Post on 04-Aug-2020
Capıtulo 3Algebra (aneis) de
polinomios
Uma funcao de uma variavel real x e denominada polinomio com coefici-entes no corpo K se puder ser representada como
f(x) = a0
+ a1
x+ · · ·+ anxn, ai 2 K, 1 i n.
B Exercıcio 87: Mostre que os coeficientes ai acima sao unicos COs polinomios formam uma subalgebra da algebra das funcoes reais, de-
notada por R[x]. Para o caso de polinomios sobre um corpo K arbitrario,usaremos uma definicao mais apropriada e geral.
B Exemplo 16: Os polinomios p(x) = x e q(x) = x3 sobre o corpo Z3
tomam os mesmos valores, enquanto que os polinomios p(x) = x e q(x) = x2
sobre o corpo Z2
tambem tomam os mesmos valores CTome o espaco vetorial K1 das sequencias de elementos sobre um corpo
K onde somente um numero finito de entradas sao nao nulas. Enumeramos
47
48 3. ALGEBRA (ANEIS) DE POLINOMIOS
os termos de tais sequencias de tal maneira que uma base {e0
, e1
, . . . , ek, . . .}para K1 pode ser obtida denotando por ek a sequencia cujo k-esimo termoe igual a um e os demais termos sao nulos. Tal espaco vetorial munido deum produto — denotado aqui por justaposicao — eiej = ei+j e uma algebra,comutativa e associativa, onde e
0
faz o papel de identidade. Tal algebra edenotada por K[x].Convencionamos agora identificar elementos do tipo be
0
da algebra K[x],b 2 K, com os elementos de K. Denotamos tambem ek = xk e
(a0
, a1
, a2
, . . . , an 0, . . .) =nX
i=0
aiei =nX
i=0
aixi (3.1)
Os numeros a0
, a1
, a2
, . . . , an sao denominados coeficientes do polinomio, eo ultimo coeficiente nao nulo e chamado de coeficiente lıder, sendo que seuındice e o grau do polinomio p, denotado por deg p. Um polinomio e deno-minado monico se o coeficiente lıder associado e igual a um.
B Exercıcio 88: Mostre que deg (p+ q) max{deg p, deg q} e que deg pq= deg p + deg q CO produto entre polinomios com coeficientes ai e bj e outro polinomio com
coeficientes ck =Pk
i=0
aibk�i.
I Teorema 22: Considere p, q 2 K[x] e q 6= 0. Existem polinomios s e rtais que p = sq + r e, ou r = 0 ou deg r < deg q J
Demonstracao: (Dizemos que p e divisıvel por q se r = 0). Se deg q >deg p, tomamos s = 0 e r = p. Se deg q � deg p, considere p =
Pni=0
aixn�i
e q =Pm
i=0
aixm�i, onde a
0
, b0
6= 0, e defina
p1
= p� a0
b0
xn�mq,
que possue o grau menor do que o grau de p. Se o grau de p1
for menor doque o grau de q, podemos tomar s = a0
b0xn�m e r = p
1
. Se nao, podemosfazer o mesmo procedimento sucessivamente, ate obtermos um polinomio dotipo
s = c0
xn�m + c1
xn�m�1 + · · ·+ cn�m.
tal que deg (p � sq) < deg (q). Esse e o quociente da divisao de p por q er = p� sq e o resto. Tais polinomios sao unicos, pois dados
p = s1
q + r1
� s2
q + r2
, onde deg r1
< deg q e deg r2
< deg q.
