2.2.- Estado Espacial de Tensiones - Monografias.com · El estado espacial de tensiones en un...
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2.2.- Estado Espacial de Tensiones El estado espacial de tensiones en un punto, puede ser representado a través de una
matriz (tensor) de tensiones.
Sea N , el vector normal a un plano ubicado en el espacio.
L,M,N : cosenos directores del vector N
Sea ρn , el vector de tensiones que actúa sobre el plano orientado por N.
Tensiones deTensor :
zzyzx
yzyyx
xzxyx
donde ),,(ˆ NMLN 1Ly
cos
cos
cos222 NM
N
M
L
Tensiones deector ),,( Vzyxn
)1,0,0(ˆ donde ˆ*ˆ*
)0,1,0(ˆ donde ˆ*ˆ*
)0,0,1(ˆ donde ˆ*ˆ*
zNzAA
yNyAA
xNxAA
z
y
x
Realizando equilibrio de Fuerzas en cada una de las direcciones, se obtiene:
Escribiendo las ecuaciones de equilibrio en forma matricial: Calculemos la tensión Normal y Tangencial que se genera en el Plano definido por
el vector Normal N.
La tensión Tangencial puede ser calculada a partir del vector de tensiones o calculada a partir de σn.
2.2.1.- Esfuerzos Principales en el Estado Espacial de Tensiones
2.2.1.1.- Esfuerzos Principales
En el plano Principal τ = 0
Por definición el vector de tensiones es:
PROBLEMA DE VALORES PROPIOS
Sistema de ecuaciones de la forma ⇒ A X = 0
cos ; cos ; cos AAAAAA zyx
coscoscos 0 ) AAAAFi zxyxxxx
coscoscos 0 ) AAAAFii zyyxyyy
coscoscos 0 ) AAAAFiii zyzxzzz
N
M
L
N
zzyzx
yzyyx
xzxyx
z
y
x
n ˆ
N es normal cuya Plano
Nnnˆ
Tnnˆ
222
nnn
TN nnnˆˆ
Nnˆ
Nnˆ
NN ˆˆ
3x3 de Identidad matrizI donde 0ˆ ) ( NI
Dicho sistema para no tener la Solución Trivial (X = 0), debe cumplirse que:
El problema de la solución del sistema de ecuaciones mencionado, recibe el Nombre de
“PROBLEMA DE VALORES PROPIOS”.
De la Solución no Trivial se obtienen tres pares de vectores, conocidos como “Vectores
Propios” y son:
Tensiones Principales
Direcciones Principales, Vectores Unitarios Normales a los planos que actúan
las tensiones σ1, σ2 y σ3, respectivamente.
Resolviendo el Problema de Valores Propios, se tiene:
Desarrollando la expresión anterior, llegamos a una ecuación cúbica, de la forma:
Donde los términos I1 , I2 e I3 se denominan “INVARIANTES DE TENSIONES”
2.2.1.2.- Direcciones Principales
El Problema de Valores propios parte del sistema de ecuaciones de:
Resolviendo para cada tensión principal, encontramos sus direcciones principales
decir es , 0ADet 0IDet
)n,(y )n,( ; )n,( 332211
y , 321
ˆy ˆ,ˆ321 nnn
0
zzyzx
yzyyx
xzxyx
Det
0)(zyzx
yyx
xz
zzx
yzyx
xy
zzy
yzy
x
3
2
1
32
2
1
3 0III
zyI x1
222
xx2 yzxzxyzyzyI
222
xx3 2 xyzxzyyzyzxzxyzyI
3x3 de Identidad matrizI donde 0ˆ ) ( NI
1NML queen ),,(ˆ 0ˆ ) ( 2
1
2
1
2
1111111 NMLnnI
1NML queen ),,(ˆ 0ˆ ) ( 2
2
2
2
2
2222222 NMLnnI
1NML queen ),,(ˆ 0ˆ ) ( 2
3
2
3
2
3333333 NMLnnI
Resumiendo, tenemos un sistema Espacial de tensiones en un punto de un cuerpo sólido
cualquiera:
Calculamos las Tensiones y Direcciones Principales:
Calculamos el Esfuerzo de Corte Máximo que se desarrolla:
Giro de Coordenadas en el Espacio
Cualquier vector de componentes (x,y,z), se puede
transformar a un sistema de coordenadas (x’,y’,z’)
mediante una Matriz de Rotación ( R )
Son los ángulos que forma el eje x’ con los ejes x, y ,z,
respectivamente.
