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4STEP 数学Ⅰを解いてみた http://toitemita.sakura.ne.jp
1
図形と計量 7 三角形の面積 三角形の面積 1
△ABC の面積を S とすると, CabBcaAbcS sin21sin
21sin
21
===
解説
B から直線 AC に下ろした垂線の足を H とすると,
Ac sinBH = より, AbcbS sin21BH
21
=×=
A
B C
c b
A
a
B C
A
B C
H
c b
A
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2
B から直線 AC に下ろした垂線の足を H とすると,
( ) AcAc sin180sinAH =-°= より, AbcbS sin21AH
21
=×=
同様にして, BcaS sin21
= , CabS sin21
= も成り立つ。
よって, CabBcaAbcS sin21sin
21sin
21
===
三角形の面積 2 ヘロンの公式 3 辺の長さが cba ,, である三角形の面積 S は
( )( )( )csbsassS ---= ただし,2
cbas ++=
導き方
Acb
Abc
SS
222
2
2
sin41
sin21
=
÷øö
çèæ=
=
ここで, 1cossin 22 =+ AA より, AA 22 cos1sin -=
また,△ABC において,余弦定理より,bc
acbA2
cos222 -+
=
よって,
( )bc
acbbcbc
acbbc
bcacb
bcacb
bcacbA
22
22
21
21
21sin
222222
222222
22222
-+-×
-++=
÷÷ø
öççè
æ -+-÷÷
ø
öççè
æ -++=
÷÷ø
öççè
æ -+-=
A
B C
H
c b
A
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( ) ( )
( ) ( )
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }
( )( )( )( )22
2222
222222
4
22
22
22
22
cbcbacbacbacba
bccbacba
bcacbacbbc
cbabc
acbbc
cbcbabc
acbcb
+--+++-++=
---+×
-+++=
--×
-+=
×+--
×-++
=
ゆえに,
( )( )( )( )
( )( )( )( )
÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++++=
-+×
+-×
++-×
++=
-++-++-++=
-++-++-++×=
=
ccbabcbaacbacba
cbacbacbacba
cbacbacbacbacb
cbacbacbacbacb
AcbS
2222
2222
16
441
sin41
2222
222
したがって,2
cbas ++= とおけば, ( )( )( )csbsassS ---= と表せる。
三角形の内接円と面積
△ABC=△ABI+△BCI+△CAI より, ( )cbarbrarcrS ++=++=21
21
21
21
A
B CD
EF
I
a
b c
r
r r
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288
(1)
△ABC≡△CDA より,平行四辺形 ABCD の面積は△ABC の面積の 2 倍である。
よって,平行四辺形 ABCD の面積を S とすると,
2
31560sin53212 =°××××=S
(2)
6ADBC == より,△ABC の面積は ( ) 2645sin1245180sin12135sin6421
=°=°-°=°××
よって,平行四辺形 ABCD の面積は 212
A
B C
D
3
5
60°
A
B C
D
4
6
135°
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289
(1)
△ABD の面積
( )
21
21
22
45sin22
45180sin22
135sin2121AADsinAB
21
=
×=
°=
°-°=
°××=Ð×
△BCD の面積
23
21
223
45sin2321CCDsinCB
21
=
×=
°××=Ð×
よって,四角形 ABCD の面積は 223
21
=+
A
B C
D
1
3
2
2 °135
°45
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(2)
△ABC の面積
( )
4315
23
215
60sin2
15
60180sin2
15
120sin5321BBCsinBA
21
=
×=
°=
°-°=
°××=Ð×
△ACD の面積
( )1DcosDsin,0DsinDcos110
Dsin5421DDCsinDA
21
222 =Ð+Ð>ÐÐ-=
Ð××=Ð×
ここで,△ABC において,余弦定理より,
( )( )
7213034
60cos3034
60180cos532259
BCcos120BA2BCBAAC 22
=
÷øö
çèæ-×-=
°-×-=
°-°××-+=
°××-+=
