ALJABAR LINIER

ALJABAR LINIER

Deskripsi :

Mata Kuliah ini mempelajari tentang matriks dengan sifat-sifat serta operasinya, vektor beserta sifat dan operasinya, aplikasi matriks dalam menyelesaikan sistem persamaan linier, serta aplikasi matriks dalam bentuk kuadrat, bentuk bilinier dan bentuk hermit

ALJABAR LINIERTujuan instruksional umum :

mahasiswa mengerti dan memahami tentang matriks dan vektor serta operasi terhadapnya serta dapat mengaplikasikan dalam persoalan-persoalan sehari-hari

Buku acuan :

Anton, Howard, “Aljabar Linier Elementer”, Edisi 8 Jilid 1 , Erlangga, Jakarta 1997

MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS-Untuk memudahkan menentukan lokasi tempat duduk, dapat dibuat denah berdasarkan baris dan kolom

-Banyaknya lulusan STIS berdasarkan jurusan jenis kelamin dapat dibuat tabel

JK\Jurusan Komputasi Ekonomi Sosial

Laki-laki 45 50 35

Perempuan 30 125 75

MATRIKS DAN OPERASI MATRIKSDengan menghilangkan judul baris dan kolomnya, penulisan data tersebut dapat diringkas menjadi:

Definisi : Sebuah matriks adalah susunan kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom (dengan menggunakan kurung biasa atau siku).

7512530

355045

MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS

Sebuah matriks dapat diberi nama menggunakan huruf kapital, seperti A, B, C, dan seterusnya. Misalnya nama matriks di atas adalah matriks A.

Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan elemen/entri dalam matriks A.

MATRIKS DAN OPERASI MATRIKSMatriks A terdiri dari 2 baris dan 3 kolom , oleh karena itu disebut berordo 2x3.

7512530

35504532xA

Baris pertamaBaris kedua

Kolom Pertama

Kolom kedua

Kolom ketiga

MATRIKSDefinisi

Susunan segiempat yang terdiri atas bilangan – bilangan real yang tersusun atas baris dan kolom

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

m baris

n kolom

di katakan matriks A berukuran m x n

Baris ke-i dari A adalah :

Kolom ke-j dari A adalah :

Matriks A dapat juga ditulis :A = [aij]

Jika m = n maka dikatakan A matriks Bujur sangkar, dan bilangan a11, a22, …, ann disebut dengan diagonal utama

)1(21 miaaa inii

)1(2

1

nj

a

a

a

mj

j

j

Jenis – jenis Matriks1. Matriks Diagonal

Matriks b.s. dengan elemen diluar diagonal utama adalah nol, yaitu aij = 0 untuk i j

2. Matriks Skalar

Matriks diagonal dengan elemen pada diagonal utama adalah sama, yaitu

aij = c untuk i = j dan aij = 0 untuk i j

3. Matriks Segitiga Atas

Matriks b.s. dengan elemen dibawah diagonal utama adalah nol

Jenis – Jenis Matriks4. Matriks Segitiga Bawah

Matriks b.s. dengan elemen diatas diagonal utama adalah nol

5. Matriks Identitas

Matriks diagonal dengan elemen pada diagonal utama adalah 1 , yaitu

aij = 1 untuk i = j dan aij = 0 untuk i j

6. Matriks Nol

Matriks yang seluruh elemennya adalah nol.

Operasi MatriksPersamaan Dua MatriksPenjumlahan MatriksPerkalian Skalar dan MatriksTranspose MatriksPerkalian Matriks

Persamaan Dua MatriksDefinisi

Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika : aij = bij, 1 i m, 1 j nyaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut adalah sama.

