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Kronberg-Gymnasium Kollegstufenjahrgang 2008/10
Aschaffenburg
Facharbeit aus dem Fach Mathematik
Thema:
Die Taylorreihe: Herleitung und Anwendugen
Verfasser: Daniel Benjamin Felix Otto Thiem
Leistungskurs: Mathematik
Kursleiter: StD H.J. Pauly
Abgabetermin: 29. Jan. 2010
Erzielte Punkte: _____________
(einfache Wertung)
Erzielte Punkte in der
mรผndlichen Prรผfung: _____________
Abgabe bei der Kollegstufenbetreuerin am: ______________________________
_______________________________________________ Unterschrift des Kursleiters
- 2 -
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung ...................................................................................................................... 3
1.1. Zur Geschichte der Taylorreihe .............................................................................. 3
2. Mathematische Grundlagen .......................................................................................... 4
2.1. Reihen und ihre Konvergenz .................................................................................. 4
3. Die Herleitung der Taylorreihe ..................................................................................... 4
3.1. Die Herleitung anhand der ๐๐๐๐-Funktion ................................................................. 4
3.2. Verallgemeinerung ................................................................................................. 7
3.3. Das Restglied .......................................................................................................... 8
3.3.1. Das Restglied in Lagrangeโscher Form ........................................................... 9
3.3.2. Das Restglied in Integralform ........................................................................ 10
4. Annรคherung an verschiedene Funktionen durch die Taylorreihe ............................... 12
4.1. Annรคherung an die Sinus-Funktion ...................................................................... 12
4.1.1. Die MacLaurinโsche Reihe ............................................................................ 14
4.2. Annรคherung an die ๐๐๐๐(๐๐+๐๐๐๐โ๐๐
)-Funktion .................................................................. 15
4.3. Annรคherung an die ๐๐๐๐โ๐๐
-Funktion ......................................................................... 17
5. Anwendungen ............................................................................................................. 20
5.1. Die Kleinwinkelnรคherung ..................................................................................... 20
5.2. Anwendungen in der Physik mit Beispiel ............................................................ 20
6. Schluss ........................................................................................................................ 22
7. Anhang ........................................................................................................................ 23
7.1. Literatur und Quellen ........................................................................................... 23
7.2. Hilfsmittel ............................................................................................................. 24
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1. Einleitung Bevor Taschenrechner entwickelt wurden, war das Rechnen mit Winkelfunktionen, Lo-
garithmen und Exponentialfunktionen nur durch Nachschlagen in Tabellenbรผchern und
Interpolation mรถglich. Dies fรผhrte dazu, dass solche Rechnungen sehr aufwendig und
teilweise ungenau waren. Durch die Erfindung der Taschenrechner konnten solche Wer-
te genauer und um einiges schneller bestimmt werden. Erreicht wurde das durch Reihen,
die sich an die oben genannten Funktionen annรคhern und diese sehr genau approximie-
ren kรถnnen. Diese Reihen, die inzwischen fest in die Chips der Taschenrechner inte-
griert sind, leiten sich aus der Taylorreihe ab.1
1.1. Zur Geschichte der Taylorreihe
Schon der griechische Philosoph Zenon von Elea versuchte unendliche Reihen auf eine
endliche Summe zu lรถsen, stieร dabei aber auf ein Paradoxon. Erst durch einen philoso-
phischen Lรถsungsansatz von Aristoteles und spรคter eine mathematische Lรถsung mittels
der Exhaustionsmethode von Archimedes wurde in einer Reihe ein endliches Ergebnis
erreicht.
Im 14. Jahrhundert fand der indische Mathematiker Madhava von Sangamagrama einige
Beispiele der Anwendung der Taylorreihe auf trigonometrische Funktionen. Jedoch
existieren davon keine exakten Aufzeichnungen.
Der Englische Mathematiker Brooke Taylor (1685-1731)2, der auf den Gebieten der
Differential- und Integralrechnung und der Interpolationstheorie arbeitete, verรถffentlich-
te erstmals 1712 die spรคter nach ihm benannte Taylor-Formel. Zuvor fand zwar der
schottische Mathematiker James Gregory einige Maclaurinโsche Reihen und verรถffent-
lichte diese, konnte jedoch nicht eine generelle Methode fรผr die Herleitung der Reihen
fรผr alle Funktionen liefern.3
1 Vgl. Literatur 1, S.294
2 Vgl. Literatur 7, S.1047 3 Vgl. Literatur 9
- 4 -
2. Mathematische Grundlagen
2.1. Reihen und ihre Konvergenz Betrachtet man eine unendliche Folge von Zahlen โจ๐๐๐๐โฉ, also (๐๐0, ๐๐1, ๐๐2, โฆ ), so kann es
auch eine Folge โจ๐ ๐ ๐๐ โฉ geben, welche die Summe einzelnen Zahlen bis zu dem ๐๐-ten
Glied darstellt:4
Entwickelt man nun diese Reihe gegen unendlich, so bildet man einen Grenzwert gegen
unendlich. Existiert der Grenzwert ๐ ๐ , so heiรt die Reihe konvergent. Existiert er nicht,
so ist die Reihe Divergent.
๐ ๐ ๐๐ = ๐๐0 + ๐๐1 + โฏ + ๐๐๐๐ = ๏ฟฝ ๐๐๐๐
๐๐
๐๐=0
5
3. Die Herleitung der Taylorreihe
๏ฟฝ ๐๐๐๐
โ
๐๐=0
= lim๐๐โโ
๏ฟฝ ๐๐๐๐
๐๐
๐๐=0
= ๐ ๐
3.1. Die Herleitung anhand der ๐๐๐๐-Funktion Die Taylorreihe hat den Sinn, sich an eine Funktion anzunรคhern und sie mittels einer
Polynomfunktion darzustellen. Dies wird erreicht, indem man die numerischen Werte
eines Punktes der Ableitung der Originalfunktion nutzt um die passenden Koeffizienten
der einzelnen x-Potenzen zu finden.
Diesen Herleitungsweg mรถchte ich mit darauffolgendem Beispiel erklรคren. Hierfรผr bil-
det man den Differenzenquotient von ๐๐๐ฅ๐ฅ :
๐๐(๐ฅ๐ฅ0 + ฮ๐ฅ๐ฅ) โ ๐๐(๐ฅ๐ฅ0)(๐ฅ๐ฅ0 + ฮ๐ฅ๐ฅ) โ ๐ฅ๐ฅ0
=๐๐๐ฅ๐ฅ+โ โ ๐๐๐ฅ๐ฅ
โ=
๐๐๐ฅ๐ฅ โ ๐๐โ โ ๐๐๐ฅ๐ฅ
โ= ๐๐๐ฅ๐ฅ โ
๐๐โ โ 1โ
Da bekannt ist, dass die Ableitung von ๐๐๐ฅ๐ฅ auch wieder ๐๐๐ฅ๐ฅ ergibt, muss der Grenzwert
des Differentialquotienten fรผr den Fall, dass h gegen 0 geht, ebenso ๐๐๐ฅ๐ฅ sein.
limโโ0
(๐๐๐ฅ๐ฅ โ๐๐โ โ 1
โ) = ๐๐๐ฅ๐ฅ โ 1 = ๐๐๐ฅ๐ฅ
4 Vgl. Literatur 12 5 Vgl. Literatur 6, S. 881
- 5 -
3 2 1 0 1 2 3
2
4
6
8
10
Hier zeigt sich, dass limโโ0๐๐ ๐ฅ๐ฅ โ1
โ= 1 sein muss. Fรผr kleine h gilt ๐๐
โ โ1โ
โ 1 โบ ๐๐โ โ
1 + โ. Ersetzt man nun h durch x, so erhรคlt man folgende Gleichung:
๐๐๐ฅ๐ฅ โ 1 + ๐ฅ๐ฅ fรผr |๐ฅ๐ฅ| โช 1
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = 1 + ๐ฅ๐ฅ ist eine Tangente zu ๐๐๐ฅ๐ฅ , da sie durch den
gleichen Punkt geht und auch die gleiche Steigung
besitzt. Eine bessere Nรคherung wird erreicht, wenn
๐๐(๐ฅ๐ฅ) auch die gleiche Krรผmmung besitzt. Somit muss
auch die 2. Ableitung in diesem Punkt รผbereinstimmen.
