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CAPÍTULO 2: EL TENSOR DE TENSIONES
Área: mecánica de medios continuos y teoría de estructuras / Universidad de Málaga
Elasticidad y resistencia de materiales. Curso 2008/2009
CAPÍTULO 2:EL TENSOR DE TENSIONESCAPCAPÍÍTULO 2:TULO 2:EL TENSOR DE TENSIONESEL TENSOR DE TENSIONES
1. Introducción.
2. Componentes intrínsecas del vector tensión.
3. El tensor de tensiones.
4. Ecuaciones de equilibrio interno.
5. Reciprocidad de las tensiones tangenciales.
6. Lema de Cauchy.
7. Cambio de sistemas de referencia.
8. Tensiones y direcciones principales.
9. Representación gráfica del tensor de tensiones. Círculos de Möhr
10. Tensiones tangenciales máximas.
11. Tensiones octaédricas.
12. Tensor esférico y tensor desviador.
13. Tensión plana
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CAPÍTULO 2:EL TENSOR DE TENSIONESCAPCAPÍÍTULO 2:TULO 2:EL TENSOR DE TENSIONESEL TENSOR DE TENSIONES
1.1. IntroducciIntroduccióón.n.
2. Componentes intrínsecas del vector tensión.
3. El tensor de tensiones.
4. Ecuaciones de equilibrio interno.
5. Reciprocidad de las tensiones tangenciales.
6. Lema de Cauchy.
7. Cambio de sistemas de referencia.
8. Tensiones y direcciones principales.
9. Representación gráfica del tensor de tensiones. Círculos de Möhr
10. Tensiones tangenciales máximas.
11. Tensiones octaédricas.
12. Tensor esférico y tensor desviador.
13. Tensión plana
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uuuu
P(xP(xP(xP(x))))
PPPP2
PPPP1PPPPi
PPPPn
Ω
Γ
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CAPÍTULO 2:EL TENSOR DE TENSIONESCAPCAPÍÍTULO 2:TULO 2:EL TENSOR DE TENSIONESEL TENSOR DE TENSIONES
1. Introducción.
2.2. Componentes intrComponentes intríínsecas del vector tensinsecas del vector tensióón.n.
3. El tensor de tensiones.
4. Ecuaciones de equilibrio interno.
5. Reciprocidad de las tensiones tangenciales.
6. Lema de Cauchy.
7. Cambio de sistemas de referencia.
8. Tensiones y direcciones principales.
9. Representación gráfica del tensor de tensiones. Círculos de Möhr
10. Tensiones tangenciales máximas.
11. Tensiones octaédricas.
12. Tensor esférico y tensor desviador.
13. Tensión plana
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π
nnnn
nnnn
π
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π
TTTT
TTTT
π
σσσσττττ
σσσσ
ττττ
∆S
nnnn
nnnnS
TENSION TANGENCIAL:
Cambio de forma22nσστ −=
TENSION NORMAL:
Cambio de volumen
nn
rr ⋅= σσ
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CAPÍTULO 2:EL TENSOR DE TENSIONESCAPCAPÍÍTULO 2:TULO 2:EL TENSOR DE TENSIONESEL TENSOR DE TENSIONES
1. Introducción.
2. Componentes intrínsecas del vector tensión.
3.3. El tensor de tensiones.El tensor de tensiones.
4. Ecuaciones de equilibrio interno.
5. Reciprocidad de las tensiones tangenciales.
6. Lema de Cauchy.
7. Cambio de sistemas de referencia.
8. Tensiones y direcciones principales.
9. Representación gráfica del tensor de tensiones. Círculos de Möhr
10. Tensiones tangenciales máximas.
11. Tensiones octaédricas.
12. Tensor esférico y tensor desviador.
13. Tensión plana
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z
xy
P
π
TTTT
TTTT
π
σσσσ ττττ
σσσσττττ
∆S
nnnn
nnnnS P
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xy
P z
xy
P
z
xy
P
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TTTTx
TTTTxTTTTy
TTTTy
TTTTz
TTTTz
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TTTTx
TTTTy
TTTTz
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[ ] )z,y,x()z,y,x()z,y,x( ijσ==σ σ
( ))z,y,x()z,y,x()z,y,x()z,y,x( zyxij TTT=σ
σσσσσσσσσ
=σ)z,y,x()z,y,x()z,y,x(
)z,y,x()z,y,x()z,y,x(
)z,y,x()z,y,x()z,y,x(
)z,y,x(
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
ij
TTTTx
TTTTy
TTTTz
xxσ
zxσ
yxσ
zzσ
yzσ
xzσ
yyσ
zyσ
xyσ
Las tensiones tangenciales se notan como τ
Por lo que puede escribirse:
Que es la expresión habitual del tensor.
