猫に教えてもらうルベーグ可測

#みどりぼん 3

2014/6/10

@shuyo

とあるビッグデータな勉強会が 開催されたある日の夜のこと──

あ～、にゃー先生～ 聞いてくださいよ～

（（（

どうしたにゃ バグ直したら精度下がっちゃったよぅな顔にゃ

「本当にわかったとは言えにゃい」とか 本当にわかってる人は言わにゃいから

気にするにゃ

懇親会行ったら「測度論やらなかったら 本当に統計わかったとは言えない」って～

あらにゃあ

だだだだ大丈夫にゃ 問題にゃい

……今さりげに多方面にケンカ売っちゃった 気しますけど、大丈夫ですか？

たぶん……

んなわけあるか、じゃなかった、 そんにゃわけにゃいだろ

測度論て全然知らないんですけど、 積分するのに難しい記号と

聞いた事のない名前をいっぱい出して 結局同じ結果になるってやつですよね

え～じゃあ なんのためにあるの？

• リーマン積分

• ルベーグ積分

それにはまず2種類の積分を 説明する必要があるにゃ

縦に切って短冊の面積を足すのがリーマン積分にゃ 短冊に幅があるせいで

積分できにゃぃ関数がたまにあるにゃ

だいたいはこれで行けるにゃ

高校数学の積分にゃ

自分で切った短冊の幅の代わりに 横に切ったときの関数の｢影｣を使うのが

ルベーグ積分にゃ 影の長ささえ測れれば積分できるにゃ

注目

注目した段の関数の「影」

簡単のはそれでいいにゃ でも複雑だと長さが測れにゃいかもにゃ

影が分かれてますけど、 これの長さってそれぞれの幅の合計ですか？

「長さくらい」？ 甘い！ 劇甘にゃ！

測れないなんてあるんですか？ 数直線上の部分集合の長さくらい……

確かにどんにゃ集合でも、 ムリヤリ長さを測れにゃくもにゃい でもそれは「ちゃんとした長さ」とは

限らにゃぃのだ

「ちゃんとした」？？？

長さですからねぇ そりゃあ足し算くらいできるでしょ

さっき2つにわかれた影の長さを それぞれの長さの合計としたにゃ

𝑚(𝐴)を集合𝐴の長さを求める関数とする

𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ (𝑖 ≠ 𝑗) に対して

𝑚 𝐴𝑛

∞

𝑛

= 𝑚 𝑎𝑛

∞

𝑛

「足し算くらいできるでしょ」を ちゃんと書くとこうにゃる

これを「完全加法性」というにゃ

𝑚(𝐴)を集合𝐴の長さを求める関数とする

𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ (𝑖 ≠ 𝑗) に対して

𝑚 𝐴𝑛

∞

𝑛

= 𝑚 𝑎𝑛

∞

𝑛

難しげですけど、要は 集合の和と長さの和が等しいってことでしょ

当たり前ですよね？

……

𝑚(𝐴)を集合𝐴の長さを求める関数とする

𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ (𝑖 ≠ 𝑗) に対して

𝑚 𝐴𝑛

∞

𝑛

= 𝑚 𝑎𝑛

∞

𝑛

完全加法性があれば「ちゃんとした長さ」 と考えて「ルベーグ測度」と呼ぶにゃ

にゃー先生 なんで無視するんですか!?

ホントはちょっと違うが 今はそういうことにするにゃ

𝑚(𝐴)を集合𝐴の長さを求める関数とする

𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ (𝑖 ≠ 𝑗) に対して

𝑚 𝐴𝑛

∞

𝑛

= 𝑚 𝑎𝑛

∞

𝑛

影の長さが測れればルベーグ積分できるにゃ そういう関数は「ルベーグ可測」と呼ぶにゃ

さらにスルーされた……！

𝑚(𝐴)を集合𝐴の長さを求める関数とする

𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ (𝑖 ≠ 𝑗) に対して

𝑚 𝐴𝑛

∞

𝑛

= 𝑚 𝑎𝑛

∞

𝑛

リーマン積分できにゃかった関数も ルベーグ積分ならできたり嬉しいにゃ これで測度論の重要さ .

勢いで 締めに入ろうとしても

ダメですよ！

うんうん

普通に考えたら、 「集合の和の長さ」＝「長さの和」に 決まってるじゃあないですか！

……そうはいかにゃいのにゃ そしたら可測とか 別にいらないですよね？

実は「集合の和の長さ」<「長さの和」 となる例を作れるのにゃ

あー(察し)

だから突っ込んで ほしくなかったのにゃ KY にゃ……

マジですか！ 分けて足したら長さが伸びるって

イミフすぎるんですけど

「選択公理」を使うにゃ

詳しくは知らないけど

すっっっっごく変な事ができるやつですよね

選択公理は知ってるかにゃ？

球を分割して組み直したら ２個に増えるとか

選択公理様のお出ましってことは かなりの変態ちっくってことですよね……

ちょー変態にゃ

こいつに比べれば カントール集合とか めっちゃかわいいもんにゃ

選択公理コワイ

怖いのは無限で、 選択公理はその怖さを 扱えるようにしているだけにゃ 選択公理は悪くにゃいのにゃ

そこまで変ってことは、 普通の用途で非可測はお呼びでないですよね？

いや濃度は十分大きいから

あとお茶もコワイ

な い で す よ ね ？ にゃー先生？

は、はいにゃ……

……大数の法則や中心極限定理を 安心して使えるのは測度論のおかげにゃ

そうなんですか？

機械学習や統計を普通に使ってて 非可測とか出てこないなら 測度論いらなくないですか？

そうにゃ！ 可測関数の極限が可測…… 確率の漸近的振る舞いを記述

あー時間なので LT 終わりで～す

続きはまた今度？

にゃにー！

ありがとうございました～