rRr
z
y
x
z
y
x
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
'''
'''
'''
coscoscos
coscoscos
coscoscos
'
'
'
'
, , ''' zxyxxx
Representan a las componentes del vector unitario en la
dirección de x’
Por lo tanto se debe cumplir que:
Análogamente:
Ello significa que:
Por otra parte los vectores x’, y’, z’ son ortogonales entre sí, por lo tanto:
Ejemplo:
Apliquemos lo anteriormente visto, al caso plano
Sea π la matriz de tensiones en un sistema X,Y,Z y π’ la matriz de tensiones en un sistema
X’,Y’,Z’.
Sea un plano Ω cuya normal en el sistema X,Y,Z es N y en el sistema X’,Y’,Z’ es N’.
zxyxxx ''' cos,cos,cos
1'ˆ'ˆ xx 1coscoscos '
2
'
2
'
2
zxyxxx
1'ˆ'ˆ yy 1coscoscos '
2
'
2
'
2
zyyyxy
1'ˆ'ˆ zz 1coscoscos '
2
'
2
'
2
zzyzxz
* IRRT 1
RRT
0'ˆ'ˆ zx 0coscoscoscoscoscos '''''' zzzxyzyxxzxx
0'ˆ'ˆ zy 0coscoscoscoscoscos '''''' zzzyyzyyxzxy
0'ˆ'ˆ yx 0coscoscoscoscoscos '''''' zyzxyyyxxyxx
r
Rr
y
x
y
x
cos)
2cos(
)2
cos(cos
'
'
'
cos
cos1
sen
senRR
T
nRnRP nnˆ 'ˆy ' ero
'ˆ ˆ pero ˆ ' nRnnRRT
nn
'ˆ''ˆ ' nnRRT
n
Luego, se tiene que:
Aplicado al caso Plano, se tiene que:
Tensor de Tensiones Estado Plano de Tensiones
Matriz de Rotación Estado Plano
Se comprueba que:
Reemplazando por las siguientes Identidades Trigonométricas:
Las direcciones Principales se obtienen haciendo τ = 0
TRR '
yyx
xyx
cos
cos
sen
senR
coscos
coscos
yyxxyx
yyxxyx
sensen
sensenR
'''
''''
yxy
yxxTRR
cos)(coscos
coscos2
cos2cos
queen 22
''
22
'
22
'
sensensen
sensen
sensen
yxyxyx
yxyxy
yxyxx
yxyx ''
)2cos1(2
1cos2 )2cos1(
2
12sen
cos22 sensen
(4) )2()2cos(22
' senxy
yxyx
x
(6) )2()2cos(22
' senxy
yxyx
y
(5) )2cos()2(2
'' xy
yx
yx sen
(7) )(
2)2(
yx
xy
ptg
Ejemplo:
Un punto de un sólido cualquiera, se encuentra solicitado por el estado tensional mostrado en la figura adjunta.
Se pide determinar:
i) Las Tensiones Principales y las Direcciones Principales
ii) La Tensión de Corte Máxima
iii) La Tensión Normal y Tangencial al plano cuya normal corresponde a (0,9623 ; 0,1925 ;
0,1925).
