Ciekawe liczby
description
Transcript of Ciekawe liczby
Ciekawe liczby
Joanna Czarnecka18.12.2007 r.
Ciekawe liczby
Liczby doskonałeLiczby zaprzyjaźnioneLiczby palindromiczne Liczby lustrzane Liczby automorficzne Liczby względnie pierwsze Liczby bliźniacze
Ciekawe liczby
Liczby Fibonacciego Liczby pierwsze Liczby Fermata Liczby Mersenne'a Liczby kwadratowe Liczby trójkątne Liczby olbrzymy
Liczby doskonałe
Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą
wszystkich swoich dzielników właściwych.
Liczby doskonałe
Przykłady : 6, 28, 496, ponieważ dzielniki właściwe tych liczb
(dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby):
D6 = { 1, 2, 3 } » 1 + 2 + 3 = 6
D28 = { 1, 2, 4, 7, 14 } »1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
D496 = { 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 } » 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496
Liczby doskonałeDotychczas znaleziono tylko 39 liczb doskonałych. Starożytni Grecy przypisywali liczbie 6 szczególne znaczenie. Wcześni
komentatorzy Biblii upatrywali doskonałości liczb 6 i 28 specjalnego sensu. Bo czyż nie w 6 dni został stworzony świat i czy Księżyc nie obiega Ziemi w czasie 28 nocy? Wiele wymiarów
w świątyni Salomona nawiązuje do liczby sześć. Żyjący na przelomie I i II wieku Mikomachos, autor "Arytmetyki", uważał, że
obiekty doskonałe i piękne zawsze są rzadkie, toteż nie należy się spodziewać, ż liczb doskonałych będzie dużo. I rzeczywiście, Euklides zauważył, że liczby postaci 2p - 1(2p - 1) są doskonałe, o ile 2p - 1 jest liczbą pierwszą. Dzięki temu mógł podać dwie nowe liczby typu: 496 i 8128. Kolejną, piątą liczbę doskonałą
znaleziono dopiero w XV wieku - była to liczba 33550336. Dwa tysiące lat po Euklidesie Leonhard Euler wykazał, że wszystkie parzyste liczby doskonałe mają postać zaproponowaną przez
Euklidesa. Euler znalazł trzy kolejne liczby naturalne. Szczęśliwym dla liczb doskonałych był rok 1952, kiedy po raz pierwszy do poszukiwań użyto maszyny liczącej. Do tej pory
znano ich tylko 12, w ciągu roku znaleziono kolejne 5. Ostatnią znaleziono w 2001 roku.
Największą jest 213466916 * (213466917 - 1).
Liczby zaprzyjaźnione
Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich
jest równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik
mniejszy od tej liczby).
Liczby zaprzyjaźnione
Przykłady: 220 i 284,
D220 = {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110} >> 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55
+ 110 = 284
D284 ={1, 2, 4, 71, 142} >> 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
Liczby zaprzyjaźnione
Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.
Liczby zaprzyjaźnione
Znanych jest blisko 8000 par liczb zaprzyjaźnionych, nie wiadomo jednak,
czy istnieje ich nieskończenie wiele. Liczby zaprzyjaźnione znane były już w
szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e), przypisywano im znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety z
wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście w
miłości
Liczby palindromiczne
Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca
nazywamy palindromem.
Liczby palindromiczne
Przykłady :
55, 494, 30703,22, 414, 5115...
Liczby lustrzane
Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym
odbiciem
Liczby lustrzane
Przykłady:125 i 521, 68 i 86,
3245 i 5423, 17 i 71..
Ciekawostka
Jeżeli napiszemy dowolną liczbę i jej lustrzane odbicie, np. 1221, to tak
otrzymana liczba jest podzielna przez 11. 1221 : 11 = 192
Liczby automorficzne
Liczby automorficzne to liczby, których kwadrat kończy się tymi samymi cyframi co same
liczby.
Przykład: 762=5776
Liczby względnie pierwsze
Liczbami względnie pierwszymi nazywamy liczby, których największym
wspólnym dzielnikiem jest 1.
Przykład: NWD(7,13)=1
Liczby bliźniacze
Dwie liczby pierwsze różniące się o 2 to liczby bliźniacze.
Przykłady: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19.
Liczby bliźniacze
Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych. Największą
znaną parą liczb bliźniaczych jest para 260497545 * 26625 + 1 i
260497545 * 26625 - 1
Liczby Fibonacciego
Liczbami Fibonacciego nazywamy liczby naturalne tworzące ciąg o
takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych)
jest sumą dwóch poprzednich tj. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...
Liczby Fibonacciego
Nazwa pochodzi od imienia Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim, który w 1202 podał ten ciąg. Ciąg Fibonacciego to ulubiony ciąg przyrody.Taki ciąg liczbowy opisuje np. liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach (np. drzewa), róże kalafiora zielonego, poczynając od czubka układają się w kształt spiral. Jeśli obliczymy ilość lewo- i prawoskrętnych spiral, to okaże się, że są to liczby z ciągu Fibonacciego. Podobną ilość spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski szyszki.
