Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

97

Chuyeân ñeà 3: ÑAÏI SOÁ

Vaán ñeà 1: PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN

A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI

1.

2n

2n

B 0

A B

A B

(vôùi n *

)

2. 2n 2n

B 0 (hayA 0)

A B

A B

(vôùi n

*)

3. 2n 1 2n 1

A B A B (vôùi n *

)

4.

2

A 0

B 0A B C

A B C

5.

22

A 0

B 0

A B C C 0

A B C

B. ÑEÀ THI

Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2011

Giaûi phöông trình: 2

3 2 x 6 2 x 4 4 x 10 3x (x R).

Giaûi

Ñieàu kieän: –2 x 2.

Ñaët t = 3 2 x 6 2 x

t2

= 9(2 + x) – 36 2 x 2 x + 36(2 – x) = 9(10 – 3x –2

4 4 x )

Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh t –

2t

9

= 0 t = 0 hoaëc t = 9.

Vôùi t = 0: 3 2 x 6 2 x 0 3 2 x 6 2 x

9((2 + x) = 36(2 – x) 6

x

5

(Thoûa ñieàu kieän–2 x 2) .

Vôùi t = 9: 3 2 x 6 2 x 9 3 2 x 6 2 x 9 (*).

Do –2 x 2 neân

3 2 x 6

6 2 x 9 9

. Suy ra phöông trình (*) voâ nghieäm.

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

98

Vaäy phöông trình ñaõ cho coù moät nghieäm 6

x

5

.

Caùch khaùc:

Ñaët u = 2 x vaø v = 2 x (u 0, v 0) thì :

u.v = 2

4 x

2

2

u 2 x

v 2 x

u2

+ 4v2

= 10 – 3x vaø u2

+ v2

= 4

Do ñoù phöông trình ñaõ cho trôû thaønh

2 2

2 2

3u 6v 4uv u 4v (1)

u v 4 (2)

(1) 3u – 6v = u2

+ 4v2

– 4uv 3(u – 2v) = (u – 2v)2

u – 2v = 0 hoaëc 3 = u – 2v

ª Vôùi u = 2v theá vaøo (2) ta ñöôïc 2 4

v

5

2

v

5

4

u

5

Suy ra:

42 x

5

22 x

5

162 x

5

42 x

5

6

x

5

ª Vôùi u = 3 + 2v theá vaøo (2) ta ñöôïc (3 + 2v)2

+ v2

= 4 5v2

+12v +5 = 0

Phöông trình naøy voâ nghieäm vì v 0 .

Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2010

Giaûi phöông trình 23x 1 6 x 3x 14x 8 0 (x ).

Giaûi

Ñieàu kieän: 1

x 6

3

Vôùi ñieàu kieän 1

x 6,

3

phöông trình ñaõ cho töông ñöông:

23x 1 4 1 6 x 3x 14x 5 0

3x 15 x 5(x 5)(3x 1) 0

3x 1 4 1 6 x

x – 5 = 0 hay

3 1(3x 1) 0

3x 1 4 1 6 x

Nhaän xeùt: 1

x

3

neân 3x + 1 0

Do ñoù

3 1(3x 1) 0

3x 1 4 1 6 x

voâ nghieäm

Vaäy phöông trình ñaõ cho chæ coù moät nghieäm x = 5.

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

99

Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2009

Giaûi phöông trình: 32 3x 2 3 6 5x 8 0 x .

Giaûi

Ñieàu kieän x 6

5

. Khi ñoù ñaët 3u 3x 2 vaø v 6 5x, v 0 (*)

Ta coù

3

2

u 3x 2

v 6 5x

3 25u 3v 8

Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh heä:

3 2

2u 3v 8

5u 3v 8

2

3

8 2uv

3

8 2u5u 3 8

3

3 2

8 2uv

3

15u 4u 32u 40 0

2

8 2uv

3

u 2 15u 26u 20 0

u = 2 vaø v = 4 (nhaän)

Theá u = 2 vaø v = 4 vaøo (*), ta ñöôïc:

33x 2 2

6 5x 4

3x 2 8

6 5x 16

x = 2 (nhaän)

Vaäy phöông trình coù nghieäm x = 2

Baøi 4: ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN KHOÁI D NAÊM 2007

Giaûi phöông trình: 2 23 x 5x 10 5x x

Giaûi

Ñaët t = 2x 5x 10 (vôùi t 0 ) suy ra t

2

= x2

– 5x + 10 5x – x2

= 10 t2

Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh: 3t = 10 t2

t 5 loaïi

t 2

Vaäy 2x 5x 10 = 2 x

2

5x + 10 = 4

x 3

x 2

.

Baøi 5: CAO ÑAÚNG TAØI CHÍNH – HAÛI QUAN NAÊM 2007

Giaûi phöông trình: 3x 7 x 1= 2.

Giaûi

Ñieàu kieän: x 1

Vôùi ñieàu kieän x 1, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

100

3x 7 x 1 + 2 3x + 7 = x + 5 + 4 x 1

x + 1 = 2 x 1 (x + 1)2

= 4(x + 1)

x 1

x 3

(thoûa x 1)

Baøi 6: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006

Giaûi phöông trình: 22x 1 x 3x 1 0 (x ).