Eine solche Funktion kann man als Parabel der Form
๐๐2(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐2๐ฅ๐ฅ2 + ๐๐1๐ฅ๐ฅ + ๐๐0 beschreiben.
Da die Funktion ๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐๐ฅ๐ฅ in allen Ableitungen in
dem Punkt ๐ฅ๐ฅ = 0 den Wert 1 annimmt, muss zu einer
รbereinstimmung beider Funktionen folgendes gelten:
๐๐2(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐2๐ฅ๐ฅ2 + ๐๐1๐ฅ๐ฅ + ๐๐0 ๐๐2(0) = ๐๐0 = 1
๐๐2โฒ(๐ฅ๐ฅ) = 2๐๐2๐ฅ๐ฅ + ๐๐1 ๐๐2โฒ (0) = ๐๐1 = 1
๐๐2โฒโฒ (๐ฅ๐ฅ) = 2๐๐2 ๐๐2
โฒโฒ (0) = 2๐๐2 = 1
Somit ergibt sich folgende Funktionsgleichung der
Parabel:
๐๐2(๐ฅ๐ฅ) =12
๐ฅ๐ฅ2 + ๐ฅ๐ฅ + 1
Geht man nun davon aus, dass die Folge der Polynomfunktionen sich ๐๐๐ฅ๐ฅ annรคhert je
hรถher der Grad des Polynoms ist. Um eine mรถglichst genaue Abbildung der Original-
funktion zu bekommen, kommt man auf die Funktion
๐๐๐๐ (๐ฅ๐ฅ) = ๐๐๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ๐๐ + ๐๐๐๐โ1 โ ๐ฅ๐ฅ๐๐โ1 + โฏ + ๐๐2 โ ๐ฅ๐ฅ2 + ๐๐1 โ ๐ฅ๐ฅ + ๐๐0
๐๐๐๐ (0) = ๐๐0
Damit das Polynom mรถglichst genau mit der e-Funktion รผbereinstimmt, muss man nun
das Polynom n mal ableiten, um die einzelnen Variablen a zu bestimmen.
๐๐๐๐โฒ (๐ฅ๐ฅ) = ๐๐ โ ๐๐๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ๐๐โ1 + (๐๐ โ 1) โ ๐๐๐๐โ1 โ ๐ฅ๐ฅ๐๐โ2 + โฏ + 2๐๐2 โ ๐ฅ๐ฅ + ๐๐1
๐๐๐๐โฒ (0) = ๐๐1
Schwarz:๐๐๐ฅ๐ฅ |Rot:1 + ๐ฅ๐ฅ|Blau:๐๐2
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Beobachtet man die weiteren Ableitungen des Polynoms, ist nur der letzte Teil der je-
weiligen Ableitung, der kein x besitzt, wichtig, da man von ๐ฅ๐ฅ = 0 aus entwickelt und
somit alle x-Terme wegfallen.
๐๐๐๐(๐๐)(๐ฅ๐ฅ) = โฏ + ๐๐ โ (๐๐ โ 1) โ (๐๐ โ 2) โ โฆ โ 2 โ 1 โ ๐๐๐๐
๐๐๐๐(๐๐)(0) = ๐๐ โ (๐๐ โ 1) โ (๐๐ โ 2) โ โฆ โ 2 โ 1 โ ๐๐๐๐
Die Werte ๐๐ โ (๐๐ โ 1) โ (๐๐ โ 2) โ โฆ โ 2 โ 1 entstehen durch die jeweiligen Ableitungen
des Polynoms, da in jeder Ableitung immer die Potenz von x der vorherigen Ableitung
als Produkt vor x gesetzt wird.
Beobachtet man nun diese Werte, kann man sehen, dass hier ein Produkt der natรผrlichen
Zahlen von 1 bis k vorliegt. Dies wird in der Mathematik auch vereinfacht als Fakultรคt
von k (๐๐!) ausgedrรผckt. Die Fakultรคt von 0 ist so definiert, dass 0! = 1 ist. Dies ist im
spรคteren Verlauf fรผr die Taylorreihe noch wichtig. Somit kann man die k-te Ableitung
an ๐ฅ๐ฅ = 0 wie folgt ausdrรผcken:
๐๐๐๐(๐๐)(0) = ๐๐! โ ๐๐๐๐
Um eine mรถglichst eng an ๐๐๐ฅ๐ฅ angenรคherte Form der Polynomfunktion zu erhalten, mรผs-
sen wieder alle Ableitungen des Polynoms an der Stelle ๐ฅ๐ฅ = 0 mit den jeweiligen Ab-
leitungen der ๐๐๐ฅ๐ฅ -Funktion an bei ๐ฅ๐ฅ = 0 gleichgesetzt werden. Da die Ableitung von ๐๐๐ฅ๐ฅ
immer ๐๐๐ฅ๐ฅ ist, findet sich fรผr ๐ฅ๐ฅ = 0 immer der y-Wert 1. Daraus ergibt sich folgende
Formel:
1 = ๐๐! โ ๐๐๐๐ und somit ๐๐๐๐ =1๐๐!
, da ๐๐! > 0
Setzt man nun die entsprechenden Werte in die Polynomfunktion ein, ergibt das:
๐๐๐๐ (๐ฅ๐ฅ) =1๐๐!
๐ฅ๐ฅ๐๐ +1
(๐๐ โ 1)!๐ฅ๐ฅ๐๐โ1 + โฏ +
12!
๐ฅ๐ฅ2 +11!
๐ฅ๐ฅ +10!
Fรผr die Taylorreihe wird รผblicherweise das Polynom nach den Potenzen aufsteigend
geordnet:
๐๐๐๐ (๐ฅ๐ฅ) =10!
+11!
โ ๐ฅ๐ฅ +12!
โ ๐ฅ๐ฅ2 + โฏ +1
(๐๐ โ 1)!โ ๐ฅ๐ฅ๐๐โ1 +
1๐๐!
๐ฅ๐ฅ๐๐ โ ๐๐๐ฅ๐ฅ
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oder kurz: ๐๐๐ฅ๐ฅ โ โ 1๐๐!
โ ๐ฅ๐ฅ๐๐๐๐๐๐=0
Setzt man nun fรผr n Zahlenwerte ein, kommt man auf
folgende Terme:
๐๐๐ฅ๐ฅ โ 1
๐๐๐ฅ๐ฅ โ 1 + ๐ฅ๐ฅ
๐๐๐ฅ๐ฅ โ 1 + ๐ฅ๐ฅ +12
๐ฅ๐ฅ2
๐๐๐ฅ๐ฅ โ 1 + ๐ฅ๐ฅ + 12
๐ฅ๐ฅ2 + 16
๐ฅ๐ฅ3 usw.
โฎ
3.2. Verallgemeinerung Ziel ist es, eine Funktion an eine Polynomfunktion
๐๐๐๐ (๐ฅ๐ฅ) = ๐๐0 + ๐๐1๐ฅ๐ฅ + ๐๐2๐ฅ๐ฅ2 + โฏ + ๐๐๐๐ ๐ฅ๐ฅ๐๐
anzunรคhern. Dies muss nicht von dem Wert ๐ฅ๐ฅ = 0 aus geschehen. Geht man von einer
Entwicklung von der Stelle ๐ฅ๐ฅ0 aus, mรผssen alle Summanden des Polynoms, die ein x
beinhalten, 0 ergeben, sodass nur noch ๐๐0 รผbrig bleibt. Dieses ๐๐0 erhรคlt, wie es im wei-
teren Herleitungsweg zu sehen ist, den y-Wert der Originalfunktion. Damit also dieses
Kriterium erfรผllt ist, muss statt x in der Funktion der Term (๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0) stehen, welcher an
der Stelle ๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ0 0 ergibt.
