Post on 30-Jan-2018
BINOMNA (Njutnova) FORMULA
nkknnnnnyx
n
n...yx
k
n...yx
nyx
nyx
nyx
n
n,..,
n,
n-BINOMNI KOEFICIJENTI
(k+1)- član u razvoju binoma: kknk yx
k
nT
OSOBINE BINOMNIH KOEFICIJENATA:
(1)
k-n
n
k
n (2)
k
n
k
n
k
n (3)
k
kmn
km
kn
k
n
k
m
m
n
PASKALOV TROUGAO
-binomni koeficijenti u razvoju nyx
n=0 1 n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1 ..... ZADACI:
1.Razviti binom:
a) 62x
rešenje:
6514233241566
26
62x
5
62x
4
62x
3
62x
2
62x
1
6x
0
62x
64
0
632x
1
616x
2
68x
123
4564x
12
562x6x1 123456
64x192x240x160x60x12x 23456
b) 51x
rešenje:
541322314551
5
51x
4
51x
3
51x
2
51x
1
5x
0
51x
1
0
51x
1
51x
2
51x
12
451x5x1 2345
1x5x10x10x5x 2345
c) 4yx2
rešenje:
43122344
y4
4yx2
3
4yx2
2
4yx2
1
4x2
0
4yx2
432234 y
0
4xy2
1
4yx4
12
34yx84x161
432234 yxy8yx24yx32x16
2.Odrediti:
a) četvrti član u razvoju binoma 1122 yx
rešenje:
61661632824 yx165yx
123
91011yx
3
11T
b)šesti član u razvoju binoma 15yx
rešenje:
5105105106 yx3003yx
12345
1112131415yx
5
15T
c) peti član u razvoju binoma 12yx
rešenje:
2424485 yx495yx
1234
9101112yx
4
12T
d) binomni koeficijent uz peti član u razvoju binoma 81x2
rešenje:
701234
5678
4
8
Binomni koeficijent uz peti član je 70.
e) koeficijent uz peti član u razvoju binoma 81x2
rešenje:
22445 x11201x16701x2
4
8T
Koeficijent uz peti član je 1120.
3.U razvoju sledećih binoma odrediti član koji ne sadrži x
a)
13
52
4 2
ax
1xa
rešenje:
5
k2
5
k
4
k13
2
k13k
5
2
5
1k13
4
1
2
1k
52
k134 2
1k xaxak
13xaxa
k
13
ax
1xa
k
13T
Za član koji ne sadrži x važi : 05
k2
4
k13
xxx
5k
k1365
0k8k565
0k8k135
2005
k2
4
k13
Član koji ne sadrži x je 6.član:
32124
5
5
2
5
18
4
1
2
15
52
5134 2
6 a1287xaxa5
13xaxa
5
13
ax
1xa
5
13T
b) 1513 xx
rešenje:
2
k
3
k15k
2
1k15
3
1k1k153
1k xxk
15xx
k
15xx
k
15T
Za član koji ne sadrži x važi : 02
k
3
k15
xxx
6k
k530
0k3k230
0k3k152
602
k
3
k15
Član koji ne sadrži x je 7.član:
6
15xx
6
15xx
6
15xx
6
15T 33
6
2
19
3
1616153
7
c)
n
2
x
1x
ako je zbir koeficijenata prva tri člana jednak 46
rešenje: U ovom slučaju binomni koeficijent=koeficijent
9n
Nn:jer10n
090nn
92nnn22
2462
1nnn1
462
n
1
n
0
n
2
1
2
2
92
n2
x
1x
x
1x
kk218kk92
1k xxk
9
x
1x
k
9T
Za član koji ne sadrži x važi : 0kk218 xxx
6k
k318
0k318
0kk218
Član koji ne sadrži x je 7.član: 843
9
x
1x
3
9
x
1x
6
9T
66
66927
d)
n
3 2
x
yx
ako je binomni koeficijent trećeg člana za 5 veći od
binomnog koeficijenta drugog člana rešenje:
5n
Nn:jer2n
010n3n
10n2nn
25n2
1nn
51
n
2
n
2
1
2
2
53 2
n3 2
x
yx
x
yx
kk3
k210
kk
k5
3
2kk53 2
1k xyxk
5xyx
k
5
x
yx
