Kvadratna jednacina i kvadratna funkcija - Despotović Katarina
Kvadratna Funkcija 3.0
-
Upload
talic-senad -
Category
Documents
-
view
259 -
download
18
description
Transcript of Kvadratna Funkcija 3.0
![Page 1: Kvadratna Funkcija 3.0](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061314/55cf8dde550346703b8c25fc/html5/thumbnails/1.jpg)
SadržajUVOD...................................................................................................................................................1
KVADRATNA FUNKCIJA y = ax2............................................................................................................2
KVADRATNA FUNKCIJA y = ax2 + c.......................................................................................................4
KVADRATNA FUNKCIJA y = a(x – x0)2...................................................................................................4
KVADRATNA FUNKCIJA y = a(x – x0)2 + y0.............................................................................................5
KVADRATNA FUNKCIJA y = ax2 + bx + c...............................................................................................5
EKSTREMNE VRIJEDNOSTI I TOK KVADRATNE FUNKCIJE y = ax2 + bx + c............................................6
NULE I ZNAK KVADRATNE FUNKCIJE y = ax2 + bx + c...........................................................................9
ZAKLJUČAK.........................................................................................................................................15
LITERATURA.......................................................................................................................................16
![Page 2: Kvadratna Funkcija 3.0](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061314/55cf8dde550346703b8c25fc/html5/thumbnails/2.jpg)
Uvod
Tema mog maturskog rada jeste kvadratna funkcija. Funkcija je preslikavanje koje svakom elementu x skupa A pridružuje tačno jedan element y skupa B. Označavamo ga simbolom x → y (čita se: x se preslikava u y). Kažemo da je y funkcija od x, definisana na A i s vrijednostima u B. Skup A zovemo domenom ili područjem definicije funkcije f, a podskup skupa B zovemo kodomen ili područjem vrijednosti funkicje f.
Graf kvadratne funkcije u koordinatnom sistemu je parabola čija je osa simetrije paralelna sa y-osom. Jednačina kvadratne funkcije sadrži promenljivu x, njen kvadrat i slobodan član, tj. glasi:
y = ax2 + bx + c odnosno
f(x) = ax2 + bx + c.
Na ovu temu o kvadratnim funkcijama bavit ću se njenim različitim oblicima i njihovim svojstvima te njihovom primjenom u rješavanju kvadratnih jednačina.
1
![Page 3: Kvadratna Funkcija 3.0](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061314/55cf8dde550346703b8c25fc/html5/thumbnails/3.jpg)
KVADRATNA FUNKCIJA y = ax2
Polinom drugog stepena (kvadratna funkcija) je funkcija f: R → R oblika
f(x) = ax2 + bx + c
gdje su a ≠ 0, b i c realni brojevi.
Broj a naziva se kvadratni ili vodeći koeficijent polinoma f, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma f.
Grafik polinoma drugog stepena (kvadratne funkcije) zove se parabola.
Potrebno je proučiti oblik parabole y = ax2 za različite vrijednosti vodećeg koeficijenta a. Najjednostavnija je parabola y = x2. Nju ćemo nacrtati tako što ćemo odrediti dovoljan broj tačaka koje joj pripadaju. Učinimo to tabelarno:
x 0 1 2 3 -1 -2 -3 1/2 -1/2
y = x2 0 1 4 9 1 4 9 1/4 1/4
Nacrtajmo tačke (x,y) u Kartezijev koordinantni sistem i povežimo ih glatkom krivuljom. Dobili smo crtež parabole, odnosno grafik kvadratne funkcije y = x2.
Istknimo neka svojstva parabole y = x2:
Ona leži u gornjem dijelu ravninie, iznad x-ose. Razlog tome je što funkcija y = x2 za x ≠ 0 poprima samo pozitivne vrijednosti, a u nuli vrijednost nula.
