Física CuánticaPartículas idénticas.Jose Manuel Lopez y Luis Enrique Gonzalez

Universidad de Valladolid

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Partículas idénticas• ¿ Qué son varias partículas idénticas?

Las que tienen las mismas propiedadesintrínsecas:masa, carga, spin.

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Partículas idénticas• ¿ Qué son varias partículas idénticas?

Las que tienen las mismas propiedadesintrínsecas:masa, carga, spin.

• ¿Cómo se trata el problema clásicamente?Se distinguen segun su estado (posición yvelocidad) en un instante determinado.

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Partículas idénticas• ¿ Qué son varias partículas idénticas?

Las que tienen las mismas propiedadesintrínsecas:masa, carga, spin.

• ¿Cómo se trata el problema clásicamente?Se distinguen segun su estado (posición yvelocidad) en un instante determinado.

• Cuánticamente no se puede hacer lo mismo:Por ejemplo, si en una zona del espacio laprobabilidad de encontrar dos partículas idénticases no nula, entoncesno podemos decir medianteun experimento cual de las dos se ha detectado.

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Choque entre 2 partículas idén-ticas en el sistema CMInicialmente estan bien separadas y puedenetiquetarse (1) y (2)

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Choque entre 2 partículas idén-ticas en el sistema CMInicialmente estan bien separadas y puedenetiquetarse (1) y (2)Durante el choque sus paquetes de onda solapan.

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Choque entre 2 partículas idén-ticas en el sistema CMInicialmente estan bien separadas y puedenetiquetarse (1) y (2)Durante el choque sus paquetes de onda solapan.Finalmente una de ellas es detectada en D.Necesariamente la otra irá en el sentido contrario,debido a la conservación del momento.

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Tenemos 2 posibilidades que nos describen el estadomedido:

¿Cual es la correcta, la (a), la (b), determinadacombinación lineal de ambas?¡No puede decidirse!

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Otro ejemplo:Dos partículas idénticas de spin 1/2.

Sabemos que si efectuamos una medida completa del sistema

conocemos cual es el estado del sistema después de esa medida.

Medimos la componente z del spin de las dos partículas y

obtenemos como resultado que una tiene como valor propio~/2

y la otra−~/2. En el espacio de estados totalε = ε1 ⊗ ε2 existen

dos estados que corresponden a esa medida|+,− > y |−,+ >,

por tanto el estado del sistema será

|Φ >= α|+,− > +β|−,+ >︸ ︷︷ ︸

(∗)

con |α|2 + |β|2 = 1

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Otro ejemplo:Dos partículas idénticas de spin 1/2.

Sabemos que si efectuamos una medida completa del sistema

conocemos cual es el estado del sistema después de esa medida.

Medimos la componente z del spin de las dos partículas y

obtenemos como resultado que una tiene como valor propio~/2

y la otra−~/2. En el espacio de estados totalε = ε1 ⊗ ε2 existen

dos estados que corresponden a esa medida|+,− > y |−,+ >,

por tanto el estado del sistema será

|Φ >= α|+,− > +β|−,+ >︸ ︷︷ ︸

(∗)

con |α|2 + |β|2 = 1

El hecho de que las dos partículas sean idénticas introduce la

DEGENERACI ON DE INTERCAMBIO .

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Medimos ahora sobre el estado (*)S1x y S2x.

¿ Qué probabilidad tenemos de encontrar el valor~/2 y ~/2?

Recordemos:

|+ >x=1√2

(|+ > +|− >)

por tanto

|+, + >x= |+ >x ⊗|+ >x=1

2(|+, + > +|+,− > +|−, + > +|−,− >)

P(↑x, ↑x) = |x < +,+|Φ > |2 = |12(α+ β)|2

¡¡¡ No son equivalentes todos los estados !!!Esto hace necesario añadir un nuevo postulado a los ya

explicados anteriormente:

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Postulado 6 (de simetrización)

Cuando en un sistema aparecen varias partículas idén-ticas solamente ciertos kets del espacio de estados rep-resentan estados físicamente aceptables (EFA):

• Los kets completamente antisimétricos respectoal intercambio de de partículas (fermiones)

• Los kets completamente simétricos respecto al in-tercambio de partículas (bosones).

