Bab 3 irisan kerucut
-
Upload
eko-supriyadi -
Category
Documents
-
view
36.037 -
download
19
Transcript of Bab 3 irisan kerucut
![Page 1: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/1.jpg)
BAB 2 IRISAN KERUCUT
Penerbit Erlangga
![Page 2: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/2.jpg)
KompetensiDasar
Menerapkan konsep lingkaran. Menerapkan konsep parabola. Menerapkan konsep elips. Menerapkan konsep hiperbola.
![Page 3: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/3.jpg)
A. Pengertian Irisan Kerucut
Irisan kerucut adalah sebuah kurva yang diperoleh dengan memotong suatu kerucut lingkaran tegak dengan suatu bidang datar. Irisan kerucut dapat berupa lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola.
Irisan kerucut yang membentuk (a) lingkaran, (b) parabola, (c) elips, dan (d) hiperbola.
![Page 4: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/4.jpg)
B. LINGKARAN
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang digambarkan pada bidang Cartesius.
Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran
dan titik tertentu disebut pusat lingkaran.
![Page 5: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/5.jpg)
1. Persamaan Lingkaran a. Persamaan Lingkaran yang Berpusat
di O(0, 0)
![Page 6: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/6.jpg)
Gambar 3.2 diatas memperlihatkan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan jari-jari r pada sebuah bidang Cartesius.
Misalkan titik A(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Titik A′(x, 0) adalah proyeksi titik A pada sumbu X sehingga ΔOA′A merupakan segitiga dengan siku-siku di A′.
Dengan menerapkan teorema Pythagoras pada ΔOA′A, diperoleh:
sadfa dsfa
![Page 7: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/7.jpg)
Karena A(x, y) sembarang titik pada lingkaran, maka persamaan x2 + y2 = r2 berlaku untuk semua titik A(x, y) yang terletak pada lingkaran. Dengan demikian persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r adalah:
![Page 8: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/8.jpg)
Contoh
![Page 9: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/9.jpg)
b. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di pusat P(a, b)
![Page 10: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/10.jpg)
Gambar diatas adalah lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r. Misalkan A(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran dan AP adalah jari-jari lingkaran.
Dengan menerapkan Teorema Pythagoras diperoleh hubungan:
![Page 11: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/11.jpg)
Karena titik A(x, y) sembarang, maka persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2 berlaku untuk semua titik A(x, y) yang terletak pada lingkaran. Dengan demikian persamaan lingkaran dengan pusat P(a, b) dan jari-jari r adalah:
![Page 12: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/12.jpg)
Contoh
![Page 13: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/13.jpg)
c. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
![Page 14: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/14.jpg)
C. Parabola
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang mempunyai jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu.
Titik tersebut disebut titik api atau (fokus) dan garis tersebut disebut garis arah atau (direktris).
Garis yang melalui titik fokus dan tegak lurus direktris disebut sumbu simetri.
Sedangkan segmen garis yang dibatasi oleh parabola, tegak lurus sumbu simetri, dan melalui fokus disebut lactus rectum.
![Page 15: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/15.jpg)
Perhatikan Gambar disamping, Dari gambar dapat diketahui: • titik A dan B terletak pada parabola • titik P adalah puncak parabola • titik F adalah titik fokus • titik g adalah garis arah (direktris), dan • titik l merupakan sumbu simetri parabola Jarak dari titik A ke garis g dan titik fokus adalah sama. Begitu juga halnya dengan titik B.
![Page 16: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/16.jpg)
a. Persamaan Parabola yang Berpuncak di O(0, 0)
Keterangan mengenai parabola diringkas dalam tabel disamping
![Page 17: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/18.jpg)
Contoh
Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya (4, 0) dan persamaan direktrisnya x = –4. Tentukan pula panjang lactus rectumnya.
Jawab: Buat sketsa parabola dengan diketahui: p = 4
parabola terbuka ke kanan. Dari sketsa terlihat bahwa parabolanya
merupakan parabola horizontal yang terbuka
ke kanan, persamaannya adalah: y2 = 4px.
Karena p = 4 maka persamaannya menjadi
y2 = 16x. Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 · 4 = 16.
![Page 19: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/19.jpg)
b. Persamaan Parabola yang Berpuncak di P(a, b)
Persamaan parabola yang berpuncak di (a, b) diperoleh dengan menggeser grafik parabola yang berpuncak di (0, 0).
