Post on 07-Nov-2018
Lista de Cálculo II – Exercicio – Funções de várias variáveis
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
1
Cálculo Diferencial e Integral II Exercícios – Lista
1. Considere 2 2( , ) 3f x y x y
(a) Calcule (3,2)xf usando 4.1.
(b) Calcule (3,2)yf usando 4.2.
Solução: (a)
( , ) ( , )
, lim0
x
f f x x y f x yf x y
xx x
2 2 2 23 3, lim
0x
x x y x yf x y
x x
2 2 2 2 22 3 3
, lim0
x
x x x x y x yf x y
x x
22
, lim0
x
x x xf x y
x x
2
, lim0
x
x x xf x y
x x
, lim 20
xf x y x xx
, 2xf x y x
(3,2) 2 3 6xf
(b)
( , ) ( , )( , ) lim
0y
f f x y y f x yf x y
yy y
22 2 23 3
( , ) lim0
y
x y y x yf x y
y y
2 2 2 2 23 2 3( , ) lim
0y
x y y y y x yf x y
y y
2 2 2 2 23 6 3 3( , ) lim
0y
x y y y y x yf x y
y y
26 3( , ) lim
0y
y y yf x y
y y
6 3( , ) lim
0y
y yf x y y
y y
( , ) lim 6 30
yf x y y yy
( , ) 6yf x y y
(3,2) 6 2 12yf
2. Considere 2( , ) 4f x y x y
(a) Calcule ( 1,2)xf usando 4.1.
(b) Calcule ( 1,2)yf usando 4.2.
Solução: (a)
11 1
1 1
( , ) ( , ), limx
f x y f x yff x y
x xx x x
1
( ,2) ( 1,2)1,2 lim
1x
f x ff
x x
2 24 2 4 1 2
1,2 lim1 1
x
xf
x x
16 16
1,2 lim1 1
x
xf
x x
1
1,2 lim 161 1
x
xf
x x
1,2 lim 16 11
xfx
1,2 16xf
(b)
1
1 1 11 1
1
( , ) ( , )( , ) limy
y
f x y f x yff x y
yy y y
2 24 1 4 1 2( 1,2) lim
2 2y
yff
yy y
24 16( 1,2) lim
2 2y
yf
y y
2 4
( 1,2) lim 42 2
y
yf
y y
2 22
( 1,2) lim 42 2
y
yf
y y
2 2
( 1,2) lim 42 2
y
y yf
y y
( 1,2) lim 4 22
yf yy
( 1,2) 4 2 2 16yf
3. Calcule fx e fy para as seguintes funções:
1. ( , ) 7 10f x y x y
, 7x
ff x y
x
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2
, 10y
ff x y
y
2. 2 2( , ) 3f x y x y
, 2x
ff x y x
x
2 1, 3 2 6y
ff x y y y
y
3. 2
1 3( , )f x y
x y
2 1( , ) 3f x y x y
2 1 3, 2 2x
ff x y x x
x
3
2,x
ff x y
x x
1 1 2, 3 3y
ff x y y y
y
2
3,y
ff x y
y y
4. 3 2
2 6( , )f x y
x y
3 2( , ) 2 6f x y x y
3 1 4, 2 3 6x
ff x y x x
x
4
6,x
ff x y
x x
2 1 3, 6 2 12y
ff x y y y
y
3
12,y
ff x y
y y
5. 1 2 1 2( , )f x y x y
1 1
12 2
1 1,
2 2x
ff x y x x
x
1
,2
x
ff x y
x x
1 1
12 2
1 1,
2 2y
ff x y y y
y
1
,2
y
ff x y
y y
6. 3( , )f x y x y
1 3 1 2( , )f x y x y
1 2
13 3
2
3
1 1 1,
3 33
x
ff x y x x
xx
3 2
1,
3x
ff x y
x x
1 1
12 2
1 1,
2 2y
ff x y y y
y
1
,2
y
ff x y
y y
7. 2( , ) 4f x y x y
1 1 2 0 2, 4 4x
ff x y x y x y
x
2, 4x
ff x y y
x
2 1, 4 2y
ff x y x y
y
, 8y
ff x y x y
y
8. 2 2( , ) 10 5f x y x y x y
1 1 2 2 1, 10 5 2x
ff x y x y x y
