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Stato CriticoStato Critico
Comportamento del terrenoIl comportamento di un elemento di terreno è una successione di STATI FISICI
Il comportamento del terreno derivato da prove di laboratorio può essere descritto come funzione degli invarianti di tensione e del suo volume specifico:
q = (σ’a - σ’r)p’= (σ’a + 2σ’r)/3
v = 1 + eQuesti tre parametri indicano lo stato corrente del campionestato corrente del campione durante la prova
Volume Specifico:
Corso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
eV
VVVVv
s
vs
s+=
+== 1
Stato CriticoStato Critico
Prova TX Standard: COMPRESSIONE DRENATA- Campione consolidato isotropicamente a: p’=a ; u=0- Rottura (σr=cost; σa aumenta): ∆σr=0 ; ∆σa>0 ; ∆u=0
∆p’= ∆p= (∆σa + 2 ∆σr)/3= ∆σa/3∆q’= ∆q= (∆σa - ∆σr)= ∆σa
∆q/∆p=3
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Percorso efficace e totale coincidono perché in una prova drenata non si generano ∆u
q', q
p',p
31
A
B
a
v
p',p
A'B1'
B2'
Percorso tensionale completamente prefissato;
quale è il punto di rottura?
Il comportamento può essere dilatante (A’-B’1)
oppure contraente (A’-B’2)
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Stato CriticoStato Critico
Prova TXTX--CIDCID: risultati tipici per campione NCcampione NC
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q
200
100
50 10 15 20 25
Failure
Axial Strain a (%)
q'(k
N/m
)2
Axial Strain (%)252015100 5
5
10
0
v (%
) Failure
2q'
(kN
/m )
0
100
200
qFailure
100 200 3001 2
p' (kN/m )2
0
v (/
)
2p' (kN/m )300200100
1.5
1.6
1.7
1'
2'Failure
Normal Consolidation Line
Stato CriticoStato Critico
Prova TXTX--CIDCID: risultati tipici per campione NC campione NC nello spazio q; pnello spazio q; p’’; v; v
- Il punto iniziale 1 si trova sul piano q=0; poiché si esegue una consolidazione in condizioni isotrope, il percorso tensionale rimane su q=0 fino al punto 2
- Terminata la consolidazione, da 2 aumenta la tensione assiale, quindi sforzo deviatorico q≠0; il punto che rappresenta lo stato tensionale si muove nello spazio p’;q;v
- Da 2 viene abbandonata la linea di normal consolidazione NCL, come si vede dalla proiezione nel piano p’;v
- Il punto rappresentativo dello stato tensionale si muove verso il basso nel piano p’;v; il volume del provino diminuisce manifestando un comportamento contraente che corrisponde a εv > 0 (riduzione dell’indice dei vuoti)
- Per l’intero percorso le deformazioni assiali e volumetriche aumentano fino ad un asintoto orizzontale, corrispondente alla condizione di rottura
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Stato CriticoStato Critico
Prova TXTX--CIDCID:risultati tipici per campione NCcampione NC
Corso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
q'
0 A1 A2 A3
B1
B2
p'v
p'0
B3
A1
A2
A3
B1
B2
B3
NCL
CSL
v1
v3
v2
I percorsi tensionali A1-B1; A2-B2; A3-B3
rappresentano tre percorsi drenati
Nel piano p’;q’ i percorsi tensionali riportati sono proiezioni di quelli reali in quanto v ≠ 0
NCL: normal consolidation line, linea di normal-consolidazione
CSL: critical state line, linea di stato critico (rappresenta l’inviluppo dei punti di rottura)
Nel piano v;p’ i percorsi tensionali rappresentati sono delle proiezioni in quanto q’≠0
v3<v2<v1 all’aumentare della pressione di concolidazione si riduce il v iniziale
Stato CriticoStato Critico
Prova TXTX--CIDCID: 3 provini NC consolidati isotropicamente a tre tensioni crescenti
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2q'
(kN
/m )
Axial Strain a (%)0
q
p'0=3a
p'0=2a
p'0=a
3a
2a
a
10 20 30 3020100Axial Strain a (%)
q'/p
'0 (/
)
0.5
1.0
1.5
Si ottengono tre curve analoghe: comportamento incrudente. La resistenza aumenta all’aumentare della tensione di confinamento
Le curve possono essere pensate sovrapponibili e coincidenti quando si normalizza q’ rispetto a p’0 pressione iniziale di confinamento
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Stato CriticoStato CriticoProva TX Standard: COMPRESSIONE NON DRENATA- Campione consolidato isotropicamente a: p’=a ; u=0- Rottura (σr=cost; σa aumenta): ∆σr=0 ; ∆σa>0 ; ∆u>0
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B
A1
3
p
q
TSP TSP
q'
p'
31
A'
XB'
ESP
u
v
A''
p'
B''v0
Percorso totale predefinito con pendenza 3:1 è controllato dalla press. in cella e assiale imposte
Percorso efficace incognito; ESP si muove a sinistra di TSP perchési generano ∆u>0 che riducono le tens. efficaci
La prova è non drenata e il volume rimane costante.