[ ]
=
zyzxz
zyyxy
zxyxx
στττστττσ
σr
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CAPÍTULO 2:EL TENSOR DE TENSIONESCAPCAPÍÍTULO 2:TULO 2:EL TENSOR DE TENSIONESEL TENSOR DE TENSIONES
1. Introducción.
2. Componentes intrínsecas del vector tensión.
3. El tensor de tensiones.
4.4. Ecuaciones de equilibrio interno.Ecuaciones de equilibrio interno.
5.5. Reciprocidad de las tensiones tangenciales.Reciprocidad de las tensiones tangenciales.
6.6. Lema de Lema de CauchyCauchy..
7. Cambio de sistemas de referencia.
8. Tensiones y direcciones principales.
9. Representación gráfica del tensor de tensiones. Círculos de Möhr
10. Tensiones tangenciales máximas.
11. Tensiones octaédricas.
12. Tensor esférico y tensor desviador.
13. Tensión plana
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equilibrio de un sólido rígido:
∑∑∑∑∑∑
===
===
;0;0;0
;0;0;0
ozoyox
zyx
MMM
FFF
equilibrio de un sólido elástico:
1.- equilibrio en el contorno (lema de Cauchy)
2.- equilibrio interno
ηηηη
TTTTTz
Tyl n
m
Tx
xxσxyσ
xzσ
zxσzyσ
zzσ
yxσ
yyσ
yzσ
dSxdSydSz
dS
x
y
z
LEMA DE CAUCHY
“en los puntos del contorno es necesario que las tensiones estén en equilibrio con la fuerza que actúa por
unidad de superficie”
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z
y
x
dxdy
dz
dSz
dSydSx
dS
sea P el vector fuerza que actúa por unidad de superficie en un punto del contorno, cuyas
componentes son PX, PY, PZ
la condición de equilibrio en el contorno implica que:
donde es la matriz de tensiones y es el vector normal a la superficie de contorno
uPrtr
⋅= σσt u
r
lo que, escrito en modo matricial, es:
ecuación que constituye el lema de Cauchy
⋅
=
n
m
l
P
P
P
zyzxz
zyyxy
zxyxx
z
y
x
στττστττσ
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considerando un volumen diferencial del interior del sólido, de lados (dx, dy, dz) orientado en las direcciones coordenadas Oxyz, su condición
de equilibrio es que la suma de fuerzas y momentos sea cero.
sea un sólido sometido a un sistema de fuerzas de volúmen, por ejemplo,
un campo gravitatorio o electromagnético
xxσxyσ
xzσ
zxσzyσzzσ
yxσyyσ
yzσ
dxdydz
considerando las tensiones sobre las caras del cubo se obtiene esta figura
EQUILIBRIO INTERNO
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dxxxy
xy ∂σ∂
+σ
dxxxz
xz ∂σ∂+σ
dxxxx
xx ∂σ∂+σ
xxσxyσ
xzσ
zxσzyσzzσ
yxσyyσ
yzσ
dxdydz
las tensiones de una cara trasera no son iguales y opuestas a las de la cara delantera correspondiente, como en el caso de un
punto (porque esas tensiones son en realidad las resultantes de todas las que actúan sobre
la cara).
