Post on 08-Jan-2016
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CIRCUNFERENCIA
TEORAPROPIEDADES PROBLEMAS RESUELTOS
CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geomtrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en el centro.
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
A B
M
N
Rectatangente
Rectasecante
Flecha o sagita
DimetroAB( )
Centro
T
Punto de tangencia
Q
P
Radio
Arco BQ
Cuerda PQ
PROPIEDADES BSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.
R L
02.- Radio o dimetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
P
Q
M
N
R
03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas.
A B
C D
04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes.
A
B
C
D
Cuerdas congruentesArcos congruentes
Las cuerdas equidistan del
centro
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.
r
R
d = Cero ; d : distancia
Rr
Distancia entrelos centros (d)
02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en comn.
d > R + r
R r
d = R + r
03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto comn que es la de tangencia.
rR
R r
Punto de tangencia
Distancia entrelos centros (d)
dR
d = R - r
04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en comn que es la de tangencia.
d: Distancia entre los centros
R
r
Punto de tangencia
05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones.
R r
( R r ) < d < ( R + r )
Distancia entrelos centros (d)
06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de interseccin.
d2 = R2 + r2
Distancia entrelos centros (d)
rR
06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.
R
r
d
d < R - r d: Distancia entre los centros
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes.
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
AP = PB
A
B
P
R
R
2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes
AB = CD
A
B
C
D
R
Rr
r
3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.
AB = CD
A
BC
DR
R
r
r
TEOREMA DE PONCELET.- En todo tringulo rectngulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio.
a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )
ab
c
r
R R
Inradio
Circunradio
TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadriltero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales.
a + c = b + d
d
a
b
c
Cuadriltero circunscrito
1.- MEDIDA DEL NGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone.
A
B
C
r
r
= mAB
A
C
B
D
2.- MEDIDA DEL NGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos
A
B
C
3.- MEDIDA DEL NGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto.
4.- MEDIDA DEL NGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto.
A
B
C
A
BC
1.- MEDIDA DEL NGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC.
A
B
C O
6.-NGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ngulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.
+ mAB = 180
A
B
C
O
D
b.- ngulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
A
B
C
O
c.- Medida del ngulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.