よって,△ACD において,余弦定理より,
51
542492516
DC2DAACDCDADcos
222
-=
××-+
=
×-+
=Ð
ゆえに,
64
51110
Dcos110DDCsinDA21
2
2
=
÷øö
çèæ--=
Ð-=Ð×
よって,四角形 ABCD の面積は 644
315+
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7
補足
△ACD の面積をヘロンの公式を使って求めると, 4DA5,CD7,AC === より,
64
431842
45752
45772
4572
457
=
×××=÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++×
++
ヘロンの公式 3 辺の長さが cba ,, である三角形の面積 S は
( )( )( )csbsassS ---= ただし,2
cbas ++=
A
B C
D
°120
3
4
5
5
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290
(1)
△ABC において,余弦定理より,
Bcos422164
BBCcos2ABBCABAC 222
Ð××-+=Ð×-+=
Bcos1620 Ð-= ・・・①
△ACD において,余弦定理より,
Dcos1213Dcos32294
DCDcos2DACDDAAC 222
Ð-=Ð××-+=
Ð×-+=
ここで,四角形 ABCD は円に内接しているから,
( )Bcos
B180cosDcosÐ-=
Ð-°=Ð
よって, Bcos1213AC 2 Ð+= ・・・②
①,②より, Bcos1213Bcos1620 Ð+=Ð- 41Bcos =Ð\
これを①に代入すると, 16AC 2 = 4AC =\ (2)
△ABC の面積
15
4114
Bcos14221BsinBCBA
21
2
2
=
÷øö
çèæ-=
Ð-××=Ð×
または
ヘロンの公式より,
15
1135
42
44242
44222
4422
442
CA2
CABCABBC2
CABCABAB2
CABCAB2
CABCAB
=
×××=
÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++++=
÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++×
++
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△ACD の面積
4153
4113
Dcos13221DsinDCDA
21
2
2
=
÷øö
çèæ--=
Ð-××=Ð×
または
ヘロンの公式より,
4153
22
23432
23442
2342
234
DA2
DACDACCD2
DACDACAC2
DACDAC2
DACDAC
=
÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++++=
÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++×
++
よって,四角形 ABCD の面積は4157
415315 =+
A
B C
D
2
4
3
2
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291
(1)
△ABC において,余弦定理より,
( )
1360cos610
60180cos610120cos13219
BBCcos2ABBCABAC 222
=°+=
°-°-=°××-+=
Ð×-+=
これより,△ACD において,余弦定理より,
( )
3DADA9
60cos6DADA9
B180cosDA32DA9
DDAcos2CDDACD13
2
2
2
22
-+=
°-+=
Ð-°××-+=
Ð×-+=
よって, 043DADA 2 =-- すなわち ( )( ) 04DA1DA =-+
ゆえに, 0DA > より, 4DA =
四角形 ABCD の面積は△ABC の面積と△ACD の面積の和と等しいから,
求める面積は
( )
4315
23
215
60sin2
1223
60sin2
1260180sin23
60sin3421120sin13
21DDCsinDA
21BBCsinBA
21
=
×=
°÷øö
çèæ +=
°+°-°=
°×××+°×××=Ð×+Ð×
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A
B C
D
3
1
3
°120
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12
(2)
△ABC において,余弦定理より,
Bcos223
Bcos21221
BBCcos2ABBCABCA 222
Ð-=
Ð××-+=
Ð×-+=
△ACD において,余弦定理より,
( )Bcos249
B180cos122218
DDAcos2CADACDAC 222
Ð+=
Ð-°××-+=
Ð×-+=
よって, Bcos249Bcos223 Ð+=Ð- 2
1Bcos -=Ð\
これより, °=Ð 135B
また, °=Ð-°=Ð 45B180D
四角形 ABCD の面積は△ABC の面積と△ACD の面積の和と等しいから,求める面積は
23
21221
21
