Post on 22-Mar-2021
構造力学の構造 構造力学の構造
構造力学 構造力学 Ⅰ Ⅰ 復習 復習
変位
断面力 応力
ひずみ
ひずみ-変位関係 力の釣合い
応力-ひずみ 関係
外力
静力学の構造
釣合い条件
構成法則
適合条件
大事
変位
断面力 応力
ひずみ
ひずみ-変位関係 力の釣合い
応力-ひずみ 関係
外力
静力学の構造
釣合い条件
構成法則
適合条件
大事
第5章
第6章
第7章 第5章,第7章
第6章
第6章
第5章
第8章
p.53 p.53 図 図4.9 4.9
x
l
( ) w x w =
EI
v 荷重
問題
l部材各部の断面力(応力,内力)は?
l部材の変位は?
l部材のひずみは?
x
l EI
v
2
8 wl
−
x
力の釣合 力学的境界条件
荷重
断面力(応力・内力)
M(x)
( ) w x w =
x
l EI
v
2
8 wl
−
x x
力の釣合 力学的境界条件
応力-ひずみ関係
荷重
ひずみ(曲率)
M(x) φ(x)
断面力(応力・内力)
( ) w x w =
x
l EI
v
2
8 wl
−
x
x
反曲点
x
力の釣合 力学的境界条件
ひずみ-変位関係
応力-ひずみ関係
荷重
ひずみ(曲率)
変位(たわみv(x))
M(x)
v(x)
φ(x)
断面力(応力・内力)
( ) w x w =
l EI
v
x
x
反曲点
x
力の釣合 力学的境界条件
応力-ひずみ関係
荷重
ひずみ(曲率)
変位(たわみv(x))
M(x)
v(x)
φ(x)
ひずみ-変位関係
x
断面力(応力・内力)
( ) w x w =
x
l EI
v
2
8 wl
−
x
x
反曲点
x
力の釣合 力学的境界条件
ひずみ-変位関係
応力-ひずみ関係
荷重
ひずみ(曲率)
変位(たわみv(x))
M(x)
v(x)
φ(x)
断面力(応力・内力)
力学の構造の円がとじた 力学の構造の円がとじた
( ) w x w =
x
l EI
v
2
8 wl
−
x
x
反曲点
x
力の釣合 力学的境界条件
ひずみ-変位関係
応力-ひずみ関係
荷重
ひずみ(曲率)
変位(たわみv(x))
M(x)
v(x)
φ(x)
断面力(応力・内力)
( ) w x w =
数学 数学 は は 科学 科学 の の 言葉 言葉 である である ガリレオ ガリレオ
力学 力学 は は 建築構造 建築構造 の の 言葉 言葉 である である
力学 力学 が が 構造 構造 を生み, を生み,
構造 構造 が が 空間 空間 を実体化し, を実体化し,
空間 空間 が が 建築 建築 を規定する を規定する
「 「力学 力学- -構造 構造- -空間 空間- -建築 建築」 」の流れにおいて, の流れにおいて,
「 「力学 力学」 」は は「 「建築 建築」 」に結びつく. に結びつく.
斎藤公男: 斎藤公男:「 「建築の構造とデザイン 建築の構造とデザイン」 」の序より の序より
x
l
( ) w x
EI
v
M(x)
2
8 wl
−
x
x
v(x)
反曲点
φ(x)
x
荷重
ひずみ(曲率)
変位(たわみv(x)) ( ) ( ) M x w x ′′ = −
( ) ( ) ( ) ( )
M x Q x Q x w x
′ = ′ = −
( ) 0 M l = 上図の場合,
( ) ( ) M x EI x φ =
( ) ( ) x v x φ ′′ = −
E σ ε =
( , ) ( , ) u x y x y x
ε ∂
= ∂
断面力(応力・内力)
x
l
( ) w x
EI
v
M(x)
2
8 wl
−
x
x
v(x)
反曲点
φ(x)
x
荷重
ひずみ(曲率)
変位(たわみv(x)) ( ) ( ) M x w x ′′ = −
( ) ( ) ( ) ( )
M x Q x Q x w x
′ = ′ = −
( ) 0 M l = 上図の場合,
( ) ( ) M x EI x φ =
( ) ( ) x v x φ ′′ = −
E σ ε =
( , ) ( , ) u x y x y x
ε ∂
= ∂
断面力(応力・内力)
p.68 &p.73 p.68 &p.73
p.146 p.146
p.135 p.135
x
l EI
v
M
2
8 wl
−
x
x
v
反曲点
φ
x
荷重
ひずみ(曲率)
変位(たわみv(x))
断面力(応力・内力)
( ) w x w =
4つの量
外力・荷重 外力,サンブナンの原理,
体積力,分布荷重
x
変形前
外力・荷重 1
p.57
集中荷重,モーメント荷重
応力・断面力 応力・断面力の正負,座標変換,テンソル
断面力(M,Q,N) ⇔ 応力(σ,τ)
x
断面力・応力 1
S x x=0
M(x) M(x)
Q(x)
Q(x)
断面力の正方向
作用・反作用の法則
右の面,左の面
右の面 左の面
正の方向
p.65,75
x
断面力・応力 2
S x x=0
曲げモーメント図
M(x)
x
M
x
p.75
右の面 左の面
左
右 左
右
柱のように材軸が鉛直
方向になった時,Q,N の方向はどちらの面を
左としても同じだが,M は方向が変わる.