la variación de esas tensiones de caras opuestas puede expresarse así:
dxx
dxx
xyxy
xxyydxx
xxx
xxdxx
δδτ
τττ
δδσσσσσ
+∆+=
+=∆+=
→∆+
→∆+
0)(
0
lim
lim
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dyyyy
yy ∂σ∂
+σ
dyyyz
yz ∂σ∂
+σ
dyyyx
yx ∂σ∂
+σ
dxxxy
xy ∂σ∂
+σ
dxxxz
xz ∂σ∂+σ
dxxxx
xx ∂σ∂+σ
xxσxyσ
zxσzyσzzσ
yxσyyσ
yzσ
dxdydz
xzσ
aplicando equilibrio en el sólido se obtienen las ecuaciones de equilibrio:
0;0
0;0
0;0
=+++⇒=
=+++⇒=
=+++⇒=
∑
∑
∑
zyzxzz
z
yzyxyy
y
xzxyxx
x
Vyxz
F
Vzxy
F
Vzyx
F
δδτ
δδτ
δδσ
δδτ
δδτ
δδσ
δδτ
δδτ
δδσ
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FFFFv
XXXXYYYY
ZZZZ
dzzzx
zx ∂σ∂+σ
dzzzz
zz ∂σ∂+σ
dzzzy
zy ∂σ∂
+σ
dyyyy
yy ∂σ∂
+σ
dyyyz
yz ∂σ∂
+σ
dyyyx
yx ∂σ∂
+σ
dxxxy
xy ∂σ∂
+σ
dxxxz
xz ∂σ∂+σ
dxxxx
xx ∂σ∂+σ
xxσxyσ
zxσzyσzzσ
yxσyyσ
yzσ
xzσ
dxdydz
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pero el sumatorio de momentos también ha de ser cero, es decir:
∑∑∑ === ;0;0;0 ozoyox MMM
con lo que el tensor de tensores puede escribirse de modo simétrico:
[ ]
=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
στττστττσ
σryxxy ττ =
y, como los diferenciales a partir de segundo orden son despreciables:
ESTO ES LA RECIPROCIDAD DE LAS TENSIONES TANGENCIALES
como las tensiones normales no producen momentos (su línea de acción pasa por el centro del cubo), los momentos se deben solamente a las tensiones tangenciales.
por ejemplo, para que el momento en el eje Z sea cero ha de cumplirse:
dxdydzdxdydz yxxy ττ =
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CAPÍTULO 2:EL TENSOR DE TENSIONESCAPCAPÍÍTULO 2:TULO 2:EL TENSOR DE TENSIONESEL TENSOR DE TENSIONES
1. Introducción.
2. Componentes intrínsecas del vector tensión.
3. El tensor de tensiones.
4. Ecuaciones de equilibrio interno.
5. Reciprocidad de las tensiones tangenciales.
6. Lema de Cauchy.
7.7. Cambio de sistemas de referencia.Cambio de sistemas de referencia.
8.8. Tensiones y direcciones principales.Tensiones y direcciones principales.
9. Representación gráfica del tensor de tensiones. Círculos de Möhr
10. Tensiones tangenciales máximas.
11. Tensiones octaédricas.
12. Tensor esférico y tensor desviador.
13. Tensión plana
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para pasar de OXYZ a OX’Y’Z’ hay que multiplicar por la MATRIZ DE PASO:
cuyos vectores columna son los vectores unitarios que definen elsistema OX’Y’Z’ expresadas sus componentes en el sistema OXYZ
[ ] '
n
m
l
;'
n
n
l
;'
n
m
l
siendo
nnn
mmm
lll
P
3
3
3
2
2
2
1
1
1
321
321
321
kjirrr
=
=
=
=
los avanzados conocimientos en álgebra del alumno sin duda le habrán permitido, a estas alturas, recordar que para transformar un vector u, expresado en los ejes OXYZ, a los ejes OX’Y’Z’, ha de premultiplicarse
por la matiz inversa a la de paso:
[ ] uP'u T rr ⋅=
De este modo se ha transformado el tensor de tensiones de un sistema a otro premultiplicandoy postmultiplicando por la matriz de paso o su
traspuesta
lo cual es extensivo a cualquier otro vector; por ejemplo
al vector tensión σ. Teniendo en cuenta el lema de Cauchy, en ambos sistemas de referencia, y
considerando que puede escribirse:
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]PP'
P'PT
T
⋅⋅=
⋅⋅=
σσσσrr
rr
[ ] nrrr ⋅= σσ
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TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES
Ya se ha visto que el vector tensión asociado a un plano tiene una componente normal y otra tangencial (las
componentes intrínsecas).
A continuación se intentará encontrar un plano en el que el vector tensión sólo tenga componente normal, o sea, que
se pueda obtener multiplicando la normal por un escalar σ.
[ ] [ ] [ ] [ ]( ) 0nInInn =⋅⋅−⇒⋅⋅=⋅⇒⋅=rrrrrr σσσσσσ
El desarrollo de esta expresión es una ecuación polinómicade grado 3 conocida como ecuación característica:
De cuya resolución se obtienen tres valores, los autovalores del tensor, que corresponden a los vectores tensión que sólo tienen componente normal. Son las tensiones principales σI,σII, σIII; se
admite por convenio que σI > σII > σIII.
