FIR i IIR filtarske strukture

Digitalna obradba signala

2

SadržajSadržaj

FIR strukture direktna realizacija transponirana realizacija FIR filtri linearne faze kaskadna realizacija

IIR strukture direktne I i II realizacije transponirana direktna II realizacija kaskadna realizacija paralelna realizacija

3

Filtarske struktureFiltarske strukture

konvolucijska sumacija može biti korištena u realizaciji diskretnih vremenski stalnih linearnih sustava (LTI – linear time invariant)

neprikladna za IIR filtre zbog beskonačne duljine impulsnog odziva

realizacija IIR filtara se temelji na izravnoj implementaciji jednadžbe diferencija odnosno prijenosne funkcije

4

Filtarske struktureFiltarske strukture

ulazno izlazni model IIR filtra pretpostavlja konačnu sumu produkata

s druge strane, FIR filtri se mogu realizirati konvolucijskom sumacijom koja je konačna suma produkata

1 0

[ ] [ ] [ ]N M

m mm m

y n a y n m b u n m

0

[ ] [ ] [ ]N

m

y n h m u n m

5

Filtarske struktureFiltarske strukture

realizacija LTI digitalnih filtara može biti, ovisno o primjeni, programska ili sklopovska

u oba slučaja vrijednosti uzoraka signala i vrijednosti filtarskih koeficijenata prikazuju se s konačnom preciznosti

6

međutim, direktna implementacija digitalnih filtara temeljena bilo na jednadžbi diferencija bilo na konačnoj konvolucijskoj sumaciji često može rezultirati nezadovoljavajućim performansama zbog aritmetike konačne preciznosti

od praktičnog je interesa razviti alternativne realizacije i izabrati strukture koje daju zadovoljavajuće performanse uz aritmetiku konačne preciznosti

Filtarske struktureFiltarske strukture

7

strukturalni prikaz pomoću elementarnih blokova - blok dijagram - je prvi korak u sklopovskoj ili programskoj realizaciji LTI digitalnih filtara

blok dijagram omogućava dobar uvid o odnose unutarnjih varijabli te ulaza i izlaza

Filtarske struktureFiltarske strukture

8

Elementi blok dijagramaElementi blok dijagrama računalne algoritme za realizaciju digitalnih

filtara moguće je pogodno prikazati pomoću blok dijagrama koristeći elementarne gradivne blokove

Au[n] y[n]u[n] y[n]

w[n]

y[n]1zu[n]

x[n] x[n]

x[n]

zbrajalo

element za kašnjenje

množilo s konstantom

čvor račvanja

9

Blok dijagramiBlok dijagrami

prednosti prikaza sustava pomoću blok dijagrama

(1) jednostavno je napisati računalni algoritam uvidom u blok dijagram

(2) jednostavno je analizirati blok dijagram kako bi se odredio eksplicitni odnos ulaza i izlaza

10

Blok dijagramiBlok dijagrami

(3) jednostavan je preustroj blok dijagrama kako bi se izgradio “ekvivalentni” blok dijagram koji vodi na različite računalne algoritme

(4) jednostavno je definirati zahtjeve na sklopovlje za realizaciju

(5) jednostavno je razviti prikaze blok dijagrama izravno iz prijenosne funkcije

11

Problem petlji bez elemenata za kašnjenjeProblem petlji bez elemenata za kašnjenje

fizička realizacija filtarskih struktura je nemoguća ako postoje petlje u blok dijagramu koje ne sadrže elemente za kašnjenje

ilustrirajmo ovaj problem na slijedećem primjeru

12

Problem petlji bez elemenata za Problem petlji bez elemenata za kašnjenjekašnjenje

analiza ove strukture vodi na

što kombinacijom rezultira u

izračunavanje trenutne vrijednosti y[n] zahtjeva poznavanje iste vrijednosti

][][][ nynwnu ])[][(][ nAunvBny

])[][(][][ nynwAnvBny

13

ovo je fizički nemoguće postići zbog konačnog vremena potrebnog za izvođenje aritmetičkih operacija na digitalnom računalu

potrebno je detektirati postojanje takvih petlji o nekoj strukturi i odgovarajućim postupkom ih ukloniti ne narušavajući ukupne ulazno izlazne odnose

Problem petlji bez elemenata za kašnjenjeProblem petlji bez elemenata za kašnjenje

14

uklanjanje se postiže zamjenom dijela strukture s ekvivalentnom realizacijom koja ne sadrži petlju bez elemenata za kašnjenje

primjer jedne takve realizacije

Problem petlji bez elemenata za kašnjenjeProblem petlji bez elemenata za kašnjenje

