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© 2001 Büsching, F.: Hydromechanik 08.1
Energiehöhenverluste:Energiehöhenverluste bei turbulenter Strömung sind insbeson-dere vom Quadrat der mittleren Strömungsgeschwindigkeit v ab-hängig. Dies kann (nach BORDA-CARNOT) insbesondere für eine plötzliche (scharfkantige) Veränderung des Rohrquerschnitts (Rohrerweiterung bzw. Rohrverengung) durch Verwendung des Energiesatzes und des Impulssatzes (ρ . Q . v + p . A= konst.) gezeigt werden, vergl. Hydromechanik II.
v2g2
vAA1
g2vh
22
2
1
222
v ⋅⋅ζ=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
⋅=v1
A2A1
In diesem Sinne kann der kontinuierliche Rohrreibungsverlust ,vergl. oben, tatsächlich auch als eine Folge von Rohrerweiter-ungen und Rohrverengungen angesehen werden.
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Örtliche Energiehöhenverluste:Örtliche Energiehöhenverluste haben stets die gleiche Struktur:
g2vh
2
vö ⋅⋅ζ=
Sie treten überall auf, wo Strömungsablösungen geschehen, d.h., turbulente Verwirbelungen Strömungsenergie verbrauchen.Dies ist der Fall bei den bereits erwähnten Querschnittsän-derungen. Desweiteren bei Strömungsumlenkungen, Strömungs-verzweigungen und in Armaturen. Gewöhnlich bezieht sich der experimentell ermittelte ζ - Wert auf die mittlere Strömungsgeschwindigkeit v in Fließrichtung unterhalb der Störstelle. ζ - Werte werden für Armaturen von deren Herstellern angegebenund können für die unterschiedlichsten Konfigurationen Tabellen-büchern entnommen werden.
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Quelle: Schneider Bautabellen, 8. AuflageStumpf in ein Becken ragende Rohre als Einläufe vermeiden !
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Quelle: Schneider Bautabellen, 8. Auflage
Zu beachten: Rechen werden ggf. stark überbelastet, wenn dieRechenreinigungsanlage versagt und/oder wenn die betreffendewasserbauliche Anlage dauernd im Überlastbetrieb gefahren wird.
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Quelle: Schneider Bautabellen, 8. AuflageIn Krümmern bildet sich u. a. eine doppelte Spiralströmung aus, die mehr als 50% des Gesamtverlustes verursachen kann.Günstige Verhältnisse werden etwa bei r/D = 7 - 8 erreicht.
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Quelle: Schneider Bautabellen, 8. AuflageStromtrennungen werden z.B. bei Aufteilung eines Abflusses Q auf mehrere gleichartige Turbinen erforderlich. Ähnliches gilt für Stromvereinigungen bei Pumpenleitungen.
© 2001 Büsching, F.: Hydromechanik 08.7Quelle: Schneider Bautabellen, 8. Auflage
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Quelle: Schneider Bautabellen, 8. Auflage
© 2001 Büsching, F.: Hydromechanik 08.9Quelle: Schneider Bautabellen, 8. Auflage
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Quelle: Schneider Bautabellen, 8. Auflage
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Saugrohr
Pumpe
Druckrohrleitung
Bezugshorizonty = 0
i,v
2EE
Eman
2AA
AE hg2
vpyHg2
vpyh Σ+⋅
+γ
+=+⋅
+γ
+=
A
E
2 3
54Praktische Berechnung von Rohrleitungen:
Hier: Pumpen-Rohrleitung
Hgeo
1
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Alle Rohrleitungsaufgaben lassen sich auf die sogenannteerweiterte Höhenform des Energisatzes zurückführen:
i,v
2EE
Eman
2AA
AE hg2
vpyHg2
vpyh Σ+⋅
+γ
+=+⋅
+γ
+=
Die Summe aller Energiehöhenarten (Ortshöhe, Druckhöhe, Ge-schwindigkeitshöhe) am Anfangs-Kontrollquerschnitt (A) - ggf. er-gänzt mit der durch eine Strömungsmaschine dem System zuge-führten bzw. entzogenen sog. manometrischen Förderhöhe Hmanist gleichder Summe aller Energiehöhenarten am End-Kontrollquerschnitt (E) zuzüglich der Summe aller Energiehöheverluste Σhv,i des Gesamtsystems.
Pumpe: Hman positiv.
Turbine: Hman negativ.
