Zbigniew Osiak - viXravixra.org/pdf/1804.0176v1.pdf · 2018. 4. 13. · DIELEKTRYKI 1. Polaryzacja...
Transcript of Zbigniew Osiak - viXravixra.org/pdf/1804.0176v1.pdf · 2018. 4. 13. · DIELEKTRYKI 1. Polaryzacja...
ElektrycznoϾ
Zb
ign
iew
Os
iak
2
Linki do moich publikacji naukowych i popularnonaukowych, e-booków oraz audycji
telewizyjnych i radiowych są dostępne w bazie ORCID pod adresem internetowym:
http://orcid.org/0000-0002-5007-306X
3
Madzi,
mojej córce poświęcam
Zbigniew Osiak
ELEKTRYCZOŚĆSTAŁE POLE ELEKTRYCZE W PRÓŻI
KODESATOR PŁASKIDIELEKTRYKI
PRĄD ELEKTRYCZY STAŁY W METALACHOBWODY PRĄDU STAŁEGO
4
© Copyright 2011 by Zbigniew Osiak
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie i kopiowanie całości lub części publikacji
zabronione bez pisemnej zgody autora.
Portret autora zamieszczony na okładkach przedniej i tylnej
Rafał Pudło
Wydawnictwo: Self Publishing
ISBN: 978-83-272-3361-5
e-mail: [email protected]
Linki do moich publikacji naukowych i popularnonaukowych, e-booków oraz audycji
telewizyjnych i radiowych są dostępne w bazie ORCID pod adresem internetowym:
http://orcid.org/0000-0002-5007-306X
5
SPIS TREŚCI
STAŁE POLE ELEKTRYCZE W PRÓŻI
1. Istotne cechy pola elektrycznego 11
2. Wektor natężenia pola elektrycznego E 11
• Natężenie pola elektrycznego E 11
• Siła działająca na ładunek w polu elektrycznym 11
• Stałe pole elektryczne 12
• Jednorodne pole elektryczne 12
3. Wektor indukcji elektrycznej D 12
• Zjawisko indukcji elektrostatycznej 12
• Wektor indukcji elektrycznej D 12
• Relacja między wektorami E i D 12
4. Prawo Gaussa 13
• Strumień wektora indukcji elektrycznej przez powierzchnię 13
• Prawo Gaussa w postaci całkowej (globalnej) 14
• Prawo Gaussa w postaci różniczkowej (lokalnej) 14
5. Potencjalność stałego pola wektora E 14
• Związek między natężeniem a potencjałem 15
6. Równania Poissona i Laplace’a 16
7. Prawo Coulomba 16
• Prawo Coulomba 16
• Zapis prawa Coulomba w postaci wektorowej 17
8. Linie wektorów E i D. Powierzchnie ekwipotencjalne 17
• Linie pola wektorowego 17
• Powierzchnie ekwipotencjalne 17
9. Pole ładunku punktowego 18
• Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego 18
• Praca sił pola elektrycznego przy przemieszczaniu ładunku q w polu ładunku źródło-
wego Q z punktu A do punktu B wzdłuż linii sił 18
• Potencjał pola elektrycznego ładunku punktowego. 18
10. Pole układu ładunków punktowych. Zasada superpozycji 18
• Zasada superpozycji natężeń 18
• Zasada superpozycji potencjałów 19
11. Pole dipola 19
• Dipol 19
• Moment elektryczny dipola 19
• Natężenie i potencjał w punktach płaszczyzny prostopadłej do osi dipola przechodzą-
cej przez jego środek 19
• Potencjał w dowolnym punkcie dipola daleko od środka dipola 19
• Natężenie w dowolnym punkcie daleko od środka dipola 21
12. Dipol w zewnętrznym polu elektrycznym 22
• Dipol w jednorodnym polu elektrycznym 22
• Energia potencjalna Wp dipola w zewnętrznym polu elektrycznym 22
• Dipol w niejednorodnym polu elektrycznym 23
6
13. Rozwinięcie multipolowe potencjału pola elektrycznego układu ładunkówpunktowych 24
• Multipole 24
• Rozwinięcie multipolowe potencjału 24
14. Multipole liniowe 27
• Multipol liniowy 27
• Natężenie pola multipola liniowego na jego osi 29
• Potencjał multipola liniowego w płaszczyźnie prostopadłej do osi multipola przecho-
dzącej przez jego środek 30
15. Siły wzajemnego oddziaływania między multipolami 30
• Dipol w polu ładunku punktowego 30
• Ładunek punktowy w polu dipola 30
• Dipol w polu dipola 31
• Monopol w polu multipola n-tego rzędu 31
• Dipol w polu multipola 31
• Siły wzajemnego oddziaływania multipoli liniowych leżących na wspólnej osi 31
16. Człon dipolowy w rozwinięciu potencjału 32
• Człon dipolowy 32
• Moment dipolowy układu ładunków 32
• Moment dipolowy jako niezmiennik 33
17. Człon kwadrupolowy w rozwinięciu potencjału 33
• Człon kwadrupolowy 33
• Tensor momentu kwadrupolowego układu ładunków 34
18. Człon oktupolowy w rozwinięciu potencjału 39
• Człon oktupolowy 39
• Tensor momentu oktupolowego układu ładunków 39
19. Kierunki własne (osie główne) i wartości własne oraz niezmienniki tensora momentukwadrupolowego 43
• Osie główne (kierunki własne) 43
20. Multipolowe rozwinięcie potencjału pola ciągłego rozkładu ładunków rozmieszczo-nych ze stałą gęstością objętościową w obszarze elipsoidy w układzie współrzędnych,który stanowią osie elipsoidy 47
• Elipsoida 47
• Przejście od dyskretnego (nieciągłego) do ciągłego rozkładu ładunków 47
• Moment dipolowy ciągłego rozkładu ładunków rozmieszczonych w obszarze elipsoidy
ze stałą gęstością objętościową 48
• Tensor momentu kwadrupolowego ciągłego rozkładu ładunków rozmieszczonych
w obszarze elipsoidy ze stałą gęstością objętościową 49
• Człon kwadrupolowy w rozwinięciu potencjału pola ciągłego rozkładu ładunków
rozmieszczonych w obszarze elipsoidy ze stałą gęstością objętościową 52
• Przykład: Elektryczny moment kwadrupolowy jądra atomowego 52
• Przykład: Potencjał elektryczny jądra atomowego 54
21. Pola różnych naładowanych przewodników i rozkładów ładunków 54
• Pole elektryczne nieskończonej płaszczyzny naładowanej ze stałą gęstością powierz-
chniową ładunku 54
• Pole elektryczne dwóch nieskończonych płaszczyzn równoległych naładowanych róż-
noimiennymi ładunkami o stałych gęstościach powierzchniowych 55
• Pole elektryczne powierzchni cylindrycznej (walcowej) naładowanej ze stałą gęstością
powierzchniową ładunku 56
• Pole elektryczne walca naładowanego ze stałą gęstością objętościową ładunku 57
7
• Pole elektryczne powierzchni kulistej (sferycznej) naładowanej ze stałą gęstością po-
wierzchniową ładunku 59
• Pole elektryczne kuli naładowanej ze stałą gęstością objętościową ładunku 60
22. Przewodnik w polu elektrycznym 62
• Naładowany przewodnik we własnym polu elektrycznym 62
• Przykład: Wiaderko (puszka) Faradaya 63
• Przykład: Ostrza 63
• Nienaładowany przewodnik w zewnętrznym polu elektrycznym 64
• Przykład: Elektrofor 64
• Przykład: Ekran elektrostatyczny (osłona elektrostatyczna) 64
• Pojemność elektryczna odosobnionego przewodnika 65
23. Energia potencjalna układu ładunków w zewnętrznym polu elektrycznym 66
• Energia potencjalna ładunku w zewnętrznym polu elektrycznym 66
• Energia potencjalna dipola w zewnętrznym polu elektrycznym 66
• Energia potencjalna układu ładunków punktowych w zewnętrznym polu elektrycz-
nym 67
• Przykład: Energia potencjalna jądra atomowego w zewnętrznym polu elektrycznym 69
• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania monopola z dipolem 69
• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania monopola z kwadrupolem 69
• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dipola z dipolem 70
• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dipola z kwadrupolem 71
• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania kwadrupola z kwadrupolem 72
• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania kwadrupola z kwadrupolem – wzór
szczegółowy 73
24. Energia potencjalna wzajemnych oddziaływań między punktowymi ładunkami elek-trycznymi 76
• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dwóch ładunków punktowych 76
• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dowolnego układu ładunków punkto-
wych 77
• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania ciągłego rozkładu ładunków 77
25. Energia pola elektrycznego 78
• Energia pola elektrycznego ciągłego rozkładu ładunków 78
• Energia pola elektrycznego odosobnionego naładowanego przewodnika 79
• Energia własna ładunku punktowego 79
26. Ruch ładunków w polu elektrycznym 80
• Przyspieszenie, energia kinetyczna, prędkość i pęd ładunku w jednorodnym stałym po-
lu elektrycznym 80
• Równoległe i antyrównoległe wejście ładunku w jednorodne stałe pole elektryczne 80
• Prostopadłe wejście ładunku w jednorodne stałe pole elektryczne 81
• Skośne wejście ładunku w jednorodne stałe pole elektryczne 81
• Atom wodoru (model Bohra) 82
KODESATOR PŁASKI
1. Kondensator płaski i jego pojemność 85
• Kondensator płaski 85
• Pojemność kondensatora 85
2. Połączenia kondensatorów 87
• Połączenie równoległe kondensatorów 87
• Połączenie szeregowe kondensatorów 87
8
• Połączenia mieszane kondensatorów szeregowo-równoległe 88
• Połączenia mostkowe kondensatorów 88
• Zwarty kondensator 89
• Kondensator z płytką metalową między okładkami 90
3. Pojemność płaskiego kondensatora z warstwami różnych dielektryków 90
• Opis powierzchni Gaussa 90
• Obliczanie strumienia natężenia pola elektrycznego 90
• Pojemność kondensatora z dwoma szeregowymi warstwami różnych dielektryków 91
• Pojemność kondensatora z wieloma szeregowymi warstwami różnych dielektryków 91
• Pojemność kondensatora z płytką dielektryczną o grubości x w środku 91
• Pojemność kondensatora z dwoma równoległymi warstwami różnych dielektryków 92
4. Energia pola elektrycznego w kondensatorze 92
• Energia pola elektrycznego w kondensatorze 92
• Różne postacie wzoru na energię pola elektrycznego w kondensatorze 93
• Jak energia pola elektrycznego w danym kondensatorze zależy od jego pojemności?
93
5. Gęstość objętościowa energii pola elektrycznego 94
6. Siła wzajemnego przyciągania się okładek kondensatora 94
7. Dwa stany naładowanego kondensatora: ze źródłem (U=const) i bez źródła (Q=const)95
8. Bilans energii pola elektrycznego w kondensatorze 96
DIELEKTRYKI
1. Polaryzacja dielektryków 101
2. Zależność stałej dielektrycznej od temperatury i innych parametrów 102
• Dielektryki niepolarne i polarne 102
• Wektor polaryzacji 102
• Stała dielektryczna niepolarnych gazów rozrzedzonych 103
• Stała dielektryczna niepolarnych gazów, cieczy i kryształów 103
• Stała dielektryczna polarnych gazów rozrzedzonych gdy, << kT 104
• Stała dielektryczna polarnych gazów gdy, µE << kT 104
3. Warunki brzegowe 105
• Granica dielektryka z dielektrykiem 105
• Granica dielektryka z przewodnikiem 105
4. Dielektryki o różnych kształtach w jednorodnym stałym polu elektrycznym 106
5. Ferroelektryki 107
• Ferroelektryki 107
• Histereza dielektryczna 107
• Temperatura Curie 107
PRĄD ELEKTRYCZY STAŁY W METALACH
1. Prąd elektryczny przewodnictwa 109
• Prąd elektryczny przewodnictwa 109
• Natężenie prądu elektrycznego 109
• Prąd stały 109
• Kierunek przepływu prądu elektrycznego 109
• Gęstość prądu elektrycznego 110
9
2. Prawo Ohma 110
• Prawo Ohma 110
• Zależność oporu od długości, przekroju i rodzaju przewodnika metalowego 111
• Prawo Ohma w postaci lokalnej 111
3. Zależność oporu właściwego od temperatury 111
• Zależność oporu właściwego metali od temperatury 111
• Współczynnik temperaturowy oporu 112
• Nadprzewodnictwo 112
• Prawo Wiedemanna-Franza-Lorenza 112
4. Prawo Joule’a-Lenza 113
• Prawo Joule’a-Lenza 113
• Moc ciepła wydzielonego w przewodniku 113
• Prawo Joule’a-Lenza w postaci lokalnej 113
• Jak moc ciepła wydzielonego w danym przewodniku zależy od jego oporu? 114
5. Sukcesy i porażki klasycznej elektronowej teorii przewodnictwa elektrycznegow metalach 114
• Prędkość unoszenia 114
• Związek gęstości prądu z prędkością unoszenia 115
• Prędkość maksymalna i prędkość unoszenia 115
• Mikroskopowa interpretacja prawa Ohma 116
• Mikroskopowa interpretacja prawa Joule’a-Lenza. 116
• Mikroskopowa interpretacja prawa Wiedemanna-Franza-Lorenza 116
• Zależność przewodnictwa elektrycznego właściwego od temperatury 117
• Prawo Dulonga-Petita 117
• Porównanie relacji empirycznych z teoretycznymi 117
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
1. Elementy obwodów elektrycznych 119
• Podstawowe elementy obwodów elektrycznych 119
• Symbole niektórych elementów obwodów elektrycznych 119
• Węzeł, gałąź, oczko 119
2. ΟΟΟΟbwód jednooczkowy bez źródła 120
3. Obwód jednooczkowy z jednym źródłem 121
• Prawa Kirchhoffa, Ohma i Joule’a-Lenza 121
• Wzajemne relacje między I, U i Rz 121
• Różne relacje dla Pz , Pw, Pc i η 122
• Wykresy Pz , Pw i Pc od Rz 123
• Charakterystyczne stany pracy źródła 123
4. Wykres zmienności potencjałów w oczku 124
5. Prawa Kirchhoffa 125
• Pierwsze prawo Kirchhoffa 125
• Drugie prawo Kirchhoffa 125
• Praktyczne wskazówki dotyczące układania równań Kirchhoffa dla danego obwodu
126
• Obliczanie różnicy potencjałów 126
• Uziemienie 126
6. Połączenia oporników 127
• Połączenie szeregowe oporników 127
• Połączenie równoległe oporników 127
10
• Połączenie mieszane oporników szeregowo-równoległe 128
• Zwarty opornik 128
• Transformacja trójkąta w gwiazdę i vice versa 129
• Symetryczne połączenia oporników 130
7. Mostek Wheatstone’a 131
• Stan równowagi mostka Wheatstone’a 131
• Przekątna pomiarowa i przekątna zasilania 131
• Zastosowanie 132
• Zero na skali galwanometru 132
• Opór zabezpieczający 132
• Minimalny błąd pomiaru 132
• Przykład 133
8. Pomiar oporu metodą techniczną 134
9. Połączenia źródeł napięcia 134
• Połączenie szeregowe źródeł napięcia 134
• Połączenie równoległe dwóch różnych źródeł napięcia 135
• Połączenia mieszane źródeł 136
10. Potencjometr 136
• Nieobciążony potencjometr-rozważania jakościowe 136
• Obciążony potencjometr-rozważania ilościowe 137
11. Amperomierz i woltomierz 138
• Rozszerzanie zakresu pomiarowego amperomierza 138
• Rozszerzanie zakresu pomiarowego woltomierza 138
• Jak z amperomierza zrobić woltomierz i vice versa? 139
12. Kompensacyjna metoda pomiaru siły elektromotorycznej źródła 139
11
STAŁEPOLE ELEKTRYCZE
W PRÓŻI
1 ISTOTE CECHY POLA ELEKTRYCZEGO
• Pole elektryczne między innymi:
1. Działa siłami na spoczywające i poruszające się ładunki elektryczne.
2. Indukuje ładunki elektryczne na powierzchniach nienaładowanych metali
(wywołuje indukcję elektrostatyczną).
3. Indukuje ładunki elektryczne na powierzchniach nienaładowanych dielektryków
(wywołuje polaryzację dielektryków).
Z opisem tych zjawisk związane są odpowiednio wektor natężenia pola elektrycznego E,
wektor indukcji elektrycznej D, zwanej też przesunięciem elektrycznym, oraz wektor polary-
zacji P, którym zajmiemy się w innym rozdziale.
2 WEKTOR ATĘŻEIA POLA ELEKTRYCZEGO E
• atężeniem pola elektrycznego E w danym punkcie nazywamy stosunek siły F , działa-
jącej ze strony pola na umieszczony w tym punkcie ładunek próbny qo , do wartości tego
ładunku.
Ładunek próbny z założenia jest dodatni i odpowiednio mały, aby jego pole nie zaburzało
badanego pola. Natężenie pola elektrycznego jest wektorem.
• Siła działająca na ładunek w polu elektrycznym Znajomość wektorów natężenia pola w każdym punkcie pola elektrycznego pozwala na
obliczenie siły działającej na znajdujący się w polu ładunek elektryczny.
Na dodatni ładunek działa w polu elektrycznym siła o kierunku i zwrocie natężenia pola
elektrycznego. Na ujemny ładunek działa w polu elektrycznym siła o kierunku natężenia pola,
ale mająca zwrot przeciwny niż natężenie.
oq
FE =
[ ] . m
V
C
NE 11 ==
EF ⋅= q
EF
EF
↓↑⇒<
↑↑⇒>
0q
0q
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
12
• Stałym polem elektrycznym nazywamy takie pole elektryczne, którego wektory natężeńsą stałe w czasie. Dalej zajmować się będziemy stałym polem elektrycznym, którego źródłemsą spoczywające ładunki elektryczne.• Jednorodnym polem elektrycznym nazywamy takie pole elektryczne, którego wektorynatężeń są stałe co do wartości, kierunku i zwrotu w każdym punkcie pola. Jednorodne poleelektryczne jest szczególnie proste do opisu.
3 WEKTOR IDUKCJI ELEKTRYCZEJ D
• Zjawisko indukcji elektrostatycznej
• Wektor indukcji elektrycznej Wartością indukcji elektrycznej D w danym punkcie pola elektrycznego nazywamy sto-sunek maksymalnego ładunku q, indukowanego na powierzchni jednej z dwóch zetkniętychze sobą bardzo małych metalowych płytek próbnych umieszczonych w danym punkcie, dopola powierzchni (jednostronnej) S tej płytki.
Indukcja D jest wektorem o kierunku prostopadłym do płytek próbnych i skierowanym odpłytki, na której indukuje się ujemny ładunek elektryczny, do płytki, na której indukuje siędodatni ładunek elektryczny. Indukcja elektryczna nazywana była dawniej przesunięciemelektrycznym.
• Relacja między wektorami E i D Z doświadczenia wiadomo, że w jednorodnych izotropowych ośrodkach dielektrycznychwektory E i D są równoległe względem siebie, a ich wartości są proporcjonalne do siebiew każdym punkcie ośrodka.
UWAGAWłasność ta nie dotyczy ośrodków anizotropowych oraz ferroelektryków.
1. Stykamy ze sobą dwie nienaładowane kulki lub płytki metaloweumieszczone na izolujących podstawach.
2. Przybliżamy do nich dodatni (lub ujemny) ładunek indukujący.
3. Przy obecności ładunku indukującego, odsuwamy od siebie obiekulki.
4. Usuwamy ładunek indukujący.
S
q=D
[ ] . m
CD
21=
ED roεε=
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
13
εο = przenikalność elektryczna próżniεο = 8,85 · 10-12C/Vmεr = względna przenikalność dielektryczna ośrodka lub stała dielektryczna, czyli liczbainformująca ile razy natężenie pola elektrycznego w danym ośrodku jest mniejsze od na-tężenia pola elektrycznego w próżni
UWAGAIndukcja elektryczna D nie zależy od stałej dielektrycznej ośrodka.
4 PRAWO GAUSSA
• Strumień wektora indukcji elektrycznej przez powierzchnię Podamy definicję strumienia indukcji ΦD w prostym przypadku, kiedy w każdympunkcie płaskiej powierzchni indukcja ma taką samą stałą wartość, ustalony kierunek i zwrot,inaczej mówiąc, gdy pole jest jednorodne a powierzchnia jest fragmentem płaszczyzny.
Aby wyznaczyć strumień wektora indukcji, w przypadku gdy pole jest niejednorodnea powierzchnia nie jest płaska, należy powierzchnię podzielić na kawałki płaskie tak małe,aby we wszystkich punktach pole było jednorodne. Następnie należy obliczyć strumień dlakażdego kawałka
SD dd D ⋅=Φ
i wszystkie takie elementarne strumienie zsumować.
Inaczej mówiąc, w ogólnym przypadku strumień wektora indukcji D przez powierzchnięS dany jest jako
SD dS
D ⋅=Φ ∫∫ .
Dla powierzchni zamkniętej
∫∫ ⋅=ΦS
D dSD .
1≥ε r
1=ε r tylko dla próżni
rε >1 dla wszystkich dielektryków
rε = 1,00059 dla powietrza
SESD ⋅εε=Φ⋅=Φ roDD lub
[ ] . CD 1=Φ
S = pole płaskiej powierzchniS = wektor o wartości równej polu płaskiej powierzchni S, prostopadły do tej powierz-chni, o zwrocie na zewnątrz obszaru ograniczonego między innymi przez rozważanąpowierzchnię
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
14
• Prawo Gaussa w postaci całkowej (globalnej)
Powierzchnia zamknięta, którą otaczamy ładunki, nazywana jest powierzchnią Gaussa. Całasztuka stosowania prawa Gaussa polega na skonstruowaniu odpowiedniej powierzchniGaussa, co jest stosunkowo proste w przypadku pól symetrycznych.UWAGAStrumień wektora przez dany element powierzchni zamkniętej jest dodatni, gdy wektor maróżną od zera składową skierowaną na zewnątrz powierzchni Gaussa, prostopadłą do danegoelementu powierzchni. Strumień wektora przez dany element powierzchni jest ujemny, gdywektor ma różną od zera składową skierowaną do wnętrza powierzchni Gaussa, prostopadłądo danego elementu powierzchni.
• Prawo Gaussa w postaci różniczkowej (lokalnej)
5 POTECJALOŚĆ STAŁEGO POLA WEKTORA E
• Przypomnijmy, zajmujemy się stałym polem elektrycznym, którego źródłem są spo-czywające ładunki elektryczne. Stałe pole wektora natężenia E jest polem bezwirowym lubpotencjalnym, czyli polem w którym praca wykonana przez siły pola przy przesuwaniu ła-dunku wzdłuż krzywej zamkniętej jest równa zeru. Inaczej mówiąc, praca wykonywana przezsiły pola przy przesuwaniu ładunku z jednego punktu do drugiego zależy tylko od położeniatych punktów, a nie zależy od toru, po którym przesuwany był ładunek. To, że stałe pole wek-tora natężenia E jest potencjalne, oznacza również, że można go opisać skalarem zwanympotencjałem elektrycznym.
Strumień wektora indukcji elektrycznej przez powierzchnię zamkniętą jest równyalgebraicznej sumie ładunków swobodnych otoczonych przez tę powierzchnię.
∑∫∫ =⋅=i
i
S
D qdΦ SD
Różnica potencjałów elektrycznych między punktami A i B jest równa stosunkowipracy WA→B, którą wykonują siły pola elektrycznego przy przemieszczaniu ładunkuq z punktu A do punktu B, do wartości tego ładunku.
[ ] V1C
J==ϕ 1
q
W BA
BA→=ϕ−ϕ
∫∫∫∫∫∫ ρ=VV
dV dV divD
ρ=Ddiv
ρ = gęstość objętościowa ładunku
⇒
⇒
∫∫∫∑
∫∫∫∫∫
∑∫∫
=
=⋅
=⋅
Vii
VS
ii
S
dV ρq
dV divd
Gaussa eTwierdzeni
qd
Gaussa Prawo
DSD
SD
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
15
UWAGAPotencjał w danym punkcie zdefiniowaliśmy jako różnicę potencjałów w tym punkcie orazw punkcie, gdzie z założenia przyjęliśmy potencjał równy zeru. Najczęściej przyjmuje sięϕ = 0 w nieskończoności. Fizyczny sens ma jedynie różnica potencjałów.
• Związek między natężeniem a potencjałem Z potencjalności stałego pola wektora E wynika związek między natężeniem a potencja-łem, który podamy dla najprostszego przypadku, czyli dla stałego pola jednorodnego wzdłużlinii wektora E.
W ogólnym przypadku:
UWAGAZnak minus oznacza, że wektor natężenia pola elektrycznego E jest skierowany od większegodo mniejszego potencjału.
x0 xA xB
( )
EF
lF
q
dW
qWB
A
BA
BABA
=
⋅=
ϕ−ϕ=
∫→
→ ⇒
Dla stałego potencjalnego pola elektryczne-go cyrkulacja wektora E wzdłuż dowolnejdrogi zamkniętej oraz rotacja wektora Ew każdym punkcie są równe zeru.
⇓
( )BABA x x E −−=ϕ−ϕ⇒
( )( )
qEF
x x FW
qW
ABBA
BABA
=
−=
ϕ−ϕ=
→
→
W stałym jednorodnym polu wektora E bezwzględnawartość różnicy potencjałów między punktami A i B,leżącymi na linii wektora E, jest równa iloczynowi war-tości wektora E i odległości d między tymi punktami
d BA
E=ϕ−ϕ
0rot
0dl
=
=⋅∫E
lE
0dl
=⋅∫ lF
Twierdzenie Stokesa
SElE drotdSl
⋅=⋅ ∫∫∫
Potencjałem elektrycznym ϕA w danym punkcie A pola elektrycznego nazywamystosunek pracy jaką muszą wykonać siły pola przy przemieszczanu ładunku qz danego punktu A do punktu B, w którym z założenia potencjał jest równy zeru,do wartości przemieszczanego ładunku.
0 , q
W B
BABA =ϕ=ϕ−ϕ →
gradϕ−=E0grad rot
0rot
=ϕ
=E⇒
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
16
6 RÓWAIA POISSOA I LAPLACE’A
7 PRAWO COULOMBA
• Prawo Coulomba Dla powierzchni Gaussa będącej sferą o promieniu r, w środku której znajduje się ładunekpunktowy Q, mamy:
εo = przenikalność elektryczna próżni εo = 8,85 · 10-12m-2N-1C2 1/4πεo = k = 9 · 10 9m2NC-2
εr = względna przenikalność dielektryczna lub stała dielektryczna, czyli liczba informu-jąca ile razy siła działająca między dwoma ładunkami elektrycznymi w danym ośrodkujest mniejsza od siły działającej między tymi ładunkami w próżni
1≥ε r
1=εr tylko dla próżni
rε >1 dla wszystkich dielektryków
rε = 1,00059 dla powietrza
laplasjan
,a'Laplace operator
zyx
grad div
gradgradgrad
graddivdiv
0grad
grad
div
2
2
2
2
2
2
2
r
ro
=∆
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∆
ϕ∆=ϕ∇=ϕ
βα+αβ=αβ
α+α=α
=ε
ϕ−=
εε=
ρ=
AAA
E
ED
D⇒
ρ−=ϕεε
ρ=εε
ρ=εε+εε
ρ=εε
grad div
div
graddiv
div
ro
ro
roro
ro
E
EE
E
roεερ−
=ϕ∆ Równanie Poissona
ρ = 0
0=ϕ∆ Równanie Laplace’a
2r4S π=2
S
r4Dd π=⋅∫∫ SD
QdS
=⋅∫∫ SD
ED roεε=qEF =
2r
Q
4
1D ⋅
π=
2ro r
Q
4
1E
ε⋅
πε=
2ro r
4
1F
ε⋅
πε=
Dwa punktowe ładunki elektryczne oddziałująna siebie wzajemnie siłą, której wartość jestwprost proporcjonalna do iloczynu ich wartościoraz odwrotnie proporcjonalna do iloczynu kwa-dratu odległości między nimi i stałej dielektrycz-nej ośrodka, w którym się znajdują. Siła ta jestskierowana wzdłuż prostej łączącej oba oddzia-łujące ładunki. Dwa ładunki jednoimienne odpy-chają się, a dwa różnoimienne przyciągają się.
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
17
PRZYKŁADObliczmy ile razy wartość siły Fe odpychania elektrycznego dwóch elektronów jest większaod wartości siły Fg przyciągania grawitacyjnego tych dwóch elektronów.
• Zapis prawa Coulomba w postaci wektorowej
8 LIIE WEKTORÓW E I D. POWIERZCHIE EKWIPOTECJALE
• Linie pola wektorowego są liniami, do których styczne w każdym punkcie pokrywają sięz kierunkiem wektora w tym punkcie.• Pole elektryczne można charakteryzować, kreśląc linie wektorów E i D. Linie wektora Enazywa się niekiedy liniami sił pola elektrycznego. W próżni linie wektorów E i D pokrywa-ją się. Linie wektorów E i D zaczynają się na dodatnich ładunkach i kończą się na ujemnych,lub jeden z ich końców znajduje się w nieskończoności, przy czym linie wektora D zaczynająsię i kończą tylko na ładunkach swobodnych. Linie wektorów E i D nie mogą być zamknięte,ponieważ cyrkulacja wektora E wzdłuż dowolnej zamkniętej linii sił byłaby dodatnia. Liniewektorów E i D nie przecinają się. Linie wektorów E i D, w przypadku pola jednorodnego,są równoległe. Gęstość linii danego wektora jest wprost proporcjonalna do wartości tego wek-tora. Pojęcie linii sił pola elektrycznego wprowadził Faraday. Początkowo linie sił wiązanoz naprężeniami eteru.• Powierzchnie ekwipotencjalne, to powierzchnie stałego potencjału. Linie sił są prostopa-dłe do powierzchni ekwipotencjalnej. Gęstość powierzchni ekwipotencjalnych jest miarą war-tości gradientu potencjału, czyli miarą wartości natężenia pola elektrycznego.
