ECONOMETRIA

Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

Introdução

Teoria Econômica

Matemática

Fenômenos Econômicos

Inferência Estatística

Teoria Econômica

Teoria Microeconômica

Preço

Demanda

Mas quanto????

Teoria Econômica

Economia Matemática

• Formula equações sem levar em conta se a teoria pode ser medida ou verificada

Estatística Econômica

• Coleta, processamento e apresentação dos dados

Estatística Matemática

• Ferramentas específicas para lidar com dados que não foram gerados por experimentos controlados

O método Econométrico

1. Exposição da teoria ou hipótese

– Keynes: o aumento da renda eleva o consumo, mas não em

proporção igual ao aumento dessa renda.

– Propensão marginal a consumir (PMC) > 0, mas < 1

2. Especificação do modelo matemático da teoria

– Um economista matemático poderia sugerir:

Y

X

Despesa de

consumo

Renda

β1

β2= PMC

consumo

Inclinação = PMC

renda

O método Econométrico

3. Especificação do modelo estatístico ou econométrico

– Se obtivéssemos dados de 500 famílias (consumo e renda) e

plotássemos os pontos no gráfico, todos cairiam em cima da

reta?

– Não. Por que?

– Porque provavelmente outros fatores afetam a decisão de

consumo (tamanho da família, cultura, religião etc...)

– A função definida pelo economista matemático é

determinística

– Para dar conta das relações inexatas o econometrista

escreve:

Modelo

Econométrico

Distúrbio

Termo de erro

Var. aleatória (estocástica)

Representa todos os fatores

que afetam o consumo

mas não são levados

em conta explicitamente

O método Econométrico

4. Obtenção dos dados

Y

X

u

O método Econométrico

5. Estimação dos parâmetros do modelo econométrico

– Vai dar conteúdo empírico à função consumo

– Análise de regressão

– Aumento de US$1 no período amostrado, provoca em

média, um aumento no consumo de US$0,70

– Por que dizemos “em média”? Porque a relação é inexata.

^ indica se tratar de uma estimativa

O método Econométrico

6. Testes de hipóteses

– Keynes: esperava que PMC fosse + e < 1

– Mas, 0,70 é estatisticamente menor que 1?

– 0,70 está suficientemente abaixo de 1, ou é um resultado devido ao

acaso?

7. Projeção ou previsão

– Uma redução de impostos => aumento da renda das famílias => quanto

aumentará o consumo?

8. Uso do modelo para fins de controle ou de política

– Se certo nível de consumo garante certo nível de desemprego a relação

calculada pode ser usada no sentido inverso para descobrir qual o nível

de renda necessário. Políticas podem ser estabelecidas para atingir esse

nível de geração de renda.

Capítulo 1

A natureza da análise de regressão

Fonte: GUJARATI; D. N. Econometria Básica: 4ª Edição.

Rio de Janeiro. Elsevier- Campus, 2006

Origem Histórica

• Altura de filhos de pais altos e de pais baixos tendem

para a altura média da população

• Lei da regressão universal de Galton

• Confirmada por Karl Pearson

• “regressão a mediocridade”

Interpretação moderna da regressão

• Descobrir como a altura média dos filhos varia, dada a

altura dos pais

• Estudo do comportamento de uma variável dependente

em relação a uma ou mais variáveis explanatórias, para

estimar ou prever o valor (médio) da população da

primeira em termos dos valores conhecidos ou fixados

(em amostras repetidas) das segundas.

Ver figura 1.1 e exemplos da página 14 a 16

Relações Estatísticas x Determinísticas

• Determinística (ou funcional)

– Lei da gravitação de Newton

• Estatísticas

– Rendimento das lavouras = f (temperatura, pluviosidade, luz solar,

fertilizantes)

– Um agrônomo consegue prever com exatidão o rendimento se ele

conhecer os valores das variáves à direita da equação?

– Não. Por que?

• Erros de medição

• Influência de outros fatores

– Há uma variabilidade “intrínseca” ou aleatória

Regressão x Causação

• Kendall e Stuart: as ideias de causação devem se

originar de alguma teoria

• Rendimento causa chuva ou chuva causa rendimento?