Isso implica que r1
�r2
= (s2
�s1
)q e supondo que s1
6= s2
, entao deg (r1
�r2
)= deg (q
2
� q1
) + deg q � deg q, o que e uma contradicao. Portanto s1
= s2
e r1
= r2
3
49
A divisao de um polinomio pelo monomio (x�a) com resto, significa que oresto tem grau menor que um, ou seja, o resto e um elemento de K. Portanto,p(x) = (x�a)s(x)+r, o que implica que p(a) = r, e este e o chamado teoremade Bezout. Dizemos agora que um elemento a 2 K e uma raiz do polinomiop 2 K[x] se p(a) = 0.O teorema de Bezout implica que
I Teorema 23: O elemento a 2 K e uma raiz do polinomio p 2 K[x] se esomente se p e divisıvel por x� a Jque usaremos para provar o seguinte:
I Teorema 24: O numero de raızes de um polinomio nao nulo nuncaexcede o grau do polinomio JDemonstracao: Considere a
1
uma raiz de p 2 K[x]. Entao
p = (x� a1
)p1
, p1
2 K[x].
Considere agora a2
uma raiz de p1
2 K[x]. Entao
p1
= (x� a2
)p2
, p2
2 K[x],
e portanto p = (x� a1
)(x� a2
)p2
. Sucessivamente, encontramos finalmente
p = (x� a1
)(x� a2
) · · · (x� am)q, (3.2)
onde q 2 K[x] nao possui raızes do polinomio p. Os elementos ai sao todosraızes de p, pois para qualquer a 2 K, p(a) = (a�a
1
)(a�a2
) · · · (a�am)q(a)e ja que g(a) 6= 0, p(a) = 0 se e somente se a = aj para algum j entre 1 e m.Portanto o numero de raızes nunca excede m. Alem disso, m = deg p � degq deg p 3
I Obs.16: Uma raiz a do polinomio p e denominada raiz simples se p naofor divisıvel por (x � a)2. A multiplicidade da raiz a e o maximo k 2 N talque p seja divisıvel (x�a)k. Uma raiz simples possui portanto multiplicidadeigual a um JPodemos agora enunciar o teorema anterior de uma forma mais completa.
I Teorema 25: O numero de raızes de um polinomio levando-se em contasuas multiplicidades nunca excede o grau do polinomio. Tal numero e igualse e somente se o polinomio for um produto de fatores lineares JDemonstracao: Podemos reescrever (3.2) agrupando os mesmos fatores,
comop = (x� a
1
)k1(x� a2
)k2 · · · (x� ac)kc ,
50 3. ALGEBRA (ANEIS) DE POLINOMIOS
onde as raızes a1
, a2
, . . . , ac sao distintas. Podemos daı escrever
p = (x� aj)kjgi, onde gj(aj) 6= 0,
o que significa que aj e uma raiz de multiplicidade kj . Assim, o numero deraızes contadas juntamente com suas multiplicidades e igual a
k1
+ k2
+ · · ·+ kc = deg p� deg q.
3
B Exercıcio 89: Considere o polinomio p = b0
xn+b1
xn�1+· · ·+bn�1
x+bnque cinde em fatores lineares, ou seja, p = b
0
(x�a1
)(x�a2
) · · · (x�an), ondea1
, a2
, . . . , an sao raızes de p. Comparando os coeficientes de xp em ambasas expressoes para p, mostre as formulas de Viete:
a1
+ a2
+ · · ·+ an = �b1
b0
a1
a2
+ a2
a3
+ · · ·+ an�1
an =b2
b0
......
X
j1<j2<···<jk
aj1aj2 · · · ajk = (�1)kbkb0
......
a1
a2
· · · an = (�1)nbnb0
(3.3)
CB Exemplo 17: O polinomio p = x4 + a
1
x3 + a2
x2 + a3
x + a4
que tem araiz x = 1 com multiplicidade dois e raizes simples x = 2 e x = 3, pode serescrito pelas formulas de Viete como [?]