→ 引張側にモーメント
図を描く.
正の方向
時計回り90゜回転 反時計回り90゜回転
曲げモーメント図
x
x
x p.65
l応力 物体内の任意の1点 P (0) の応力
6個の側面に作用する
単位面積当りの内力 のdx→0,dy→0,dz→0 とした極限の値
z yz xz
zy y xy
zx yx x
σ τ τ τ σ τ τ τ σ
x
y
変形前
S P Q
(x, 0)
(x, y)
, 2 D x
断面力・応力 4
xの座標を持つ3つの点 S,P,Q
x
y
S P Q
断面力・応力 5
(x, 0)
(x, y)
, 2
D x
( ) ( ) , M x
x y y I
σ =
( )
( ) ( ) , 2 2
2
M x D D x I
M x M x I Z D
σ = ⋅
= ≡
( ) , x y σ
, 2 D x σ
( ) , x y τ
( ) ,0 x τ S
P
Q
p.150,158
変位・たわみ 変位ベクトル,平面保持の仮定
x
v
変形前
変形後
変位・たわみ1
S x
v(x)
p.168
x
y
変形前
変形前の点S(x, 0)
( ) S ,0 x
S( ,0) x
変位・たわみ2
A
B
x
v
変形前
変形後 S
S’
( ) ( ) , S x v x ′
変形後の点S’(x, 0)
変位・たわみ3
x
v
変形前
変形後 S
S’
( ) ( ) , S x v x ′
変形後の点S’(x, v(x))
変位・たわみ4
( ) v x
変形後の点:点Sが材軸と直交方向に動く 材軸線は伸び縮みしないこととしていることになる.
変位ベクトル
変形後 変形前
変形前物体にとりつけられていた微小直6面体 P (0) Q (0) R (0) S (0) T (0) は変形後PQRSTに変形する
u
x
v
変形前
変形前の点P(x, y)
( ) S ,0 x
( ) P , x y
変位・たわみ5
p.131
x
v
変形前
変形後の点P’
( ) P , x y
変位・たわみ6
P′
v
x
v
( ) P , x y P′
変形前
P′
( ) P , x y
x y
θ θ
( ) v x
変位・たわみ7
sin y θ cos y θ
y
( ) ( ) P sin , cos x y v x y θ θ ′ − +
x
平面保持の仮定
P′
( ) P , x y
x y
θ θ
( ) v x
変位・たわみ8
sin y θ cos y θ
( ) ( ) P sin , cos x y v x y θ θ ′ − +
x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
PP OP OP
sin , cos
sin , 1 cos
tan ,
,
x y x v x y y
y v x y
y v x
yv x v x
θ θ
θ θ
θ
′ ′ = −
= − − + −
= − − −
≈ −
′ = −
uuuv uuuv uuuv p.131
ひずみ 線素,長さの変化,角度の変化,テンソル
曲率
lひずみ 変形後 変形前
P (0) のひずみ
RPS 2 , TPR
2 , SPT
2
T P T P PT ,
S P S P PS ,
R P R P PR
) 0 ( ) 0 (
) 0 ( ) 0 (
) 0 ( ) 0 (
) 0 ( ) 0 (
) 0 ( ) 0 (
) 0 ( ) 0 (
∠ − π
∠ − π
∠ − π
− − − のdx→0, dy=0,dz=0と
した極限の値
変形前物体にとりつけられていた微小直6面体 P (0) Q (0) R (0) S (0) T (0) は変形後PQRSTに変形する
p.129
x
v
変形前
変形後
ひずみ1
S x
v(x)
線であれば,伸び縮みしかない
x
v
変形前
P’(x, y)の点は材長方向に縮んでいる.y≠0 の点の伸び縮みを曲率φで表現するのである.