x
2, 10 10x
ff x y y x y
x
2 1 2 1 1, 10 2 5 1y
ff x y x y x y
y
2, 20 5y
ff x y x y x
y
9. 2( , ) 2 6 10xf x y e x y
2 1, 2 2 0x
x
ff x y e x
x
, 4x
x
ff x y e x
x
1 1, 0 6 1y
ff x y y
y
, 6y
ff x y
y
10. 3( , ) ln 4 9f x y x y
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3
1
, 0x
ff x y
x x
1
,x
ff x y
x x
2 1, 0 4 3y
ff x y y
y
2, 12y
ff x y y
y
11. ( , ) 3xf x y seny
, 3 ln3 0x
x
ff x y
x
, 3 ln3x
x
ff x y
x
, 0 cosy
ff x y y
y
, cosy
ff x y y
y
12. ( , ) cos ln 10yf x y x x e
1, 0x
ff x y senx
x x
1
,x
ff x y senx
x x
, 0 0y
y
ff x y e
y
, y
y
ff x y e
y
13. 3( , ) 10xf x y x e y
3 3, 0x x
x
ff x y x e e x
x
2 3, 3 x x
x
ff x y x e e x
x
2, 3x
x
ff x y x e x
x
1 1, 0 10 1y
ff x y y
y
, 10y
ff x y
y
14. 2( , ) 2 lnf x y y x
2 2 1
, 2 ln 2x
ff x y y x y
x x
22
,x
f yf x y
x x
2, 2 ln 2 2 lny
ff x y y x y x
y
, 4 lny
ff x y y x
y
15. 2( , ) 3 cosf x y y x
2 2, 3 cos 2x
ff x y y x y senx
x
2, 3x
ff x y y senx
x
2, 3 cos 3 2 cosy
ff x y y x y x
y
, 6 cosy
ff x y y x
y
16. 2 2( , ) 4 6yf x y y e x
2 1, 0 6 2x
ff x y x
x
, 12x
ff x y x
x
2 2, 4 4 0y y
y
ff x y y e e y
y
2, 4 2 4y y
y
ff x y y e e y
y
, 4 2y
y
ff x y y e y
y
17. 2 2( , ) 20f x y x y senx
2 1, 0 6 2x
ff x y x
x
2 2 2 2, 20 20x
ff x y x y senx x y senx
x
2 2 2, 20 2 20 cosx
ff x y x y senx x y x
x
2 2, 20 2 cosx
ff x y y x senx x y x
x
2 2, 20y
ff x y x y senx
y
2, 20 2y
ff x y x y senx
y
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4
18. ( , )x y
f x yx y
2
,x
x y x yx y x y
f x xf x yx x y
2
1 1,x
x y x yff x y
x x y
2,x
f x y x yf x y
x x y
2
2,x
f yf x y
x x y
2
,y
x y x yx y x y
f y yf x y
y x y
2
1 1,y
x y x yff x y
y x y
2,y
f x y x yf x y
y x y
2
2,y
f xf x y
y x y
19. ( , )2 3
xef x y
x y
2
2 32 3
,2 3
x
x
x
e x yx y e
f x xf x yx x y
2
2 3 2,
2 3
x x
x
e x y eff x y
x x y
2
2 6 2,
2 3
x x x
x
f x e y e ef x y
x x y
2
2 6 2,
2 3
x
x
e x yff x y
x x y
2
2 32 3
,2 3
x
x
y
e x yx y e
f y yf x y
y x y
2
0 2 3 3,
2 3
x
y
x y eff x y
y x y
2
3,
2 3
x
y
f ef x y
y x y
20. ln
( , )2
yf x y
x y
2
ln 22 ln
,2
x
y x yx y y
f x xf x yx x y
2
0 2 ln 1,
2x
x y yff x y
x x y
2
ln,
2x
f yf x y
x x y
2
ln 22 ln
,2
y
y x yx y y
f y yf x y
y x y
2
12 ln 2
,2
y
x y yf y
f x yy x y
2
2 2ln
,2
y
xy
f yf x y
y x y
21. 0.3 0.7( , )f x y x y
0.3 1 0.7, 0.3 0.3x
ff x y x x
x
0.7
0.3,x
ff x y
x x
0.7 1 0.3, 0.7 0.7y
ff x y y y
y
0.3
0.7,y
ff x y
y y
