Tam Sayılar (Z)

Sayı doğrusunda sıfırın sağında kalan tam sayılara ……………………. denir ve …… ile gösterilir.

Sayı doğrusunda sıfırın solunda kalan tam sayılara ……………………. denir ve …... ile gösterilir.

Not: Sıfır başlangıç noktasıdır. (+) ya da (-) işareti almaz.

Tam Sayılarda Toplama ve Çıkarmaa) Toplama İşlemi

Aynı işaretli iki tam sayı toplanırken sayılar toplanır, ortak işaret yazılır.

Örnek: (+9)+(+16) işleminin sonucu kaçtır?

Örnek: (+12)+(+23) işleminin sonucu kaçtır?

Örnek: (+7)+(+14) işleminin sonucu kaçtır?

Negatif tam sayılarla toplama işleminde de kural aynı kullanılır. Sayılar toplanır ortak işaret yazılır.

Örnek: (-7)+(-11) işleminin sonucu bulunuz.

Örnek: (-25)+(-17) işleminin sonucunu bulunuz.

Örnek: (-15)+(-3) işleminin sonucunu bulunuz.

Ters işaretli iki tam sayı toplanırken mutlak değerce büyük olan sayıdan mutlak değerce küçük olan sayı çıkarılır. Sonuç mutlak değerce büyük olan sayının işaretini alır.

Örnek: (-12)+(+6) işleminin sonucunu bulunuz.

Örnek: (+26)+(-16) işleminin sonucunu bulunuz.

Örnek: (-34)+(+27) işleminin sonucunu bulunuz.

Örnek: Aydın’da hava sıcaklığı 5 iken 2 artmıştır. ℃ ℃Son durumdaki hava sıcaklığını sayı doğrusu ve sayma pullarıyla gösteriniz.

b) Çıkarma İşlemi Tam sayılarda çıkarma işlemi yapılırken çıkan sayının ters işaretlisi önceki sayı ile toplanır.

Örnek: (-9)-(+4) işlemini yapınız.

Örnek: (+11)-(-6) işlemini yapınız.

Örnek: (-14)-(-5) işlemini yapınız.

Örnek: (+21)-(+16) işlemini yapınız.

Biraz da parantezsiz işlemlere bakalım.

Örnek: -5+9=……. -9-4=….. 12-6=……. -16+(-8)=….. 11+(-7)=…… -25+13=…….

Not: Pozitif sayıların başına (+) işareti yazmak zorunlu değildir.

Örnek: Bir basketbol takımı sezon boyunca 26 maçta 1378 sayı atmış, 1243 sayı yemiştir. Buna göre sezon sonunda ki averajını hesaplayınız.

Örnek: Aşağıdaki tabloya göre takımların averajlarını hesaplayınız.

Oynadığı Maç

Sayısı

Galibiyet Sayısı

Beraberlik Sayısı

Mağlubiyet Sayısı

AttığıGol

YediğiGol

Averaj

Beşiktaş 8 7 _ 1 24 8

Fenerbahçe 8 6 1 1 28 14

Galatasaray 8 6 1 1 21 15

Trabzonspor 8 5 1 2 14 21

Bursaspor 8 2 2 4 6 35

Örnek: Aşağıdaki işlemin matematik cümlesini yazınız.

+ =

Örnek: Aşağıdaki işlemin sonucunu gösteriniz.

Örnek: Aşağıdaki işlemleri sayı pulları ile modelleyiniz.

(+3)+(+4)

(-2)+(+5)

(-7)+(+6)

(+6)+(-6)

(+2)+(+3)

Örnek: Aşağıdaki modellerin karşılarına matematik cümlelerini yazınız.

Not: Sayı doğrusundaki işlemlerde işlem kısmı sayı doğrusunun üstünde sonuç ise altında gösterilir.

Örnek: Aşağıdaki işlemleri sayı doğrusunda gösteriniz.