p = x4 � 7x3 + 17x2 � 17x+ 6
CNosso objetivo agora e demonstrar o teorema fundamental da algebra de
C. Para tanto necessitaremos de uma serie de lemas e corolarios.
I Definicao 5: Uma sequencia de numeros complexos zk onde k 2 Nconverge a um numero complexo z (denotaremos zk ! z) se |zk � z| ! 0 JI Lema 2: Suponha que zk ! z e seja p 2 C[z]. Entao p(zk) ! p(z) J
51
Demonstracao: Isso vem do fato de que se zk ! z e wk ! w, entaozkwk ! zw. 3
I Lema 3: Se |zk| ! 1 e p 2 C[z] e um polinomio de grau positivo,entao |f(zk)| ! 1 J
Demonstracao: Considere o polinomio p = b0
xn+b1
xn�1+ · · ·+bn�1
x+bn, com bn 6= 0. Entao
|f(zk)| = |zk|n����b0 +
b1
zk+ · · ·+ bn�1
zn�1
k
+bnznk
����
� |b0
|�✓|b
1
||zk|
� · · ·� |bn�1
||zn�1|k
� |bn||zk|n
◆
O termo entre parenteses tende a b0
e portanto |f(zk)| ! 1 3
I Lema 4: (d’Alembert) Seja p 2 C[x] um polinomio de grau positivo ez0
2 C tal que p(z0
) 6= 0. Entao em qualquer vizinhanca de z0
existe z 2 Ctal que |p(z)| < |p(z
0
)| J
Demonstracao: Em geral,
p(z)
p(z0
)= 1+dj(z�z
0
)j +dj+1
(z�z0
)j+1+ · · ·+dn(z�z0
)n, dj 6= 0. (3.4)
Provaremos agora que o modulo da expressao acima e menor que um. Escolhaz = z
0
+ tz1
, t 2 (0, 1) e z1
2 C tal que djzj1
= �1. A Eq.(3.4) implica que
p(z)
p(z0
)= 1� tj + tj+1q(t),
onde deg q = n � j � 1. Se A e o valor maximo dos coeficientes de q, entao|q(t)| (n� j)A, o que implica em
����p(z)
p(z0
)
���� 1� tj + (n� j)Atp+1 = 1� tj(1� (n� j)At) < 1,
para t < 1
(n�j)A 3
De posse desses resultados podemos entao provar o teorema fundamentalda algebra:
I Teorema 26: Todo polinomio de grau positivo sobre o corpo dos com-plexos possui raiz J
52 3. ALGEBRA (ANEIS) DE POLINOMIOS
Demonstracao: Considere p 2 C[z] um polinomio de grau positivo. SejaM = inf
z|p(z)|. Pela definicao de ınfimo, existe uma sequencia de numeros
complexos zk tal que |p(zk) ! M . Se a sequencia zk for ilimitada, ela contemuma subsequencia que tende ao infinito. Isso contradiz o Lema acima queantecede o Lema de d’Alembert. Portanto existe B > 0 tal que |zk| B, 8k 2N. Escrevendo zk = xk + iyk, entao |xk| |zk| B e |yk| |zk| B. Peloteorema de Bolzano-Weierstrass, a sequencia (xk) possui uma subsequencia(xk`) convergente e portanto (xk`) ! x
0
. Da mesma maneira (yk`) ! y0
eportanto (zk) ! z
0
, o que implica em |p(zk)| ! |p(z0
)| = M . Se M > 0isso contradiz o lema de d’Alembert, pois se p(z
0
) 6= 0, tal lema nos diz que|p(z)| < |p(z
0
)| em uma vizinhanca proxima de z0
. Portanto M = 0 e daıp(z
0
) = 0 3
B Corolario 3: Em C[x] qualquer polinomio cinde em fatores lineares CDemonstracao: Na Eq.(3.2) o polinomio q deve ter grau zero, pois ele
pode cindir em polinomios de grau menor e assim sucessivamente, ate que pseja o produto de fatores lineares e portanto q 2 C 3
Pelo Teorema anterior, segue-se o
B Corolario 4: Todo polinomio de grau n sobre C possui n raızes, contadasjuntamente com suas multiplicidades C
Capıtulo 4Operadores Lineares e
Dualidade
4.1 Preliminares
Uma aplicacao linear � : W ! V e unicamente determinada pelas imagensdos vetores da base de W . Com efeito, dada uma base {ei} de W , para todovetor v =
Pi aiei temos
�(v) =X
i
ai�(ei)
Se vi 2 V sao vetores arbitrarios, entao � : W ! V definido como �(v) =Pi aivi e linear, e �(ei) = vi. Considerando � : Kn ! Km um mapa linear,
aplicando � a e1
, e2
, . . . , en 2 Kn, temos que
�(ej) = (a1j , a2j , . . . , amj)
| 2 Km, j = 1, 2, . . . , n.
