UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

IME - Instituto de Matemática e Estatística

LANTE – Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino

TRABALHO FINAL DA DISCIPLINA HMAP – 2010/4 NOME: Mário César Cunha

PÓLO: Botucatu- SP

GRUPO: 06

Solução de equações pelo método de Diofanto

Vamos resolver alguns exercícios aplicando esse método dos babilônios e Diofanto.

Como exemplos dos primeiros problemas de equações do segundo grau, encontrados nas tabuas

de argila dos antigos babilônios, bem como no livro Aritmética de Diofanto, resolvidos pelo

método acima descrito, temos os seguintes:

1. (Babilônios, 1800 a.C.) Encontre dois números cuja soma é 14 e cujo produto é 45.

2. (Diofanto, em Aritmética) Encontre dois números cuja soma é 20 e cuja soma de seus

quadrados é 208.

Resolução do problema 1: São procurados dois números x e y satisfazendo x + y = 14 e

x · y = 45 .

Segundo o método acima descrito, fazemos x = 7 − a e y = 7 + a.

Teremos então que a equação xy = 45 torna-se (7−a)(7+a) = 45,

ou seja,

72 − a2 = 45, do que a2 = 4, e portanto

a = ±2.

OBSERVAÇÃO: Os babilônios, bem como Diofanto, consideravam apenas a solução

positiva a = 2. Os números negativos parecem ter surgido no século 7, com o astrônomo hindu

Bramagupta.

Assim temos, portanto a = 2, teremos x = 5 e y = 9. Se tomarmos a = −2, teremos x = 9 e

y = 5. Portanto os números procurados são 5 e 9.

Resolução do problema 2: - São procurados dois números satisfazendo

20820 22 =+=+ yxeyx

Novamente, assumimos, com base na soma dada dos números procurados,

x = 10 – a e y = 10 + a

A equação x² + y² torna-se então

208)10()10( 22 =−+− aa

ou seja

208)20100()20100( 22 =++++− aaaa

de onde

24822082200 222 ±=∴=⇒=⇒=+ aaaa

Voltamos a lembrar que somente a solução positiva a = 2 era admitida.

Assim sendo, os números procurados são 10 - 2 = 8 e 10+2 = 12.

Problemas Complementares

1.) (Outro problema do Arithmetica de Diofanto) Encontre dois números cuja soma é 10 e cuja

soma de seus cubos é 370. Resposta: 3 e 7.

2.) Encontre dois números cujo produto é 24 e cuja soma dos cubos é 280. Resposta: 4 e 6.

3.) Considere o problema dos babilônios de encontrar dois números cuja soma é 14 e cujo

produto é 45. Que outros métodos podem ser empregados em sua resolução?

Que vantagens e desvantagens apresentam estes métodos em relação ao método exposto nos

exemplos acima?

4.) (Diofanto) Encontre dois números x e y satisfazendo

217010 33 =−=− yxeyx

OBS.: No método de Diofanto se a diferença x - y = p e dada, escrevemos

22p

ayep

ax −=+= . Resposta: x = 13, y = 3

5.) (Diofanto) Encontre dois números x e y satisfazendo )(284 33 yxyxeyx +=+=−

Resposta: x = 6 e y = 2; ou x = 2 e y = -2; ou x = -2 e y = -6. Diofanto buscava somente soluções

não negativas.

6) Resolva a equação x² - 6x = 27. [Método babilônico: Escreva a equação na forma x ¢

27)6( =−⋅ xx . Faca x -6 = y. O problema então consiste em determinar x (e y, embora só

estejamos buscando valores de x) satisfazendo x - y = 6 e xy = 27:] Resposta: x1 = 9, x2 = -3

8. Resolva a equacao x² + 6x = 16 pelo método babilônico descrito no exercício anterior.

Resposta: x1 = 2, x2 = -8