22
3e
9
2
2e
g
2
2
e
kgNm067,6G
kg10,9m
C06,e
r
GmF
r
keF
−−
−
−
⋅=
⋅=
⋅=
=
=
11
1
1
1
1
11
⇒ 42
g
e 04 F
F1⋅≅
2
222r
2
o2 rr
41
1
1
1
1
1 rF ⋅
ε⋅
πε=
r12 = promień wodzący poprowadzony z punktu 1 do punktu 2 r12 = odległość między punktami 1 i 2 1212 rrr −= , 2121 rrr −= r12 = − r21
1r , 2r = promienie wodzące poprowadzone z początku układu współrzędnych odpowied- nio do punktu 1 i 2 F12 = siła z jaką ładunek q1 działa na ładunek q2
F12 = − F21
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
18
9 POLE ŁADUKU PUKTOWEGO
• atężenie pola elektrycznego ładunku punktowego
• Praca sił pola elektrycznego przy przemieszczaniu ładunku q w polu ładunku źródło-wego Q z punktu A do punktu B wzdłuż linii sił
• Potencjał pola elektrycznego ładunku punktowego
10 POLE UKŁADU ŁADUKÓW PUKTOWYCH. ZASADA SUPERPOZYCJI
• Zasada superpozycji natężeń
źródłowy ładunekQ
rr
4
q
r
2r
o
o
o
=
=ε
ε⋅
πε=
=
1
1 rF
FE
⇒rr
Q
4 2o
rE ⋅
πε=
1
rdr
r
4k
dr r
4d
dW
2
r
o
2ro
r
r
BA
B
A
11
1
1
1
−=
=ε
πε=
επε=⋅
⋅=
∫
∫→
rF
rF ⇒
−⋅=→
BABA rr
kQq W11
Wektor natężenia E pola elektrycznego, wytworzonego przez układ ładunków Qi ,równy jest sumie wektorów natężeń Ei pochodzących od poszczególnych ładunków.
i
iN
i2i
i
o
N
ii rr
Q
4
rEE ⋅⋅
πε== ∑∑
== 11
1
rA = odległość punktu A od ładunku źródłowego Q rB = odległość punktu B od ładunku źródłowego Q r = promień wodzący zaczepiony w źródle
Q = ładunek źródłowy r = odległość od źródła
−⋅=
=ϕ∞=
=ϕ
→
→
BABA
BB
BAA
rrkQqW
0 , r
q
W
11
⇒ kQ
r=ϕ
r
kQ
AA =ϕ
r~ , 0Q
1+ϕ>
r~ , 0Q
1−ϕ<
r
~ , 0Q1
ϕ>
r~ , 0Q
1ϕ<
Q>0
EE
Q<0
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
19
• Zasada superpozycji potencjałów
11 POLE DIPOLA
• Dipol Dipolem elektrycznym nazywamy układ dwóch różnoimiennych ładunków punktowychq>0 i –q o identycznych wartościach bezwzględnych, znajdujących się w stałej odległości odsiebie. Osią dipola nazywamy prostą, na której znajdują się oba ładunki dipola. Środkiem di-pola nazywamy punkt leżący na osi dipola w równej odległości od obu ładunków dipola. Ra-mieniem dipola nazywamy wektor leżący na osi dipola, o początku w ładunku ujemnym,a końcu w ładunku dodatnim, o wartości równej odległości l między ładunkami dipola.
• Momentem elektrycznym µµµµ dipola lub elektrycznym momentem dipolowym nazywa-my wektor
l⋅= qµµµµ .
Podamy też inną, równoważną definicję momentu dipolowego, nadającą się do uogólnień.
• atężenie i potencjał w punktach płaszczyzny prostopadłej do osi dipola przecho-dzącej przez jego środek
Potencjał ϕ pola elektrycznego, wytworzonego przez układ ładunków Qi ,równy jest sumie potencjałów ϕi pochodzących od poszczególnych ładunków.
∑∑==
⋅πε
=ϕ=ϕN
i i
i
o
N
ii r
Q
4 11
1
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=+=µ
=+=µ
=+=µ
µ+µ+µ=
=+=
n
sss22z
n
sss22y
n
sss22x
zyx
n
sss22
zqzqzq
yqyqyq
xqxqxq
qqq
1
11
1
11
1
11
1
11
kji
rrr
µµµµ
µµµµ
+
=αE
Ecos 2
1
E21
+
=αr
lcos 2
1
l21
+
=αE
Ecos 2
1
E21
E+
E αE
-q l q>0
r+
E+
+
=αr
lcos 2
1
r-
l21
α
r r+
x
y
z
r1
r2
q1
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
20
• Potencjał w dowolnym punkcie daleko od środka dipola
UWAGAµcosα jest rzutem wektora momentu dipolowego µµµµ na promień wodzący poprowadzony ześrodka dipola do punktu obserwacji.
r = promień wodzący poprowadzony ze środka dipola
W każdym punkcie płaszczyzny prostopadłej do osi dipola, przechodzącej przez jegośrodek,1. wektor natężenia pola elektrycznego jest równoległy do osi dipola i skierowany od
ładunku dodatniego do ładunku ujemnego,2. potencjał elektryczny jest równy zeru.
2r
cosαµ⋅
πε=ϕ
o4
1
3r
r⋅⋅
πε=ϕ
µµµµ
o4
1
( )23
222 zyx
z
++
µ⋅
πε=ϕ
o4
1
⇓
x
y
z
rα
µ
r+
r-
x
y
z
rα
β
⇒ ⇒
ql
r
lcos
r
q
4E
cosE2E
2
2o
=µ
=α
⋅πε
=
α=
+
++
+
1
1
−+
−+
=
−⋅
πε=ϕ
rr
r
q
r
q
4 o
1
0=ϕ⇒
⇒3
o r4E
+
µ⋅
πε=
1
3ol
2E l
2r:dipola środku w
πε
µ==+
1
3o r
Eµ
⋅πε
≈4
1 E ϕ = 0
µ
rr lr ≈⇒>> +⇓
( ) ( )rµ,rl, ∠=∠=
−=ϕ
−+
α
r
q
r
q
4ππ
1
o
2rrr
coslrr
lr
≈⋅
α≈−
>>
+−
+−
( )
r
zcosα
zyxr
µrcosα
qlµ
2
1222
=
++=
=⋅
=
rµ
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
21
• atężenie w dowolnym punkcie daleko od środka dipola
Ex = składowa E wzdłuż osi xEy = składowa E wzdłuż osi yEz = składowa E wzdłuż osi zEr = składowa radialna EEα = składowa południkowa EEβ = składowa równoleżnikowa E
( )
⋅+⋅⋅
πε−=
=
⋅
⋅πε
−=
⋅
⋅πε
−=
rr
rrE
µµµµµµµµ
µµµµµµµµ
gradrr
grad4
r grad
4r4 grad
33o
3o
30
111
11⇒
( )
−⋅
⋅⋅
πε=
34o rrr
3
4
µµµµµµµµ rrE
1
−⋅
αµ⋅
πε=
33o rrr
cos3
4
µµµµrE
1
( )25
222o
x
zyx
xz3
4E
++
µ⋅
πε=
1
( )25
222o
y
zyx
yz3
4E
++
µ⋅
πε=
1
( )( )2
5222
222
oz
zyx
xyz2
4E
++
−−µ⋅
πε=
1
3o r
sin
4E
αµ⋅
πε=α
1⇒
3o
rr
cos2
4E
αµ⋅
πε=
1⇒
⇒
⇒
( )223
o
cos3r4
E1
1 α+⋅πεµ
=⇒
⇒
0E =β⇒
⇓
µrcosα
gradr
r
r
3
r
1grad
r
rnrr grad
zk
yj
xigrad
gradE
rε 4π
1
43
1nn
3o
=⋅
=⋅
⋅−=
⋅=
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
ϕ−=
⋅⋅=ϕ
−
rµ
µrµ
rµ
( )
( )
( )2
2
2
2z
2y
2x
z
y
x
222o
222
EEEE
zE
yE
xE
zyx
z
4
r
zcos
zyxr
1
3
1
1
++=
∂ϕ∂
−=
∂ϕ∂
−=
∂ϕ∂
−=
++
µ⋅
πε=ϕ
=α
++=
( )αcos1αsin
EEE
βrsinα
1E
αr
1E ,
rE
r
µcosα
ε4
1
22
2α
2r
αr
β
αr
2o
21
−=
+=
⊥
∂ϕ∂
⋅=
∂ϕ∂
⋅=∂ϕ∂
−=
⋅π
=ϕ
EE
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
22
12 DIPOL W ZEWĘTRZYM POLU ELEKTRYCZYM
• Dipol w jednorodnym polu elektrycznym
Para sił powoduje obrót dipola do położenia, w którym wektory µµµµ i E są równoległe (α=0).UWAGAWprawdzie M=0 dla kątów α=0 i α=π , ale są to jakościowo różne stany.1. α=0, M=0, µµµµ↑↑E, to stan stabilny. Małe odchylenie od stanu α=0 powoduje oscylacyjny ruch dipola wokół tego stanu.2. α=π, M=0, µµµµ↓↑E, to stan niestabilny.
Małe odchylenie od stanu α=π powoduje bezpowrotne wyjście z tego stanu.
• Energia potencjalna Wp dipola w zewnętrznym polu elektrycznymPodczas obrotu dipola siły pola elektrycznego wykonują pracę równą ujemnemu przyrostowienergii potencjalnej dipola.
⇒
⇒
⇓
⇓
∫α
π
ααµ=2
dsinEWP
αµ−= cosEWP
E⋅−= µµµµPW
ql
qEF
sinlFM
q
q
=µ
=
α=
=
=
×=
l
EF
FlM
µµµµ
EM ×= µµµµ⇒
⇒ αµ= sinEM
W jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu E suma sił działających na dipol jest równazeru, ponieważ na dodatni ładunek dipola działa siła +qE, a na ujemny –qE. Siły +qE i –qEstanowią parę sił o momencie M.
∫
∫
α−=αα
π=α⇔=
α=α=
αµ=
α−=
−=∆
−=∆
α
α
cosdsin
2 0W
,WW
sinEM
MdW
WW
WWW
P
2P2P
el sił
el siłP
P2PP
2
11
1
1
α
l
-q
q>0
- = -qF E
F E = q
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
23
• Dipol w niejednorodnym polu elektrycznym W niejednorodnym polu elektrycznym siły działające na dipol mają na ogół różny od zeramoment i wypadkową wartość, powodują więc obrót dipola do położenia równoległegowzględem lokalnego natężenia i wciągają go w obszar pola o większym natężeniu.
Obliczmy ponownie siłę działającą na dipol w zewnętrznym niejednorodnym polu elektry-cznym.
αµ−=
⋅−=
−=
cosEW
W
gradW
P
P
p
c
E
F
µµµµ
( )E⋅= µµµµgradF⇒
⇒ ( )αµ= cosEgradF
( )
( ) ( )EE
l
ElE
EEE
EEF
⋅=⋅
=
⋅=∂∂
∂∂
=−
−=
µµµµµµµµ
µµµµ
gradgrad
q
gradl
l
ll
2
2
1
1
⇒ ( )EF ⋅= µµµµgrad
l
-q q>0
E1
E2
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
24
13 ROZWIIĘCIE MULTIPOLOWE POTECJAŁU POLA UKŁADU ŁADU-KÓW PUKTOWYCH
• Multipole Multipolem n-tego rzędu nazywamy układ 2n ładunków o jednakowych wartościach bez-względnych, z czego połowę stanowią ładunki dodatnie, taki, że w dużej odległości od niegopotencjał pola elektrycznego wytworzonego przez ten układ zachowuje się w dobrym przybli-żeniu, jak
1
1
+ϕ
nR~ .
• Rozwinięcie multipolowe potencjału Potencjał układu ładunków punktowych w dużej odległości od tych ładunków można za-pisać w postaci szeregu
L+πε
+πε
+πε
=ϕ3
o
22
oo
o
R4
K
R4
K
R4
K1 ,
zwanym rozwinięciem multipolowym.
120 =
221 =
823 =
R~1
ϕ
2
1
R~ϕ
3
1
R~ϕ
4
1
R~ϕ
422 =
+q-q
+q
Multipol Ilość biegunów Przykład Potencjał
0
1
823 =
R~1
ϕ
2
1~ϕ
3
1~ϕ
4
1~ϕ
zerowego rzędu, monopol
pierwszego rzędu, dipol
drugiego rzędu, kwadrupol
trzeciego rzędu, oktupol
2
Punkt, w którym znajduje się ładunek Qi
Punkt, w którym wyznaczamy potencjał
(x, y, z)(x , y , z )i i i
0
RRi
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
25
Spróbujemy uzyskać ten sam wynik w inny sposób, przez rozwinięcie potencjału w szeregTaylora.
( )
( )( )( )
( ) ( )
( ) ( )α−α=α
−α=α
α=α
=α
=α
α
=
+
⋅α−
>>
+α−=
−=
πε=ϕ
∑
∑
∞
=
−
cos3cos52
cosP
3cos2
cosP
coscosP
cosP
n stopnia aLegendre'wielomian cosP
cosPR
R
R
R
R
Rcos2
RR
RcosRR2Rr
r
Q
4
33
22
o
n
in0n
n
i22
iii
i
2iii
2i
i i
i
o
1
11
1
1
1
1
1
ii RRr
⇓
( ) ( )
( )
( ) L+−απε
+απε
+πε
=ϕ
απε
=ϕ
α=α
=
+
⋅α−=
∑ ∑∑
∑ ∑
∑∑
∞
=+
∞
=+
∞
=
−
11111
1
111
11
1
1
1
i2
i i
2ii3
o
iii2oi
io
ini 0n
niin
o
0nin
ninin
0n
n
i22
iii
i
3cosRQ2R4
cosRQR4
QR4
cosPRQR4
cosPRR
cosPR
R
RR
R
R
Rcos2
Rr
∑=i
io QK = całkowity ładunek układu
∑ α=i
iii cosRQK1
= rzut wypadkowego momentu dipolowego układu ładunków na kie-
runek promienia wodzącego R
( )11−α= ∑ i
2
i
2ii2 3cosRQ
2K
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
26
Po rozwinięciu 1/ri w szereg Taylora, otrzymujemy
( ) ( ) ( )
i3i
i2i
ii
32
2i
2i
2ii
i
i i
i
o
xz ,xy ,xx
xz ,xy ,xx
zzyyxxr
r
r
Q
4
===
===
−+−+−=
−=
−=
πε=ϕ ∑
1
1
1
i
ii
RR
RRr
( )
( )∑ ∑
∑
−
=λλλ
−
=λλλ
−
πε=ϕ
−=
i
232i
io
232i
i
xxQ4
xxr
1
1
1
1
1
1⇒
( )
L
L
L
+
δ−
πε+α
πε+
πε=ϕ
+
δ−+α+=
α=
α=
⋅==
∂
∂−
α=⋅=
ν≠µ⇔
ν=µ⇔=δ
δ−=δ−=
=∂
∂
−
=
∂
∂
−
∂
∂−=
=
∂
∂−=
∂
∂∂
∂=
∂∂
∂
−=
−=⋅
−=
∂
∂
=
=
=
+
∂∂
∂+
∂
∂−
=
−=
∑∑∑∑∑
∑∑
∑∑∑
∑
∑∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑
=µ =νµν
νµνµ
=µ =νµν
νµνµ
=ν
νν
−
=λλ
ν=νν
=ννν
µν
µννµ
µννµ
µ
ν
−
=λλ
−
=λλνµ
µ
ν
−
=λλ
−
=λλ
µν
ν
−
=λλ
µ
−
=λλ
νµ
−
=λλ
νµ
νν
−
=λλν
−
=λλ
−
=λλ
ν
−
=λλ
−
=λλ
−
=λλ
−
=λλ
νµ=µ =ννµ
−
=λλ
ν=νν
−
=λλ
−
=λλλ
3 3
2
ii
ii3
o
iii
i2oi
io
3 3
2
i
3ii2i
2ii
3ii
3
3
3
i232
3i
ii
3i
2335
2
33
22
53
22
33
22
33
2
2
33
223
223
22
3
2
33
22
33
223
2
5
2
53
2
3
2
33
223
2
232
23 3ii
232
3i
232
232i
i
R
xx3xxQ
2R4cosRQ
R4Q
R4
R
xx3xx
2RcosR
RRr
R
cosR
R
cosRR
RR
xxx
xx
cosRRxx
0
R
xx3
RRR
xx3
x
xxxxx3
x
xxx
xx
xxx
xxx
xxx
R
xxxx2x
2x
x
Rx ,
Rx ,
Rx
xxx
xx2
xx
xxxxr
1 1
1 1
1
1
11
1
1111
1
1
1
1
1
11
1
1
11
1
1
1
11 1
1
11
1
1
1
1
1111
11111
1
11
1
111
11
RR
RR
i
i
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
27
Wykażemy jeszcze, że trzecie człony w obu rozwinięciach są identyczne.
14 MULTIPOLE LIIOWE
• Multipol liniowy jest multipolem, którego ładunki położone są na jednej prostej zwanejjego osią. Środkiem multipola liniowego będziemy nazywali punkt położony na jego osiw równej odległości od obu końców multipola.
( )
( )1
1
11111
1 1
1 11 11 1
1 11 11 1
1 1
−α==α
=
−=−=δ=
=δ−=
δ−
−απε
=
δ−
πε
∑∑
∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
=µ =νννµµ
=µ =ν
ννµµ
=µ =ν
ννµµµν
=µ =ννµ
µν=µ =ν
νµ=µ =ν
ννµµ
=µ =νµν
νµνµ
=µ =νµν
νµνµ
i22
i22i
3 3ii
i2
3 3
22i
ii
2i
2i
3 3
2
ii3 3ii2
i
3 3ii
3 3
2
ii3 3
2
ii
i2
i
2ii3
o
3 3
2
ii
ii3
o
3cosR RR
xxxx
cos
RR
xxxx3RR
R
xxxx3 xxR
xxR
xxxx3
R
xx3xx
3cosRQ2R4
?
R
xx3xxQ
2R4
−+
+−
q q,
q ,qdipole
−+−+−+−
+−+−+−+
−+−+−
+−+−+
q 3q, 3q, 2q, 3q, 3q, q,
q ,q3 ,q3 ,q2 ,q3 ,q3 q,
q 4q, 6q, 4q, q,
q ,q4 ,q6 ,q4 ,q
oleheksadekap
−
+
q
qmonopole
−+−
+−+
q ,q2 ,q
q ,q2 ,qkwadrupole
−+−+
+−+−
q ,q3 ,q3 ,q
q ,q3 ,q3 ,qoktupole
−+
+−
q q,
q ,qdipole
−+−+−+−
+−+−+−+
−+−+−
+−+−+
q 3q, 3q, 2q, 3q, 3q, q,
q ,q3 ,q3 ,q2 ,q3 ,q3 q,
q 4q, 6q, 4q, q,
q ,q4 ,q6 ,q4 ,q
oleheksadekap
−
+
q
qmonopole
−+−
+−+
q ,q2 ,q
q ,q2 ,qkwadrupole
−+−+
+−+−
q ,q3 ,q3 ,q
q ,q3 ,q3 ,qoktupole
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
28
PRZYKŁADPotencjał i natężenie pola kwadrupola liniowego w punktach leżących na jego osi.
PRZYKŁADPotencjał i natężenie pola oktupola liniowego w punktach leżących na jego osi.
( )
( ) ( )( ) [ ]( )
RR
3
Rgrad
grad
0RR ,lRR
qQQ ,0qQQ
P , lub 0
P ,0 lub
cosPcosP
cos32
cosP
cosPRQR4
43
324
324
243
22
22
i2
i2
i2
4
i
2ii3
o2
R
E
−=
ϕ−=
====
−==>==
=π=α=α
=π=α=α
α−π=α
−α=α
απε
=ϕ ∑=
1
1
1
11
1
1
1
1
1
0q ,R4
ql23
o
2
2 >πε
=ϕ
0q ,RR4
ql64
o
2
2 >πε
=R
E⇒
⇒
⇓
( )
( ) ( )( ) [ ]( )( ) ( )
RR
4
Rgrad
grad
l2
RRRRRR ,l2
3RR
0qQQQQ ,qQQQQ
lub P , lub 0
lub P ,0 lub
cosP ,0cosP
cosPcosP
cos3cos52
cosP
cosPRQR4
54
7654328
8432765
38765
3432
33
33
ii3
i3
8
ii3
3ii4
o
3
R
E
−=
ϕ−=
========
>====−====
−+=π=α=α=α=α
+−=π=α=α=α=α
−=π=
α−π−=α
α−α=α
απε
=ϕ ∑=
1
1
11
11
11
1
1
1
1
1
1
( )0q ,
RR4
cosPql245
o
33
3 >πε
α=
RE
⇒( )
0q , R4
cosPql64
o
33
3 >πε
α=ϕ
α = kąt zawarty między pro-mieniem wodzącym, poprowa-dzonym z ujemnego do dodat-niego końca oktupola, a pro-mieniem wodzącym, poprowa-dzonym ze środka oktupola dopunktu obserwacji
l2
1l2
1
l2
3l2
3
1 2
3
4l
l l5
6
7 8l
2
1l2
1
l2
3l2
3
Punkt obserwacji
1 2 3 4
llR
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
29
Z przytoczonych przykładów wynika, że potencjał multipola liniowego n-tego rzędu spełnianastępujące zależności:
UWAGAŚrodek układu współrzędnych umieściliśmy w środku multipola (co nie było konieczne). Pro-mienie wodzące ładunków różne od zera tworzą z promieniem wodzącym punktu obserwacjikąty α lub π − α. Dla wielomianów (współczynników) Legendre’a stopnia parzystego P2,P4, P6, ...
( ) [ ]( ) cosPcosP nn α−π=α .Dla wielomianów (współczynników) Legendre’a stopnia nieparzystego P1, P3, P5, ...
( ) [ ]( ) cosPcosP nn α−π−=α .Innymi słowy, dla multipoli parzystego rzędu z kątami nie ma problemu. Obliczając współ-czynnik Legendre’a odpowiedniego parzystego stopnia, podstawiamy jeden z dwóch kątów αlub π − α, wedle uznania. Dla multipoli nieparzystego rzędu, obliczając współczynnik Le-gendre’a odpowiedniego nieparzystego stopnia, podstawiamy kąt α zawarty między promie-niem wodzącym ℜℜℜℜ, poprowadzonym z ujemnego do dodatniego końca multipola, a promie-niem wodzącym, poprowadzonym ze środku układu współrzędnych (środka multipola) dopunktu obserwacji.
• atężenie pola multipola liniowego na jego osi
( ) ( )α⋅πε
⋅±=ϕ+
cosP !nR4
qlnn
o
n
n 1 .
q>0
n! = silnia liczby naturalnej n 632 3! ,22 ! 2 , ! , ! 0 =⋅⋅==⋅=== 11111
R = promień wodzący poprowadzony ze środka multipola do punktu, w którym wyznaczamy potencjał
l = odległość między sąsiednimi grupami ładunków
( )
=±
( ) ( ) [ ]( ) cosPcosP nn
n α−π⋅−=α 1
⇔+1 oba końce multipola są ładunkami dodatnimi lub różnoimiennymi⇔−1 oba końce multipola są ładunkami ujemnymi
( ) ( )
( )
( ) ( )! nn!nRR
nR
grad
grad
lub 0
cosP!nR4
ql
2nn
nn
nno
n
n
11
11
1
1
1
+=+
+−=
ϕ−=
π=α=α
α⋅πε
⋅±=ϕ
++
+
R
E ⇒ ( ) ( ) ( )R
cosP! nR4
qln2n
o
n
n
RE ⋅α+⋅
πε⋅±=
+1
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
30
• Potencjał multipola liniowego w płaszczyźnie prostopadłej do osi multipola przecho-dzacej przez jego środek
15 SIŁY WZAJEMEGO ODDZIAŁYWAIA MIĘDZY MULTIPOLAMI LIIO-WYMI LEŻĄCYMI A WSPÓLEJ OSI
• Dipol w polu ładunku punktowego
• Ładunek punktowy w polu dipola
( ) ( )2nno
n
n cosP!nR4
ql π+
⋅πε
⋅±=ϕ1
( ) ( )5
o
4
433o
2
2o
oR4
ql9 ,0 ,
R4
ql ,0 ,
R4
q
πε±=ϕ=ϕ
πε
−±=ϕ=ϕ
πε=ϕ
1
( )
EF
R
R
RE
QR
cos
lub 0 . ,
RRR
cos3
4 33o
=
⋅αµ=
π=α=α∠=α
−
αµ⋅
πε=
µµµµ
µµµµ
µµµµ1
⇒
( ) ( )
lq
lR
2/lR2/lR4
QqF
22o
=
>>
−−
+πε=
µµµµ
11
+
−
⋅πε
−=42
3o
R
l
6R
l
2R
Qql2
4F
1
111
1
µµµµ⋅⋅πε
−=3
o R
Q2
4
1F
⇒
RR
2
Rgrad
lub 0
cosEgrad
R
Q
4E
32
2o
R
F
⋅−
=
π=α=α
αµ=
⋅πε
=
1
1
⇒RR
cosQ2
4 3o
RF ⋅
αµ⋅
πε−=
1
µµµµ⋅⋅πε
=3
o R
Q2
4
1F
l2
1
Q
l2
1
-q q>0l
-q q>0µ
Q
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
31
• Dipol w polu dipola
R = promień wodzący poprowadzony ze środka pierwszego dipola do środka drugiego dipola F12 = siła, z jaką pierwszy dipol działa na drugi dipol E1 = natężenie pola, którego źródłem jest pierwszy dipol w środku drugiego dipola
• Monopol w polu multipola n-tego rzędu
• Dipol w polu multipola
• Siły wzajemnego oddziaływania multipoli liniowych leżących na wspólnej osi
( ) ( ) ( )
n
n2no
n
n
Q
RcosP
R4
ql! n
EF
RE
=
⋅απε
+±=
+
1 ⇒
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )! 2n 2n! nRR
2n
Rgrad
ql
lub 0
cosEgrad
R4
cosPql! nE
3n2n
n
2no
nn
n
+=++
+−=
=µ
π=β=β
βµ=
πε
α+±=
++
+
1
1
1
R
F
Siła wzajemnego oddziaływania dwóch multipoli liniowycho rzędach n i m, leżących na wspólnej osi, zachowuje się jak
2nmR
~F++
1 .
⇒
( ) ( ) ( )RR4
cosPQql! n2n
o
nn R
F ⋅πε
α+±=
+
1
β = kąt zawarty między promieniem wodzącym R,poprowadzonym ze środka multipola do środka dipola,a momentem dipola µµµµ
( )
( )
( )( ) ( )
RR
3
Rgrad
, ,
grad
0 R
cos
,
RRR
cos3
43
33
R
E
EF
R
R
RE
⋅−
=
∠=∠=α
⋅=
π=α∨=α⇔⋅αµ=
∠=α
−⋅αµ
⋅πε
=
1
1
212112
2112
11111
11
111
0
14
µµµµµµµµµµµµ
µµµµ
µµµµ
µµµµ
µµµµ⇒
⇒
3oR4
2
πε= 1
1
µµµµE
RR4
cos64
o
RF ⋅
πε
αµµ−= 1221
12
3Rgrad
cos2 1
o
1221
124
⋅πε
αµµ=F⇒
-q1
q >01 -q2 q >02
( ) ( ) ( )RR4
cosPcosql! 2n3
o
nn R
F ⋅πε
αβµ+−±=
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
32
16 CZŁO DIPOLOWY W ROZWIIĘCIU POTECJAŁU
• Moment dipolowy µµµµ układu ładunków
zapiszemy, rozdzielając człony związane z dodatnimi i ujemnymi ładunkami.
• Człon dipolowy Jeżeli sumaryczny ładunek układu jest równy zeru 0Q
ii =∑ , to rozwinięcie potencjału
układu ładunków
L+πε
α+
πε=ϕ
∑∑
R4
cosRQ
R4
Q
2o
iiii
o
ii
zaczyna się od drugiego wyrazu, zwanego członem dipolowym. W członie tym rozdzielimywspółrzędne określające położenie ładunków od współrzędnych położenia punktu obserwacji.
ii
i
iiii
i
ii
2o
iiii
Q
zzyyxx
RRcos
R4
cosRQ
R
RR
RR
∑
∑
=
++=⋅
⋅=α
πε
α=ϕ
µµµµ
⇒
⇒
⇒ ∑ ⋅⋅πε
=ϕi
ii3o
QR4
RR1
( )∑ ++⋅πε
=ϕi
iiii3o
zzyyxxQR4
1
3oR4πε
⋅=ϕ
Rµµµµ
ii
iQ R∑=µµµµ
∑
∑
∑
∑
∑∑
−
−−
−
+
++
+
−−++
=
=
+=
ii
iii
ii
ii
i
iiii
ii
Q
Q
Q
Q
RR
RR
RRµµµµ
=++ii ,Q R ładunki dodatnie i ich promienie wodzące
=−−ii ,Q R ładunki ujemne i ich promienie wodzące
=−+ RR , promienie wodzące poprowadzone ze środka układu współrzędnych do środka ładunków odpowiednio dodatnich i ujemnych
∑∑ ++++ =i
iii
i QQ RR
∑∑ −−−− =i
iii
i QQ RR
⇒
⇒
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
33
• Moment dipolowy jako niezmiennik
DOWÓD
17 CZŁO KWADRUPOLOWY W ROZWIIĘCIU POTECJAŁU
• Człon kwadrupolowy Jeżeli sumaryczny ładunek i moment dipolowy układu są równe zeru, to rozwinięcie po-tencjału
zaczyna się od trzeciego wyrazu, zwanego członem kwadrupolowym. W członie tym rozdzie-limy współrzędne określające położenie ładunków od współrzędnych określających położeniepunktu, w którym wyznaczamy potencjał.
∑∑ −−++ +=i
ii
i QQ RRµµµµ
Jeżeli sumaryczny ładunek układu jest równy zeru
=∑ 0Q
ii , to moment dipolowy µµµµ
tego układu ładunków nie zależy od wyboru układu współrzędnych.
Niech IIi
Ii i RR będą promieniami wodzącymi tego samego ładunku iQ w dwóch różnych
układach współrzędnych, a c danym stałym wektorem i niech cRR += Ii
IIi , wtedy
( ) ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ µµµµµµµµ ==+=+=+== ∑∑∑∑∑∑∑i
Iii
ii
Ii
ii
ii
Ii
ii
Ii
ii
i
IIii QQQQQQQ RcRcRcRR .
( )L+
πε
−α+
πε
⋅+
πε=ϕ
∑∑
R4
cos3RQ2
R4
R4
Q
3o
i22
ii
i
3oo
ii 1
1
Rµµµµ
Jeżeli sumaryczny ładunek układu jest równy zeru
−=∑ ∑ −+
i iii QQ , a środki dodatnich
i ujemnych ładunków nie pokrywają się ( )0≠− −+ RR , to moment dipolowy µµµµ układu
ładunków jest równy iloczynowi sumarycznego ładunku dodatniego
∑ +
iiQ i promienia
wodzącego ( )−+ − RR poprowadzonego ze środka ładunków ujemnych do środka ładun-ków dodatnich.
