Tadeusz Hilczer 1

DIELEKTRYKIDIELEKTRYKIWykład 2

18.11.2010

1Tadeusz Hilczer

I-sza możliwość:

- kondensator jest stale włączony do obwodu pomiarowego

miernik prądu

dielektryk

1. pomiar C1= C0

2. pomiar C2= C0

wynik = C2/C1

Zasada pomiaru przenikalności elektrycznej

2Tadeusz Hilczer

1. pomiar C1= C0+Cd

II-sza możliwość:

- kondensator jest włączany do obwodu pomiarowego na czas pomiaru

Zasada pomiaru przenikalności elektrycznej

3Tadeusz Hilczer

-1 = - podatność elektryczna

dielektryk

1. pomiar C1= C0+Cd

2. pomiar C2= C0+Cd

wynik -1= (C2-C1)/C0

II-sza możliwość:

- kondensator jest włączany do obwodu pomiarowego na czas pomiaru

Zasada pomiaru przenikalności elektrycznej

4Tadeusz Hilczer

parametry:

stan skupienia

x = f(a,b,c,d,...)

temperatura

ciśnienie

pola zewnętrzne

jeszcze coś

jeszcze coś

Wyznaczanie stałej materiałowej x

5Tadeusz Hilczer

parametry:

stan skupienia = const

x = f(T)

temperatura zmienna

ciśnienie = const

pola zewnętrzne = const

jeszcze coś = const

jeszcze coś = const

- pomiar temperaturowy

Wyznaczanie stałej materiałowej x

6Tadeusz Hilczer

parametry:

stan skupienia = const

x = f(p)

temperatura = const

ciśnienie zmienne

pola zewnętrzne = const

jeszcze coś = const

jeszcze coś = const

- pomiar ciśnieniowy

Wyznaczanie stałej materiałowej x

7Tadeusz Hilczer

parametry:

stan skupienia = const

x = f(T,p)

temperatura zmienna

ciśnienie zmienne

pola zewnętrzne = const

jeszcze coś = const

jeszcze coś = const

- pomiar temperaturowy i ciśnieniowy

Wyznaczanie stałej materiałowej x

8Tadeusz Hilczer

- komórka pomiarowa

T = const

p = const

V = const

Cpom = C0

Vkom = V0

- bez dielektryka

Pomiar przenikalności elektrycznej w warunkach ustalonych

9Tadeusz Hilczer

T = const

p = const

V = const

Cpom = (T0)C0

Vkom = V0

- komórka pomiarowa - z dielektrykiem idealnym

Pomiar przenikalności elektrycznej w warunkach ustalonych

10Tadeusz Hilczer

T = rośnie

p = rośnie

V = const

Cpom = (T0,p)C0(T)

Vkom = V0+V(p,T)

- komórka pomiarowa - z dielektrykiem idealnym

Temperaturowy pomiar pojemności elektrycznej

11Tadeusz Hilczer

T = rośnie

p = const

V = rośnie

Cpom = (T0)C0(T)

Vkom = V0+V(T)

- komórka pomiarowa - z dielektrykiem idealnym

Temperaturowy pomiar pojemności elektrycznej

12Tadeusz Hilczer

czujnik temperatury

Ttermostatu

temperatura T = (1/2)(T1 + T2)

T1

T2

T = T2-T1 0

Temperaturowy pomiar pojemności elektrycznej

13Tadeusz Hilczer

temperatura T

V = 0

T = 0

Temperaturowy pomiar pojemności elektrycznej

14Tadeusz Hilczer

temperatura T= Ttermostatu

V = 0V = 0

T = 0T = 0

Temperaturowy pomiar pojemności elektrycznej

15Tadeusz Hilczer

układ pomiarowy

- metoda podstawienia

kondensator wzorcowy

C()

Pomiar pojemności elektrycznej

16Tadeusz Hilczer

układ pomiarowy

kondensator wzorcowy

- metoda podstawienia

C()