2121
21DCcos45DA
21BCcos135BA
21
=×××+×××=°×+°××
A
B C
D
1
2
22
1
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292
内接する正 n 角形の面積
正 n 角形は,外接円の中心 O と頂点を結ぶことにより,
合同な n 個の二等辺三角形に分割できる。
よって,その 1 つの二等辺三角形を△OAB とすると,
n°
=Ð360AOB , r== OBOA の頂角は
n°360より,△OAB の面積は
nr °360sin
21 2
ゆえに,求める面積はn
nrn
rn °=
°´
360sin21360sin
21 22
BA
O
n°360
r r
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外接する正 n 角形の面積
正 n 角形は,内接の中心 O と頂点を結ぶことにより,
頂角がn°360の n 個の合同な二等辺三角形に分割できる。
そこで,その 1 つの二等辺三角形を△OAB,
O から辺 AB に下ろした垂線の足を H とすると,
AB⊥OH より,H は辺 AB と内接円の接点だから, r=OH
また,二等辺三角形の性質より,
AB21AH = 2AHAB =\
nn°
=°
×=Ð=Ð180360
21AOB
21AOH
よって,△OAB の面積は
nr
n°
=°
×=×=××=×180tan180tanOHOHAHOHAH2OH
21ABOH
21 2
ゆえに,求める面積はn
rn °180tan2
O
BA H
n°180
r
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293
(1)
△ABC の面積を S とすると,
( )
( )
r
r
cbarS
215
6542121
=
++=
++=
また,
4715
542362516110
2110
cos15421
sin21
2
2222
2
=
÷øö
çèæ
××-+
-=
÷÷ø
öççè
æ -+-=
-××=
=
abcba
C
CabS
よって,4
7152
15=r
27
=\r
補足
ヘロンの公式から S を求めると,
4715
23
25
27
215
62
1552
1542
152
15
2222
=
×××=
÷øö
çèæ -÷øö
çèæ -÷øö
çèæ -=
÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++++=
ccbabcbaacbacbaS
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(2)
△ABC の面積を S とすると,
( )
( )
( )r
r
r
Abccbr
ar
cbarS
14
151321
15218726449
21
15cos221
872121
22
=
+=
÷÷ø
öççè
æ+÷
øö
çèæ-×××-+=
÷øöç
èæ +-+=
++=
++=
また,
3142328
120sin8721
sin21
=
×=
°××=
=
AbcS
よって, 31414 =r 3=\r
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17
294
(1)
3102320
60sin5821
sin21
=
×=
°×××=
=
CabS
(2)
余弦定理より,
749
218089
60cos5822564
cos222
==
×-=
°××-+=
-+=
Cabbac
(3)
( )
( )r
r
cbarS
10
7582121
=
++=
++=
(1)より, 310=S だから, 31010 =r 3=\r (4)
正弦定理より, RC
c 2sin
=
337
37
232
760sin2
7sin2
=
=
×
=
°=
=\
CcR
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295
△ABC=△ABD+△ACD であるから, x=AD とおくと,
°×××+°×××=°×× 30sin152130sin10
2160sin1015
21 xx より,
2115
21
2110
21
231015
21
×××+×××=××× xx
両辺を 4 倍し,整理すると, x253150 = 36=\x
ゆえに, 36AD =
A
B CD
15
10 x
°30 °30
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19
296
△OAB の面積= °× 45sinOBOA21
△OBC の面積= °×=°× 45sinOCOB21135sinOCOB
21
△OCD の面積= °× 45sinODOC21
△ODA の面積= °×=°× 45sinOAOD21135sinOAOD
21
よって,四角形 ABCD の面積は
°× 45sinOBOA21
°×+ 45sinOCOB21
°×+ 45sinODOC21
°×+ 45sinOAOD21
( )
( ) ( ){ }
( )( )
27
7442
BDAC42
ODOBOCOA42
OCOAODOCOAOB42
OAODODOCOCOBOBOA245sin
=
××=
×=
++=
+++=
×+×+×+×°
=
O
A
B C
D
4
7 45°
