Post on 19-Jul-2015
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
IME - Instituto de Matemática e Estatística
LANTE – Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino
TRABALHO FINAL DA DISCIPLINA HMAP – 2010/4 NOME: Mário César Cunha
PÓLO: Botucatu- SP
GRUPO: 06
Solução de equações pelo método de Diofanto
Vamos resolver alguns exercícios aplicando esse método dos babilônios e Diofanto.
Como exemplos dos primeiros problemas de equações do segundo grau, encontrados nas tabuas
de argila dos antigos babilônios, bem como no livro Aritmética de Diofanto, resolvidos pelo
método acima descrito, temos os seguintes:
1. (Babilônios, 1800 a.C.) Encontre dois números cuja soma é 14 e cujo produto é 45.
2. (Diofanto, em Aritmética) Encontre dois números cuja soma é 20 e cuja soma de seus
quadrados é 208.
Resolução do problema 1: São procurados dois números x e y satisfazendo x + y = 14 e
x · y = 45 .
Segundo o método acima descrito, fazemos x = 7 − a e y = 7 + a.
Teremos então que a equação xy = 45 torna-se (7−a)(7+a) = 45,
ou seja,
72 − a2 = 45, do que a2 = 4, e portanto
a = ±2.
OBSERVAÇÃO: Os babilônios, bem como Diofanto, consideravam apenas a solução
positiva a = 2. Os números negativos parecem ter surgido no século 7, com o astrônomo hindu
Bramagupta.
Assim temos, portanto a = 2, teremos x = 5 e y = 9. Se tomarmos a = −2, teremos x = 9 e
y = 5. Portanto os números procurados são 5 e 9.
Resolução do problema 2: - São procurados dois números satisfazendo
20820 22 =+=+ yxeyx
Novamente, assumimos, com base na soma dada dos números procurados,
x = 10 – a e y = 10 + a
A equação x² + y² torna-se então
208)10()10( 22 =−+− aa
ou seja
208)20100()20100( 22 =++++− aaaa
de onde
24822082200 222 ±=∴=⇒=⇒=+ aaaa
Voltamos a lembrar que somente a solução positiva a = 2 era admitida.
Assim sendo, os números procurados são 10 - 2 = 8 e 10+2 = 12.
Problemas Complementares
1.) (Outro problema do Arithmetica de Diofanto) Encontre dois números cuja soma é 10 e cuja
soma de seus cubos é 370. Resposta: 3 e 7.
2.) Encontre dois números cujo produto é 24 e cuja soma dos cubos é 280. Resposta: 4 e 6.
3.) Considere o problema dos babilônios de encontrar dois números cuja soma é 14 e cujo
produto é 45. Que outros métodos podem ser empregados em sua resolução?
Que vantagens e desvantagens apresentam estes métodos em relação ao método exposto nos
exemplos acima?
4.) (Diofanto) Encontre dois números x e y satisfazendo
217010 33 =−=− yxeyx
OBS.: No método de Diofanto se a diferença x - y = p e dada, escrevemos
22p
ayep
ax −=+= . Resposta: x = 13, y = 3
5.) (Diofanto) Encontre dois números x e y satisfazendo )(284 33 yxyxeyx +=+=−
Resposta: x = 6 e y = 2; ou x = 2 e y = -2; ou x = -2 e y = -6. Diofanto buscava somente soluções
não negativas.
6) Resolva a equação x² - 6x = 27. [Método babilônico: Escreva a equação na forma x ¢
27)6( =−⋅ xx . Faca x -6 = y. O problema então consiste em determinar x (e y, embora só
estejamos buscando valores de x) satisfazendo x - y = 6 e xy = 27:] Resposta: x1 = 9, x2 = -3
8. Resolva a equacao x² + 6x = 16 pelo método babilônico descrito no exercício anterior.
Resposta: x1 = 2, x2 = -8