Post on 08-Jul-2020
Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
Conicas - Equacoes reduzidas
Elipse x2
a2 + y2
b2 = 1, a ≥ b > 0
x
y (0, b)
(0, −b)
(a, 0)(−a, 0)
〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
Conicas - Equacoes reduzidas
Elipse x2
a2 + y2
b2 = 1, a ≥ b > 0
x
y (0, b)
(0, −b)
(a, 0)(−a, 0)
Caso particular: a = b → circunferencia
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Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
Parabola y = ax2
a > 0 a < 0
x
y
x
y
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Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
Hiperbole
x2
a2−
y2
b2= 1, a, b > 0
x
y
(a, 0)(−a, 0)
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Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
Equacao geral
α x2 + β y2 + 2γ xy + δ x + η y + µ = 0,
α, β, γ nao todos nulos
〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
Equacao geral
α x2 + β y2 + 2γ xy + δ x + η y + µ = 0,
α, β, γ nao todos nulos
⇔ (x y)︸ ︷︷ ︸ α γ
γ β
︸ ︷︷ ︸
x
y
︸ ︷︷ ︸
+ (δ η)︸ ︷︷ ︸ x
y
︸ ︷︷ ︸
+ µ = 0
XT A X B X
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Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
Equacao geral
α x2 + β y2 + 2γ xy + δ x + η y + µ = 0,
α, β, γ nao todos nulos
⇔ (x y)︸ ︷︷ ︸ α γ
γ β
︸ ︷︷ ︸
x
y
︸ ︷︷ ︸
+ (δ η)︸ ︷︷ ︸ x
y
︸ ︷︷ ︸
+ µ = 0
XT A X B X
⇔ XT AX + BX + µ = 0, (1)
X ∈ R2, µ ∈ R, B → 1 × 2, A → matriz simetrica, nao nula, 2 × 2
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Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
Teorema: Toda a matriz simetrica e diagonalizavel atraves de uma
matriz P ortogonal, i.e.,
P −1 A P = D → diagonal
com P −1 = P T .
NOTA: P tem por colunas vectores proprios de A que constituem
uma base ortonormada de Rn.
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Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
Teorema: Toda a matriz simetrica e diagonalizavel atraves de uma
matriz P ortogonal, i.e.,
P −1 A P = D → diagonal
com P −1 = P T .
NOTA: P tem por colunas vectores proprios de A que constituem
uma base ortonormada de Rn.
A diagonalizacao da matriz A vai permitir simplificar (1)!
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Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
Exemplo 1
x2 + y2 + 4xy + 2x − 2y − 6 = 0 (E1)
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Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
Exemplo 1
x2 + y2 + 4xy + 2x − 2y − 6 = 0 (E1)
X =
x
y
A =
1 2
2 1
B = (2 − 2)
XT AX + BX − 6 = 0 (E1)
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Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
Diagonalizacao de A
Valores proprios de A:
det (λI2 − A) = 0 ⇔ · · · ⇔ λ = 3 ∨ λ = −1
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Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
Diagonalizacao de A
Valores proprios de A:
det (λI2 − A) = 0 ⇔ · · · ⇔ λ = 3 ∨ λ = −1
Vectores proprios
λ = 3 →
√2
2√2
2
λ = −1 →
√2
2
−√
22
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Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
P =
√2
2
√2
2√2
2−
√2
2
e tal que
P −1 = P T =
√2
2
√2
2√2
2−
√2
2
〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
P =
√2
2
√2
2√2
2−
√2
2
e tal que
P −1 = P T =
√2
2
√2
2√2
2−
√2
2
e
P T A P =
3 0
0 −1
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Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
Fazendo X = P Y com Y =
x′
y′
, (E1) fica
Y T P T A P︸ ︷︷ ︸ Y + B P︸ ︷︷ ︸ Y − 6 = 0 ⇔ 3 0
0 −1
(0 2√
2)
⇔ 3 x′2 − y′2 + 2√
2 y′ − 6 = 0 (E2)
Mais simples que (E1) pois nao tem termos “cruzados”!
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Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
Voltando a equacao geral das conicas...
Seja P tal que
P T A P =
λ1 0
0 λ2
,
onde os valores proprios λ1 e λ2 (de A) estao ordenados do seguinte
modo:
• λ1 ≥ λ2 se forem nao nulos
• se existir um valor proprio nulo, λ2 = 0 sera esse valor proprio
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Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
Fazendo X = PY , Y =
x′
y′
, B P = (δ′ η′) em
XT AX + BX + µ = 0, (1)
obtemos
Y T P T A P Y + B P Y + µ = 0
⇔ (x′ y′)
λ1 0
0 λ2
x′
y′
+ (δ′ η′)
x′
y′
+ µ = 0
⇔ λ1 x′2 + λ2 y′2 + δ′x′ + η′y′ + µ = 0 (2)
Eliminacao do termo cruzado, i.e., em “xy” !〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
Exemplo 1 (continuacao):
3x′2 − y′2 + 2√
2y′ − 6 = 0 ⇔
3x′2 − (y′2 − 2√
2y′) − 6 = 0 ⇔
3x′2 − (y′2 − 2√
2y′ + 2) + 2 − 6 = 0 ⇔
3 x′︸︷︷︸2 − (y′ −√
2︸ ︷︷ ︸)2 = 4 ⇔
x′′ y′′
x′′2
43
−y′′2
4= 1 Hiperbole
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Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
Exemplo 2:
2x2 + y2 + 3x + 4y + 1 = 0 ⇔
2(x2 +3
2x +
9
16) −
9
8+ (y2 + 4y + 4) − 4 + 1 = 0 ⇔
2(x +3
4)2 + (y + 2)2 =
33
8⇔
2×833
(x +3
4︸ ︷︷ ︸)2 + 833
(y + 2︸ ︷︷ ︸)2 = 1 ⇔
x′ y′
x′2
3316
+y′2
338
= 1 Elipse
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Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
Exemplo 3:
2x2 + y2 + 3x + 4y + 10 = 0 ⇔
2(x2 +3
2x +
9
16) −
9
8+ (y2 + 4y + 4) − 4 + 10 = 0 ⇔
2(x +3
4)2 + (y + 2)2 = −
39
8Conjunto vazio
〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
Exemplo 4: 2x2 + 6x + 4y + 2 = 0 ⇔
2(x2 + 3x +9
4) −
9
2+ 4y + 2 = 0 ⇔
2(x +3
2)2 + 4y −
5
2= 0 ⇔
2 (x +3
2︸ ︷︷ ︸)2 + 4 (y −5
8︸ ︷︷ ︸) = 0 ⇔
x′ y′
2x′2 + 4y′ = 0 ⇔
y′ = −1
2x′2 Parabola
〈 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Capıtulo 6 - Conicas e Quadricas
NOTA: Para alem da situacao ilustrada no Exemplo 3, em que se
obteve como solucao o conjunto vazio, outras situacoes de-
generadas podem ocorrer.
Exemplos:
1. x2
a2 + y2
b2 = 0 → Ponto (0, 0)
2. x2
a2 = 0 → Recta x = 0
3. x2
a2 − y2
b2 = 0 → Duas rectas, ay − bx = 0 e ay + bx = 0
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