๐๐๐๐ (๐ฅ๐ฅ) = ๐๐0 + ๐๐1(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0) + ๐๐2(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)2 + โฏ + ๐๐๐๐ (๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)๐๐
Aus dieser Funktion kรถnnen nun wieder ๐๐ Ableitungen gebildet werden. In diese wird
๐ฅ๐ฅ0 eingesetzt, womit alle x-Terme der Funktion wegfallen und nur noch der letzte Koef-
fizient รผbrig bleibt. Diese Funktion wird dann mit dem Wert der gleichwertigen Ablei-
tung der ๐๐(๐ฅ๐ฅ)-Funktion am Punkt ๐ฅ๐ฅ0 gleichgesetzt.
๐๐๐๐ (๐ฅ๐ฅ0) = ๐๐(๐ฅ๐ฅ0); ๐๐๐๐โฒ(๐ฅ๐ฅ0) = ๐๐โฒ (๐ฅ๐ฅ0); ๐๐๐๐
โฒโฒ (๐ฅ๐ฅ0) = ๐๐โฒโฒ (๐ฅ๐ฅ0); โฆ ; ๐๐๐๐(๐๐)(๐ฅ๐ฅ0) = ๐๐(๐๐)(๐ฅ๐ฅ0)
0! โ ๐๐0 = ๐๐(๐ฅ๐ฅ0); 1! โ ๐๐1 = ๐๐โฒ (๐ฅ๐ฅ0); 2! โ ๐๐2 = ๐๐โฒโฒ (๐ฅ๐ฅ0); โฆ ; ๐๐! โ ๐๐๐๐ = ๐๐(๐๐)(๐ฅ๐ฅ0)
3 2 1 0 1 2 3
2
4
6
8
10
Schwarz:๐๐๐ฅ๐ฅ |Rot:๐๐3|Blau:๐๐4
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๐๐0 =๐๐(๐ฅ๐ฅ0)
0!; ๐๐1 =
๐๐โฒ (๐ฅ๐ฅ0)1!
; ๐๐2 =๐๐โฒโฒ (๐ฅ๐ฅ0)
2!; โฆ ; ๐๐๐๐ =
๐๐(๐๐)(๐ฅ๐ฅ0)๐๐!
Die daraus gewonnenen a-Koeffizienten kรถnnen nun wieder in die Polynomfunktion
eingesetzt werden. Daraus folgt diese Reihe:
๐๐๐๐ (๐ฅ๐ฅ) =๐๐(๐ฅ๐ฅ0)
0!โ (๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)0 +
๐๐โฒ (๐ฅ๐ฅ0)1!
(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)1 +๐๐โฒโฒ (๐ฅ๐ฅ0)
2!(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)2 + โฏ
+๐๐(๐๐)(๐ฅ๐ฅ0)
๐๐!(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)๐๐
Vereinfacht bildet sich also die Taylorreihe:
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐(๐ฅ๐ฅ0) + ๐๐โฒ (๐ฅ๐ฅ0) โ (๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0) +๐๐โฒโฒ (๐ฅ๐ฅ0)
2!(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)2 + โฏ +
๐๐(๐๐)(๐ฅ๐ฅ0)๐๐!
(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)๐๐
3.3. Das Restglied Umso hรถher man ๐๐ fรผr diese Polynomfunktion gehen lรคsst, umso genauer schmiegt sich
diese an den ๐๐-Funktionsgraphen an. Jedoch bleibt immer eine Differenz zwischen dem
Funktionswert ๐๐(๐ฅ๐ฅ) und dem Nรคherungswert ๐๐๐๐ (๐ฅ๐ฅ). Da diese Differenz vom Tiefen-
grad n der Nรคherungsfunktion und vom x-Wert abhรคngt, nennt man sie ๐ ๐ ๐๐ (๐ฅ๐ฅ). Dies ist
das Restglied.
Geht man zudem davon aus, dass die Funktion in [๐๐; ๐๐] (๐๐ + 1)-mal differenzierbar ist,
dann ist
๐๐(๐๐) = ๐๐(๐ฅ๐ฅ) + ๐๐โฒ (๐ฅ๐ฅ)(๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ) +๐๐โฒโฒ (๐ฅ๐ฅ)
2!(๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ)2 + โฏ +
๐๐(๐๐)(๐ฅ๐ฅ)๐๐!
(๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ)๐๐ + ๐ ๐ ๐๐ (๐๐)
Daraus folgt fรผr ๐ ๐ ๐๐ (๐๐):
๐ ๐ ๐๐ (๐๐) = ๐๐(๐๐) โ ๐๐(๐ฅ๐ฅ) โ ๐๐โฒ (๐ฅ๐ฅ)(๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ) โ๐๐โฒโฒ (๐ฅ๐ฅ)
2!(๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ)2 โ โฏ โ
๐๐(๐๐)(๐ฅ๐ฅ)๐๐!
(๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ)๐๐
Mit dieser Formel lassen sich aber die Zahlenwerte nur schwer berechnen. Um eine sol-
che Berechnung zu vereinfachen, wurden verschiedene Restglieder eingefรผhrt.
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3.3.1. Das Restglied in Lagrangeโscher Form Um die Lagrangeโsche Form des Restgliedes ๐ ๐ ๐๐ (๐๐) fรผr das Intervall [๐๐; ๐๐] zu erhalten,
muss eine Hilfsfunktion hinzugezogen werden. Diese hat folgende Form:
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐(๐๐) โ ๐๐(๐ฅ๐ฅ) โ ๐๐โฒ (๐ฅ๐ฅ)(๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ) โ๐๐โฒโฒ (๐ฅ๐ฅ)
2!(๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ)2 โ โฏ โ
๐๐(๐๐)(๐ฅ๐ฅ)๐๐!
(๐๐ โ ๐๐)๐๐
โ(๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ)๐๐+1
(๐๐ + 1)!โ ๐ถ๐ถ 6
Diese Hilfsfunktion nimmt den Wert ๐๐(๐ฅ๐ฅ) = 0 an, wenn ๐ฅ๐ฅ = ๐๐ erfรผllt ist. Um eine
mรถglichst genau angenรคherte Funktion zu erhalten, sollte auch ๐๐(๐๐) = 0 zutreffen,
damit an beiden Enden des Intervalls keine Abweichungen auftreten. Da jedoch ๐๐ โ ๐๐
als Voraussetzung gegeben ist, muss es genau eine Zahl ๐ถ๐ถ geben. Eine Berechnung die-
ses Wertes wird dadurch mรถglich, dass man ๐ฅ๐ฅ = ๐๐ setzt und nach C auflรถst. Hier wird
der Satz von Rolle zur Hilfe gezogen. Dieser besagt, dass, falls ๐๐ eine โim abgeschlos-
senen Intervall [๐๐, ๐๐] stetige Funktion und im offenen Intervall ]๐๐, ๐๐[ differenzierbar mit
๐๐(๐๐) = ๐๐(๐๐) [ist], dann gibt es ein ๐ฅ๐ฅ0 โ ]๐๐, ๐๐[ mit ๐๐โฒ (๐ฅ๐ฅ0) = 0โ 7
Da nun gelten muss, dass ๐๐โฒ (๐๐) = 0 fรผr ein beliebiges ๐๐ โ ]๐๐, ๐๐[ zutrifft, muss folgende
Gleichung gelten:
๐๐โฒ (๐๐) = 0 = ๏ฟฝ๐ถ๐ถ โ ๐๐(๐๐+1)(๐๐)๏ฟฝ โ(๐๐ โ ๐๐)๐๐
๐๐!
0 = ๐ถ๐ถ โ ๐๐(๐๐+1)(๐๐) โ ๐ถ๐ถ = ๐๐(๐๐+1)(๐๐)
. Dieser Satz trifft auf
๐๐(๐ฅ๐ฅ) zu, da sowohl ๐๐(๐๐) = 0 und ๐๐(๐๐) = 0 zutrifft und die Funktion stetig und in
diesem Intervall differenzierbar ist.