(+2)+(+3)

(-4)+(+5)

(+3)+(-6)

Örnek: Aşağıda sayı doğrusunda verilen işlemlerin matematik cümlesini yazınız.

Örnek: (-4)+8-(-7)=…. 12-(-2)+(-7)+6=…… 17+(-9)-6=….. (-45)-(-34)+21=……. (-23)-(-12)+5=….. 17+(-5)-(-14)+9=…….

Örnek: Deniz seviyesinden 400m yukarıdaki bir kuş ile deniz seviyesinin 325m altındaki bir balık arasında kaç metre mesafe vardır?

Örnek: -4 ile 2 arasındaki tam sayıların toplamını hesaplayınız.

Örnek: Yanda verilen tepede B noktası -7 , A noktası 16 ise iki nokta ℃ ℃arasındaki sıcaklık farkını bulunuz.

Örnek: En küçük pozitif tam sayı ile en büyük iki basamaklı tam sayı arasındaki farkı bulunuz.

Örnek: En büyük üç basamaklı tam sayı ile en büyük negatif iki basamaklı tam sayı arasındaki farkı bulunuz.

Tam Sayılarda Çarpma İşlemia)Aynı İşaretli Tam Sayıların Çarpımı

Aynı işaretli tam sayıların çarpımları pozitif olur. (+).(+)=(+) ( -).( -)=(+)

Örnek: (+2).(+3)= (-4).(-5)= (-10).(-4)= (-6).(-9)= 4.3 =

b)Farklı İşaretli Tam Sayıların Çarpımı

Farklı işaretli tam sayıların negatif olur. (+).(-)=(-) (-).(+)=(-)

Örnek: (-2).(+5)= (+7).(-3)= (-4).(+6)= (+11).(-8)= 6.(-2)= (-12).3=

Örnek: Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını hesaplayınız.(-2).(-5).2.(-3)= 1.(-1).1.(-1)=

(-4).(-1).(-2)= 6.(-3).(-1).2=

Örnek: Aşağıdaki işlemleri yapınız.(3-10).(-2)= (7-2).(-3)=

[9-(-3)].(-1)= -4-2.(-3)= (-5).(9-4)=

Örnek: Aşağıda sayma pullarıyla verilen işlemi yazınız.

Örnek: (-2).(+5) işlemini sayma pulları ile gösteriniz.

Örnek: Aşağıdaki tabloyu doldurunuz.

Örnek: Aşağıdaki işlemleri sayı doğrusunda gösteriniz.2.(-3)

3.(+2)

6.(-1)

-3 -1 0 1 3

-3

-1

0

1

3

Örnek: Aşağıda sayı doğrusunda verilen işlemleri yazınız.

Tam Sayılarda Çarpma İşleminin Özellikleri

a) İki tam sayının çarpımı yine bir tam sayı olduğu için tam sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.b) Tam sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği vardır. (-2).5= 5.(-2)=c) Tam sayılarda çarpma işlemi birleşme özelliğine sahiptir. (-4).[(-2).3]= [(-4).(-2)].3=d) Tüm tam sayıların (0) sıfır ile çarpımı sıfırdır. Sıfır çarpma işleminde yutan elemandır. 5.0= (-2).0= 0.(-3)=e) Tam sayılarda çarpma işleminin etkisiz elemanı birdir. 7.1= (-8).1= 1.3= 1.(-4)=f) Tam sayılarda çarpmanın toplama ve çıkarma üzerine dağılma özelliği vardır. (-3).[5+2]= (-5).[(-4)-(+2)]=

Örnek: -5 den +5 e kadar olan tam sayıların çarpımını hesaplayınız.

Örnek: -4 ile 0 arasında bulunan tam sayıların çarpımını bulunuz.

Örnek: X=2 Y=-5 Z=3 ise X.(Y-Z) işleminin sonucunu bulunuz.