• O que o faz acreditar na segunda?

– Senso comum

– Não poder controlar a pluviosidade por meio de uma variação

no rendimento da lavoura

• Relação estatística não implica logicamente causação

• A causação irá depender de considerações a priori ou

teóricas

Regressão x Correlação

• Correlação

– Não há diferença entre variável dependente e explanatória

– As duas variáveis são aleatória

– Correlação entre notas de estatística e matemática

• Regressão

– Há uma assimetria no tratamento das variáveis

• Dependente: estatística, aleatória, estocástica, tem distribuição de

probabilidade

• Independente: tem valores fixos em amostras repetidas (ex: alturas)

Mede a força ou grau

de associação linear

entre duas variáveis

Tentamos prever o

valor médio de uma

variável com base nos valores

fixos de outras variáveis

Terminologia e Notação

• Ver quadro da pag. 18

• Análise de regressão simples:

• Análise de regressão múltipla:

Terminologia e Notação

• Variável aleatória: (ou estocástica) – aquela que pode

assumir qualquer valor, + ou - , dentro de um conjunto

de valores com uma dada probabilidade.

Y Variável dependente

Xk Variável explicativa (X1, X2, ... , Xk)

NNo. total de observações na população

T

nNo. total de observações na amostra

t

iSubscrito – dados de corte transversal, coletados em

um ponto no tempo

tSubscrito – dados de séries temporais, coletados ao

longo de um intervalo de tempo

Tipos de Dados

• Séries Temporais

– A variável assume valores em diferentes momentos do tempo

– Cotações intra-diárias de ações, receitas mensais, lucros

anuais

– Estacionária: quando a média e a variância não variam

sistematicamente ao longo do tempo

• Corte Transversal

– Variáveis coletadas em um mesmo momento no tempo

– Lucro líquido das empresas siderúrgicas em 2010

– Heterogeneidade pode ser um problema (ver tab. 1.1 e fig.

1.6)

Tipos de Dados

• Dados combinados

– Ver tab. 1.2 do exercício 1.1

– O IPC de cada país no período 73-97 é uma série temporal

– Os dados dos 7 países em cada ano é um corte transversal

• Dados em painel (longitudinais ou de micropainel)

– Uma mesma unidade em corte transversal é pesquisada ao

longo do tempo

Fontes de Dados

• Economática

• Thomson Reuters

• CVM

• BM&FBovespa

• IBGE

• Banco Central

• Sites de empresas

Exatidão dos Dados

• A maioria dos dados não são experimentais por

natureza, há possibilidade de erros de observação,

intencionais ou não

• Mesmo em dados experimentais: erros de medição

• Questionários: 40% de resposta – viés de seletividade

“Os resultados de sua pesquisa terão a mesma

qualidade dos dados coletados”

Escalas de Medição das Variáveis

• Escala nominal

– Sexo, estado civil

– Para associar observações a categorias específicas

• Escala ordinal

– Classe de renda, nível educacional

– É possível ordenar

• Escala de intervalo

– É possível ordenar e comparar

– Os intervalos são iguais

– Ex.: latitude e longitude

• Escala de razão

– A razão (X1/X2) e a distância (X1 – X2) são significativas

– É possível ordenar

– É possível comparar

– Tem um zero real

Stevens (1946)

Stevens (1946)

Capítulo 2 – Análise de Regressão com

Duas Variáveis

Algumas ideias básicas

Fonte: GUJARATI; D. N. Econometria Básica: 4ª Edição.

Rio de Janeiro. Elsevier- Campus, 2006

Tabela 2.1

• Grupos de renda => valores fixos de X

• Y varia para cada valor fixo de X

• O valor médio de Y aumenta com o aumento da renda

– Para a renda mensal de $80 => consumo médio de $65

– São 10 valores médios para as 10 classes de renda

Valores esperados condicionais

E(Y | X)

Tabela 2.1

• Valor esperado incondicional

– E(Y) = soma dos 60 dados de consumo dividido por 60

– Incondicional pois não leva em consideração os diferentes

níveis de renda

“Qual o valor esperado das despesas de consumo semanais médias

de uma família?”