๐๐โฒ (๐ฅ๐ฅ) = โ๐๐โฒ (๐ฅ๐ฅ) + ๐๐โฒ (๐ฅ๐ฅ) โ (๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ) โ ๐๐โฒโฒ (๐ฅ๐ฅ) + ๐๐โฒโฒ (๐ฅ๐ฅ) โ (๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ) โ โฏ โ(๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ)๐๐
๐๐!
โ ๐๐(๐๐+1)(๐ฅ๐ฅ) +(๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ)๐๐
๐๐โ ๐ถ๐ถ vereinfacht also: ๐๐โฒ(๐ฅ๐ฅ)
= ๏ฟฝ๐ถ๐ถ โ ๐๐(๐๐+1)(๐ฅ๐ฅ)๏ฟฝ โ(๐๐ โ ๐ฅ๐ฅ)๐๐
๐๐!
Mit ๐๐(๐๐) = 0 ergibt sich: 6 Vgl. Literatur 2, S.294 7 Vgl. Literatur 3
- 10 -
๐๐(๐๐) = 0 = ๐๐(๐๐) โ ๐๐(๐๐)โโฒ๐๐โฒ (๐๐)(๐๐ โ ๐๐) โ๐๐โฒโฒ (๐๐)
2!(๐๐ โ ๐๐)2 โโฒ
โฒ
โฆ โ๐๐(๐๐)(๐๐)
๐๐!(๐๐ โ ๐๐)๐๐
โ๐๐(๐๐+1)(๐๐)
๐๐ + 1(๐๐ โ ๐๐)๐๐+1
Setzt man nun das Restglied ๐ ๐ ๐๐ (๐๐) mit ๐๐(๐๐) gleich, so erhรคlt man das Lagrangeโsche
Restglied:
๐ ๐ ๐๐ (๐๐) =๐๐(๐๐+1)(๐๐)
๐๐ + 1(๐๐ โ ๐๐)๐๐+1 mit ๐๐ < ๐๐ < ๐๐
โ ๐๐(๐๐) = ๐๐(๐๐) + ๐๐โฒ (๐๐)(๐๐ โ ๐๐) +๐๐โฒโฒ (๐๐)
2!(๐๐ โ ๐๐)2 + โฏ +
๐๐(๐๐)(๐๐)๐๐!
(๐๐ โ ๐๐)๐๐
+๐๐(๐๐+1)(๐๐)
๐๐ + 1(๐๐ โ ๐๐)๐๐+1
Setzt man nun wieder ๐๐ = ๐ฅ๐ฅ und ๐๐ = ๐ฅ๐ฅ0, so erhรคlt man nun die Taylorsche Formel mit
dem Lagrangeโschen Restglied:
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐(๐ฅ๐ฅ0) + ๐๐โฒ (๐ฅ๐ฅ0)(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0) +๐๐โฒโฒ (๐ฅ๐ฅ0)
2!(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)2 + โฏ +
๐๐(๐๐)(๐ฅ๐ฅ0)๐๐!
(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)๐๐
+๐๐(๐๐+1)(๐๐)
๐๐ + 1(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)๐๐+1 fรผr ๐๐ โ ]๐ฅ๐ฅ0, ๐ฅ๐ฅ[
3.3.2. Das Restglied in Integralform Fรผr das Restglied in Integralform gilt es, folgenden Satz zu beweisen:
Sei ๐ผ๐ผ โ โ ein reelles Intervall und ๐๐(๐ฅ๐ฅ) in diesem Intervall (๐๐ + 1)-mal stetig differen-
zierbar. Dann gilt fรผr alle ๐ฅ๐ฅ0 und ๐ฅ๐ฅ aus I:
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐๐๐ (๐ฅ๐ฅ) + ๐ ๐ ๐๐ (๐ฅ๐ฅ)
mit:
๐ ๐ ๐๐ (๐ฅ๐ฅ) = ๏ฟฝ((๐ฅ๐ฅ โ ๐ก๐ก)๐๐ )
๐๐!โ ๐๐(๐๐+1)d๐ก๐ก
๐ฅ๐ฅ
๐ฅ๐ฅ0
8
Um die Formel des Restglieds zu beweisen, benutzt man die Beweismethode der Induk-
tion. Als Induktionsanfang ๐๐ = 0 geht man nun von dem Hauptsatz der Integralrech-
nung (HDI) aus:
8 Vgl. Literatur 10
- 11 -
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐(๐๐) + ๏ฟฝ ๐๐โฒ (๐ก๐ก)๐๐๐ก๐ก๐ฅ๐ฅ
๐๐
Die Induktion erfolgt durch den Schritt ๐๐ โ ๐๐ + 1
๐๐๐๐+1(๐ฅ๐ฅ) + ๐ ๐ ๐๐+1(๐ฅ๐ฅ) = ๏ฟฝ๐๐(๐๐)(๐ฅ๐ฅ0)
๐๐!
๐๐+1
๐๐=0
โ (๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)๐๐ + ๏ฟฝ(๐ฅ๐ฅ โ ๐ก๐ก)๐๐
๐๐!โ ๐๐(๐๐+2)(๐ก๐ก)d๐ก๐ก
๐ฅ๐ฅ
๐ฅ๐ฅ0
Um das Restglied in Integralform zu beweisen, muss das Integral nun partiell integriert
werden. Dies erfolgt nach folgender Regel:
๏ฟฝ ๐ข๐ข(๐ฅ๐ฅ) โ ๐ฃ๐ฃโฒ (๐ฅ๐ฅ)๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐
๐๐
= [๐ข๐ข(๐ฅ๐ฅ) โ ๐ฃ๐ฃ(๐ฅ๐ฅ)]๐๐๐๐ โ ๏ฟฝ ๐ข๐ขโฒ (๐ฅ๐ฅ) โ ๐ฃ๐ฃ(๐ฅ๐ฅ)๐๐๐ฅ๐ฅ
๐๐
๐๐
9
In diesem Falle ist ๐ข๐ข(๐ฅ๐ฅ) = (๐ฅ๐ฅโ๐ก๐ก)๐๐
๐๐ ! und ๐ฃ๐ฃโ(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐(๐๐+1). Setzt man dies nun in die Regel
ein, so erreicht man den folgenden Term:
๐๐๐๐+1(๐ฅ๐ฅ) + ๐ ๐ ๐๐+1(๐ฅ๐ฅ)
= ๐๐๐๐ (๐ฅ๐ฅ) +๐๐(๐๐+1)(๐ฅ๐ฅ0)
๐๐!โ (๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)๐๐+1 + ๏ฟฝ
(๐ฅ๐ฅ โ ๐ก๐ก)๐๐
๐๐!โ ๐๐(๐๐+1)(๐ก๐ก)๏ฟฝ
๐ฅ๐ฅ0
๐ฅ๐ฅ
โ ๏ฟฝ โ(๐ฅ๐ฅ โ ๐ก๐ก)๐๐
๐๐!โ ๐๐(๐๐+1)(๐ก๐ก)๐๐๐ก๐ก
๐ฅ๐ฅ
๐ฅ๐ฅ0
= ๐๐๐๐ (๐ฅ๐ฅ) +๐๐(๐๐+1)(๐ฅ๐ฅ0) โ (๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)๐๐+1
๐๐!+
(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ)๐๐
๐๐!โ ๐๐(๐๐+1) โ
(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)๐๐ โ ๐๐(๐๐+1)
๐๐!+ ๐ ๐ ๐๐ (๐ฅ๐ฅ)
= ๐๐๐๐ (๐ฅ๐ฅ) + ๐ ๐ ๐๐ (๐ฅ๐ฅ) = ๐๐(๐ฅ๐ฅ)
Somit entsteht die Taylorreihe mit dem Restglied in Integralform:
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๏ฟฝ๐๐(๐๐)(๐ฅ๐ฅ0)
๐๐!โ (๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)๐๐
๐๐
๐๐=0
+ ๏ฟฝ๐ฅ๐ฅ โ ๐ก๐ก
๐๐!โ ๐๐(๐๐+1)๐๐๐ก๐ก
๐ฅ๐ฅ
๐ฅ๐ฅ0
9 Vgl. Literatur 11
- 12 -
4. Annรคherung an verschiedene Funktionen durch die Taylor-reihe
4.1. Annรคherung an die Sinus-Funktion Die Sinus-Funktion nimmt in der Physik und der Mathematik einen hohen Stellenwert
ein. Sie ist jedoch als Term sin(๐ฅ๐ฅ) nicht direkt berechenbar, sondern nur durch die Nut-
zung von Wertetabellen oder durch das Eingeben der Werte in einen Taschenrechner.