![Page 20: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/20.jpg)
Hasil dari pergeseran tersebut, didapat: • Titik puncak O(0, 0) menjadi P(a, b) • Titik fokus F(p, 0) menjadi Fp(a + p, b) • Direktris x = –p menjadi x = –p + a • Sumbu simetri y = 0 menjadi y = b • Persamaan y2 = 4px menjadi (y – b)2 =
4p(x – a)
![Page 21: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/21.jpg)
Agar mudah dipahami, secara umum persamaan parabola dengan puncak P(a, b) terangkan dalam tabel berikut.
![Page 22: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/23.jpg)
Contoh Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di (2, 4) dan fokus (–3, 4).
Jawab:
Diketahui P(2, 4) dan titik fokus F(–3, 4).
Dengan cara membuat sketsa grafik parabola, maka jenis parabolanya adalah parabola mendatar yang terbuka ke kiri.
Diketahui: P(a, b) = P(2, 4) dan F(a – p, b) = F(–3, 4).
maka diperoleh: a = 2, b = 4, dan a – p = –3
a – p = –3
⇔ 2 – p = –3
⇔ p = 5
Sehingga persamaannya adalah:
(y – b)2 = –4p(x – a)
⇔ (y – 4)2 = –4 · 5(x – 2)
⇔ y2 – 8y + 16 = –20(x – 2)
⇔ y2 – 8y + 16 = –20x + 40
⇔ y2 + 20x – 8y – 24 = 0
![Page 24: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/24.jpg)
c. Persamaan Garis Singgung Melalui Satu Titik pada Parabola
![Page 25: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/25.jpg)
Contoh
![Page 26: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/26.jpg)
d. Persamaan Garis Singgung Parabola yang Bergradien m
![Page 27: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/27.jpg)
1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x yang bergradien 2.
Jawab: Parabola y2 = 8x y2 = 4px
⇔ 4p = 8 ⇔ p = 2Maka persamaan garis singgungnya adalah: y = mx + m= 2 dan p = 2
⇔ y = 2x + 1
![Page 28: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/28.jpg)
D. Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu yang diketahui adalah tetap (konstan).
Dua titik tertentu itu disebut fokus atau titik api (F1 dan F2), jarak F1 dan F2 adalah 2c, dan jumlah jarak tetap adalah 2a (a > 0).
![Page 29: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/29.jpg)
Unsur-unsur pada elips: i. F1 dan F2 disebut fokus. Jika T adalah sembarang titik pada
elips maka TF1 + TF2 = 2a. F1F2 = 2c, dengan 2a > 2c. ii. A1A2 merupakan sumbu panjang (sumbu mayor) yang
panjangnya sama dengan jarak tetap yaitu 2a. B1B2 merupakan sumbu pendek (sumbu minor) yang panjangnya sama dengan 2b. Karena itu a > b.
iii. Lactus rectum yaitu segmen garis yang dibatasi elips, tegak lurus sumbu mayor, dan melalui fokus (DE dan KL) panjang lactus rectum
iv. Titik pusat (P) yaitu titik potong sumbu mayor dengan sumbu minor.
v. Titik puncak elips yaitu titik A1, A2, B1, dan B2
![Page 30: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/30.jpg)
1. Persamaan Elips yang Berpusat di O(0, 0)
![Page 31: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/31.jpg)
2. Persamaan Elips yang Berpusat di Titik P(m, n)
![Page 32: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/32.jpg)
3. Bentuk Umum Persamaan ElipsPersamaan elips memiliki bentuk umum:
![Page 33: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/33.jpg)
4. Persamaan Garis Singgung Elips i. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik
(x1, y1) pada Elips
![Page 34: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/34.jpg)
ii. Persamaan Garis Singgung dengan gradien p
![Page 35: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/35.jpg)
![Page 36: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/36.jpg)
D. Hiperbola
Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap.
Kedua titik tertentu disebut fokus (titik api). Jika titik fokus hiperbola adalah F1 dan F2 dan
titik pada hiperbola adalah T, maka |F1T – F2T | = 2a dengan a > 0 dan 2a < F1F2.
![Page 37: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/37.jpg)
1. Persamaan Hiperbola dengan Pusat O(0, 0)
![Page 38: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/38.jpg)
Contoh
![Page 39: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/39.jpg)
![Page 40: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/40.jpg)
2. Persamaan Hiperbola dengan Pusat P(m, n)
![Page 41: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/41.jpg)
3. Persamaan Garis Singgung Hiperbolai. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x1, y1)
pada Hiperbola Persaman garis singgung hiperbol a , di titik
T(x1, y1) yaitu:
![Page 42: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/42.jpg)
ii. Persamaan Garis Singgung Hiperbola dengan gradien p
![Page 43: Bab 3 irisan kerucut](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061404/5580f40fd8b42a9d198b4670/html5/thumbnails/43.jpg)