U koordinantnom početku parabola dodiruje x-osu; tu kvadratna funkcija y = x2
poprima svoju najmanju vrijednost. Kažemo da je u koordinantnom početku tjeme parabole. U intervalu (-∞,0) funkcija f opada, a u intervalu (0,+∞) ona raste;
Parabola je simetrična s obzirom na y-osu. Uzrok tome je što funkcija f poprima jednake vrijednosti za svaka dva suprotna broja x i –x, jer vrijedi
2
![Page 4: Kvadratna Funkcija 3.0](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061314/55cf8dde550346703b8c25fc/html5/thumbnails/4.jpg)
f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x), što znači da je funkcija f(x) = x2 parna.
Grafik kvadratne funkcije y = ax2 možemo dobiti kao i grafik kvadratne funkcije y =x2 tako da odredimo dovoljan broj tačaka koje nu pripadaju. Oblik parabole ovisi o predznaku i vrijednosti vodećeg koeficijenta a.
Razmotrimo dva slučaja.
1 a > 0. U ovom će slučaju parabole imati „otvor prema gore“.
Nacrtajmo uz parabolu y = x2 i parabole y = 2x2, y = 12 x2. U svim slučajevima dobit
ćemo parabole čije je tjeme u koordinantnom početku i koje su i dalje simetrične s obzirom na y-osu.
Primjećujemo da se povećanjem koeficijenta a parabola „sužuje“ prema y-osi, dok se njegovim smanjivanjem ona širi.
2 a < 0. Parabole će sad imati „otvor prema dolje“.
Tjeme parabole y = ax2 je tačka T(0,0).
U tački x0 = 0 funkcija y = ax2 poprima najmanju vrijednost ako je a > 0, najveću vrijednost ako je a < 0.
3
![Page 5: Kvadratna Funkcija 3.0](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061314/55cf8dde550346703b8c25fc/html5/thumbnails/5.jpg)
KVADRATNA FUNKCIJA y = ax2 + c Za svaki broj x vrijednost kvadratne funkcije y = ax2 + c razlikuje se za iznos c od
vrijednosti kvadratne funkcije y = ax2. Ako je c > 0, onda je povećana za iznos c, a ako je c< 0 onda je smanjena za iznos |c|.
Grafik kvadratne funkcije y = ax2 + c dobivamo translacijom parabole y = ax2, prema gore za c > 0 i prema dolje za c < 0. Tjeme ove parabole nalazi se u tački (0,c).
Primjer. Nacrtati grafike sljedećih kvadratnih funkcija:
a. y = x2 + 2, y = 2x
2 -1,
b. y = -x2 + 2, y = -2x
2 – 1,
KVADRATNA FUNKCIJA y = a(x – x0)2
Grafik kvadratne funkcije y = a(x – x0)2 dobiva se translacijom grafika y = ax2 za iznos x0; udesno ako je x0 > 0, ulijevo ako je x0 < 0. Tjeme parabole y = a(x –x0)2 je tačaka (x0,0). Zaključujemo da parabole y = a(x – x0)2 imaju tjeme uvijek na x-osi, okrenute su prema gore ako je a > 0 a prema dolje za a < 0.
Primjer. Nacrtati grafik funkcije y = a(x – 2)2 u kojem je a = 1
4
![Page 6: Kvadratna Funkcija 3.0](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061314/55cf8dde550346703b8c25fc/html5/thumbnails/6.jpg)
KVADRATNA FUNKCIJA y = a(x – x0)2 + y0
Grafik kvadratne funkcije y = a(x – x0)2 +y0 nacrtat ćemo primjenom dviju uzastopnih translacija. Krećemo od grafika parabole y = ax2, njega translatiramo za broj x0
u smjeru x-ose. Tako dobivamo parabolu y = a(x – x0)2. Translacijom ovog grafika za broj y0 u smjeru y-osi dobit ćemo grafik kvadratne funkcije y = a(x – x0)2 +y0. Naravno da nije potrebno crtati početna dva grafika. Nakon ove dvije translaciji tjeme parabole prešlo je iz koordinantnog početka u tačku (x0,y0).