“Qual o valor esperado das despesas de consumo semanais de uma

família cuja renda mensal é, digamos, de $140?”

$ 121,20

$ 101

LRP

• LRP = Linha de Regressão Populacional

Uma curva de regressão populacional é o lugar geométrico das

médias condicionais da variável dependente para os valores

fixados da variável explanatória.

Ver fig. 2.2

Conceito de Regressão Populacional

Cada média condicional E(Y | Xi) é uma função de Xi,

onde Xi é um dado valor de X.

E(Y | Xi) = f(Xi) :função de esperança condicional FEC

:função de regressão populacional FRP

Qual a forma assumida pela função f(Xi)?

Conceito de Regressão Populacional

Qual a forma assumida pela função f(Xi)?

interceptocoeficiente angular

Parâmetros desconhecidos, mas fixos

Função de regressão populacional

Modelo de regressão populacional

Regressão linear populacional

O significado do termo LINEAR

São lineares nos

parâmetros

O significado do termo LINEAR

O significado do termo LINEAR

• A linearidade relevante para a teoria da regressão é a

nos parâmetros

Linear nos

parâmetros?

Linear nas variáveis?

Sim Não

Sim MRL MRL

Não MRNL MRNL

Especificação estocástica da FRP

• O que podemos dizer sobre os gastos de consumo de

uma dada família e um dado nível de renda?

Yi = E(Y|Xi) + ui

ui = Yi – E(Y|Xi)

- Desvio de um Yi individual em torno de seu valor

esperado

- Distúrbio estocástico

- Termo de erro estocástico

(1)

Especificação estocástica da FRP

Yi = E(Y|Xi) + ui(1)

Gasto médio de consumo

de todas as famílias com

a mesma renda

= elemento sistemático ou

determinístico

Elemento aleatório ou não

sistemático = representa (é uma

proxy) de todas as variáveis

omitidas ou negligenciadas que

podem afetar Y mas não foram

incluídas nos modelos de

Regressão.

Especificação estocástica da FRP

Yi = E(Y|Xi) + ui

E(Yi|Xi) = E[E(Y|Xi)] + E(ui|Xi)

=> E(ui|Xi) = 0=

A pressuposição de que a linha de regressão passa pelas médias

condicionais de Y => que os valores médios condicionais de ui

(condicionais a um dado X) são iguais a zero.

O significado do termo de erro estocástico

• Caráter vago da teoria

– ui é um substituto para todas as variáveis excluídas ou

omitidas do modelo

• Falta de dados disponíveis

– Ex.: no caso do consumo, a riqueza das famílias

• Variáveis essenciais x variáveis periféricas (com pouca

influência)

• Caráter intrinsicamente aleatório do comportamento

humano

• Variáveis proxy pouco adequadas

– Ex.: endividamento, valor de mercado

O significado do termo de erro estocástico

• Princípio da parcimônia

– Navalha de Occam: o modelo de regressão deve ser o mais

simples possível

• Forma funcional equivocada

– Quando é possível inferir a forma funcional a partir de um

gráfico => só no modelo de regressão linear simples

Função de Regressão Amostral

Estimador de β2

Estimador de β1

Estimador de E(Y|Xi)

Estimador = estatística (amostral) = estimativa

Forma Estocástica da FRA

Estimador de ui

Capítulo 3 – Modelo de Regressão de

Duas Variáveis

O Problema da Estimação

Fonte: GUJARATI; D. N. Econometria Básica: 4ª Edição.

Rio de Janeiro. Elsevier- Campus, 2006

Método dos Mínimos Quadrados

Ordinários - MQO

• Recordemos a FRP de duas variáveis:

𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖

• Como esta não pode ser observada diretamente, temos

que estimá-la a partir da FRA:

𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖

= 𝑌𝑖 + 𝑢𝑖

• Podemos escrevê-la da seguinte forma:

𝑢𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌𝑖

= 𝑌𝑖 − 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖

• E agora?

