Post on 12-Apr-2017
Assalamualaikum Wr. Wb.
Kita akan mempresentasikan tentang....ELIPS
Nama Kelompok :1.Dewi Ulul Azmi (01)
2.Ernita Khusnalia (03)3.Fransiska Anggraini (06)4.M. Febrian Bachtiar (13)5.Mawaddatul Hikmawati
(16)6.Moh. Prima T. (18)7.Rizky Ari S.P. (30)8.Upik Nurhalizah (33)9.Windri Ayu Atika Suri (36)
APA ITU “ELIPS”?
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu yang diketahui adalah tetap (konstan).
Dua titik tertentu itu disebut fokus atau titik api (F1 dan
F2), jarak F1 dan F2 adalah
2c, dan jumlah jarak tetap
adalah 2a (a > 0).
• Perhatikan gambar berikut!
A1 (-a, 0)
PA2 (a, 0)
(- c, 0) (c, 0)
(0, b)
(0, - b)
F2 F1
E L
KT
D
B2
B1
Keterangan :1. (F1 dan F2) disebut fokus. Jika T adalah
sembarang titik pada elips maka TF1 + TF2 = 2a. F1F2 = 2c, dengan 2a > 2c
2. A1A2 merupakan sumbu panjang (sumbu mayor) yang panjangnya sama dengan jarak tetap yaitu 2a. B1B2 merupakan sumbu pendek (sumbu minor) yang panjangnya sama dengan 2b. Karena itu a > b.
3. Lactus rectum yaitu segmen garis yang dibatasi elips, tegak lurus sumbu mayor, dan melalui fokus (DE dan KL) panjang lactus rectum DE = KL =
4. Titik pusat (P) yaitu titik potong sumbu mayor dengan sumbu minor
5. Titik puncak elips yaitu A1 ,A2 ,B1 , dan B2
F1 F2A B
D
C
F1 dan F2 disebut titik-titik api atau fokusTitik- titik A , B, disebut puncak-puncak ellips
Menggambar Elips
F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O
b
c
a
A2(a, 0)
B1(0, b)
B2(0, -b)
P(x, y)
JARAK TITIK
F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O
b
c
a
A2(a, 0)
B1(0, b)
B2(0, -b)
P(x, y)
Jika titiknya A2, maka :
A2F1 + A2F2 = 2a
(a + c) + (a – c) = 2a
2a = 2a
F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O
b
c
a
A2(a, 0)
B1(0, b)
B2(0, -b)
P(x, y)
Jika titiknya B1, maka :
222
22
22
2222
2111
22
2
2
acb
acb
acb
acbcb
aFBFB
a
a2 = b2 + c2
b2 = a2 - c2
c2 = a2 - b2
Phytagoras dalam Elips
F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O A2(a, 0)
B1(0, b)
B2(0, -b)
P(x, y)
(x, 0)
(y, 0)
Persamaan Elips dengan pusat O (0,0)
Karena
Persamaan Elips (horizontal)
Pusat O (0,0)
12
2
2
2
by
ax
O
F1(0,-c)
F2(0,c)P(x, y)
x
y
x2
b2y2
a21
a
b
(0,-a)
(0,a)
Elips Vertikal dengan pusat O (0,0)
elips horizontal elips vertikal
Persamaan Elips
Fokus (-c,0) , (c,0) (0,-c) , (0, c)
Puncak (-a,0) , (a,0) (0 ,-a) , (0,a)
Sumbu mayor Sumbu x Sumbu y
Sumbu minor Sumbu y Sumbu x
12
2
2
2
by
ax 12
2
2
2
bx
ay
Perbedaan Persamaan Ellips (0,0)
Selidiki dan buat sketsa grafik dari persamaan
225259 22 yx
Contoh soal
225259 22 yx
1225
252259 22
yx
1925
22
yx
252 a5a
92 b3b
222 bac
9252 c4c
x
y
(0,3)
(0,-3)
(0,5)(0,-5)
(0,4)(0,-4)
pembahasan
Diketahui elips dengan persamaan
.Tentukan fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor dan panjang lactus rectumnya !
Contoh soal
Diketahui persamaan elips = 81 ⇔ a = 9 = 25 ⇔ b = 5
= = ⇔ c =
Fokus (0, - ) dan (0, )Titik puncak (0, -9) dan (0, 9)Panjang sumbu mayor ⇔ 2a = 18Panjang sumbu minor ⇔ 2b = 10Panjang lactus rectum (LR) ⇔
pembahasan
O’ = S(g,h)
y
xO (0,0)
y’(x=g)
x’(y=h)
P 1''2
2
2
2
by
ax
1)()(2
2
2
2
bhy
agx
a
b
Persamaan Ellips dengan pusat S (g,h)
O’ = S (g,h)
y
xO (0,0)
y’(x=g)
x’ ( y=h)
P
1''2
2
2
2
ay
bx
1)()(2
2
2
2
ahy
bgxa
b
Ellips Vertikal dengan pusat S (g,h)
elips horizontal elips vertikal
Persamaan Elips
Fokus ((g-c),h) , ((g+c),h) (g,(h-c)) , (g,(h+c))
Puncak ((g-a),h) , ((g+a),h) (g,(h-a)) , (g,(h+a))
Sumbu mayor x’ atau y=h y’ atau x=g
Sumbu minor y’ atau x=g x’ atau y=h
1)()(2
2
2
2
bhy
agx
1)()(2
2
2
2
bgx
ahy
Perbandingan Persamaan Ellips (g,h)
Gambarlah ellips yang mempunyai persamaan
(x – 2)236
(y + 5)216+ =
1
Contoh soal
x
y
a2 = 36a = ±6
b2 = 16b = ±4
(x – 2)2
36(y + 5)2
16+ = 1
pusat = (2,-5)
(8,-5) (-4,-5)
(2,-1) (2,-9)
pembahasan
Gambarlah ellips yang mempunyai persamaan
(x – 2)2
36(y + 5)2
16+ = 1
Contoh soal
x
y
a2 = 25a = ±5
b2 = 81b = ±9
(x + 3)2
25
(y + 1)2
81+ = 1
Titik pusat = (-3,-1)
Titik puncak : (-3,8) (-3,-10)
(-8,-1) (2,-1)
pembahasan
Bentuk Umum Persamaan ElipsPersamaan elips memiliki bentuk umum:
i. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x1, y1) pada Elips
Persamaan Garis singgung ellips
ii. Persamaan Garis Singgung dengan gradien p
Persamaan elipsPersamaan garis singgung
Melalui titik ( Dengan gradien p
Persamaan garis singgung elips dititik P(
Persamaan garis singgung elips dititik P(m, n)
Persamaan elipsPersamaan garis singgung
Melalui titik ( Dengan gradien p
Tentukan persamaan garis singgung elips
, pada titik (5, -3)
Contoh soal
Diketahui : Pusat (m, n) ⇔ (1, -2) (5, -3) ⇔ =5 dan = -3Persamaan garis singgung :⇔ ⇔⇔⇔ ⇔ 2(x – 1) - (y + 2) = 9⇔ 2x – y = 13
pembahasan
Tentukan persamaan garis singgung elips
, dengan gradien 2
Contoh soal
Diketahui :⇔ m = -3, n = 4, = 15, = 4, dan p = 2Persamaan garis singgung :
⇔⇔⇔y =2x + 6 8 +4⇔ y = 2x + 18 dan y = 2x + 2
pembahasan