0
i iii
ii
ii
≠−
−=
+=
−+
−+
−−++
∑ ∑
∑∑
RR
RRµµµµ
⇒ ( )−++ −= ∑ RRi
iQµµµµ
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
34
• Tensor momentu kwadrupolowego układu ładunków Człon kwadrupolowy w rozwinięciu potencjału układu ładunków punktowych możnaprzedstawić w postaci
, 0R
3zyd0
R
3yzd0
R
3xzd
0R
3xzd0
R
3xyd0
R
3xyd
R
3zd
R
3yd
R
3xd
2R4
2zy2yz2zx
2xz2yx2xy
2
2
zz2
2
yy2
2
xx3o
11111
−+
−+
−+
+
−+
−+
−+
+
−+
−+
−⋅⋅
πε=ϕ
( )
( )22
i
2iii
i2
2i
2i
2i
2i
i22
ii
i3o
RR
zzyyxxcos
zyxR
cos3RQ2R4
++=α
++=
−α⋅⋅πε
=ϕ ∑ 111
∑∑∑µ ν
µννµ
νµ
δ−⋅⋅
πε=ϕ
2
ii
ii3
o R
xx3xxQ
2R4
11
−+
−+
−+
+
−+
−+
−+
+
−+
−+
−⋅⋅
πε=ϕ
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
i2iii
i2iii2ii
ii
i2iii
i2iii2ii
ii
2
2
i
2ii2
22i
ii2
22i
ii3
o
0R
zy3yzQ0
R
zx3xzQ0
R
yx3xyQ
0R
yz3zyQ0
R
xz3zxQ0
R
xy3yxQ
R
z3zQ
R
y3yQ
R
x3xQ
2R4111
11
gdzie dziewięć wielkości, określonych poniżej
∑∑∑
∑∑∑======
===
iiiizy
iyziiizxxzii
iiyxxy
i
2iizz
2i
iiyy
2i
iixx
zyQdd ,zxQdd ,yxQdd
;zQd ,yQd ,xQd
,
tworzy tensor momentu kwadrupolowego układu ładunków punktowych, zapisywany teżw następujący sposób
[ ] ∑ βααβαβ =
=i
iii
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
xxQd ,
ddd
ddd
ddd
d .
ii3i
i2i
i z x,y x,xx ===1
Symetryczny tensor αβd kwadrupolowego momentu układu ładunków punktowych tworzy
dziewięć składowych, w tym sześć niezależnych, ponieważ
zyyzzxxzyxxy dd ,dd ,dd === .
Tensor αβd jest tensorem drugiego rzędu.
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
35
Przeprowadzimy jeszcze raz ostatnie rachunki, korzystając ze skróconej notacji.
Spróbujemy inaczej określić tensor momentu kwadrupolowego tak, aby zmniejszyć liczbę
jego niezależnych składowych. W tym celu zrobimy pewną sztuczkę z zerem.
Dlaczego właśnie takie zero?
( )
ν≠µ⇔
ν=µ⇔=δ
===
===
=
=α
δ=
−α⋅⋅πε
=ϕ
µν
νµµν
νµνµ
µννµ
∑
∑
0
zx ,yx ,xx
zx ,yx ,x x
xxQd
RR
xxxxcos
xxR
cos3RQ2R4
i
i
3i
i
2i
i
32
i
ii
i
22
i
ii
i
2
ii2
i
i
22
i
i
i3
o
1
111
1
1
( )
δ−=−α µν
νµνµ 2
ii
i
22
iR
xx3xxcos3R 1⇒
⇓
δ−⋅⋅
πε=ϕ µν
νµµν 23
o R
xx3d
2R4
11⇒
⇓
∑∑=µ =ν
µννµ
µν
δ−⋅⋅
πε=ϕ
3 3
23
o R
xx3d
2R4 1 1
11
( )
0.δR
x3xδδR
3
inaczej samo, tolub
03R
3R
3
R3
R
zyx3
3
R
R
3z
3
R
R
3y
3
R
R
3x
3
R
µν2
νµ
µνµν
2
i
2
22
i
2
2222
i
2
22
i
2
22
i
2
22
i
1
111
=
−
=
−=
−
++=
−+
−+
−
⇒
2222
35
2
2
zyxR
RR
xx3
Rxx
xx
0R
aLaplace' Równanie
++=
δ−δ=∂∂
∂δ
∂∂∂
δ=∆
=∆
µννµ
µννµ
µν
νµµν
11
1
0R
xx3R
3
0R
xx3
0R
xx3
R
RR
xx3
RxxR
2
2
i
2
23
35
2
=
δ−δδ
⇓
=δ−δ
⇓
=
δ−δ⋅=
=δ−δ=∂∂
∂δ=∆
µννµ
µνµν
µννµ
µν
µννµ
µν
µννµ
µννµ
µν
1
1
111
=
−+
−+
−−
−++
−=
=
δ− µν
νµνµ
R
z3
3
R
R
y3
3
R
R
x3
3
R 0
R
zy3yz
R
x3x
R
xx3xx :zerem z sztuczka azapowiadan oto I
2
22
i
2
22
i
2
22
i
2ii2
22
i
2
ii
1111 L
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
36
Powracamy do członu kwadrupolowego w rozwinięciu potencjału.
Dµν jest tensorem momentu kwadrupolowego układu ładunków punktowych. A oto jego skła-
dowe.
( )
( ) ( )
( )
( )
δ−δ−=
=
δ−δδ−
δ−=
δ−
δ−δ−=
=
δ−δ−++
δ−δ−=
=
−−++
−
−=
=
−+
−+
−−
−++
−=
=
δ−
µννµ
µννµ
µννµ
µνµνµννµ
νµµννµ
νµ
µννµ
µννµ
µννµ
νµ
2
2
i
ii
2
2
i2
ii
2
ii
2
2
i
ii
zy2zyiixx2
2
xx
2
i
2
i
2ii2
22
i
2
i
2
22
i
2
22
i
2
22
i
2ii2
22
i
2
ii
R
xx3Rxx3
3
R
xx3R
3
R
xx3xx
R
xx3xx
rachunki. teraz jeszcze Powtórzmy
R
xx3Rxx3
3
R
zy3yz
R
x3Rx3
3
0R
zy30yz
R
x3R
3x
R
z3
3
R
R
y3
3
R
R
x3
3
R 0
R
zy3yz
R
x3x
R
xx3x x
1
1
1
1
11
1111
L
L
L
( )
( )∑
∑
∑
µννµµν
µννµ
µν
µννµ
µννµ
µννµ
νµ
δ−=
δ−⋅⋅
πε=ϕ
δ−δ−⋅⋅
πε=ϕ
δ−⋅⋅
πε=ϕ
i
2
i
ii
i
23
o
i2
2
i
ii
i3
o
i2
ii
i3
o
Rxx3QD
R
xx3D
6R4
R
xx3Rxx3Q
6R4
R
xx3x xQ
2R4
11
11
11
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
i
2
i
2
i
2
i
ii
i
izyyz
ii
i
izxxz
ii
i
iyxxy
2
i
2
i
2
i
i
i
i
2
i
2
iizz
2
i
2
i
2
i
i
i
i
2
i
2
iiyy
2
i
2
i
2
i
i
i
i
2
i
2
iixx
zyxR
zyQ3DD
zxQ3DD
yxQ3DD
yxz2QRz3QD
zxy2QRy3QD
zyx2QRx3QD
++=
==
==
==
−−=−=
−−=−=
−−=−=
∑
∑
∑
∑∑
∑∑
∑∑ Tensor µνD ma 5 niezależnych składo-
wych, ponieważ jest tensorem symetry-
cznym
νµµν = DD ,
a suma jego składowych diagonalnych
jest równa zeru:
0DDD zzyyxx =++ .
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
37
Na koniec zestawimy różne postacie członu kwadrupolowego w rozwinięciu potencjału ukła-
du ładunków punktowych.
PRZYKŁAD
( )
( )
( )∑
∑∑
∑∑∑
∑
∑∑
∑∑∑
∑
µννµµν
=µ =νµν
νµµν
=µ =νµν
νµµννµ
νµµν
µννµ
=µ =νµν
=µ =νµν
νµνµ
δ−=
δ−⋅⋅
πε=ϕ
δ−δ−⋅⋅
πε=ϕ
=
δ−⋅⋅
πε=ϕ
δ−⋅⋅
πε=ϕ
−α⋅⋅πε
=ϕ
i
2
i
ii
i
3 3
23
o
3 3
i2
2
i
ii
i3
o
ii
i
2
3 3
3
o
3 3
i2
ii
i3
o
i
22
i
i
i3
o
Rxx3QD
R
xx3D
6R4
R
xx3Rxx3Q
6R4
x xQd
R
xx3d
2R4
R
xx3x xQ
2R4
cos3RQ2R4
1 1
1 1
i
1 1
1 1
11
11
11
11
111
Jeżeli sumaryczny ładunek i moment dipolowy układu są równe zeru, to składowe tensora
momentu kwadrupolowego tego układu ładunków nie zależą od wyboru układu współ-
rzędnych ze zbioru układów o analogicznych osiach równoległych.
0z ,0y ,Rx
0zzzz
0yyyy
lx ,0x ,0x ,lx
0qQQ
0qQQ
432
432
432
32
4
===
====
====
+===−=
<−==
>+==
1
1
1
122
i
4
i
ixx ql2xQd == ∑=1
pozostałe składowe tensora dµν są równe zeru
3
o
2
2
2
xx3
o
23
o
R4
ql2
R
x3d
2R4R
xx3d
2R4
πε=ϕ
−⋅⋅
πε=
δ−⋅⋅
πε=ϕ µν
νµµν 1
1111
-qq>0 l-q q>0l
1 2 3 4
-l 0 +l R
x
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
38
PRZYKŁAD
. Rε4
2ql
, R
3zD
R
3yD
R
3xD
6Rε4
, δR
x3xD
6Rε4
3
o
2
2
2
zz2
2
yy2
2
xx3
o
2 3
o
11111
11
π=ϕ
−+
−+
−⋅⋅
π=ϕ
−⋅⋅
π=ϕ µν
νµµν
0.z 0,y R,x
,2
ly ,
2
ly 0,yy
,2
l x0,x x,
2
lx
0,qQ Q 0,qQQ
4231
3421
4231
===
=−===
−====
<−==>==
( ) ( ).0DDDDDD
,0D ,ql3xy2QD ,ql3yx2QD
.0dddddd
,0d ,qlyQd ,qlxQd
zyyzzxxzyxxy
zz
24
i
2
i
2
iiyy
24
i
2
i
2
iixx
zyyzzxxzyxxy
zz
22
i
4
i
iyy
22
i
4
i
ixx
======
=−=−==−=
======
=−====
∑∑
∑∑
==
==
11
11
,
000
03ql0
003ql
D ,
000
0ql0
00ql
d 2
2
2
2
−=
−= µνµν
.ql2
3
Rε4
R
3yD
R
3xD
6Rε4δ
R
x3xD
6Rε4
,ql2
3
Rε4
R
3yd
R
3xd
2Rε4δ
R
x3xd
2Rε4
2
3
o
2
2
yy2
2
xx3
o
2 3
o
2
3
o
2
2
yy2
2
xx3
o
2 3
o
1
111111
1
111111
⋅⋅π
=
=
−+
−⋅⋅
π=
−⋅⋅⋅
π=ϕ
⋅⋅π
=
=
−+
−⋅⋅
π=
−⋅⋅⋅
π=ϕ
µννµ
µν
µννµ
µν
l2
1
l2
1l-
2
1
l-2
1
x
y
R = (x,0)
1
4
2
3
+q +q
-q
-ql2
1
l2
1l-
2
1
l-2
1
q>0
.2qlxQD
,2qlxQD
,4qlx2QD
24
1i
2
iizz
24
1i
2
iiyy
24
1i
2
iixx
−=−=
−=−=
==
∑
∑
∑
=
=
=
Pozostałe składowe tensora
Dµν są równe zeru.
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
39
18 CZŁO OKTUPOLOWY W ROZWIIĘCIU POTECJAŁU
• Człon oktupolowy Jeżeli sumaryczny ładunek, moment dipolowy, oraz wszystkie składowe tensora momentu
kwadrupolowego układu są równe zeru, to rozwinięcie potencjału
zaczyna się od czwartego wyrazu, zwanego członem oktupolowym. W członie tym rozdzieli-
my współrzędne określające położenie ładunków od współrzędnych położenia punktu obser-
wacji.
• Tensor momentu oktupolowego układu ładunków Człon oktupolowy w rozwinięciu potencjału układu ładunków punktowych można przed-
stawić w postaci
∑ ∑∑∑=α =β =γ
αβγαγββγαγβααβγ
δ+δ+δ−⋅⋅
πε=ϕ
i
3 3 3
3i4
o R
xxx
R
xxx5dQ
2R4 1 1 1
11 ,
gdzie dwadzieścia siedem wielkości dαβγ , określonych dalej, tworzy tensor momentu oktupo-
lowego układu ładunków punktowych.
( )L+
πε
α−α⋅+
πε
δ−⋅⋅
+πε
⋅+
πε=ϕ
∑∑ µννµ
µν
R4
cos3cos5RQ2
R4
R
xx3D
6
R4
R4
Q
4
o
ii
33
i
i
i
3
o
2
3
oo
i
i
11
Rµµµµ
( )
( )33
i
3
iiii
3
i
iiii
2
i
2
i
2
i
2
i
i
ii
33
ii4
o
RR
zzyyxxcos
RR
zzyyxxcos
zyxR
cos3cos5RQ2R4
++=α
++=α
++=
α−α⋅⋅πε
=ϕ ∑11
−+
−+
−+
+
−+
−+
−+
−+
+
−+
−+
−⋅⋅
πε=ϕ
δ+δ+δ−⋅⋅
πε=ϕ
∑
∑ ∑∑∑=α =β =γ
αβγαγββγαγβαγβα
0R
xyz5zyx6
R
z
R
zy5zy3
R
y
R
yz5zy3
R
x
R
xz5zx3
R
x
R
xy5yx3
R
z
R
zx5zx3
R
y
R
yx5yx3
R
z3
R
z5z
R
y3
R
y5y
R
x3
R
x5xQ
2R4
R
xxx
R
xxx5xxxQ
2R4
3iii3
2
i
2
i3
22
ii
3
22
ii3
22
ii3
2
i
2
i3
2
i
2
i
i3
33
i3
33
i3
33
ii4
o
i
3 3 3
3
iii
i4
o
11
11
1 1 1
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
40
Dwadzieścia siedem powyższych wielkości tworzy tensor momentu oktupolowego układu ła-
dunków punktowych, zapisywany też jako
∑ γβααβγ =i
iii
i xxxQd .
Tensor dαβγ jest tensorem trzeciego rzędu, stanowi go 33 = 27 składowych, w tym dziesięć
niezależnych.
Przeprowadźmy jeszcze raz ostatnie rachunki, korzystając ze skróconej notacji.
.zyxQdddddd
,zyQd d d
,zyQddd
,zxQddd
,yxQddd
,zxQddd
,yxQddd
,zQd ,yQd ,xQd
iii
i
izyxzxyyzxyxzxzyxyz
i
2
i
i
izyyyzyyyz
2
ii
i
izzyzyzyzz
2
ii
i
izzxzxzxzz
2
ii
i
iyyxyxyxyy
i
2
i
i
izxxxzxxxz
i
2
i
i
iyxxxyxxxy
i
3
iizzz
i
3
iiyyy
i
3
iixxx
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑∑∑
======
===
===
===
===
===
===
===
( )
33
i
iii
i
3
iiii2
i
i
i
i
i
ii
33
ii4
o
RR
xxxxxxcos
xxxxR
RR
xxcos
cos3cos5RQ2R4
γγββαα
βγγβαα
αα
=α
δ==
=α
α−α⋅⋅πε
=ϕ ∑11 ( )
δ+δ+δ−=
=
δ−=
=δ
−=
=α−α
αβγαγββγαγβαγβα
βγαγβαγβα
βγγβααγγββαα
R
xxx
R
xxx5xxx
R
x3
R
xxx5xxx
R
xxxx3
R
xxxxxx5
cos3cos5R
3
iii
3
iii
iii
3
iii
ii
33
i
∑ ∑∑∑=α =β =γ
αβγαγββγαγβαγβα
δ+δ+δ−⋅⋅
πε=ϕ
i
3 3 3
3
iii
i4
o R
xxx
R
xxx5xxxQ
2R4 1 1 1
11
Aby zmniejszyć liczbę składowych niezależnych tensora momentu oktupolowego, wykonamy
znowu sztuczkę z zerem
( ) 0R
xxx
R
xxx5xxxR
5 3
iii2
i
3 3 3
=
δ+δ+δ−δ+δ+δ⋅ αβγαγββγαγβα
αβγαγββγα=α =β =γ
∑∑∑1 1 1
1.
Dla uproszczenia rachunków, opuścimy operatory sumowania ∑∑∑=α =β =γ
3 3 3
1 1 1
i przyjmiemy, że
δ+δ+δ−= αβγαγββγαγβα
R
xxx
R
xxx5A
3.
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
41
Powracamy do członu oktupolowego w rozwinięciu potencjału.
Wypiszemy teraz w jawnej postaci składowe tensora Dαβγ momentu oktupolowego.
Tensor Dαβγ momentu oktupolowego układu ładunków punktowych jest tensorem trzeciego
rzędu, tworzy go 33 = 27 składowych, w tym siedem niezależnych.
( )[ ]2
i
2
i
2
i
2
i
iii2
i
iii
i
i
i
3 3 3
3i4
o
zyxR
xxxRxxx5QD
R
xxx
R
xxx5DQ
0R4
++=
δ+δ+δ−=
δ+δ+δ−⋅⋅
πε=ϕ
αβγαγββγαγβααβγ
=α =β =γ
αβγαγββγαγβααβγ
∑
∑ ∑∑∑1 1 11
11
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
0DDD
0DDD
0DDD
zyx5Q0zyx5QDDDDDD
zxzzy4QRzzy5QDDD
yxyzy4QRyzy5QDDD
yxxzx4QRxzx5QDDD
zxxyx4QRxyx5QDDD
zyzzx4QRzzx5QDDD
zyyyx4QRyyx5QDDD
zy3zx3z2QRz3z5QD
zy3yx3y2QRy3y5QD
zx3yx3x2QRx3x5QD
zzzzyyzxx
yzzyyyyxx
xzzxyyxxx
iii
i
iiii
i
izyxzxyyzxyxzxzyxyz
i
i
2
i
3
ii
2
ii
2
iii
2
i
i
izyyyzyyyz
i
i
2
i
3
i
2
iii
2
ii
2
ii
i
izzyzyzyzz
i
2
ii
3
i
2
iii
2
ii
2
ii
i
izzxzxzxzz
i
2
ii
3
i
2
iii
2
ii
2
ii
i
iyyxyxyxyy
i
i
2
i
3
ii
2
ii
2
iii
2
i
i
izxxxzxxxz
i
2
ii
3
ii
2
ii
2
iii
2
i
i
iyxxxyxxxy
i
i
2
ii
2
i
3
ii
i
2
ii
3
iizzz
i
2
iii
2
i
3
ii
i
2
ii
3
iiyyy
i
2
ii
2
ii
3
ii
i
2
ii
3
iixxx
=++
=++
=++
=−======
−−=−===
−−=−===
−−=−===
−−=−===
−−=−===
−−=−===
−−=−=
−−=−=
−−=−=
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
( )
( )
( )[ ]
δ+δ+δ−δ+δ+δ−⋅=
=
δ+δ+δ⋅−=
=δ+δ+δ⋅−=
δ+δ+δ−
αβγαγββγαγβααβγαγββγαγβα
αβγαγββγαγβα
αβγαγββγαγβααβγαγββγαγβα
γβα
R
xxx
R
xxx5 xxxRxxx5
5
xxxR5
xxxA
AxxxR5
AxxxR
xxx
R
xxx5xxx
3
iii2
i
iii
iii2
i
iii
iii2
i
iii
3
iii
1
1
1
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
42
Napiszmy jeszcze raz wszystkie trzy postacie członu oktupolowego.
Na koniec powróćmy do sztuczki z zerem.
( )
( )[ ]
2
i
2
i
2
i
2
i
iii2
i
iii
i
i
i
3 3 3
3i4
o
i
iii
i
i
3 3 3
3i4
o
i
ii
33
ii4
o
zyxR
xxxRxxx5QD
R
xxx
R
xxx5DQ
0R4
xxxQd
R
xxx
R
xxx5dQ
2R4
cos3cos5RQ2R4
++=
δ+δ+δ−=
δ+δ+δ−⋅⋅
πε=ϕ
=
δ+δ+δ−⋅⋅
πε=ϕ
α−α⋅⋅πε
=ϕ
αβγαγββγαγβααβγ
=α =β =γ
αβγαγββγαγβααβγ
γβααβγ
=α =β =γ
αβγαγββγαγβααβγ
∑
∑ ∑∑∑
∑
∑ ∑∑∑
∑
1 1 1
1 1 1
1
11
11
11
Jeżeli sumaryczny ładunek, moment dipolowy, oraz wszystkie składowe tensora momentu
kwadrupolowego układu ładunków punktowych są równe zeru, to składowe tensora mo-
mentu oktupolowego nie zależą od wyboru układu współrzędnych w zbiorze układów
o analogicznych osiach równoległych.
( )
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] 0RRzzRRyyRRxxR5
R
RzyxzzRzyxyyRzyxxxR5
R
zRzy5zRzx5zR3z5z3R5
R
yRyz5yRyx5yR3y5y3R5
R
xRxz5xRxy5xR3x5x3R5
R
xxxRxxx5xxxR
R5
R
xxx
R
xxx5xxxR
5
22
i
22
i
22
i3
2
i
2222
i
2222
i
2222
i3
2
i
222223
i3
2
i
222223
i3
2
i
222223
i3
2
i
2iii
3
2
i
3 3 3
3
iii2
i
3 3 3
5
5
=−+−+−⋅=
=−+++−+++−++⋅=
=−+−+−⋅+
+−+−+−⋅+
+−+−+−⋅=
=δ+δ+δ−δ+δ+δ⋅⋅=
=
δ+δ+δ−δ+δ+δ⋅
αβγαγββγαγβααβγαγββγα=α =β =γ
αβγαγββγαγβααβγαγββγα
=α =β =γ
∑∑∑
∑∑∑
1
1
11
1
1 1 1
1 1 1
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
43
PRZYKŁAD
19 KIERUKI WŁASE (OSIE GŁÓWE) I WARTOŚCI WŁASE ORAZ IEZ-MIEIKI TESORA MOMETU KWADRUPOLOWEGO
• Osie główne lub kierunki własne symetrycznego tensora drugiego rzędu, to kierunki osi
układu współrzędnych prostokątnych, w którym wszystkie składowe niediagonalne tensora są
równe zeru. Składowe diagonalne takiego tensora nazywane są jego wartościami własnymi.
Kierunek własny tensora ma tę własność, że każdy wektor x o tym kierunku, przemnożony
przez macierz utworzoną ze składowych tensora, staje się wektorem λx. Współczynnik λjest wartością własną tensora dla danego kierunku.
Układ ten (przedstawiony w trzech różnych równoważnych postaciach) posiada niezerowe
rozwiązanie x1, x2, x3 wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyznacznik jest równy zeru.
Współczynniki I1, I2, I3 określone są następująco:
lzzzz
0zzzz
lyyyy
0yyyy
lxxxx
0xxxx
0qQQQQ
0qQQQQ
7632
854
6543
872
8765
432
8642
753
====
====
====
====
====
====
>+====
<−====
1
1
1
1
l = odległość między
dwoma sąsiednimi ładunkami
∑=
=======8
i
3
iiiizyxzxyyzxyxzxzyxyz qlzyxQdddddd1
Pozostałe składowe tensora dαβγ są równe zeru.
∑=
=======8
i
3
iiiizyxzxyyzxyxzxzyxyz ql5zyxQ5DDDDDD1
Pozostałe składowe tensora Dαβγ są równe zeru.
λ=
3
2
3
2
33323
23222
32
x
x
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa 11
1
1
1111
lub
,2,3p
xxa pq
3
q
pq
1
1
=
λ=∑= lub
( )( )
( )
=λ−++
=+λ−+
=++λ−
0xaxaxa
0xaxaxa
0xaxaxa
3332323
3232222
3322
11
11
11111
( ) 0III
aaa
aaa
aaa
adet 32
23
33323
23222
32
pqpq =+λ−λ+λ−=
λ−
λ−
λ−
=λδ− 1
1
1
1111
+q
+q
-q
y
z
l
l
l 32
41
6
5
7
8
-q
-q+q
+q-q
x
q>0
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
44
Równanie 0III 32
23 =+λ−λ+λ− 1 nazywamy równaniem charakterystycznym (wiekowym
lub sekularnym).
Dla każdej wartości własnej tworzymy odpowiedni układ równań.
Rozwiązania tych równań wyznaczają kierunki własne tensora, odpowiadające wartościom
własnym , , 32 λλλ1 .
Ze składowych tensora momentu kwadrupolowego tworzymy macierz
Tensor momentu kwadrupolowego, jak każdy symetryczny tensor drugiego rzędu, można
sprowadzić do postaci diagonalnej o składowych rzeczywistych. W nowym układzie współ-
rzędnych składowe tensora dµν mają postać
Znajdujemy je jako rozwiązania , , 32 λλλ1 równania charakterystycznego, zwane wartoś-
ciami własnymi tensora dµν . Odpowiadające tym wartościom własnym kierunki własne sta-
nowią osie nowego układu współrzędnych.
( ) ( ) ( )332232233223322332323322pq3
3223332233332222
3332
2322
333
3
222
2
2
3
3322
aaaaaaaaaaaaaaaaaaadetI
aaaaaaaaaaaa
aa
aa
aa
aa
aa
aaI
aaaaI
111111111111
11111111
1
111
1
111
1
111
−−−++==
−+−+−=
=++=
=++= ∑=µ
µµ
. dd ,
ddd
ddd
ddd
d
333231
232221
131211
νµµνµν =
=
.
λ00
0λ0
00λ
ddd
ddd
ddd
d
3
2
1
'
33
'
32
'
31
'
23
'
22
'
21
'
13
'
12
'
11
'
=
=µν
3. 2, ,p ,xxa
3. 2, ,p ,xxa
3. 2, ,p ,xxa
p3q
3
q
pq
p2q
3
q
pq
pq
3
q
pq
1
1
1
1
1
1
1
=λ=
=λ=
=λ=
∑
∑
∑
=
=
=
( )
3. 2, ,p ,xλxd ,xλxd ,xλxd
0,IλIλIλλδddet
1p3q
3
1q
pqp2q
3
1q
pqp1q
3
1q
pq
32
2
1
3
pqpq
====
=+−+−=−
∑∑∑===
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
45
PRZYKŁAD
Równanie charakterystyczne
W układzie osi głównych tensor momentu kwadrupolowego przyjmuje postać diagonalną.
Aby znaleźć osie główne (kierunki własne) tensora, należy dla każdej wartości własnej
, , 32 λλλ1 rozwiązać odpowiedni układ równań.
Niezmiennikami ortogonalnych przekształceń układu współrzędnych są:
1. ślad macierzy utworzonej ze składowych tensora
''
33
'
22
''
3322 Idddd TrddddTr I 111111 =++==++== µνµν ,
2. wyznacznik macierzy utworzonej ze składowych tensora
'
2
'
2 IddetddetI === µνµν ,
3. wartości własne , , 32 λλλ1 macierzy utworzonej ze składowych tensora,
4. współczynnik I3 w równaniu charakterystycznym macierzy utworzonej ze
składowych tensora
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) . Idddddddddddd
ddddddddddddI
'
3
'
32
'
23
'
33
'
22
'
3
'
3
'
33
''
2
'
2
'
22
'
32233322333322223
=−+−+−=
=−+−+−=
11111111
11111111
Tensor momentu kwadrupolowego
w układzie współrzędnych x1, x2
=µν
000
00ql
0ql0
d 2
2
0I
lqI
0I
0III
3
42
2
32
23
=
−=
=
=+λ−λ+λ−
1
10lq 423 =λ+λ−
Wartości własne:
0
ql
ql
3
2
2
2
=λ
−=λ
=λ1
⇒
−=
λ
λ
λ
=µν
000
0ql0
00ql
00
00
00
d 2
2
3
2
1
'
3. 2, ,p
,xxd ,xxd ,xxd p3q
3
q
pqp2q
3
q
pqpq
3
q
pq
1
11
1
1
=
λ=λ=λ= ∑∑∑===
( )( )
( )
0x
xx
0xql000
00xql0xql
00xqlxql0
ql
3
2
3
2
2
22
2
22
2
=
=
=−++
=+−+
=++−
=λ
1
1
1
1
( )( )
( )
0x
xx
0xql000
00xql0xql
00xqlxql0
ql
3
2
3
2
2
22
2
22
2
2
=
−=
=+++
=+++
=+++
−=λ
1
1
1
0x
0x
0x
0x0x0x0
0x0x0xql
0x0xqlx0
0
3
2
32
32
2
32
2
3
=
=
=
=⋅+⋅+⋅
=⋅+⋅+
=⋅++⋅
=λ
1
1
1
1
l21
l21
l-21
l-21
l21
l21
l-21
l-21
4
3
1
2
x = x1
q>0
q>0-q
-q
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
46
x2
x1
( )0 x,xx 32 ==1
Kierunek własny
odpowiadający
wartości własnej2ql=λ1 .
( )0 x,xx 32 =−=1
Kierunek własny
odpowiadający
wartości własnej2
2 ql−=λ .
α tgα = 1
o45 ,tg
cosxsinxx
sinxcosxx
2
'
2
2
'
=α=α
α+α−=
α+α=
1
1
11
=µν
000
00ql
0ql0
d 2
2
−=µν
000
0ql0
00ql
d 2
2
'
2
'
2
2
'
xxx
xx x
⋅+⋅−=
⋅+⋅+=
2
212
2
2
212
21
Kierunki własne stanowią osie nowego układu współrzędnych '
2
'
1 x ,x . Nowe współrzędne pun-
któw, w których znajdują się ładunki kwadrupola, znajdujemy ze wzorów transformacyjnych.