Tam Sayıların Kuvvetleri

Bilgi: Pozitif tam sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.= =

= =

Bilgi: Tam sayılarda taban negatif olduğu zaman kuvvet çift ise pozitif, kuvvet tek ise negatiftir.= = =

= = =

Bilgi: Negatif bir sayıda işaret sayı ile beraber parantez içinde değilse önce sayının kuvveti alınır sonra önüne (-) konur.= =

= =

Bilgi: (-1) in çift kuvvetleri 1 e tek kuvvetleri ise (-1) e eşittir.= = =

= = =

Bilgi: Sıfır hariç tüm tam sayıların sıfırıncı kuvveti 1 dir.= == == =

Not:=

Bilgi: Sıfırın bütün pozitif kuvvetleri sıfırdır.= == =

Not: Toplamları sıfır olan iki tam sayı toplama işlemine göre birbirinin tersidir. 5 -7 23

Not: Bir sayının çarpma işlemine göre dersi demek sayının kesir olarak ters çevrilmesidir. 5 -3 7

Tam Sayılarda Bölme İşlemi Tam sayılarda çarpma işlemindeki işaret kuralları bölme işlemi içinde aynıdır.(+):(+)=(+) (+): (-)=(-)(-):(-) = (+) (-): (+)=(-)

Örnek: Aşağıdaki işlemleri yapınız.-9:3= 45: (-45)= 78:39=

21:7= -12: (-4)= -18:6=

36:(-9)= -56: (-8)=

Not: İşlem önceliğinde;-üslü sayılar-parantez işlemler-çarpma ve bölme-toplama ve çıkarma yapılır.

Örnek: [(-3).(-6)]:9 işlemini yapınız.

Örnek: 5.(-4)+8-(-3) işleminin sonucunu bulunuz.

Örnek: X=3, Y=-2, Z=-4 ise işleminin sonucunu bulunuz.

Örnek: işlemini hesaplayınız.

Örnek: 36: (-9)+(-3).(-2) işleminin sonucunu bulunuz.

Örnek: Aşağıdaki işlemleri yapınız.a) 30+[4.(-3)-3.2]+8

b) 17-2.[5-(7-12:4)]

c) 12:6.3+(-2).(-4)

Not: Sıfırın sıfırdan farklı bir tam sayıya bölümü sıfırdır.

= =

Not: Sıfırın sıfıra bölümü belirsiz, sayının sıfıra bölümü ise tanımsızdır.

= =

Örnek: (2008sbs)

Örnek: (2009sbs)

Örnek: (2010sbs) Örnek: (2011sbs)

Bölüm Testi1) (-2)-(-7)+4-5 işleminin sonucu kaçtır?A) -4 B) 4 C) -10 D) 10

Bölüm Testi

2) Aşağıda modellenen işlem hangi seçenekte doğrudur?

A) (+3)+(-6) B) (+3)-(-6)C) (-3)-(-6) D) (-3)+(-6)

Bölüm Testi3) (-3)+[(-2)+7]=[(*)+(-2)]+7 işleminde yıldız yerine hangi sayı gelmelidir?A) -2 B) 7 C) -3 D) 2

Bölüm Testi

4) I-13I-I-9I.(-2) işleminin sonucunu bulunuz.A) -31 B) -8 C) 8 D) 31

5) IaI=3 ve IbI=4 ise a+b nin en küçük değeri kaçtır?A) -7 B) -1 C) 1 D) 7

6) (-1).(-1)+(-1)-(-1) işleminin sonucu kaçtır?A) 1 B) 0 C) -1 D) -2

7)

Yukarıdaki tabloda iki sayının toplamı üsteki sayıyı verdiğine göre A+B toplamı kaçtır?A) -3 B) -4 C) -5 D) -6

8) (-4).6:3-[(-2)-(-1)] işleminin sonucunu kaçtır?A) -13 B) -11 C) -9 D)-7

9) işleminin sonucunu kaçtır?A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