Solución:
1. Determinamos el Tensor de Tensiones c/r al Sistema de Orientación OXYZ :
2. Resolvemos el Problema de Valores Propios:
Desarrollando el Determinante Obtenemos:
Calculamos los Invariantes de Tensiones
Tensiones Principales
en Ton/m2
2Ton/m 9
1 a donde
a
zzyzx
yzyyx
xzxyx
51017
103420
172061
0
9
5
9
10
9
179
10
9
34
9
209
17
9
20
9
61
Det
0IDet
0 32
2
1
3 III
10x1 zyI
10222
xx2 yzxzxyzyzyI
242222
xx3 xyzxzyyzyzxzxyzyI
0241010 23
088,1
599,2
489,8
3
2
1
3. Direcciones Principales
Tensión Principal Mayor
Tensión Principal Intermedia
Tensión Principal Menor
Se debe verificar que:
4. Tensión de Corte Máxima
5. Tensión Normal y Tangencial al Plano cuya normal es N
1NML queen ),,(ˆ 0ˆ ) 489,8 ( 2
1
2
1
2
111111 NMLnnI
0
0
0
9,0446-10/917/9
10/94,7112-20/9
17/920/91,7122-
1
1
1
N
M
L
2748,0
5365,0
0,1
1
1
1
N
M
L
)0,2353 ; ,45950 ; 8565,0(ˆ1n
1NML queen ),,(ˆ 0ˆ ) 599,2 ( 2
2
2
2
2
222222 NMLnnI
0
0
0
3,1546-10/917/9
10/91,178820/9
17/920/94,1788
2
2
2
N
M
L
04896,0
8390,1
0,1
2
2
2
N
M
L
)0,2337- ; ,87270- ; 4776,0(ˆ2n
1NML queen ),,(ˆ 0ˆ ) 088,1 ( 2
3
2
3
2
333333 NMLnnI
0
0
0
0,532410/917/9
10/94,865820/9
17/920/97,8658
3
3
3
N
M
L
9572,4
6753,0
0,1
3
3
3
N
M
L
)0,9716- ; ,13240 ; 1960,0(ˆ3n
321ˆˆˆ nnn
)9716,0(ˆ)1324,0(ˆ)1959,0(ˆ
0234,08783,04776,0
2353,04595,08564,0
ˆˆˆ
ˆ3 kji
kji
n
)9716,0;1324,0 ; 1959,0(ˆ3n OK
23113 Ton/m 789,4
2máx
0,1925) ; 0,1925 ; 9623,0(N
Calcularemos el Vector de Tensiones en el Plano definido por la Normal N
Calcularemos la Tensión Normal al Plano definido por la Normal N
Calcularemos la Tensión Tangencial al Plano definido por la Normal N
2.3.- Tensiones en Cáscaras de Pared Delgada
2.3.1.- Cáscara Cilíndrica (tubo) de Pared Delgada sometida a una Presión Interna
(cte.)
Cilindro de radio “r” y espesor “t” (t<<r)
N
M
L
N
zzyzx
yzyyx
xzxyx
z
y
x
n ˆ
1925,0
1925,0
9623,0
9/59/109/17
9/109/349/20
9/179/209/61
z
y
x
9245,1
0792,3
3131,7
z
y
x
Ton/m 2
1925,0
1925,0
9623,0
4641,37735,56188,4Nnn
2Ton/m 00,8n
222
nnn
2222 Ton/m 8,1654641,37735,56188,4n
667,28667,66 22
n
2Ton/m 633,1n
alLongitudinTensión
TangencialTensión ct
I. Calculemos la Tensión Longitudinal, para lo cual tenemos que:
Realizar un corte transversalmente al cilindro (perpendicular al eje x y planteamos el
equilibrio en dirección “X”.
II. Calculemos la tensión tangencial , para lo cual debemos :
Realizar un corte longitudinalmente al cilindro (paralelo al eje x y planteamos el
equilibrio en dirección transversal.
0 0 ) px FFFi
2**
2**
rpApF
rtaF
p
alLongitudinTensión : 2t
pr
02 0 ) pz FFFit
rpApF
taF
p
t
2**
**
Círculo de Mohr de Tensiones en un Cilindro de Pared delgada
2.3.2.- Recipiente (estanque) Esférico de Pared Delgada sometida a una Presión
Interna (cte.)
Esfera de radio “r” y espesor “t” (t<<r)
Calculemos la tensión Normal que se desarrolla en el recipiente.
Realizar un corte transversal en el estanque esférico
TangencialTensión : t
prt
t2
1
0 0 ) px FFFi
2**
2**
rpApF
rtaF
p
NormalTensión : 2t
pr
2.4.- Estructuras de Superficie Curva y Pared Delgada
2.4.1.- Caso General de Cáscaras con Presión Interna (p)
La Superficie Curva queda definida por 2 Radios de Curvatura “R1 y R2”
Planteando Equilibrio del Elemento diferencial de la Superficie Curva
Reemplazando en la ecuación de equilibrio
Ejemplos:
I. Cilindro:
II. Esfera:
Ejemplo:
Se tiene un estanque cilíndrico de pared delgada sometida a una presión interna “Pi”.