Zaključujemo da je grafik kvadratne funkcije y = a(x – x0)2 + y0 parabola s tjemenom u tački T(x0,y0), dobivena translacijom parabole y = ax2.
U tački x0 funkcija poprima najmanju vrijednost ako je a > 0, najveću vrijednost ako je a < 0 i te vrijednosti su ymin = y0 i ymax = y0.
KVADRATNA FUNKCIJA y = ax2 + bx + c Za polinom drugog stepena ax2 + bx + c kažemo još da je kvadratni trinom. Da bismo kvadratnu funkciju iz općeg oblika y = ax2 + bx + c preveli u oblik y = a(x – x0)2 + y0 čiji grafik znamo nacrtati, potrebno je kvadratni trinom ax2 + bx + c nadopuniti na potpun kvadrat.
To ćemo uraditi na sljedeći način:
y = ax2 + bx + c = a(x2+ ba
x+ ca )
y = a(x2+ ba
x+ b2
4 a2−b2
4 a2 + ca )
y = a[(x+ b2a )
2
−b2−4 ac4 a2 ]
y = a(x+ b2a )
2
- b2−4 ac4 a
5
![Page 7: Kvadratna Funkcija 3.0](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061314/55cf8dde550346703b8c25fc/html5/thumbnails/7.jpg)
Uporedbom sa y = a(x – x0)2 + y0 nalazimo tražene vrijednosti brojeva x0 i y0:
x0 = - b
2 a, y0 = - b
2−4 ac4 a
Ti su brojevi koordinate tjemena parabole y = ax2 + bx + c.
Na ovaj način smo dokazali da grafik kvadratne funkcije y = ax2 + bx + c dobivamo translacijom parabole y = ax2, tako da mu tjeme bude u tački T(x0,y0) pri čemu je:
x0 = - b
2 a , y0 = - b2−4 ac
4 a
Primjer. Nacrtati grafik kvadratne funkcije y = 2x2 – 20x + 48.
Svedimo funkciju na potpuni kvadrat:
y = 2x2 – 20x + 48 = 2(x2 -10x) + 48 =
= 2(x2 – 10x + 25 – 25) + 48 = 2(x – 5)2 – 2.
Odavde čitamo x0 = 5 i y0 = -2.
Te smo vrijednosti mogli izračunati direktno po formulama:
x0 = - b
2 a = -
−202∗2
= 5
y0 = 4 ac−b2
4 a =
4∗2∗48−(−20)2
4∗2 =
384−4008
= -2.
Parabolu crtamo tako da joj je tjeme u tački T(5,-2) a vodeći koeficijent 2.
EKSTREMNE VRIJEDNOSTI I TOK KVADRATNE FUNKCIJE y = ax2 + bx + c
Napišimo kvadratnu funkciju y = ax2 + bx + c u obliku:
6
![Page 8: Kvadratna Funkcija 3.0](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061314/55cf8dde550346703b8c25fc/html5/thumbnails/8.jpg)
y = a(x – x0)2 + y0.
Razmotrimo dva slučaja, ovisno o mogućnosti predznaka vodećeg koeficijenta a.
a > 0. U tom slučaju proizvod a(x – x0)2 veći je ili jednak nuli.
Zato vrijedi:
y = a(x – x0)2 + y0 ≥ y0.
S druge strane za vrijednost nepoznanice x = x0 dobivamo:
y = a(x0 – x0)2 + y0 = y0.
Prema tome vidimo da je y0 najmanja vrijednost ili (minimum) kvadratne funkcije.
Tu vrijednost funkcija ima u tački x0.
Za bilo koje dvije tačke x1, x2 iz intervala (-∞, x0) za koje je x1 < x2 vrijedi f(x1) > f(x2). Kažemo da funkcija f opada na intervalu (-∞, x0).
Uzmemo li po volji tačke x1, x2 iz intervala (x0, +∞) za koje je x1 < x2, onda je f(x1) < f(x2). Kažemo da je funkcija f raste na intervalu (x0, +∞).