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Für die oben dargestellte Pumpen-Rohrleitung (Standardan-ordnung) ist bezogen auf den Zulaufwasserspiegel y = 0vor dem Einlauf (A):yA = 0, pA/γ = 0, vA = 0.Hinzukommt Hman (+) als unbekannte Größe.Am Auslauf (E):yE = Hgeo , pE/γ = 0, vE = vm = Q/AHinzukommen der kontinuierliche Rohrreibungsverlust der gera-den Rohrstränge mit einer abgewickelten Gesamtlänge L
g2v
DLh
2
vR ⋅⋅⋅λ=
sowie die örtlichen Energiehöhenverluste der Reihenfolge nacham Einlauf (1), in den Krümmern (2) bis (4) und im voll geöffneten Regelorgan (5) (Schieber). g2
vh2
ii,vö ⋅⋅ζ=
(vereinfachend wird hier zunächst von gleichen Durchmessern D auf der Saug-und auf der Druckseite ausgegangen)
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g2v....
g2v
g2v
DL
g2vHh
g2vHH
2m
5
2m
1
2m
2m
geoi,v
2m
geoman ⋅⋅ζ++
⋅⋅ζ+
⋅⋅λ+
⋅+=Σ+
⋅+=
oder ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ζΣ+⋅λ+⋅
⋅+= i
2m
geoman DL1
g2vHH
Wenn .konst≈λ im Arbeitsbereich (= Leistungsbereich P = f(H, Q) der Pumpe)
ist hier cDL1 i =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ζΣ+⋅λ+
eine für die jeweilige Rohrleitung kennzeichnende konstante Zahl.Die Kennlinie der Rohrleitung ist dann eine einfache quadratischeParabel.
g2vcHH
2m
geoman ⋅⋅+=
Für eine bestimmte Fließgeschwindigkeit vm bzw. vorgegebenenDurchfluss Q = vm
. A ist Hman (von der Pumpe) bereitzustellen.
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Hman
H0
Q0Q
RohrleitungskennlinieArbeitspunkt
Q-H-Linie der Pumpevom Wirkungsgrad abhängig
Hgeo
Die Auftragung dieser Kurve über Q = A. vm zusammen mit der Q-H-Linie der Pumpe (Pumpenkennlinie) liefert als Schnittpunkt den sog. Arbeitspunkt, der angibt, welcher Durchfluss zu welcher Druckhöhe gehört.
g2AQcH
g2vcHH 2
2
geo
2m
geoman ⋅⋅⋅+=
⋅⋅+=
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Σhv
vD2/2g
A
ED
HgeopD/γ
yD
WS
HN
vE
vE2/2g
Turbinen-RohrleitungBezugshorizont
ivEE
EmanAA
AE hg
vpyHg
vpyh ,
22
22Σ+
⋅++=−
⋅++=
γγ
Mit Bezug zum Auslaufspiegel y = 0 ist im Anfangskontrollquer-schnitt A die Ortshöhe yA = Hgeo und Hman ist negativ, während amEndkontrollquerschnitt E ggf. noch vE
2/2g zu berücksichtigen ist.
Reaktionsturbine
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Die Nutzfallhöhe ist dann: HN = Hman = Hgeo - Σhv - vE2/2g
ivE
mangeo hg
vHH ,
2
20000 Σ+
⋅++=−++
ivEE
EmanAA
AE hg
vpyHg
vpyh ,
22
22Σ+
⋅++=−
⋅++=
γγ
Vor dem Druckstutzen (D) der Turbine befindet sich das sog. Wasserschloss (WS), das die Druckhöhe pd/γ anzeigt.
Die Summe der Energiehöhenverluste Σhv bezieht sich auf die Druckseite der Turbine.Verluste im Bereich des Saugrohres werden der Turbine zuge-rechnet und sind im Wirkungsgrad der Turbine erfasst.
Näheres vergl. “Wasserkraftanlagenbau”
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1 2 3 4 5
Energiehorizont
Bezugshorizont
hE h1
vg
12
2 ⋅
Aufgabe: Staumauer mit Ausfluss ausGrundablassins Freie.
unmaßstäblich !
Gegeben: Q = 50m3/s, A1 = 350m2, D2-3 = D4-5 = 2 m, L2-3 = 10m, L4-5 = 20m; k = 1,5mm, Verlustbeiwerte: Einlauf ζE =0,1; geöffneter Flachschieber ζS = 0,12; kinemat. Zähigkeit ν = 10-6 m2/s. Gesucht: Wasserstand h1; Energie- und Drucklinie.