Falls jedoch solche Gerรคte oder Tabellen nicht zur Hand sind, muss eine Nรคherung ge-
funden werden, die es ermรถglicht, die Werte von sin(๐ฅ๐ฅ) direkt auszurechnen. Um diese
Nรคherung zu finden, kann die Taylorreihe genutzt werden.
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๐๐(๐ฅ๐ฅ0) + ๐๐โฒ (๐ฅ๐ฅ0) โ (๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0) +๐๐โฒโฒ (๐ฅ๐ฅ0)
2!(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)2 + โฏ +
๐๐(๐๐)(๐ฅ๐ฅ0)๐๐!
(๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ0)๐๐
Da die Taylorreihe nun n Ableitungen von ๐๐(๐ฅ๐ฅ) - hier sin ๐ฅ๐ฅ- verlangt, mรผssen diese erst
gebildet werden.
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = sin(๐ฅ๐ฅ); ๐๐โฒ (๐ฅ๐ฅ) = cos(๐ฅ๐ฅ) ; ๐๐โฒโฒ (๐ฅ๐ฅ) = โ sin(๐ฅ๐ฅ) ;
๐๐โฒโฒโฒ (๐ฅ๐ฅ) = โ cos(๐ฅ๐ฅ) ; ๐๐โฒโฒโฒโฒ (๐ฅ๐ฅ) = sin(๐ฅ๐ฅ)
Da, wie hier gesehen, die 4. Ableitung wieder sin(๐ฅ๐ฅ) ergibt, wiederholt sich die Folge
wieder. Setzt man nun ๐ฅ๐ฅ0 = 0, so ergeben alle Ableitungen mit einem Sinus 0, da dieser
unabhรคngig vom Vorzeichen dort seine Nullstelle hat. Da sich die oben beschriebene
Reihe immer wiederholt, kann man sagen, dass somit alle Ableitungen wegfallen, die
ein Vielfaches von 2 als Ableitungsgrad haben. Der nicht abgeleitete Funktionsterm
fรคllt auch weg:
๐๐(๐ฅ๐ฅ) =cos(๐ฅ๐ฅ0)
1!โ ๐ฅ๐ฅ +
โ cos(๐ฅ๐ฅ0)3!
โ ๐ฅ๐ฅ3 +cos(๐ฅ๐ฅ0)
5!โ ๐ฅ๐ฅ5 + โฏ
Bei ๐ฅ๐ฅ0 = 0 ergibt sich fรผr den Cosinus immer 1. Deswegen sind hier auch die Vorzei-
chen vor dem Cosinus relevant. Dadurch, dass sich die Reihe der Ableitungen immer
wiederholt, kann man davon ausgehen, dass โ+โ und โ-โ immer abwechselnd vorkom-
men, startend mit โ+โ. Somit kommt man auf folgenden Funktionsterm:
๐๐(๐ฅ๐ฅ) =11!
โ ๐ฅ๐ฅ โ13!
โ ๐ฅ๐ฅ3 +15!
โ ๐ฅ๐ฅ5 โ17!
โ ๐ฅ๐ฅ7 + โฏ
- 13 -
Diesen Term kann man auch mit einem Reihenterm ausdrรผcken. Diese Reihe stellt eine
Summe dar, die von 0 bis โ entwickelt wird. Da in einer Summe immer nur um eine
Ganzzahl vorangeschritten wird, muss dafรผr gesorgt werden, dass keine geraden Zahlen
vorkommen. Dies erreicht man, wenn man folgenden Term nutzt: (2๐๐ + 1). Das 2๐๐
sorgt dafรผr, dass die Zahl immer gerade ist. Wenn man nun noch 1 dazu addiert, so er-
langt man zwingend eine ungerade Zahl. Um dazu noch zu erreichen, dass die Vorzei-
chen sich immer abwechseln, muss der Term (โ1)๐๐ noch vorangestellt werden. Bei
geraden Potenzen eliminieren sich die Minus-Zeichen und man erreicht โ+โ als Lรถsung.
Fรผr ungerade Potenzen gilt das umgekehrt. Nun erreicht man folgende Summenformel:
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๏ฟฝ(โ1)๐๐ โ๐ฅ๐ฅ2๐๐+1
(2๐๐ + 1)!
โ
๐๐=0
= sin(๐ฅ๐ฅ)
Da sich nicht eine Summe mit der oberen Grenze โโโ errechnen lรคsst, muss man, wenn
man sich mit der Taylorreihe dem Sinus nรคhern will, eine klare Grenze setzen, was aber
auch dazu fรผhrt, dass die angenรคherte Funktion nicht mehr der Sinus-Funktion ent-
spricht, sondern sich eben nur annรคhert. Wรคhlt man beispielsweise 20 als obere Grenze,
so kommt man auf folgenden Funktionsterm 10
10 Errechnet und Ausgegeben mit Wolfram Mathematica 7.0; Quelltext :
Sum๏ฟฝ(โ1)๐๐ โ (๐ฅ๐ฅ2๐๐+1) ๏ฟฝ(2๐๐ + 1)!๏ฟฝโ , {๐๐, 0,20}๏ฟฝ
:
๐๐20(๐ฅ๐ฅ) = ๏ฟฝ(โ1)๐๐ โ๐ฅ๐ฅ2๐๐+1
(2๐๐ + 1)!
20
๐๐=0
=๐ฅ๐ฅ1!
โ๐ฅ๐ฅ3
3!+
๐ฅ๐ฅ5
5!โ
๐ฅ๐ฅ7
7!+
๐ฅ๐ฅ9
9!โ
๐ฅ๐ฅ11
11!+
๐ฅ๐ฅ13
13!โ
๐ฅ๐ฅ15
15!+
๐ฅ๐ฅ17
17!โ
๐ฅ๐ฅ19
19!+
๐ฅ๐ฅ21
21!โ
๐ฅ๐ฅ23
23!
+๐ฅ๐ฅ25
25!โ
๐ฅ๐ฅ27
27!+
๐ฅ๐ฅ29
29!โ
๐ฅ๐ฅ31
31!+
๐ฅ๐ฅ33
33!โ
๐ฅ๐ฅ35
35!+
๐ฅ๐ฅ37
37!โ
๐ฅ๐ฅ39
39!+
๐ฅ๐ฅ41
41!
โ sin(x)
- 14 -
Lรคsst man sich die die Abweichung der Polynomfunktion zu der sin ๐ฅ๐ฅ-Funktion als
Funktion plotten, so erhรคlt man folgende Grafik:
Hier ist zu sehen, dass die durch die Taylorreihe angenรคherte Polynomfunktion im In-
tervall [โ14; 14] keine bemerkenswerten Abweichungen hat und somit zum Berechnen
von Funktionswerten innerhalb des Intervalls nutzbar ist.
4.1.1. Die MacLaurinโsche Reihe Fรผr die Annรคherung an die sin ๐ฅ๐ฅ-Funktion wurde hier - um ein mรถglichst einfaches
Polynom zu erreichen - als Entwicklungspunkt fรผr die Funktion der Wert 0 gewรคhlt.
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ๏ฟฝ๐๐(๐๐)(0)
๐๐!โ ๐ฅ๐ฅ๐๐
๐๐
๐๐=0
= ๐๐(0) + ๐๐โฒ (0) โ ๐ฅ๐ฅ +๐๐โฒโฒ (0)
2!โ ๐ฅ๐ฅ2 +
๐๐(3)(0)3!