Time je određen tok kvadratne funkcije
x -∞ x0 +∞y = f (x) -∞ y0 +∞
7
![Page 9: Kvadratna Funkcija 3.0](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061314/55cf8dde550346703b8c25fc/html5/thumbnails/9.jpg)
a < 0. Sad slično prethodnom:
y = a(x – x0)2 + y0 ≤ y0,
a jednakost se postiže u tački x = x0.
Zato je y0 najveća vrijednost (maksimum) kvadratne funkcije. Ona se postiže u tački x0.
Tok funkcije prikazujemo ovako:
x -∞ x0 +∞y = f (x) -∞ y0 +∞
Minimum i maksimum jednim imenom zovemo ekstrem funkcije.
Iz svega izloženog zaključujemo:
Kvadratna funkcija y = ax2 + bx + c ima ekstrem u tački
x0 = - b
2 a
Vrijednost ekstrema iznosi:
y0 = 4 ac−b2
4 a .
Ekstrem je minimum ako je a > 0, a maksimum ako je a < 0, tj:
1 Ako je a > 0 funkcija je na intervalu (-∞, x0) opadajuća, a na intervalu (x0, +∞) rastuća;
2 Ako je a < 0 funkcija je na intervalu (-∞, x0) rastuća, a na intervalu (x0, +∞) opadajuća.
Primjer:
1. Odredi ekstrem funkcije y = -x2 – 4x + 3
8
![Page 10: Kvadratna Funkcija 3.0](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061314/55cf8dde550346703b8c25fc/html5/thumbnails/10.jpg)
Koeficijent a < 0. To znači da je grafik funkcije parabola s otvorom prema dolje; i ekstrem funkcije bit će maksimum. Određujemo ga svođenjem na potpun kvadrat:
y = -x2 – 4x + 3 = -(x2 + 4x) + 3 =
= -(x2 + 4x + 4 – 4) + 3 = -(x + 2)2 + 7
Primjećujemo da je najviša vrijednost ove funkcije y0 = 7 a postiže se za x0 = -2.
Ove vrijednosti smo mogli izračunati i formulama
x0 = - b
2 a , y0 = - b2−4 ac4 a
2. Broj n rastaviti na dva sabirka tako da zbir kvadrata sabiraka bude što je moguće manji.
Označimo sa x prvi sabirak. Onda je drugi sabirak n – x. Znači moramo pronaći minimum funkcije
f(x) = x2 + (n – x)2 = 2x2 – 2nx + n2.
Koeficijent a > 0. To znači da će funkcija imati najmanju vrijednost y0 u tački s apcisom
x0 = - b
2 a = -
2n4
= n2
.
Dakle, oba sabirka moraju biti jednka, a minimalana vrijednost zbira njihovih kvadrata iznosi:
y0 = f(x0) = f( n2 ) = ( n
2 )2
+ (n−n2 )
2
= n2
2.
3. Odredi ekstrem i tok kvadratne funkcije f(x) = x2 + 4x + 3.
Pošto je a = 1, tj. a > 0, funkcija ima minimum.
Njegova vrijednost je:
y0 = 4 ac−b2
4 a =
12−164
= -1,
a funkcija ga postiže za x0 = - b
2 a = -2.
U intervalu (-∞, -2] funkcija opada od +∞ do -1, a u intervalu [-2, +∞) ona raste od -1 do +∞.
NULE I ZNAK KVADRATNE FUNKCIJE y = ax2 + bx + c
Neka je data kvadratna funckcija y = ax2 + bx + c.
Rješavajući kvadratnu jednačinu ax2 + bx + c = 0, nalazimo one vrijednosti nepoznanince x za koje je f (x) = 0. Zovemo ih nultačkama kvadratne funkcije f.