Contoh :

Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y = 0, dan z = -5

zy

x

w

BdanA

4

42

21

540

432

121

Penjumlahan MatriksDefinisi

Jika A = [aij] dan B = [bij] adalah matriks

ukuran m x n, maka jumlah A dan B adalah

matriks C = [cij] ukuran m x n dengan cij

= aij + bij

Contoh

Diberikan Matriks A dan B adalah

maka

312

421A

131

421B

423

001BA

Perkalian Skalar & MatriksDefinisi

Jika A = [aij] ukuran m x n dan r

adalah sebarang skalar real, maka perkalian skalar rA adalah matriks B

= [bij] ukuran m x n dengan bij = r aij

Contoh

Jika r = -3 dan

maka

421 A 1263 rA

Transpose MatriksDefinisi

Jika A = [aij] adalah matriks ukuran m x n,

maka transpose dari A adalah matriks

At = [aijt] ukuran n x m dengan aij

t = aji

Contoh

maka

250

324A

23

52

04tA

Transpose MatriksMatriks Simetrik

Matriks A yang berukuran nxn disebut

matriks simetrik jika dan hanya jika aij =

aji untuk semua I dan j.

Teorema-teorema di bawah ini berhubungan dengan transpose matriks.

1. (AT)T= A

2. (A+B)T = AT + BT

Transpose Matriks4. (kA)T = k(AT)

5. (AB)T = BTAT

6. (Ar)T = (AT)r

7. Jika A adalah matriks bujursangkar, maka A + AT adalah matriks simetrik

8. Untuk sembarang matriks A, maka AAT dan ATA adalah matriks simetri

Perkalian MatriksDefinisi

Jika A = [aij] ukuran m x p dan B = [bij] ukuran p x n, maka perkalian A dan B, dinotasikan AB, adalah matriks C = [cij] ukuran m x n dimana

cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj

Ilustrasi

rowi(A)colj(B) = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj = cij

mpmm

ipii

p

p

aaa

aaa

aaa

aaa

21

21

22221

11211

rowi(A)

pnpjpp

nj

nj

bbbb

bbbb

bbbb

21

222221

111211

Colj(B)

mnmm

ij

n

n

ccc

c

ccc

ccc

21

22221

11211

Latihan Soal1. Diberikan matriks – matriks sebagai

berikut:

Jika mungkin, maka hitunglaha. AB d. CB + D g. BA + FDb. BA e. AB + DF h. A(BD)c. A(C + E) f. (D + F)A

204

321A

51

42

13

B

211

543

132

C

21

32D

243

512

301

E

14

32F

2. Sebuah perusahaan membuat dua macam product, P dan Q, dari setiap dua tanaman, X dan Y. Polutan sulfur dioxide, nitric oxide, dan materi khusus juga dihasilkan dalam proses pembuatan product tersebut. Jumlah polutan – polutan yang dihasilkan tersebut diberikan (dalam kg) dalam bentuk matriks berikut :

400250200

150100300A

Sulfur dioxide

Nitric oxide

Materi khusus

Product P

Product Q

Pemerintah setempat mensyaratkan polutan – polutan tersebut harus didaur ulang. Biaya untuk itu per kg adalah (dalam dollar) diberikan dalam matriks B berikut :

apa interpretasi dari hasil perkalian AB bagi perusahaan ?

1015

97

128

B

Tanaman X Tanaman Y

Sulfur dioxide

Nitric oxide

Materi khusus

TEOREMA DALAM PERKALIAN MATRIKS1. (AB)C = A(BC) untuk matriks A berukuran mxn,

Matriks B berukuran nxp dan matriks C berukuran pxq

2. t(AB) = (tA)B = A(tB)

3. A(-B) = (-A)B = -(AB)

4. (A+B)C = AC + BC untuk matriks A dan B yang berukuran mxn dan matriks C berukuran nxp

5. D(A+B) = DA + DB untuk matriks A dan B yg berukuran mxn dan matriks D yg berukuran pxm

TEOREMA DALAM PERKALIAN MATRIKS

6. Ar = A A A A …. A

r kali

7. ArAs = Ars

8. (Ar)s = Ars

Teorema :