'
2x'
1x4
3
1
2
'
2x'
1x
l21
l21
l-21
l-21
l21
l21
l-21
l-21
4
3
1
2
x = x1
A x1 x2
Q1 l⋅21 l⋅
21
Q2 l⋅21 l⋅−
21
Q3 l⋅−21 l⋅−
21
Q4 l⋅−21 l⋅
21
A '
1x '
2x
Q1 l⋅2
1 0
Q2 0 l⋅−2
1
Q3 l⋅−2
1 0
Q4 0 l⋅2
1
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
47
20 MULTIPOLOWE ROZWIIĘCIE POTECJAŁU POLA CIĄGŁEGO ROZ-KŁADU ŁADUKÓW ROZMIESZCZOYCH ZE STAŁĄ GĘSTOŚCIĄ OBJĘTOŚ-CIOWĄ W OBSZARZE ELIPSOIDY W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDYCH, KTÓRYSTAOWIĄ OSIE ELIPSOIDY
• Elipsoida Elipsoida obrotowa modeluje wiele obiektów, poczynając od kuli, poprzez dysk, cygaro,
a na walcu kończąc. Elipsoida trójosiowa jest powierzchnią daną równaniem kanonicznym.
a = b = c sfera
a = b > c elipsoida obrotowa spłaszczona
a = b < c elipsoida obrotowa wydłużona
Objętość elipsoidy wynosi
abc3
4V π⋅= .
Kontur rzutu na płaszczyznę x, y przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do osi z jest
elipsą
o półosiach
i polu powierzchni
−π=
2
2
zc
zabR 1 .
• Przejście od dyskretnego (nieciągłego) do ciągłego rozkładu ładunków Aby przejść, od wzorów dla układu ładunków punktowych do wzorów dla ciągłego roz-
kładu ładunków, dokonamy następujących odwzorowań.
1=++2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xa, b, c = półosie elipsoidy
constz ,
c
zb
y
c
za
x
2
22
2
2
22
2
==
−
+
−
1
11
2
2
2
2
c
zb i
c
za −− 11
( )
( )
( )
( )∫∫∫∑
∫∫∫∑
∫∫∫∑
∫∫∫∑
ρ=µ→=µ
ρ=µ→=µ
ρ=µ→=µ
ρ=→
V
zi
i
iz
V
y
i
iiy
Vi
xiix
Vi
i
zdVz,y,xzQ
ydVz,y,xyQ
xdVz,y,xxQ
dVz,y,xQQ
( )
( )
( )∫∫∫∑
∫∫∫∑
∫∫∫∑
ρ=→=
ρ=→=
ρ=→=
V
2
zz
2
i
i
izz
V
2
yy
2
i
i
iyy
V
2
xx
2
i
i
ixx
dVzz,y,xdzQd
dVyz,y,xdyQd
dVxz,y,xdxQd
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
48
• Moment dipolowy ciągłego rozkładu ładunków rozmieszczonych w obszarze elipso-idy ze stałą gęstością objętościowąZałożymy ciągły rozkład ładunków w obszarze elipsoidy ze stałą gęstością objętościową
( )abc4
Q3z,y,x
π=ρ .
Założymy też, że osie układu współrzędnych pokrywają się z osiami elipsoidy, czyli z osiami
głównymi tensora momentu kwadrupolowego.
Rx = rzut na płaszczyznę y, z przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do osi x
∫∫xR
dydz = pole rzutu na płaszczyznę y, z przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą
do osi x
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )∫∫∫∑
∫∫∫∑
∫∫∫∑
−−ρ=→−−=
−−ρ=→−−=
−−ρ=→−−=
V
222
zz
2
i
2
i
2
i
i
izz
V
222
yy
2
i
2
i
2
i
i
iyy
V
222
xx
2
i
2
i
2
i
i
ixx
dVxyz2z,y,xDxyz2QD
dVzxy2z,y,xDzxy2QD
dVzyx2z,y,xDzyx2QD
( )
( )
04
xdxx
02
xxdx
a
xbcdydz
abc4
Q3x,y,x
xdVz,y,x
a
a
a
a
43
a
a
a
a
2
R
2
2
V
x
x
=
=
=
=
−π=
π=ρ
ρ=µ
+
−−
+
−−
∫
∫
∫∫
∫∫∫
1
( )
( )
04
ydyy
02
yydy
b
yacdxdz
abc4
Q3x,y,x
ydVz,y,x
b
b
b
b
43
b
b
b
b
2
R
2
2
V
y
y
=
=
=
=
−π=
π=ρ
ρ=µ
+
−−
+
−−
∫
∫
∫∫
∫∫∫
1
( )
( )
04
zdzz
02
zzdz
c
zabdxdy
abc4
Q3x,y,x
zdVz,y,x
c
c
c
c
43
c
c
c
c
2
R
2
2
V
z
z
=
=
=
=
−π=
π=ρ
ρ=µ
+
−−
+
−−
∫
∫
∫∫
∫∫∫
1
0
dxa
xxbc
abc4
Q3
dydzxdxabc4
Q3
xdxdydzabc4
Q3
xdxdydzabc4
Q3
a
a
2
2
R
a
a
V
V
x
x
=
=
−π
π=
=π
=
=π
=
=π
=µ
∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
−
+
−
1
⇓ ⇓ ⇓
0
dyb
yyac
abc4
Q3
dxdzydyabc4
Q3
ydxdydzabc4
Q3
ydxdydzabc4
Q3
b
b
2
2
R
b
b
V
V
y
y
=
=
−π
π=
=π
=
=π
=
=π
=µ
∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
−
+
−
1
0
dzc
zzab
abc4
Q3
dxdyzdzabc4
Q3
zdxdydzabc4
Q3
zdxdydzabc4
Q3
c
c
2
2
R
c
c
V
V
z
z
=
=
−π
π=
=π
=
=π
=
=π
=µ
∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
−
+
−
1
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
49
• Tensor momentu kwadrupolowego ciągłego rozkładu ładunków rozmieszczonychw obszarze elipsoidy ze stałą gęstością objętościową
( )
( )
5
a
a
5a
a
4
3
a
a
3a
a
2
R
2
2
V
2
xx
a5
2
5
xdxx
a3
2
3
xdxx
a
xbcdydz
abc4
Q3z,y,x
dVxz,y,xd
x
=
=
=
=
−π=
π=ρ
ρ=
+
−
+
−
+
−
+
−
∫
∫
∫∫
∫∫∫
1
( )
( )
5
b
b
5b
b
4
3
b
b
3b
b
2
R
2
2
V
2
yy
b5
2
5
ydyy
b3
2
3
ydyy
b
yacdxdz
abc4
Q3z,y,x
dVyz,y,xd
y
=
=
=
=
−π=
π=ρ
ρ=
+
−
+
−
+
−
+
−
∫
∫
∫∫
∫∫∫
1
( )
( )
5
c
c
5c
c
4
3
c
c
3c
c
2
R
2
2
V
2
zz
c5
2
5
zdzz
c3
2
3
zdzz
c
zabdxdy
abc4
Q3z,y,x
dVzz,y,xd
z
=
=
=
=
−π=
π=ρ
ρ=
+
−
+
−
+
−
+
−
∫
∫
∫∫
∫∫∫
1
⇓⇓⇓
2
xx
a
a
2
22
R
a
a
2
V
2
xx
Qa5
d
dxa
xxbc
abc4
Q3
dydzdxxabc4
Q3
dxdydzxabc4
Q3d
x
1
1
=
−π
π=
=π
=
=π
=
∫
∫∫∫
∫∫∫
+
−
+
−
2
zz
c
c
2
22
R
c
c
2
V
2
zz
Qc5
d
dzc
zzab
abc4
Q3
dxdydzzabc4
Q3
dxdydzzabc4
Q3d
z
1
1
=
−π
π=
=π
=
=π
=
∫
∫∫∫
∫∫∫
+
−
+
−
2
yy
b
b
2
22
R
b
b
2
V
2
yy
Qb5
d
dyb
yyπac
abc4
3Q
dxdzdyyabc4
3Q
dxdydzyabc4
3Qd
1
1
y
=
−
π=
=π
=
=π
=
∫
∫∫∫
∫∫∫
+
−
+
−
Rx = rzut na płaszczyznę y, z przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do osi x
∫∫xR
dydz = pole rzutu na płaszczyznę y, z przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do
osi x
Ry = rzut na płaszczyznę x, z przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do osi y
∫∫yR
dxdz = pole rzutu na płaszczyznę x, z przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do
osi y
Rz = rzut na płaszczyznę x, y przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą do osi z
∫∫zR
dxdy = pole rzutu na płaszczyznę x, y przekroju elipsoidy płaszczyzną prostopadłą
do osi z
W rozpatrywanym układzie współrzędnych, czyli układzie którego osie pokrywają się
z osiami elipsoidy, moment dipolowy jest równy zeru, ponieważ wszystkie jego składowe
są równe zeru.
( ) 0 0 , 0 , 0 zyx =⇒=µ=µ=µ µµµµ
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
50
( )( )
( )
( )
( )222
xx
333
a
a
b
b
c
c
2
22
2
22
2
22
a
a R
b
b R
c
c R
222
V
222
xx
V
222
xx
cba2Q5
D
abc5
4cab
5
4bca
5
8
abc4
Q3
dzc
zzabdy
b
yyacdx
a
xxbc2
abc4
Q3
dxdydzzdxdzdyydydzdxx2abc4
Q3
dxdydz zyx2abc4
Q3D
abc4
Q3z,y,x
dV zyx2z,y,xD
x y z
−−⋅=
π⋅−π⋅−π⋅π
=
=
−π−
−π−
−π
π=
=
−−
π=
=−−π
=
⇓
π=ρ
−−ρ=
∫ ∫ ∫
∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
1
111
111
( )( )
( )
( )
( )222
yy
333
b
b
a
a
c
c
2
22
2
22
2
22
b
b R
a
a R
c
c R
222
V
222
yy
V
222
yy
cab2Q5
D
abc5
4bca
5
4cab
5
8
abc4
Q3
dzc
zzabdx
a
xxbcdy
b
yyac2
abc4
Q3
dxdydzzdydzdxxdxdzdyy2abc4
Q3
dxdydz zxy2abc4
Q3D
abc4
Q3z,y,x
dV zxy2z,y,xD
y x z
−−⋅=
π⋅−π⋅−π⋅π
=
=
−π−
−π−
−π
π=
=
−−
π=
=−−π
=
⇓
π=ρ
−−ρ=
∫ ∫ ∫
∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
1
111
111
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
51
Zbierzmy otrzymane wyniki.
Składowe niediagonalne obu tensorów są wszystkie równe zeru.
W przypadku elipsoidy obrotowej
tensor momentu kwadrupolowego Dµν posiada tylko jedną składową niezależną Dzz .
UWAGASkładowa Dzz bywa utożsamiana z tensorem momentu kwadrupolowego, co prowadzi do nie-
porozumień.
( )( )
( )
( )
( )222
zz
333
c
c
b
b
a
a
2
22
2
22
2
22
c
c R
b
b R
a
a R
222
V
222
zz
V
222
zz
abc2Q5
D
bca5
4cab
5
4abc
5
8
abc4
Q3
dxa
xxbcdy
b
yyacdz
c
zzab2
abc4
Q3
dydzdxxdxdzdyydxdydzz2abc4
Q3
dxdydz xyz2abc4
Q3D
abc4
Q3z,y,x
dV xyz2z,y,xD
z y x
−−⋅=
π⋅−π⋅−π⋅π
=
=
−π−
−π−
−π
π=
=
−−
π=
=−−π
=
⇓
π=ρ
−−ρ=
∫ ∫ ∫
∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
1
111
111
( )
( )
( )
, DDD2
, acQ5
2D
, caQ5
D
, caQ5
D
, ba
yyxxzz
22
zz
22
yy
22
xx
1
1
1
==−
−=
−=
−=
=
( ) ( ) ( ). 0DDD
, ab2cQ5
1 D , ca2bQ
5
1 D , cb2aQ
5
1 D
,Qc5
1d ,Qb
5
1d ,Qa
5
1d
zzyyxx
222
zz
222
yy
222
xx
2
zz
2
yy
2
xx
=++
−−⋅=−−⋅=−−⋅=
⋅=⋅=⋅=
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
52
• Człon kwadrupolowy w rozwinięciu potencjału pola ciągłego rozkładu ładunkówrozmieszczonych w obszarze elipsoidy obrotowej ze stałą gęstością objętościową
PRZYKŁADElektryczny moment kwadrupolowy jądra atomowegoJądro atomowe bywa modelowane elipsoidą obrotową, w której objętości rozmieszczony jest
ładunek Ze ze stałą gęstością objętościową
ca4
Ze32
=ρ .
Moment dipolowy ładunków rozmieszczonych ze stałą gęstością objętościową w obszarze eli-
psoidy obrotowej jest równy zeru względem układu współrzędnych, którego osie pokrywają
( )
2
22
2222
zyyzzxxzyxxy
22
zz
zzyyxx
32
2
3 3
3
o
2
R
zcos
zyxR
0DDDDDD
acQ5
2D
D2
DD
zx ,yx ,xx
R
xx3D
6R4
=α
++=
======
−=
−==
===
δ−
πε=ϕ µν
νµ
=µ =νµν∑∑
1
11
1
1 1
⇓
( )111
11
11
111
1111
11111
−απε
=ϕ
−
πε=ϕ
+−−
πε=ϕ
−+
−−
−−
πε=ϕ
−+
−+
−
πε=ϕ
2
zz3
o
2
2
22
zz3
o
2
2
222
zz3
o
2
2
2
2
2
2
2
zz3
o
2
2
2
zz2
2
yy2
2
xx3
o
2
cos3D4R4
R
Rz3D
4R4
R2
z6y3x3D
6R4
R
z3
R
y3
2R
x3
2D
6R4
R
z3D
R
y3D
R
x3D
6R4
Pierwsze trzy człony w rozwinięciu potencjału ostatecznie przyjmują postać
( )( )1111
1−α−⋅⋅
πε+⋅
πε=ϕ 222
3
oo
cos3ac0R4
Q
R4
Q .
Punkt obserwacji
α
y
z
x
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
53
się z osiami elipsoidy obrotowej, a równocześnie z osiami głównymi (kierunkami własnymi)
tensora momentu kwadrupolowego. W takim układzie współrzędnych tensor momentu kwa-
drupolowego Dµν posiada niezerowe rzeczywiste składowe diagonalne Dxx = Dyy = -(1/2) Dzz ,
a pozostałe składowe są równe zeru. Tensor momentu kwadrupolowego jądra posiada więc
tylko jedną składową niezależną Dzz .
W przypadku gdy moment kwadrupolowy ma tylko jedną niezależną składową, jej znak dos-
tarcza informacji o rozmieszczeniu ładunków.
Moment kwadrupolowy wyrazimy przez średni promień jądra r i parametr deformacji jądra η.
( )
C06,e
ZeQ
ba
abc2Q5
D
9
222
zz
111
1
−⋅=
=
=
−−=
⇒ ( )22
zz ac5
Ze2D −=
Jądra kuliste (sferyczne) mają Dzz = 0 .
Jądra wydłużone wzdłuż osi symetrii (cygaro) mają Dzz > 0 .
Jądra spłaszczone wzdłuż osi symetrii (dysk) mają Dzz < 0 .
( )
( )( ) η=−+=−+−
⋅=∆
=η
−=∆
⋅=
=+
=
−⋅=
−
222
5
o
3o
22
zz
r2acacac
ac
ac2
r
r
acr
m1007,r
Ar2
car
acZe5
2D
1
1
1 ⇒ η⋅= 2
zz Zer5
4D
y
z
x
y
z
x
y
z
x
Kula: D = 0zz Cygaro: D > 0zzDysk: D < 0zz
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
54
Elektryczny moment kwadrupolowy jądra bywa też definiowany, jako
( )( ) zz
222
V
o De
dV xy2zzy,x,ρe
Q11
⋅=−−⋅= ∫∫∫ .
PRZYKŁADPotencjał elektryczny jądra atomowego
21 POLA RÓŻYCH AŁADOWAYCH PRZEWODIKÓW I ROZKŁADÓWŁADUKÓW
• Pole elektryczne nieskończonej płaszczyzny naładowanej ze stałą gęstością powierz-chniową ładunku σσσσ
Ex>0 = wektor natężenia pola elektrycznego dla x>0
Ex<0 = wektor natężenia pola elektrycznego dla x<0
( )
( ) 222
zz
2
zz3
oo
rZe5
4ac
5
Ze2D
ZeQ
cos3D4R4R4
Q
η=−=
=
=
−απε
+πε
=ϕ
0000µµµµ
111 ( )( )1
1
1−α−
πε+
πε=ϕ 222
3
oo
cos3ac0R4
Ze
R4
Ze
( )11
−αηπε
+πε
=ϕ 22
3
oo
cos3r5R4
Ze
R4
Ze
( )
−α
η⋅+
πε=ϕ 11
2
2
2
o
cos35R
r
R4
Ze
Powierzchnię Gaussa stanowi powierzchnia
walca prostopadłego do naładowanej płasz-
czyzny. Strumień natężenia pola elektrycz-
nego przez powierzchnię boczną walca jest
równy zeru, ponieważ wektory natężeń pola
elektrycznego są równoległe do tej po-
wierzchni.
0x0x
i
i
0xoD
i
iD
Sq
S2E
q
<>
>
−=
σ=
ε=Φ
=Φ
∑
∑
EE
SS2E 0xo σ=ε >⇒ ⇒
x2 0x
x2 0x
o
0x
o
0x
xEE
xEE
⋅εσ−
=−=⇒<
⋅εσ+
==⇒>
>
>
S S
+σEx>0Ex<0
S-S
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
55
• Pole elektryczne dwóch nieskończonych płaszczyzn równoległych naładowanych róż-noimiennymi ładunkami o stałych gęstościach powierzchniowych +σσσσ i −σ−σ−σ−σ
( )xx
0x
0x
d
xdx
2E
0x
dx
dE
2
o
=
=ϕ
=
ϕ=ϕ
=
εσ+
=
>
ϕ−=
∫∫
1
1
( ) ( ) ( )11 xx2
xx 2
o
2 −⋅εσ
=ϕ−ϕ
( ) x2
xo
⋅εσ
−=ϕ
⇓
⇓
⇒
⇒
( )
( )
∫∫ =ϕ
=ϕϕ
ϕ
22 x
x
x
x
Edxd-
Edxd-
11
( )xx
0x
0x
2E
0x
dx
dE
2
o
=
=ϕ
=
εσ−
=
<
ϕ−=
1
1
⇒
( ) ( ) ( )2
o
2 xx2
xx −⋅εσ
=ϕ−ϕ 11
( ) x2
xo
⋅εσ
=ϕ
⇒
⇓
ooo 22E
εσ
=εσ
+εσ
=
Niebieskie strzałki oznaczają wektory natężeń pola elektrycznego, którego źródłem jest
płaszczyzna naładowana ujemnie. Czerwone strzałki oznaczają wektory natężeń pola
elektrycznego, którego źródłem jest płaszczyzna naładowana dodatnio.
o2εσ+
o2εσ−
xx
E
o2ε
o2ε
E = 0 E = 0
+σ−σ
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
56
• Pole elektryczne powierzchni cylindrycznej (walcowej) naładowanej ze stałą gęstoś-cią powierzchniową ładunku σσσσ
Prawo Gaussa dla powierzchni Sex :
Prawo Gaussa dla powierzchni Sin :
R = promień naładowanej powierzchni
cylindrycznej
Sex = cylindryczna powierzchnia Gaussa
współosiowa z naładowaną powierzchnią
cylindryczną o promieniu r ≥ R
Sin = cylindryczna powierzchnia Gaussa
współosiowa z naładowaną powierzchnią
cylindryczną o promieniu r < R
l >> R
∑
∑
=⋅π⋅σ=
⋅π⋅ε=Φ
≥
=Φ
i
i
oD
i
iD
QlR2q
lr2E
Rr
q
∑
∑
=
⋅π⋅ε=Φ
<
=Φ
i
i
oD
i
iD
0q
lr2E
Rr
q
⇒ 0E =
⇒
⇓⇓
QlR2lr2Eo =⋅π⋅σ=⋅π⋅ε
r
RE
oεσ
=rl2
QE
oπε=
l
Q
Rl2
Q
rlndr r
r
RE
dr
dE
Rr
Rl
o
=λ
π=σ
=
εσ
=
ϕ−=
≥
>>
∫1
⇒
⇒
( ) ( )[ ]
( ) ( ) dr r
Rrr
Edrrr
Edrd
2
2
r
ro
2
r
r
2
∫
∫
εσ
=ϕ−ϕ
=ϕ−ϕ−
=ϕ−
1
1
11
1
( ) ( )
1
1
1
1
r
rln
2
r
rln
l2
Q
r
rln
Rrr
2
o
2
o
2
o
2
πελ
=
πε=
εσ
=ϕ−ϕ
Sin
Sex
l
r1
r2
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
57
• Pole elektryczne walca naładowanego ze stałą gęstością objętościową ładunku ρρρρ
Prawo Gaussa dla powierzchni Sex :
Prawo Gaussa dla powierzchni Sin :
( )
( ) ( )
( )R
rln
Rr
R
rln
RrR
0R
rr
Rr
o
o
2
εσ
−=ϕ
εσ
=ϕ−ϕ
⇓
=ϕ
=
=1
R = promień naładowanego walca
Sex = cylindryczna powierzchnia
Gaussa współosiowa z naładowanym
walcem o promieniu r > R
Sin = cylindryczna powierzchnia
Gaussa współosiowa z naładowanym
walcem o promieniu r < R
l >> R
l
Q
lR
Q
QlRq
lr2E
Rr
q
2
2
i
i
oD
i
iD
=λ
π=ρ
=⋅π⋅ρ=
⋅π⋅ε=Φ
≥
=Φ
∑
∑lRrl2E 2
o ρπ=πε
r2
RE
o
2
ερ
=
or2E
επλ
=
⇓
⇓
⇒
⇒
lrq
lr2E
Rr
q
2
i
i
oD
i
iD
⋅π⋅ρ=
⋅π⋅ε=Φ
<
=Φ
∑
∑⇓
⇒ lrrl2E 2
o ρπ=πε
o2
rE
ερ
=
Sin
Sex
l
ϕ
R
r
oε
ρ
R r
oε
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
58
( )rr
0r
0r
r 2
rdr
2
rE
dr
dE
Rr
2
2
o
=
=ϕ
=
=
ερ
=
ϕ−=
<
∫
1
1
1
( )o
2
2
o
2
4
RR
rr
Rr
rlndr r
r2
RE
dr
dE
Rr
ερ
−=ϕ
=
=
=
ερ
=
ϕ−=
≥
∫
1
1
⇒
( ) ( ) dr r2
Rrr
Edrd
2r
ro
2
2 ∫ερ
=ϕ−ϕ
=ϕ−
1
11
( ) ( )1
1r
rln
2
Rrr 2
o
2
2 ερ
=ϕ−ϕ
( ) ( )
+ε
ρ−=
ερ
−ϕ=ϕR
rln
22
R
R
rln
2
RRr
o
2
o
2 1
⇒
⇒
⇓
R
o
R
ε2
R
r
r
ϕ
punkt przegięcia
o
R
ερ4
2
−
⇒
⇒
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ∫
∫
ερ
=ϕ−ϕ
=ϕ−ϕ−
=ϕ−
2
2
r
ro
2
r
r
2
rdr2
rr
Edrrr
Edrd
1
1
1
1
⇒
( ) ( ) ( )22
2
o
2 rr4
rr 11 −ερ
=ϕ−ϕ
⇓
( )o
2
4
rr
ερ
−=ϕ
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
59
• Pole elektryczne powierzchni kulistej (sferycznej) naładowanej ze stałą gęstościąpowierzchniową ładunku +σσσσ
Prawo Gaussa dla powierzchni Sex :
Prawo Gaussa dla powierzchni Sin :
PRZYKŁADPrzykładem takiego rozmieszczenia ładunków jest naładowana kula metalowa, ponieważ ła-
dunki gromadzą się tylko na jej powierzchni.
R = promień sfery naładowanej elektrycznie
Sex = powierzchnia Gaussa koncentryczna z naładowaną
sferą o promieniu r ≥ R
Sin = powierzchnia Gaussa koncentryczna z naładowaną
sferą o promieniu r < R
rex i rin = promienie powierzchni Gaussa Sex i Sin koncen-
trycznych z naładowaną sferą
QR4q
r4E
Rr
q
2
i
i
2
oD
i
iD
=π⋅σ=
π⋅ε=Φ
≥
=Φ
∑
∑
2
or4
QE
πε=
rr4
Q2
o
rE ⋅
πε=⇒
( )
rdr
r
rε 4
QE
0
dr
dE
Rr
112
2
o
−=
π=
=∞ϕ
ϕ−=
≥
∫
( ) ( )[ ]
( )
( ) rε4
Qr
dr rε4
Qr
Edrr
Edrd
ro
r
2
o
r
1
1
∞
∞
∞
−π
=ϕ
π=ϕ
=ϕ−∞ϕ−
=ϕ−
∫
∫
⇒ ( )r4
Qr
o
1
πε=ϕ
0q
r4E
q
Rr
i
i
2
oD
i
iD
=
π⋅ε=Φ
=Φ
<
∑
∑⇒ 0E =
Natężenie pola elektrycznego, którego źródłem jest sfera naładowana ze stałą gęstością
powierzchniową ładunku σ , jest
1. wewnątrz sfery (r < R) równe zeru,
2. na zewnątrz sfery (r ≥ R) takie, jakby cały ładunek zgromadzony był w środku sfery.
R
Sin
⇒
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
60
PRZYKŁADZetknięto ze sobą dwie naładowane jednoimiennie metalowe kule, odpowiednio o promie-
niach R1 i R2 i potencjałach ϕ1 i ϕ2. Wyznaczmy potencjał wypadkowy tych kul.
• Pole elektryczne kuli naładowanej ze stałą gęstością objętościową ładunku ρρρρ
Prawo Gaussa dla powierzchni Sex :
∗∗
∗
∗
+=+
πε=ϕ
πε=ϕ
πε=ϕ
πε=ϕ
22
2o
2
o
2o
22
o
QQQQ
R4
Q
R4
Q
R4
Q
R4
Q
11
1
1
1
11
2
22
RR
RR
+
ϕ+ϕ=ϕ
1
11⇒
R = promień kuli naładowanej elektrycznie
Sex = powierzchnia Gaussa koncentryczna z naładowaną kulą
o promieniu r ≥ R
Sin = powierzchnia Gaussa koncentryczna z naładowaną kulą
o promieniu r < R
RSin
( ) QR3/4q
r4E
q
Rr
3
i
i
2
oD
i
iD
=πρ=
π⋅ε=Φ
=Φ
≥
∑
∑⇒
2
or4
QE
πε=
*
2Q
*Q1
R1Q1
R2
Q2
R1
R2*
2Q
*Q1
R4
Q
oπε2
oR4
Q
πε
R r
ϕ
R4
Q
oπε
R r
2
oR4
Q
πε
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
61
Prawo Gaussa dla powierzchni Sin :
3
3
i
i
2
oD
i
iD
R3
4
Q
r3
4q
r4E
q
R r
π=ρ
π⋅ρ=
π⋅ε=Φ
=Φ
<
∑
∑ o3
rE
ερ
=
3
oR4
QrE
πε=
⇒
⇓
⇒
Natężenie pola elektrycznego, którego źródłem jest kula naładowana ze stałą
gęstością objętościowa ρ, jest
1. wewnątrz kuli (r < R) takie, jakby źródłem pola była część całego ładunku
znajdująca się w kuli o promieniu r, i zgromadzona w jej środku,
2. na zewnątrz kuli (r ≥ R) takie, jakby cały ładunek zgromadzony był w środ-
ku kuli.
( )
rdr
r
r4
QE
0
dr
dE
Rr
2
o
11−=
πε=
=∞ϕ
ϕ−=
≥
∫
⇒
⇒
( ) ( )[ ]
( )
( )∞
∞
∞
−⋅πε
=ϕ
πε=ϕ
=ϕ−∞ϕ−
=ϕ−
∫
∫
ro
r
2
o
r
r4
Qr
dr r4
Qr
Edrr
Edrd
1
1
( )r4
Qr
o
1⋅
πε=ϕ
( ) ( )[ ]
( )
( )
( ) [ ]∞
∞
∞
∞
πε
+πε
=ϕ
πε+
πε=ϕ
+=ϕ
=ϕ−∞ϕ−
=ϕ−
∫∫
∫∫
∫
Ro
R
r
2
3
o
R
2
o
R
r
3
o
R
ex
R
r
in
r
r4
Q r
2R4
Qr
dr r4
Qrdr
R4
Qr
drEdrEr
Edrr
Edrd
11
1
( )3
o
2
o R8
Qr
R8
Q3r
πε−
πε=ϕ
⇒
⇓
( )
rdr
r
r2
rdr
r4
QrE
R4
QrE
0
dr
dE
Rr
2
2
2
o
ex
3
o
in
11
1
−=
=
πε=
πε=
=∞ϕ
ϕ−=
<
∫
∫
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
62
22 PRZEWODIK W POLU ELEKTRYCZYM
• aładowany przewodnik we własnym polu elektrycznym1. Nieskompensowane ładunki elektryczne gromadzą się tylko na zewnętrznej powierzchni
naładowanego przewodnika.
2. Wewnątrz naładowanego przewodnika natężenie pola elektrycznego jest równe zeru.
3. Wnętrze naładowanego przewodnika jest ekwipotencjalne.
4. Na zewnętrznej powierzchni naładowanego przewodnika natężenie pola ma tylko składo-
wą normalną (prostopadłą) do tej powierzchni.
5. Powierzchnia naładowanego przewodnika jest ekwipotencjalna.
6. Składowa natężenia pola prostopadła do powierzchni naładowanego przewodnika jest
proporcjonalna do lokalnej gęstości powierzchniowej ładunku En = σ/εo .
7. Gęstość powierzchniowa ładunku naładowanego przewodnika jest odwrotnie proporcjo-
nalna do lokalnego promienia krzywizny σ ~ 1/R .
Spróbujemy wszystkie te twierdzenia udowodnić.
1. To, że nieskompensowane jednoimienne ładunki elektryczne gromadzą się tylko na zew-
nętrznej powierzchni metalu, jest wynikiem ich kulombowskiego odpychania się.
2. To, że wewnątrz metalu natężenie pola elektrycznego jest równe zeru, wynika z twierdze-
nia Gaussa, w związku z brakiem nieskompensowanego ładunku wewnątrz metalu.
3. To, że wnętrze metalu jest ekwipotencjalne, wynika z równania E = -gradϕ, w związku
ze znikaniem natężenia pola wewnątrz metalu.
4. To, że natężenie pola elektrycznego na powierzchni naładowanego metalu posiada tylko
składową normalną, czyli nie posiada składowej stycznej, wynika z (braku powierzchnio-
wych prądów elektrycznych) rotE = 0 w punktach wewnątrz i na zewnątrz metalu, w związ-
ku ze znikaniem natężenia pola wewnątrz metalu.