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20
297
(1)
正弦定理より,C
cA
asinsin
=
( ){ }
( )BAAc
BAAc
CAca
+=
+-°=
=\
sinsin180sin
sinsinsin
(2)
( )
( )BABAc
BcBA
Ac
BacS
+=
×+
×=
=
sin2sinsin
sinsin
sin21
sin21
2
298
(1)
底面を△OBC とすると,
底面積= 22221
=××
高さ OA=2
よって,3422
31
=××=V
(2)
△ABC は 1 辺の長さが 22 の正三角形であるから,
3260sin222221
=°××=S
(3)
OH31
×= SV ,34
=V , 32=S より,
3323OH ==
SV
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21
299
△ABH は °=Ð 90AHB の直角二等辺三角形だから, AH2AB =
よって,正方形 ABCD の面積は 22 2AHAB =
したがって,正四角錐の体積をV とすると, 22 AHPH322AHPH
31
×=×=V
これと, °=Ð 90AHP の直角三角形 PAH において, qsinAH a= , qcosPH a= より,
qqqq cossin32sincos
32 2322 aaaV =×=
P
A B
CD
H
q
a
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22
300
(1)
正三角形 BCD の面積=4
3960sin3321
=°×× ・・・①
A から正三角形 BCD に下ろした垂線の足を H とすると,△ABH,△ACH,△ADH は斜
辺の長さが等しく AH を共有する直角三角形だから,合同である。よって, DHCHBH ==
これより,H は正三角形 BCD の外接円の中心,BH は外接円の半径ということになり,
正弦定理より, BH260sin3
=°
360sin2
3BH =°
=\
よって,△ABH において,三平方の定理より, 639BHABAH 22 =-=-= ・・・②
ゆえに,①,②より,正四面体 ABCD の体積=4
2964
3931
=××
これと,正四面体 ABCD の体積= V4 より,16
29=V
補足:H は△BCD の重心でもある。
H が外心であるということは,H は各辺の垂直二等分線の交点である。
二等辺三角形の底辺の垂直二等分線は,頂点を通るから,頂点から底辺に引いた中線
でもある。したがって,正三角形の場合,垂直二等分線の交点すなわち外心と中線の
交点すなわち重心が一致する。ということは,H は△BCD の重心でもある。
すると,上図において,2
33BC23BM == 3BM
32BH ==\
A
B
C
D
H
3
M
3
3
3
3
3
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23
(2)
△BCD を四面体 OBCD の底面にとると,底面積は4
39,高さは内接球の半径 r だから,
rrV4
334
3931
=××=
また,(1)より,16
29=V
よって,16
294
33=r
46
=\r
これより,球の表面積= pp234 2 =r ,球の体積= pp
86
34 3 =r
解説:「正四面体 ABCD の体積=4×四面体 OBCD の体積」の導き方
導き方 1
内接球と各面との接点を 321 E,E,EH, とすると,
321 OE,OE,OEOH, は内接球の中心 O から各面に下ろした垂線かつ内接球の半径だから,
それぞれ O を頂点としたときの四面体 OECD, OACD, OABD, OABC の高さは内接球の半
径と等しい。よって,4 つの四面体はいずれも底面が合同で高さが等しい。
ゆえに,「正四面体 ABCD の体積=4×四面体 OBCD の体積」が成り立つ。
O
A
B
C
D
H
E1
E2
E3r r
r
r
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24
導き方 2
△AHM と直線 BE において,メネラウスの定理より, 1EAME
BMHB
OHAO
=×× ・・・①
H,E はそれぞれ△BCD,△ACD の重心だから,BH:HM = AE:EM = 2:1
よって,32
122
BMHB
=+
= ・・・② 21
EAME
= ・・・③
①~③より, 121
32
OHAO
=×× \AO:OH = 3:1
ゆえに,AH:OH = 4:1 すなわち 4OHAH =
したがって,底面を△BCD とすると,
正四面体 ABCD の高さは四面体 OBCD の高さの 4 倍だから,
正四面体 ABCD の体積=4×四面体 OBCD の体積
O E
A
B
C
DH
M
OE
A
B
H
M
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25
301
(1)
球の半径を r とし,立体を底面と平行に球の中心を通るように切断すると,
その断面は,3 辺の長さが 5,6,7 である三角形に半径 r の円が内接している図になる。
△ABC の面積を S とすると,
( ) rrS 976521
=++= ・・・①
56215
652756115
Bcos115
