20
Definisi: [Fungsi ganjil] Jika fungsi f memenuhi f (-x) = -f ( x) untuk setiap x di dalam
daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil.
y
y = f ( x) f ( x)
-x x x
-f ( x)
Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.
Latihan 6:
Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau
fungsi ganjil atau bukan kedua-duanya.
1. f ( x) = 1 - x4
2. f ( x) = x + sin x 3. f ( x) = x
2 + cos x 4. f ( x) = 2 x - x
2
8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf
17/20
13. Fungsi naik dan fungsi turun
Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika
( x1)
8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf
18/20
OPERASI FUNGSI ALJABAR
Definisi:
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal D f dan
D g . Fungsi f+g , f-g , fg dan f / g didefinisikan sebagai berikut
1. ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x)
2. ( f - g )( x) = f ( x) - g ( x)
3. ( fg )( x) = f ( x) g ( x)
4. ( f / g )( x) = f ( x)/ g ( x)
D f + g , D f - g , D fg = D f ∩ D g
/ = { D ∩ }\{ x | g(x)= 0}
Latihan 8: Tentukan f+g , f-g , fg dan f / g beserta daerah asalnya, jika
1. f ( x) x2
g ( x) x
2. f ( x) g ( x) 1 x 1 x
8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf
19/20
Fungsi invers
Definisi:Diberikan fungsi f: XY. Invers (kebalikan) fungsi fadalah relasi g dari Y ke X.
Note: Invers suatu fungsi belum tentu merupakan suatufungsi.
Jika f: XY merupakan korespondensi 1-1, maka inversf juga merupakan fungsi, dinotasikan dengan f -1.
Jadi, x = f -1(y) y = f(x)dengan Df
-1 = R f dan R f -1 = Df
Latihan 9:
Tentukan f -1 dari f(x)=1 – (x-1)/(3x+2)
8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf
20/20
Fungsi komposisi
Definisi:
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal D f dan
D g . Fungsi komposisi f o g didefinisikan sebagai berikut:
( f o g )( x) = f ( g ( x))
dimana D f o g = { x ϵ D g | g(x) ϵ D f }
D g R D f R
a g (a)
x g ( x) f ( g ( x))
f ° g
Latihan 10:
Tentukan f o g , g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika
1. f ( x ) x 2
g ( x ) x
2. f ( x ) 1 g ( x ) x 1 x