A matriz do operador � na base {ei} e a matriz (aij) determinada por �(ei) =Pj aijej .
53
54 4. OPERADORES LINEARES E DUALIDADE
B Exemplo 18: A rotacao de um vetor por um angulo ✓ e um operadorlinear em R2. Em uma base ortonormal sua matriz e dada por
⇧(✓) =
✓cos ✓ � sin ✓sin ✓ cos ✓
◆
Em particular, uma rotacao de ⇡/2 nessa base corresponde a matriz
✓0 �11 0
◆.
Encontremos a matriz de tal operador na base
e01
= 2e2
e02
= e1
� e2
A matriz mudanca de base B e dada por
B =
✓0 12 �1
◆) B�1 =
✓1/2 1/21 0
◆
Portanto
⇧(✓)0 = B�1⇧(✓)B =
✓1/2 1/11 0
◆✓0 �11 0
◆✓0 12 �1
◆=
✓�1 1�2 1
◆
CI Definicao 6: Um subespaco vetorial U ⇢ V e invariante com respeito aum operador linear � 2 End(V ) se �(U) ⇢ U JA restricao �|U de � ao subespaco invariante U e uma aplicacao linear em U .Se escolhemos uma base {e
1
, . . . , en} de V , tal que U = he1
, . . . , eki — o quee sempre possıvel — entao a matriz de � tem a forma
✓A B0 C
◆(4.1)
onde A e a matriz do operador �|U na base {e1
, . . . , ek}, C e uma matriz deordem (n� k) e B e uma matriz k ⇥ (n� k).
No caso em que V = U �W , onde U e W sao dois subespacos invariantes,se {e
1
, . . . , ek} e base de U e {ek+1
, . . . , en} e base de W , entao {e1
, . . . , en}e base de V , e nessa base podemos escrever a representacao matricial de �como ✓
A 00 C
◆
onde A e a matriz do operador �|U na base {e1
, . . . , ek} e C e a matriz dooperador �|W na base {ek+1
, . . . , en}. Mais geralmente, se pudermos cindir
4.2. TRANSFORMACOES GRADIENTE E CONTRAGRADIENTE 55
V como a soma direta de k subespacos invariantes V = V1
� V2
� · · · � Vk,entao na base de V , formada por bases dos subespacos Vi, a matriz de � eda forma 0
BBB@
A1
0 · · · 00 A
2
· · · 0...
.... . .
...0 0 · · · An
1
CCCA
onde Ai e a matriz do operador �|Vi .