Método dos Mínimos Quadrados

Ordinários - MQO

• 1ª. sugestão: escolher a FRA tal que 𝑢𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌𝑖

– Problema: a soma algébrica pode resultar em valor muito

pequeno ou zero, mesmo que os pontos estejam muito

dispersos em torno da reta ajustada (ver fig. 3.1)

• 2ª. sugestão: usar 𝑢𝑖2 = 𝑌𝑖 − 𝑌𝑖

2

= 𝑌𝑖 − 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖2

𝑢𝑖2 = 𝑓 𝛽1, 𝛽2

Método dos Mínimos Quadrados

Ordinários - MQO

𝑢𝑖2 = 𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2𝑋𝑖

2

𝜕 𝑢𝑖2

𝜕 𝛽1

= −2 𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2𝑋𝑖 = 0

𝜕 𝑢𝑖2

𝜕 𝛽2

= −2 𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2𝑋𝑖 𝑋𝑖 = 0

(1)

(2)

(1) e (2) são as Equações Normais

Método dos Mínimos Quadrados

Ordinários - MQO

• Resolvendo o sistema de equações:

𝛽2 = 𝑋𝑖 − 𝑋 𝑌𝑖 − 𝑌

𝑋𝑖 − 𝑋 2=

𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑥𝑖2

𝛽1 = 𝑌 − 𝛽2 𝑋

MQO – Propriedades Numéricas

Obs.: não dependem da forma como os dados são gerados

I. São calculados a partir de quantidades observáveis

(isto é, amostrais)

II. São estimadores pontuais

III. Obtidos os estimadores, a linha de regressão pode ser

facilmente obtida. A linha de regressão tem as

seguintes propriedades:

Propriedades da Linha de Regressão

1. Passa pelas médias amostrais 𝑋 e 𝑌 e pode ser escrita

como 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋

2. O valor médio dos Y estimados é igual ao valor médio

dos Y observados 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 𝑌𝑖 = 𝑌 − 𝛽2

𝑋1

+ 𝛽2𝑋𝑖

𝑌𝑖 = 𝑌 − 𝛽2 𝑋𝑖 − 𝛽2 𝑋 aplicando o somatório

e dividindo por n

𝑌𝑖

𝑛=

𝑌

𝑛− 𝛽2 𝑋𝑖 − 𝑋

𝑌 = 𝑌

Propriedades da Linha de Regressão

3. O valor médio dos resíduos é igual a zero

Da primeira equação normal:

−2 𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2𝑋𝑖 = 0

−2 𝑢𝑖 = 0 𝑢 = 0

Por causa disso a FRA pode ser escrita na forma de

desvios em relação à média:

1º - aplicando somatório em 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 (1)

𝑌𝑖

𝑖

= 𝑛 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑖 + 𝑢𝑖

0

Propriedades da Linha de Regressão

2º - dividindo por n

𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋 (2)

3º. – fazendo (1) em (2)

𝑌𝑖 − 𝑌 = 𝛽2 𝑋𝑖 − 𝑋 + 𝑢𝑖 ou

𝑦𝑖 = 𝛽2𝑥𝑖 + 𝑢𝑖 <= formato de desvio 𝛽1 não aparece

FRA: 𝑦𝑖 = 𝛽2𝑥𝑖 + 𝑢𝑖

Propriedades da Linha de Regressão

4º - 𝑢𝑖 não são correlacionados com 𝑌𝑖

A partir do formato de desvio:

𝑦𝑖 = 𝛽2𝑥𝑖 (x 𝑢𝑖) e somatório

𝑦𝑖 𝑢𝑖 = 𝛽2 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝛽2𝑥𝑖

𝑦𝑖 𝑢𝑖 = 𝛽2 𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝛽22 𝑥𝑖

2 mas 𝛽2 = 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑥𝑖2

𝑦𝑖 𝑢𝑖 = 𝛽22 𝑥𝑖

2 − 𝛽22 𝑥𝑖

2

𝑦𝑖 𝑢𝑖 = 0 𝑌𝑖 − 𝑌 𝑢𝑖 = 0 é a covariância de 𝑌𝑖 com

𝑢𝑖

Propriedades da Linha de Regressão

4º - 𝑢𝑖 não são correlacionados com 𝑋𝑖, isto é, 𝑢𝑖𝑋𝑖 = 0

Da 2ª. Equação normal:

−2 𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2𝑋𝑖 𝑋𝑖 = 0

𝑢𝑖

Premissas subjacentes ao MQO

• Necessárias para que possamos fazer inferências

MLRC – Modelo de Regressão Linear Clássico

Premissa 1: o modelo de regressão é linear nos

parâmetros

Premissa 2: os valores de X são fixos em amostras

repetidas, ou seja, X é não estocástico. Nossa análise de

regressão é condicional aos valores de X.

Premissa 3: o valor médio do termo de erro ui é zero.

E(ui|Xi) = 0

Os fatores implícitos que afetam ui não afetam

sistematicamente o valor médio de Y.

Premissas subjacentes ao MQO

MLRC – Modelo de Regressão Linear Clássico

Se E(ui|Xi) = γ temos um problema de identificação:

E(Yi|Xi) = β1 + β2Xi + ui

E[E(Yi|Xi)] = E(β1|Xi)+ E(β2Xi|Xi)+ E(ui|Xi)

E(Yi|Xi) = β1 + β2Xi + γ

E(Yi|Xi) = (β1 + γ) + β2Xi

E(Yi|Xi) = β’1 + β2Xi

Ao estimar esse modelo obtemos infinitas soluções para

β1 e γ

Premissas subjacentes ao MQO

MLRC – Modelo de Regressão Linear Clássico

Premissa 4: homocedasticidade de ui

Var(ui|Xi) = E[ui – E(ui|Xi)]2

Var(ui|Xi) = σ2

Se for heterocedástico => 𝑉𝑎𝑟 𝑢𝑖 𝑋𝑖 = 𝜎𝑖2

As variâncias condicionais de Yi também são

homocedásticas.

Var(Yi|Xi) = σ2

Premissas subjacentes ao MQO

MLRC – Modelo de Regressão Linear Clássico

Premissa 5: não há autocorrelação entre os termos de

erro

𝑐𝑜𝑣 𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 = 0 ∀ 𝑖 ≠ 𝑗

Premissa 6: covariância entre ui e Xi é igual a zero

𝑐𝑜𝑣 𝑢𝑖 , 𝑋𝑖 = 0 𝐸 𝑢𝑖𝑋𝑖 = 0

– Se X é não estocástico essa premissa é satisfeita automaticamente, uma vez

que nesse caso a covariâcia entre o erro e X é necessariamente zero.

– Importante para que se possa avaliar o efeito isolado de X sobre Y.

– Importante porque se X forem aleatórios ainda assim a teoria da regressão

será aplicável desde que os X não sejam correlacionados com os termos de

erro.

Premissas subjacentes ao MQO

MLRC – Modelo de Regressão Linear Clássico

Premissa 7: n deve ser maior que o número de

parâmetros a serem estimados

Premissa 8: variabilidade dos valores de X – “as

variáveis precisam variar”

𝛽2 = 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑥𝑖2

Premissa 9: o modelo de regressão está especificado na

forma correta (ver eq. 3.2.7 e 3.2.8 e fig. 3.7)

Premissa 10: (para modelos com mais de 2 variáveis) não

há relações lineares perfeitas entre as variáveis

explanatórias

Precisão ou erros-padrão das estimativas

MQO

𝑣𝑎𝑟 𝛽2 =𝜎2

𝑥𝑖2 𝑣𝑎𝑟 𝛽1 =

𝑋𝑖2

𝑛 𝑥𝑖2 𝜎2

Onde 𝜎2 é a variância homocedástica de ui

Obs.:

‒ Quanto maior a variação nos valores de Xi maior a

precisão da estimativa de 𝛽2

‒ Com o aumento de n também aumenta a precisão

Precisão ou erros-padrão das estimativas

MQO

Se 𝜎2 é desconhecido pode ser estimado por

𝜎2 = 𝑢𝑖

2

𝑛 − 2 𝑢𝑖

2= SQR = soma dos quadrados dos resíduos

𝜎 = 𝑢𝑖

2

𝑛 − 2

É o erro padrão da estimativa, é o desvio padrão dos

valores de Y em relação à linha de regressão. Uma

medida da “qualidade do ajustamento”.