Pomiar pojemności elektrycznej

17Tadeusz Hilczer

wskaźnik równowagi

- metoda mostkowa

kondensator wzorcowy

C()

Pomiar pojemności elektrycznej

18Tadeusz Hilczer

Tadeusz Hilczer 19

Dielektryk w polu przemiennym

Zależność polaryzacji dielektryka od częstości

Tadeusz Hilczer 20

Dielektryk w polu przemiennym

Zależność polaryzacji dielektryka od częstości

Tadeusz Hilczer 21

Dielektryk w polu przemiennym

Zależność polaryzacji dielektryka od częstości

Tadeusz Hilczer 22

Dielektryk w polu przemiennym

Zależność polaryzacji dielektryka od częstości

Tadeusz Hilczer 23

- przenikalność elektryczna dielektryka w przemiennym polu elektrycznym (dielektryk o jednym rodzaju trwałych dipoli molekularnych)

- Debye (1912) zaproponował wykładniczą formę współczynnika zaniku

- przenikalność elektryczna przy wysokich częstościach(t) - współczynnik zaniku, określający opóźnienie zmian polaryzacji względem zmian pola elektrycznego

– czas relaksacji

0

)exp()(* dttit

t

t exp)0()(

Dielektryk w polu przemiennym

Tadeusz Hilczer 24

- polaryzacja deformacyjna (atomowej, jonowej, elektronowej) model oscylatora harmonicznego,• przesunięcie przez pole elektryczne ładunków przeciwnych znaków, związanych ze sobą sprężyście, wywołuje polaryzację ośrodka,• po usunięciu pola ładunki wracają do położeń równowagi wykonując drgania, które zanikają z szybkością określoną tłumieniem (lepkością ośrodka)• gdy polaryzację deformacyjną wywołuje pole przemienne układ złożony z oscylatorów może przy pewnej charakterystycznej częstości 0 absorbować energię• zjawisko analogiczne do absorpcji rezonansowej w obwodzie elektrycznym zawierającym opór omowy, pojemność oraz indukcyjność

Polaryzacja deformacyjna

Tadeusz Hilczer 25

• drganie oscylatora o masie m wychylonego z położenia równowagi o r:

- współczynnik tłumienia0 - częstość drgań oscylatora nietłumionego (k=0)

- tłumienie powoduje rozszerzenie linii rezonansowej szerokość połówkowa

022 20

22

rrr

rrr

dt

d

dt

d

m

k

dt

d

dt

d

2200 ;cos)exp( ttrr

Polaryzacja deformacyjna

Tadeusz Hilczer 26

0

0.5

1.0

A

0

Polaryzacja deformacyjna

Tadeusz Hilczer 27

t0

PPo

Pd

P/n

t0

Polaryzacja orientacyjna

Tadeusz Hilczer 28

’-1”

Dyspersja i absorpcja

Tadeusz Hilczer 29

Ei

PD

sd 01

- całkowita polaryzacja P jest też wielkością zespoloną:

dPPP

Ei

EiPPPD

s00 1

1"'*

- polaryzacja dipolowa Pd jest wielkością zespoloną przesunięta w fazie w stosunku do pola E

Równania dyspersyjne Debye’a

Tadeusz Hilczer 30

D

s

iE

iPPi

1

"'1"'*

0

Ds i

1

1*

- równanie dyspersyjne Debye’a określa zależność zespolonej przenikalności elektrycznej * od częstości

2222 11

*D

Ds

D

s

i

' "

DDs

stg

22'"

- tangens kąta strat:

Równania dyspersyjne Debye’a

Tadeusz Hilczer 31

221

'D

s

221

"D

Ds

log()

- dyspersja

- absorpcja

’()

”()

Równania dyspersyjne Debye’a

Tadeusz Hilczer 32

- równania dyspersyjne Debye’a można zapisać w postaciach umożliwiających wyznaczenie różnych charakterystyk eksperymentalnych