B Exemplo 19: Similarmente, a rotacao em torno de um eixo por umangulo ✓ e um operador linear em R3. Numa base ortonormal {e
1
, e2
, e3
} talque e
3
seja colinear com o eixo de rotacao, o operador tem a seguinte forma:✓⇧(✓) 00 1
◆
Isso concorda com a maneira pela qual R3 e cindido na soma direta R3 =he
1
, e2
i � he3
i CB Exercıcio 90: Seja � : K3 ! K3 dada por �(x, y, z) = (x + z,�2x +y,�x+2y+4z). A matriz de � em relacao a base canonica de K3 e dada por
0
@1 0 1�2 1 0�1 2 4
1
A
Seja uma outra base {f1
, f2
, f3
} de K3 dada por f1
= (1, 0, 1), f2
= (�1, 2, 1)e f
3
= (2, 1, 1). Determine a matriz de � na base {fi}C
4.2 Transformacoes Gradiente e Contragradiente
A diferenca entre vetores e covetores pode ser bem explorada quando con-sideramos por exemplo, o efeito de uma mudanca de base. Vamos consi-
derar uma mudanca BB�! B0 descrita por e0j =
Pni=1
Bijei. Um vetor v
tem coordenadas {vi} na base B e coordenadas {v0i} na base B0, de modoque v =
Pi v
iei =P
i v0ie0i. A relacao entre essas coordenadas e portanto
vj =P
i Bjiv
0i.Sejam agora B⇤ = {ei} e B0⇤ = {e0i} as bases respectivamente duais as
bases B = {ei} e B0 = {e0i}, respectivamente. Temos portanto ei(ej) =e0i(e0j) = �ij . Como vimos acima, as coordenadas de um funcional ↵ 2 V ⇤
nas bases B⇤ e B0⇤ sao dadas pelo valor desse funcional nas bases B e B0,respectivamente. Logo ↵ = ↵ie
i = ↵0ie
0i onde ↵i = ↵(ei) e ↵0i = ↵(e0i). Se
56 4. OPERADORES LINEARES E DUALIDADE
e0j =P
i Bijei entao ↵0
j =P
i Bij↵i e daı ej =
Pi B
jie
0i. Em resumo, numamudanca de base as coordenadas de um covetor transformam-se da mesmamaneira que os vetores da base, ou seja, enquanto que as coordenadas de umvetor transformam-se da mesma maneira que os covetores da base dual.As vezes se denomina a transformacao dos vetores da base de gradiente
e a transformacao das coordenadas de contragradiente. Segundo essa deno-minacao entao os vetores da base dual se transformam de maneira contra-gradiente enquanto as coordenadas dos covetores se transformam de maneiragradiente.
B Exemplo 20: Sejam B = {ei} a base canonica de R3, ou seja, e1
=(1, 0, 0), e
2
= (0, 1, 0) e e3
= (0, 0, 1), e B0 = {e0i} uma outra base tal quee01
= (�1,�1, 1), e02
= (�1, 0, 1) e e03
= (2, 1,�1). Dado um vetor v = viei =v0ie0i, a relacao entre suas coordenadas {vi} e {v0i} com relacao a estas basespode ser expressa na forma
0
@v1
v2
v3
1
A =
0
@�1 �1 2�1 0 11 1 �1
1
A
0
@v01
v02
v03
1
A ,
0
@v01
v02
v03
1
A =
0
@1 �1 10 1 11 0 1
1
A
0
@v1
v2
v3
1
A ,
enquanto a relacao entre os vetores das bases e
e01
= �e1
� e2
+ e3
, e1
= e01
+ e03
,
e02
= �e1
+ e3
, e2
= �e01
+ e02
,
e03
= 2e1
+ e2
� e3
, e3
= e01
+ e02
+ e03
.
Seja B⇤ = {ei} e a base dual de B. Escrevendo os vetores {ei} como
e1
= (1, 0, 0)| , e2
= (0, 1, 0)| , e3
= (0, 0, 1)| ,
entao a base dual e escrita como
e1 =�1 0 0
�, e2 =
�0 1 0
�, e3 =
�0 0 1
�.