Giaûi

Ñaët t =

2

2 t 12x 1 (t 0) t = 2x 1 x =

2

.

Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh: 4 2t 4t 4t 1 0

2 2(t 1) (t 2t 1) 0 t 1, t 2 1 (nhaän)

Vôùi t = 1 ta coù x = 1. Vôùi t = 2 1, ta coù x = 2 2

Vaäy phöông trình coù nghieäm: x = 1; x = 2 2

Baøi 7: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006

Giaûi phöông trình: 23x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2 (1)

Giaûi

Ñaët t = 3x 2 x 1 t 0 suy ra

2 2t 4x 3 2 3x 5x 2

2 24x 2 3x 5x 2 t 3. Khi ñoù:

(1) trôû thaønh: t = t2

– 6 t2

– t – 6 = 0

t 2 loaïi

t 3 nhaän

Khi ñoù: (1) 3x 2 x 1 3 (*)

Ñieàu kieän:

3x 2 0

x 1

x 1 0

(a)

Vôùi ñieàu kieän x 1, phöông trình (*) töông ñöông:

3x – 2 + x – 1 + 2 3x 2 x 1 9 3x 2 x 1 6 2x

2 2

6 2x 0 x 3

3x 2 x 1 6 2x x 19x 34 0

x 3

x 2x 2

x 17

thoaû ñieàu kieän (a)

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø x = 2.

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

101

Baøi 8: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006

Giaûi phöông trình: x + 2 7 x = 2 2x 1 x 8x 7 1 (x )

Giaûi

Ñieàu kieän

2

7 x 0

x 1 0

x 8x 7 0

1 x 7

Vôùi ñieàu kieän 1 x 7, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:

x – 1 – 2 x 1 2 7 x x 1 7 x = 0

x 1 x 1 2 7 x x 1 2 = 0

x 1 2 x 1 7 x = 0

x 1 2 x 5

x 4x 1 7 x

Baøi 9: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2005

Giaûi phöông trình sau: 2 x 2 2 x 1 x 1 4

Giaûi

Ñieàu kieän: x 1

Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi

2

2 x 1 1 x 1 4 2 x 1 1 x 1 4

x 1 2 x 3 nhaän

Baøi 10: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2005

Giaûi phöông trình: 3x 3 5 x 2x 4 . (1)

Giaûi

Ñieàu kieän:

3x 3 0

5 x 0 2 x 5

2x 4 0

(a)

Vôùi ñieàu kieän 2 x 5, phöông trình (1) töông ñöông:

3x 3 2x 4 5 x

2

3x 3 2x 4 5 x 2 (2x 4)(5 x)

(2x 4)(5 x) x 2 (2x 4)(5 x) (x 2)

(x 2) 2(5 x) (x 2) 0

x 2 x 4 thoûa ñieàu kieän (a)

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

102

Baøi 11:

Chöùng minh raèng phöông trình sau coù ñuùng moät nghieäm: x5

x2

2x 1 = 0.

Giaûi

Ta coù x5

x2

2x 1 = 0 (1)

(1) x5

= (x + 1)2

ñieàu kieän x 0

Vôùi 0 x < 1 thì VT < 1 vaø VP 1 (1) voâ nghieäm

Do ñoù chæ xeùt x 1

Xeùt f(x) = x5

x2

2x 1, x 1

f'(x) = 5x4

2x 2 = 2x (x3

1) + 2(x4

1) + x4

> 0, x 1

Do ñoù f(x) taêng treân [1; +), f lieân tuïc

Vaø f(1); f(2) < 0 neân f(x) = 0 luoân coù nghieäm duy nhaát.

Baøi 12:

Giaûi phöông trình: 2x 4 x 4 2x 12 2 x 16 .

Giaûi

Ñieàu kieän:

x 4 0

x 4

x 4 0

Ñaët t = x 4 x 4 t 0 t2

= 2x + 22 x 16

Phöông trình (1) trôû thaønh: t2

– t – 12 = 0

t 4

t 3 (loaïi)

Vôùi t = 4: x 4 x 4 4 2x + 22 x 16 16 vaø x 4

2x 16 8 x vaø x 4

22

4 x 8 4 x 8

x 5

x 5x 16 8 x

.

Vaán ñeà 2: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN

A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI

1.

2

B 0

A B A 0

A B

2.

2

B 0B 0

A B hay

A 0 A B

3.