E = -gradϕ Wewnątrz metalu
Wewnątrz metalu ⇒ E = 0 . ϕ = const .
Wewnątrz i na zewnątrz metalu Na powierzchni metalu
rotE = 0 . Et = 0 ,
Wewnątrz metalu En ≠ 0 .
E = 0 .
⇒
R
24 R
Q
oπεR
Q
oπε8
3
R rr
ϕ
punkt przegięcia
R
Q
oπε8
3
3
2⋅
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
63
5. To, że powierzchnia naładowanego metalu jest ekwipotencjalna, wynika z E = -gradϕ,
w związku ze znikaniem na powierzchni metalu składowej stycznej natężenia pola elektrycz-
nego.
6. To, że składowa natężenia pola prostopadła do powierzchni naładowanego metalu jest
proporcjonalna do lokalnej gęstości powierzchniowej ładunku, wynika z twierdzenia Gaussa,
w związku ze znikaniem natężenia pola wewnątrz metalu.
7. To, że gęstość powierzchniowa ładunku jest odwrotnie proporcjonalna do lokalnego pro-
mienia krzywizny, pokażemy na przykładzie naładowanej kuli metalowej.
PRZYKŁADWiaderko (puszka) Faradaya. Gromadzenie się nieskompensowanych jednoimiennych
ładunków elektrycznych tylko na zewnętrznej powierzchni przewodnika wykorzystuje się
w wiaderku Faradaya, czyli metalowej powłoce sferycznej (wydrążonej kuli metalowej).
Wszystkie ładunki elektryczne znajdujące się na sondzie (próbniku), po dotknięciu nią (nim)
wewnętrznej powierzchni wiaderka Faradaya, natychmiast gromadzą się na jego zewnętrznej
powierzchni. Wiaderko Faradaya świetnie nadaje się na końcówkę przyrządów pomiaro-
wych, takich jak elektrometry i elektroskopy, oraz na rezerwuar ładunków elektrycznych
w maszynach elektrostatycznych i elektrostatycznym generatorze Van de Graaffa.
PRZYKŁADOstrza. E ~ σ ~ 1/R . W pobliżu naładowanego ostrza natężenie pola elektrycznego jest tak
duże, że powoduje jonizację otaczających go cząsteczek powietrza. W pobliżu ujemnie nała-
E = -gradϕ Na powierzchni metalu
Na powierzchni metalu ϕ = const .
Et = 0 .
⇒
2
o
R4
q
R4
q
π=σ
πε=ϕ
⇒R
~1
σ
S
q
qSE noD
=σ
wnętrze zewnętrze
S
o
n Eεσ
=⇒
wiaderko Faradaya
sonda
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
64
dowanego ostrza wskutek wypływu elektronów powstają jony ujemne. W pobliżu dodatnio
naładowanego ostrza, w skutek zasysania elektronów, powstają jony dodatnie. W obu przy-
padkach powstaje tzw. „wiatr elektryczny”, którego istnienie można spektakularnie zademon-
strować pochylaniem się płomienia świecy w kierunku od ostrza, lub obrotem wiatraczka.
Wypływ elektronów z uziemionego ostrza wykorzystywany jest w piorunochronach.
• ienaładowany przewodnik w zewnętrznym polu elektrycznym1. Zewnętrzne pole elektryczne wywołuje w nienaładowanym przewodniku zjawisko induk-
cji elektrostatycznej, które polega na deformacji chmury swobodnych elektronów przewod-
nictwa. Na zewnętrznej powierzchni przewodnika indukuje się ładunek.
PRZYKŁADElektrofor. Zjawisko indukcji elektrostatycznej wykorzystane jest w elektroforze do wytwa-
rzania ładunków elektrycznych.
2. Natężenia obu pól, zewnętrznego i powstałego wewnątrz metalu w wyniku deformacji
chmury elektronowej, znoszą się. Wypadkowe natężenie pola w dowolnym punkcie wewnątrz
przewodnika, znajdującego się w zewnętrznym polu elektrycznym, jest równe zeru.
PRZYKŁADEkran elektrostatyczny (osłona elektrostatyczna). Otoczenie urządzeń i przyrządów po-
miarowych uziemioną blachą lub siatką metalową (klatka Faradaya) osłania je (ekranuje)
przed wpływem zewnętrznego pola elektrostatycznego, ponieważ pole ładunków zewnętrz-
nych znosi się z polem ładunków indukowanych przez nie na zewnętrznej powierzchni osło-
ny.
3. Ładunki znajdujące się wewnątrz uziemionej osłony metalowej indukują na jej wewnętrz-
nej powierzchni ładunek
równy im co do bezwzględnej wartości, ale przeciwnego znaku. Do ziemi odpływa ładunek
równy ładunkowi wewnątrz osłony.
Uziemiona osłona metalowa ekranuje przestrzeń na zewnątrz osłony od ładunków znaj-
dujących się wewnątrz osłony.
powierzchnia Gaussa
∫∫σ−S
dS
rączka izolująca
metal
rączka izolująca
ebonit naładowanyprzez pocieranie
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
65
4. Wnętrze nienaładowanego przewodnika, znajdującego się w zewnętrznym polu elektrycz-
nym, jest ekwipotencjalne.
5. Na powierzchni nienaładowanego przewodnika, znajdującego się w zewnętrznym polu
elektrycznym, natężenie pola ma tylko składową prostopadłą do powierzchni przewodnika.
6. Powierzchnia nienaładowanego przewodnika, znajdującego się w zewnętrznym polu ele-
ktrycznym, jest powierzchnią ekwipotencjalną.
7. Emisja polowa. Silne pole elektryczne o natężeniu 108V/m i większym powoduje emisję
elektronów z metalu. Zjawisko to nosi nazwę emisji polowej, zimnej emisji lub autoemisji.
Gęstość prądu autoemisji nie zależy od temperatury emitera. Przykładem wykorzystania tego
zjawiska jest mikroskop polowy.
• Pojemność elektryczna odosobnionego przewodnika
Pojemnością elektryczną C odosobnionego przewodnika nazywamy stosunek ładunku q,
zgromadzonego na powierzchni przewodnika, do potencjału ϕ na jego powierzchni.
PRZYKŁADPojemność odosobnionej kuli metalowej:
∫∫∫∫∫∑
∑∫∫
ρ+σ=
=ε
=⋅
VSi
i
i
i
S
dVdSQ
0Qd
G
1SE
⇒
S = wewnętrzna powierzchnia osłony metalowej
∫∫∫ρV
dV = ładunek znajdujący się wewnątrz osłony metalowej
- ∫∫σS
dS = ładunek znajdujący się na wewnętrznej powierzchni osłony
ϕ=
qC
R4
q
qC
oπε=ϕ
ϕ=
⇒ R4C oπε=
ϕ ~ q
ϕ
q
∫∫∫∫∫∑
∑∫∫
ρ+σ=
=ε
=⋅
VSi
i
i
i
S
dVdSQ
0Qd
G
1SE
∫∫∫∫∫ ρ=σ−VS
dVdS
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
66
23 EERGIA POTECJALA UKŁADU ŁADUKÓW W ZEWĘTRZYMPOLU ELEKTRYCZYM
• Energia potencjalna ładunku w zewnętrznym polu elektrycznym Energią potencjalną Wp wzajemnego oddziaływania ładunku q z zewnętrznymi nieru-
chomymi ładunkami wytwarzającymi pole elektryczne, w danym punkcie tego pola, nazywa-
my pracę jaką wykonują siły pola przy przemieszczaniu ładunku q z danego punktu do nies-
kończoności (lub do punktu, w którym z założenia energia potencjalna jest równa zeru).
ϕ = potencjał pola zewnętrznego w punkcie zajętym przez ładunek q
Siłę działającą ze strony pola na ładunek q można wyrazić przez jego energię potencjalną.
• Energia potencjalna dipola w zewnętrznym polu elektrycznym Obliczymy ponownie energię potencjalną wzajemnego oddziaływania dipola z zewnętrz-
nymi nieruchomymi ładunkami wytwarzającymi pole elektryczne.
( )
0
qW
WW
A
AA
AP
=ϕ
ϕ=ϕ
ϕ−ϕ=
=
∞
∞∞→
∞→
⇒ ϕ= qWP
ϕ=
ϕ−=
=
qW
grad
q
P
E
EF
⇒PgradW−=F
ϕ1 i ϕ2 = potencjały zewnętrznego pola elektrycznego w punktach zajmowanych przez
ładunki dipola q1 i q2
E = natężenie zewnętrznego pola elektrycznego w miejscu
2 0W
q
grad
gradll
ll
qqW
P
2
22P
π=α⇔=
=
ϕ−=
ϕ⋅=∂ϕ∂
∂ϕ∂
=ϕ−ϕ
ϕ+ϕ=
l
E
l
µµµµ
1
11
⇒
⇓
E⋅−= µµµµPW
αµ−= cosEWP
E
q = -q < 01 q = q > 02
l
E
q = -q < 01 q = q > 02
l α
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
67
• Energia potencjalna układu ładunków punktowych w zewnętrznym polu elektrycz-nym
Jeżeli w obszarze, w którym znajduje się układ ładunków, pole zewnętrzne niewiele się zmie-
nia, to energię potencjalną tego układu ładunków można rozwinąć w szereg Taylora.
( )i
i
iP QW R∑ ϕ=
ϕ(Ri) = potencjał zewnętrznego pola elektrycznego w punkcie zajmowanym przez ła-
dunek Qi
( )i
3
i
2
i
i x,x,x1=R = promień wodzący i-tego ładunku
( )
( ) ( ) ( ) ( )L
xx
x,x,xxx
2x
x,x,xx0,0,0x,x,x
x,x,xQW
o
2
2
ii
o
32ii
3
i
2
i
i
3
i
2
i
i
iP
3 +
∂∂
ϕ∂+
∂
ϕ∂+ϕ=ϕ
ϕ=
λκλ
κ λκ
λ λλ ∑∑∑
∑
111
1
1
( ) ( ) ( )∑ ∑∑∑ ∑∑ +
∂∂
ϕ∂+
∂
ϕ∂+ϕ=
λκλ
κ λκ
λ λλ
i o
32
2
ii
i
i o
32i
i
i
iP xx
x,x,xxx
2Q
x
x,x,xxQ0,0,0QW L
11 1
( ) ( ) ( )L+
∂∂
ϕ∂+
∂
ϕ∂+ϕ=
λκλ
κ λκλ
λ λ∑∑∑∑∑∑
o
32
2
ii
i
i
i
i
i
o
32
i
iPxx
x,x,xxxQ
2xQ
x
x,x,xQ0,0,0W 11 1
( ) ( ) ( )L+
∂∂
ϕ∂+⋅−ϕ=
λκκ λκλ∑∑∑
o
32
2
i
iPxx
x,x,xd
20,0,0Q0,0,0W 11
Eµµµµ
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
κλλκ
λλ
λλλ λ
λλ
λλ
=
⋅−=⋅−=µ⋅−=⋅
∂
ϕ∂
µ=
−=
∂
ϕ∂
∑
∑∑∑
∑
dxxQ
0,0,00,0,00,0,0ExQx
x,x,x
xQ
0,0,0Ex
x,x,x
ii
i
i
i
i
i
o
32
i
i
i
o
32
EE µµµµµµµµ1
1
⇓
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
68
W wyrażeniu na energię potencjalną człon opisujący oddziaływanie kwadrupola z zewnętrz-
nym polem elektrycznym przedstawimy w innej postaci.
Zbierzmy otrzymane wyniki.
( ) =ϕ 0,0,0 wartość potencjału pola zewnętrznego w początku układu współrzędnych
( ) =0,0,0E wektor natężenia zewnętrznego pola elektrycznego w początku układu współ-
rzędnych
=λE składowe wektora natężenia pola elektrycznego w początku układu współrzędnych
z3y2x EE ,EE ,EE :E ===λ 1
µµµµ = wektor momentu dipolowego
=µλ składowe wektora momentu dipolowego
z3y2x , , : µ=µµ=µµ=µµλ 1
=κλd tensor momentu kwadrupolowego
( )=
∂
ϕ∂
λ o
32
x
x,x,x1 wartości pierwszych pochodnych potencjału pola zewnętrznego w po-
czątku układu współrzędnych
( )=
∂∂
ϕ∂
λκ o
32
2
xx
x,x,x1 wartości drugich pochodnych potencjału pola zewnętrznego w po-
czątku układu współrzędnych
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )o
321
2
o
321
2
i
2
i
ii
i
i o
321
22
i
o
321
2ii
i
2
i
ii
i
i
o
321
22
i
o
321
2
i
i
i
i
xx
x,x,xD
6
1
xx
x,x,xRxx3Q
6
1
xx
x,x,xR
xx
x,x,xxx3Q
6
1
DRxx3Q
0xx
x,x,xR
xx
x,x,xxxQ
2
1
∂∂
ϕ∂=
∂∂
ϕ∂δ−=
=
∂∂
ϕ∂δ−
∂∂
ϕ∂=
=δ−
=
∂∂
ϕ∂δ
=
∂∂
ϕ∂
λκκλ
λκκ λκλλκ
κ λ λκκλ
λκλκ
κλκλλκ
λκκλ
λκλ
κ λκ
∑∑∑∑∑
∑∑∑
∑
∑∑∑
( ) ( ) ( )∑∑∑
κ λ λκκλ +
∂∂
ϕ∂+⋅−ϕ= L
o
321
2
i
iPxx
x,x,xd
2
1 0,0,0 Q0,0,0 W Eµµµµ
( ) ( ) ( )∑∑∑
κ λ λκκλ +
∂∂
ϕ∂+⋅−ϕ= L
o
321
2
i
iPxx
x,x,xD
6
1 0,0,0 Q0,0,0 W Eµµµµ
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
69
PRZYKŁADEnergia potencjalna jądra atomowego w zewnętrznym polu elektrycznymZałożymy, że dodatni ładunek jądra rozmieszczony jest ze stałą gęstością objętościową
w obszarze elipsoidy obrotowej. Wybierzemy układ współrzędnych, którego osie pokrywają
się z osiami elipsoidy.
• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania monopola z dipolem
• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania monopola z kwadrupolem
( )
( )
αµ=⋅
⋅πε
−=
⋅−=
cosR
RR4
Q0,0,0
0,0,0 W
2
o
P
R
RE
E
µµµµ
µµµµ
3
o
PR
Q
4 W
R⋅⋅
πε=
µµµµ1
2
o
PR
cosQ
4 W
αµ⋅
πε=
1⇒ ⇒
( )
( )R
Q
4x,x,x
xx
x,x,xd
2 W
o
32
o
32
2
P
⋅πε
=ϕ
∂∂
ϕ∂= ∑∑
κ λ λκκλ
1
1
1
1
o
2
o
PRxx
dQ24
W ∑∑κ λ λκ
κλ
⋅
∂∂∂
⋅⋅⋅πε
=111
⇓
( )
zyx
0zyx
zD
yD
xD
6
1 QW
rZe5
4ac
5
Ze2D , D
2
1DD,, ZeQ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
o
2
2
zz
o
2
2
yy
o
2
2
xx
i
iP
222
zzzzyyxx
i
i
∂
ϕ∂−=
∂
ϕ∂+
∂
ϕ∂⇒=
∂
ϕ∂+
∂
ϕ∂+
∂
ϕ∂
∂
ϕ∂+
∂
ϕ∂+
∂
ϕ∂+⋅−ϕ=
η=−=−====
∑
∑
Eµµµµ
0000µµµµ
( )o
2
321
2
zzPz
x ,x,xD
4
1 Ze W
∂
ϕ∂+=
MOOPOL
Q
DIPOL
Rα
Q
MOOPOL
R
KWADRUPOL
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
70
• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dipola z dipolem
o
2
o
PRxx
dQ24
W ∑∑κ λ λκ
κλ
⋅
∂∂∂
⋅⋅⋅πε
=111
δ−=δ⋅−=
=∂
∂⋅−⋅
∂∂
−=
−
∂∂
=
⋅
∂∂
∂∂
=⋅∂∂
∂
κλλκ
κλλκ
λ
κ
λκ
κ
λκλλκ
2335
333
2
R
xx3
RRR
xx3
x
x
R
Rxx
R
x
xRxxRxx
11
1111
δ−⋅⋅⋅
πε= κλ
λκ
κ λκλ∑∑ 23
o
PR
xx3d
R
Q
24W
11
( )
−⋅
⋅⋅
πε=
⋅−=
34
o
P
RRR
3
4
W
222
21
1 µµµµµµµµ
µµµµ
RRE
E ( )( )
⋅−
⋅⋅⋅
πε−=
3
2
5
2
o
PRR
3
4W
µµµµµµµµµµµµµµµµ 111 RR
22
222
222
cos
cosR
cosR
α−α=α
αµµ=⋅
αµ=⋅
αµ=⋅
11
111
111
µµµµµµµµ
µµµµ
µµµµ
R
R
⇒
( )223
o
2P coscoscos3
R4W 11
1 α−αα⋅πε
µµ−=
µ1 µ2
α2α1
α12
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
71
PRZYKŁAD
• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dipola z kwadrupolem
0
0
0
2
=α
=α
=α
12
1
3
o
2P
R4
2W
πε
µµ−= 1⇒
π=α
π=α
=α
2
2
0
1
1
3
o
2P
R4
2W
πε
µµ= 1⇒
0
2
2
2
=α
π=α
π=α
12
1
3
o
2P
R4W
πε
µµ= 1⇒
π=α
π=α
π=α
12
1
2
2
23
o
2P
R4W
πε
µµ−= 1⇒
2
0
2
2
π=α
=α
π=α
12
1
0Wp =⇒
( )
( ) ( )R, , R
cos
4x,x,x
xx
x,x,xd
2W
2
o
32
0
32
2
P
µµµµ∠=ααµ
⋅πε
=ϕ
∂∂
ϕ∂⋅=
λκκ λκλ∑∑
1-
1
1
1
0
2
o
PRxx
dcos24
W
⋅
∂∂
∂∂
αµ⋅⋅πε
=λκκ λ
κλ∑∑111-
⇓
µ1 µ2
µ1 µ2
µ1
µ2
R
KWADRUPOL DIPOL
µ
µ2µ1
µ1 µ2
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
72
• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania kwadrupola z kwadrupolem
0
2
o
PRxx
dcos24
W
⋅
∂∂
∂∂
αµ⋅⋅πε
=λκκ λ
κλ∑∑111-
δ−=
δ+
−−=
=
∂
∂+
∂∂
−=
−
∂∂
=
∂∂
∂∂
=∂∂
∂
κλλκ
κλλκ
κ
λ
κλ
λ
κλκλκ
2446
44422
2
R
xx4
R
2
RR
xx42
x
x
RRxx2
R
x2
xRxxRxx
1
1111
δ−⋅
αµ⋅
πε= κλ
λκ
κ λκλ∑∑ 24
o
PR
xx4d
R
cos
4W
1-
( )
( )
δ−⋅⋅
πε=ϕ
∂∂
ϕ∂=
µννµ
µ νµν
βαα βαβ
∑∑
∑∑
35
II
o
32
0
32
2
I
P
RR
xx3d
24x,x,x
xx
x,x,xd
2W
111
1
1
1
⇓
0
557
III
o
P
0
35
III
o
P
R
x3
x
xx
R
3
R
xxx5d
xd
44W
RR
xx3d
xxd
44W
δ+
∂
∂⋅+
−
∂∂
⋅⋅πε
=
δ−
∂∂
∂∂
⋅⋅πε
=
αµν
α
νµνµα
µ νµν
βα βαβ
µννµ
µ νµν
αβα βαβ
∑∑∑∑
∑∑∑∑
111
111
0
2
24
III
5
o
P
xx
xx3
x
xxx
x
xxxxx
R
5xxxx
R
05
ddR44
W
∂∂
∂+δδ+
∂
∂+
∂
∂+δ−⋅
⋅⋅⋅πε
=
βα
νµµναβ
β
νµα
α
νµββαµννµβα
α β µ νµναβ∑∑∑∑
11
111
KWADRUPOL IIKWADRUPOL I
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
73
• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania kwadrupola z kwadrupolem -wzór szczegółowy
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
−++
+
−++
+
−++
+
−++
+
−++
+
−++
+
−++++
+
−++++
+
−++++
+
+−−+++
+
+−−+++
+
+−−+++
+
+−+
+
+−+
+
+−⋅⋅⋅
πε=
24
3II
zz
I
yz
II
yz
I
zz
24
3II
zz
I
xz
II
xz
I
zz
24
3II
yy
I
yz
II
yz
I
yy
24
3II
yy
I
xy
II
xy
I
yy
24
3II
xx
I
xz
II
xz
I
xx
24
3II
xx
I
xy
II
xy
I
xx
24
2II
xz
I
yz
II
yz
I
xz
II
zz
I
xy
II
xy
I
zz
24
2II
xy
I
yz
II
yz
I
xy
II
yy
I
xz
II
xz
I
yy
24
2II
xy
I
xz
II
xz
I
xy
II
xx
I
yz
II
yz
I
xx
2
2
2
2
4
22II
zy
I
yz
II
yy
I
zz
II
zz
I
yy
2
2
2
2
4
22II
xz
I
xz
II
xx
I
zz
II
zz
I
xx
2
2
2
2
4
22II
xy
I
xy
II
xx
I
yy
II
yy
I
xx
2
2
4
4II
zz
I
zz
2
2
4
4II
yy
I
yy
2
2
4
4II
xx
I
xx5
o
P
R
yz45
R
yz05dd2 dd2
R
xz45
R
xz05dd2 dd2
R
yz45
R
zy05dd2dd2
R
xy45
R
xy05dd2dd2
R
xz45
R
zx05dd2 dd2
R
xy45
R
yx05dd2 dd2
R
xy5
R
xyz05dd4 dd4 dd2dd2
R
xz5
R
zxy05dd4dd4dd2dd2
R
yz5
R
yzx05dd4 dd4dd2dd2
3R
z5
R
y5
R
zy05 dd4 dd dd
3R
z5
R
x5
R
yx05 dd4 dd dd
3R
y5
R
x5
R
yx05dd4dddd
9R
z90
R
z05 d d
9R
y90
R
y05dd
9R
x90
R
x05dd
R44W
1
1
1
1
1
1
11
11
11
111
111
111
1
1
1111
KWADRUPOL IIKWADRUPOL I
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
74
PRZYKŁADEnergia potencjalna wzajemnego oddziaływania dwóch kwadrupoli liniowych leżących na
wspólnej osi:
Pierwszy sposób
Drugi sposób
Trzeci sposób
( )
( )
532
2
0
32
2
P
3
o
2
32
2
xx
x
2
xx
xR
xx
x,x,xd
2W
R4
Ql2x,x,x
0Q ,Ql2d
11
1 1
1
=∂∂
=
∂∂
ϕ∂⋅=
πε=ϕ
>=
βαα βαβ∑∑
( )0
2
32
2
xxPx
x,x,xd
2W
∂
ϕ∂⋅= 11
0
32
22
o
pxx
Ql24
W
∂∂
⋅πε
=11
⇒
⇒
⇓
⇓
−+
⋅πε
=
−+
++
−−
+−
πε=
+
−+
−+
−+
++++
−+
+
++++
−+
++
++
++
πε=
4
4
2
25
42
o
P
22222
o
P
8474645483736353
827262528765
o
P
R
l4
R
l3R
lQ24
4W
l2R
Q
l2R
Q
lR
Q4
lR
Q4
R
Q6
4W
R
lR
lR
l2R
lR
R
R
lR
lR
R
R
lR
l2R
lR
lR
R
4W
1
1
1
1 1111
5
42
o
PR
lQ24
4W ⋅
πε=
1lR >>
( )
2
i
2
iizz
2
i
2
iiyy
222
i
2
iixx
Ql2xQD
Ql2xQD
Ql4Ql00Ql2xQ2D
−=−=
−=−=
=+++==
∑
∑
∑
5
42
o
PR
lQ24
4W ⋅
πε=
1
l l ll1 2 3 4 5 6 7 8
⇒
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
75
PRZYKŁAD
532
2
3
2
o
2
xx
2
2
2
2
2
2
xxzzyy
2
2
zz2
2
yy2
2
xxP
x
2
xx
xR
R
Ql2
4
Ql4D
0zyx
D2
DD
zD
yD
xD
6W
11
1
1
1
=∂
∂
=
⋅πε
=ϕ
=
=∂
ϕ∂+
∂
ϕ∂+
∂
ϕ∂
−==
∂
ϕ∂+
∂
ϕ∂+
∂
ϕ∂=
2
2
xxP
2
2
2
2
2
2
xxP
xD
4W
zy2xD
6W
∂
ϕ∂=
∂
ϕ∂+
∂
ϕ∂−
∂
ϕ∂=
1
1 1
5
42
o
PR
lQ24
4W ⋅
πε=
1
⇒
⇒
⇒
⇓
⇓
( )
+−−++
+
+−+
+−⋅⋅⋅
πε=
3R
y5
R
x5
4R
yx05dddd
9R
y90
R
y05dd 9
R
x90
R
x05dd
R44W
2
2
2
222II
xx
I
yy
II
yy
I
xx
2
2
4
4II
yy
I
yy2
2
4
4II
xx
I
xx5
o
P
111
11111
0y
Rx
Qld
Qld
Qld
Qld
2II
yy
2II
xx
2I
yy
2I
xx
=
=
−=
=
−=
=
5
42
o
PR
lQ
4
57
4W ⋅⋅
πε=
1
x
y
2
3
4
1
KWADRUPOL IIKWADRUPOL I
l
l
l
l
l
ll
l
5
6
7
8
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
76
24 EERGIA POTECJALA WZAJEMEGO ODDZIAŁYWAIA MIĘDZYPUKTOWYMI ŁADUKAMI ELEKTRYCZYMI
• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dwóch ładunków punktowych Energia potencjalna Wp wzajemnego oddziaływania układu dwóch ładunków punkto-
wych q1 i q2 , znajdujących się w odległości r12 od siebie, jest równa pracy jaką wykonują
siły elektryczne przy rozsuwaniu tych ładunków na odległość nieskończenie wielką.
Ujemny przyrost energii potencjalnej układu ładunków, związany ze zmianą położenia tych
ładunków względem siebie, równy jest pracy wykonywanej przez siły elektryczne (działające
między ładunkami) podczas zmiany ich względnego położenia.
Wsił el = -∆Wp
• Energię potencjalną Wp wzajemnego oddziaływania układu dwóch ładunków
punktowych q1 i q2 wyrazimy w innej postaci.
ϕ1 = potencjał pola pochodzący od ładunku q2 w punkcie zajmowanym przez ładunek q1
ϕ2 = potencjał pola pochodzący od ładunku q1 w punkcie zajmowanym przez ładunek q2
ϕk = potencjał pola pochodzący od wszystkich ładunków prócz ładunku qk w punkcie
zajmowanym przez ładunek qk
( )
0
r
q
4
qW
WW
B
2o
A
2
BABA
BAP
=ϕ
⋅πε
=ϕ
=
ϕ−ϕ=
=
→
→
1
11
2
2
o
Pr
4W
1
11⋅
πε=⇒
⇓
ODPYCHANIE 0 WP ⇔> 0 WP ⇔< PRZYCIĄGANIE
11
1
1
1
1
1
22
2o
12
2o
2
2o
2P
rr
r4
q
r4
q
r4
qqW
=
πε=ϕ
πε=ϕ
πε= ( )22P qq
2W ϕ+ϕ= 11
1
∑=
ϕ=n
k
kkP q2
W1
1
⇓
⇒
Ogólnie:
)(B ∞A )(B
q1 q2r12
12r
1~WP
12r
1−~WP
Ładunki jednoimienne
Ładunki różnoimienne
12r
1~WP
12r
1−~WP
Wp
r12
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
77
• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dowolnego układu ładunków punk-towych
PRZYKŁADEnergia potencjalna wzajemnego oddziaływania trzech ładunków punktowych q1, q2, q3 :
Rozważania o energii potencjalnej zakończymy, podając jeszcze raz jej definicję.
• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania ciągłego rozkładu ładunków
ikki
n
kii ki
i
o
k
n
1k
kkP
rr
r
q
4
q2
W
=
⋅πε
=ϕ
ϕ⋅=
∑
∑
≠=
=
1
1
1
ki , r
42W
n
k
n
i ki
ik
o
P ≠⋅πε
⋅= ∑∑= =1 1
11
⇒
+++++⋅
πε⋅=
32
23
3
3
23
32
2
2
3
3
2
2
o
Pr
r
r
r
r
r
42W
1
1
1
1
1
1
1
111
++⋅
πε=
23
32
3
3
2
2
o
Pr
r
r
4W
1
1
1
11
Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania układu ładunków punktowych jest równa
pracy jaką wykonują
1. siły zewnętrzne przy tworzeniu tego układu ze spoczywających ładunków znajdujących
się w nieskończenie dużej odległości od siebie, lub
2. siły wewnętrzne przy likwidacji tego układu polegającej na usunięciu każdego ładunku
oddzielnie do nieskończoności, tak by w stanie końcowym odległość między każdą parą
ładunków była nieskończenie duża.
Oczywiście w obu przypadkach zakładamy, że energia potencjalna jest równa zeru w stanie,
gdy odległość między każdą parą ładunków jest nieskończenie duża.
Wzór ∑=
ϕ=n
k
kkP q2
W1
1 dostosujemy do przypadku ciągłego rozkładu ładunków w danej
objętości z gęstością objętościową ρ = dq/dV , na danej powierzchni z gęstością powierz-
chniową σ = dq/ds, na danej linii z gęstością liniową λ = dq/dl .
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫ ∫∫
λϕ+σϕ+ρϕ=
λ=σ=ρ=
lSV
P
lV S
dl2
dS2
dV2
W
dlq , dSq , dVq
111
ϕ = potencjał pola wszystkich ładunków objętościowych, powierzchniowych i liniowych
w elemencie objętości dV, na elemencie powierzchni dS i na elemencie liniowym dl
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
78
25 EERGIA POLA ELEKTRYCZEGO
• Energia pola elektrycznego ciągłego rozkładu ładunków
Energia pola elektrycznego jest sumą energii własnych ładunków będących źródłem pola ele-
ktrycznego i energii wzajemnego oddziaływania tych ładunków. Energia własna ładunku jest
równa pracy jaką wykonałyby siły wzajemnego odpychania się tworzących go składników
przy hipotetycznym oddalaniu się ich do nieskończoności. Dodatnia energia własna ładunków
jest niemniejsza od energii wzajemnego oddziaływania między nimi. Prześledźmy to na przy-
kładzie dwóch ładunków q1 i q2, które są źródłem pól o natężeniach E1 i E2. Energia pola
wypadkowego o natężeniu E = E1+E2 wyniesie:
W11,W22 = energie własne ładunków q1 i q2
W12 = energia wzajemnego oddziaływania ładunków q1 i q2
Wzór ∫∫∫∫ ∫∫ λϕ+σϕ+ρϕ=lV S
P dl2
dS2
dV2
W111
sprowadzimy do postaci ∫∫∫ε=V
2
oP dVE2
W1
,
której można nadać piękną interpretacje fizyczną. Dla prostoty rozpatrzymy przypadek
σ = 0, λ = 0.
