Ciekawe liczby

Joanna Czarnecka18.12.2007 r.

Ciekawe liczby

Liczby doskonałeLiczby zaprzyjaźnioneLiczby palindromiczne Liczby lustrzane Liczby automorficzne Liczby względnie pierwsze Liczby bliźniacze

Ciekawe liczby

Liczby Fibonacciego Liczby pierwsze Liczby Fermata Liczby Mersenne'a Liczby kwadratowe Liczby trójkątne Liczby olbrzymy

Liczby doskonałe

Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą

wszystkich swoich dzielników właściwych.

Liczby doskonałe

Przykłady : 6, 28, 496, ponieważ dzielniki właściwe tych liczb

(dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby):

D6 = { 1, 2, 3 } » 1 + 2 + 3 = 6

D28 = { 1, 2, 4, 7, 14 } »1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

D496 = { 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 } » 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Liczby doskonałeDotychczas znaleziono tylko 39 liczb doskonałych. Starożytni Grecy przypisywali liczbie 6 szczególne znaczenie. Wcześni

komentatorzy Biblii upatrywali doskonałości liczb 6 i 28 specjalnego sensu. Bo czyż nie w 6 dni został stworzony świat i czy Księżyc nie obiega Ziemi w czasie 28 nocy? Wiele wymiarów

w świątyni Salomona nawiązuje do liczby sześć. Żyjący na przelomie I i II wieku Mikomachos, autor "Arytmetyki", uważał, że

obiekty doskonałe i piękne zawsze są rzadkie, toteż nie należy się spodziewać, ż liczb doskonałych będzie dużo. I rzeczywiście, Euklides zauważył, że liczby postaci 2p - 1(2p - 1) są doskonałe, o ile 2p - 1 jest liczbą pierwszą. Dzięki temu mógł podać dwie nowe liczby typu: 496 i 8128. Kolejną, piątą liczbę doskonałą

znaleziono dopiero w XV wieku - była to liczba 33550336. Dwa tysiące lat po Euklidesie Leonhard Euler wykazał, że wszystkie parzyste liczby doskonałe mają postać zaproponowaną przez

Euklidesa. Euler znalazł trzy kolejne liczby naturalne. Szczęśliwym dla liczb doskonałych był rok 1952, kiedy po raz pierwszy do poszukiwań użyto maszyny liczącej. Do tej pory

znano ich tylko 12, w ciągu roku znaleziono kolejne 5. Ostatnią znaleziono w 2001 roku.

Największą jest 213466916 * (213466917 - 1).

Liczby zaprzyjaźnione

Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich

jest równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik

mniejszy od tej liczby).

Liczby zaprzyjaźnione

Przykłady: 220 i 284,

D220 = {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110} >> 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55

+ 110 = 284

D284 ={1, 2, 4, 71, 142} >> 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Liczby zaprzyjaźnione

Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.

Liczby zaprzyjaźnione

Znanych jest blisko 8000 par liczb zaprzyjaźnionych, nie wiadomo jednak,

czy istnieje ich nieskończenie wiele. Liczby zaprzyjaźnione znane były już w

szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e), przypisywano im znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety z

wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście w

miłości

Liczby palindromiczne

Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca

nazywamy palindromem.

Liczby palindromiczne

Przykłady :

55, 494, 30703,22, 414, 5115...

Liczby lustrzane

Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym

odbiciem

Liczby lustrzane

Przykłady:125 i 521, 68 i 86,

3245 i 5423, 17 i 71..

Ciekawostka

Jeżeli napiszemy dowolną liczbę i jej lustrzane odbicie, np. 1221, to tak

otrzymana liczba jest podzielna przez 11. 1221 : 11 = 192

Liczby automorficzne

Liczby automorficzne to liczby, których kwadrat kończy się tymi samymi cyframi co same

liczby.

Przykład: 762=5776

Liczby względnie pierwsze

Liczbami względnie pierwszymi nazywamy liczby, których największym

wspólnym dzielnikiem jest 1.

Przykład: NWD(7,13)=1

Liczby bliźniacze

Dwie liczby pierwsze różniące się o 2 to liczby bliźniacze.

Przykłady: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19.

Liczby bliźniacze

Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych. Największą

znaną parą liczb bliźniaczych jest para 260497545 * 26625 + 1 i

260497545 * 26625 - 1

Liczby Fibonacciego

Liczbami Fibonacciego nazywamy liczby naturalne tworzące ciąg o

takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych)

jest sumą dwóch poprzednich tj. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...

Liczby Fibonacciego

Nazwa pochodzi od imienia Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim, który w 1202 podał ten ciąg. Ciąg Fibonacciego to ulubiony ciąg przyrody.Taki ciąg liczbowy opisuje np. liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach (np. drzewa), róże kalafiora zielonego, poczynając od czubka układają się w kształt spiral. Jeśli obliczymy ilość lewo- i prawoskrętnych spiral, to okaże się, że są to liczby z ciągu Fibonacciego. Podobną ilość spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski szyszki.