+ โฏ +๐๐(๐๐)(0)
๐๐!+ โฏ
5 10 15 20
0.2
0.4
0.6
Schwarz: sin ๐ฅ๐ฅ | Rot:๐๐20(๐ฅ๐ฅ)|๐บ๐บ๐๐๐บ๐บ๐๐: ๐๐5(๐ฅ๐ฅ)
20 10 10 20
321
123
- 15 -
Dies ist ein Sonderfall der Taylorreihe, welcher auch die โMaclaurinsche Reiheโ ge-
nannt wird. Der Name stammt von dem schottischen Mathematiker Colin Maclaurin,
welcher diese in seinem Werk โMethodus incremetorum directa et inversaโ11
4.2. Annรคherung an die ๐๐๐๐(๐๐+๐๐๐๐โ๐๐
)-Funktion
nutzte.
Eine ebenso wichtige Funktion ist die ln(x)-Funktion. Jedoch besteht bei dieser auch
wieder das Problem, dass sich fรผr sie nicht explizit durch einen Rechenterm die Funkti-
onswerte ausrechnen lassen. Eine Mรถglichkeit, einen solchen Rechenterm zu erstellen,
wรคre also das Nutzen der Taylorreihe. Da man aber normalerweise als Entwicklungs-
punkt den Wert ๐ฅ๐ฅ0 = 0 nimmt, um eine MacLaurinsche Reihe zu erhalten, ist die ln(๐ฅ๐ฅ)-
Funktion ungeeignet, da sie bei dem Wert ๐ฅ๐ฅ = 0 und allen negativen Werten nicht defi-
niert ist. Um dies zu umgehen, kann man nun den Entwicklungspunkt erhรถhen, oder die
Funktion durch Verรคnderung des Wertes in der Klammer verschieben. Dafรผr wรคren die
Terme 1 + ๐ฅ๐ฅ oder 1+๐ฅ๐ฅ1โ๐ฅ๐ฅ
passend. Fรผr den Term ln(1+๐ฅ๐ฅ1โ๐ฅ๐ฅ
) konvergiert die Taylorreihe
schneller als fรผr den Term ln(1 + ๐ฅ๐ฅ) 12. Somit scheint die Funktion ln(1+๐ฅ๐ฅ1โ๐ฅ๐ฅ
) praktikab-
ler fรผr die Betrachtung zu sein. Da ln(1+๐ฅ๐ฅ1โ๐ฅ๐ฅ
) Definitionslรผcken bei ๐ฅ๐ฅ = 1 und ๐ฅ๐ฅ = โ1
hat, ist der maximale Radius, in dem die Taylorreihe sich an die Funktion annรคhern
kann, der sogenannte Konvergenzradius gleich 1. Fรผr den ln((1+๐ฅ๐ฅ)1โ๐ฅ๐ฅ
)-Term trifft dies
auch zu. Um diese Funktion nun in eine Taylorreihe zu setzen, ist es wieder notwendig,
die Ableitungen zu bilden. Da der Term komplexer ist als z.B. ein sin(๐ฅ๐ฅ)-Term und sich
seine Ableitungen nicht nach einem Muster wiederholen, empfiehlt es sich, die Ablei-
tungen mittels eines Programms (In diesem Falle Wolfram Mathematica 7.0) zu bilden.
Diese durch den Computer berechneten Ableitungen, lassen an sich auf kein Muster
deuten. Wenn man jedoch ๐ฅ๐ฅ = 0 immer einsetzt, kommt man auf folgende Beobachtun-
gen:
โข Alle Ableitungen mit geraden Ableitungsgrad ergeben 0. Somit werden diese in
der Taylorreihe wegfallen.
โข Betrachtet man nun die Werte, die durch die Ableitungen mit ungeraden Ablei-
tungsgrad entstehen, so erkennt man, dass diese Werte rasant ansteigen. Durch
11 Vgl. Literatur 4 12 Vgl. Literatur 5
- 16 -
das Einsetzen dieser Ergebnisse in die Taylorformel, lรคsst sich durch Kรผrzen
folgender Term erschlieรen:
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = 2๐ฅ๐ฅ 1
1+ 2๐ฅ๐ฅ 3
3+ 2๐ฅ๐ฅ 5
5+ 2๐ฅ๐ฅ 7
7+ 2๐ฅ๐ฅ 9
9+ 2๐ฅ๐ฅ 11
11+ 2๐ฅ๐ฅ 13
13+ 2๐ฅ๐ฅ 15
15+ 2๐ฅ๐ฅ 17
17+ 2๐ฅ๐ฅ 19
19
Hier lรคsst sich erkennen, dass die Nenner unter den einzelnen x-Potenzen den gleichen
Wert wie die Potenzen haben. Zudem wird jeder Bruch mit 2 multipliziert. Dies kann
man folglich auch mit einer Summenschreibweise darstellen:
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = ln ๏ฟฝ1 + ๐ฅ๐ฅ1 โ ๐ฅ๐ฅ
๏ฟฝ = 2 ๏ฟฝ๐ฅ๐ฅ2๐๐+1
2๐๐ + 1
โ
๐๐=0
fรผr x โ ]-1;1[
Die Begrenzung, welche bestimmt, dass der angenรคherte Term nur im Intervall ] โ 1; 1[
gilt, kommt daher, dass die ln(1+๐ฅ๐ฅ1โ๐ฅ๐ฅ
)-Funktion bei den Werten ๐ฅ๐ฅ = โ1 und ๐ฅ๐ฅ = 1 Defini-
tionslรผcken besitzt ist und somit nicht stetig ist. Somit muss auch die Definitionsmenge
fรผr die angenรคherte Funktion gelten.
Entwickelt man nun die Nรคherung bis ๐๐ = 20, so erhรคlt man folgenden Funktionsterm:
๐๐20(๐ฅ๐ฅ) = 2 ๏ฟฝ๐ฅ๐ฅ2๐๐+1
2๐๐ + 1
20
๐๐=0
= 2๐ฅ๐ฅ +2๐ฅ๐ฅ3
3+
2๐ฅ๐ฅ5
5+
2๐ฅ๐ฅ7
7+
2๐ฅ๐ฅ9
9+
2๐ฅ๐ฅ11
11+
2๐ฅ๐ฅ13
13+
2๐ฅ๐ฅ15
15+
2๐ฅ๐ฅ17
17+
2๐ฅ๐ฅ19
19
+2๐ฅ๐ฅ21
21+
2๐ฅ๐ฅ23
23+
2๐ฅ๐ฅ25
25+
2๐ฅ๐ฅ27
27+
2๐ฅ๐ฅ29
29+
2๐ฅ๐ฅ31
31+
2๐ฅ๐ฅ33
33+
2๐ฅ๐ฅ35
35+
2๐ฅ๐ฅ37
37
+2๐ฅ๐ฅ39
39+
2๐ฅ๐ฅ41
41โ ln ๏ฟฝ
1 + ๐ฅ๐ฅ1 โ ๐ฅ๐ฅ
๏ฟฝ fรผr x โ ]-1;1[
- 17 -
Hier lรคsst sich nur eine minimale Abweichung erkennen, welche man wieder plotten
lassen kann, was auf den untenstehenden Graphen fรผhrt.
Bei der Betrachtung der Abweichungswerte lรคsst sich sehen, dass nennenswerte Abwei-
chungen (Abweichung > 0,0001) erst ab ungefรคhr den Werten ๐ฅ๐ฅ = ยฑ0,845 erreicht
wird. Fรผr alle betragsmรครig kleineren Werte ist also die Rechnung anwendbar. Entwi-
ckelt man bis ๐๐ = 40, so beginnt die nennenswerte Abweichung ungefรคhr erst ab den
Werten ๐ฅ๐ฅ = ยฑ0,917.