B 0

A B

A B

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

103

B. ÑEÀ THI

Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2010

Giaûi baát phöông trình:

2

x x1

1 2(x x 1)

Giaûi

Ñieàu kieän x 0. Khi ñoù:

2

x x1

1 2(x x 1)

2

2

x x 1 2(x x 1)0

1 2(x x 1)

(*)

Nhaän xeùt:

Maãu soá:

2

21 3 3

1 2(x x 1) 1 2 x 1 0

2 4 2

Do ñoù baát phöông trình (*) trôû thaønh:

2

x x 1 2(x x 1) ≤ 0

2

2(x x 1) x x 1

22

x x 1 0

2(x x 1) x x 1

2 2

x x 1 0

2(x x 1) x x 1 2x x 2x 2 x

2

x x 1 0

x x 1 2x x 2 x 0

2

x x 1 0

(x 1) 2 x(x 1) x 0

2

x x 1 0

(x 1 x) 0

x x 1 0

x 1 x 0

x (1 x) 1 0

x 1 x

2

0 x 1

x (1 x)

2

0 x 1

x 3x 1 0

0 x 1

3 5x

2

3 5

x

2

Caùch khaùc:

Ñieàu kieän: x 0. Vì 2

1 2(x x 1) 0 neân

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

104

2

x x1

1 2(x x 1)

2

x x 1 2(x x 1) (1)

• x = 0: (1) khoâng thoûa.

• x > 0: Chia hai veá cuûa baát phöông trình (1) cho x ta ñöôïc

(1)

1 1x 1 2 x 1

xx

1 12 x 1 x 1

x x

Ñaët 21 1

t x x t 2

xx

(1) trôû thaønh:

2

2 2

t 1

2(t 1) t 1

2t 2 t 2t 1 (*)

(*)

2

t 1

t 2t 1 0

2

t 1

t 1 0

t = 1

Do ñoù: 1

x 1 x x 1 0

x

1 5x

6 2 5 3 52x

4 21 5x (loaïi)

2

.

Baøi 2: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2009

Giaûi baát phöông trình: x 1 2 x 2 5x 1 x

Giaûi

x 1 2 x 2 5x 1

2

x 2 x 2 x 2

2 x 3x 1 x 2 2 x x 6 0

2 x 3.

Baøi 3: CAO ÑAÚNG KYÕ THUAÄT CAO THAÉNG NAÊM 2007

Giaûi baát phöông trình: 2 25x 10x 1 7 2x x . (1)

Giaûi

2 25x 10x 1 7 2x x

Ñieàu kieän ñeå caên baäc hai coù nghóa laø:

5x2

+ 10x + 1 0

5 2 5 5 2 5

x hoaëc x

5 5

(*)

Vôùi ñieàu kieän ñoù ta coù: (1)

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

105

2 25 5x 10x 1 36 5x 10x 1 (*)

Ñaët 2t 5x 10x 1, t 0

(*) trôû thaønh t2

+ 5t – 36 0 t 4 (nhaän) t 9 (loaïi)

Vôùi t 4, ta coù: 25x 10x 1 4 x

2

+ 2x – 3 0

x 3 x 1 (nhöõng giaù trò naøy ñeàu thoûa ñieàu kieän (*)).

Baøi 4: CAO ÑAÚNG BAÙN COÂNG HOA SEN NAÊM 2007

Giaûi baát phöông trình: 2x 4x > x – 3. (1)

Giaûi

Ñieàu kieän: x2

– 4x 0 x 0 x 4

Tröôøng hôïp 1: x – 3 < 0 x < 3: (1) ñuùng so saùnh vôùi ñieàu kieän ñöôïc x 0

Tröôøng hôïp 2: x 3

(1) x2

– 4x > x2

– 6x + 9 x > 9

2

So vôùi ñieàu kieän x 3 ta nhaän x > 9

2

Keát luaän: nghieäm x 0; x > 9

2

Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2005

Giaûi baát phöông trình: 5x 1 x 1 2x 4

Giaûi

Ñieàu kieän:

5x 1 0

x 1 0 x 2

2x 4 0

Khi ñoù baát phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi

5x 1 2x 4 x 1 5x 1 2x 4 x 1 2 (2x 4)(x 1)

x + 2 > 2 2(2x 4)(x 1) x 4x 4 2x 6x 4

2x 10x 0 0 x 10

Keát hôïp vôùi ñieàu kieän ta coù:

2 x < 10 laø nghieäm cuûa baát phöông trình ñaõ cho.

Baøi 6: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2

Giaûi baát phöông trình: 28x 6x 1 4x 1 0

Giaûi

28x 6x 1 4x 1 0 2

8x 6x 1 4x 1

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

106

2

2 2

2

1 1x x

4 28x 6x 1 0

14x 1 0 x

4

8x 6x 1 (4x 1)8x 2x 0

1 1x x

1 14 2x x .

1 4 2x 0 x

4

Baøi 7: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1

Giaûi baát phöông trình: 2x 7 5 x 3x 2 (1)

Giaûi

Ñieàu kieän

2x 7 0

5 x 0

3x 2 0

2

x 5

3

(a)

(1) 2x 7 3x 2 5 x

2x 7 3x 2 5 x 2 3x 2 5 x

3x 2 5 x 2 (3x – 2)(5 – x) 4

3x2

– 17x + 14 0 x 1 x 14

3

So vôùi ñieàu kieän (a) ta coù nghieäm 2 14

x 1 hay x 5

3 3

Baøi 8:

Giaûi baát phöông trình:

22 x 16

7 xx 3

x 3 x 3

Giaûi

Ñieàu kieän

2

x 3x 3 0

x 4x 4

x 16 0x 4

Baát phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi

2 22 x 16 x 3 7 x 2 x 16 10 2x

222

10 2x 010 2x 0

V

2 x 16 10 2xx 16 0

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

107

x 5

4 x 5

10 34 x 10 34

x 10 34

Baøi 9:

Giaûi baát phöông trình 2 2x 3x 2x 3x 2 0

Giaûi

2 2x 3x 2x 3x 2 0

2

2

2

2x 3x 2 0

2x 3x 2 0

x 3x 0

1x < V x > 21

x x = 2 22

x 0 x 3

x 1

2

x 3 x = 2.