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5
22. 0.6 0.3( , ) 2f x y x y
0.6 1 0.4, 2 0.6 1.2x
ff x y x x
x
0.4
1.2,x
ff x y
x x
0.3 1 0.7, 0.3 0.3y
ff x y y y
y
0.7
0.3,y
ff x y
y y
23. 1( , ) 10 0 1f x y x y
1, 10x
ff x y x
x
1
10,x
ff x y
x x
1 1, 1 1y
ff x y y y
y
1
,y
ff x y
y y
24. ( , ) ln 2 3f x y x y
2 3ln 2 3
,2 3
x
x yx yf xf x y
x x x y
2
,2 3
x
ff x y
x x y
2 3
ln 2 3,
2 3y
x y
x yf yf x y
y y x y
3
,2 3
y
ff x y
y x y
25. 2 3( , ) x yf x y e
2 5
2 52 5
,
x y
x y
x
e x yff x y e
x x x
2 5, 2 x y
x
ff x y e
x
2 5
2 52 5
,
x y
x y
y
e x yff x y e
y y y
2 5, 5 x y
y
ff x y e
y
26. ( , ) 2x yf x y
2
, 2 ln 2
x y
x y
x
x yff x y
x x x
, 2 ln 2 1x y
x
ff x y
x
, 2 ln 2x y
x
ff x y
x
2
, 2 ln 2
x y
x y
y
x yff x y
y y y
, 2 ln 2 1x y
y
ff x y
y
, 2 ln 2x y
y
ff x y
y
27. 2 2
( , ) x yf x y e
2 2
2 2
2 2
,
x y
x y
x
e x yff x y e
x x x
2 2
, 2x y
x
ff x y e x
x
2 2
, 2 x y
x
ff x y x e
x
2 2
2 2
2 2
,
x y
x y
y
e x yff x y e
y y y
2 2
, 2x y
y
ff x y e y
y
2 2
, 2 x y
y
ff x y y e
y
28. ( , ) x yf x y e
,
x y
x y
x
e x yff x y e
x x x
, x y
x
ff x y e y
x
, x y
x
ff x y y e
x
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6
,
x y
x y
y
e x yff x y e
y y y
, x y
y
ff x y e x
y
, x y
y
ff x y x e
y
29. ( , ) 3x yf x y
3
, 3 ln3
x y
x y
x
x yff x y
x x x
, 3 ln3x y
x
ff x y y
x
, ln3 3x y
x
ff x y y
x
3
, 3 ln 3
x y
x y
y
x yff x y
y y y
, 3 ln 3x y
y
ff x y x
y
, ln 3 3x y
y
ff x y x
y
30. ( , ) cos 2 3f x y x y
cos 2 3 2 3
, 2 3x
x y x yff x y sen x y
x x x
, 2 3 2x
ff x y sen x y
x
, 2 2 3x
ff x y sen x y
x
cos 2 3 2 3
, 2 3y
x y x yff x y sen x y
y y y
, 2 3 3y
ff x y sen x y
y
, 3 2 3y
ff x y sen x y
y
31. 2
( , ) 5x yf x y
2
2
25, 5 ln 5
x y
x y
x
x yff x y
x x x
2
, 5 ln5 2x y
x
ff x y x
x
2
, 2 5 ln5x y
x
ff x y x
x
2
2
25, 5 ln 5
x y
x y
y
x yff x y
y y y
2
, 5 ln 5 1x y
y
ff x y
y
2
, 5 ln 5x y
y
ff x y
y
32. 3
2( , ) 2f x y x x y
3 1
2 2, 3 2 2x
ff x y x x y x x y
x x
2
2, 3 2 2 2x
ff x y x x y x y
x
2
2, 6 2x
ff x y x x y x y
x
3 1
2 2, 3 2 2y
ff x y x x y x x y
y y
2
2, 3 2 2y
ff x y x x y x
y
2
2, 6 2y
ff x y x x x y
y
33. 4
2( , ) 3 2f x y x y x y
4 1
2 2, 4 3 2 3 2x
ff x y x y x y x y x y
x x
3
2, 4 3 2 6 2x
ff x y x y x y x y y
x
3
2, 8 3 2 3 1x
ff x y y x y x y x
x
4 1
2 2, 4 3 2 3 2y
ff x y x y x y x y x y
y y
3
2 2, 4 3 2 3 2y
ff x y x y x y x x
y
3
2, 4 3 2 3 2y
ff x y x x y x y x
y
34.