10) (-5) in toplama işlemine tersi ile nin çarpma işlemine göre tersinin çarpımı kaçtır?A) - B) 2 C) -2 D)

11) Aşağıdaki işlemlerden hangisi tanımsızdır?A) 0.4 B) C) D) 0-3

12) (-6).2>3. ise üçgen yerine gelecek en büyük tam sayı kaçtır?A) -5 B) -4 C) -3 D) -2

13) Bir dalgıç olan Can, denizde 28 m dibe dalarak bir süre balıkları izledikten sonra her bir dakikada 3 m olmak üzere 5 dakika daha dalmaya devam ediyor. Deniz yüzeyi sıfır metre kabul edilirse Can’ın daldığı derinlik kaç m olur?A) -43 B) -12 C) 12 D) 43

14) Bahar öğretmen her doğru soruya (+3) her yanlış soruya da (-2) puan vermektedir. Bir sınavda 11 doğru 4 yanlış soru yapan Hakan Bahar öğretmenden kaç puan alır?A) 22 B) 23 C) 24 D) 25

15) Üç basamaklı en küçük pozitif tam sayı A, iki basamaklı en büyük negatif tam sayı B ise A-B kaçtır?A) -110 B) -90 C) 90 D) 110

Rasyonel Sayılar (Q)a bir tam sayı ve b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere şeklinde gösterilen sayılara …..... ……… denir ve ……. ile gösterilir. Örnek olarak , , -, - sayıları …………. Sayılardır.

Pay ve payda aynı işaretli sayılardan meydana geliyorsa sayı sıfırın ………………. gösterilir ve …………. ………….. …………. olarak tanımlanır. Pay ve payda zıt işaretli sayılardan meydana geliyorsa sayı sıfırın …………… gösterilir ve ……….. ………… ………. olarak tanımlanır.

Örnek:, , , (pozitif rasyonel sayılar)

Örnek: -== (negatif rasyonel sayılar)

Birazda sayı doğrusu üzerinde durmak gerekirse aşağıdaki örneği inceleyelim.

Örnek: Verilen noktalara karşılık gelen sayıları bulalım.

A= B= C= D= E=

Örnek:, , , kesirlerini sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.

Örnek: -, , -1 kesirlerini sayı doğrusunda gösteriniz.

Rasyonel Sayıların KarşılaştırılmasıSıralama yaparkenaşağıdaki duruma dikkat edilmelidir.

Tam sayılarda sıralama yapılırken iki yönteme sıklıkla karşılaşılır.

1)Paydaları eşit pozitif kesirlerde payı büyük olan daha büyüktür.Örnek:, , rasyonel sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.

2)Payı eşit olan pozitif kesirlerde paydası küçük olan kesir daha büyüktür.Örnek:, , kesirlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Not: Pay ve paydası eşit olmayan kesirlerde önce eşitleme yapılır daha sonra sıralanır.

Örnek:, , kesirlerini büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

Not: Negatif kesirlerde kesirler önce pozitif gibi düşünülüp sıralama yapılır. Son olarak sıralama ters çevrilir.

Örnek: -, -, - kesirlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Kesirler Arasındaki İlişkiİki kesrin ortasındaki kesir sorulduğu zaman .(+) kuralı kullanılarak bulunur.

Örnek: ile kesirlerinin ortasındaki kesri bulunuz.

Örnek: ile kesirlerinin ortasındaki kesri bulunuz.

Örnek: ile kesirleri arasında iki kesir yazınız.

Örnek:, 2, -, -2 kesirlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Not: Her tam sayı bir rasyonel sayıdır. Fakat tersi doğru değildir. 5 -3 0 13 -25

Rasyonel Sayıların Farklı Gösterimleria) Ondalık Açılımlar

Paydası 10, 100, 1000 gibi on ve onun kuvveti olan sayılardır.Örnek: Aşağıdaki rasyonel sayıları ondalık olarak gösteriniz.