Baøi 10: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ TP. HCM

Giaûi baát phöông trình: x 1 x 1 4

Giaûi

2 2

x 1 x 1

x 1 x 1 4

2x 2 x 1 16 x 1 8 x

2 2

x 11 x 8

658 x 0 1 x65

16x

16x 1 x 16x 64

Vaán ñeà 3: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH

A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI

Daïng 1:

1 1 1 2 2 2 2

1 2 1 2

2 2 2

A x B y C

, Vôùi A A B B 0

A x B y C

Laäp: 1 1

1 2 2 1

2 2

A B

D A B A B

A B

1 1

x 1 2 2 1

2 2

C B

D C B C B

C B

; 1 1

y 1 2 2 1

2 2

A C

D A C A C

A C

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

108

Neáu D 0: heä coù duy nhaát nghieäm:

Dxx

D

Dyy

D

Neáu

D 0

Dx 0 (hoaëc Dy 0)

: heä voâ nghieäm.

Neáu: D = Dx = Dy = 0: heä coù voâ soá nghieäm

Daïng 2: Ñoái xöùng loaïi 1:

f(x, y) 0 f(x, y) f(y, x)

vôùi

g(x, y) 0 g(x, y) g(y, x)

Ñaët:

2S x y

(ñieàu kieän S 4P)

P x.y

Ta ñöôïc heä:

F(S, P) 0

ta tìm ñöôïc S, P

E(S, P) 0

Khi ñoù x,y laø nghieäm cuûa phöông trình: 2X SX P 0

Daïng 3: Ñoái xöùng loaïi 2:

f(x, y) 0 (1)

f(y, x) 0 (2)

Laáy (1) tröø (2) veá theo veá ta ñöôïc : (y x). h(x, y) = 0

y x (a)

h(x, y) 0 (b)

Keát hôïp:

(a) vaø (1)

(b) vaø (1)

Daïng 4: Heä toång quaùt: Thöôøng bieán ñoåi ñeå nhaän ra aån soá phuï, sau ñoù duøng

phöông phaùp theá ñeå giaûi tieáp.

B. ÑEÀ THI

Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2011

Giaûi heä phöông trình:

2 2 3

22 2

5x y 4xy 3y 2 x y 0 (1)

xy x y 2 x y (2)

(x, y R).

Giaûi

Ta coù : (2) 2 2 2 2xy x y 2 x y 2xy

2 2x y xy 1 2 xy 1 0

2 2xy 1 x y 2 0 2 2

xy 1 x y 2 .

Tröôøng hôïp 1: 2 2 3

5x y 4xy 3y 2 x y 0 (1)

xy 1 (3)

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

109

Ta coù: (3) 1

y

x

(Vì x = 0 khoâng laø nghieäm) theá vaøo (1) ta ñöôïc:

(1)

2 3

2 1 1 1 15x 4x 3 2 x 0

x x x x

3

4 3 25x 2x 0

x xx

3

6 33x 0

x x

4 2

3x 6x 3 0

2

23 x 1 0

x 1 y 1

x 1 y 1

.

Tröôøng hôïp 2: 2 2 3

2 2

5x y 4xy 3y 2 x y 0 (1)

x y 2 (4)

Theá (4) vaøo (1) ta ñöôïc:

(1) 2 2 3 2 25x y 4xy 3y x y x y 0

2 2 3 3

4x y 5xy 2y x 0

2 3

x x x4 5 2 0

y y y

(*) (Chia hai veá cho y

3

0)

Ñaët t = x

y

. Phöông trình (*) trôû thaønh:

2 3

4t 5t 2 t 0 3 2

t 4t 5t 2 0 2

t 1 t 2 0

t = 1 hay t = 2.

Vaäy (*) x

y

= 1 hay x

y

= 2

Vôùi x

y

= 1 ñaõ xeùt ôû tröôøng hôïp 1.

Vôùi x

y

= 2 x = 2y theá vaøo 2 2x y 2 ta ñöôïc:

2

22y y 2 2 2

y

5

10 2 10y x

5 5

10 2 10y x

5 5

Vaäy heä phöông trình ñaõ cho coù 4 nghieäm:

x 1

y 1

x 1

y 1

2 10x

5

10y

5

2 10x

5

10y

5

.

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

110

Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2010

Giaûi heä phöông trình:

2

2 2

(4x 1)x (y 3) 5 2y 0 (1)

4x y 2 3 4x 7 (2)

(x, y ).