])[][(][][ nynwAnvBny 1[ ] [ ] [ ] [ ]

1y n w n w n Bv n

AB

15

Ekvivalentne struktureEkvivalentne strukture

dvije su strukture digitalnog filtra ekvivalentne ako imaju istu prijenosnu funkciju

postoji niz metoda za generaciju ekvivalentnih struktura

vrlo je koristan postupak generiranja ekvivalentne strukture tzv. postupkom transponiranja izvorne strukture

16

Ekvivalentne struktureEkvivalentne strukture

Postupak transponiranja blok dijagrama

(1) okrenuti sve tokove signala

(2) zamijeniti sve čvorove račvanja sa zbrajalima i obrnuto

(3) zamijeniti ulazni i izlazni čvor sve ostale metode za gradnju ekvivalentnih

struktura temelje se na specifičnom algoritmu za svaku strukturu

17

Ekvivalentne struktureEkvivalentne strukture

postoji zapravo beskonačan broj ekvivalentnih struktura koje realiziraju istu prijenosnu karakteristiku

zato je nemoguće razviti sve ekvivalentne realizacije

ovdje ćemo se ograničiti samo na najčešće korištene strukture

18

Ekvivalentne struktureEkvivalentne strukture

korištenjem aritmetike beskonačne preciznosti bilo koja realizacije digitalnih filtara ponašala bi se identično za bilo koju ekvivalentnu strukturu

međutim, u praksi, zbog konačne duljine riječi , specifična realizacija se može ponašati potpuno drugačije od svoje ekvivalente realizacije

19

Ekvivalentne struktureEkvivalentne strukture važno je stoga izabrati strukturu koja

pokazuje najmanju osjetljivost na efekte kvantizacije u slučaju korištenja aritmetike konačne preciznosti

očigledan pristup u pronalaženju takve strukture temelji se na analizi utjecaja konačne duljine riječi i aritmetike konačne preciznosti za veliki broj ekvivalentnih struktura čime je omogućen izbor najpovoljnije

20

Pojednostavljeno crtanje blok Pojednostavljeno crtanje blok dijagramadijagrama

u2[n]

z-1

u[n]

u1[n]

y[n]= u1[n]+ u2[n]

a y[n]= au[n]

u[n] y[n]= u[n-1]

u2[n]

u[n]

u1[n]

y[n]= u1[n]+ u2[n]

a y[n]= au[n]

u[n] y[n]= u[n-1] z-1

21

Direktna realizacija FIR filtraDirektna realizacija FIR filtra

M

mm mnuhny

0

][][

z-1 z-1

h1 h2

z-1

h3 h0

u[n]

hM-1

z-1

hM

y[n]

22

Transponirana strukturaTransponirana struktura

]2[]1[][][][ 210

2

0

nuhnuhnuhmnuhnym

m

][]1[]2[][ 012 nuhnuhnuhny

z-1 z-1

h1 h2

h0

u[n]

y[n]

z-1 z-1

h1 h2

h0

u[n]

y[n]

z-1 z-1

h1 h0

h2

u[n]

y[n]

23

Transponirana strukturaTransponirana struktura

z-1 z-1

h M-1 hM-2

z-1

hM-3 hM

u[n]

h1

z-1

h0

y[n]

24

Strukture za FIR filtre linearne fazeStrukture za FIR filtre linearne faze

4 tipa FIR filtara linearne faze

Tip I: h[n] = h[M-n] 0 n M, M je paran

Tip II: h[n] = h[M-n] 0 n M, M je neparan

Tip III: h[n] = -h[M-n] 0 n M, M je paran

Tip IV:h[n] = -h[M-n] 0 n M, M je neparan

25

Strukture za FIR filtre linearne fazeStrukture za FIR filtre linearne faze

za tipove I i III možemo pisati:

M

m

mnumhny0

][][][

M

Mm

MM

M

m

mnumhnuhmnumh1

2

22

1-2

0

][][][][][][

1

2

022

12

0

][][][][][][][-

M

m

MM

-M

m

mMnumMhnuhmnumhny

*

1

2

0

0

12

11 ][][][][

1

M

mMm

mMnumMhmMnumMh

* uvodimo zamjenu m1 =M-miz čega slijedi:

26

Strukture za FIR filtre linearne fazeStrukture za FIR filtre linearne faze

za Tip I vrijedi: h[n] = h[M-n], M je paran

]2

[]2

[]}[][]{[][1

2

0

Mnu

MhmMnumnumhny

-M

m

za Tip III vrijedi: h[n] = -h[M-n], M je paran

1

2

0

]}[][]{[][-

M

m

mMnumnumhny0]