TSP: percorso tensionale totale
ESP: percorso tensionale efficace
Stato CriticoStato CriticoProva TXTX--CIUCIU: risultati tipici per campione NCcampione NC
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Failure A''
Failure
200
2q;
q'(k
N/m
)
100
100 200 3000
q;q'
3
1
A'
uf
2u(
kN/m
)
Axial Strain a (%)
Failure
252015100 5
50
100
u
q
100
50
50 10 15 20 25
Failure
Axial Strain a (%)
q'(k
N/m
)2
p;p' (kN/m )2
0
v (/
)
2p' (kN/m )300200100
1.5
1.6
1.7
Normal Consolidation Line
p;p'
v0
5
Stato CriticoStato Critico
Prova TXTX--CIUCIU: risultati tipici per campione NC campione NC nello spazio q; pnello spazio q; p’’; v; v
- Il punto iniziale si trova sul piano q=0; poiché si esegue una consolidazione in condizioni isotrope, il percorso tensionale rimane su q=0 fino al punto A’
- Terminata la consolidazione, da A’ aumenta la tensione assiale, quindi sforzo deviatorico q≠0; il punto che rappresenta lo stato tensionale totale si muove secondo una linea di pendenza 3:1. A causa dello sviluppo di sovrapressioni interstiziali il TSP≠EPT. Il percorso efficace risulta incognito e si trova a sinistra di quello totale a causa delle ∆u>0. Il provino arriva a rottura seguendo il percorso ESP
- Da A’’ viene abbandonata la linea di normal consolidazione NCL, come si vede dalla proiezione nel piano p’;v; il percorso è a volume costante (v0) perché la prova è non drenata
- ESP si muove su un piano p’;q’ a volume costante (v0 iniziale)
- Per l’intero percorso le deformazioni assiali aumentano fino ad un asintoto orizzontale, corrispondente alla situazione di rottura
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Stato CriticoStato Critico
SOVRAPRESSIONE INTERSTIZIALEPrincipio sforzi efficaci: u = p - p’Forma incrementale: δu= δp – δp’
Terreno sottoposto a taglio cambia volume (comportamento contraente/dilatante)Se è imposto ∆v=0 (es. prova NON drenata), un terreno NC all’aumentare di q sviluppa ∆u positive per contrastare la tendenza alla contrazione, con conseguente riduzione di p’
δp’= -a.δq δu= δp + a.δq
Con: a = parametro di pressione = f(terreno, OCR, natura del carico)In generale:
δu= b(δp + a.δq)
a;b = parametri di SKEMPTONb=f(S): parametro volumetrico che dipende dalla saturazione (per S=1, b=1)
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A'p'
q'ESP TSP
- p'
q
p
1a
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Stato CriticoStato Critico
Prova TXTX--CIUCIU:risultati tipici per campione NCcampione NC
Corso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
I percorsi tensionali A1-B’1; A2-B’2; A3-B’3rappresentano tre percorsi ESP da prova non drenata
Nel piano p’;q’ i percorsi tensionali riportati sono proiezioni dei percorsi reali. Ciascun ESP ha la medesima forma del reale percorso a vi=cost
NCL: linea di normal-consolidazione
CSL: linea di stato critico (rappresenta l’inviluppo dei punti di rottura)
Nel piano v;p’ i percorsi tensionali rappresentati sono delle proiezioni in quanto q’≠0 e variabile
v3<v2<v1 all’aumentare della pressione di concolidazione si riduce il v iniziale
2a
a v3v2
v1
CSL
q'
p'0
B'1
B'2
B'3
v
p'0
NCL
v1
v3
v2
B'1
B'2
B'3
A1 A2 A3
A1
A2
A3
Stato CriticoStato Critico
Prova TXTX--CIUCIU: 3 provini NC consolidati isotropicamente a tre ≠ tensioni crescenti
Corso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
0Axial Strain a (%)
q'(k
N/m
)2
105
p'e=a
p'e=2a
p'e=3a
a
2aq'
Axial Strain a (%)0
q'/p
'e (/
)
0.5
105
Si ottengono tre curve analoghe: comportamento incrudente. La resistenza aumenta all’aumentare della tensione di confinamento.