Giaûi

Ñieàu kieän: 3

x

4

. Ñaët u = 2x; v 5 2y

Phöông trình (1) trôû thaønh

u(u2

+ 1) = v(v2

+1) (u v)(u2

+ uv + v2

+ 1) = 0 u = v

Nghóa laø:

2

30 x

42x 5 2y

5 4xy

2

Phöông trình (2) trôû thaønh 2 425

6x 4x 2 3 4x 7 (*)

4

Xeùt haøm soá 4 225

f(x) 4x 6x 2 3 4x

4

treân 3

0;

4

24

f '(x) 4x(4x 3)

3x 4

< 0

Maët khaùc:

1f 7

2

neân (*) coù nghieäm duy nhaát x = 1

2

vaø y = 2.

Vaäy heä coù nghieäm duy nhaát x = 1

2

vaø y = 2.

Baøi 3: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2010

Giaûi heä phöông trình:

2 2

2 2x y 3 2x y

x 2xy y 2

(x, y ).

Giaûi

2 2

2 2x y 3 2x y (1)

x 2xy y 2 (2)

. Ñieàu kieän : 2x + y 0 (*)

(1) (2x y) 2 2x y 3 0 2x y 1 hay 2x y 3 (loaïi)

2x + y = 1 y = 1 – 2x (3)

Thay (3) vaøo (2) ta coù: x2

– 2x(1 – 2x) – (1 – 2x)2

= 2

x2

+ 2x – 3 = 0 x = 1 hay x = –3

Khi x = 1 thì y = –1 thoûa maõn (*); khi x = –3 thì y = 7 (thoûa maõn (*))

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

111

Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình laø

x 1

y 1

hay

x 3

y 7

Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2009

Giaûi heä phöông trình: 2 2 2

xy x 1 7y

x, y

x y xy 1 13y

.

Giaûi

Vì y = 0 khoâng thoûa maõn heä ñaõ cho, neân

Heä ñaõ cho töông ñöông:

2 2

2

x 1x 7 (chia 2 veá cho y)

y y

x 1x 13 (chia 2 veá cho y )

y y

Ñaët a = 1

x

y

; b = x

y

Ta coù a = 1

x

y

2 2

2

1 xa x 2

yy

2 2

2

1x a 2b

y

Heä trôû thaønh

2

a b 7

a 2b b 13

2

a b 7

a b 13

2

a b 7

a a 20 0

a 4

b 3

hay

a 5

b 12

.

Vaäy

1x 4

y

x3

y

hay

1x 5

y

x12

y

2

x 4x 3 0

x 3y

hay

2

x 5x 12 0

x 12y

(VN)

x 1

1y

3

hay

x 3

y 1

Heä coù 2 nghieäm (x; y) = 1

(1; )

3

; (x; y) = (3; 1).

Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2009

Giaûi heä phöông trình

2

2

x x y 1 3 0

x, y5x y 1 0

x

.

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

112

Giaûi

Ñieàu kieän x 0

Heä ñaõ cho töông ñöông:

2 2 2

x(x y) x 3

x (x y) x 5

(*)

Ñaët t = x(x + y). Heä (*) trôû thaønh:

2 2 2

t x 3 t x 3 t x 3 x 2 x 1

tx 2 t 1 t 2t x 5 (t x) 2tx 5

Vaäy

x 2x 2 x 1 x 1

3x(x y) 1 x(x y) 2 y 1y

2

Baøi 6: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2008

Giaûi heä phöông trình:

2 3 2

4 2

5x y x y xy xy

4

5x y xy(1 2x)

4

Giaûi

Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi :

2 2

2 2

5x y xy(x y) xy

4

5(x y) xy

4

Ñaët u = x2

+ y, v = xy ta coù heä:

2

5u u.v v (1)

4

5u v (2)

4

Laáy (2) tröø (1) veá theo veá ta ñöôïc:

u2

– u – uv = 0 u(u – 1 – v) = 0

u 0

v u 1

Tröôøng hôïp 1: u = 0 thay vaøo (2) 5

v

4

Vaäy

2 2 3

3

3

5xx y 0 y x

4

5 5xy x 25

y4 416

Tröôøng hôïp 2: v = u – 1 thay vaøo (2) ta ñöôïc:

2 5 1 3u u 1 u v

4 2 2

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

113

Vaäy:

2 21 3 1x 1x y x

2 2x 23

3 3 yxy y 2

2 2x

Heä phöông trình coù 2 nghieäm laø: 3 35 25

;

4 16

vaø

31;

2

.

Baøi 7: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2008

Giaûi heä phöông trình:

4 3 2 2

2

x 2x y x y 2x 9

(x, y )

x 2xy 6x 6

Giaûi

Giaûi heä phöông trình:

4 3 2 2

2

x 2x y x y 2x 9

(x, y )

x 2xy 6x 6

2 22

2

22

(x xy) 2x 9x

x 3x 3 2x 9x

3xy 3x 3

2

x4

+ 12x2

+48x2

+ 64x = 0 x(x + 4)3

= 0

x 0

x 4

x = 0 khoâng thoûa maõn heä phöông trình

x = 4 17

y

4

Nghieäm cuûa heä phöông trình laø: 17

4;

4

.

