Post on 17-Oct-2020
Copyright © Cengage Learning. All rights reserved.
9 微分方程
Copyright © Cengage Learning. All rights reserved.
9.3 可分離微分方程
33
可分離微分方程
一個可分離微分方程 (separable equation) 是指一個一階微分方程,其表示式可以分解成 x與 y的函數相乘。
形如下者:
可分離的意思便是方程式表示式可以分解成兩個部分。
44
可分離微分方程
若 f(y) 不為 0,則我們可以將方程式改寫為
其中 h(y) = 1/f(y) 。
寫成這樣的目的是我們可以將微分方程式改寫成 x, y分離的兩個部分:
h(y) dy = g(x) dx
這樣的微分形式(differential form)。
其中等式一邊是 x,一邊是 y。
55
可分離微分方程
接著我們可以兩邊同時做不定積分
上式告訴我們 y可以用隱函數的形式寫成 x的函數,在某些情況下我們有可能解得 y對 x的明確表示式。
66
可分離微分方程
我們可以反過來檢驗這是微分方程式的解:兩邊同時微分
因此
於是有
77
範例一
(a) 解方程式
(b) 找出滿足初始條件 y(0) = 2 的解。
解:
(a)首先我們發現這是可分離的微分方程,於是改寫如下
y2 dy = x2 dx
兩邊同時積分
88
範例一 / 解
其中 C為一常數。(注意到等式兩邊均為不定積分,因此
積分結果會得到兩個積分常數,再合併)
接著解 y = y(x),得到
cont’d
99
範例一 / 解
我們可以再改寫常數為 K = 3C ,得到
(b) 將 x = 0代入上式,為了滿足初始條件 y(0) = 2 ,我們可以解得 於是有 K = 8 。
因此這個初始值問題的解為
cont’d
1010
垂直軌跡
1111
垂直軌跡
一組曲線 F 的垂直軌跡 (orthogonal trajectory) ,是指一條曲線在與 F 中的曲線相交時,在交點相交的角度為直角。如下圖所示
圖七
垂直軌跡
1212
垂直軌跡
舉例說明,給定一組通過原點的直線 y = mx,其中 m為參數。
我們會發現 x2 + y2 = r2,這些以原點為圓心的同心圓會是上述這組直線的垂直軌跡。
同時,我們也會發現任意直線
y = mx會是這些同心圓的垂
直軌跡。
這時候我們可以說這一組直線與
這組同心圓互為垂直軌跡。
圖八
1313
範例五
求一組曲線 x = ky2的垂直軌跡,其中 k為參數。
解:
我們發現 x = ky2會形成一組拋物線,對稱於 x 軸。
要找到垂直軌跡,我們必須要知道垂直軌跡在相交點的斜率,這個可以從 x = ky2微分得到。
1414
我們得到的微分方程式中包含 k,不過我們想解垂直所有拋物線的軌跡,所以需要得到的是一次滿足所有 k的方程式。
為了消掉參數 k,我們可以利用函數 x = ky2,可知道 k =
x/y2,因此微分方程式可以改寫為
或者
範例五 / 解cont’d
1515
這表示這一組拋物線在 (x,y)點時的切線斜率為
y = y/(2x).
因此垂直軌跡在 (x,y) 的切線斜率就必須要跟 y/2x 相乘為 –
1。因此有
這剛好是可分離微分方程,變數分離後兩邊同時積分得到
範例五 / 解cont’d
1616
範例五 /解
得到
移項後
得到橢圓表示式,其中 C為積分常數。
因此這組拋物線的垂直軌跡便是由上式
所決定的這組橢圓。
如右圖所示。
cont’d
圖九
1717
混合問題
1818
混合問題
典型的混合問題便是在一個容器中裝入具有某種溶質的混合溶液。
在容器中以固定速率輸入已知濃度的溶液,攪拌混合後,再以固定速率釋出容器。
我們假設 y(t) 表示在容器中的溶質質量,則 y (t) 便表示溶質的變化率,這便與溶液的輸出入速率有關。
從數學的角度來看,想理解這個問題便必須要用到微分方程。
我們也可以應用到類似的其他問題:化學反應、河川湖泊的汙染物、藥物在血液內的擴散。
1919
範例六
一個容器裝著 5000公升含有 20公斤鹽類的溶液。
該容器每分鐘有 25公升濃度 0.03公斤每升的水流入,
而有同樣流速在容器內充分混合的水流出。
試問在半個小時後有多少的鹽還留在容器內?
解:
假設 y(t) 是在 t分鐘後還留在容器內的鹽類質量。
設定初始條件 y(0) = 20 ,而我們的問題是要求 y(30) 的値。首先我們便需要根據條件來找題設滿足的微分方程式。
2020
範例六 /解
注意到 dy/dt是鹽分的變化率,因此也就是
我們計算輸入的速度
而溶液會維持容納 5000公升的液體,因此容器內的濃度為y(t)/5000 。
cont’d
輸入變化率 –輸出變化率
輸入變化率
2121
範例六 / 解
由於水的流出速度為 25 L/min ,因此
因此代入方程式得到
直接解方程式:
cont’d
輸出變化率
2222
範例六 / 解
由於 y(0) = 20 ,可解得常數 –ln 130 = C,因此
有
|150 – y | = 130e–t/200
由初始值 y(0) = 20 ,而式子右邊恆正,因此 150 – y 恆正,可直接拆開絕對值。
cont’d
2323
範例六 / 解
因此 |150 – y | = 150 – y,移項得到
y(t) = 150 – 130e–t/200
因此半小時後的鹽類質量為
y(30) = 150 –130e–30/200
38.1kg
cont’d