Teorema de Gauss-Markov

• 𝛽2 é dito o melhor estimador linear não tendencioso de

β2 se:

1. É linear, por exemplo, em Y

2. É não tendencioso => E( 𝛽2) = β2

3. É eficiente, ou seja, entre todos os estimadores lineares é o

de menor variância (ver fig. 3.8)

Ver propriedades dos estimadores na pag. 723

Qualidade do ajustamento• r2 no caso de regressão com duas variáveis

• R2 no caso de regressão múltipla = coeficiente de determinação

Xi

Y

X

Yi

STQ = (Yi - Y)2

SQR = (Yi - Yi )2

SQReg = (Yi - Y)2

_

_

_

Y

Y

Y_Y

Qualidade do Ajustamento

𝑌𝑖 = 𝑌𝑖 + 𝑢𝑖

(𝑌𝑖 − 𝑌)2= ( 𝑌𝑖 − 𝑌)2+(𝑌𝑖 − 𝑌𝑖)2

𝑆𝑇𝑄 = 𝑆𝑄𝐸 + 𝑆𝑄𝑅 ÷ 𝑆𝑇𝑄

1 =𝑆𝑄𝐸

𝑆𝑇𝑄+

𝑆𝑄𝑅

𝑆𝑇𝑄

1 = 𝑟2 +𝑆𝑄𝑅

𝑆𝑇𝑄

𝑟2 =𝑆𝑄𝐸

𝑆𝑇𝑄=

( 𝑌𝑖 − 𝑌)2

(𝑌𝑖 − 𝑌)2

= (𝑌𝑖 − 𝑌𝑖)

2

(𝑌𝑖 − 𝑌)2=

𝑢𝑖2

(𝑌𝑖 − 𝑌)2

Qualidade do Ajustamento

𝑟2 = 1 −𝑆𝑄𝑅

𝑆𝑇𝑄

• Mede a proporção ou percentual da variação total de Y

explicada pelo modelo de regressão

• No modelo de regressão linear simples, o R2 é igual ao

quadrado do coeficiente de correlação entre X e Y

𝑟2 = 𝑟𝑥𝑦2

Coeficiente de determinação amostral

Qualidade do Ajustamento

• No modelo de regressão linear simples, o R2 é igual ao

quadrado do coeficiente de correlação entre X e Y

𝑟2 = 𝑟𝑥𝑦2

0 ≤ 𝑟2 ≤ 1

Ajuste perfeito 𝑌𝑖 = 𝑌𝑖

Sem relação linear

entre Y e X 𝑌𝑖 = 𝑌

Coeficiente de Correlação Amostral - r

1. Pode ser + ou –

2. −1 ≤ r ≤ 1

3. Simétrica 𝑟𝑥𝑦 = 𝑟𝑦𝑥

4. Independe da escala

𝑟𝑥𝑦 = 𝑟𝑥∗𝑦∗ onde 𝑋𝑖∗ = 𝑎𝑋𝑖 + 𝑐 e 𝑌𝑖

∗ = 𝑏𝑌𝑖 + 𝑑

5. Se X e Y são independentes rxy = 0

mas rxy = 0 não implica independência

5. Não implica relação de causa e efeito

6. Não tem sentido para descrever relações não lineares

Capítulo 4 – Modelo Normal de

Regressão Linear Clássico

MNRLC

Fonte: GUJARATI; D. N. Econometria Básica: 4ª Edição.

Rio de Janeiro. Elsevier- Campus, 2006

Até aqui...

• Com o auxílio do método MQO conseguimos estimar

β1, β2, σ2.

• Sob as premissas do MRLC vimos que os estimadores

desses parâmetros 𝛽1, 𝛽2 e 𝜎2 apresentam propriedades

estatísticas desejáveis tais como não tendenciosidade,

variância mínima etc...

• Falta agora fazer os testes de hipóteses necessários às

inferências sobre a FRP.

