Post on 27-Oct-2014
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
Escola Politécnica Universidade de São Paulo
Curso de Circuitos Elétricos Volume 1 – Capítulo 2
Associações de Bipolos e Leis de Kirchhoff
L. Q. Orsini e D. Consonni
Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva Luiz Carlos Molina Torres
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2
B6 B1 B2
B3 B4
B5
1
2 3
4
1
B1 B2
B3
B4
B5
B6
2
3
4
B6 B1 B2
B3 B4
B5
1
2 3
4
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Problema da Ponte de Königsberg (1736)
Topologia
Leonard Euler (1707-1783)
Matemático suíço, produziu cerca de 900 monografias em matemática, música, astronomia, mecânica, ótica, etc...Viveu muito tempo em São Petesburgo (Rússia), protegido pela czarina Catarina, a Grande. Perdeu um olho, e sofreu de cegueira crescente.
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GRAFOS
Número de nós = nt = 4 Número de Ramos = r = 6 Ramos de árvore = 3 Ramos de ligação = 3 Número de árvores =
nt (nt-2) = 16
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DEFINIÇÕES DE SUB-GRAFO
• ÁRVORE (de grafo conexo) : sub-grafo
conexo que contém todos os nós + conjunto
de ramos suficiente para interligar os nós ⇒
nenhum percurso fechado.
• LAÇO : qualquer sub-grafo conexo tal que 2
e apenas 2 ramos incidem em cada nó; 2
nós pertencem a cada ramo ⇒ trajetória
fechada.
• CORTE (ou conjunto de corte) (de grafo
conexo) : conjunto de ramos tal que se
todos são removidos, o grafo fica dividido
em 2 partes; se todos são removidos menos
1, o grafo se mantém conexo.
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TEOREMA BÁSICO DAS ÁRVORES
Grafo Conexo com n t nós e r ramos: • Há um caminho único entre qualquer
par de nós em uma árvore
• n = n t – 1 Ramos de árvores
l = r – n t + 1 Ramos de ligação
• cada ramo de ligação ⇒⇒⇒⇒ um único laço
fundamental
l laços fundamentais
• Cada ramo de árvore ⇒⇒⇒⇒ um único
corte fundamental
n cortes fundamentais
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Planares Grafos Não-planares
Os grafos não-planares contêm como sub-grafo pelo menos um dos:
GRAFOS DE KURATOVSKY
5 nós 10 ramos
6 nós 9 ramos
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1a. Lei : Correntes ( nós e cortes )
Gustav Robert Kirchhoff
(1824-1887)
Físico alemão, publicou seu trabalho sobre correntes e tensões elétricas em 1847. Realizou pesquisas com Robert Bunsen, que resultaram na descoberta do césio e do rubídio.
2a. Lei : Tensões ( laços e malhas )
± =∑ j tkk
( ) 0
± =∑ v tkk
( ) 0
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• Aplicada a um nó:
• Aplicada a um corte:
j 1 j 2
j 3 j 4
– j1 + j2 + j3 – j4 = 0
j1 – j2 – j3 = 0
orientação do corte
j 1 j 2 j 3
n1
n2
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Simulação com o PSpice
iD
iR iC
iD
iR
iC
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iC + iR – iD = 0
iD = iC + iR
iD
iC iR
iD
iC
iR
t
t
t
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Aplicada a laços : llll = no de ramos no laço
v1 – v2 + v3 – v4 + v5 – v6 = 0
± = ∀=∑ v ti
i 1
b gl
0000 t
j1
v1 v2 v3
v4 v5 v6
j2
j3 j4
j5
j6
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Simulação com o PSpice
eg
vD vR
eg
vD
vR
eg = vR + vD
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Am cos ( ωωωωt + θθθθ ) =
12
A e A e
R e A e
mj t
m* j t
mj t
$ $
$
ωωωω ωωωω
ωωωω
+RS|
T|
−d i
Valor instantâneo do sinal →→→→
Domínio do tempo →→→→
s(t) = Am cos ( ωωωωt + θθθθ ) Fasor associado a sinal senoidal:
$S A e Am
jm= =θθθθ θθθθ
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1a Lei K.: em cada nó 2a Lei K.: em um laço
Exemplo: Linha Trifásica
± =∑ $Jk
k
0
± =∑ $Vk
k
0
v1(t) = Vm cos ( ωωωωt – 90o )
v2(t) = Vm cos( ωωωωt + 150o)
v3(t) = Vm cos ( ωωωωt + 30o )
$ $ $V V V 01 2 3+ + =
v2
v1 v3
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a sin ωωωωt + b cos ωωωωt = c cos (ωωωωt + θθθθ )
= c cos ωωωωt cos θθθθ – c sin ωωωωt sin θθθθ a = – c sin θθθθ b = c cos θθθθ
c a b2 2= +
θθθθ = −FHGIKJarc tg
ab
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s(t) = A1 cos (ωωωωt + θθθθ1) + A2 cos (ωωωωt + θθθθ2)
+ . . . . + An cos ( ωωωωt + θθθθn )
Então:
$A A1 1 1= θθθθ
$A A2 2 2= θθθθ
$A An n n= θθθθ
$ $ $ $S A A ... . A1 2 n= + + +
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s(t) = s1(t) + s2(t) + . . . . sn(t)
si(t) sinais senoidais mesma frequência
Se s(t) = s1(t) . s2(t)
$ $ $ $S S S ... . . . S1 2 n= + + +
$ $ $S S . S1 2≠
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Se: s (t) = A1cos (ωωωωt + θθθθ1) . A2cos (ωωωωt + θθθθ2)
Então:
Lembrar que:
$
$
A A
A A1 1
2 2
=
=
θθθθ
θθθθ1111
2222
$ $ $S A . A1 2≠
cosa .cosb12
cos a b12
cos a b= − + +b g b g
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Tensão Corrente Resistência Condutância Indutância Capacitância Carga elétrica Fluxo magnético Aberto Curto
Carga elétrica Fluxo magnético
Indutância Capacitânciaa
Tensão Corrente
Resistência Condutância
Aberto Curto