3
2
1( , )
2f x y
x y
3
2( , ) 2f x y x y
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7
3 1
2 2, 3 2 2x
ff x y x y x y
x x
4
2, 3 2 2x
ff x y x y x
x
42
6,
2x
f xf x y
x x y
3 1
2 2, 3 2 2y
ff x y x y x y
y y
4
2, 3 2 2y
ff x y x y
y
42
6,
2y
ff x y
y x y
35. ( , )f x y x y
1
2( , )f x y x y
1
12
1,
2x
ff x y x y x y
x x
1
21
,2
x
ff x y x y y
x
1
2
1 1,
2x
ff x y y
xx y
1
,2
x
f yf x y
x x y
1
21
,2
y
ff x y x y x
y
1
2
1 1,
2y
ff x y x
yx y
1
,2
y
f xf x y
y x y
36. 2( , )f x y x y x
1
2 2( , )f x y x y x
1
12 22
1,
2x
ff x y x y x x y x
x x
1
2 21
, 22
x
ff x y x y x y x
x
12 2
1 1, 2
2x
ff x y y x
xx y x
2
1 2,
2x
f y xf x y
x x y x
1
12 22
1,
2y
ff x y x y x x y x
y y
1
2 21
,2
y
ff x y x y x x
y
12 2
1,
2y
f xf x y
yx y x
2
1,
2y
f xf x y
y x y x
37. 23( , ) 2 3f x y x x y
1
2 3( , ) 2 3f x y x x y
1
12 23
1, 2 3 2 3
3x
ff x y x x y x x y
x x
2
2 31
, 2 3 4 33
x
ff x y x x y x y
x
22 3
1 1, 4 3
32 3
x
ff x y x y
xx x y
223
1 4 3,
32 3
x
f x yf x y
xx x y
1
12 23
1, 2 3 2 3
3y
ff x y x x y x x y
y y
2
2 31
, 2 3 33
y
ff x y x x y
y
22 3
1 1, 3
32 3
y
ff x y
yx x y
223
1,
2 3y
ff x y
yx x y
38. ( , ) x yf x y e e
1
2( , ) x yf x y e e
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8
1
12
1,
2
x y x y
x
ff x y e e e e
x x
1
21
,2
x y x
x
ff x y e e e
x
1
2
1 1,
2
x
x
x y
ff x y e
xe e
1
,2
x
xx y
f ef x y
x e e
1
12
1,
2
x y x y
y
ff x y e e e e
y y
1
21
,2
x y y
y
ff x y e e e
y
1
2
1 1,
2
y
y
x y
ff x y e
ye e
1
,2
y
yx y
f ef x y
y e e
39. 2 2( , ) lnf x y x y
1
2 2 2( , ) lnf x y x y
12 2 2
12 2 2
,x
x y
f xf x yx
x y
2 211
2 2 2
12 2 2
1
2,x
x yx y
f xf x yx
x y
12 2 2
12 2 2
12
2,x
x y xf
f x yx
x y
1 12 2 2 22 2
12
2,x
xf
f x yx
x y x y
1 12 2 2 2
,x
f xf x y
xx y
22 2 2
,x
f xf x y
xx y
2 2,x
f xf x y
x x y
12 2 2
12 2 2
,y
x y
f yf x y
yx y
2 211
2 2 2
12 2 2
1
2,y
x yx y
f yf x y
yx y
12 2 2
12 2 2
12
2,y
x y yf
f x yy
x y
1 12 2 2 22 2
12
2,y
yf
f x yy
x y x y
1 12 2 2 2
,y
f yf x y
yx y
22 2 2
,y
f yf x y
yx y
2 2,y
f yf x y
y x y
40. 2 3( , ) ln x yf x y e x y
2 3
2 3,
x y
x x y
e x y
f xf x yx e x y
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9
2 1 3
2 3
2
,
x y
x x y
x ye x y
f xf x yx e x y
3
2 3
2,
x y
x x y
f e y x yf x y
x e x y
2 3
2 3,
x y
y x y
e x y
f yf x y
y e x y
2 3 1
2 3
3
,
x y
y x y
x ye x y
f yf x y
y e x y
2 2
2 3
3,
x y
x x y
f e y x yf x y
x e x y
4. Considere a função de produção: 0.5 0.5( , ) 3P K L K L
Mostre que:
( , ) ( , )( , )
P K L P K LK L P K L
K L
Solução: 0.5 0.5
0.5 1 0.53( , )
3 0.5K LP K L
K LK K
0.5 0.5( , )1.5
P K LK L
K
0.5 0.5
0.5 0.5 13( , )
1.5K LP K L
K LL L
0.5 0.5( , )1.5
P K LK L
L
( , ) ( , )P K L P K LK L
K L
0.5 0.5 0.5 0.51.5 1.5K K L L K L 1 0.5 0.5 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.51.5 1.5 1.5 1.5K L L K K L L K
0.5 0.5( , ) ( , )3 ( , )
P K L P K LK L K L P K L
K L
6. Um observatório será construído na forma de um
cilindro circular reto com uma abóboda esférica como
cobertura. Se o custo da construção da abóboda será
duas vezes mais caro que na parede do cilindro quais
deverão ser as proporções mais econômicas do
observatório supondo que o volume é fixo?