Seja agora B0⇤ = {e0i} a base dual de B0. Devemos ter portanto e0i(e0j) = �ij ,ou seja, e01(e0
1
) = 1, e01(e02
) = e01(e03
) = 0, etc. Para acharmos a relacaoentre os vetores das bases duais podemos, por exemplo, agir com e0i sobre osvetores ej expressos em termos de B0. Por exemplo:
e01(e1
) = e01(e01
+ e03
) = e01(e01
) + e01(e03
) = 1,
e01(e2
) = e01(�e01
+ e02
) = �e01(e01
) + e01(e02
) = �1,
e01(e3
) = e01(e01
+ e02
+ e03
) = e01(e01
) + e01(e02
) + e01(e03
) = 1,
4.2. TRANSFORMACOES GRADIENTE E CONTRAGRADIENTE 57
de onde concluımos que e01 = e1� e2+ e3. O procedimento analogo pode serusado para expressar ei em termos da base B0⇤. Os resultados que encontra-mos sao
e01 = e1 � e2 + e3, e1 = �e01 � e02 + 2e03,
e02 = e2 + e3, e2 = �e01 + e03,
e03 = e1 + e3, e3 = e01 + e02 � e03.
Seja agora o funcional linear ↵ tal que
↵(v) = ↵1
v1 + ↵2
v2 + ↵3
v3,
onde {↵i} sao as componentes de ↵ na base B⇤. Se escrevemos as componen-tes de v em termos de uma matriz-linha, entao as componente do funcionallinear ↵ podem ser escritas em termos da matriz-coluna [↵]B⇤ =
�↵1
,↵2
,↵3
�.
Com isso
↵(v) =�↵1
,↵2
,↵3
�0
@v1
v2
v3
1
A = ↵1
v1 + ↵2
v2 + ↵3
v3.
Se ↵0i sao as componentes de ↵ na base B0⇤, ou seja, ↵ = ↵ie
i = ↵0ie
0i,encontramos a seguinte relacao entre as componentes:
�↵1
,↵2
,↵3
�=
�↵01
,↵02
,↵03
�0
@1 �1 10 1 11 0 1
1
A ,
�↵01
,↵02
,↵03
�=
�↵1
,↵2
,↵3
�0
@�1 �1 2�1 0 11 1 �1
1
A
Com isso vemos que, ao multiplicar uma matriz pela direita por um vetor-coluna, estamos relacionando as coordenadas de um vetor em uma base Aem termos das coordenadas em uma base B, enquanto ao multiplicar essamesma matriz pela esquerda por um vetor-linha, estamos relacionando ascoordenadas de um covetor na base B em termos das coordenadas na baseA. CB Exemplo 21: Seja F o espaco das funcoes contınuas f : R ! R. Aintegral L(f) =
R x1
x0f(x)dx define um funcional linear L sobre F . Vamos
agora considerar o subconjunto P2
de F formado pelas funcoes polinomiaisP de grau menor ou igual a 2, ou seja, P (x) = a+ bx+ cx2. Uma base paraeste espaco e portanto B = {1, x, x2}, e denotaremos
e1
= 1, e2
= x, e3
= x2.
58 4. OPERADORES LINEARES E DUALIDADE
Vamos definir os seguintes funcionais lineares sobre P2
:
Li(P ) =
Z i
0
p(x)dx, i = 1, 2, 3 .
Temos explicitamente
L1(P ) = a+1
2b+
1
3c, L2(P ) = 2a+ 2b+
8
3c, L3(P ) = 3a+
9
2b+ 9c.
Se {ei} e a base dual de {ei} entao da equacao acima podemos concluir que
L1 = e1 +1
2e2 +
1
3e3, L2 = 2e1 + 2e2 +
8
3e3, L3 = 3e1 +
9
2e2 + 9e3.
Seja {Li} a base da qual {Li} e a base dual, ou seja, Li(Lj) = �ij , ComoLi = ejLi(ej) e ej = Li(ej)Lj , e da expressao acima temos diretamente{Li(ej)}, segue de imediato a expressao de {ei} em termos de {Li},
e1
= L1
+ 2L2
+ 3L3
, e2
=1
2L1
+ 2L2
+9
2L3
, e3
=1
3L1
+8
3L2
+ 9L3
.
A relacao inversa pode ser obtida com as manipulacoes usuais e o resultadoe
L1
= 3� 5x+3
2x2, L
2
= �3
2+ 4x� 3
2x2, L
3
=1
3� x+
1
2x2.