k
5T
Za član koji ne sadrži x važi : 0k3
k210
xxx
2k
k510
0k3k210
30k3
k210
Član koji ne sadrži x je 3.član: 22
22
2
23
3
22253 2
3 y10x
yx10
x
yx
2
5
x
yx
2
5T
e)
n
2
x
ax
ako su binomni koeficijenti četvrtog i trinaestog člana
jednaki rešenje:
15n123n12kn3k12
n
3
n
152
n2
x
ax
x
ax
kkk230kk152
1k xaxk
15
x
ax
k
15T
Za član koji ne sadrži x važi : 0kk230 xxx
10k
k330
0k330
0kk230
Član koji ne sadrži x je 11.član: 10
10
1010
1010152
11 a3003x
ax
5
15
x
ax
10
15T
f)
n
3 2x
1x
ako se koeficijenti petog i trećeg člana odnose kao 7:2
rešenje:
9n72n
673n2n
122
7
34
3n2n
1nn:2
1nn7
1234
3n2n1nn2
2:72
1nn:
1234
3n2n1nn
2:72
n:
4
n
9
3 2
n
3 2 x
1x
x
1x
3
k2
2
k9k
3
2k9
2
1k
3 2
k9
1k xxk
9xx
k
9
x
1x
k
9T
Za član koji ne sadrži x važi : 03
k2
2
k9
xxx
Nk:jer7
27k
k727
0k4k327
603
k2
2
k9
Ne postoji član koji ne sadrži x.
4.Koji član u razvoju binoma
21
33
a
b
b
a
sadrži a i b sa istim
stepenom?
k2/1
3/1
k213/1
2/1
k
3
k21
31ka
b
b
a
k
21
a
b
b
a
k
21T
6
k
2
k
6
k21
3
k21k6/12/1k216/13/1 abba
k
21abba
k
21
Ako a I b imaju isti eksponent: : 2
k
6
k21
6
k
3
k21
bbaa
9k
k763
k3k21k2k242
62
k
6
k21
6
k2
3
k21
Deseti član.
5.Odrediti:
a) srednji član u razvoju binoma
m
5
22
a
aaa
ako se koeficijenti
petog i trećeg člana odnose kao 14:3 rešenje:
m
2
1
2
3m5/12/52/3
m5/12/122/12
m
52
2 aaaaaaaaa
aaa
22
12m342/14m2/3
5 aa4
maa
4
mT
=> koeficijent 5.člana je
4
m
12
6m322/12m2/3
3 aa4
maa
2
mT
=> koeficijent 3.člana je
2
m
4
m:
2
m=14:3
3:14
12
1mm:
1234
3m2m1mm
1mm:
12
1mm14
1234
3m2m1mm3
10m82m
783m2m
78
3m2m
Za m=10 binom ima 11 članova; srednji član je 6.član (k=5):
10
102
20
2
5
2
1552/152/3
6a
1
5
10a
5
10a
5
10aa
5
10aa
5
10T
b) peti član u razvoju binoma nx1x1 ako je koeficijent trećeg
člana jednak 78 rešenje:
22n22n3 x1x1
2
nx1x1
2
nT
=> koeficijent 3.člana je
2
n
2
n=78
78
12
1nn
13n12131561nn
Peti član:
2429495 x1x1x1715x1x1
4
13x1x1
4
13T
c) članove u razvoju binoma 53 23 koji nisu iracionalni
rešenje:
2
k
3
k5kk53
1k 23k
523
k
5T
Da bi članovi bili racionalni eksponenti: 3
k5 I
2
k moraju biti celi brojevi.
(k=0,1,2,3,4,5)
Zbog 2
k-ceo broj => k je paran broj tj k=0,2,4.
Zamenom u 3
k5 dobijamo da je to ceo broj samo za k=2.
Jedini racinalan član u razvoju binoma je 3.član: 602310232
5T
2333
d) racionalne članove u razvoju binoma 154 21
rešenje:
4
kk4k15
1k 2k
1521
k
15T
Da bi članovi bili racionalni eksponent 4
k mora biti ceo broj.
Zbog 4
k-ceo broj => k je broj deljiv sa 4 => k=0, k=4,k=8 I k=12.
Racionalni članovi su:prvi, peti, deveti i trinaesti.