4.3. Annรคherung an die ๐๐๐๐โ๐๐
-Funktion
Auch bei der Nรคherung an die 1๐ฅ๐ฅ-Funktion existiert das Problem, dass bei der Stelle
๐ฅ๐ฅ = 0 eine Definitionslรผcke vorliegt. Deswegen empfiehlt es sich die Funktion zu ver-
schieben, um somit diese Definitionslรผcke ebenso zu verschieben. Zudem erzeugt in
diesem Falle eine zusรคtzliche Spiegelung an der y-Achse spรคter in der angenรคherten
1.0 0.5 0.5 1.0
4
2
2
4
2 1 1 2
6
4
2
2
4
6
Schwarz: ln ๏ฟฝ1 + ๐ฅ๐ฅ1 โ ๐ฅ๐ฅ
๏ฟฝ | Rot:๐๐20(๐ฅ๐ฅ)|๐บ๐บ๐๐๐บ๐บ๐๐: ๐๐5(๐ฅ๐ฅ)
- 18 -
Polynomfunktion einen besonders einfachen Term. Somit wird oft fรผr eine zu 1๐ฅ๐ฅ รคhnliche
Funktion die Funktion 11โ๐ฅ๐ฅ
-Funktion fรผr die Taylor-Annรคherung gewรคhlt.
Um genรผgend Werte fรผr die Taylorreihe zu erreichen, muss diese Funktion wieder
mehrmals abgeleitet werden. Hierfรผr kann man die Quotientenregel nutzen. Fรผr diese
Regel substituiert man den Zรคhler des abzuleitenden Quotienten mit der Variable ๐ข๐ข und
den Nenner mit der Variablen ๐ฃ๐ฃ. Diese werden dann in folgende Formel eingesetzt:
๏ฟฝ๐ข๐ข๐ฃ๐ฃ
๏ฟฝโฒ
=๐ข๐ขโฒ ๐ฃ๐ฃ โ ๐ข๐ข๐ฃ๐ฃโฒ
๐ฃ๐ฃ2
Da die Ableitung von 1, also ๐ข๐ข, 0 ist, fรคllt der Minuend im Nenner weg. Deswegen
bleibt also nur noch โ๐ข๐ข๐ฃ๐ฃโฒ im Zรคhler รผbrig, was in diesem Falle 1 ergibt. Der Zรคhler
wird zu (๐ฅ๐ฅ โ 1)2. Somit wird die 1. Ableitung ๐๐โฒ (๐ฅ๐ฅ) = 1(1โ๐ฅ๐ฅ)2. Fรผr die 2. Ableitung
muss die Quotientenregel wieder angewendet werden. Jedoch ergibt sich hier im Zรคhler
nach Ableitung von ๐ฃ๐ฃ mittels Kettenregel der Term 2(1 โ ๐ฅ๐ฅ). Da aber im Zรคhler keine
Summe ist, kann (1 โ ๐ฅ๐ฅ) einmal gekรผrzt werden. Das fรผhrt zu der 2. Ableitung
๐๐โฒโฒ (๐ฅ๐ฅ) = 2(1โ๐ฅ๐ฅ)3. Dadurch, dass immer durch die Kettenregel die Potenz des Nenners als
Faktor in den Zรคhler kommt und sich die (1 โ ๐ฅ๐ฅ)-Terme im Zรคhler heraus kรผrzen, lรคsst
sich folgendes Muster in den Ableitungen erkennen:
๐๐(๐๐)(๐ฅ๐ฅ) =๐๐!
(1 โ ๐ฅ๐ฅ)๐๐+1
Setzt man nun jeweils den Wert ๐ฅ๐ฅ = 0 in die Ableitungen ein, so bleibt nur noch die
Fakultรคt von ๐๐ รผbrig. Angewendet auf die Taylorreihe ergibt sich also folgende Poly-
nomfunktion:
๐๐๐๐ (๐ฅ๐ฅ) =0!0!
โ ๐ฅ๐ฅ0 +1!1!
โ ๐ฅ๐ฅ1 +2!2!
โ ๐ฅ๐ฅ2 + โฏ +๐๐!๐๐!
โ ๐ฅ๐ฅ๐๐ = 1 + ๐ฅ๐ฅ1 + ๐ฅ๐ฅ2 + โฏ + ๐ฅ๐ฅ๐๐ = ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ๐ฃ๐ฃ๐๐
๐ฃ๐ฃ=0
Eine Entwicklung einer Annรคherungsfunktion bis zum Wert ๐๐ = 20 ergibt folglich die-
sen Term:
- 19 -
๐๐20(๐ฅ๐ฅ) = ๏ฟฝ ๐ฅ๐ฅ๐๐20
๐๐=0
= 1 + ๐ฅ๐ฅ + ๐ฅ๐ฅ2 + ๐ฅ๐ฅ3 + ๐ฅ๐ฅ4 + ๐ฅ๐ฅ5 + ๐ฅ๐ฅ6 + ๐ฅ๐ฅ7 + ๐ฅ๐ฅ8 + ๐ฅ๐ฅ9 + ๐ฅ๐ฅ10 + ๐ฅ๐ฅ11 + ๐ฅ๐ฅ12
+ ๐ฅ๐ฅ13 + ๐ฅ๐ฅ14 + ๐ฅ๐ฅ15 + ๐ฅ๐ฅ16 + ๐ฅ๐ฅ17 + ๐ฅ๐ฅ18 + ๐ฅ๐ฅ19 + ๐ฅ๐ฅ20
Auch fรผr diese Annรคherung ist es wieder sinnvoll, sich die Abweichungen in einem
Graph anzuzeigen lassen:
1.0 0.5 0.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
1.0 0.5 0.0 0.5 1.0
1
2
3
4
5
6
Schwarz:1
1 โ ๐ฅ๐ฅ | Rot:๐๐20(๐ฅ๐ฅ)|๐บ๐บ๐๐๐บ๐บ๐๐: ๐๐5(๐ฅ๐ฅ)
- 20 -
Dieser Graph zeigt wieder, dass fรผr die Werte, die ungefรคhr im Intervall [โ0,8; 0,7]
liegen, sehr genau durch die Taylorreihe approximiert werden und somit fรผr eine Rech-
nung nutzbar sind.
5. Anwendungen
5.1. Die Kleinwinkelnรคherung Die Kleinwinkelnรคherung dient in der Physik dazu, dass einige Rechnungen leichter
durchgefรผhrt werden kรถnnen. Sie besagt, dass bei genรผgend kleinen Winkeln der Wert
des Sinus ungefรคhr gleich dem Winkel ist. Fรผr die Kleinwinkelnรคherung muss also fol-
gende Gleichung gelten:
sin(๐ผ๐ผ) โ ๐ผ๐ผ
Diese Nรคherung ist durch die Taylorreihe des Sinus abzuleiten, welche durch die Sum-
me sin ๐ผ๐ผ = โ (โ1)๐๐ โ ๐ผ๐ผ2๐๐ +1
(2๐๐+1)!โ๐๐=0 ausgedrรผckt wird. Schreibt man nun die Entwicklung
aus, so erhรคlt man folgendes Polynom:
sin ๐ผ๐ผ = ๐ผ๐ผ โ๐ผ๐ผ 3
6+
๐ผ๐ผ 5
120โ โฏ
Die Kleinwinkelnรคherung wird oft fรผr die Werte von 0ยฐ bis ca. 10ยฐ angewendet. Rech-
net man die Winkel in das Bogenmaร um, so kommt man auf den Wert 0,174533 fรผr
10ยฐ. Da dieser Wert zwischen 1 und 0 liegt, wird er durch das 3-fache Potenzieren ver-
kleinert. Das weitere Teilen mit dem Nenner 6 verkleinert die Zahl weiter. Somit erlangt
man letztendlich einen vernachlรคssigbaren Wert von ungefรคhr 0,000886. Da sich im
weiteren Teil des Terms die Potenzen weiter erhรถhen und die Werte der Nenner rasant
ansteigen, ist dieser Rest auch vernachlรคssigbar. Somit bleibt nur noch sin ๐ผ๐ผ โ ๐ผ๐ผ รผbrig.