Liczby pierwsze
Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki (1 i siebie samą), nazywamy
liczbą pierwszą.
Przykład:2, 3, 5, 7, 11...
Liczby pierwsze
Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Znajdowanie ich nie jest
jednak łatwe. Od pewnego czasu używa się do tego komputerów.
Liczby pierwsze
Największa znana dziś liczba pierwsza została odkryta w lipcu 2001 roku przez
Michaela Camerona i George'a Woltmana ma postać
213466917 – 1 Ma ona aż 4 miliony 53 tysiące 946 cyfr.
Liczby pierwsze
Po co szuka się takich olbrzymek?
Liczby pierwsze
Wielkie liczby pierwsze służą do testowania mocy obliczeniowej superkomputerów. Bez
nich również nie moglibyśmy skutecznie szyfrować informacji, bo klucze najlepszych szyfrów oparte są na liczbach pierwszych.
Są także bardzo użyteczne przy konstruowaniu kodów korekcyjnych do
wyszukiwania błędów w przekazie obrazów i danych (satelity, sondy kosmiczne...) oraz w
czytnikach CD wysokiej jakości
Liczby pierwsze
Świat liczb pierwszych do dziś stanowi tajemnicę dla matematyków. Są wielocyfrowe liczby
pierwsze, które składają się z samych jedynek, np. 23-cyfrowa liczba 11 111 111 111 111 111 111 111. Niektóre liczby pierwsze zapisane są kolejnymi cyframi. Liczbą pierwszą jest każda z
liczb 23, 67, 89, 789, 456, 23456789, 1234567891. Niektóre liczby pierwsze to
palindromy, np. 11, 757, 111181111. Wśród liczb pierwszych są liczby lustrzane, np. 13 i 31,
37 i 73, 79 i 97, 113 i 311.
Liczby pierwsze
W XVIII wieku Christian Goldbach dostrzegł, iż w każdym przypadku, który wypróbował, dowolna liczba parzysta większa od 4 może być przedstawiona jako suma dwóch
liczb pierwszych. Na przykład 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 48 = 29
+ 19, 100 = 97 + 3 itd.
Liczby Fermata
Liczby postaci Fk = 22k+ 1, gdzie k
jest liczba całkowitą nieujemną nazywamy liczbami Fermata.
Liczby Fermata
Matematyk francuski Pierre de Fermat przypuszczał, że wszystkie liczby mające tę postać są liczbami pierwszymi. Okazało się, że liczby F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537 są liczbami pierwszymi, natomiast F5 = 4294967297 jest liczbą złożoną i dzieli się przez 641.
Liczby Mersenne’a
Liczby postaci 2p - 1, gdzie p jest liczba pierwszą, nazywamy
liczbami Mersenne’a.
Liczby Mersenne’a
Liczby Mersenne'a zasługują na szczególną uwagę, gdyż wśród
nich możliwe jest wskazanie największych znanych liczb
pierwszych. Największą znaną obecnie liczbą Mersenne'a
pierwszą jest liczba 2216091 – 1.
Liczby Mersenne’a
Znalezienie każdej nowej liczby Mersenne'a pierwszej powoduje odkrycie nowej parzystej liczby
doskonałej.
Liczby kwadratowe
Liczby kwadratowe wyraża wzór
kn = n2 = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)
, gdzie n jest liczbą naturalną
Liczby kwadratowe
Nazwa "liczby kwadratowe"
pochodzi stąd, że każda taka liczba o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku
zbudowanym z n kół.
Liczby kwadratowe
Liczby kwadratowe są więc oczywiście kwadratami kolejnych liczb ciągu naturalnego. Stąd też
wynika twierdzenie, że suma kolejnych liczb nieparzystych
równa się kwadratowi ich liczby.
Liczby trójkątne
Liczby trójkątne to liczby postaci
tk = k*(k + 1) / 2
, gdzie k jest liczbą naturalną. Liczba tk jest sumą k kolejnych liczb naturalnych.
Przykłady liczb trójkątnych:t1 = 1t2 = 3t3 = 6
Liczby trójkątne
Nazwa liczby trójkatne pochodzi
stąd, że tk jest liczbą monet jednakowej wielkości, z których
można utworzyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym
z k monet.
Liczby olbrzymy
Jeden 1 100
Tysiąc 1 000 103
Milion 1 000 000 106
Miliard 1 000 000 000 109
Bilion 1 000 000 000 000 1012
Biliard 1 000 000 000 000 000 1015
Trylion 1 000 000 000 000 000 000 1018
Tryliard 1 000 000 000 000 000 000 000 1021
Liczby olbrzymy
Kwadrylion 1024
Kwadryliard 1027
kwintylion 1030
Kwintyliard 1033
Sekstylion 1036
Sekstyliard 1039
Septylion 1042
Septyliard 1045
Liczby olbrzymie
Septyliard 1045
Oktylion 1048
Oktyliard 1051
Nonilion 1054
Noniliard 1057
Decylion 1060
Centylion 10100
Centezylion 10600
KONIEC