Parte 2: Diferencial, Regra da cadeia,
Derivada direcional e Gradiente. Máximos e
mínimos de Funções de várias variáveis.
1. Calcular o diferencial total e o crescimento
total da função z=xy no ponto (2,3), se x=0,1 e
y=0,2:
2. Uma lata de metal fechada, na forma de um
cilindro circular reto, deve possuir altura do lado
interno igual a 6cm, raio interno de 2cm e espessura de
0,1 cm. Se o custo do metal a ser usado é 10 centavos
por cm 3, encontre o custo aproximado (por
diferenciação) na fabricação da lata.
3. Nos exercícios abaixo, encontre a derivada
parcial pelos dois métodos:
(a) Pela regra da cadeia:
ur
ux
xr
uy
y
r ( )( ) ( )( );
us
ux
xs
uy
y
s ( )( ) ( )( )
(b) Faça as substituições de x e y antes de
derivar.
(b1)
u x y x r s y r s us
ur 2 2 3 2; ; ; ;
(b2) u e x r t y rsenty
x ur
ut ; cos ; ; ;2 4
(b3) u x xy y x y
x r s y r s ur
us
3 2 3
2 3
2 2 ;
; ; ;
4. Uma caixa vai ser fabricada com madeira
de 2/3 cm de espessura. O comprimento interno deve
ter 60 cm de espessura, a largura interna 30 cm e a
altura 40 cm. Use a diferencial total para encontrar a
quantidade aproximada de madeira que será utilizada
na fabricação da caixa.
5. Dada a função f(x,y,z)= x2+ y
2 +z
2
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10
achar a derivada s
f
no ponto M (1,1,1):
(a) Na direção do vetor
s x y z1 2 3
(b) Na direção do vetor s x y z2
6. Seja dada a função:
222),,( zyxzyxf .
(a) Encontre o gradiente de f no ponto
M(1,1,1).
(b) Determine a derivada da função f(x,y,z) ,
no ponto M(1,1,1), na direção do gradiente.
7. Encontre a derivada direcional no Ponto P0
para a função dada, na direçãoe no sentido do vetor u :
(a) g x y y tg x
u x y P
( , ) ;
; ( , )
2 2
12
12 0
133 2
(b) )0,2(;ˆˆ;),( 02
3
2
12 Pyxuexyxf y
(c) h x y z xy sen yz
u x y z P
( , , ) cos( ( );
; ( , , )
1
323
23 0 2 0 3
(d)
f x y z x y z
u x y z P
( , , ) ln( );
; ( , , )
2 2 2
1
3
1
3
1
3 0 1 3 2
(e)f x y e y
u x sen y P
x( , ) cos( );
cos( ) ( ) ; ( , )
3
12 12 0 12
3
0
8. Encontre o gradiente de f em P e a taxa de
variação do valor da função na direção e sentido de u
em P.
(a)f x y x y P
u x sen y
( , ) ; ( , );
cos
2
3 3
4 2 2
(b)
f x y e P u x yxy( , ) ; ( , ); 2 45
352 1
9. A temperatura em qualquer ponto (x,y,z) do
espaço é dada por Tx y z
60
32 2 2 . A distância é
medida em cm.
(a) Encontre a taxa de variação da
temperatura no ponto (3,-2,2) na direção do vetor
u x y z 2 3 6 .
(b) Encontre a direção e magnitude da
variação máxima de T(x,y,z) em P (3,-2,2).
10. Se V volts é o potencial elétrico em
qualquer ponto (x,y,z) do espaço e
Vx y z
1
2 2 2, encontre:
(a) A taxa de variação de V no ponto (2,2,-1).
(b) A direção da taxa de variação máxima de
V em (2,2,-1).
11. A densidade de qualquer ponto P(x,y) de
uma chapa retangular no plano xy é :
1
32 2x y.