Si se tiene un elemento infinitesimal sobre el manto del cilindro girado un ángulo q con
respecto a la horizontal. Se pide determinar la presión interna del estanque, el ángulo
q en que se encuentra el elemento girado y el valor del respectivo esfuerzo de corte.
Datos: r = 2,50 m. , t = 10 cm., sx’ = 166 kg/cm2, sy’ = 209 kg/cm2
)2/(2)2/(2 112221 dsentdSdsentdSdSpdS
2/)2/(y ; pero 2211 ddsendRdSdRdS
2
11
2
22
2
21 dtRdtRdRpR
1
2
2
1 RRt
p
t
pRt
tR
RR
22
11
;
;
22
11
;
;
RR
RR
t
pR
2
Solución:
Del Invariante de tensiones (I1), se tiene:
Pero:
De las Ecuaciones de Transformación de Tensiones Planas, se tiene:
La tensión de corte del elemento girado en un ángulo θ = 34,94º será:
Dibujemos los Estados Tensionales que se obtienen en el punto en análisis
???
kg/cm 209
kg/cm 166
''
2
'
2
'
yx
y
x
tyxyx2
3'' kg/cm 375
2
3 2
t kg/cm 125
kg/cm 250
2
2
t
kg/cm 25010
250** 2Pi
t
rPit kg/cm 10 2
iP
θsenτθσσσσ
σ xy
yxyx
x' 22cos22
θσσσσ
σ ttx' 2cos
22
θσ
θσσ ttt 2cos3
42cos
4
1
4
3661
656,2664
2cos3 tσ
θ 344,02cos θ º94,34 θ
)º94,34*2(2
2501252
2' senθsen
σσ tx'y
2
' kg/cm 69,58x'y
2.5.- Ecuaciones de Equilibrio de Tensiones
Analicemos un paralelepípedo de dimensiones dx, dy, dz con fuerzas internas por unidad de
volumen fx, fy y fz:
Planteando Equilibrio en la dirección “X” del elemento infinitesimal
Análogamente para las otras direcciones:
Las ecuaciones anteriores se pueden escribir en Notación Tensorial:
Donde:
Por ejemplo:
0
VolumenVol. unid.por Fuerzaárea
z cara Fuerza
área
y cara Fuerza
área
xcara Fuerza
dxdydzfdxdydzz
dxdzdyy
dydzdxx
xzxyxx
y con xzzxxyyx 0 xxzxyx fzyx
0 y
yzyyxf
zyx
0 zzzyzx f
zyx
1,2,3 j
1,2,3i 0 jij, if
3
1
3
1
jij, i j
ji
x x j
xx
x
0 1,2,3j
1i
1
312111
321
x
xxxxxxf
xxx
0
x
x
x
3
2
1
xxzxyxx f
zyxz
y
x
2.6.- Deformaciones en el Estado Espacial de Tensiones
Analicemos un paralelepípedo de dimensiones a, b, L sometido a un estado triaxial de
tensiones.
a) Estado axial de Tensiones σ1≠ 0 y σ 2 = σ 3 = 0
Análogamente si:
a1) σ 2≠ 0 y σ 1 = σ 3 = 0
a2) σ 3≠ 0 y σ 1 = σ 2 = 0
b
b
a
a321 y ;
113
112
11
EE
EE
EE
x
x
x
223
221
22
EE
EE
EE
y
y
y
332
331
33
EE
EE
EE
z
z
z
b) Estado Plano de Tensiones σ 1, σ 2 ≠ 0 y σ 3 = 0
Las deformaciones unitarias normales se obtienen por superposición de los casos a) y
a1).
c) Estado Espacial de Tensiones σ 1 , σ 2 y σ 3 ≠ 0
Las deformaciones unitarias normales se obtienen por superposición de los casos b) y
a2).