- wygodną skalą dla częstości jest skala logarytmiczna

- wprowadzamy zmienną: Dx ln

- znormalizowane równania dyspersyjne:

xee

exx

x

s

tgh

121'

xee xx

s cosh

1

2

11"

Znormalizowane równania dyspersyjne Debye’a

Tadeusz Hilczer 33

- przewodnictwo właściwe:

DD

sG

22001

"

xee

eGxx

x

s

D tgh

1

21

0

- znormalizowane przewodnictwo właściwe:

- krzywa przewodnictwa jest zwierciadlanym odbiciem krzywej dyspersji

Przewodnictwo właściwe

Tadeusz Hilczer 34

s

G

0

przewodnictwo

Znormalizowane równania dyspersyjne Debye’a

Tadeusz Hilczer 35

przewodnictwo

s

G

0

s

'

dyspersja

- duże wartości G powyżej obszaru relaksacji pochodzą od niezależnych oscylacji ładunków przeciwnych znaków (dla małych częstości E ładunki te są sprzężone i tworzą dipole molekularne)

Znormalizowane równania dyspersyjne Debye’a

Tadeusz Hilczer 36

przewodnictwo

s

G

0

s

'

dyspersja

absorpcja

s

"

Znormalizowane równania dyspersyjne Debye’a

Tadeusz Hilczer 37

gdy dielektryk z dipolami molekularnymi znajduje się w zmiennym polu elektrycznym:

tiEE exp0

- można wyróżnić 2 stany równowagi:

• 0 (pole statyczne)

• (pole wysokiej częstości)

EP ss 01 EP 01

- szybkość zmian polaryzacji dipolowej:

D

d

D

s

D

dsd PE

PPP

dt

dP

0

Spektroskopia dielektryczna

Tadeusz Hilczer 38

- z równań dyspersyjnych Debye’a:

liniowe związki pomiędzy ’ i ”:

D "

' Ds "'

Umożliwiają one wyznaczenie

- makroskopowego czasu relaksacji D

- oraz wartości oraz s

221

'D

s

DD

s

221"

- zależności liniowe pomiędzy ’ i ”

Spektroskopia dielektryczna

Tadeusz Hilczer 40

K.S. Cole i R.H. Cole pokazali, że eliminując z równań dyspersyjnych Debye’a:

2

22

2"

2'

ss

otrzymuje się równanie okręgu:

221

'D

s

D

D

s

221"

2'

s 0"

2 s

• współrzędne środka:

• promień:

Półokrąg Cole-Cole

Tadeusz Hilczer 41

- sens fizyczny ma tylko połowa okręgu 0"

- gdy wyniki doświadczalne leżą na półokręgu relaksację dielektryczną opisuje prosty model Debye’a (identyczne dipole w identycznym otoczeniu jeden czas relaksacji D)- półokrąg Debye’a umożliwia ekstrapolację do wartości i s nawet dla małej liczby punktów doświadczalnych

s ’

”

Półokrąg Cole-Cole

Tadeusz Hilczer 42

• W realnych dielektrykach obserwuje się często odstępstwa od prostego modelu Debye’a z pojedynczym czasem relaksacji D.

s

"

Odstępstwa od modelu Debye’a

Tadeusz Hilczer 43

s

"

Odstępstwa od modelu Debye’a

• poszerzenie zakresu częstości, w którym występuje dyspersja ’()• zmniejszenie absorpcji dielektrycznej ”max()

Tadeusz Hilczer 44

• poszerzenie zakresu częstości, w którym występuje dyspersja ’()• zmniejszenie absorpcji dielektrycznej ”max()

s

"

Odstępstwa od modelu Debye’a

Tadeusz Hilczer 45

s

"

Odstępstwa od modelu Debye’a

• poszerzenie zakresu częstości, w którym występuje dyspersja ’()• zmniejszenie absorpcji dielektrycznej ”max()