1210
15T
04151
273024
1521
4
15T
44115
2574027
1521
8
15T 2847
9
364023
1521
12
15T 31243
13
6.Odrediti x tako da:
a) 4. član u razvoju binoma
6
121xlog
1
xx
bude jednak 200
rešenje:
4
1
1xlog2
3
4
1
1xlog2
33
12
1
3
2
1
1xlog
1312
3
1xlog
1
4 x20xx20xx123
456xx
3
6T
1xlog
4
1
1xlog2
3
10logxlog
log10x
20:200x20
4
1
1xlog2
3
4
1
1xlog2
3
4
1
1xlog2
3
Smena: txlog
1t
4t
04t3t
4t4ttt6
1t414
t
1t2
t3
1t4
1
1t2
3
2
1
2
2
(1) 4xlog 0001,010x 4
(2) 1xlog 10x
b) 3. član u razvoju binoma 5xlogxx bude 1000000
rešenje:
xlog23xlog232xlog33 x10xx
12
45xx
2
5T
log100000x
10:1000000x10
xlog23
xlog23
5xlog23 10logxlog
10log5xlogxlog23
Smena: txlog
1t
2
5t
4
73
4
4093t
05t3t2
5tt23
2
1
2/1
2
(1) 2
5xlog
1000
10
10
10
1010
1
10
11010x
25
52
5
(2) 1xlog 10x
c) 6. član u razvoju binoma
711x32log
5
1
71x92log22
bude jednak 84.
rešenje:
11x32log71x92log2
511x32log
5
1271x92log3
3 222
722x
5
7T
11x32log71x92log211x32log71x92log22212
12
67
21:8422111x32log71x92log2
2
11x32log71x92log2log42
4log2log 2
11x32log71x92log2
2
4log2log13log79log2 221x
2
2/11x2
4log13
79log
4log13log79log
21x
1x
2
21x
21x
2
413
791x
1x
13479 1x1x
1
3
347
9
9 xx
1
3
347
9
3 xx2
Smena: 0t3x
3t
9t
027t12t
36t1263t
943
t47
9
t
2
1
2
2
2
(1) 2xx 3393 2x
(2) 33x 1x
d) 4. član u razvoju binoma
7
xlog
1
xlog 1010
jednak 3500000
rešenje:
xlog
3xlog2
xlog
32/1xlog4
3
xlog
14
xlog4 10351010
123
5671010
3
7T
5
xlog
3xlog2
xlog
3xlog2
xlog
3xlog2
10log10logxlog
3xlog2
100000log10log
log10000010
35:35000001035
5xlog
3xlog2
Smena: txlog
t5t
3t2
t53t2 2
03t5t2 2
4
75
4
24255t 2/1
3t1 2
1t2
(1) 3xlog 100010x 3
(2) 2
1xlog
10
10
10
10
10
110x 2
1
7.Ako je u razvijenom obliku binoma nyx , drugi član 240, treći 720 a
četvrti 1080 odrediti x,y i n. rešenje:
240ynx
ynxyx1
nT
1n
1n1n2
1440yx1nn720yx
2
1nn
yx2
1nnyx
2
nT
22n22n
22n22n3
6480yx2n1nn1080yx
6
2n1nn
yx6
2n1nnyx
3
nT
33n33n
33n33n4
SISTEM JEDNAČINA:
240ynx 1n (1)
1440yx1nn 22n (2)
6480yx2n1nn 33n (3)
6
x
y1n
240
1440
ynx
yx1nn
)1(
)2(1n
22n
(4)
2
9
x
y2n
1440
6480
yx1nn
yx2n1nn
)2(
)3(22n
33n
(5)
Iz (4) i(5):
2
9
x
y2n
2
9
x
y
x
y1n
2
9
x
y6
2
3
x
y
Zamenom u (4)
32n2
9
2
31n 5n
240yx5 4
48yx4
48x2
3x4
3
248x5
55 232x
2x
2
3
x
y
2
3
2
y
3y
8. Dokazati da je zbir svih binomnih koeficijenata u razvoju binoma jednak 2
n.
Rešenje: Zbir binomnih koeficijenata je :
n
n...
2
n
1
n
0
n
Ovaj zbir se dobija razvojem binoma n11 .
Odnosno
n
n...
2
n
1
n
0
n= n11 = n2