Energia ∫∫∫ε=V
2
o dVE2
W1
jest energią pola elektrycznego zlokalizowaną w przestrzeni
z gęstością objętościową 2
o
df
E2dV
dW ε==
1w .
∫∫∫
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫
ε=
=ρϕ=ε
=
+
ερϕ
−
V
2
oP
P
VV
2
o
V
2
o
dVE2
W
WdV2
dVE2
0dV E
1
1 1
⇒
( )
( ) ( ) . dV εdV 2ε2
W
, dVEε2
W
, dVEε2
W
, WWWW
, dV 2ε2
dVEε2
dVEε2
dVEε2
W
V
21o
V
21o12
V
2
2o22
V
2
1o11
122211
V
21o
V
2
2o
V
2
1o
V
2
o
1
1
1
1111
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
⋅=⋅=
=
=
++=
⋅++==
EEEE
EE
( )[ ]
( ) 0 bo 0d
grad
d dV
Greena eTwierdzeni
0 0, ,dV2
W
S
o
2
SV
22
V
P
=∞ϕ=⋅ϕ∇ϕ
ερ
−=ϕ∇
−=ϕ=ϕ∇
⋅ϕ∇ϕ=ϕ∇+ϕ∇ϕ
=λ=σρϕ=
∫∫
∫∫∫∫∫
∫∫∫
S
E
S
1
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
79
• Energia pola elektrycznego odosobnionego naładowanego przewodnika jest równa
pracy jaką należy wykonać, aby go naładować. Niech dW oznacza pracę jaką należy wyko-
nać, aby przenieść ładunek dq z nieskończoności na przewodnik.
PRZYKŁADEnergia pola równomiernie naładowanej kuli o promieniu R:
• Energia własna ładunku punktowego
UWAGAŁadunek punktowy ma nieskończenie wielką energię własną. Przytoczone powyżej rozumo-
wanie jest wynikiem nieporozumienia. Elektrodynamika klasyczna nie czyni żadnych założeń
o strukturze ładunków i prądów. Ładunek punktowy jest pojęciem nieprecyzyjnym, modeluje
on tylko symetrycznie sferyczne rozkłady ładunków (powierzchnia sferyczna naładowana ze
stałą gęstością powierzchniową ładunku σ i kula naładowana ze stałą gęstością objętościową
ładunku ρ w odległości od środka każdej z nich nie mniejszej niż promień odpowiednio sfery
i kuli) oraz dowolny układ ładunków w odpowiednio dużej odległości od punktu obserwacji.
Jak uczy fizyka kwantowa małe ładunki są obiektami rozmytymi w przestrzeni.
( )
2
2d
Cq
Cddq
0
dqdW
ϕ=ϕϕ
ϕ=
ϕ=
=ϕ
ϕ−ϕ=
∫
∞
∞
1
⇒
C2
q
2
q
2
CW
2
CdCdCdqW
dqdW
22
2
00 0
=ϕ
=ϕ
=
ϕ=ϕϕ=ϕϕ=ϕ=
ϕ=
∫∫ ∫ϕϕ ϕ
R4C
rdr
r
drr4dV
r
q
4E
dVE2
W
o
2
2
2
o
V
2
o
πε=
−=
π=
⋅πε
=
ε=
∫
∫∫∫
11
1
1
R8
q
r8
qdr
r8
qW
o
2
Ro
2
R
2
o
2
πε=
−πε
=πε
=∞∞
∫11
⇓
rdr
r
drr4dV
r
q
4E
dVE2
W
2
2
2
o
V
2
o
11
1
1
−=
π=
⋅πε
=
ε=
∫
∫∫∫ ∞=
πε
−=πε
=∞∞
∫0o
2
0
2
o
2
r8
qdr
r8
qW
11
∞=W⇒
⇓
r
dr
R
r
dr
q
C2
qW
2
=⇒
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
80
26 RUCH ŁADUKÓW W POLU ELEKTRYCZYM
• Przyspieszenie, energia kinetyczna, prędkość i pęd ładunku w jednorodnym stałympolu elektrycznym
• Równoległe i antyrównoległe wejście ładunku w jednorodne stałe pole elektryczne
qEF
maF
=
=E
m
qa ⋅=⇒
m2
pE
mvp
qUW
EW
2
mvE
2
k
k
2
k
=
=
=
∆=
=
mqU2p m
qU2v qUE
0 v
qUE
k
o
k
=⇒=⇒=
=
=∆
0q
0
const
>
=
=→
ov
E
⇒
⇒
const=→ F
0q
0
const
<
=
=→
ov
Econst=← F
ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony
ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
0q
const
>
→
=→
ov
Econst=→ F
ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony
0q
const
<
→
=→
ov
E const=← F
0q
const
>
←
=→
ov
E
ruch prostoliniowy jednostajnie opóźniony, a po zatrzymaniu
się i zmianie kierunku prędkości – jednostajnie przyspieszony
ruch prostoliniowy jednostajnie opóźniony, a po zatrzymaniu
się i zmianie kierunku prędkości – jednostajnie przyspieszony
const=→ F
0q
const
<
←
=→
ov
E
ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony
const=← F
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
81
• Prostopadłe wejście ładunku w jednorodne stałe pole elektryczne
• Skośne wejście ładunku w jednorodne stałe pole elektryczne
tvZ
2
ath
maF
qEF
o
2
=
=
=
=
Em
qa ⋅=
a
h2t =
Em
q
h2vZ o
⋅=
22
2
o
ZE
hv2
m
q=
α=αα
⋅α=
=
→
α→
→
⋅+
=
=
=
⋅−→
α→
→
→
+=
=
↑
↑
↑
↑
2sinsincos2
tcosvZ
?Z
tt
sin vv
h S
t2
v vS
?h
t2t
Em
q a
sinv v
0 v
t t
atvv
?t
o
oo
max
o
max
oo
o
=↑t czas, po którym ładunek znajdzie się w wierzchołku paraboli
⇒
⇒ ⇒
a
vvt o−
=
Em
q
sinvt o
⋅
α=↑
Em
q
sinv2t o
⋅
α=
⇓
Em
q2
sinvh
22
omax
⋅⋅
α=
Em
q
sincosv2Z
2
o
⋅
αα=
Em
q
2sinvZ
2
o
⋅
α=
⇒
⇒ ⇒
E
h
Z
q>0
q<0
α
vo
Z
hmax
E
q>0 α
vo
v sino α
v coso α
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
82
• Atom wodoru (model Bohra)
Pk
o
2
P
2
k
2
o
2
e
2
ed
ed
WWW
R4
eW
2
mvW
RR4
e
RR
vm
+=
πε−
=
=
⋅πε
−=
⋅−=
=
RF
RF
FF
Przeprowadzone obliczenia pozornie wyglądają na poprawne. Zgodnie z fizyką klasyczną,
krążący wokół jądra elektron powinien emitować energię w postaci fali elektromagnetycz-
nej i po torze spiralnym spaść na jądro. Według Bohra, elektron poruszając się wokół jądra
po tzw. stacjonarnych orbitach, spełniających warunek
( ) , ... 4, 3, 2, ,n , nRvm 1nne == h
nie emituje energii.
sJ0054,2
h
sJ0625,6h
kg009,9m
C0602,e
R8
eW
T
R2v
vm4
eR
nRvm
34
34
3
e
9
no
2
n
n
nn
2
neo
2
n
nne
⋅⋅=π
=
⋅⋅=
⋅=
⋅=
⋅πε
−=
π=
⋅πε
=
=
−
−
−
−
11
1
11
11
1
1
1
1
h
h
2
o
22
e
R4
e
R
vm
πε=
2
eo
2
vm4
eR
πε=
R8
eW
o
2
k πε=
R8
eW
o
2
πε−=
2W
W
P
k 1−=
⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇓
⇓
2
2
e
2
on n
em
4R ⋅
πε=
h
n4
ev
o
2
n
1⋅
πε=
h
3
4
e
32
o3
4
e
32
o
3
n nem
h4n
em
32T ⋅
ε=⋅
επ=
h
22
o
2
4
en
n32
emW
1⋅
επ−=
h
⇒
⇒
⇒
⇒
R
F
ee
STAŁE POLE ELEKTRYCZNE
83
2
no
2
n
2
no
2
np
2
2
n
2
ne
nk
nnnnen
4nnen
4
n
2
nn
nnen
n
n
n
nn
3
n
2
n
n~
R8
eW
n~
R4
eW
n~v~
2
vmW
n~Rv~RvmL
n~a~amF
n~
R
va
n~v~vmp
n~
T
R~
T
R2v
n~T
n~R
1
1
1
1
1
1
1
−πε
−=
−πε
−=
=
=
=
=
=
π=
2n
2np
2nk
n
4n
4n
n
n
3
n
2
n
n~W
n~W
n~W
n~L
n~F
n~a
n~p
n~v
n~T
n~R
1
1
1
1
1
1
1
−
−
⇒
n = główna liczba kwantowa, czyli numer dozwolonej stacjonarnej orbity
Rn = promień n-tej dozwolonej stacjonarnej orbity
Tn = okres obiegu n-tej dozwolonej stacjonarnej orbity
vn = prędkość elektronu na n-tej stacjonarnej orbicie
pn = pęd elektronu na n-tej stacjonarnej orbicie
an = przyspieszenie dośrodkowe elektronu na n-tej stacjonarnej orbicie
Fn = siła dośrodkowa działająca na elektron na n-tej stacjonarnej orbicie
Ln = moment pędu elektronu na n-tej stacjonarnej orbicie
Wkn = energia kinetyczna atomu wodoru, gdy elektron znajduje się na n-tej orbicie
Wpn = energia potencjalna atomu wodoru, gdy elektron znajduje się na n-tej orbicie
Wn = energia całkowita atomu wodoru, gdy elektron znajduje się na n-tej orbicie
84
85
KODESATOR PŁASKI
1 KODESATOR PŁASKI I JEGO POJEMOŚĆ
• Kondensator płaski stanowi układ dwóch płaskich równoległych płytek metalowych,
zwanych jego okładkami, naładowanych ładunkami o takich samych wartościach bezwzględ-
nych, ale przeciwnych znakach.
U U
+ -
+ -
+ -
+ -
Q Q
U = napięcie między okładkami kondensatora
Q = ładunek na dodatniej okładce kondensatora
• Pojemnością C kondensatora nazywamy stosunek ładunku Q na okładce dodatniej do
napięcia U między okładkami.
U
Q C =
UWAGA
Dla danego kondensatora: C = const , U ~ Q .
• Kondensator płaski modelowany jest dwoma nieskończonymi płaszczyznami
równoległymi naładowanymi różnoimiennymi ładunkami o gęstościach powierzchniowych
+ σ i - σ .
Z prawa Gaussa wynika, że w obszarze między tymi płaszczyznami:
ro
Eεε
σ= lub
S
Q E
roεε= ,
a na zewnątrz E = 0 .
E = natężenie pola elektrycznego w obszarze między okładkami kondensatora
σ = gęstość powierzchniowa ładunku, czyli stosunek ładunku Q zgromadzonego na da-
nej powierzchni do pola S tej powierzchni
σ = Q/S
oε = przenikalność dielektryczna próżni
oε = 8,85 · 10 12− F/m
rε = względna przenikalność dielektryczna ośrodka lub stała dielektryczna, czyli liczba
mówiąca ile razy pojemność danego kondensatora z dielektrykiem, znajdującym się
między jego okładkami, jest większa od pojemności tego kondensatora, gdy między jego
okładkami jest próżnia
KONDENSATOR PŁASKI
86
S = pole powierzchni jednej okładki kondensatora
d = odległość między okładkami kondensatora
UWAGA
• Na zewnątrz kondensatora nie ma pola elektrycznego, E = 0. Wewnątrz kondensatora
pole elektryczne jest jednorodne. Na brzegach okładek kondensatora pole elektryczne bywa
niejednorodne.
W celu zlikwidowania niejednorodności pola elektrycznego na brzegach okładek kondensa-
tora płaskiego stosuje się w praktyce pierścień ochronny.
• Jeżeli kondensator tworzą płytki różnego kształtu i wielkości, to przy przybliżonym obli-
czaniu pojemności za S podstawiamy pole tzw. powierzchni czynnej, czyli wspólnej części
płyt znajdujących się nad sobą.
S
Q E
d
U E
U
Q C
roεε=
=
=
⇒d
S C r0εε=
Ostatni wzór jest tym dokładniejszy, im d2 jest mniejsze od S.
1r ≥ε
1r =ε tylko dla próżni
rε >1 dla wszystkich dielektryków
rε = 1,00059 dla powietrza
+
+
+
+
-
-
-
-E =0 E =0
S
KONDENSATOR PŁASKI
87
2 POŁĄCZEIA KODESATORÓW
• Połączenie równoległe kondensatorów
UWAGAPołączenie równoległe trzech kondensatorów można przedstawić na różne sposoby:
• Połączenie szeregowe kondensatorów
C
1C 2C 11 Q/U C =
1U 2U 22 Q/U C = ⇒
Q Q ( )21 U UQ/ C += ( ) ( )21 1/C 1/C 1/C +=
UWAGA
Korzystając ze wzoru 21 C
1
C
1
C
1+= , pamiętaj o odwróceniu wyniku C
C
1→
lub używaj postaci 21
21
C C
CC C
+= .
W połączeniu szeregowym kondensatorów ładunek na każdej okładce jest co do
bezwzględnej wartości taki sam, a odwrotność pojemności zastępczej jest równa
sumie odwrotności pojemności poszczególnych kondensatorów.
C2
C1 Q1
Q1
U
C
C = C +C 1 2( Q +Q )/U1 2= C
Q /U2= C 2
Q U1/= C 1
W połączeniu równoległym kondensatorów napięcie na każdym kondensatorze jest
takie samo, a pojemność zastępcza jest równa sumie pojemności poszczegól nych
kondensatorów.
KONDENSATOR PŁASKI
88
TWIERDZEIEW przypadku połączenia szeregowego n identycznych kondensatorów, każdy o pojemności
C, pojemność zastępcza jest n-krotnie mniejsza niż C.
TWIERDZEIEW połączeniu szeregowym dowolnej liczby różnych kondensatorów pojemność zastępcza jest
mniejsza od najmniejszej pojemności w sieci.
• Połączenia mieszane kondensatorów szeregowo-równoległe Poniżej podamy dwa proste przykłady połączeń mieszanych kondensatorów szeregowo-
równoległych. Obliczenie pojemności zastępczej polega na kolejnym upraszczaniu danej sieci
kondensatorów.
• Połączenia mostkowe kondensatorów
Sieć ta jest przykładem mostkowego połączenia kondensatorów. W przypadku, gdy
4231 CC CC = , kondensator 5C można pominąć, redukując sieć do połączenia szeregowo-
równoległego.
C3
C2
C1
C3
C = C +C12 1 2
(C +C )C1 2 3
C +C +C1 2 3=C123
C3
C2C1
C3
C +C1 2
C C1 2=C12
C3+C1 C2
C C1 2=C123
C3
C 2 C1
C4
n
CCzast =
C C C C
n
CCzast =
KONDENSATOR PŁASKI
89
TWIERDZEIE
DOWÓD
PRZYKŁADNajbardziej popularna ilustracja omawianego twierdzenia:
Oba układy są identyczne. Ponieważ CC CC ⋅=⋅ , kondensator czerwony można pominąć.
Pojemność zastępcza zredukowanej sieci wynosi C.
PRZYKŁADNiekiedy pojawia się bardziej wyrafinowany przykład w postaci następującego pytania. Czy
istnieje sieć utworzona z nieparzystej liczby kondensatorów taka, że usunięcie z niej jednego
kondensatora nie zmieni pojemności zastępczej?
• Zwarty kondensator
ϕ−ϕ=
ϕϕ=
ϕ−ϕ=
ϕ−ϕ=
=
=
ϕ=ϕ=ϕ
⇓
=
QC
-
QC
QC
QC
0U
1
4
4
3
3
3
3
2
2
1
1
1
43
21
42
5
4231 CCCC ⋅=⋅
334441
344
55
22
322211
CC
C U
CC
1
ϕϕϕϕ
++
ϕ
ϕ
++
ϕϕϕϕ
⇒
42315 CC CC 0 U =⇔=
Zwarty kondensator nie jest kondensatorem.
CC
CC
C
C
C
C
C Czast zast= ? = ?
KONDENSATOR PŁASKI
90
• Kondensator z płytką metalową między okładkami Jak zmieni się pojemność kondensatora po włożeniu między jego okładki płytki metalo-
wej o grubości x?
d1 d2
d
x
d
S C 0ε= x - d d d d d x d 2121 =+⇒=++
Po włożeniu płytki metalowej układ można rozpatrywać jako dwa kondensatory połączone
szeregowo.
d1 d2
. d
S C ,
d
S C
2
0
2
1
0
1
ε=
ε=
C1 C2
3 POJEMOŚĆ PŁASKIEGO KODESATORA Z WARSTWAMI RÓŻYCH
DIELEKTRYKÓW
Wykorzystując prawo Gaussa, obliczymy ponownie natężenie pola elektrycznego w kon-
densatorze z jednorodnym dielektrykiem całkowicie wypełniającym przestrzeń między okład-
kami kondensatora.
• Opis powierzchni Gaussa Powierzchnia Gaussa jest w tym przypadku powierzchnią prostopadłościanu, którego jed-
na para ścian równoległych jest równoległa do okładek kondensatora. Pole powierzchni każ-
dej z tych ścian jest identyczne z polem powierzchni okładki kondensatora.
• Obliczanie strumienia natężenia pola elektrycznego Strumień natężenia przez ściany powierzchni Gaussa prostopadle do okładek jest równy
zeru ze względu na równoległość wektora natężenia do tych ścian. Niezerowy strumień otrzy-
mujemy jedynie dla jednej ze ścian powierzchni Gaussa równoległej do okładek. Całkowity
strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię Gaussa wynosi:
S E E ⋅=Φ .
++ + + + +
E.. .
.
. . . . .
. . . .
.
.
. .
.
. . . . . . . . . . . . .
.
. . .
.. .
.
. . . . .
. . . .
.
.
. . .
. . . . . . . . . . . . .
.
. . . .
.
++ + + + +
E.. .
.
. . . . . .
. . .
. .
.
. . . . . . . . . . . . .
.
. . .
.. .
.
. . . . .
. . . .
.
.
. . .
. . . . . . . . . . . . .
.
. . . .
.
. xd
d
C
C ,
xd
Sε
dd
Sε
CC
CCC xo
21
o
21
21x −
=−
=+
=+
=
d
x1
CC lub
xd
dCC xx
−=
−
⋅=
KONDENSATOR PŁASKI
91
Na mocy twierdzenia Gaussa:
ro
Εεε
Q SE Φ =⋅= lub
Sεε
Q E
ro
= .
UWAGAW przypadku płaskiego kondensatora, wypełnionego równoległymi warstwami różnych
jednorodnych dielektryków, natężenie pola w każdej warstwie wynosi:
S
Q E
io
i εε= .
• Pojemność kondensatora z dwoma szeregowymi warstwami różnych dielektryków
S
Q E
S
Q E
d
E
d
E
Q C
20
2
10
1
2
22
1
11
21
εε=
εε=
ϕ−ϕ=
ϕ−ϕ=
ϕ−ϕ=
⇒
2
2
1
1
0
d
d
S C
ε+
ε
ε= ⇐
⇑ Rozwiązanie można również uzyskać traktując ten układ jako dwa kondensatory połączone
szeregowo 21
21
2
202
1
101
C C
CC C ,
d
S C ,
d
S C
+
⋅=
εε=
εε= .
• Pojemność kondensatora z wieloma szeregowymi warstwami różnych dielektryków
n
n
2
2
1
1
0
d
d
d
S C
ε++
ε+
ε
ε=
L
• Pojemność kondensatora z płytką dielektryczną o grubości x w środku
x d d d
x d
1
1
d
d
d
S C
21
2
3
r2
1
3
3
2
2
1
1
0
−=+
=
=ε
ε=ε
=ε
ε+
ε+
ε
ε=
⇒
x d x
S C
r
o
−+ε
ε= ⇐
1d 2d 3d
x
d
1ε 2ε 3ε
1E 2E
1ε 2ε
1ϕ 2ϕϕ
1d 2d
KONDENSATOR PŁASKI
92
• Pojemność kondensatora z dwoma równoległymi warstwami różnych dielektryków
Układ ten można potraktować jako dwa kondensatory
S1 S2 połączone równolegle o pojemnościach C1 i C2.
4 EERGIA POLA ELEKTRYCZEGO W KODESATORZE
• Energia Wee pola elektrycznego w kondensatorze jest równa energii doprowadzonej do
kondensatora w procesie ładowania go lub jest równa co do bezwzględnej wartości ciepłu ja-
kie wydziela się w oporniku zwierającym kondensator.
Energia pola elektrycznego w kondensatorze jest równa pracy jaką muszą wykonać siły
zewnętrzne, aby ładunek z jednej okładki przenieść na drugą. W związku z przeniesieniem ła-
dunku dQ między okładkami siły zewnętrzne wykonują pracę dWe = UdQ.
Energia We pola elektrycznego w kondensatorze jest równa polu powierzchni pod wykresem
U od Q.
⇓
( )d
S S C 2211o ε+εε=
2122o
211o
1 C C C ,d
S C ,
d
S C +=
εε=
εε=
1ε 2ε
2
QU We =
U
Q
We
2
Q
0
e
Q 2
1 QdQ
U
Q C
UdQdW
∫ =
=
=
2
QU
2
CU
2C
Q W
22
e ===
2C
Q QdQ
C
1 dQ
C
Q UdQ W
2
Q
0
Q
0
Q
0
e ∫∫∫ ====⇒
KONDENSATOR PŁASKI
93
• Różne postacie wzoru na energię pola elektrycznego w kondensatorze
• Jak energia pola elektrycznego w danym kondensatorze zależy od jego pojemności
1. w połączeniu szeregowym kondensatorów?
2. w połączeniu równoległym kondensatorów?
UWAGACałkowita energia układu kondensatorów jest równa sumie energii zgromadzonych w posz-
czególnych kondensatorach układu.
d
UE
d
SC
U
QC
2
QUW
ro
e
=
εε=
=
= 2C
QW
2
e=
2
CUW
2
e=
2
roe EdS2
1W εε=
S2
QdW
ro
2
e εε=⇒
⇒2d
USW
2
ro
e
εε=
⇒
⇒
⇓
W połączeniu szeregowym kondensatorów więcej energii gromadzi się w kondensatorze
o mniejszej pojemności.
W połączeniu równoległym kondensatorów więcej energii gromadzi się w kondensatorze
o większej pojemności.
=W2
1
C1
C2
C2C1
=W2C
2Q
C~W 1
=W2
W1 C1
C2
=W 2CU
2
C~W
C1
C2
U
KONDENSATOR PŁASKI
94
5 GĘSTOŚĆ OBJĘTOŚCIOWA EERGII POLA ELEKTRYCZEGO
• Poprzednio otrzymaliśmy dla energii pola elektrycznego w kondensatorze wyrażenie
2
roe EdSεε2
1 W ⋅⋅= .
Sd = V = objętość przestrzeni między okładkami kondensatora, w której zgromadzona jest
energia pola elektrycznego
Energia jednorodnego pola elektrycznego jest w tej objętości rozłożona równomiernie z gęs-
tością objętościową energii w równą:
UWAGAWzór ten jest poprawny dla dowolnego jednorodnego pola elektrycznego lub dla niejednorod-
nego pola elektrycznego w odpowiednio małym obszarze.
• Pole elektrostatyczne, czyli pole elektryczne, którego natężenie jest stałe w czasie, stanowi
szczególny przypadek pola elektromagnetycznego. Najbardziej spektakularnym wynikiem
teorii pola elektromagnetycznego, rozwiniętej przede wszystkim przez Maxwella, było odkry-
cie fal elektromagnetycznych.
6 SIŁA WZAJEMEGO PRZYCIĄGAIA SIĘ OKŁADEK KODESATORA
• Aby wyznaczyć siłę wzajemnego przyciągania się dwóch okładek kondensatora płaskiego,
przyrównamy pracę, jaką wykonują siły elektryczne przy zmianie odległości między
okładkami kondensatora, do zmiany energii pola elektrycznego w kondensatorze.
ZASTOSOWAIEW oparciu o wzór na U została opracowana przez Kelvina w roku 1860 metoda pomiaru na-
pięcia przy pomocy tzw. elektrometru bezwzględnego, zwanego też woltomierzem absolut-
nym lub wagą napięcia.
Sεε
Q E
d
Sεε C
CU Q
Sε2ε
∆dQ ∆W
∆dF W
∆W W
ro
ro
ro
2
e
elel sił
eel łsi
=
=
=
=
−=
−=S2
Q F
ro
2
el εε=
2
2
roel
d2
SU F
εε=
S
2F d U
ro
el
εε=
QE2
1 Fel =⇒ ⇒
⇓
⇓
2
roe
df
E2
1
V
W εε==w
KONDENSATOR PŁASKI
95
7 DWA STAY AŁADOWAEGO KODESATORA:
ZE ŹRÓDŁEM (U=COST) I BEZ ŹRÓDŁA (Q= COST)
• Jak zmiana parametrów εr, S, d, x wpływa na C, Q, U, We, E?
Płaski kondensator powietrzny naładowano i
I. odłączono od źródła stałego napięcia.
II. pozostawiono ze źródłem stałego napięcia.
Następnie w każdym przypadku:
1. włożono dielektryk do wnętrza kondensatora, εr wzrosło.
2. wyjęto dielektryk z wnętrza kondensatora, εr zmalało.
3. zwiększono powierzchnię okładek kondensatora, lub dołączono równolegle nie nałado-
wany kondensator, S wzrosło.
4. zmniejszono powierzchnię okładek kondensatora, S zmalało.
5. oddalono okładki kondensatora, d wzrosło.
6. zbliżono okładki kondensatora, d zmalało.
7. włożono płytkę metalową do wnętrza kondensatora, x wzrosło.
8. wyjęto płytkę metalową z wnętrza kondensatora, x zmalało.
Zbadaj jak w skutek tego zachowały się w każdym przypadku:
A. pojemność kondensatora, C.
B. ładunek na okładkach kondensatora, Q.
C. napięcie między okładkami kondensatora, U.
D. energia pola elektrycznego w kondensatorze, We.
E. natężenie pola elektrycznego w kondensatorze, E.
• Z faktu, że naładowany kondensator odłączony od źródła charakteryzuje Q = const, a po-
zostawiony ze źródłem U = const, oraz z relacji zestawionych w pionowej ramce, uzyskujemy
odpowiedzi na tytułowe pytanie.
d
U E
C2
Q W
2
CU W
2
QU W
U
Q C
d
x 1
C C
d
S C
2
e
2
e
e
x
ro
=
=
=
=
=
−=
εε=
Kondensator bez źródła
Q = const
Kondensator ze źródłem
U = const
⇒
C U We E
εr
εr
S
S
d const
d const
x
x
C Q We E
εr const
εr const
S const
S const
d
d
x
x
↑ ↑ ↑
↑
↑ ↑ ↑
↑
↑
↑ ↑
↑ ↑
↑
↑
↑
↑
↑
↑ ↑ ↑ ↑
↑
↑
↑
↑↑↑
↑↑↑↑
↑↑↑
↓↓
↓↓
↓↓
↓
↓↓↓
↓↓↓
↓↓
↓↓↓
↓↓
↓↓↓
↓↓
↓↓↓↓
↓↓↓↓
↓
↓
KONDENSATOR PŁASKI
96
8 BILAS EERGII POLA ELEKTRYCZEGO W KODESATORZE
• Dla izotermicznych zmian stanu układu i przy założeniu, że zmiana energii kinetycznej
ciał układu jest do pominięcia, mamy:
eW∆ = zmiana energii pola elektrycznego w kondensatorze
zW∆ = zmiana energii związana z pracą wykonaną przez siły zewnętrzne podczas:
wkładania dielektryka −
wyjmowania dielektryka +
zwiększania powierzchni −
zmniejszania powierzchni +
oddalania okładek +
zbliżania okładek −
wkładania płytki metalowej −
wyjmowania płytki metalowej +
zW∆ = Wsił zew
Fzew = − Fel
aW∆ = zmiana energii związana z:
ładowaniem akumulatora −
rozładowaniem akumulatora +
aW∆ = E∆Q
E = siła elektromotoryczna
cW∆ = zmiana energii związana z wydzielaniem się ciepła Joule’a-Lenza w przewodach
w wyniku przepływu prądu elektrycznego −
cW∆ = − QJL
fW∆ = zmiana energii związana z emisją fal elektromagnetycznych −
+ oznacza, że dany składnik jest dodatni
− oznacza, że dany składnik jest ujemny
elektromagnetycznefale
ciepło układ
źródło napięcia stałego
T = const
fcaze W W W W W ∆+∆+∆+∆=∆
KONDENSATOR PŁASKI
97
• Rozpatrzmy przypadek, dla którego wydzielanie się ciepła Joule’a-Lenza i emisję fal elek-
tromagnetycznych można zaniedbać. Równanie bilansu energii pola elektrycznego w konden-
satorze redukuje się wtedy do postaci:
∆Q W∆W zew sile ε+=
⇓ ⇓
zew silezew sile12
2
1
2
2e
W∆W QUW∆W UCUC ∆Q
constQ const U UC2
1 UC
2
1 ∆W
=∆+=−=
===−= ε
⇓ ⇓
zew sile
e
W W
const U W2 QU
−=∆
=⇒∆=∆
⇓ ⇓
zew silW2 QU −=∆
UWAGARelacja U∆Q = −2 Wsił zew lub ∆Wa = −2 ∆Wz ma następującą interpretację. Wkład do
energii pola elektrycznego w kondensatorze, pochodzący od pracy sił zewnętrznych, jest co do
wartości bezwzględnej dwa razy mniejszy, ale przeciwnego znaku niż wkład pochodzący od
kondensatora. Inaczej mówiąc: jak siły zewnętrzne zabiorą kondensatorowi energię, to
akumulator doda mu dwa razy więcej. Jak siły zewnętrzne dadzą kondensatorowi energię, to
akumulator zabierze mu dwa razy więcej.