Baøi 8: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2008

Giaûi heä phöông trình:

2 2xy x y x 2y

(x, y )

x 2y y x 1 2x 2y

Giaûi

Heä phöông trình:

2 2xy x y x 2y (1)

(x,y )

x 2y y x 1 2x 2y (2)

Ñieàu kieän:

x 1

y 0

(1) xy + y2

+ x + y – (x2

– y2

) = 0

y(x + y) + x + y – (x + y)(x – y) = 0

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

114

(x + y)(2y – x + 1) = 0

y x

x 2y 1

* Tröôøng hôïp 1: y = x. Do ñieàu kieän y 0 x 0 loaïi

* Tröôøng hôïp 2: Thay x = 2y + 1 vaøo (2) ta ñöôïc:

(2y 1) 2y y 2y 2y 2

y 1

(y 1) 2y 2 0 y 2y 2

y 0

Vaäy heä coù nghieäm x = 5; y = 2.

Baøi 9: ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN KHOÁI A NAÊM 2007

Giaûi heä phöông trình:

3

3

x 2y x 2

y 2x y 2

Giaûi

3

3

x 2y x 2

y 2x y 2

3

2 2

x 2y x 2

x y x xy y x y

3

3

2 2

x 2y x 2I

x y

x 2y x 2

II

x xy y 1

(I)

x 1 x 2

y 1 y 2

; (II) x2

+ xy + y2

+ 1 = 0

Do y2

4(y2

+ 1) < 0 neân (II) voâ nghieäm.

Vaäy heä coù nghieäm (1; 1); (2; 2)

Baøi 10: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006

Giaûi heä phöông trình:

x y xy 3

(x, y )

x 1 y 1 4

Giaûi

Ñieàu kieän: x 1, y 1, xy 0. Ñaët t = xy (t 0).

Töø phöông trình thöù nhaát cuûa heä suy ra: x + y = 3 + t.

Bình phöông hai veá cuûa phöông trình thöù hai ta ñöôïc:

x y 2 2 xy x y 1 16 (1)

Thay xy = t2

, x + y = 3 + t vaøo (1) ta ñöôïc:

2 23 t 2 2 t 3 t 1 16 2 t t 4 11 t

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

115

2 2 2

0 t 11 0 t 11

t 3

4(t t 4) (11 t) 3t 26t 105 0

Vôùi t = 3 ta coù x + y = 6, xy = 9.

Suy ra nghieäm cuûa heä laø: (x; y) = (3; 3).

Baøi 11: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006

Giaûi heä phöông trình:

2

2

x 1 y(y x) 4y

(x 1)(y x 2) y

(x, y ).

Giaûi

Xeùt y = 0 heä phöông trình trôû thaønh

2

2

x 1 0

(x 1)(x 2) 0

voâ nghieäm

Xeùt y 0. Chia 2 veá cuûa hai phöông trình trong heä cho y ta ñöôïc:

2

2

x 1y x 4

y

x 1(y x 2) 1

y

(*)

Ñaët:

2

x 1u

y

vaø v = y + x – 2 thì (*) trôû thaønh:

u v 2 u 1

u.v 1 v 1

Vaäy:

2

2 2x 1

1 x 1 y x 1 3 x

y

y 3 x y 3 xy x 2 1

x 1 x 2

hay

y 2 y 5

.

Baøi 12: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006

Giaûi heä phöông trình:

2 2

2 2

(x y)(x y ) 13

(x y)(x y ) 25

(x, y )

Giaûi

2 2 2 2

2 2 2

(x y)(x y ) 13 (x y)(x y ) 13 (1)

(x y)(x y ) 25 (x y)(x y) 25 (2)

3

2

(x y) 1 x y 1

x y 5(x y) 25

(3; 2) hoaëc (2; 3)

Baøi 13: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006

Giaûi heä phöông trình:

2 2

2 2 2

x xy y 3(x y)

x xy y 7(x y)

(x, y ).

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

116

Giaûi

Ñaët u = x y, v = xy

Ta coù:

2

2

u 3u v 0 u 0 u 1

v 0 v 2v 2u

u 0 x 0

v 0 y 0

u 1 x 2 x 1

hoaëc

v 1 y 1 y 2

Baøi 14: DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2005

Giaûi heä phöông trình:

2 2x y x y 4

x x y 1 y y 1 2

Giaûi

Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông

2 2

2 2

x y x y 4 0

x y x y xy 2

2 2x y x y 4 0

xy 2

(I)

Ñaët S = x + y, P = x.y

(I)

2S 2P S 4 0

P 2

2

2

P 2

thoûamaõn S 4P

S 0

P 2

thoûamaõn S 4P

S 1

Vôùi S = 0, P = 2 thì x, y laø nghieäm cuûa phöông trình: X2

– SX + P = 0

X2

– 2 = 0

1

2

X 2

X 2

.