Bsin6521
2222
2
×=
÷÷ø
öççè
æ
××-+
-=
Ð-=
Ð××=
S
66= ・・・②
①,②より, 669 =r 3
62=\r
ゆえに,球の表面積 pp3
322
6242
=÷÷ø
öççè
æ×= ,球の体積 pp
27664
262
34
3
=÷÷ø
öççè
æ×=
A
B C
I
6
7
5
r
r
r
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26
補足
S をヘロンの公式から求めると,
66
72
76562
76552
7652
765
=
÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++++=
S
(2)
表面積 = 側面積+2×底面積
( )
636
662183
64
27652
=
×+×=
+++= Sr
体積 = 底面積×高さ
483
6466
2
=
×=
×= rS
(3)
球の表面積:三角柱の表面積= p3
32: 636
= p8 : 627 (4)
球の体積:三角柱の体積= p27
664:48
= p8 : 627 =球の表面積:三角柱の表面積
補足
球の表面積= 24 rp , 三角柱の表面積=側面積+2×底面積= ( ) ( ) ( )cbarcbarcbar ++=+++++ 32
よって,球の表面積:三角柱の表面積= rp4 : ( )cba ++3
球の体積= 3
34 rp
三角柱の体積=底面積×高さ= ( ) ( )cbarrcbar ++=×++ 2221
よって,球の体積:三角柱の体積= rp4 : ( )cba ++3
ゆえに,球の体積:三角柱の体積=球の表面積:三角柱の表面積
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27
302
三平方の定理より, ( ) 6452OB 22=+=
よって, 3OP =
O
PA
B
4
52
4 //
//
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28
直円錐の側面を母線 OB から切り開いてできる扇形をOBB' とすると,
弧BB'の長さは,直円錐の底面の円周の長さと等しいから, pp 842 =×
一方,扇形の中心角の大きさを °x とすると,弧BB'の長さは pp30360
62 xx=
°°
´×
よって, pp 830
=x
より, 240=x
したがって,側面図は下図のようになる。
ゆえに,△AOP において,余弦定理より,
73
1845
120cos36236AP 22
=
+=
°××-+=
P
B’
A
B
O
3
6 °120
°120
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29
303
(1)
142124762
65352
65332
6532
653=×××=÷
øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++++
(2)
4153
21
23
25
294
24323
24322
2432
2432
=×××=÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++++
ヘロンの公式 3 辺の長さが cba ,, である三角形の面積 S は
( )( )( )csbsassS ---= ただし,2
cbas ++=
導き方
Acb
Abc
SS
222
2
2
sin41
sin21
=
÷øö
çèæ=
=
ここで, 1cossin 22 =+ AA より, AA 22 cos1sin -=
また,△ABC において,余弦定理より,bc
acbA2
cos222 -+
=
A
B C
c b
A
a
B C
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よって,
( )bc
acbbcbc
acbbc
bcacb
bcacb
bcacbA
22
22
21
21
21sin
222222
222222
22222
-+-×
-++=
÷÷ø
öççè
æ -+-÷÷
ø
öççè
æ -++=
÷÷ø
öççè
æ -+-=
( ) ( )
( ) ( )
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }
( )( )( )( )22
2222
222222
4
22
22
22
22
cbcbacbacbacba
bccbacba
bcacbacbbc
cbabc
acbbc
cbcbabc
acbcb
+--+++-++=
---+×
-+++=
--×
-+=
×+--
×-++
=
ゆえに,
( )( )( )( )
( )( )( )( )
÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++÷øö
çèæ -
++++=
-+×
+-×
++-×
++=
-++-++-++=
-++-++-++×=
=
ccbabcbaacbacba
cbacbacbacba
cbacbacbacbacb
cbacbacbacbacb
AcbS
2222
2222
16
441
sin41
2222
222
したがって,2
cbas ++= とおけば, ( )( )( )csbsassS ---= と表せる。