0III 322
13 =−⋅+⋅− σσσ
El tensor de tensiones EN EJES PRINCIPALES es aquél en el que sus componentes son los vectores tensión asociados a los ejes coordenados cuando esos ejes coinciden con los cuando esos ejes coinciden con los ejes principalesejes principales. En ese caso los vectores tensión sólo tienen componente normal, de modo que el tensor de
tensiones toma esta forma (ver figura):
[ ]
=
III
II
I
00
00
00
σσ
σσr
I
II
III
IσIIσ
IIIσ
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CAPÍTULO 2:EL TENSOR DE TENSIONESCAPCAPÍÍTULO 2:TULO 2:EL TENSOR DE TENSIONESEL TENSOR DE TENSIONES
1. Introducción.
2. Componentes intrínsecas del vector tensión.
3. El tensor de tensiones.
4. Ecuaciones de equilibrio interno.
5. Reciprocidad de las tensiones tangenciales.
6. Lema de Cauchy.
7. Cambio de sistemas de referencia.
8. Tensiones y direcciones principales.
9. Representación gráfica del tensor de tensiones. Círculos de Möhr
10. Tensiones tangenciales máximas.
11. Tensiones octaédricas.
12. Tensor esférico y tensor desviador.
13. Tensión plana
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Esta figura de la izquierda representa un estado tensional biaxial; viene dado por unas tensiones normales y tangenciales, situdas en unos ejes que formarán un determinado ángulo con los ejes de
coordenadas Oxy. Pero es bastante confusa.
Pero esta otra forma es mucho más útil y sencilla de manejar. Es el círculo de Möhr; una representación gráfica plana de dos ejes:
Uno para las tensiones normales (σ).
Y otro para las tensiones tangenciales (τ).
Sobre el eje σ estarán las tensiones principales σI y σII
con la condición, ya comentada, de que σI > σII. El punto de tensión máxima es ortogonal al eje anterior y
su valor es:
2maxIII σστ −=
El análisis geométrico del círculo permite determinar,
por ejemplo, el ángulo α que las componentes de un estado tensional forman con los ejes coordenados:
2CE
DEtg2
yx
xy
σστ
α −==
Mediante el mismo tipo de análisis geométrico pueden determinarse las tensiones normales y tangencial.
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De modo que pueden calcularse, de modo simple e
intuitivo, las tensiones σx σy y τxy en función de las
tensiones principales σI y σII y el ángulo α que éstas forman con los ejes X e Y.
o mediante simples relaciones trigonométricas:
Lo que se ha representado con anterioridad para los planos contenidos en los ejes coordenados OX, OY es válido también para planos contenidos en los OX , OZ y OY, OZ; de modo que pueden dibujarse otras dos circunferencias sobre los dos ejes ortogonales que representan las tensiones normales y tangenciales. Es el
Círculo de Möhr en estado triaxial (“circunferencias de Mohr).
σσσσ
ττττ
σσσσΙΙΙΙΙΙΙΙσσσσΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ σσσσΙΙΙΙ
1.- ejes de tensiones normales y tangenciales
2.- circulo entre tensiones principales σI - σII, σII – σIII, σI - σIII
σσσσ
ττττ
σσσσΙΙΙΙΙΙΙΙσσσσΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ σσσσΙΙΙΙ 3.- lugar geométrico del extremo de cualquier vector tensión asociado a una normal
cualquiera (zona sombreada).
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τ
σσIσIII σIIOI OII OIII
τ
σ
αγ
τ
σIσIII σIIOI OII OIIIστ
σβ
αγ
β
σ
τ
σIσIII σIIOI OII OIII
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3. El tensor de tensiones.