P′
ひずみ2
dθ ρ
長さds
ρy
d ds ρ θ = 1 d
ds θ φ
ρ ≡ =
d y y ds θ ε φ = =
符号
4つの量の関係
変位
断面力
応力
ひずみ
ひずみ-変位関係 (適合条件)
釣合方程式 力学的境界条件
応力-ひずみ 関係(構成則)
外力 静力学の構造
0
0
0
i
i
i
X
Y
M
= = =
∑ ∑ ∑ 2
2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
dM x Q x dx
dQ x w x dx
d M x w x dx
= = −
= −
A
A
N dA
M ydA
σ
σ
=
= ⋅
∫ ∫
P A
σ =
l l
ε ∆
=
2
A I y dA = ∫
max
I Z y
= E G
σ ε τ γ
= =
c c
t t
M Z M Z
σ
σ
=
=
( ) M y y I
σ = ⋅
u x
ε ∂
= ∂
( ) ( ) M x EI x ϕ =
( ) ( ) x v x ϕ ′′ = −
( ) ( ) 0 , x x ε ϕ
( ) v x
平面保持の仮定,微小変形の仮定
( ) ( ) , u x y y v x ′ = − ⋅
( ) ( ) ( ) 0 du x dx
x y v x ε ′′ = − ⋅
( ) ( ) ( ) 0 , x x y y x ϕ ε ε = + ⋅
幾何学的的境界条件
平面保持の仮定 平面保持の仮定
p.131 p.131
x
y 片持ち梁
x
y 重心軸
x
y 線材にモデル化
x
y いくつかの断面
x
y 曲がった形状
x
y 断面は変形後,材軸に 直交する全く同じ平面に 移る.
平面保持の仮定
x
y
2つの断面
v(x)
1つの断面の拡大図
v(x)
たわみ曲線の接線
v(x)
たわみ曲線の接線
v(x)
たわみ曲線の接線
v(x)
たわみ曲線の接線
v(x)
θ
たわみ角θ
v(x)
θ
変形後の断面は材軸に直交
v(x)
θ
水平軸と垂直軸
v(x)
θ
v(x)
θ
v(x)
θ
θ
変形後の断面と鉛直軸の角度
v(x)
θ
θ
tan ( ) v x θ ′ = たわみ角θとたわみvの関係
v(x) θ
tan ( ) v x θ ′ =
θ
v(x)
θ y
変形後のyの位置の点
v(x)
θ y ysinθ
水平方向への移動量
v(x)
sin tan ( ) y y y yv x θ θ θ ′ ≈ ≈ =
θ y ysinθ
x
y
重心軸のy方向変位をv(x)とすると,重心からyだ け離れた点のx方向の変位は, y v'(x)となる.
ひずみー変位関係 ひずみー変位関係
p.132 p.132
67
変断面材の伸び
F
F
F
F
l
y
B B´
l+∆x
どちらも長方 形断面
A A´ x
A
y
x+∆x ∆x
x u(x) u(x+∆x)
棒の伸びが
一様でない
ときは,そ
の部分ごと
のひずみ度
を定義する.
l l
ε ∆
=
( ) d u x d x
ε =
68
Aからx離れていた点はx´に,Aから(x+∆x)離れていた点は (x+∆x)´に移動したとする.このとき,点xの変位u(x)は,
F F A
y
x+∆x ∆x
x u(x) u(x+∆x)
( ) d u x d x
ε =
( ) u x x x ′ = − 同様に点(x+∆x) の変位は
( ) ( ) ( ) u x x x x x x ′ + ∆ = + ∆ − + ∆
x´
x+∆x (x+∆x)´
u(x+∆x)-u(x)+∆x
69
変形前∆x離れていた2
つの点x, x +∆xは,変形
後は,
離れていることになる.
変形量を元の長さで除してひずみ度を求めると,
F F A
y
x+∆x ∆x
x u(x) u(x+∆x)
( ) d u x d x
ε =
x´
x+∆x (x+∆x)´
u(x+∆x)-u(x)+∆x
F F A
y
x+∆x ∆x
x u(x) u(x+∆x)
( ) d u x d x
ε =
x´
x+∆x (x+∆x)´
u(x+∆x)-u(x)+∆x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x x x x u x x x u x
x x x u x x
+ ∆ + + ∆ ′ ′ + ∆ − =
−
+ −
= + ∆ + ∆
( ) ( ) ( ) l u l x
x x u x x x ∆ = + ∆ − + − ∆
= ∆
∆
( ) ( ) ( ) / u x x u x x ε = + ∆ − ∆
70
ひずみと変位の関係式
∆x→0とすると
( ) 0
( ) ( ) ( ) lim x
u x x u x du x x dx
ε →
+ ∆ − = =
∆
( ) ( ) ( ) / u x x u x x ε = + ∆ − ∆
大事
変位を微分するとひずみが得られる!
( ) , sin tan ( ) u x y y y y yv x θ θ θ ′ = ≈ ≈ =
平面保持の仮定より,x方向変
位は下式となった.