Esta e portanto a base de P2
da qual a base {Li} e a base dual. Uma vezque Li = ej(Li)ej e ej = ej(Li)Li, segue da expressao acima a relacao para{ei} em termos de {Li}, ou seja,
e1 = 3L1 � 3
2L2 +
1
3L3, e2 = �5L1 + 4L2 � L3, e3 =
3
2L1 � 3
2L2 +
1
2L3.
Finalmente, um funcional arbitrario L,
L(P ) =
Z x1
x0
p(x)dx,
pode ser escrito, por exemplo, na forma
L = �1
e1 + �2
e2 + �3
e3 = l1
L1 + l2
L2 + l3
L3
onde
�1
= (x1
� x0
), �2
=x2
1
� x2
0
2, �
3
=x3
1
� x3
0
3,
enquanto as coordenadas {li} sao dadas por
�l1
l2
l3
�=
��1
�2
�3
�0
@3 �3/2 1/3�5 4 �13/2 �3/2 1/2
1
A
C
4.3. FUNCIONAIS BILINEARES 59
4.3 Funcionais Bilineares
Os axiomas de espaco vetorial nao incorporam a geometria dos vetores noespaco euclidiano pois nao ha como se definir comprimento e angulo entrevetores sem introduzir o conceito de metrica no seu espaco. Consideramosnesta Secao funcoes que generalizam o produto interno.
I Definicao 7: Um funcional bilinear (ou forma bilinear) em um K-espacovetorial V e uma funcao B : V ⇥ V ! K que e linear em cada argumento JPor bilinearidade entendemos a linearidade em cada um dos argumentos daaplicacao, ou seja, dados a, b 2 K e u, v, w 2 V , entao B(av + bu, w) =aB(v, w) + bB(u,w) e B(v, au+ bw) = aB(v, u) + bB(v, w).
I Obs.17: Adotaremos de agora em diante a notacao B para uma forma aprincıpio arbitraria, g para uma forma bilinear simetrica e � para uma formabilinear alternada JB Exemplo 22: O produto interno em R3 e uma funcao bilinear em R3.
A funcao g(f1
, f2
) =R b
af1
(x)f2
(x)dx e uma funcao bilinear em C[a, b]. Ja afuncao g(X,Y ) = Tr(XY ) e uma funcao bilinear no espaco M(n,K) CO nucleo de uma funcao bilinear B e o subespaco ker g = {v 2 V |B(u, v) =
0, 8u 2 V }. Dizemos que B e nao-degenerada se ker B = {0}. Pode-semostrar que o funcional bilinear g e nao-degenerado se e somente se paracada vetor v 6= 0 existir um vetor u 6= 0 tal que B(v, u) 6= 0.O espaco vetorial equipado com um funcional bilinear g : V ⇥ V ! K e
dito um espaco com produto escalar. A quantidade simetrica g(v, u) e muitasvezes chamada produto escalar entre os vetores v e u se alem das propriedadesacima citadas, g satisfizer g(v, v) � 0. Se g(v, u) = 0 dizemos que os vetoresv e u sao ortogonais em relacao a g. Num caso arbitrario um vetor nao-nulov pode ser ortogonal a si proprio, ou seja, g(v, v) = 0. Tais vetores sao ditosisotropicos.Um funcional bilinear g e dito simetrico se g(v, u) = g(u, v). Um espaco
vetorial equipado com um funcional bilinear simetrico e dito um espacoquadratico. Um funcional bilinear simetrico e completamente determinadopela forma quadratica Q(v) = g(v, v) atraves do processo de polarizacao. Defato, usando a propriedade de bilinearidade para calcularmos Q(v + u) =g(v + u, v + u), podemos escrever
g(v, u) =1
2(Q(v + u)�Q(v)�Q(u)).
Formalmente, dizemos que um espaco quadratico e um par (V,Q) onde Ve um K-espaco vetorial de dimensao finita e Q : V ! K e a aplicacao que