Tadeusz Hilczer 46

s

"

s

"

s

'

wg równań Debye’a

Odstępstwa od modelu Debye’a

• poszerzenie zakresu częstości, w którym występuje dyspersja ’()• zmniejszenie absorpcji dielektrycznej ”max()

Tadeusz Hilczer 47

Odstępstwa od modelu Debye’a przejawiają się jako pojawienie się zamiast pojedynczego czasu relaksacji D rozkładu czasów relaksacji f()

Rozkład czasów relaksacji związany jest z:

różnicami budowy molekularnych dipoli

różnicami otoczenia identycznych dipoli molekularnych

d

tft exp

Funkcja relaksacji (t) jest w tym przypadku określona jako:

Odstępstwa od modelu Debye’a

Tadeusz Hilczer 48

K.S. Cole i R.H Cole zaproponowali do opisu dyspersji dielektryków złożonych zamiast dyspersyjnego równania Debye’a:

Ds i

1

1*

równanie empiryczne:

11

1*

CCs i

- empiryczny parametr (0<1)

dla =0 równanie Cole’a-Cole’a równanie Debye’a

Równanie Cole-Cole

Tadeusz Hilczer 49

- wykresem równania Cole’a – Cole’a jest łuk półokręgu o środku położonym poniżej osi ’

"

'

0

u v

s

R2

22;

2 π

tgss

Równanie Cole-Cole

Tadeusz Hilczer 50

- łuk Cole’a–Cole’a symetryczny względem prostej równoległej do osi ”

bDCs i

1

1

- dla b =1 równanie Davindsona - Cole’a równanie Debye’a

b – empiryczny parametr (0< b 1)

- równanie empiryczne Davidsona – Cole’a:

- punkty doświadczalne często na łuku asymetrycznym

b

bb

s

bs

sincos)("

coscos)('

tg

Równanie Davidsona-Cole

Tadeusz Hilczer 51

”

’s

b

bb

s

bs

sincos)("

coscos)('

b = 1

0,80,6

0,4

0,2

Wykres Davidsona-Cole

Tadeusz Hilczer 52

Wszystkie trzy przypadki równań dyspersyjnych Debye’a, Cole’a-Cole’a oraz Davidsona–Cole’a obejmuje empiryczne równanie zaproponowane przez S. Havriliaka i S. Negami:

bHNs i

11

1*

Dla =0 i b=1 r. Debye’a

=0 r. Davidsona – Cole’a

b=0 r. Cole’a – Cole’a

Równanie Havriliaka–Negami dobrze opisuje poszerzony (w stosunku do modelu Debye’a) obszar dyspersji i absorpcji dielektrycznej w układach złożonych takich jak polimery.

Równanie Havriliaka-Negami

Tadeusz Hilczer 53

Modelowi Debye’a (z pojedynczym czasem relaksacji D) odpowiada makroskopowa funkcja relaksacji:

D

tt

exp

a relaksacyjna część zespolonej przenikalności elektrycznej *() związana jest z jednostronną transformatą Fouriera tej funkcji:

tis

1

*

Funkcja relaksacji Debye’a

Tadeusz Hilczer 54

Do opisu relaksacji dielektrycznej układów złożonych w domenie czasu stosuje się często tzw. „rozciągniętą” funkcję eksponencjalną (Stretched exponent) Kohlrauscha-Williamsa-Wattsa:

KWWKWW

tt exp

Funkcja ta, została zastosowana przez B. Kohlrauscha do opisu zaniku ładunku w butelce lejdejskiej.

Do opisu relaksacji dielektrycznej w amorficznych polimerach została ona zastosowana przez G. Williamsa i D.C. Wattsa

Funkcja KWW opisuje również inne zjawiska relaksacji w polimerach, np. relaksację NMR, relaksację mechaniczną.