5.2. Anwendungen in der Physik mit Beispiel In einigen Fรคllen sind gegebene Formeln in der Physik zu kompliziert oder zu komplex,
um sie fรผr eine Rechnung zu nutzen, die kein sehr exaktes Ergebnis erfordert. Deswe-
gen wurden Nรคherungsformeln entwickelt, die versuchen, fรผr einen gewissen Anwen-
dungsbereich mรถglichst genaue Ergebnisse zu liefern und trotzdem nicht zu schwer zu
errechnen sind.
- 21 -
Beispielsweise ist die Formel fรผr die Kรถrperausdehnung bei einem gewissen Tempera-
turunterschied13
Versucht man nun eine Nรคherungsformel zu erreichen, welche diese Wurzel nicht er-
hรคlt, so kann man sich an die Funktion mittels einer Taylorreihe annรคhern. Dafรผr ersetzt
man ๐พ๐พ โ ฮ๐ก๐ก, welches die Variablen in der Formel darstellen, mit einem ๐ฅ๐ฅ und entwickelt
somit um die Funktion
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = โ1 + ๐ฅ๐ฅ3
relativ komplex, da sie eine Wurzel 3. Grades enthรคlt:
๐ฟ๐ฟ2 = ๐ฟ๐ฟ1 ๏ฟฝ(1 + ๐พ๐พ โ ฮt)3
die Taylorreihe. Durch Ableiten erreicht man nun wieder die nรถtigen Werte fรผr die Tay-
lorreihe.
๐๐โฒ (๐ฅ๐ฅ) =13
(1 + ๐ฅ๐ฅ)โ23 ๏ฟฝ ๐๐โฒโฒ (๐ฅ๐ฅ) =
13
โ ๏ฟฝโ23
๏ฟฝ โ (1 + ๐ฅ๐ฅ)โ53 ๏ฟฝ
๐๐(3)(๐ฅ๐ฅ) =13
โ ๏ฟฝโ23
๏ฟฝ โ ๏ฟฝโ53
๏ฟฝ โ (1 โ ๐ฅ๐ฅ)โ83
Fรผr die Werte ๐ฅ๐ฅ = 0 bilden also die Ableitungen folgende Ergebnisse:
๐๐โฒ (0) =13
๏ฟฝ ๐๐โฒโฒ (0) = โ29
๏ฟฝ ๐๐โฒโฒโฒ (0) =1027
Entwickelt man nun aus diesen Werten das Taylorpolynom bekommt man diesen Term:
๐๐3(๐ฅ๐ฅ) = 1 +13
๐ฅ๐ฅ โ2
9 โ 2!๐ฅ๐ฅ2 +
1027 โ 3!
๐ฅ๐ฅ3
Fรผr ein kleines x โverschwindenโ nun die Terme mit ๐ฅ๐ฅ2 und hรถher, da sie durch das
Potenzieren noch kleiner werden (z.B. ๐ฅ๐ฅ = 0,001 => ๐ฅ๐ฅ 2
9โ 0,0000001). Solche kleinen
Werte kรถnnen also vernachlรคssigt werden, da eine derart exakte Messung nur schwer
oder gar nicht mรถglich ist.
Somit kann man nun die Funktion in einer Nรคherung mit dem Term
๐๐(๐ฅ๐ฅ) = 1 +13
๐ฅ๐ฅ
13 Vgl. Literatur 1, S.297
- 22 -
umschreiben. Dies fรผhrt dazu, dass man eine Nรคherungsformel fรผr die Kรถrperausdeh-
nung angeben kann:
๐ฟ๐ฟ2 โ ๐ฟ๐ฟ1(1 +๐พ๐พ3
โ ฮ๐ก๐ก)
Durch das Finden dieser Nรคherungsformel ist es nun erheblich leichter zu rechnen, da
die Wurzel 3. Grades wegfรคllt. Eine Nรคherung durch die Taylorreihe nimmt also fรผr die
Vereinfachung einer Rechnung in der Physik eine wichtige Stellung ein.
6. Schluss Die Facharbeit beschreibt nur einen Teil der Anwendungen und der Mรถglichkeiten der
Taylorreihe. Durch eine Erweiterung der Formel ist es selbst mรถglich, mehrdimensiona-
le Funktionen anzunรคhern. Dies kann beispielsweise in der Physik bei dem Rechnen mit
dreidimensionalen Vektoren sehr hilfreich sein. Auch in der Informatik, beispielsweise
in der Umrechnung von Fischaugen-Fotografien in Weitwinkelaufnahmen,14
werden die
Taylorreihen genutzt. Somit stellt die Taylorreihe eine wichtige mathematische Metho-
de dar und wird auch deswegen รถfters genutzt.
14 Vgl. Literatur 1, S. 298
- 23 -
7. Anhang
7.1. Literatur und Quellen 1. Georg Glaser, โDer Mathematische Werkzeugkasten โ Anwendungen in Natur
und Technikโ, Mรผnchen, 2006
2. Kurt Degen, โMathematisches Unterrichtswerk, Analysis 2โ , Mรผnchen, 1977
3. Andre Weil, โWurzelzieher Mathepediaโ http://mathepedia.de/Satz_von_Rolle.aspx
(Zuletzt abgerufen und gespeichert: 17.01.2010)
4. Seite โColin Maclaurinโ. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Bearbeitungs-
stand: 5. Januar 2010, 12:03 UTC. URL:
http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Colin_Mclaurin&oldid=335986531
(Zuletzt abgerufen und gespeichert: 23.01.2010)
5. Seite โTaylorreiheโ. In Wikipedia, Die Freie Enzyklopรคdie. Bearbeitungsstand: 4.
Januar 2010, 19:41 UTC. URL:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Taylorreihe&oldid=68829819
(Zuletzt abgerufen und gespeichert: 24.01.2010)
6. Hermann Athen, Jรถrn Bruhn, โLexikon der Schulmathematik, Band 3 - L bis Rโ,
1977, Kรถln
7. Hermann Athen, Jรถrn Bruhn, โLexikon der Schulmathematik, Band 4 โ S bis Xโ ,
1978, Kรถln
8. Marianne Baierlein, Friedrich Barth, Ulrich Greifenegger, Gerd Krumbacher,
โAnschauliche Analysis 2 โ Leistungskursโ , Mรผnchen, 1984
9. Seite โTaylor Seriesโ. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Bearbeitungsstand:
21. Januar 2010, 11:32 UTC. URL:
http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Taylor_series&oldid=339242431
(Zuletzt abgerufen und gespeichert: 17.01.2010)
10. Seite โTaylor-Formelโ. In Wikipedia, Die Freie Enzyklopรคdie. Bearbeitungsstand:
6. Januar 2010, 20:06 UTC. URL:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Taylor-Formel&oldid=68923565
(Zuletzt abgerufen und gespeichert: 23.01.2010)
11. Seite โPartielle Integrationโ. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopรคdie. Bearbei-
tungsstand: 23. Januar 2010, 13:12 UTC. URL:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Partielle_Integration&oldid=69691611
(Zuletzt abgerufen und gespeichert: 24.01.2010)
- 24 -
12. Seite โFolge (Mathematik)โ. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopรคdie. Bearbei-
tungsstand: 5. Januar 2010, 10:26 UTC. URL:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Folge_(Mathematik)&oldid=68851671
(Zuletzt abgerufen und gespeichert: 23.01.2010)
7.2. Hilfsmittel Fรผr das erstellen der Funktionsgraphen und das errechnen von Ableitungen und For-
meln nutzte ich das Programm Wolfram Mathematica 7.0. Der Text und die Formeln
wurden in Microsoft Word 2007 geschrieben.
Diese Facharbeit โDie Herleitung und Erklรคrung der Taylorreihe anhand verschiedener
mathematischer Funktionen und ihrer Anwendung in der Physikโ von Daniel Thiem
steht unter einer
Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0
Deutschland Lizenz.
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/
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โ Ich erklรคre hiermit, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die
im Literaturverzeichnis angefรผhrten Quellen und Hilfsmittel benutzt habeโ
โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ, den โฆโฆโฆโฆโฆ โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. Ort Datum Unterschrift des Schรผlers