Definicija:
9
![Page 11: Kvadratna Funkcija 3.0](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061314/55cf8dde550346703b8c25fc/html5/thumbnails/11.jpg)
Za broj x0 kažemo da je nula funkcije f ili nultačka ako vrijedi f (x0) = 0.
Na osnovu date definicije izvedimo formulu za određivanje nula kvadratne funkcije.
Krenimo od jednačine:
ax2 + bx +c = 0
Dijeljenjem sa a ≠ 0 jednačina se svodi na normalni oblik:
x2 + ba
x + ca
= 0.
Prebacimo slobodan član na desnu stranu:
x2 + bax = -
ca .
Koeficijent uz nepoznanicu x je ba
, njegova polovina b
2 a. Kvadrat ovog izraza
dodajemo lijevoj i desnoj strani jednačine:
x2 + ba
x + ( b2a )
2
= ( b2a )
2
- ca
.
Nakon sređivanja dobivamo:
(x+ b2a )
2
= b2−4 ac4a2 .
Odavde:
x + b
2 a = ±√b2−4 ac
2 a
Nule kvadratne funkcije y = ax2 + bx + c su brojevi:
x1, 2 = −b ±√b2−4 ac2a
Potkorjenu veličinu b2 – 4ac nazivamo diskriminanta i označavamo sa D.
Diskriminanta je:
D = b2 – 4ac
10
![Page 12: Kvadratna Funkcija 3.0](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061314/55cf8dde550346703b8c25fc/html5/thumbnails/12.jpg)
Nule kvadratne funkcije y = ax2 + bx + c napisane pomoću diskriminante, glase:
x1, 2 = −b ±√D
2 a
Postoje tri mogućnosti za vrijednosti diskriminante:
Ako je D > 0 kvadratna funkcija ima dvije realne i različite nule;
Ako je D = 0 kvadratna funkcija ima dvije realne i jednake nule;
Ako je D < 0 kvadratna funkcija ima kompleksno-konjugovane nule.
Posmatrano grafički realne nule funkcije su tačke u kojima grafik funkcije siječe ili dodiruje x-osu.
Primjer:
1. Odrediti nule te skicirati grafik funkcije y = 2x2 + x – 3.
Diskriminanta je D = b2 – 4ac = 25 > 0.
Nule su
x1,2 = −b ±√D
2 a, x1 = -
32
, x2 = 1.
Parabola siječe x-osu u tačkama s apcisom x1 i x2.
2. Odrediti nule i skicirati grafik funkcije y = x2 – 2x + 4.
Diskriminanta je D = 0.
Funkcija ima jednu (dvostruku!) nulu koja iznosi:
x1,2 = −(−2)
2 = 1.
Parabola dira x-osu u tački s apcisom x1.
3. Odrediti nule i skicirati grafik funkcije y = -x2 + x – 1.
Diskriminanta je D = -3 < 0. Funkcija nema realnih nula.
Parabola ne siječe niti dodiruje apcisnu osu.
4. Odrediti nule funkcije y = x2
+ 4x + 3
11
![Page 13: Kvadratna Funkcija 3.0](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061314/55cf8dde550346703b8c25fc/html5/thumbnails/13.jpg)
a = 1, b = 4, c = 3
x1,2 = −b ±√b2−4 ac2a
x1 = −4+2
2
x1,2 = −4 ±√16−12
2x1 = -1
x1,2 = −4 ± 2
2x2 =
−4−22
x2 = -3.
Ako kvadratnu funkciju y = ax2 + bx + c svedemo na oblik
y = a[(x+ b2 a )
2
+ 4ac−b2
4a2 ]odnosno:
y = a[(x+ b2a )
2
+ D4a2 ].
Onda je ovaj oblik veoma pogodan za izvođenje zaključaka o znaku i nulama kvadratne funkcije:
1. Ako je diskriminanta D > 0. Tada kvadratna funkcija ima dvije realne i različite nule i samim time siječe osu x u dvjema tačkama apcisa x1 i x2. Ako sa x1 označimo manju nulu tj. x1 < x2.