Funkcja relaksacji Kohlrauscha-Wiliamsa-Wattsa

Tadeusz Hilczer 55

- spektroskopia dielektryczna obejmuje zakres częstości od 10-4 Hz do 1014 Hz- takiego przedziału częstości nie realizuje żadna metoda pomiarowa muszą być wykorzystane rozmaite zasady- mostki

- metody rezonansowe

- linie koaksialne

- falowody- metody transientowe- linie paskowe

- spektroskopia dielektryczna w domenie częstości

- spektroskopia dielektryczna w domenie czasu

metody impedancyjne

Spektroskopia dielektryczna

Tadeusz Hilczer 56

spektroskopia dielektryczna w domenie czasu

spektroskopia dielektryczna w domenie częstości

f (Hz)

10-4 10-2 100 102 104 106 108 1010 1012 1014

metody mostkowe

metody rezonansowe

metody koaksialne

metody mikrofalowe

rezonatory

Metody eksperymentalne

Tadeusz Hilczer 57

spektroskopia dielektryczna w domenie czasu

spektroskopia dielektryczna w domenie częstości

f (Hz)

10-4 10-2 100 102 104 106 108 1010 1012 1014

metody koaksialne

metody mikrofalowe

rezonatory

metody impedancyjne(cyfrowe)

Metody eksperymentalne

Tadeusz Hilczer 58

- komórka pomiarowa jest kondensatorem

- zespolona impedancja Z obwodu odwrotność zespolonej admitancji Y::

- pomiędzy okładkami znajduje się dielektryk rzeczywisty

- kondensator ma określone straty układem zastępczym jest oporność R równolegle połączona do pojemności C

R

C

- konduktancja G:

Y = G + iC

RG

1

Metody eksperymentalne

Tadeusz Hilczer 59

- do obwodu o stałej oporności R i stałej pojemności C włączony jest w chwili t = 0 impuls elektryczny U(t)

- impuls U(t) ma kształt półokresu sinusoidy

- stosujemy metodę Laplace’a

R

C

- wyznaczamy prąd I(t) płynący przez obwód po czasie /0

U(t)

0 /0 t

Przykład

Tadeusz Hilczer 60

- odpowiedź układu na pobudzenie impulsem:

RCt

RCCR

CU

dt

tdQtI

1exp1

1exp

1

)()(

20

2200

0

π

Przykład

Tadeusz Hilczer 61

- kondensator z dielektrykiem

- opór zastępujący straty

- kondensatory kompensujące pojemności rozproszone

- indukcyjność kompensująca

Obwód zastępczy komórki pomiarowej

Tadeusz Hilczer 62

D

˜generator

Z1=1/Y1 Z2=1/Y2

Z3=1/Y3 Z4=1/Y4

Mostek Wheatstone’a

Tadeusz Hilczer 63

generator

pomiar napięcia U(t)

pomiar natężenia I(t)

Miernik dobroci (Q-metr)

Tadeusz Hilczer 64

)cos()( 0 tUtU

))exp(()cos()( *0 tiIretItI

Miernik dobroci (Q-metr)

Tadeusz Hilczer 65

nT

dttitInT

iIItI0

)exp()(2

"')(

'''

)(;''' 220 I

IIII tg

)("')(

*0*

I

UiZZZ

- transformata Fouriera po n okresach

- impedancja:

- przenikalność dielektryczna

0*

* 1

)("')(

CZ

ii

- przewodnictwo

A

d

Zi

)(

1"')(

**

Miernik dobroci (Q-metr)

Tadeusz Hilczer 66 66

- zastosowanie metody Fouriera do impulsu w postaci dyskretnej wymaga wyrażenia całki Fouriera w postaci dyskretnej

- dyskretna transformata Fouriera:

- dla impulsu x(t) zawartego w przedziale (0,tm) po procedurze próbkowania N dyskretnych wartości częstości n