Vaäy nghieäm cuûa heä

x 2 x 2

y 2 y 2

Vôùi S = 1, P = 2 thì x, y laø nghieäm cuûa phöông trình: X2

– SX + P = 0

X2

+ X – 2 = 0

1

2

X 1

X 2

Vaäy nghieäm cuûa heä

x 1 x 2

y 2 y 1

Toùm laïi: Heä coù 4 caëp nghieäm ( 2; 2), ( 2; 2), (1; 2), ( 2; 1) .

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

117

Baøi 15: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2

Giaûi heä phöông trình:

2x y 1 x y 1

3x 2y 4

Giaûi

2x y 1 x y 1

(2x y 1) (x y) 5

. Ñieàu kieän: x + y 0; 2x + y + 1 0 (*)

Ñaët u = 2x y 1 0 ; v x y 0

Heä trôû thaønh:

1

12 2

2

u 2

u v 1 2x y 1 4 x 2

v 1x y 1 y 1u v 5

u 1 loaïi

(thoûa maõn (*) neân laø nghieäm)

Baøi 16:

Giaûi heä phöông trình

3

1 1x y

x y

2y x 1

Giaûi

Ñieàu kieän: xy 0. Heä phöông trình töông ñöông vôùi:

3 4

3

y xx y y x 0 xy 1

xy hoaëc

2y x 1 x x 2 02y x 1

2 2

3 2

xy 1y x 0

hoaëc1 1 3

x 2x 1 0 x x 0 voâ nghieäm

2 2 2

2

y x 0

x 1 x x 1 0

x = y = 1 x = y = 5 1 .

Baøi 17:

Giaûi heä phöông trình

2

2

2

2

y 23y

x

x 23x

y

Giaûi

Nhaän xeùt: Vôùi xy 0 thaáy veá phaûi döông neân suy ra x > 0, y > 0 .

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

118

Ta coù heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông

2 2

2 2

3yx y 2 1

3xy x 2 2

(1) (2) ta ñöôïc 3xy (x y) = (y x) (y + x)

(x y) (3xy + x + y) = 0

1

2

x 1

x 2 loaïi

y = x, theá vaøo (1) ta ñöôïc 3x3

x2

2 = 0

(x 1) (3x2

+ 2x + 2) = 0 x = 1 y = 1 (thoûa maõn)

Vaäy heä phöông trình coù moät nghieäm

x 2 x 2

y 2 y 2

.

Baøi 18:

Giaûi heä phöông trình

3x y x y

x y x y 2

Giaûi

Ñieàu kieän

x y 0

x y 0

Khi ñoù heä phöông trình

2 3

2

x y x y

x y x y 2

2

x y 0 x y = 1 x y 0 x y 1

x y 2 x + y = 1 (loaïi)x+y x y 2 0

3x =

x 1 2

y 1 1y

2

.

Baøi 19: CAO ÑAÚNG BAÙN COÂNG HOA SEN

Giaûi heä phöông trình:

2 2

x y y x 6

x y y x 20

Giaûi

Ñieàu kieän: x 0; y 0 (*)

Ñaët u = x 0,v y 0

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

119

Ñöa veà heä:

2 2

4 2 2 4

u v uv 6

u v u v 20

Giaûi heä naøy ta ñöôïc

u 1 u 2

;

v 2 v 1

Nghieäm cuûa heä ñaõ cho (x; y) = (4; 1) hay (x; y) = (1; 4) .

Vaán ñeà 4: PHÖÔNG TRÌNH, HEÄ PHÖÔNG TRÌNH

BAÁT PHÖÔNG TRÌNH COÙ CHÖÙA THAM SOÁ

A. ÑEÀ THI

Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2011

Tìm m ñeå heä phöông trình sau coù nghieäm.

3 2

2

2x y 2 x xy m

x x y 1 2m

(x, y R).

Giaûi

Ta coù: 3 2

2

2x y 2 x xy m

x x y 1 2m

3 2 2

2

2x x y 2x xy m

x x 2x y 1 2m

2

2

x 2x y x 2x y m

x x 2x y 1 2m

2

2

x x 2x y m

x x 2x y 1 2m

(*).

Ñaët: u = x2

– x =

2

1 1x

2 4

1u

4

.

v = 2x – y v R .

Heä (*) trôû thaønh:

uv m

u v 1 2m

u 1 2m u m

v 1 2m u

2

u u m 2u 1

v 1 2m u

2u u

m (1)

2u 1

v 1 2m u

.

Ñaët:

2u u

f(u)

2u 1

, vôùi

1u

4

.

Ta coù:

2

2

2u 2u 1f '(u)

2u 1

,

1 3u (Loaïi)

2f '(u) 0

1 3u (Nhaän)

2

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

120

u 1

4

1 3

2

+

f'(u) + 0

f(u) 2 3

2

5

8

–

Döïa vaøo baûng bieán thieân ta coù:

Heä ñaõ cho coù nghieäm (1) coù nghieäâm u thuoäc 1

;4

2 3

m2

.

Baøi 2: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2011

Tìm caùc giaù trò cuûa tham soá thöïc m ñeå phöông trình sau coù nghieäm:

6 x 2 (4 x)(2x 2) m 4 4 x 2x 2 ( x R ).