2

M[ h

1

2

0

12

0

][][]2

[]2

[][][][

-M

m

-M

m

mMnumMhM

nuM

hmnumhny

27

Strukture za FIR filtre linearne fazeStrukture za FIR filtre linearne faze

za Tip II vrijedi: h[n] = h[M-n], M je neparan

]}[][{][][2

1

0

mMnumnumhny

M-

m

za Tip IV vrijedi: h[n] = -h[M-n], M je neparan

][][{][][2

1

0

mMnumnumhny

M-

m

28

Strukture za FIR filtre linearne fazeStrukture za FIR filtre linearne faze

M paran

M neparan

z-1 z-1

h1 h2

h0

u[n]

hM/2-1

z-1

hM/2

y[n]

z-1 z-1 z-1

z-1 z-1

h1 h2

h0

u[n]

h(M-3)/2

z-1

h(M-1)/2

y[n]

z-1 z-1 z-1 z-1

29

Kaskadna realizacija FIR filtaraKaskadna realizacija FIR filtara

razbijanje transfer funkcije H[z] na sekcije drugog reda

M

n

nznhzH0

][][

s

m

zzM

1

22m

11m0m )bb(b

gdje je Ms najveći cijeli broj sadržan u (M+1)/2

uMs[n] yMs-1[n]

H1(z) H2(z) HMs(z) u[n] = u1[n]

u3[n] u2[n] y1[n] y2[n] yMs[n]

30

Kaskadna realizacija FIR filtaraKaskadna realizacija FIR filtara

realizacija2

2m1

1m0m bbb)(H zzzm

]2[b]1[b][b][y 2m1m0m nununun mmmm

z-1

b0m um[n]

) ym[n]

b1m

b2m

z-1

31

Kaskadna realizacija FIR filtaraKaskadna realizacija FIR filtara

pa je izgled cijele strukture:

z-1

b01 u[n]

b11

b21

z-1

z-1

b02

b12

b22

z-1

z-1

b0Ms y[n]

b1Ms

b2Ms

z-1

32

Polifaznna realizacija FIR filtaraPolifaznna realizacija FIR filtara

polifazna dekompozicija H(z) – paralelna struktura postupak dekompozicije za kauzalni FIR filtar reda M=8

8765

4321

8765+

4321]0[

zhzhzhzh

zhzhzhzhhzH

)7531(

)8642]0[(7531

8642

zhzhzhzh

zhzhzhzhhzH

izvršimo grupiranje na slijedeći način:

33

Polifaznna realizacija FIR filtaraPolifaznna realizacija FIR filtara

2 4 6 8

1 2 4 6

[0] 2 4 6 8

1 3 5 7

H z h h z h z h z h z

z h h z h z h z

uvođenjem notacije:

8642]0[ 43210

zhzhzhzhhzE

3211 7531 zhzhzhhzE

možemo pisati:

)()()( 21

120 zEzzEzH

34

Polifaznna realizacija FIR filtaraPolifaznna realizacija FIR filtara

izvršimo li grupiranje na slijedeći način:

)852(

)741(

)63]0[(

632

631

63

zhzhhz

zhzhhz

zhzhhzH

uvođenjem notacije: 21

0 63]0[ zhzhhzE

211 74]1[ zhzhhzE

212 85]2[ zhzhhzE

slijedi:

32

231

130)( zEzzEzzEzH

35

Polifaznna realizacija FIR filtaraPolifaznna realizacija FIR filtara

prikazana dekompozicija H(z) naziva se polifazna dekompozicija

u općem slučaju polifazna dekompozicija na L grana je oblika

)()(1

0

L

m

Lm

m zEzzH

gdje je

0

( ) [ ] za 0 1

cjelobrojna vrijednost od

ML

nm

n

M ML L

E z h Ln m z m L

36

Polifaznna realizacija FIR filtaraPolifaznna realizacija FIR filtara

u[n] y[n]

z-1

z-1

E0(z3)

E1(z3)

E2(z3)

+

+u[n] y[n]

z-1

E0(z2)

E1(z2)

+

37

Polifaznna realizacija FIR filtara Polifaznna realizacija FIR filtara

u[n] y[n]E0(z3)

E1(z3)

E2(z3)

<<

<<

<<

<<

<

u[n]y[n]E0(z3)

E1(z3)

E2(z3)

<<

<<

<<

<<

<

u[n] y[n]E0(z3)

E1(z3)

E2(z3)