(a) Encontre a taxa de variação da densidade
no ponto (3,2) na direção do vetor
cos u x sen y 23
23 .
(b) Encontre a direção e magnitude da taxa de
variação máxima de f em (3,2).
12. chapa de metal está situada no plano-xy,
de modo que a temperatura T em (x,y) seja
inversamente proporcional à distância à origem, e a
temperatura em P(3,4) é 1000F.
(a) Ache a taxa de variação de T em P na
direção de i j .
(b) Em que direção P aumenta mais
rapidamente em P?
(c) Em que direção P decresce mais
rapidamente em P?
(d) Em que direção a taxa de variação é 0?
13. A superfície de um lago é representada
por uma região D no plano-xy, de modo que a
profundidade (em metros) sob o ponto (x,y) é
f x y x y( , ) 300 2 32 2.
(a) Em que direção um bote em P(4,9) deve
navegar para que a profundidade da água decresça
mais rapidamente?
(b) Em que direção a profundidade permanece
a mesma?
14. O potencial elétrico V em (x,y,z) é :
V x y z 2 2 24 9
(a) Ache a taxa de variação de V em P(2,-1,3)
na direção de P para a origem.
(b) Ache a variação que produz a taxa máxima
de variação de V em P.
(c) Qual é a taxa máxima de variação em P?
15. A temperatura em (x,y,z) é dada por:
T x y z x y z( , , ) 4 162 2 2
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11
Ache a taxa de variação de T em P(4,-2,1) na
diração 2 6 3 i j k .
(a) Em que direção T aumenta mais rapidamente
em P?
(b) Qual é esta taxa de variação?
(c) Em que direção T decresce mais rapidamente
em P?
(d) Qual é essa taxa de variação?
16. O Potencial elétrico de uma carga elétrica
puntiforme é dado por:
r
kQrV )( ou
222),,(
zyx
kQzyxV
Sabendo que o campo elétrico desta carga é dado
por:
VrE
)(
Demonstre que:
rr
KQrE ˆ)(
2
Onde:
r
rr
ˆ
E r
é o chamado vetor deslocamento:
zzyyxxr ˆˆˆ
Possui módulo r dado por:
222 zyxr
17. Dada a função f definida por:
f x y x y x y( , ) 2 24 2 2:determine os
extremos relativos de f, se existirem
18. Determine as dimensões relativas de uma
caixa retangular, sem tampa, tendo um volume
específico V, se queremos usar a mínima quantidade de
material em sua confecção:
19. Determine as dimensões de uma caixa
retangular sem tampas que deve ser feita de tal forma
que tenha o máximo volume possível.
20. Encontre 3 números positivos cuja soma
seja 24 e seu produto o maior possível.
21. Dada:
yxyxyxf 2732),( 234 :
(a) Determine os possíveis pontos críticos P0(x0,y0) de
f(x,y).
(b) Calcule o discriminante
22
2
2
2
2
2
22
2
2
2
),(
yx
f
y
f
x
f
y
f
yx
f
yx
f
x
f
yxD
e verifique se há máximos ou mínimos
relativos.
Dado:
(i) f tem um valor mínimo relativo
em (x0 , y0 ) se:
D(x0 ,y0 ) > 0 e
2
2 0 0 0f
xx y( , )
(ii) f tem um valor máximo relativo em (x0 , y0 )
se:
D(x0 ,y0 ) > 0 e
2
2 0 0 0f
xx y( , )
(iii) f não é extremo relativo em
(x0 , y0 ) se D(x0 ,y0 ) < 0 :
(iv) Não podemos chegar a nenhuma conclusão se
D(x0 ,y0) = 0:
Para auxiliar a classificação, use a tabela
abaixo.
P0(x0,y0) D(x0,y0)
),( 002
2
yxx
f
Classificação
de P0(x0,y0)
Referências bibliográficas:
1. James Stewart, Calculus, concepts and
context, 2° Edition.
Lista de Cálculo II – Exercicio – Funções de várias variáveis
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
12
2. Swokovski, "O Cálculo com Geometria
Analítica", Volume II, 2ª Edição, Makron Books,
Volume 2.
3. L. Leithold, "O Cálculo com Geometria
Analítica", Volume 2, Editora Harbra. ISBN:
8529402065 4. Hamilton Luiz Guidorizzi “Um curso de
Cálculo” , V 2, Editora LTC.
5. http://www.wolfram.com
6. http://www.wolframalpha.com/