= = = =

-= -= -= -=

Örnek: Aşağıdaki ondalık sayıları rasyonel yapınız.

0,6= 3,4= 0,23= 7,04= 11,12=

-2,5= -0,3= -5,14= -8,002=

Not: Virgülden sonraki sayının sonunda bulunan sıfırın değeri yoktur.

Örnek: 0,30000= 3,200= 0,42000= -11,3400= -5,08= -23,120=

b) Devirli Ondalık Sayılar

Devirli ondalık sayılar rasyonel olarak gösterilirken;

kuralı kullanılır.

Örnek: Aşağıdaki devirli ondalık sayıları şeklinde yazınız.1,= 1,=

21,= 2,4=

12,2= 5,=

0,= 0,=

0,= 0,0=

Not: Devreden sayı 9, 99, 999, … ise önceki basamak bir üst sayıya yuvarlanır.

0,= 2,2=

12,6= 4,1=

7,= 1,0=

Örnek: (2008sbs)

Örnek: (2010sbs)

Rasyonel Sayılarda Dört İşlema) Toplama ve Çıkarma İşlemi

Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapılırken;-Tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir.-Paydalar eşitlenir.-Paylar toplanıp veya çıkarılıp paya yazılır. Ortak payda aynen kalır.

Örnek: Aşağıdaki soruların çözümlerini bulunuz.+= 2+3= =

2-1= +1= 3-=

2-3= 2-= 4+3=

Örnek: Aşağıdaki soruları çözünüz.0,4+= 0,+= 1,=

1,4-= -0,2= -+0,=

Rasyonel Sayılarda Toplama İşleminin Özellikleria)Kapalılık özelliğine sahiptir.b)Değişme özelliği vardır.c)Birleşme özelliği vardır.d)Etkisiz eleman ‘0’ dir.e)Ters eleman vardır. Her rasyonel sayının tersi kendisinin ters işaretlisidir.

Örnek: Aşağıdaki işlemleri sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.

+

-+2

1-

Örnek: Yanda verilen işlemi çözünüz. (+)-(-+)=

Örnek: Ahmet bir yolun önce ini daha sonra kalan yolun yarısını ilerliyor. Geriye yolun kaçta kaçı kalır?

Örnek: Hakan elinde bulunan elmaların sini Ayşe’ye, ini Murat’a vermiştir. Buna göre son durumda elmaların tüm elmaların kaçta kaçı olduğunu bulunuz.

Örnek: Bir miktar şekerin ilk gün yarısını, ikinci gün kalan şekerlerin ünü, son gün ise kalanları yiyen Yeşim’in son gün yediği şeker toplam şekerin kaçta kaçıdır?

b)Çarpma İşlemiRasyonel sayılarda çarpma işlemi yapılırken tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir. Daha sonra pay pay ile payda payda ile çarpılır. Varsa sadeleştirme yapılır.

Örnek: Aşağıdaki soruların çözümlerini yapınız.

.= (-).2=

..= .(-)=

Bilmemiz gerekenler;-İşaret çarpımları tam sayılardaki çarpma işlemi ile aynıdır.

-Bir rasyonel sayının kuvvetini almak o sayıyı kuvveti kadar yan yana çarpma demektir.

-Negatif rasyonel sayılarda da çift kuvvet pozitif, tek kuvvet negatif olur.= = -=

-Sıfır hariç sıfırın tüm pozitif kuvvetleri sıfırdır.

Örnek: Aşağıdaki tabloyu doldurunuz.

- 1

-

1

Örnek: Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.(+).= -.+=

--.= 2.1-=

Örnek: Aşağıdaki kesirlerin çarpmaya göre terslerini yazınız.= -= 5= 0,2=

1= 0,= -2= 2,3=

Not:Kesir sorularında kesrin kesri sorulursa çarpma işlemi uygulanır.