Nule x1 i x2 dijele osu x na tri intervala:
I1 = (-∞,x1], I2 = [x1,x2], I3 = [x2,+∞).
U intervalima (-∞,x1] i [x2,+∞) funkcija ima znak koeficijenta a.
U intervalu [x1,x2] funkcija ima suprotan znak od znaka koeficijenta a.
Znak funkcije bitno zavisi od znaka koeficijenta a i znaka diskriminante D, a postojanje realnih nula zavisi samo od znaka diskriminante.
12
![Page 14: Kvadratna Funkcija 3.0](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061314/55cf8dde550346703b8c25fc/html5/thumbnails/14.jpg)
2. Ako je diskriminanta D = 0 funkcija ima znak koeficijenta a za sve vrijednosti
x ≠ -b
2 a.
Za x = - b
2 a je y = 0 pa je -
b2 a
nula funkcije.
Parabola dira osu x u tački čija je apcisa - b
2 a.
3. Ako je diskriminanta D < 0, tada je - D
4 a2 > 0, a kako je za svaki x ∈ R (x+ b2a )
2
≥0
onda slijedi da funkcija ima znak koeficijenta a za sve vrijednosti x ∈ R i nema nijednu realnu nulu.
Grafik funkcije nema zajedničkih tačaka sa osom x.
U sljedećoj tabeli preko primjera najbolje se mogu prikazati izvedeni zaključci:
a > 0
D > 0
f(x) = x2 – 4x + 3
f(x) > 0 x ∈ (-∞, x1) ∪( x2, +∞)
f(x) < 0 x ∈ (x1, x2)
D = 0
f(x) = x2 – 4x + 4
f(x) > 0 x ≠ x1
f(x) < 0 ∅D < 0
f(x) = x2 – 4x + 5
f(x) > 0 x ∈ R
f(x) < 0 ∅
a < 0
D > 0
f(x) = -x2 – 4x - 3
f(x) > 0 x ∈ (x1, x2)
f(x) < 0 x ∈ (-∞, x1) ∪( x2, +∞)
D = 0
f(x) = -x2 – 4x - 4
f(x) > 0 ∅f(x) < 0 x ≠ x1
D < 0
f(x) = -x2 – 4x - 5
f(x) > 0 ∅f(x) < 0 x ∈ R
13
![Page 15: Kvadratna Funkcija 3.0](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061314/55cf8dde550346703b8c25fc/html5/thumbnails/15.jpg)
5. Ispitati znak funkcije y = x2 +4x + 3.
U primjeru 4. odredili smo nule date funkcije i utvrdili da su to brojevi x1 = -3 i x2 = - 1.
Pošto je a = 1, tj. a > 0 to za znak funkcije imamo:
y > 0 za x < -3 i za x > -1
y < 0 za -3 < x < -1.
6. Za koju vrijednost parametra K je funkcija y = (K -2)x2 – 2(K -4)x + K pozitivna za svaki x ∈ R?
Očito je da pripadna parabola mora biti sva iznad ose x, što znači da njen „otvor“ mora biti okrenut prema gore i ona ne smije imati zajedničkih tačaka sa osom x. Obadva uslova bit će ispunjena ako je:
a > 0 i D < 0,
odakle nakon sređivanja, dobivamo sljedeći sistem nejednačina
K – 2 > 0 ˄ -6K + 16 <0.
Iz prve nejednačine slijedi K > 2 a iz druge K > 83
, pa su zajednička rješenja obje
nejednačine svakako K > 83
, te je svako K ∈ ( 83
,+∞) funkcija pozitivna, za svako x ∈ R.
Želimo li parabolu y = ax2 + bx +c nacrtati preciznije postupit ćemo na sljedeći način:
1. Utvrdimo predznak koeficijenta a.
2. Odredimo nule x1, x2.
3. Izračunamo apcisu x0 tjemena, po formuli:
x0 = - b
2 a ili x0 =
x1+x2
2.