2.7.- Deformaciones por Corte Puro
Analicemos un cuadrado de dimensiones L x L sometido a un estado biaxial de tensiones,
que me genera un estado de corte puro.
)(
)(1
)(1
213
122
211
yx
xy
yx
EEE
EEE
EEE
)(1
)(1
)(1
2133
3122
3211
yxz
zxy
zyx
EEEE
EEEE
EEEE
0001
)1()(
1
EE
1
1
1
1
1
1
22
22
24g
t
De la expresión anterior, se define la Ley de Hooke para el Cizallamiento (Corte)
como:
En que G se denomina Módulo de Elasticidad al Corte o Módulo de Cizalle.
Sólo dos constantes definen un material homogéneo e isótropo, la tercera constante
es dependiente. Por ejemplo para el acero E=2,1x105 N/mm2 y m=0,30, entonces G ≈
8,1x104 N/mm2.
2.8.- Resumen de Relaciones Deformación vs Tensión
Deformaciones Normales:
Distorsiones Angulares:
21
21
24g
tg
tg
t
1
1
1
1
21
21
24g t
EE
)1(2)1(22 01
)2(1
EG donde
G
)(1
)
)(1
)
)(1
)
z
y
x
TE
iii
TE
ii
TE
i
tyxz
tzxy
tzyx
)1(2 )
)1(2 )
)1(2 )
yz
xz
xy
yz
xz
xy
Evi
Ev
Eiv
Relaciones expresadas en forma Matricial:
2.9.- Resumen de Relaciones Tensión vs Deformación
Tensiones Normales:
Distorsiones Angulares:
Relaciones expresadas en forma Matricial:
2.10.- Cambio de Volumen
tempmec
temp
t
mec
yz
xz
xy
z
y
x
x
x
yz
xz
xy
z
y
x
T
ED
E
0
0
0
1
1
1
)1(200
0)1(200
00)1(2
1
01
1
1
1
33
33
21)()1(
)21)(1( )
21)()1(
)21)(1( )
21)()1(
)21)(1( )
z
y
x
TEEiii
TEEii
TEEi
tyxz
tzxy
tzyx
)1(2 )
)1(2 )
)1(2 )
yz
xz
xy
Evi
Ev
Eiv
yz
xz
xy
tempmec
temp
t
mec
yz
xz
xy
z
y
x
x
x
yz
xz
xy
z
y
x
TE
DE
E
0
0
0
1
1
1
21
2
2100
02
2100
002
21
1
01
1
)21)(1(
1
33
33
Volumen Inicial elemento Infinitesimal (Vo):
Las tensiones Normales son Tensiones Principales
Volumen final elemento Infinitesimal (Vf):
Despreciando los productos de segundo orden y superiores de ε, se tiene:
El término “e” se denomina Cambio Específico de Volumen o Extensión Cúbica.
Usando las Fórmulas para el estado espacial de tensiones:
2.11.- Relaciones Deformación vs Desplazamiento
Def. en el Plano XY :
Análogamente:
Las ecuaciones anteriores se pueden escribir en Notación Tensorial:
Donde:
dxdydzVo
))()(()( zdzydyxdxVVV of
))()(( dzdzdydydxdxV zyxf
dxdydzV zyxf )1)(1)(1(
)1)(1)(1()( zyxof VVVV
zyx
oV
Ve
))(21(1
321E
e
x
u
y
uiii
y
uii
x
ui
yx
y
x
xy
y
x
)
)
)
y
u
z
uvi
x
u
z
uv
z
uiv
zy
zx
z
yz
xz
z
)
)
)
1,2,3 j
1,2,3i
2
1 )u(uε j,ii,jij
j
x
x
uu i
ji,
Por ejemplo:
2.12.- Estado Espacial de Deformaciones
El estado espacial de Deformaciones en un punto, puede ser representado al igual
que las tensiones, a través de una matriz (tensor) de deformaciones
Donde:
Sea N, el vector normal a un plano ubicado en el espacio.
L, M, N: cosenos directores del vector N
Sea ρn ε, el vector de deformaciones que actúa sobre el plano orientado por N.