Liczby pierwsze

Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki (1 i siebie samą), nazywamy

liczbą pierwszą.

Przykład:2, 3, 5, 7, 11...

Liczby pierwsze

Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Znajdowanie ich nie jest

jednak łatwe. Od pewnego czasu używa się do tego komputerów.

Liczby pierwsze

Największa znana dziś liczba pierwsza została odkryta w lipcu 2001 roku przez

Michaela Camerona i George'a Woltmana ma postać

213466917 – 1 Ma ona aż 4 miliony 53 tysiące 946 cyfr.

Liczby pierwsze

Po co szuka się takich olbrzymek?

Liczby pierwsze

Wielkie liczby pierwsze służą do testowania mocy obliczeniowej superkomputerów. Bez

nich również nie moglibyśmy skutecznie szyfrować informacji, bo klucze najlepszych szyfrów oparte są na liczbach pierwszych.

Są także bardzo użyteczne przy konstruowaniu kodów korekcyjnych do

wyszukiwania błędów w przekazie obrazów i danych (satelity, sondy kosmiczne...) oraz w

czytnikach CD wysokiej jakości

Liczby pierwsze

Świat liczb pierwszych do dziś stanowi tajemnicę dla matematyków. Są wielocyfrowe liczby

pierwsze, które składają się z samych jedynek, np. 23-cyfrowa liczba 11 111 111 111 111 111 111 111. Niektóre liczby pierwsze zapisane są kolejnymi cyframi. Liczbą pierwszą jest każda z

liczb 23, 67, 89, 789, 456, 23456789, 1234567891. Niektóre liczby pierwsze to

palindromy, np. 11, 757, 111181111. Wśród liczb pierwszych są liczby lustrzane, np. 13 i 31,

37 i 73, 79 i 97, 113 i 311.

Liczby pierwsze

W XVIII wieku Christian Goldbach dostrzegł, iż w każdym przypadku, który wypróbował, dowolna liczba parzysta większa od 4 może być przedstawiona jako suma dwóch

liczb pierwszych. Na przykład 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 48 = 29

+ 19, 100 = 97 + 3 itd.

Liczby Fermata

Liczby postaci Fk = 22k+ 1, gdzie k

jest liczba całkowitą nieujemną nazywamy liczbami Fermata.

Liczby Fermata

Matematyk francuski Pierre de Fermat przypuszczał, że wszystkie liczby mające tę postać są liczbami pierwszymi. Okazało się, że liczby F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537 są liczbami pierwszymi, natomiast F5 = 4294967297 jest liczbą złożoną i dzieli się przez 641.

Liczby Mersenne’a

Liczby postaci 2p - 1, gdzie p jest liczba pierwszą, nazywamy

liczbami Mersenne’a.

Liczby Mersenne’a

Liczby Mersenne'a zasługują na szczególną uwagę, gdyż wśród

nich możliwe jest wskazanie największych znanych liczb

pierwszych. Największą znaną obecnie liczbą Mersenne'a

pierwszą jest liczba 2216091 – 1.

Liczby Mersenne’a

Znalezienie każdej nowej liczby Mersenne'a pierwszej powoduje odkrycie nowej parzystej liczby

doskonałej.

Liczby kwadratowe

Liczby kwadratowe wyraża wzór

kn = n2 = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)

, gdzie n jest liczbą naturalną

Liczby kwadratowe

Nazwa "liczby kwadratowe"

pochodzi stąd, że każda taka liczba o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku

zbudowanym z n kół.

Liczby kwadratowe

Liczby kwadratowe są więc oczywiście kwadratami kolejnych liczb ciągu naturalnego. Stąd też

wynika twierdzenie, że suma kolejnych liczb nieparzystych

równa się kwadratowi ich liczby.

Liczby trójkątne

Liczby trójkątne to liczby postaci

tk = k*(k + 1) / 2

, gdzie k jest liczbą naturalną. Liczba tk jest sumą k kolejnych liczb naturalnych.

Przykłady liczb trójkątnych:t1 = 1t2 = 3t3 = 6

Liczby trójkątne

Nazwa liczby trójkatne pochodzi

stąd, że tk jest liczbą monet jednakowej wielkości, z których

można utworzyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym

z k monet.

Liczby olbrzymy

Jeden 1 100

Tysiąc 1 000 103

Milion 1 000 000 106

Miliard 1 000 000 000 109

Bilion 1 000 000 000 000 1012

Biliard 1 000 000 000 000 000 1015

Trylion 1 000 000 000 000 000 000 1018

Tryliard 1 000 000 000 000 000 000 000 1021

Liczby olbrzymy

Kwadrylion 1024

Kwadryliard 1027

kwintylion 1030

Kwintyliard 1033

Sekstylion 1036

Sekstyliard 1039

Septylion 1042

Septyliard 1045

Liczby olbrzymie

Septyliard 1045

Oktylion 1048

Oktyliard 1051

Nonilion 1054

Noniliard 1057

Decylion 1060

Centylion 10100

Centezylion 10600

KONIEC