Además, se ha observado experimentalmente que:• Las partículas con spin semientero (s = 1

2, 3

2, · · ·)

son fermiones.• Las partículas con spin entero (s = 0, 1, 2, · · ·)

son bosones.Curso 2004-2005 – p. 7/18

¿ Cómo se simetriza o anti-simetriza un estado?

N partículas idénticas que podemos situar en|u1 >, |u2 >, . . . |uN > estados monoparticulares.

1. Asignamos a cada partícula un número y un estadoy en el espacioε = ε1 ⊗ ε2 ⊗ · · · ⊗ εN formamos elproducto tensorial de todos los de las N partículas:

|ψ123···N >= |1 : u1, 2 : u2, 3 : u3, · · · , N : uN >== |1 : u1 > ⊗|2 : u2 > ⊗ · · · ⊗ |N : uN >

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2. Formamos los estados obtenidos mediantetodaslas posibles permutaciones de los números asignadosa cada partícula.

Por ejemplo:|ψ213···N >= |2 : u1, 1 : u2, 3 : u3, · · · , N : uN >, |ψ231···N >, |ψ132···N >, · · ·

3a. Para bosones→ simetrizamos:Sumamos todos los estados obtenidos anteriormente ynormalizamos.

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3b. Para fermiones→ antisimetrizamos:

Multiplicamos cada estado por la paridad de su permutación(1

para permutaciones pares, -1 para permutaciones impares),

sumamos los resultados y normalizamos. El resultado final es

equivalente al llamadodeterminante de Slater:

|EFA >=1√N !

∣∣∣∣∣∣∣∣

|1 : u1 > |1 : u2 > · · · |1 : un >

|2 : u1 > |2 : u2 > · · · |2 : uN >

......

......

|N : u1 > |N : u2 > · · · |N : uN >

∣∣∣∣∣∣∣∣

Consecuencia: dos fermiones no pueden estar en el mismo

estado cuántico: si|ui >= |uj > entonces|EFA >≡ 0

Este es el principio de exclusión de Pauli generalizado.

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Medidas para 2 partículas idén-ticasConsideremos un sistema de 2 partículas, una de ellasen el estado|ϕ > y la otra en el estado|χ > (quesupondremos ortogonales).

Sobre el sistema efectuamos una medida de unamagnitud monoparticularB. Supongamos que losautovalores del operador asociadoB forman unconjunto discreto y son no degenerados(B|ui >= bi|ui >).

Queremos calcular la probabilidad de que la medidadeB seabn para una partícula ybm para la otra.

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Caso a: resultados distintosn 6= m (bn 6= bm, |un >6= |um >

(1) Si se trata de partículas distinguibles (“clásicas")entonces podemos tomar como estado del sistema el|1 : ϕ, 2 : χ >,y dos posibilidades distintas de obtenerbn y bm, asaber,|1 : un, 2 : um > y |1 : um, 2 : un >.

La probabilidad pedida será por tanto la suma de lascorrespondientes a las 2 posibilidades:

Pc = |< 1 : un, 2 : um|1 : ϕ, 2 : χ >|2 + |< 1 : um, 2 : un|1 : ϕ, 2 : χ >|2 =

= |< un|ϕ >< um|χ >|2 + |< um|ϕ >< un|χ >|2

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(2) Si las partículas son idénticas tendremos(signo + para bosones, signo - para fermiones):

El estado del sistema será|ϕ;χ >±= 1√

2(|1 : ϕ, 2 : χ > ±|1 : χ, 2 : ϕ >)

El estado propio asociado a obtener los resultadosbn, bm:|un;um >±= 1√

2(|1 : un, 2 : um > ±|1 : um, 2 : un >)

Y la probabilidad pedida es el modulo al cuadrado desu producto interno:P = |± < un;um|ϕ;χ >±|2

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Haciendo las cuentas se obtiene:

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Haciendo las cuentas se obtiene:

Pc = | < un|ϕ >< um|χ > |2 + | < um|ϕ >< un|χ > |2

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Haciendo las cuentas se obtiene:

Pc = | < un|ϕ >< um|χ > |2 + | < um|ϕ >< un|χ > |2Pf = | < un|ϕ >< um|χ > − < um|ϕ >< un|χ > |2

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Haciendo las cuentas se obtiene:

Pc = | < un|ϕ >< um|χ > |2 + | < um|ϕ >< un|χ > |2Pf = | < un|ϕ >< um|χ > − < um|ϕ >< un|χ > |2Pb = |< un|ϕ >< um|χ >

︸ ︷︷ ︸

término directo

+< um|ϕ >< un|χ >︸ ︷︷ ︸

de intercambio

|2

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Caso b: mismo nivel

n = m (bm = bn, |um >= |un >)

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Caso b: mismo nivel

n = m (bm = bn, |um >= |un >)

(1) Distinguibles: Estado del sistema|1 : ϕ, 2 : χ >;estado asociado a la medida|1 : un, 2 : un >.

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Caso b: mismo nivel

n = m (bm = bn, |um >= |un >)

(1) Distinguibles: Estado del sistema|1 : ϕ, 2 : χ >;estado asociado a la medida|1 : un, 2 : un >.

(2) Bosones: Estado del sistema|ϕ;χ >+; estadoasociado a la medida|un;un >+≡ |1 : un, 2 : un >.

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Caso b: mismo nivel

n = m (bm = bn, |um >= |un >)

(1) Distinguibles: Estado del sistema|1 : ϕ, 2 : χ >;estado asociado a la medida|1 : un, 2 : un >.

(2) Bosones: Estado del sistema|ϕ;χ >+; estadoasociado a la medida|un;un >+≡ |1 : un, 2 : un >.

(3) Fermiones: Estado del sistema:|ϕ;χ >−; estadoasociado a la medida|un;un >−≡ 0 (principio deexclusion).

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Haciendo las cuentas resulta

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Haciendo las cuentas resulta

Pc = | < un|ϕ >< un|χ > |2

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Haciendo las cuentas resulta

Pc = | < un|ϕ >< un|χ > |2Pf = 0

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Haciendo las cuentas resulta

Pc = | < un|ϕ >< un|χ > |2Pf = 0

Pb = 2 | < un|ϕ >< un|χ > |2

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Haciendo las cuentas resulta

Pc = | < un|ϕ >< un|χ > |2Pf = 0

Pb = 2 | < un|ϕ >< un|χ > |2

Comparado con el caso "clásico", la probabilidad deque el niveln se ocupe por segunda vezaumenta (aldoble) en el caso de bosonesy disminuye (a cero) enel caso de fermiones.

Esto tiene importantes consecuencias en la MecánicaEstadística Cuántica.

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N partículas idénticas indepen-dientesIndependientes≡ no interactuantes (que nointeraccionan entre sí). Más concretamente, elhamiltoniano del sistema puede escribirse como

H(1, 2, · · · , N) = h(1) + h(2) + · · · + h(N)

Particulas identicas⇒ H(1, · · · , N) es simétricorespecto al etiquetado de las partículas.En el caso de partículas independientes implica quetodos losh(i) son iguales.

Los estados y energías propias deH enε = ε1 ⊗ · · · ⊗ εN vienen determinados por los deh(j) enεj: h|ϕn >= en|ϕn >

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Bosones:

Estados propios:

|Φn1,n2,···,nN>= SIM [|1 : ϕn1

, 2 : ϕn2, · · · , N : ϕnN

>]

Energías:En1,n2,···,nN= en1

+ en2+ · · · + enN

Estado fundamental≡energía más baja:E1,1,···,1 = Ne1

Fermiones:

|Φn1,n2,···,nN>= SLATER[|1 : ϕn1

>, |2 : ϕn2>, · · · , |N : ϕnN

>]

pero sólo los permitidos por el principio de exclusion.

En1,n2,···,nN= en1

+ en2+ · · · + enN

Estado fundamental≡energía más baja:Se van llenando los

nivelesei más bajos respetando el principio de exclusion. Laei

más alta alcanzada se denominaEnergía de Fermi

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