• Quão longe 𝛽1, 𝛽2 e 𝜎2 estão dos parâmetros

populacionais β1, β2, σ2?

• Para isso precisamos descobrir as distribuições de

probabilidade de 𝛽1, 𝛽2 e 𝜎2.

𝛽2 = 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑥𝑖2

Do numerador:

𝑥𝑖𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 𝑌𝑖 − 𝑌 = 𝑥𝑖𝑌𝑖 − 𝑌 𝑥𝑖

= 𝑥𝑖𝑌𝑖 − 𝑌 𝑋𝑖 − 𝑋

= 𝑥𝑖𝑌𝑖

Daí: 𝛽2 = 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑥𝑖2 =

𝑥𝑖𝑌𝑖

𝑥𝑖2 = 𝑘. 𝑌𝑖

• Como pressupomos que X é não estocástico, nossa

análise de regressão é condicionada aos valores fixos de

Xi.

• 𝛽2 é uma função linear de Yi

𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖

𝛽2 = 𝑘 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖

• Mas Xi é não estocástico, então a variação de 𝛽2 vai

depender da variação de ui

• Como o MQO não faz qualquer pressuposição sobre a

natureza probabilística de ui, não nos ajuda a fazer

inferências a respeito da FRP a partir da FRA.

A premissa de normalidade de ui

• Normalidade de ui => MNRLC

𝑢𝑖~𝑁 0, 𝜎2

Média: E(ui) = 0

Variância: 𝐸 𝑢𝑖 − 𝐸(𝑢𝑖)2 = 𝐸 𝑢𝑖

2 = 𝜎2

Covariância: 𝑐𝑜𝑣 𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 : 𝐸 𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 = 0 ∀𝑖 ≠ 𝑗

𝑢𝑖 e 𝑢𝑗 se distribuem independentemente

𝑢𝑖~𝑁𝐼𝐷 0, 𝜎2

Distribuído de maneira normal e independente

Por que a premissa de normalidade?

1. Porque como 𝛽1 e 𝛽2 são funções lineares de 𝑢𝑖 se 𝑢𝑖

estiver normalmente distribuído 𝛽1 e 𝛽2 também

estarão.

• Esperamos que 𝑢𝑖 seja resultado da influência de variáveis

omitidas ou negligenciadas e que esse efeito seja pequeno e

aleatório.

• Pelo Teorema do Limite Central a soma de um grande

número de variáveis aleatórias, independentes e com

distribuição idêntica, tende à distribuição normal.

• Propriedade da distribuição Normal: qualquer função linear

de variáveis com distribuição normal também é normalmente

distribuída.

Por que a premissa de normalidade?

2. A distribuição normal é simples, envolve 2 parâmetros

3. Para amostras menores que 100 elementos a premissa

de normalidade é fundamental. Permite recorrer aos

testes t, F e χ2.

• Se o tamanho da amostra for suficientemente grande

podemos relaxar a premissa de normalidade;

• Para amostras pequenas cabe verificar se a premissa é

adequada.

Propriedades dos estimadores de MQO sob a

premissa de normalidade

1. São não tendenciosos.

2. São eficientes – têm variância mínima.

3. São consistentes – à medida que n aumenta

indefinidamente, os estimadores convergem para os

verdadeiros valores da população.

4. 𝛽1~𝑁(𝛽1, 𝜎 𝛽1

2 ) onde 𝜎 𝛽1

2 = 𝑋𝑖

2

𝑛 𝑥𝑖2 𝜎2

5. 𝛽2~𝑁(𝛽2, 𝜎 𝛽2

2 ) onde 𝜎 𝛽2

2 =𝜎2

𝑥𝑖2

6. (𝑛 − 2) 𝜎2

𝜎2 ~χ𝑛−22

Propriedades dos estimadores de MQO sob a

premissa de normalidade

7. A distribuição de ( 𝛽1 , 𝛽2) é independente de 𝜎2.

8. 𝛽1 e 𝛽2 têm a variância mínima dentro de toda a classe

de estimadores não tendenciosos, sejam lineares ou

não lineares – são BUE.