Giaûi

Ñieàu kieän: 1 x 4

Ñaët t = 4 2 2 x x vôùi x [1; 4]

t' = 1 1

2 4 2 2

x x

= 2 4 2 2

2 4 2 2

x x

x x

t' = 0 2 4 2 2 x x 16 – 4x = 2x – 2 6x = 18 x = 3 t = 3

Ñieàu kieän: 3 t 3 x 1 3 4

Ta coù: t2

= 2 + x + 2 (4 )(2 2)x x t' + 0

x + 2 (4 )(2 2)x x = t2

2 t 3

(1) thaønh: 4 + t2

= m + 4t

t2

– 4t + 4 = m (2)

3 6

Xeùt f(t) = t2

– 4t + 4 vôùi t [ 3 ; 3]

f'(t) = 2t – 4, f'(t) = 0 t = 2 f(t) = 0

t 3 2 3

f' 0 +

f 7 4 3 1

0

(1) coù nghieäm (2) coù nghieäm t [ 3 ; 3] 0 m 1.

Baøi 3: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2008

Tìm giaù trò cuûa tham soá m ñeå heä phöông trình

x my 1

mx y 3

coù nghieäm (x; y)

thoûa maõn xy < 0.

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

121

Giaûi

Ta coù:

x my 1

mx y 3

2

x y

1 m 1 m 1 1

D 1 m , D 1 3m, D 3 m

m 1 3 1 m 3

Ta thaáy: m, D = 1 + m2

0 heä luoân coù nghieäm:

2

2

1 3mDxxx

D 1 m

Dy 3 my y

D 1 m

Heä coù nghieäm (x; y) thoûa xy < 0

2 2

1 3m 3 m. 0

m 1 m 1

(1 + 3m)(3 – m) < 0 1

m

3

hay m > 3

Baøi 4: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ ÑOÁI NGOAÏI

Ñònh m ñeå heä phöông trình sau voâ nghieäm:

2 2

x y xy m

x y xy m 1

Giaûi

S = x + y, P = xy

Heä trôû thaønh

2S P m

S vaø P laø nghieäm phöông trình: X mX m 1 0

PS m 1

X = 1 hay X = m – 1

Vaäy (S = 1, P = m – 1) hay (S = m – 1, P = 1)

Heä voâ nghieäm S2

– 4P < 0

2

1 4(m 1) 0

(m 1) 4 0

5

4

< m < 3.

Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006

Tìm m ñeå phöông trình sau coù hai nghieäm thöïc phaân bieät: 2x mx 2 2x 1

Giaûi

Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät: 2x mx 2 2x 1 (1)

2 2

2

1x2x 1 0

2

x mx 2 (2x 1)f x 3x (m 4)x 1 0 (2)

(1) coù 2 nghieäm phaân bieät (2) coù hai nghieäm x1, x2 thoûa maõn: 1 2

1x x

2

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

122

2(m 4) 12 0

S m 4 1

2 6 2

1 3 m 4f 1 0.

2 4 2

9

m

2

Baøi 6:

Tìm m ñeå heä phöông trình sau

x y 1

x x y y 1 3m

coù nghieäm

Giaûi

x y 1

x x y y 1 3m

(I)

Ñieàu kieän x 0, y 0

Ñaët 3

u x u x x, u 0

3

v = y v y y, v 0

(I) 3 3

u v 1

u v 1 3m

u3

+ (1 u)3

= 1 3m u2

+ u = m (0 u 1)

Khaûo saùt f(u) = u2

+ u; f'(u) = 2u + 1; f’(u) = 0 u = 1

2

Baûng bieán thieân

u 0 1

2 1

f'(u) + 0

f(u) 1

4

0 0

Nhôø baûng bieán thieân ta choïn 0 m 1

4

.

Baøi 7: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2

Cho phöông trình

2 2 2 35x m x 4 2 m 0

3

Chöùng minh raèng vôùi moïi m 0 phöông trình luoân coù nghieäm.

Giaûi

2 2 2 35x m x 4 2 m 0

3

(1)

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –

123

Ñaët 2t x 4 2 t

2

= x2

+ 4 x2

= t2

– 4

(1) t2

– 4 +

2 5m t

3

+ 2 – m3

= 0

f(t) = t2

+

2 5m t

3

2 – m3

= 0 (2)

Xeùt 1.f(2) =

3 2 3 24 4m 2m m 2m h(m)

3 3

h'(m) = 3m2

+ 4m; h'(m) = 0 m = 0 4

m

3

Baûng bieán thieân:

x

0

4

3

+

h'(m) + 0

h (m)

4

27

4

3

Vaäy khi m 0 thì h(m) < 0 a.f(2) < 0 (2) coù nghieäm t1 < 2 < t2

(1) luoân coù nghieäm m

Baøi 8: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ ÑOÁI NGOAÏI

Xaùc ñònh m ñeå phöông trình sau ñaây coù nghieäm: 2x 2x 3 m = 0

Giaûi

Phöông trình 2x 2x 3 = m, ñieàu kieän m 0

x2

2x + 3 = m2

(x – 1)2

= m2

– 2

YCBT m2

– 2 0 m2

2 m 2 (vì m 0)