KONDENSATOR PŁASKI
98
Kondensator płaski o pojemności C naładowano i odłączono od źródła stałego napięcia.
1. Jaką pracę muszą wykonać siły zewnętrzne, aby n - razy zmienić odległość między okład-
kami kondensatora ? (Jeżeli d wzrośnie n razy, to n > 1. Jeżeli d zmaleje n razy, to n < 1.)
n
C
nd
S C
C d
S C
2C
Q
C2
Q W
W W
const Q
ro2
ro
1
1
2
2
2
e
ezew sil
=εε
=
=εε
=
−=∆
∆=
=
⇒ ( )C2
Q 1 n W
2
zew sil −=
UWAGA Jeżeli d wzrośnie dwa razy, to n = 2 . Jeżeli d zmaleje dwa razy, to n = 2
1 .
2. Jaką pracę muszą wykonać siły zewnętrzne, aby włożyć płytkę metalową o grubości x
między okładki kondensatora?
xd
Cd C
C C
C2
Q
2C
Q W
W W
const Q
2
1
1
2
2
2
e
ezew sil
−=
=
−=∆
∆=
=
⇒ d
x
C2
Q W
2
zew sil ⋅−=
UWAGA Płytka metalowa jest wciągana do kondensatora.
3. Jaką pracę muszą wykonać siły zewnętrzne, aby włożyć dielektryk między okładki
kondensatora?
C d
S C
C d
S C
2C
Q
2C
Q W
W W
const Q
rro
2
o
1
1
2
2
2
e
ezew sil
ε=εε
=
=ε
=
−=∆
∆=
=
⇒ r
r
2
zew sil
1
C2
Q W
ε
ε−⋅=
UWAGA Dielektryk jest wciągany do kondensatora.
4. Jaką pracę muszą wykonać siły zewnętrzne, aby wyjąć dielektryk z kondensatora?
KONDENSATOR PŁASKI
99
r
o2
ro
1
1
2
2
2
e
ezew lsi
C
d
S C
C d
S C
2C
Q
2C
Q W
W W
const Q
ε=
ε=
=εε
=
−=∆
∆=
=
⇒ ( ) 1 2C
Q W r
2
zew sil −ε=
UWAGA Dielektryk jest wciągany do kondensatora.
Kondensator płaski o pojemności C naładowano do napięcia U i pozostawiono z akumu-latorem. Wydzielanie się ciepła Joule’a-Lenza i emisję fal elektromagnetycznych zanied-bujemy.
1. Jaką pracę muszą wykonać siły zewnętrzne, aby n-razy zmienić odległość między okład-
kami kondensatora?
n
C
nd
S C
C d
S C
2
UC
2
UC W
W W
const U
ro2
ro
1
2
1
2
2e
ezew sil
=εε
=
=εε
=
−=∆
∆−=
=
⇒ n
1n CU
2
1 W 2
zew sil
−⋅=
UWAGA Jeżeli d wzrośnie dwa razy, to n = 2 . Jeżeli d zmaleje dwa razy, to n = 1/2 .
2. Jaką pracę muszą wykonać siły zewnętrzne, aby włożyć płytkę metalową o grubości x
między okładki kondensatora?
x d
Cd C , C C
2
UC
2
UC W
W W
const U
21
2
1
2
2e
ezew sil
−==
−=∆
∆−=
=
⇒ xd
dCU
2
1 W 2
zew sil −⋅−=
UWAGA Płytka metalowa jest wciągana do kondensatora.
KONDENSATOR PŁASKI
100
3. Jaką pracę muszą wykonać siły zewnętrzne, aby włożyć dielektryk między okładki kon-
densatora?
C d
S C
C d
S C
2
UC
2
UC W
W W
const U
rro
2
o
1
2
1
2
2 e
ezew sil
ε=εε
=
=ε
=
−=∆
∆−=
=
⇒ ( )r
2
zew sil 1 CU2
1 W ε−=
UWAGADielektryk jest wciągany do kondensatora.
4. Jaką pracę muszą wykonać siły zewnętrzne, aby wyjąć dielektryk z kondensatora?
r
o2
r0
1
2
1
2
2e
ezew sil
C
d
S C
C d
S C
2
UC
2
UC W
W W
const U
ε=
ε=
=εε
=
−=∆
∆−=
=
⇒ r
r2
zew sil
1 CU
2
1 W
ε
−ε⋅=
UWAGADielektryk jest wciągany do kondensatora.
101
DIELEKTRYKI
1 POLARYZACJA DIELEKTRYKÓW
• W dotychczasowych rozważaniach traktowaliśmy dielektryk makroskopowo, jako ośro-
dek nie przewodzący prądu elektrycznego, charakteryzowany przez stałą dielektryczną rε ,
nie wnikając w budowę cząsteczkową tej grupy materiałów.
• Polaryzacja dielektrykówPrzy braku zewnętrznego pola elektrycznego w dielektryku niepolarnym każda cząsteczka ma
moment dipolowy równy zeru, a w dielektryku polarnym suma momentów dipolowych wszy-
stkich cząsteczek jest równa zeru pomimo, że każda cząsteczka ma różny od zera trwały mo-
ment dipolowy. Polaryzacja dielektryka polega na tym, że w zewnętrznym polu elektrycznym
pojawia się w dielektryku różny od zera sumaryczny moment dipolowy cząsteczek. W zew-
nętrznym polu elektrycznym każda cząsteczka dielektryka niepolarnego uzyskuje induko-
wany (wymuszony) elektryczny moment dipolowy indµ skierowany wzdłuż natężenia pola
elektrycznego.
ef0ind αε Eµ =
α = polaryzowalność cząsteczki
[ ]α = m3
Polaryzowalność α cząsteczki nie zależy od temperatury, gęstości oraz ciśnienia.
lµ qind =
q = sumaryczny dodatni ładunek wszystkich jąder w cząsteczce
l = wektor poprowadzony od środka ciężkości elektronów w cząsteczce do środka
ciężkości dodatnich ładunków jąder atomowych
efE = natężenie efektywnego pola elektrycznego, czyli pola, które faktycznie działa na
daną cząsteczkę dielektryka, będącego sumą pola zewnętrznego i pól pozostałych cząste-
czek
Pole efektywne nazywane jest niekiedy polem lokalnym lub skutecznym.
W dielektrykach polarnych zewnętrzne jednorodne pole elektryczne powoduje
ustawienie się momentów dipolowych cząsteczek wzdłuż pola elektrycznego, czemu
przeszkadza ich chaotyczny ruch cieplny. Zewnętrzne pole elektryczne powoduje również
powstawanie w cząsteczkach dodatkowego indukowanego momentu dipolowego.
Na powierzchniach granicznych spolaryzowanego dielektryka, prostopadłych do natę-
żenia zewnętrznego pola elektrycznego, pojawiają się związane ładunki elektryczne będące
źródłem pola elektrycznego o natężeniu mającym taki sam kierunek, ale przeciwny zwrot niż
natężenie zewnętrznego pola elektrycznego. Wypadkowe natężenie pola elektrycznego w ob-
szarze dielektryka jest sumą wektorową natężeń obu pól. Oczywiście, wartość wypadkowego
natężenia jest mniejsza od wartości natężenia zewnętrznego, jednorodnego, stałego w czasie
pola elektrycznego.
DIELEKTRYKI
102
UWAGAJeżeli źródłem pola elektrycznego jest płaski kondensator podłączony do źródła stałego na-pięcia, a jednorodny dielektryk całkowicie wypełnia przestrzeń między okładkami kondensato-ra, to natężenie pola wewnątrz dielektryka jest takie samo jak między okładkami kondensatorabez tego dielektryka. Jeżeli źródłem pola elektrycznego jest płaski kondensator naładowanyi odłączony od źródła stałego napięcia, a jednorodny dielektryk całkowicie wypełnia przestrzeńmiędzy okładkami kondensatora, to natężenie pola wewnątrz dielektryka jest rε razy mniejszeod natężenia pola między okładkami kondensatora bez tego dielektryka.
2 ZALEŻOŚĆ STAŁEJ DIELEKTRYCZEJ OD TEMPERATURY I IYCH PA-
RAMETRÓW
• W dielektrykach niepolarnych cząsteczki nie mają trwałych momentów dipolowych,w dielektrykach polarnych cząsteczki mają trwałe momenty dipolowe.• Wektor polaryzacjiWektorem polaryzacji lub polaryzacją P nazywamy wektor będący sumą momentówdipolowych wszystkich cząsteczek dielektryka podzieloną przez jego objętość.
∑=
=N
1iiV
1µP
N = liczba cząsteczek zawartych w objętości V V = objętość dielektryka
Dla dielektryka niepolarnego znajdującego się w polu elektrycznym:
ind
N
1ii Nµµ =∑
=
ef0ind αε Eµ = ⇒ ef0n EP αε=
V
Nn =
indµ = indukowany moment dipolowy jednej cząsteczki
n = koncentracja cząsteczek n = stosunek liczby cząsteczek N, zawartych w objętości V, do objętości V α = polaryzowalność cząsteczki efE = natężenie efektywnego pola elektrycznego
Wektor polaryzacji spełnia empiryczną relację:
( )EP 1r0 −εε= .
E = natężenie wypadkowego pola elektrycznego w dielektryku
I już jesteśmy gotowi do otrzymania zapowiadanych w tytule zależności.
DIELEKTRYKI
103
• Stała dielektryczna niepolarnych gazów rozrzedzonych
ef0n EP αε= ⇒ α+=ε n1r
( )EP 1r0 −εε=
EE =ef ⇒ dM
N1 A
r ⋅α
+=ε
M
dNn A ⋅=
kT
pn = ⇒
T
p
k1r ⋅
α+=ε
d = gęstość dielektryka, [d] = kg m-3
M = masa cząsteczkowa, [M] = kg kmol-1
AN = liczba Avogardo = 6,022 · 1026 kmol-1
p = ciśnienie, [p] = Pa k = stała Boltzmanna = 1,38 · 10-23 J K-1
1
α
rε
• Stała dielektryczna niepolarnych gazów, cieczy i kryształów Przypomnijmy, w dotychczasowych rozważaniach E oznaczało natężenie wypadkowegopola w dielektryku, będącego sumą pola pochodzącego od źródeł zewnętrznych i polapochodzącego od ładunków pojawiających się wskutek polaryzacji na zewnętrznejpowierzchni dielektryka. Aby polepszyć zgodność relacji teoretycznych z doświadczeniem,wprowadza się do wzorów tzw. natężenie efE efektywnego pola elektrycznego, czyli pola,
które faktycznie działa na daną cząsteczkę dielektryka, będącego suma pola zewnętrznegoi pól pozostałych cząsteczek. Zgodnie z teorią Lorentza, przyjmujemy dla natężenia polaefektywnego równania
PEE ⋅ε
+=0
ef 3
1 lub EE ⋅
+ε=
3
2ref .
ef0n EP αε= ⇒ 3
n
2
1
r
r α=
+ε−ε
( )EP 1r0 −εε=
EE ⋅+ε
=3
2ref Równanie Mossottiego-Clausiusa.
M
dNn A ⋅= ⇒
3
N
d
M
2
1 A
r
r α=⋅
+ε−ε
Polaryzowalność α nie zależy od temperatury, ciśnieniaoraz gęstości i dlatego stała dielektryczna rε niepolarnychgazów rozrzedzonych jest liniową funkcją gęstości.
DIELEKTRYKI
104
Równanie Langevina-Debaye’a Równanie Langevina-Debaye’a
• Stała dielektryczna polarnych gazów rozrzedzonych, gdy µE << kT
ef
2
0 kT3
nn EP
µ+αε= Równanie Langevina-Debye’a
( )EP 1r0 −εε= ⇒
εµ
+α+=ε0
2
r kT3n1
EE =ef
µ = moment dipolowy trwałego dipola przy braku pola elektrycznego k = Stała Boltzmanna
• Stała dielektryczna polarnych gazów, gdy µE << kT
ef
2
0 kT3
nn EP
µ+αε= ⇒
εµ
+α=+ε−ε
0
2
r
r
kT33
n
2
1
( )EP 1r0 −εε=
EE ⋅+ε
=3
2ref Równanie Mossottiego-Clausiusa-Langevina-Debye’a
M
dNn A ⋅= ⇒
εµ
+α=⋅+ε−ε
0
2A
r
r
kT33
N
d
M
2
1
d = gęstość dielektryka M = masa cząsteczkowa AN = liczba Avogardo α = polaryzowalność cząsteczki µ = moment dipolowy trwałego dipola przy braku pola elektrycznego k = Stała Boltzmanna n = koncentracja cząsteczek
W przypadku dielektryków polarnych w stanie gazowym zgodnie, z prawem Mossottiego-Clausiusa-Langevina-Debye’a, wzrost temperatury powoduje zmniejszenie się stałej dielek-trycznej.
Wielkość d
M
2
1
r
r ⋅+ε−ε
bywa nazywana polaryzacją molową.
DIELEKTRYKI
105
3 WARUKI GRAICZE
• Granica dielektryka z dielektrykiemNa nienaładowanej powierzchni granicznej dwóch stykających się ze sobą dielektryków mu-szą być spełnione podane poniżej warunki graniczne dla składowych wektorów natężenia polaelektrycznego stycznych (równoległych) i normalnych (prostopadłych) do powierzchni grani-cznej.WARUEK 1Składowe styczne natężeń pól po obu stronach powierzchni granicznej są takie same.
UWAGAZałożyliśmy, że 0rot =E . Wynika to z potencjalności stałego pola wektora E .
WARUEK 2Składowe normalne natężeń pól po obu stronach powierzchni granicznej są odwrotnie propor-cjonalne do stałych dielektrycznych ośrodków.
UWAGAZałożyliśmy, że gęstość powierzchniowa ładunków swobodnych σ na powierzchni granicznejjest równa zeru. W przeciwnym przypadku warunek graniczny dla składowych normalnych na-tężeń pól elektrycznych przyjmuje postać:
o
n11n22 EEεσ
=ε−ε .
• Granica dielektryka z przewodnikiemNa granicy między dielektrykiem a przewodnikiem składowa styczna wektora natężenia polajest równa zeru.
σ = gęstość ładunków swobodnych na powierzchni przewodnika
UWAGANa granicy dielektryka z przewodnikiem wektor natężenia pola elektrycznego jest prostopadłydo powierzchni przewodnika.
0rot =EED roεε=
t1t2 EE =
1
t1
2
t2 DD
ε=
ε⇒
n1n2 DD =
n11n22 EE ε=ε⇒
ρ=Ddiv0=ρ
ED roεε=
0E t2 =
2on2E
εεσ
=⇒
t1t2 EE =
on11n22 EE
εσ
=ε−ε
0E t1 = , 0E n1 =
1 = metal, 2 = dielektryk
DIELEKTRYKI
106
4 DIELEKTRYKI O RÓŻYCH KSZTAŁTACH W JEDORODYM STAŁYM
POLU ELEKTRYCZYM
• Dla kilku brył wzór na natężenie pola elektrycznego wewnątrz bryły ma podobną strukturę.
−
ε
ε+
=
1n1ex
in
oin
EE .
n = współczynnik depolaryzacji inE = natężenie pola elektrycznego w bryle o stałej dielektrycznej inε
oE = natężenie zewnętrznego pola elektrycznego w próżni
exε = stała dielektryczna ośrodka, w którym znajduje się rozważana bryła
inε = stała dielektryczna bryły
Ponieważ
inex
ino E1
ε
εεP
−= ,
mamy też
PEE n1
o
oin ε−= .
Pole wewnątrz każdej z tych brył jest jednorodne i równoległe do pola zewnętrznego.
• Dielektryk uzyskuje w zewnętrznym polu elektrycznym wskutek polaryzacji różny od zeramoment dipolowy Pµ V* = i zachowuje się jak dipol elektryczny. Moment sił działających na
taki dipol spowoduje, że ustawi się on tak, by wektory *µ i oE były równoległe. Jeżeli zew-
nętrzne pole elektryczne jest niejednorodne, to rozpatrywany dielektryk dozna jeszcze działa-nia siły w kierunku silniejszego pola.PRZYKŁADŹródłem niejednorodnego pola elektrycznego są laski szklane lub ebonitowe oraz kawałki bur-sztynu naelektryzowane przez pocieranie. Przyciągają one drobne skrawki różnych dielektry-
Kula 3
1n =
inex
oexin 2
3
ε+ε
ε=
EE
Długi walec o osi prostopadłej do oE 2
1n =
inex
oexin
2
ε+ε
ε=
EE
Walec o osi równoległej do oE 0n = oin EE =
Płytka płasko równoległa prostopadła do oE 1n = in
oexin ε
ε=
EE
DIELEKTRYKI
107
5 FERROELEKTRYKI
• Ferroelektrykami nazywamy dielektryki krystaliczne, które przy braku zewnętrznego po-la elektrycznego składają się z domen, czyli małych spolaryzowanych obszarów. Ze względuna chaotyczne rozmieszczenie domen, ich wypadkowy moment dipolowy, a tym samym całko-wita polaryzacja są równe zeru. W zewnętrznym polu elektrycznym ferroelektryki ulegają po-laryzacji, która polega na powiększaniu się domen i obrocie ich momentów dipolowychw kierunku pola. Ferroelektrykami są na przykład tytanian baru ( )3BaTiO , sól Seignette’a, czyli winian so-
dowo potasowy ( )OH4ONaKC 264 ⋅ , kwaśny fosforan potasu ( )42POKH , oraz 42PORbH ,
42POCsH , 42AsORbH , 42AsOKH , 42AsOCsH , 3KTaO , 3NaTaO , 3KNbO , 3PbTiO ,
3LiTaO , 3LiNbO , 727 ONbCd .
Stałe dielektryczne ferroelekryków zależą nieliniowo od temperatury i natężenia zewnętrz-nego pola elektrycznego.• Histereza dielektryczna jest zależnością polaryzacji P ferroelektryka od natężenia E zew-nętrznego pola elektrycznego. Danej wartości natężenia E odpowiadają różne wartości polary-zacji P w zależności od jej wcześniejszej wartości. Ferroelektryki posiadają „pamięć”.
E
P
0
12
3
45
6
Pole powierzchni pętli histerezy jest proporcjonalne do ciepła wydzielonego w ferroelektrykupodczas jednego obiegu ( )1654321 −−−−−− .
• Temperaturą Curie (punktem Curie) nazywamy temperaturę, powyżej której ferroelek-tryk przechodzi w stan właściwy dla normalnego dielektryka polarnego. Niektóre ferroelek-tryki posiadają dwa punkty Curie. Górny punkt Curie i dolny punkt Curie, to temperatura od-powiednio powyżej i poniżej której ferroelektryk traci swe własności. W temperaturze Curie ferroelektryki osiągają bardzo duże wartości stałej dielekrycznejrzędu 63 1010 ÷ .
0 = stan początkowy1 i 4 = polaryzacja nasycenia2 i 5 = polaryzacja szczątkowa3 i 6 = koercja
108
109
PRĄD ELEKTRYCZ Y
STAŁY W METALACH
1 PRĄD ELEKTRYCZ Y PRZEWOD ICTWA
• Prądem elektrycznym nazywamy uporządkowany ruch ładunków elektrycznych. Dalej
zajmować się będziemy tzw. prądem przewodnictwa lub prądem przewodzenia, czyli
uporządkowanym ruchem swobodnych ładunków w ośrodkach przewodzących pod wpływem
zewnętrznego pola elektrycznego.
Ośrodek przewodzący ośniki prądu
metale, stopy metali, węgiel elektrony
półprzewodniki elektrony i dziury
elektrolity jony ujemne i dodatnie
gazy jony ujemne i dodatnie oraz elektrony
UWAGA
Wewnątrz metalu E = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy metal jest odosobniony i nie istnieje różna
od zera różnica potencjałów między dowolnymi jego punktami.
• atężeniem I prądu elektrycznego nazywamy stosunek ładunku Q, przepływającego
przez poprzeczny przekrój przewodnika, do czasu t tego przepływu.
Natężenie prądu elektrycznego jest skalarem.
PRZYKŁAD
Jeżeli w przewodniku płynie prąd o natężeniu jednego ampera, to przez przekrój poprzeczny
tego przewodnika w czasie jednej sekundy przepływa 6,25 · 1018
elektronów.
• Prądem stałym, jakim będziemy się dalej zajmować, nazywamy prąd, którego natężenie
jest stałe w czasie.
• Kierunek przepływu prądu elektrycznego przyjęto umownie oznaczać strzałką skiero-
waną od punktu przewodnika o potencjale wyższym do punktu przewodnika o potencjale niż-
szym. Tak określony kierunek prądu zgadza się z kierunkiem ruchu dodatnich nośników
prądu. Ujemne nośniki prądu poruszają się w kierunku przeciwnym do umownego kierunku
prądu.
t
Q I =
[ ] .amper 1 1A s1
C1 I ===
e106,25 C C101,6 e 1819⋅=⇒⋅=
−
PRĄD STAŁY
110
• Gęstością j prądu elektrycznego nazywamy stosunek natężenia prądu I do pola powie-rzchni S przekroju poprzecznego przewodnika, na którym to przekroju rozkład prądu jestrównomierny.
S
Ij =
Gęstość prądu elektrycznego jest wektorem o kierunku prądu elektrycznego.
2 PRAWO OHMA
• Prawo Ohma Dla przewodników metalowych obserwuje się doświadczalnie liniową zależność międzynapięciem U przyłożonym do końców przewodnika a natężeniem I prądu płynącego w prze-wodniku. Relacja ta zwana jest prawem Ohma.
UWAGA
Dla danego przewodnika : R = const, I ~ U .
Prawo Ohma bywa zapisane także w innej postaci:
UG I ⋅= .
Prawo Ohma
[ ] ⋅= m1
A1 j
2
[ ]
Ω÷≈
=Ω==
=
=
610 0 R
om 1 1 1A
1V R
I
U R
arezystancj luby elektrycznopór R
[ ] simens11SV1
A1
1
1G
R
1G
jakonduktanclubeelektryczntwoprzewodnicG
===Ω
=
=
=
I
U
UR
1 I ⋅=
PRĄD STAŁY
111
• Zależność oporu od długości, przekroju i rodzaju materiału przewodnika metalowe-go
S
l ρ R = lub
S γ
l R =
l = długość przewodnika S = pole powierzchni przekroju poprzecznego przewodnika ρ = opór elektryczny właściwy lub rezystywność
[ρ] = 1Ω m = 1 omometr γ = przewodnictwo elektryczne właściwe lub konduktywność
• Prawo Ohma w postaci lokalnej
3 ZALEŻ.OŚĆ OPORU WŁAŚCIWEGO OD TEMPERATURY
• Opór elektryczny właściwy zależy liniowo od temperatury, z pominięciem niskich i wy-sokich temperatur. Dla wielu metali spełniona jest relacja:
T273
1 273 ⋅ρ⋅=ρ .
[ ]1m
1S
m1
1
1
=⋅Ω
=γ
ρ=γ
S
l R
lE UR
U I
S
I j
γ=
⋅=
=
=
E j γ=⇒
ρ
T ~ ρ
T
T
1 ~ γ
γ
T
PRĄD STAŁY
112
• Badając doświadczalnie zależność oporu właściwego od temperatury, wyznacza się tzw.współczynnik temperaturowy oporu właściwego α .
T = temperatura w skali Kelvina ρ273 = opór właściwy w temperaturze 273 K
Współczynnik temperaturowy oporu właściwego α ma prostą interpretację, która staje się wi-doczna, gdy wzór definicyjny zapisać w postaci:
( ) T 2731 273273 ⋅α⋅ρ+⋅α−⋅ρ=ρ .
• .adprzewodnictwo
W niskich temperaturach bliskich zera bezwzględnego opór niektórych metali nagle spadado zera. Zjawisko to, odkryte przez Kamerlingh-Onnesa w 1911 roku, nazwano nadprzewod-nictwem.
• Prawo Wiedemanna-Franza-Lorenza Stosunek współczynnika przewodnictwa cieplnego K do przewodnictwa elektrycznegowłaściwego γ dla wszystkich metali jest proporcjonalny do temperatury bezwzględnej T.
L = liczba Lorenza
273 T
1 273
273 −
ρ−ρ⋅
ρ=α
[ ]K
1 =α
TL K
⋅=γ
ρ
T
273
1 =α
ρ
T
273
1 <α
T
ρ
273
1 >α
PRĄD STAŁY
113
4 PRAWO JOULE`A-LE.ZA
• Prawo Joule`a – Lenza Podczas przepływu prądu elektrycznego przez przewodnik wydziela się w nim ciepło,którego wartość W jest proporcjonalna do kwadratu natężenia prądu I2, oporu przewodnika R,oraz czasu przepływu t.
• Moc P ciepła wydzielonego w przewodniku
• Prawo Joule`a – Lenza w postaci lokalnej
ω = gęstość mocy ciepła wydzielonego w przewodniku ω = stosunek mocy wydzielonego ciepła do objętości, w której się ona wydzieliła
t R I W 2 ⋅⋅=
R
U I
tRI W
t
W P
2
=
⋅⋅=
=
UI R
U RI P
22 ⋅==⋅=⇒
E jS
I j
S
l R
RI P
lS
P
2
⋅γ=
=
ρ=γ
⋅ρ=
⋅=
⋅=ω
1
222 E j j ⋅γ=⋅γ
=⋅ρ=ω1⇒
S
l
P
U
R = const
P ~ U2
P
I
R = const
P ~ I2
PRĄD STAŁY
114
• Jak moc ciepła wydzielonego w danym przewodniku zależy od jego oporu1. w połączeniu szeregowym przewodników?2. w połączeniu równoległym przewodników?
5 SUKCESY I PORAŻKI KLASYCZ.EJ ELEKTRO.OWEJ TEORIIPRZEWOD.ICTWA ELEKTRYCZ.EGO W METALACH
• W metalach w stanie stałym swobodne elektrony, zachowujące się jak gaz doskonały, po-ruszają się chaotycznie z prędkością średnią vśr~106
sm między drgającymi jonami dodatnimi
tworzącymi sieć krystaliczną. Jeżeli do końców przewodnika przyłożymy stałą różnicępotencjałów, to pole elektryczne powstałe w przewodniku spowoduje uporządkowany ruchelektronów wzdłuż przewodnika z prędkością vu~10-4
sm , zwaną prędkością unoszenia.
UWAGAZmiany natężenia pola elektrycznego wzdłuż drutu rozchodzą się z prędkością światła rzędu108
sm nadając niemal jednocześnie wszystkim elektronom przewodnictwa składową prędkość
wzdłuż drutu vu~10-4sm .
PRZYKŁADPrędkość średnia vśr bezwładnego ruchu cieplnego elektronów w temperaturze pokojowejw nieobecności pola elektrycznego wynosi:
K 293 T
kg109,1 m
K
J101,38 k
2
kT3
2
vm
31-
23-
2śr
=
⋅⋅=
⋅⋅=
=
⇒s
m 101,3
m
3kT v 6
śr ⋅≈=
W połączeniu szeregowym przewodników więcej ciepła wydziela się w przewodnikuo większym oporze.W połączeniu równoległym przewodników więcej ciepła wydziela się w przewodnikuo mniejszym oporze.
I I I
R 2
I = P
R 2R 1
P 2P 1 = R2
R 1
P ~ R
R2
R 1P 2P 1 =
U
2
R U = P
1R ~ P
PRĄD STAŁY
115
• Związek gęstości prądu z prędkością unoszenia
vu = prędkość unoszenia elektronów przewodnictwa Sl = objętość przewodnika cylindrycznego o długości l i polu powierzchni przekroju po- przecznego S n = gęstość elektronów swobodnych przewodnictwa nSl = liczba elektronów swobodnych w przewodniku n = NAd/M NA = liczba Avogadro d = gęstość metalu
M = masa molowa lub cząsteczkowa metalu e = ładunek elektronu
• Prędkość maksymalna i prędkość unoszenia Na elektron o masie m i ładunku e, w stałym polu elektrycznym o natężeniu E, wewnątrzmetalu działa siła F = eE = ma, która nadaje mu przyśpieszenie a:
Elektron będzie tylko przyśpieszany w czasie jaki upływa od zderzenia do kolejnego zderze-nia z jonami sieci krystalicznej. Średni czas τ między kolejnymi zderzeniami wynosi:
vśr = średnia prędkość ruchów termicznych elektronów przewodnictwa λ = średnia droga swobodna elektronów przewodnictwa
Pod koniec swobodnego przebiegu, odbywającego się ruchem jednostajnie przyśpieszonym,elektron uzyskuje prędkość:
Średnią prędkość, z jaką elektron porusza się w czasie swobodnego przebiegu, można trakto-wać jako prędkość unoszenia.
. m
eF a =
uv
l t
nSle Qt
Q I
S
I j
=
=
=
=
uenv j =⇒
. v
λ τ
śr
=
m
eEa
v
a v
śr
max
=
λ=τ
τ=
⇒śr
max vm
eE v
λ⋅=
śr
maxu v2m
eE
2
v v
λ⋅==
PRĄD STAŁY
116
• Mikroskopowa interpretacja prawa Ohma
• Mikroskopowa interpretacja prawa Joule`a – Lenza Zderzający się z siecią elektron przekazuje jej energię kinetyczną Ek . Mnożąc tę energięprzez częstotliwość zderzeń elektronów z siecią vśr/λ i przez gęstość elektronów n , otrzma-my gęstość mocy przekazanej energii od wszystkich elektronów.
• Mikroskopowa interpretacja prawa Wiedemanna – Franza – Lorenza Zakładając, że przewodnictwo cieplne metali związane jest z gazem elektronów swobod-nych, możemy wyznaczyć współczynnik przewodnictwa cieplnego K metali, wykorzystującrelację dla współczynnika przewodnictwa cieplnego gazów, kładąc w niej liczbę stopni swo-body i = 3.
E j
v2m
eE v
env j
śru
u
γ=
λ⋅=
= ⇒
⇒
Emv2
ne j
śr
2
⋅λ
=
śr
2
mv2
ne
λ=γ
2
śrk
śrmax
2max
k
E
nv
E
vm
eE v
2
mv E
γ=ω
⋅λ
⋅=ω
λ⋅=
=2
śr
2
Emv2
ne ⋅
λ=ω
śr
2
mv2
ne
λ=γ
⇒
⇒
LT K
2
3kT
2
mv
mv2
ne
M
dN n
kN R
3in2
iRC
dCv3
1 K
2śr
śr
2
A
A
v
vśr
=γ
=
λ=γ
=
=
=
=
λ=
⇒
⇒
⇒
λ= śrnkv2
1K
Te
3k
K2
2
⋅=γ
2
2
e
3k L =
PRĄD STAŁY
117
• Zależność przewodnictwa elektrycznego właściwego γγγγ od temperatury T Klasyczna elektronowa teoria przewodnictwa elektrycznego metali nie radzi sobie z wy-jaśnieniem doświadczalnej zależności przewodnictwa elektrycznego właściwego γ od tem-peratury T.