<

<

transponirana struktura

z-1

z-1

z-1

z-1

38

u[n] y[n]

z-1

z-1

E0(z3)

E1(z3)

E2(z3)

+

+

y[n]E0(z3)

E1(z3)

E2(z3)

<<

<<

<<

<<

< y[n]E0(z3)

E1(z3)

E2(z3)

<

z-1

z-1

u[n]

Polifaznna realizacija FIR filtaraPolifaznna realizacija FIR filtara

39

Polifaznna realizacija FIR filtaraPolifaznna realizacija FIR filtara

u[n]

h[0]

h[3]

h[6]

h[1]

h[4]

h[7]

h[2]

h[5]

h[8]

z-3z-3< < < <

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

z-1<

<<

z-1

y[n]

40

Realizacija IIR filtaraRealizacija IIR filtara

Z transformacijom pišemo prijenosnu funkciju:

M

mm

N

mm mnubmnyany

01

][][][

N

m

mm

M

m

mm

za

zbz

1

0

1)(H

polinomi od z-1 u brojniku i nazivniku

sustav ima nule i polove

41

Realizacija IIR filtaraRealizacija IIR filtara

nule od H(z):

)(H)(H1

)(H 21N

1

M

0 zzza

zbz

m

mm

m

mm

N

1

2

1

1)(H

m

mm za

z

M

01 )(H

m

mm zbz

polovi od H(z):

42

Direktna I realizacija IIR filtraDirektna I realizacija IIR filtra

M+N+1 množenja

M+N zbrajanja M+N+1

memorijskih lokacija

All-Zero System

z-1

b0 u[n]

b1

b2

z-1

-a1

-a2

y[n]

b3

z-1

bM-1

bM

z-1

-a3

-aN-1

-aN

z-1

z-1

z-1

z-1

All-Pole System

43

Direktna II realizacija IIR filtraDirektna II realizacija IIR filtra

M+N+1 množenja M+N zbrajanja max(M, N)

memorijskih lokacija

kompaktnija struktura jer vrijedi:

z-1

b0 u[n]

b1

b2

z-1

-a1

-a2

y[n]

b3

z-1

bM-1

bM

z-1

-a3

-aN-1

-aN

w[n]

w[n-1]

w[n-2]

N

mm numnwanw

1

][][][

M

mm mnwbny

0

][][

44

Nedostaci direktnih realizacija IIR filtraNedostaci direktnih realizacija IIR filtra

izuzetno osjetljive na promjene koeficijenata

nisu preporučljive u praktičnim aplikacijama kvantizacija koeficijenata

aritmetika konačne duljine riječi

45

Transponirana direktna II strukturaTransponirana direktna II struktura

z-1

b0 u[n]

b1

b2

z-1

-a1

-a2

y[n]

b3

z-1

bN-1

bN

z-1

-a3

-aN-1

-aN

w1

w2

y[n] = w1[n-1] + b0u[n]

wm[n] = wm+1[n-1] – amy[n] + bmu[n]

m = 1, 2, ..., N-1

wN[n] = bNu[n] – aNy[n]

M

mm

N

mm mnubmnyany

01

][][][

46

IIR sustav drugog reda – direktna I IIR sustav drugog reda – direktna I realizacijarealizacija

y[n] = b0u[n] + b1u[n –1] + b2u[n-2] – a1y[n-1] – a2y[n-2]

22

11

22

110

aa1

bbb)(H

zz

zzz

z -1

u[n] b0

z -1

b1

b2

-a1

-a2

z -1

z -1

y[n]

47

IIR sustav drugog reda – direktna II IIR sustav drugog reda – direktna II realizacijarealizacija

w[n] = – a1w[n-1] – a2w[n-2] + u[n]

y[n] = b0w[n] + b1w[n-1] + b2w[n-2]

1 20 1 2

1 21 2

b b bH( )

1 a a

z zz

z z

z -1

u[n] b0

z -1

b1

b2

-a1

-a2

y[n] w[n]

w[n-1]

w[n-2]

48

IIR sustav drugog reda – transponirana IIR sustav drugog reda – transponirana direktna II realizacijadirektna II realizacija

y[n] = b0u[n] + w1[n-1]

w1[n] = b1u[n] – a1y[n] + w2[n-1]

w2[n] = b2u[n] – a2y[n]

1 20 1 2

1 21 2

b b bH( )

1 a a

z zz

z z

z -1

u[n] b0

z -1

-a1

-a2

b1

b2

y[n]

w1[n]

w2[n]