12
21
21 2
1
2j
1i
x
u
x
u xx
xx
22
1
x
x
x
3
2
1
xyyxxy
x
u
y
u
z
y
x
nesDeformacio deTensor :
zzyzx
yzyyx
xzxyx
1,2,3 j
1,2,3 i jicon
2
1ijij
donde ),,(ˆ NMLN1Ly
cos
cos
cos222 NM
N
M
L
Al igual que en las tensiones podemos obtener el Vector de Deformaciones como:
Calculemos la Deformación Normal y Tangencial que se genera en el Plano definido
por el vector Normal N.
Nota: Para realizar lo anterior, se hará de igual forma como para las tensiones.
La distorsión angular normal puede ser calculada a partir del vector de deformaciones
o calculada a partir de εn
2.12.1.- Deformaciones Principales en el Estado Espacial de Deformaciones
2.12.1.1.- Deformaciones Principales
En el plano Principal = 0, entonces γ = 0
Por definición el vector de deformaciones es:
Igualando expresiones, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones:
Nota : Aprecie la similitud que existe con el análisis hecho para las tensiones
Sistema de ecuaciones de la forma ⇒ A X = 0
Dicho sistema para no tener la Solución Trivial (X = 0), debe cumplirse que:
nesDeformacio deector ),,( Vzyxn
)1,0,0(ˆ donde ˆ*ˆ*
)0,1,0(ˆ donde ˆ*ˆ*
)0,0,1(ˆ donde ˆ*ˆ*
zNzAA
yNyAA
xNxAA
z
y
x
cos ; cos ; cos AAAAAA zyx
N
M
L
N
zzyzx
yzyyx
xzxyx
z
y
x
n ˆ
Nnnˆ
Tnn ˆ
2
22
2
2nn
n
Nnˆ
Nnˆ
3x3 de Identidad matrizI donde 0ˆ ) ( NI
decir es , 0ADet 0IDet
El problema de la solución del sistema de ecuaciones mencionado, recibe el Nombre
de “PROBLEMA DE VALORES PROPIOS”.
De la Solución no Trivial se obtienen tres pares de vectores, conocidos como
“Vectores Propios” y son:
Deformaciones Unitarias Principales
Vectores Unitarios Normales a los planos que actúan las deformaciones ε
1, ε 2 y ε 3, respectivamente
Resolviendo el Problema de Valores Propios, se tiene:
Desarrollando la expresión anterior, llegamos a una ecuación cúbica, de la forma:
Donde los términos I1 ε , I2
ε e I3 ε se denominan “INVARIANTES DE
DEFORMACIONES”
Nota : Obtenga Ud. las expresiones de los términos I1 ε , I2
ε e I3 ε y compárelos con los
“INVARIANTES DE TENSIONES”
2.12.1.2.- Direcciones Principales
El Problema de Valores propios parte del sistema de ecuaciones de:
Resolviendo para cada deformación unitaria principal, encontramos sus direcciones
principales
)n,(y )n,( ; )n,( 332211
y , 321
ˆy ˆ,ˆ321 nnn
0
zzyzx
yzyyx
xzxyx
Det
0)(zyzx
yyx
xz
zzx
yzyx
xy
zzy
yzy
x
sPrincipale UnitariasnesDeformacio 0
3
2
1
32
2
1
3 III
3x3 de Identidad matrizI donde 0ˆ ) ( NI
1NML queen ),,(ˆ 0ˆ ) ( 2
1
2
1
2
1111111 NMLnnI
1NML queen ),,(ˆ 0ˆ ) ( 2
2
2
2
2
2222222 NMLnnI
1NML queen ),,(ˆ 0ˆ ) ( 2
3
2
3
2
3333333 NMLnnI
Ejemplo: Apliquemos lo anteriormente visto, al caso plano
Tensor de Deformaciones Estado Plano
Vector unitario de la direción x’
Luego, se tiene que:
Pero la deformación Normal es:
Utilizando las mismas Identidades Trigonométricas que usamos en las tensiones,
podemos obtener:
De igual forma, podemos determinar la distorsión angular quedando la siguiente
expresión:
Para determinar, la Deformación Unitaria Normal Máxima (Principal), debemos
derivar la ecuación (1) e igualarla a cero:
El subíndice “p” indica que el ángulo define la orientación de los planos principales.