Formulama x0 = x1+x2
2 slijedi iz svojstva simetrije grafika. Parabola je simetrična s
obzirom na pravac koji njezinim tjemenom, paralelno s y-osom. Jednačina tog pravca je
x = x0.
To znači da je apcisa tjemena x0 polovište intervala [x1, x2]
4. Izračunamo ordinatu tjemena, po formuli:
y0 = - b2−4 ac
4 aili y0 = f(x0)
5. Pročitamo vrijednost slobodnog člana c koji predstavlja odsječak parabole na y-osi.
6. Na osnovu nacrtanog grafika ispitamo tok funkcije.
7. Nacrtati grafik i ispitati tok funkcije y = x2 + 4x + 3.
1. a = 1; a > 0 parabola će imati „otvor prema gore“.
2. Pošto je D = b2 – 4ac = 4 tj. D > 0, data funkcija ima realne i različite nule, koje odredimo po formuli:
14
![Page 16: Kvadratna Funkcija 3.0](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061314/55cf8dde550346703b8c25fc/html5/thumbnails/16.jpg)
x1,2 = −b ±√D
2 a =
−4 ±√42
= -2 ± 1
x1 = -2 + 1 = -1, x2 = -2 – 1 = -3.
3. Apcisa tjemena je:
x0 = - b
2 a = - 42 = -2 ili x0 = x0 =
x1+x2
2 =
−1−32 = -2.
4. Ordinata tjemena je:
y0 = 4 ac−b2
2 a =
12−164
= −44
= -1 ili y0 = f(x0)
y0 = (-2)2 + 4(-2) + 3 = -1.
5. Odsječak parabole na y-osi je c = 3.
6.
Tok funkcije:
x -∞ -3 -2 -1 0 +∞
y +∞ 0 -1 0 3 +∞
ymin = -1 za x = -2
15
![Page 17: Kvadratna Funkcija 3.0](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061314/55cf8dde550346703b8c25fc/html5/thumbnails/17.jpg)
Zaključak
Razmatranje svojstava kvadratne funkcije često je na neki način uvod u analizu sve složenijih matematičkih funkcija i uvod u matematičku analizu općenito. Kvadratnu funkciju vrlo često nalazimo u prirodi u različitim fizikalnim sustavima. U tim fizikalnim sistemima brojne veličine ovise o kvadratu drugih veličina te se kvadratna jednadžba često nalazi i u vrlo praktičnoj primjeni. Na primjer, u svakom ubrzanom gibanju prijeđeni put ovisan o kvadratu vremena, električna snaga na otporniku ovisna je o veličini otpora i kvadratu struje koja prolazi kroz njega, električna energija pohranjena u kondenzatoru ovisi o njegovu kapacitetu i kvadratu napona koji postoji na njegovim oblogama, centrifugalna sila razmjerna je kvadratu obodne brzine, pri jednoliko ubrzanom gibanju prijeđeni put je razmjeran kvadratu vremena itd.
16
![Page 18: Kvadratna Funkcija 3.0](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061314/55cf8dde550346703b8c25fc/html5/thumbnails/18.jpg)
LiteraturaŠEFIK PRGO
Matematika za 2. razred gimnazije i drugih srednjih školaIP „SVJETLOST“ d. d. Sarajevo, 2004.
RADOMIR ŽIVKOVIĆ
Matematika za II razred srednjeg usmjerenog obrazovanja„SVJETLOST“, OOUR Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Sarajevo, 1981., V
izdanje, adaptirano
http://hr.wikipedia.org/wiki/Kvadratna_funkcija (21.3.2015.)
http://hr.wikipedia.org/wiki/Kvadratna_jednad%C5%BEba (21.3.2015.)
http://symbolicalgebra.etf.bg.ac.rs/mb_dipl/pages/kvadratna.html (21.3.2015.)
https://profesorka.wordpress.com/2011/12/13/podsecanje-na-kvadratne-funkcije/ (21.3.2015.)
17