4. Ecuaciones de equilibrio interno.
5. Reciprocidad de las tensiones tangenciales.
6. Lema de Cauchy.
7. Cambio de sistemas de referencia.
8. Tensiones y direcciones principales.
9. Representación gráfica del tensor de tensiones. Círculos de Möhr
10.10. Tensiones tangenciales mTensiones tangenciales mááximas.ximas.
11. Tensiones octaédricas.
12. Tensor esférico y tensor desviador.
13. Tensión plana
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Un análisis, no demasiado exaustivo, de las circunferencias de Möhr permite determinar de modo casi inmediato las tensiones tangenciales máximas (no olvidar que, al fin y al cabo, es un
método gráfico de cálculo)
τ
σσIσIII σIIOI OII OIII
2;
2;
2III
IIIIIII
IIIIIII
I
σστσστσστ −=−=−=
Son, obviamente, los radios de cada una de ellas:
Menos inmediata es la determinación de los ángulos que forman estas tensiones con os ejes coordenados; sus
valores son:
Para τ1; α = 90º; β = 45º; γ = 45º
Para τ2; α = 45º; β = 90º; γ = 45º
Para τ3; α = 45º; β = 45º; γ = 90º
τ
σβαγ
βσ
τ
σIσIII σIIOI OII OIII
En realidad sólo es inmediata la determinación de los ángulos de 90º, ya que al estar el punto en un círculo normal al planocorrespondiente forma 90º con uno de los ejes, Los de 45º de obtienen de cada círculo en el que los ángulos reales vienen ultiplicados por dos (ver círculo de Möhr en estado plano). Más información en el libro de Ortiz Berrocal
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1. Introducción.
2. Componentes intrínsecas del vector tensión.
3. El tensor de tensiones.
4. Ecuaciones de equilibrio interno.
5. Reciprocidad de las tensiones tangenciales.
6. Lema de Cauchy.
7. Cambio de sistemas de referencia.
8. Tensiones y direcciones principales.
9. Representación gráfica del tensor de tensiones. Círculos de Möhr
10. Tensiones tangenciales máximas.
11.11. Tensiones octaTensiones octaéédricas.dricas.
12. Tensor esférico y tensor desviador.
13. Tensión plana
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I
II
III
Son las coomponentes intrínsecas del vector tensión asociado a un plano cuyo vector unitario forma ángulos iguales con los tres ejes
principales.
Los ocho planos ABC análogos al del triedro de la figurade la derecha componen el octaedro de la figura inferior, de ahí el nombre de las tensiones.
Si los cosenos directores del vector unitario asociado al plano ABC son l, m,
n, se verifica que:
De modo que los ocho vectores unitarios son:
Cuyas componentes intrínsecas son:
Y los vectores tensión (o sea, las tensiones octaédricas) asociados a esos planos son:
Nótese que el tensor de
tensiones estáen ejes
principales
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2. Componentes intrínsecas del vector tensión.
3. El tensor de tensiones.
4. Ecuaciones de equilibrio interno.
5. Reciprocidad de las tensiones tangenciales.
6. Lema de Cauchy.
7. Cambio de sistemas de referencia.
8. Tensiones y direcciones principales.
9. Representación gráfica del tensor de tensiones. Círculos de Möhr
10. Tensiones tangenciales máximas.
11. Tensiones octaédricas.
12.12. Tensor esfTensor esféérico y tensor desviador.rico y tensor desviador.
13.13. TensiTensióón planan plana
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Una de las funciones de las tensiones ontaédricas es la descomposición del tensor de tensiones en el tensor esférico y el
tensor desviador.
Todo tensor de tensiones puede descomponerse en un tensor esférico y un tensor desviador de acuerdo a la siguiente expresión:
Que se obtiene sumando y restando al tensor el módulo de la tension normal octaédrica por la matriz unidad, y en la que:
El tensor esférico será útil en el estudio del cámbio de volúmen de un sólido sometido a un determinado estado de solicitaciones.
El tensor desviador será útil en el estudio del cámbio de forma de un sólido sometido a un
determinado estado de solicitaciones.
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TENSION PLANA
Es un caso especial que aparece en sólidos en los que una dimensión es muuucho menos que las otras dos.
Su estudio pormenorizado es objeto de la elasticidad plana, ahora se verán un par de nociones básicas.
Como las cargas que actuan según el eje OZ son nulas, lo son también las tensiones según ese eje, de modo que el tensor de tensiones tiene términos nulos, con lo que puede reducirse a
uno de dos por dos términos.
La construcción del círculo de Möhr en tensión plana es análoga a la que se vió para un estado biaxial, al principio del
apartado correspondiente.
Los sólidos planos se definen por un plano medio perpendicular a la sección menor y tanto las cargas como las restricciones al
desplazamiento actúan en ese plano medio.
¡ojo! Sería el caso del tablero de una mesa pero con las cargas y coacciones en los cantos, no en la base.
⇒
yxy
xyx
yxy
xyx
σττσ
σττσ
000
0
0