Reemplazando por + 90° en la ecuación (1), se obtiene:
r
Rr
y
x
y
x
cos)
2cos(
)2
cos(cos
'
'
'
y
yx
xy
x
yyx
xyx
2
2
senn
cosˆ
nnˆ
sen
sen
yyx
xyx
n cos
cos
Nnnˆ
coscos 22 sensen xyyxn
(1) 22cos22
' senxy
yxyx
nx
(2) 2cos222
xy
yxn sen
0)2cos(2)2()('xyyx
x send
d
(3) )(
2)2(
yx
xy
ptg
(4) 22cos22
' senxy
yxyx
y
Se comprueba que:
Las Deformaciones Unitarias Principales son:
2.12.1.3.- Círculo de Mohr de Deformaciones
Ec. Paramétricas de un Círculo con
ángulo 2 como parámetro.
Elevamos ambas ecuaciones al cuadrado y al sumarlas se elimina el parámetro; la
ecuación resultantes es:
Si definimos los siguientes términos:
Ec. de un Círculo y centro en coordenadas εx’ = ε med y ε x’y’=0
Existen 2 formas de graficar el Círculo de Mohr de Deformaciones:
(5) '' yxyx
(6) 22
2
2
2,1 xy
yxyx
(2) )2cos()2(2
'' xy
yx
yx sen
(1) )2()2cos(22
' senxy
yxyx
x
(7) 22
2
2
2
''
2
' xy
yx
yx
yx
x
2
2
2y
2xy
yxyx
med R
(8) 22
''
2
' Ryxmedx
Círculo de Mohr de Deformaciones
2.13.- Roseta de Deformaciones
Se puede determinar el estado de deformación en un punto en forma experimental, empleando medidores de deformación lineal llamados deformímetros (strain-gauge).
Estos instrumentos nos dan directamente las deformaciones lineales en la dirección en que están instalados.
La Roseta de Deformaciones corresponde a tres deformímetros ubicados en
direcciones conocidas, tal como lo muestra la figura adjunta.
Usos de las Rosetas de Deformación
Determinación de los esfuerzos en un punto de un material a partir de la medición de
las deformaciones.
La orientación de los dispositivos puede ser arbitraria con respecto a un sistema XY.
Los deformímetros miden las deformaciones unitarias en un punto en cualquier
dirección tangente a la superficie del cuerpo.
conocidos y ,
y ,
cba
cba
Ejemplo de Aplicación:
En un punto de un sólido se encuentra solicitado por cierto nivel de esfuerzo. El material del sólido es del tipo “CHILE” (Continuo – Homogéneo-Isotrópico – Linealmente – Elástico) y se instala tres deformímetros tal como lo muestra la figura adjunta, midiendo su nivel de deformaciones. Se pide determinar las tensiones máximas a la cual está sometido dicho punto del material.
Indicación: Analice su problema como un estado plano de tensiones.
Solución:
Se pide determinar los esfuerzos principales y el esfuerzo de corte máximo.
Cálculo de Tensiones:
En un Estado Plano de Tensiones σ z = 0 y xz = yz =0
De i)
De ii)
25,0y kg/cm 101,2
002,0y 003,0 ; 004,0
:Datos
26
cba
xE
22cos22
' senxy
yxyx
x
cy
ax : Sea
902
90cos22
)45( ' senxycaca
xb
9022
senxyca
b
004,02 cabxy
)(1
)
1 )
1 )
z
y
x
yx
xy
yx
Eiii
Eii
Ei
0 )
0 )
)1(2 )
yz
xz
xy
vi
vE
iv xy
(*) xEyx
(**) yExy
Reemplazando los datos se obtiene que:
La Tensiones Principales se obtienen de:
El Esfuerzo de Corte Máximo se obtienen de:
)(1
)(1
2
2
xyy
yxx
E
E
)(
)1(2
yxz
xyxy
E
E
3360
2240
7840
2
2
2
kg/cm
kg/cm
kg/cm
xy
y
x
22
2
2
2,1 xy
yxyx
2
2
2
1
kg/cm
kg/cm
33,3257
33,8857
2
2
2
xy
yx
máx
2
máx kg/cm 6057,33