1

DEPARTMAN ZA ENERGETIKU, ELEKTRONIKU I TELEKOMUNIKACIJE

KATEDRA ZA TELEKOMUNIKACIJE I OBRADU SIGNALA

Analiza procesa i podataka na mrežama

03 Laplasova matrica

Novembar 2020.

Cilj nastavne jedinice

Cilj nastavne jedinice je da se polaznici upoznaju sa konceptom i osobinama Laplasove matrice i različitim načinima njihove upotrebe.

APPM: 03 Laplasova matrica

Zadaci nastavne jedinice

Razumeti način formiranja Laplasove matrice za zadatu mrežu, kao što je predstavljeno na času.

Navesti osobine Laplasove matrice, kao što je predstavljeno na času.

Navesti tri osobine mreže koje se mogu očitati iz Laplasove matrice ili iz njenog spektra (uključujući i sopstvene vektore).

APPM: 03 Laplasova matrica

LAPLASOVA MATRICA Analiza procesa i podataka na mrežama

Laplasova matrica

APPM: 03 Laplasova matrica

Laplasova matrica L zadatog grafa G se formira iz matrice susedstva A grafa G na sledeći način:

Primer

OSOBINE LAPLASOVE MATRICE Analiza procesa i podataka na mrežama

Osobine Laplasove matrice

APPM: 03 Laplasova matrica

1. L je simetrična matrica

2. Sopstvene vrednosti matrice L su realne

3. Sopstveni vektori matrice L su međusobno ortogonalni

Osobine Laplasove matrice

APPM: 03 Laplasova matrica

4. Matrica L dozvoljava sledeću dekompoziciju

gde je

Napomena. Osobine 2, 3 i 4 su direktna posledica spektralne teoreme o simetričnim matricama .

Pozitivna semidefinitnost

APPM: 03 Laplasova matrica

5. , tj. sve sopstvene vrednosti matrice L su nenegativne (matrica L je pozitivno semidefinitna):

Teorema Geršgorina

APPM: 03 Laplasova matrica

Teorema. Za proizvoljnu kvadratnu matricu važi da njene sopstvene vrednosti leže u uniji Geršgorin diskova

gde je i-ti Geršgorin disk definisan sa

Najmanja sopstvena vrednost = 0

APPM: 03 Laplasova matrica

6.

Dokaz. Po konstrukciji Laplasove matrice, zbir elemenata po svakoj od vrsta (i kolona) ove matrice je jednak 0, tj.:

Prethodna jednakost implicira da je 0 sopstvena vrednost matrice L (a vektor svih jedinica odgovarajući sopstveni vektor). Pošto je L pozitivno semidefinitna, tvrđenje sledi.

Povezanost mreže

APPM: 03 Laplasova matrica

7. Graf G je povezan ako i samo ako je

Dokaz. Putem Peron Frobenijus teoreme za nesvodljive matrice.

Povezanost mreže

APPM: 03 Laplasova matrica

Peron-Frobenijus teorema Primenjujemo teoremu na matricu B=(N-1)I-L, koja je nenegativna.

• Sopstvene vrednosti matrice B su realne i važi

• Matrica B je nesvodljiva ako i samo ako je i matrica A nesvodljiva.

Ako je matrica A nesvodljiva, onda je matrica B nesvodljiva i iz PF teoreme sledi:

Rejlijev odnos

APPM: 03 Laplasova matrica

8. Neka je data realna simetrična matrica A sopstvenih vrednosti i odgovarajućih sopstvenih vektora. Pretposlednja sopstvena vrednost Laplasove matrice može se izračunati minimizacijom Rejlijevog odnosa:

Najveća sopstvena vrednost

APPM: 03 Laplasova matrica

9. Za najveću sopstvenu vrednost Laplasijan matrice važe sledeće granice

Dokaz. Leva granica se pokazuje preko Rejlijevog koeficijenta, tako što se postavi q=ei, i onda se maksimizuje po i. Desna granica se pokazuje preko Geršgorin teoreme.

Kvadratna forma Laplasove matrice

APPM: 03 Laplasova matrica

10. Može se pokazati da važi da je proizvoljan vektor q kvadratna forma Laplasijan matrice ima sledeći oblik:

• Ova osobina može biti korisna za pokazivanje raznih drugih osobina Laplasove matrice, za izračunavanje sopstvenih vrednosti putem konveksnih optimizacionih problema itd.

• Odmah se uočava osobina pozitivne semidefinitnosti.

• Napomena: Gornja osobina se generalizuje i na težinsku Laplasovu matricu, što ima primene u određivanju brzine propagacije informacije u mrežama.

17

DEPARTMAN ZA ENERGETIKU, ELEKTRONIKU I TELEKOMUNIKACIJE

KATEDRA ZA TELEKOMUNIKACIJE I OBRADU SIGNALA

Analiza procesa i podataka na mrežama

03 Laplasova matrica

Novembar 2020.