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vE hg
vpyg
vhh Σ+⋅
++=⋅
+=22
255
5
21
1 γ
vhg
vg
vh Σ+⋅
++=⋅
+2
002
25
21
1
Summe aller Verluste: 5432 −− +++=Σ vvSvvEv hhhhhAlle Verluste sind von der Geschwindigkeitshöhe der Rohrströ-mung mit v2-5 = konst. abhängig.
s/m143,035050
AQv
11 ===
m001,062,19
143,0g2
v 221 ==⋅
smDQ
AQv /92,15
42
50
4
225252
52 =⋅
=⋅
=−−−
− ππ mg
v 92,1262,1992,15
2
2252 ==⋅−
Örtliche Verlusteam Einlauf:
am geöffneten Absperrorgan:
m29,192,121,0g2
vh22
EvE =⋅=⋅
⋅ζ=
mg
vh SvS 55,192,1212,02
24 =⋅=⋅
⋅= ζ
Energiesatz:
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Reibungsverlust Rohr 2-3: 92,122
102 32
232
32
323232 ⋅⋅=
⋅⋅⋅= −
−
−
−−− λλ
gv
DLhvR
DamDDD 24332 === −− und k2-3 = k4-5 = k = 0,0015m, wird ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== −− D
kRe,5432 λλλ
76
52 102,310
292,15Re ⋅=⋅
=⋅
= −−
νDv
4105,72
0015,0Dk −⋅==
Aus λ - Nomogramm:
018,0Re,5432 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== −− D
kλλλ
mg
vDLhv 16,192,12
210018,0
2
232
32
323232 =⋅⋅=
⋅⋅⋅= −
−
−−− λ
Reibungsverlust Rohr 4-5:
mg
vDLhv 33,292,12
220018,0
2
254
54
545454 =⋅⋅=
⋅⋅⋅= −
−
−−− λ
Summe d.Verluste: mhhhhh vvSvvEv 33,633,255,116,129,15432 =+++=+++=Σ −−
Wasserstand: mhg
vg
vh v 25,1933,6001,092,1222
21
252
1 =+−=Σ+⋅
−⋅
= −
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unmaßstäblich !Energie-horizont
B.H.
hE ≈ h1 = 19,25m
vg
m12
20001
⋅= ,
D.L.
E.L.mhv 33,6=Σ
mg
v 92,122
252 =⋅−
1 2 3 4 5
© 2001 Büsching, F.: Hydromechanik 08.22
unmaßstäblich ! Energie-horizont
B.H.
hE ≈ h1 = 19,25m
vg
m12
20001
⋅= ,
1,29m1,16m1,55m
2,33m
12,92m
1 2 3 4 5
© 2001 Büsching, F.: Hydromechanik 08.23
4 5
Aufgabe:Der Rohrreibungs-verlust hV ist für denRohrstrang zwischen4 und 5 gegeben.Es soll der Energie-satz allgemein be-züglich der Stellen 4 und 5 für unterschied-lich geneigte Rohr-stranglagen A, B, C, D, E aufgestellt werden.Wo liegt jeweils die Drucklinie ?In welchem Fall wirdp4/γ negativ ?
E.L. hV
A
B
C
D
E
Bezugshorizont jeweils auf der Höhedes Austritts ins Freie (bei 5).
© 2001 Büsching, F.: Hydromechanik 08.24
vhg
vpyg
vpy +⋅
++=⋅
++22
255
5
244
4 γγDer Bezugshorizont liegt jeweils auf der Höhe des Auslasses, y5 = 0, p5 = 0, v4 = v5.
vhpy ++=+ 0044 γ
44 yhp
v +=γ
vhp=
γ4
44 yhp
v −=γ
04 =γp
negativ4 =γp
44 yhp
v −=γ
Fall A: y4 negativ
Lösung auch fürBezugshorizonteauf der Höhe Bdurchführen !
Fall B: y4 = 0
Fall C: y4 positiv
Fall D: y4 = hv
Fall E: vhy >4
© 2001 Büsching, F.: Hydromechanik 08.25
unmaßstäbliche Skizze !
B.H.
vg
m12
20
⋅=
D.L.
E.L.
10 501m h h mE≤ ≈ ≤
Aufgabe:Ermittlung nur des Ausflusses Q für un-terschiedliche Was-sertiefen h1aus einem großen Becken (1) ins Freie (F).