Örnek: Ali elindeki 300 sayfalık kitabın ünün ini okumuştur. Geriye bitirmesi gereken kaç sayfa kitabı kalmıştır?

Örnek: Fatma banka da bulunan 2000 TL sinin yarısını taksitlerine harcamıştır. Kalan parasının ini de ev kirası olarak kullandığına göre geriye ne kadarı kalmıştır?

c)Bölme İşlemiRasyonel sayılarda bölme işlemi yapılırken;-Tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir.-1. kesir aynen yazılırken 2. kesir ters çevrilip çarpılır.

Örnek: Aşağıdaki bölme işlemlerini yapınız.:= -:=

1:(-)= 2:1=

Örnek: Aşağıdaki işlemleri çözelim.

= =

+= :.2=

Not: İşlem önceliği tam sayılarda ki ile aynıdır.

Örnek: Aşağıda verilen işlemleri yapalım.:= :=

= = =

Not: 0:= 0 :0= tanımsız Tam sayılarda bölme konusunda söz etmiştik.

Örnek: Bir Manav Ahmet amca elinde bulunan 150 kg elmayı 3 kg lık torbalara ayırarak satacaktır. Bir torba elma 2,5 tl ise toplam geliri hesaplayınız.

Örnek: Yuvarlak bir pidenin sini 3 arkadaş aralarında paylaşmak istiyor. Bir kişinin alacağı pide bütünün kaçta kaçına karşılık gelmektedir?

Rasyonel Sayılarda Model SorularıÖrnek: Aşağıdaki modeli işleme dökelim.

Örnek: Aşağıdaki modeli işleme dökelim.

Rasyonel Sayılarda Adım Adım İşlemler

Örnek: 4+=7 ise x=?

Örnek: 9:=3 ise x=?

Örnek:=?

Örnek: (1-).(1-).(1-).….(1-)=?

Örnek:2+:2-.=? Örnek:. -1=?

Örnek: 1+? Örnek: 3+=?

Örnek: (2008sbs)

Örnek: (sbs2011)

Bölüm Testi1), -, , 1 kesirleri büyükten küçüğe sıralandığından baştan ikinci kesir hangisi olur?A) B) C) 1 D) -

Bölüm Testi2) ile kesirlerinin tam ortasındaki kesir kaçtır?A) B) C) D)

Bölüm Testi3):+ işleminin sonucu kaçtır?A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

Bölüm Testi

4) kesrinin çarpmaya göre tersi A, - kesrinin toplamaya göre tersi B ise A.B çarpımı kaçtır?A) - B) C) - D)

5)

Yukarıdaki sayı doğrusuna göre işleminin sonucu kaçtır?A) B) C) D) 0

6) (0,4+): işleminin sonucu kaçtır?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

7) işleminin sonucu kaçtır?A) B) C) D)

8) (1+).(1+).(1+).(1+) işleminin sonucu kaçtır?A) 3 B) 4 C) 5 D)6

9) (2+). işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?A) B) 4 C) D) 2

10) 3+=4 işlemi için x hangi değeri alır?A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

11) 2+: işleminin sonucu kaçtır?A) B) C) D)

12) - kesri hangi sayıya bölünürse sonuç 2 olur?A) -3 B) C) 3 D) -

13) Bir öğrenci önce parasının ünü, sonra kalan parasının yarısını harcadığında 2 TL parası kalıyor. Buna göre bu öğrencinin başlangıçta kaç TL parası vardı?A) 10 B) 12 C) 14 D)

16

14Bir aracın kasasında bulunan kg elma, kg lık torbalara konarak dağıtılacaktır. En fazla kaç aileye dağıtım yapılır?A) 4 B) 5 C) 6 D) 7

15) 3600 m yolun inin sı kazılıyor. daha sonra kalan yolun yarısı kazıldığına göre kaç m yol kalmıştır?A)1620 B)1640 C)1680 D)1700