したがって,ひずみは
( ) ( ) ( ) ( ) d yv x du x y v x dx dx
ε ′ −
′′ = = = − ⋅
( ) ( ) , x y y v x ε ′′ = − ⋅
テキストp.134~135の説明に あるように,曲率φをひずみと
して,下式の関係がある.
( ) ( ) x v x φ ′′ = −
( ) v x ′′ −
力の釣合 力の釣合
p.68 p.68
N(x+∆x) N(x)
Q(x)
Q(x+∆ x)
M(x+∆ x) M(x)
x
w(x)
∆x
∆x
w(x)
分布荷重
N(x+∆ x) N(x)
Q(x)
Q(x+∆ x)
M(x+∆ x) M(x)
⊿x
w(x)
x y
y方向の力の釣合→ΣY i =0
( ) ( ) ( ) 0 Q x w x x Q x x − ⋅ ∆ − + ∆ = 積分の平均値の定理
N(x+∆ x) N(x)
Q(x)
Q(x+∆ x)
M(x+∆x) M(x)
⊿x
w(x)
x y
A点のモーメントの釣合→ΣM i =0
0 ) ( ) ( 2
) ( ) ( = ∆ ⋅ ∆ + + ∆ + − ∆
⋅ ∆ ⋅ + x x x Q x x M x x x w x M
A点
積分の平均値の定理
− = ∴
− =
=
) ( ) (
) ( ) (
) ( ) (
2
2
x w dx
x M d
x w dx x dQ
x Q dx x dM
釣合い微分方程式
丸暗記
断面力 断面力 ー ー ひずみ関係 ひずみ関係 x A
x A
N dA
M y dA
σ
σ
=
= −
∫ ∫
E σ ε =
梁の場合 梁の場合
0 N EAε = M EIφ = p.146 p.146
79
軸方向力-伸びひずみ関係 曲げモーメントー曲率関係(つづき)
断面2次モーメント • 軸方向力-伸びひずみ関係
• 曲げモーメント-曲率関係
• 断面2次モーメント
大事
0 0 ( ) A A A
N dA E dA E d y A EA ε σ ε ε φ = = = − = ∫ ∫ ∫
0
0 2 2
( )
( ) A A A
A A A
y y y y
y
M dA E dA E dA
E dA E dA y y dA
EI
y E
ε
ε
σ ε ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ
= − = − = − −
= − − = =
=
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 0, A A ydA I y dA = ≡ ∫ ∫ Q
80
断面2次モーメント
• 断面図形の形状に依存する断面量で,z軸
に関する断面2次モーメントとよばれる
2 z A I y dA = ∫
大事
断面係数
p.150 p.150 ~ ~
82
たわみ曲線をかく (変形図を書いてみる)
• 曲率とはある点でその付近の曲がり方の大小を示
す量です.右の式によればEIが同じとき曲げモーメ
ントが大きいほど曲率が大きくなりますので,曲がり
方も大きくなります.
( ) ( ) ( ) EI x y x M x ′′ = −
( ) y x φ ′′ ≈ − ( ) ( ) EI x M x φ =
83
曲げを受ける梁要素 • 軸方向力Nが作用していない梁では,軸方向力-伸びひず
み関係の式から
0 /( ) 0 N EA ε = = であり,曲げモーメント-曲率関係の式
z
M EI
φ =
を,図心からyの位置での伸びひずみの式および方向垂
直応力度の式に代入する.
0 ( ) x z
M y y y y EI
ε ε φ φ = + = =
( ) ( ) x x z
M y E y E y y I
σ ε φ = = ⋅ = ⋅
84
曲げを受ける梁要素の 軸方向伸びひずみと垂直応力度の分布
( ) x z
M y y EI
ε =
( ) x z
M y y I
σ = ⋅
大事
85
曲げを受ける梁 応力ブロックと中立軸
( ) x z
M y y I
σ = ⋅ ( ) x z
M y y EI
ε =
� σ x (y)=0となる位置は,ε x (y)=0となる位置すなわち伸
び縮みが生じない位置であり,中立軸と呼ばれる.
中立軸
この式の状態を示している
86
断面係数と上下縁応力度
• 軸力が0のとき,梁の上下縁での応力度σ 1 , σ 2 は,z 軸から上下最外縁までの距離をそれぞれc 1 , c 2 とす
ると,
c 1
c 2
σ 1
σ 2
1 1 2 2 , z z
M M c c I I
σ σ = − =
• ここで,
とおくと,これらは断面2次
モーメントI z と同様,断面図形の
形状寸法のみで定まる定数であ
り,断面係数とよばれる.
1 2 1 2
, z z I I Z Z c c
≡ ≡
87
曲げを受ける棒材断面の 上下縁応力度
1 2 1 2
, M M Z Z
σ σ = − =
1 2 1 2
, z z I I Z Z c c
≡ ≡
断面係数