Relacja doświadczalna: γ ~ 1/T
• Prawo Dulonga-Petita Inna wpadka klasycznej teorii elektronowej dotyczy ciepła właściwego molowego C me-tali. Zgodnie z tą teoria energia wewnętrzna metalu jest sumą energii drgań sieci krystalicznej3NRT i energii chmury elektronowej 1,5NRT, gdzie N jest liczbą moli metalu, a R stałągazową. Z pierwszej zasady termodynamiki
wynika, że C = 4,5 R .Przypomnijmy treść doświadczalnego prawa Dulonga-Petita.Ciepło właściwe molowe C krystalicznych ciał stałych wynosi 3R.
C = 3 R
I znów relacja teoretyczna nie zgadza się z relacją doświadczalną.
• Porównanie relacji empirycznych z teoretycznymi
Z porównania relacji empirycznych i teoretycznych otrzymaliśmy interpretacje mikroskopo-we dla przewodnictwa elektrycznego właściwego γ i liczby Lorenza L.
2
3kT
2
mv
mv2
ne
2śr
2śr
2
=
λ=γ
T
1 ≈γ⇒
( ) TCN 1,5NRT NRT3 ∆=+∆
Prawo Relacja empiryczna Relacja teoretyczna Współczynnik
Ohma
Joule'a-Lenza
Wiedemanna-Franza
Dulonga-Petita
2Eγ=ω2
śr
2
Em2
ne⋅
vλ
=ω
Te
3kK2
2
⋅=γ 2
2
e
3kL =
śrm2
env
λ=γ
T
1≈γ
śrm2en
vλ
=γEj γ=
LTK
=γ
T1
≈γ
3RC = 4,5RC =
Em2
nej
śr
2
⋅vλ
=
118
119
OBWODY PRĄDUSTAŁEGO
1 ELEMETY OBWODÓW ELEKTRYCZYCH
• Podstawowymi elementami obwodów elektrycznych są źródła energii elektrycznej i od-biorniki tej energii. Źródło napięcia charakteryzuje jego opór wewnętrzny Rw i siła elektro-motoryczna ε .
• Symbole niektórych elementów obwodów elektrycznych
• Węzeł, gałąź, oczkoWęzłem obwodu elektrycznego nazywamy punkt, w którym spotykają się co najmniej trzyelementy obwodu.Gałęzią obwodu elektrycznego nazywamy jeden lub kilka elementów połączonych względemsiebie szeregowo. Natężenie prądu płynącego przez każdy element gałęzi jest takie samo. Napoczątku i końcu gałęzi znajdują się zaciski. Gałęzie obwodu dzielimy na pasywne i aktywne.Gałęzią pasywną nazywamy gałąź nie zawierającą źródeł.
Gałęzią aktywną nazywamy gałąź zawierającą źródło.
Oczkiem obwodu elektrycznego nazywamy fragment obwodu bez rozgałęzień, tworzącyzamkniętą drogę dla przepływu prądu.
Siłą elektromotoryczną ε źródła nazywamy różnicę potencjałów na jego zaciskach, gdyprzez źródło nie płynie prąd.
A
V
źródło stałego napięcia
opornik, rezystor
opornik z możliwością regulacji oporu
wyłącznik
żarówka
amperomierz
0IRU1221 >−==ϕ−ϕ ε1 2R ε I
0 IR U 1221 >==ϕ−ϕ1 2
R I
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
120
PRZYKŁAD
2 OBWÓD JEDOOCZKOWY BEZ ŹRÓDŁA
• Obwód jednooczkowy bez źródła jest fragmentem większego obwodu. W pozostałej
części obwodu musi znajdować się źródło napięcia.
Relacje między wielkościami, opisującymi stan obwodu jednooczkowego, znajdujemy z praw
Kirchhoffa i Ohma.
21 I I I +=
2211 RI RI = 21BA U U ==ϕ−ϕ⇒
⇓
W mały opór wpływa duży prąd.
W duży opór wpływa mały prąd.
W mostku Wheatstone’a znajdujemy:
4 węzły,
6 gałęzi,
7 oczek.
Gałąź AC jest aktywna.
Gałęzie AB, BC, CD, DA i BD są pasywne.
B
A C
D
ε
G
I2
I1
I2
A B
I1
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
121
3 OBWÓD JEDOOCZKOWY Z JEDYM ŹRÓDŁEM
• Prawa Kirchhoffa, Ohma i Joule’a-Lenza
• Wzajemne relacje między I, U i Rz
Lenza-aJoule'prawoRIP
OhmaprawoIRU
KirchhoffaprawoRR
I
2
z
zw
=
=
+= ε
A
V
- +
ε RW
RZ
U
U
Rz
I
Rz
Jeżeli 0R w ≠ , to ε<U
U
I
I
U
Dane źródło: ε = const , Rw = const.
Różne odbiorniki: Rz zmienia się.
ε = IRw + IRz U = IRz
zR I U
↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓
Zmiana oporu odbiornika Rz powoduje
przeciwne względem siebie zmiany wska-
zań amperomierza i woltomierza.
wIRU −= ε wR
UI
−=
ε⇐ ⇒
⇒
prąd zwarciawR
ε=
zw RR
I+
=ε
zIRU =
zw RR
I+
=ε
⇓
zw
z
RR
RU
+
=ε
( )jalowystan ε
( )jalowystan ε( )zwarcie w
/Rε
( )zwarcie w
/Rε
ε
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
122
• Różne relacje dla Pz , Pw , Pc i ηηηη
Pz = moc ciepła wydzielonego w oporze odbiornika Rz
Pw = moc ciepła wydzielonego w oporze wewnętrznym Rw
Pc = moc ciepła wydzielonego w całym obwodzie
η = sprawność źródła
ε 2/Rw = moc ciepła wydzielonego w oporze wewnętrznym Rw podczas zwarcia
Jest to największa moc jaka może wydzielić się w obwodzie, szkoda tylko, że w źródle,
a nie w odbiorniku.
( )2
zw
z
2
z R R
R P
+=
εw
2
z RI I P −= ε⇒
z
2
z RI P =z
2
zR
U P = UI Pz =⇒
w
2
w RI P =( )2
zw
w
2
w R R
R P
+=
ε⇒
I η P z ε= ( )w
22
zR
η η Pε
⋅−=
εU
η = P
P P
c
wc −=η
zw
z
R R
R
+=η
C
Z
ZWC
2
WZ
ZW
Z
W
W
ZW
z
P
Pη
PPP
RIP
U
URR
RR
RU
R
UI
IRU
RRI
IRU
=
+=
=
−=
+=
−=
−=
⇓
+=
=
ε
ε
εε
ε
W
ZR
U)U(P
−=
ε⇒
I Pc ε=( )zw
2
c R R I P +=zw
2
cR R
P+
=ε
W
CR
U)(P
εε −=
⇓W
2
WR
U)(P
−=
ε⇒
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
123
• Wykresy Pz , Pw i Pc od Rz
• Charakterystyczne stany pracy źródła
( )2
zw
z
2
z R R
R P
+=
ε( )2
zw
w
2
w R R
R P
+=
εzw
2
cR R
P+
=ε
w
2
zwzR4
1 max P R Rε
⋅==⇔=
STAN Rz U I Pz Pw Pc η UWAGI
jałowy
źródła∞ ε 0 0 0 0
obwód
otwarty
zwarcia
źródła0 0
wR
ε0
w
2
R
εw
2
R
ε0
zwarty
odbiornik
dopasowania
odbiornika
do źródła
Rw ε2
1
wR2
1 εw
2
R4
1 εw
2
R4
1 εw
2
R2
1 ε2
1
WR W2R ZR
WP
ZP
CP
( )WR
SEM2 ZP WP CP
3VSEM
1RW
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
124
4 WYKRES ZMIEOŚCI POTECJAŁÓW W OCZKU
• Wykres zmienności potencjałów w obwodzie jednooczkowym lub w oczku obwodu
wielooczkowego sporządzamy według poniższego odwzorowania.
PRZYKŁAD
Wykresy takie są bardzo przydatne przy rozważaniach jakościowych.
ϕϕ ϕϕϕεε
εε
ϕ
1987654321
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
125
5 PRAWA KIRCHHOFFA
Do analizy złożonych obwodów składających się z dowolnej liczby węzłów, gałęzi,
oczek, oporników i źródeł wykorzystuje się dwa prawa Kirchhoffa.
• Pierwsze prawo Kirchhoffa
Dla każdego węzła obwodu
suma natężeń prądów spotykających się w węźle, wziętych z odpowiednimi znakami,
jest równa zeru.
Konwencja znakowa:
1. Jeżeli k-ty prąd wpływa do węzła, to piszemy +Ik .
2. Jeżeli k-ty prąd wypływa z węzła, to piszemy −Ik .
• Pierwsze prawo Kirchhoffa bywa formułowane także w postaci mniej abstrakcyjnej.
Suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów
wypływających z węzła.
• Drugie prawo Kirchhoffa
Dla każdego oczka obwodu
suma wszystkich sił elektromotorycznych wziętych z odpowiednimi znakami jest
równa sumie wszystkich iloczynów IkRk wziętych z odpowiednimi znakami.
Konwencja znakowa:
1. Obieramy kierunek obchodzenia oczka.
2. Gdy przechodzimy przez źródło w kierunku SEM, to piszemy +ε.
W przypadku przeciwnym piszemy −ε. 3. Gdy przechodzimy przez opór w kierunku płynięcia prądu, to piszemy +IR.
W przypadku przeciwnym piszemy −IR.
0 Ik
k =∑
k
i k
ki RI ∑ ∑=ε
kierunek obiegu
−IR
+IR
+ε−ε
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
126
• Praktyczne wskazówki dotyczące układania równań Kirchhoffa dla danego obwodu
1. Zaznaczamy kierunki wszystkich sił elektromotorycznych.
2. W każdej gałęzi zaznaczamy dowolny kierunek przepływu prądu. Jeżeli po rozwiązaniu
równań Kirchhoffa otrzymamy dla danej gałęzi ujemny prąd, oznaczać to będzie, że przy-
jęliśmy niewłaściwy kierunek przepływu prądu.
3. Wybieramy dany kierunek obchodzenia oczek, na przykład, zgodny z kierunkiem ruchu
wskazówek zegara.
4. Jeżeli sieć ma W węzłów i G gałęzi, to wygodnie jest napisać w oparciu o pierwsze
prawo Kirchhoffa W – 1 niezależnych równań i w oparciu o drugie prawo Kirchhoffa G –W + 1 niezależnych równań, pamiętając by każde nowe oczko zawierało co najmniej jedną
nową gałąź nie należącą do wcześniej analizowanych oczek.
PRZYKŁAD
• Obliczanie różnicy potencjałów
Różnica potencjałów w punktach A i B należących do danego oczka jest równa
sumie wszystkich iloczynów Ik Rk, wziętych z odpowiednimi znakami, napotkanych
na drodze od A do B, pomniejszonej o sumę wszystkich sił elektromotorycznych
napotkanych na drodze od A do B, wziętych z odpowiednimi znakami.
PRZYKŁAD
• Uziemienie. Jeden punkt obwodu można uziemić, ponieważ nie wpływa to na wartości natężeń prądów
w obwodzie. Zgodnie z umową, potencjał uziemionego punktu jest równy zeru.
∑∑→→
−=ϕ−ϕBA
i
BA
kkBA RI ε
B doA od drodze na B A →
Oblicz wskazanie amperomierza i woltomierza.
R = 1Ω
ε = 1V
I = ?
ϕΑ − ϕB = ?
ROZWIĄZAIE
3ε = 3IR , I = ε/R = 1A , ϕΑ − ϕΒ = ΙR − ε = 0 .
W obwodzie tym znajdujemy:
4 węzły, W = 4,
6 gałęzi, G = 6,
7 oczek.
Można napisać 11 równań, w tym 6 niezależnych,
3 równania niezależne w oparciu o pierwsze prawo
Kirchhoffa oraz 3 równania niezależne w oparciu
o drugie prawo Kirchhoffa. Liczba niezależnych
równań powinna być równa liczbie gałęzi.
G
V
RR
R
BA
A
ε
εε
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
127
6 POŁĄCZEIA OPORIKÓW
• Połączenie szeregowe oporników
• Połączenie równoległe oporników
UWAGAKorzystając ze wzoru , pamiętaj o odwróceniu wyniku
lub używaj postaci .
UWAGAPołączenie równoległe trzech oporników można przedstawić na różne sposoby:
21 R
1
R
1
R
1+= R
R
1→
21
21
R R
RR R
+=
W połączeniu szeregowym oporników natężenie prądu płynącego przez każdy opornik jest
takie samo, a opór zastępczy jest równy sumie oporów poszczególnych oporników.
W połączeniu równoległym oporników napięcie na każdym oporniku jest takie samo,
a odwrotność oporu zastępczego jest równa sumie odwrotności oporów poszczególnych
oporników.
>
>>
> UU
I1I
I2R 2
R 1
R
I = I + I1 2
U = I1
R 1
U= I 2
R 2
RU
= I R1
R1
1R2
1+=
⇒I
>> >
>>
U
U2 UU1
II I
R 2 R 1 R
U = I RU = U + U1 2
U = I R 2 2
U = I R1 1
R = R + R1 2
⇒
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
128
TWIERDZEIEW przypadku połączenia równoległego n jednakowych oporników, każdy o oporze R , opór
zastępczy jest n-krotnie mniejszy niż R.
TWIERDZEIEW połączeniu równoległym dowolnej liczby różnych oporników opór zastępczy jest mniejszy
od najmniejszego oporu w sieci.
TWIERDZEIEW połączeniu równoległym oporników usunięcie dowolnego opornika lub zwiększenie warto-
ści jego oporu powoduje wzrost oporu zastępczego układu.
PRZYKŁAD
A po usunięciu
3 A 2V 2V 1 i , , , A1 mierników wskazania sie zachowują jak Zbadaj
opornika R lub po zwiększeniu jego wartości.3
• Połączenia mieszane oporników szeregowo-równoległe W przypadku mieszanych szeregowo-równoległych połączeń oporników obliczanie oporu
zastępczego polega na kolejnym upraszczaniu danej sieci.
• Zwarty opornik
Zwarty opornik nie jest opornikiem.
Opór zastępczy takiego układu jest równy zeru.
R R
= RzastR R R R
R
∨
∨∨
∨
I 1
A 1
I 3R 3
R 1
I 1
V 1
I 2
R 2
U
Rzast
U = I R U
U = U + U U
U = I R I
I = I + I I
1 1 1 1
1 2 2
2 2 2 2
1 2 3 3
⇒⇒⇒⇒
U= I 1 Rzast
⇒ I1
∨
∨∨
∨
1
A 1
I 3R 3
R 1
I 1
V 1
I 2
R 2
U
Rzast
U = I R U
U = U + U U
U = I R I
I = I + I I
1 1 1 1
1 2 2
2 2 2 2
1 2 3 3
⇒⇒⇒⇒
U= I 1 Rzast
⇒ I1
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
129
• Transformacja trójkąta w gwiazdę i vice versa
Połączenie oporników z lewej strony nazywamy połączeniem w trójkąt lub trójkątem. Połą-
czenie z prawej strony nazywamy połączeniem w gwiazdę lub gwiazdą. Wyznaczenie oporów
w gwieździe, gdy dane są opory w trójkącie, nazywamy transformacją trójkąta w gwiazdę.
Wyznaczenie oporów w trójkącie, gdy dane są opory w gwieździe, nazywamy transformacjągwiazdy w trójkąt.
UWAGA
R R1 2
R R1 3
R R2 3
R RA C
R +R2 3+ R1
R +R2 3+ R1
R +R2 3+ R1
w gwiazdy trójkąt. Transformacja
w trójkata gwiazdę. Transformacja
R =
R =
R =
A
B
C +R C
R C
+ R B= R 3
+R B
R B
+ RA
RA
= R2
R = R + R +1 A C
RB+ R A= : 0 = IC
RC+ R A= : 0 = I B
RC
R )2
R +R2 3
(R +R )2 3
(R +R )1 3
+ +
+ R B
(R1
R1
R2
R1= : 0 = I A
+R3
R3
R 2+ R1
R +R2 3+ R1
R RA B
R RB C
Opór danej gałęzi gwiazdy jest równy iloczynowi oporów dwóch gałęzi trójkąta, spotyka-
jących się w węźle należącym do danej gałęzi gwiazdy, podzielonemu przez sumę oporów
wszystkich gałęzi trójkąta.
Opór danej gałęzi trójkąta jest równy sumie oporów dwóch gałęzi gwiazdy, łączących parę
węzłów należących do danej gałęzi trójkąta, plus iloczyn tych oporów gwiazdy podzielony
przez opór trzeciej gałęzi gwiazdy.
Trójkąt i gwiazda są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy opory pomiędzy każdą parą
węzłów w trójkącie i w gwieździe są jednakowe przy odłączonym węźle trzecim, czyli
gdy do węzła trzeciego nie wpływa prąd.
AIA
IA
AR A
I BI B
B B
R B
I CI C
R C
R1 R2
C C
R3
AIA
IA
AR A
I BI B
B B
R B
I CI C
R C
R1 R2
C C
R3
AIA
IA
AR A
I BI B
B B
R B
I CI C
R C
R1 R2
C C
R3
AIA
IA
AR A
I BI B
B B
R B
I CI C
R C
R1 R2
C C
R3
AIA
IA
AR A
I BI B
B B
R B
I CI C
R C
R1 R2
C C
R3
AIA
IA
AR A
I BI B
B B
R B
I CI C
R C
R1 R2
C C
R3
AIA
IA
AR A
I BI B
B B
R B
I CI C
R C
R1 R2
C C
R3
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
130
PRZYKŁADWyznacz w mostku Wheatstone`a opór zastępczy między punktami A i C.
W mostku Wheatstone`a nie ma połączeń szeregowych ani równoległych, są natomiast połą-
czenia w trójkąt. Dokonamy transformacji trójkąta ABD w równoważną gwiazdę:
541
41A
RRR
RRR
++= ,
541
51B
RRR
RRR
++= ,
541
54D
RRR
RRR
++= .
Opór zastępczy między punktami A i C wynosi
( )( )
32DB
3D2B
A ACRR R R
R RR R R R
+++
+++= .
• Symetryczne połączenia oporników
R3
IR
6
IR
3
I++=ε R
2
IR
4
IR
4
IR
2
I+++=ε
++=3
R
6
R
3
RI ε , R
6
5R zast =
+++=2
R
4
R
4
R
2
RIε , R
2
3R zast =
ε
R1
D D
C
B B
A A C
ε
R2
R5
R3R4
R
R2
R3
R
R
RB
ε
∧ ∧
∧∧
∧
∧
I
I
3
3
I
I
I
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
131
7 MOSTEK WHEATSTOE`A
• Stan równowagi mostka Wheatstone`a Mówimy, że mostek Wheatstone`a jest w równowadze lub jest zrównoważony, gdy różni-
ca potencjałów między punktami B i D jest równa zeru, UBD = 0, a przez galwanometr nie
płynie prąd, IG = 0.
• Przekątna pomiarowa i przekątna zasilania W zrównoważonym mostku Wheatstone`a można zamienić miejscami galwanometr
(przekątna pomiarowa) i źródło (przekątna zasilania).
RW
R 5
R 4 R 3
R 2R 1
D
C
B
A G
IG
I 4 I 3
I 2I 1
R R = R R1 3 2 4
R3R 2
R4= R 1
I R = I R2 2 3 3
U = U2 3
U = UBC DC
I R = I R1 1 4 4
U =U1 4
U = UAB AD
I = I3 4
I = I1 2
I = 0G
U = 0BD
R R2 4= R R 1 30 = I G
I I
R 4 R 3
R 2R 1
D
C
B
A
GIG
I 4 I 3
I 2I 1
R R = R R1 3 2 4
R2R1
R3= R 4
I R = I R1 1 2 2
U = U1 2
U = UBA BC
I R = I R4 4 3 3
U = U4 3
U = UAD CD
I = I2 3
I = I1 4
I = 0G
U = 0AC
R R2 4= R R 1 30 = I G
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
132
• Zastosowanie
Zapisując warunek równowagi dla mostka, możemy zastąpić opory odpowiednich części dru-
tu ich długościami.
• Zero na skali galwanometru Galwanometr powinien mieć położenie zerowe na środku skali, ponieważ prąd w gałęzi
z miernikiem może płynąć w jedną lub drugą stronę.
• Opór zabezpieczający Aby zabezpieczyć galwanometr przed zbyt dużym prądem, w przypadku nie zrównowa-
żenia mostka, stosuje się opór zabezpieczający, włączając go na różne sposoby.
• Minimalny błąd pomiaru.
W jakim położeniu suwaka pomiar jest najdokładniejszy?
Jeżeli w momencie zrównoważenia mostka suwak znajduje się na środku drutu oporowego, to
pomiar oporu obarczony jest najmniejszym błędem.
Mostek Wheatstone’a wykorzystywany jest do pomiarów
oporów powyżej 1 Ω . Pomiary mniejszych oporów
obarczane są zbyt dużym błędem ze względu na opory
przewodów łączących i opory występujące na stykach.
Z warunków równowagi mostka można obliczyć opór
nieznany, znając wartości trzech pozostałych. W prakty-
ce stosowany jest mostek, w którym dwa oporniki zastę-
puje się drutem oporowym.
( ) sc R sR
s c DC
s AD
c AC
x −⋅=⋅
−=
=
=
⇒
−⋅=
s
scR R x
2
x
xx
x
s
cR
ds
dR
sds
dR R
s
scR R
⋅=
∆⋅=∆
−⋅= ⇒
( ) sc s
s
R
R
x
x
−⋅∆
=∆
( ) d2
1 s max sc s min
R
R
x
x ⋅=⇔=−⋅⇔=∆
⇓
GG G
oporowy drut A
B
R R X
C D
G
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
133
PRZYKŁADKorzystając z twierdzenia o stanie równowagi mostka, można łatwo sprawdzić, że opór zas-
tępczy każdego poniżej podanego układu wynosi R.
R
R
R R
R
R
R
R R
R
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
134
8 POMIAR OPORU METODĄ TECHICZĄ
• Zbadajmy błędy jakie popełniamy, mierząc opór danego opornika jako iloraz wskazania
woltomierza i amperomierza.
R = dokładna wartość oporu
R* = zmierzona wartość oporu
9 POŁĄCZEIA ŹRÓDEŁ APIĘCIA
• Połączenia szeregowe źródeł napięcia
∧ A
RV
I
R A
R
V
⇓
> R* R
R A⇔ R R ≈* R
=* R R + RA
= =* R IR +
IIR A
∧∧∧ A
RV
I I R
R A
R
V
I RV V= R ⋅ I R
I = IV+ I R
A= =* R R ⋅ I R
IV+ I R
V
⇓
⇓
RV
R + 1
R= * R
< R* R
>> R V⇔ R R ≈* R
+ = * R 1
R 1
RV
1lub
IV
RrI
RrrI
IRIrIr
zast
zast
21
21
2121
+=
++
+=
⇓
++=+
ε
εε
εε
⇒
21zast
21zast
r r r
ε ε ε
+=
+=
r2r 1
ε2ε1
R
I
I
I
odbiornik
<
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
135
W połączeniu szeregowym źródeł natężenie prądu płynącego przez każde źródło
jest takie samo. Siła elektromotoryczna źródła zastępczego jest równa sumie sił
elektromotorycznych poszczególnych źródeł. Opór źródła zastępczego jest sumą
oporów poszczególnych źródeł.
UWAGAW rozpatrywanym powyżej przypadku założyliśmy zgodność sił elektromotorycznych posz-
czególnych źródeł. W przypadku ogólnym należy pamiętać o konwencji znakowej przyjętej
przy omawianiu drugiego prawa Kirhchoffa.
• Przy szeregowym połączeniu n identycznych źródeł, każde o sile elektromotorycznej ε,
oporze wewnętrznym r, siła elektromotoryczna εzast i opór rzast źródła zastępczego wyno-
szą:
rn r
n
zast
zast
⋅=
⋅= εε .
• Połączenie równoległe dwóch różnych źródeł napięcia
Przy odłączonym odbiorniku, w oczku utworzonym z obu źródeł płynie prąd o natężeniu Iźr .
Rr I
rIrI
IRrI
III
zast
zast
221121
111
21
+=
−=−
+=
+=
εεε
ε
Rrr
rr
rr
rr
I
21
21
21
2211
++
+
+
=
εε⇒ ⇒
21
21zast
21
1221zast
rr
rr r
rr
rr
+=
+
+=
εεε
I
ε I
I
odbiorni
k
ε2
1
r1
I
1
I2
⇒21
21źr
rrI
−
−=
εε2źr1żr21
21
rIrI +=−
>
εεεε
I
ε2
ε1r1
źr
Iźr
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
136
UWAGAPołączenie równoległe różnych źródeł jest nieekonomiczne, ponieważ źródła rozładowują się.
Aby tego uniknąć, w praktyce stosuje się połączenia równoległe identycznych źródeł.
• Przy równoległym połączeniu n identycznych źródeł, każde o sile elektromotorycznej ε
i oporze wewnętrznym r, siła elektromotoryczna εzast i opór wewnętrzny rzast źródła zas-
tępczego wynoszą:
n
r rzast
zast
=
= εε .
Połączenie równoległe identycznych źródeł zwiększa sprawność źródła zastępczego.
• Połączenia mieszane źródełObliczanie parametrów źródła zastępczego polega na kolejnym upraszczaniu danej sieci
źródeł.
10 POTECJOMETR
• ieobciążony potencjometr - rozważania jakościowe Potencjometr jest układem regulującym napięcie, tworzymy go spinając źródło stałego na-
pięcia odpowiednio dużym oporem, aby zminimalizować moc wydzielanego w nim ciepła.
Zasada działania potencjometru wyjaśniona jest na rysunku poniżej.
R R R R
4U
4U
4U
4U
U
14
U
34
U
24
U
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
137
PRZYKŁAD
• Obciążony potencjometr - rozważania ilościowe
Jeżeli suwak oddala się od punktu stałego, to napię-
cie na zaciskach wyjściowych potencjometru rośnie.
Jeżeli suwak zbliża się do punktu stałego, to napię-
cie na zaciskach wyjściowych potencjometru maleje.
Po przesunięciu suwaka potencjometru w prawo
napięcie podane z końcówek potencjometru na
odbiornik zmaleje, co spowoduje zmniejszenie się
natężenia prądu płynącego przez odbiornik.
IRU
RIIR0
IR RI RI
III
op
nźrwźr
pźr
=
−=
++=
+=
ε
⇓
+++
+
=
o
nn
o
wR
R1RR
R
R1R
Iε
( ) 1R
1
R
1RR
U
o
nw +
++
=ε
suwakpunkt stały
∧
U = IR = ?
U
A I = ?
odbiornik
ε RW
IźrIźr
I
I Ip
<
R
Ro Rn<
V
A
U = IR = ?
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
138
11 AMPEROMIERZ I WOLTOMIERZ
• Rozszerzanie zakresu pomiarowego amperomierza
RA = opór wewnętrzny amperomierza
Rb = opór bocznika
I = stary zakres pomiarowy amperomierza
nI = nowy zakres pomiarowy amperomierza
• Rozszerzanie zakresu pomiarowego woltomierza
Bocznik przyłączany równolegle względem amperomierza.
Posobnik przyłączamy szeregowo względem woltomierza.
RV = opór wewnętrzny woltomierza
Rp = opór posobnika
nIRV = nowy zakres pomiarowy woltomierza
IRV = stary zakres pomiarowy woltomierza
pVV IRIRnIR +=
( )1nRR Vp −=
zakresstary
zakresnowy n =
1n
RR A
b −=
zakresstary
zakresnowy n =
( ) bA IR1nIR −=
R = ?b
>
> > nowyzakres
staryzakres
RA
A
I
I
1) - (n BOCZNIK
nI
VI I
stary zakres
nowy zakres
? = Rp R V
POSOBNIK
∧ ∧
∧ ∧
∧ ∧
nIRV
IR V IR p
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
139
• Jak z amperomierza zrobić woltomierz i vice versa? Idealny amperomierz powinien mieć opór wewnętrzny nieskończenie mały, aby na mier-
niku nie pojawiało się napięcie.
Idealny woltomierz powinien mieć opór wewnętrzny nieskończenie wielki, aby do gałęzi
z miernikiem nie wpływał żaden prąd.
12 KOMPESACYJA METODA POMIARU SIŁY ELEKTROMOTORYCZEJŹRÓDŁA
• Kompensacyjna metoda pomiaru siły elektromotorycznej polega na porównaniu nie-
znanej siły elektromotorycznej εX badanego źródła ze znaną siłą elektromotoryczną εW
źródła wzorcowego.
Suwak S potencjometru przesuwamy aż do wyzerowania galwanometru, I2 = 0. Siła elektro-
motoryczna εW zostaje wtedy skompensowana przez napięcie na oporze R1.
Amperomierz można przerobić na woltomierz dołączając do niego szeregowo bardzo duży
opór.
Woltomierz można przerobić na amperomierz przyłączając do niego równolegle bardzo
mały opór.
w211w RIRI −=ε
21 III +=0I2 =
⇓
11w RI=ε
OBWODY PRĄDU STAŁEGO
140
Suwak potencjometru przesuwamy aż do wyzerowania galwanometru, I2 = 0. Siła elektro-
motoryczna εx zostaje wtedy skompensowana przez napięcie na oporze R2 .
UWAGAIR , wx ≤εε .
1w
2x
IR
IR
=
=
εε ⇒
1
2
w
x
R
R=
εε
0I
III
rIRI
2
21
x221x
=
+=
−=ε
⇓
2x IR=ε
141
Zb
ign
iew
Os
iak
Nale¿ê do pokolenia fizyków, dla których idolamibyli Albert Einstein, Lew Dawidowicz Landaui Richard P. Feynman. Einstein zniewoli³ mniepotêg¹ swej intuicji. Landaua podziwiam za
rzetelnoœæ, precyzjê i prostotê wywodów orazinstynktowne wyczuwanie istoty zagadnienia.
Feynman urzek³ mnie lekkoœci¹ narracjii subtelnym poczuciem humoru.