49

Kaskadna realizacija IIR filtaraKaskadna realizacija IIR filtara

)()()(

)()()(

)(

)()(H

321

321

zAzAzA

zBzBzB

zA

zBz

razlaganje transfer funkcije H(z) na sekcije nižeg reda polinomi u brojniku i nazivniku prikazuju se kao produkti polinoma nižeg reda primjer:

različite kaskadne realizacije (36) postiže se različitim uparivanjem polova i nula ili/i izmjenom redoslijeda sekcija u kaskadi

50

Kaskadna realizacija IIR filtaraKaskadna realizacija IIR filtara

)(

)(

1

1

zA

zB

)(

)(

2

2

zA

zB

)(

)(

3

3

zA

zB

)(

)(

2

1

zA

zB

)(

)(

3

2

zA

zB

)(

)(

1

3

zA

zB

)(

)(

3

1

zA

zB

)(

)(

1

2

zA

zB

)(

)(

2

3

zA

zB

)(

)(

2

1

zA

zB

)(

)(

1

2

zA

zB

)(

)(

3

3

zA

zB

)(

)(

1

1

zA

zB

)(

)(

3

2

zA

zB

)(

)(

2

3

zA

zB

)(

)(

3

1

zA

zB

)(

)(

2

2

zA

zB

)(

)(

1

3

zA

zB

različite ekvivalentne kaskadne realizacije različitim uparivanjem polova

51

Kaskadna realizacija IIR filtaraKaskadna realizacija IIR filtara

)(

)(

1

1

zA

zB

)(

)(

2

2

zA

zB

)(

)(

3

3

zA

zB

)(

)(

2

2

zA

zB

)(

)(

1

1

zA

zB

)(

)(

3

3

zA

zB

)(

)(

2

2

zA

zB

)(

)(

3

3

zA

zB

)(

)(

1

1

zA

zB

)(

)(

3

3

zA

zB

)(

)(

1

1

zA

zB

)(

)(

2

2

zA

zB

)(

)(

3

3

zA

zB

)(

)(

2

2

zA

zB

)(

)(

1

1

zA

zB

)(

)(

1

1

zA

zB)(

)(

2

2

zA

zB

)(

)(

3

3

zA

zB

različite ekvivalentne kaskadne realizacije promjenom redoslijeda sekcija

52

Kaskadna realizacija IIR filtaraKaskadna realizacija IIR filtara

razbijanje transfer funkcije H(z) na sekcije drugog reda

L

1

)(HG)(Hl

l zz

gdje je L najveći cijeli broj sadržan u (N+1)/2 G = bo

G = G1 G2 GL

voditi računa o uparivanju polova i nula u aritmetici konačne duljine riječi

22

11

22

11

aa1

bb1)(H

zz

zzz

ll

lll

53

Kaskadna realizacija IIR filtaraKaskadna realizacija IIR filtara

y0[n] = u[n]

wl[n] = al1wl[n-1] –al2wl[n-2] + yl-1[n] l = 1, 2,..., L

yl[n] = wl[n] + bl1wl[n-1] + bl2wl[n-2]

y[n] = GyL[n]

uL[n] yL-1[n]

H1(z) H2(z) HL(z) u[n] = u1[n]

u3[n] u2[n] y1[n] y2[n] y[n]

1

-al1

-al2

1

bl1

bl2 z -1

z -1

ul[n] yl[n]

wl[n]

54

Paralelna realizacija IIR filtaraParalelna realizacija IIR filtara

N

111

A C)(H

l l

l

zpz

gdje su pl polovi, a Al koeficijenti u rastavu na parcijalne razlomke

N M

n

n

a

b C

u[n] C

H1(z)

H2(z)

HN(z)

+

+

+ y[n]

55

Paralelna realizacija IIR filtaraParalelna realizacija IIR filtara

kombiniraju se konjugirano kompleksni polovi

22

11

110

aa1

bb)(H

zz

zz

ll

lll

N

1

)(H C)(Hl

l zz

1

-al1

-al2

bl1

bl0

z -1

z -1

ul[n] yl[n]

wl[n]

wl[n] = -al1wl[n-1] – al2wl[n-2] + ul[n]

yl[n] = bl0wl[n] + bl1wl[n-1]

L

ll nnn

1

][y ]Cu[][y

56

LiteraturaLiteratura

A. V. Oppenheim, R. W.Schafer: Discrete-Time Signal Processing (poglavlje 6.5: Basic Network Structures for FIR Systems)

John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis: Introduction to Digital Signal Processing (poglavlje 7: Realization of Discrete-Time Systems)

S. K. Mitra: Digital Signal Processing (poglavlje 6: Digital Filter Structures)