1- ... 2, 1, 0, ;πi2exp1

0

1

0

NkWxN

knxx nk

N

kk

N

kkn

1- ... 2, 1, 0, ;1

πi2exp1 1

0

1

0

NkWxNN

knx

NX

N

k

nkn

N

knn

- dyskretna odwrotna transformata Fouriera:

N

Wπi2

exp

F T T

Tadeusz Hilczer 67

- obliczenie współczynników dyskretnej transformaty Fouriera za pomocą procedur komputerowych

- liczba operacji matematycznych rzędu N 2

- w roku 1965 J.W.Cooley i J.W.Tukey opracowali algorytm obliczania transformat szybką transformatę Fouriera FFT (Fast Fourier Transform)

- liczba operacji matematycznych rzędu 2N lnN

- dla N = 1000 do wyliczenia transformaty około 100 razy mniej operacji

- dla uzyskania dokładnej analizy impulsu potrzebna jest duża liczba próbek N

F T T

Tadeusz Hilczer 68

- algorytm FFT kolejne stosowanie filtrowania cyfrowego

- opracowano kilka procedur filtrowania

- w obliczeniach komputerowych liczba próbek N parzysta równa 2k

- gdy liczba N jest mniejsza od najbliższej liczby 2k uzupełnia odpowiednia liczba zer

- próbki xk dzieli się na dwie grupy o liczebności N /2

- grupa yk parzyste liczby k

- grupa zk nieparzyste liczby k

F T T

Tadeusz Hilczer 69

t

A

xk

ykzk

F T T

Tadeusz Hilczer 70

- transformaty obu grup:

- transformata całego zbioru N próbek jest sumą transformat obu grup:

nkN

kkn WyY 2

1)2/(

0

nkN

kkn WzZ 2

1)2/(

0

nnn

N

k

nkk

nnkk

N

kkkn

WZYWzWWy

N

knz

N

kn

N

knyX

1)2/(

0

22

1)2/(

0

πi4expπi2expπi4exp

F T T

Tadeusz Hilczer 71

- ponieważ:

- obliczenia transformaty Xn można ograniczyć dla przedziału

0 ≤ n < N /2

2/2/

Nnnn

nnnNn WZYWZYX

dla 0 ≤ n < N /2

- dla przedziału N /2 < n  N wartości Yn i Zn mają te same wartości co dla przedziału 0 < n < N /2

F T T

Tadeusz Hilczer 72

- jeżeli liczba N /2 jest parzysta kolejny podział

- jeżeli liczba N /4 jest parzysta kolejny podział

- każdy podział zmniejsza liczbę koniecznych operacji

- zbiór próbek o N elementach opisujący impuls

- N zbiorów o 1 elemencie

- impuls opisany zbiorem N równań, złożonych z sum i prostych iloczynów

F T T

Tadeusz Hilczer 73

graficzny obraz filtrowania numerycznego dla N = 8

18 24 42 81

F T T

Tadeusz Hilczer 74

- dla N = 4 , po pierwszym podziale na dwa podzespoły

- gdzie

101

3113

000

2002

1111

0000

WZYWZYX

WZYWZYX

WZYX

WZYX

21

001

01

000

21

001

01

000

,

,

WzWzZWzWzZ

WyWyYWyWyY

F T T

Tadeusz Hilczer 75

- ostatecznie:

103

22

101

003

003

02

001

002

123

22

101

001

003

02

001

000

WWxWxWWxWxX

WWxWxWWxWxX

WWxWxWWxWxX

WWxWxWWxWxX

F T T

Tadeusz Hilczer 76

FTIR

-6 -3 0 3 6 9 12 15 log (f[Hz])

’

”

mm

Analizasieciowa

koaksialne

mostki

Domena częstości

Domena czasu

kondensator

Komórka koaksialna krótkozwarta

Linia koaksialna

Komórka optyczna

Spektroskopia dielektryczna