Gegeben:D2-3 = D4-5 = D = 2m; L2-3 = 10m, L4-5 = 20m, L = L2-3 + L4-5 = 30m;k = 1,5mm; Verlustbeiwerte: Einlauf ζE =0,1; geöffneter Flach-schieber ζS = 0,12; kinemat. Zähigkeit ν = 10-6 m2/s.
1 F
Gesucht: Abflusskurve Q = f(h1); quasistationär
© 2001 Büsching, F.: Hydromechanik 08.26
Energiesatz:v
FFFE h
gvpy
gvhh Σ+
⋅++=
⋅+=
22
221
1 γ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+++⋅
⋅=Σ+
⋅=
DL
gvh
gvh SE
Fv
F λζζ122
22
1
aufgelöst nach vF:V
T
SE
F Wv
DL
hgv =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+++
⋅⋅=
λζζ1
2 1
v1 = 0
Es sind: vT = Fallgeschwindigkeit n. TORICELLI (reibungsfrei),WV = “Wurzel der Verlustbeiwerte”
1. Da WV immer > 1, wird vF < vT.
2. Da der zu bestimmende λ - Wert selbst - über die Re-Zahl - vonder Geschwindigkeit abhängig ist, ist eine Iteration erforderlich:
Es kann entweder vT als Eingangsgröße berechnet werden oder ein λ aus dem Wertevorrat gewählt werden: 100090 ,, ≤≤ λ
© 2001 Büsching, F.: Hydromechanik 08.27
Lösung für hE = h1 = 50m:s/m32,315081,92hg2v 1T =⋅⋅=⋅⋅=
4
766
105,72
0015,0Dk
1026,61064,6210
232,31DvRe
−
−
⋅==
⋅=⋅=⋅
=ν⋅
=
0182,0=λ
222,1493,12300182,012,01,01
DL1W SEv ==⋅+++=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅λ+ζ+ζ+=
smWvv
v
TF /67,25
22,132,31
===
76 1013,5
10267,25DvRe ⋅=⋅
=ν⋅
= −Re nur geringfügig verändert !
4105,72
0015,0Dk −⋅==
0181,0=λ
vF = 25,67m/s ist bereits hinreichend genau !
smAvQ FF /64,804267,25 3
2
=⋅
⋅=⋅=π
© 2001 Büsching, F.: Hydromechanik 08.28
Die Berechnung für andere Wasserstände hi wird am bestentabellarisch durchgeführt. Bezüglich der Näherung der λ - Werte wird jeweils von dem fürh1 = 50m gefundenen Wert λ = 0,0181 ausgegangen.Dann ergibt sich allgemein:
1
2
1
111
4,114263,3
63,322,12
22,12
hhAvQ
hhghgWvv
FF
v
TF
⋅=⋅
⋅⋅=⋅=
⋅=⋅⋅
=⋅⋅
==
π
Die Rechnung zeigt, dass Änderungen praktisch nicht erfolgen.Dies ist darauf zurückzuführen, dass hier für Re > 107 :
)D/k(λ=λalso von der REYNOLDS-Zahl unabhängig ist.
© 2001 Büsching, F.: Hydromechanik 08.29
Abflusskurve Q = f (h1) (quasistationär)
h1 Q vF Re k/D λ 1/Wv vF Q
m m3/s m/s .107 .10-4 m/s m3/s
10 36,05 11,48 2,20 7,5 0,0179 0,82 11,48 36,05
20 50,97 16,23 3,25 7,5 0,0180 0,82 16,23 50,97
30 62,42 19,88 3,98 7,5 0,0181 0,82 19,88 62,42
40 72,09 22,16 4,59 7,5 0,0181 0,82 22,16 72,09
50 80,60 25,67 5,10 7,5 0,0181 0,82 25,67 80,60
© 2001 Büsching, F.: Hydromechanik 08.30
Die Rechnung zeigt, dass Änderungen praktisch nicht erfolgen.Dies ist darauf zurückzuführen, dass hier für Re > 107 :
)D/k(λ=λ
also von der REYNOLDS-Zahl unabhängig ist.
7 5 10 4, ⋅ −
© 2001 Büsching, F.: Hydromechanik 08.31
Q h= ⋅114 1,
020406080
100
0 20 40 60h1[m]
hier Formel nur bedingt gültig !
(Näherung durch Polynom 5. Grades.)Bei sehr geringen Stauhöhen und damit sehr geringen Geschwindigkeiten (im Bereich Re < 3.106) wachsen die λ- Werte und die o.a.Funktion ist hier nicht mehr gültig.