Le curve q’-εa sono sovrapponibili e coincidenti quando si normalizza q’ rispetto a p’0 pressione di fine consolidazione.
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Stato CriticoStato CriticoProva TXTX--CICI nello spazio q; pnello spazio q; p’’; v; v::3 provini NC consolidati isotropicamente a tre tensioni crescentiSe i tre campioni vengono sottoposti ad una prova TX-CID, drenata, la rottura avviene seguendo i percorsi di tensioni efficaci (che in questo caso coincidono con quelli delle pressioni totali) secondo un percorso inclinato 3:1. I percorsi A1-B1; A2-B2, A3-B3 sono proiezioni nel piano p’-q’ in quanto la variazione di stato tensionale avviene con cambiamento di volumeSe i tre campioni vengono sottoposti ad una provaTX-CIU, non drenata, la rottura avviene seguendo i percorsi di tensioni efficaci (che non coincidono con quelli delle pressioni totali). I percorsi A1-B’1; A2-B’2, A3-B’3 sono percorsi reali nel piano parallelo a p’;q’ in corrispondenza del volume vi pertinente al provino i-esimoTutti i provini di uno stesso tipo di terreno Tutti i provini di uno stesso tipo di terreno arrivano a rottura sulla CSL indipendentemente arrivano a rottura sulla CSL indipendentemente dal tipo di prova TX eseguitadal tipo di prova TX eseguita
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CSL
NCL
B2
B2
B1 A3
A2
A1
A3A2A1
B'3
B'2
B'1
v2
v3
v1
0 p'
v
B3
B2
B'3
B1B'2
B'1
0 p'
q'
Stato CriticoStato Critico
v
q'
p'
Proiezione CSL
CSL
Proiezione CSL
NCL
A2
A
B2
B
C2
C
C1
B1
A1
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Rappresentazione tridimensionale:
-Percorsi tensionali-NCL: linea di normal-consolidazione-CSL: linea di stato critico-Proiezione di CSL sul piano q’;p’-Proiezione di CSL sul piano p’;v
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Stato CriticoStato CriticoCorso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
Linea di Stato Critico
Proiezione della linea di stato critico nel piano q’;p’
Proiezione della linea di stato critico nel piano v;p’
Stato CriticoStato CriticoCorso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
Linea di Stato Critico
Proiezione della linea di stato critico e di normal-consolidazione nel piano v;lnp’v’
lnp’ (kN/m2)
Oltre la linea NCL non possono esistere stati tensionali compatibili con un dato volume specifico
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Stato CriticoStato CriticoCorso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
Equazioni delle linee che descrivono lo stato tensionale del provino e loro proiezioni sui piani principaliCSL: - proiezione nel piano v-lnp’
= costante del materiale (valore di v per p’=1 kPa)
- proiezione nel piano q’-p’
NCL: giace sul piano v-lnp’N = valore del volume specifico in corrispondenza di una tensione media efficace p’=1kPa
SL: swelling line (linea di rigonfiamento) giace sul piano v-lnp’
Γ=+ 'ln pv λΓ
'' Mpq =
( ) φφ
σσσσ
sensen
pqM
−=
+−
==3
6
32 31
31
''''
''
φστ tan'= ( ) ( ) φσσσσ sen3131 21
21 '''' +=−
Npv =+ 'lnλ
M : estensione
kvpkv =+ 'ln
SL
CSL
NCL
p'=1 kPa
vK
N1
lnp'0
v
k 1
φφ
sensen
pqM
+−
==3
6''
M : compressione ;
Stato CriticoStato CriticoCorso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
Rappresentazione tridimensionale dei percorsi efficaci ESPnel caso di prova TX-CIU, cioè NON drenata, su campioniNC
Se su tre provini consolidati a diverse pressioni si esegue una prova TX-CIU: i percorsi tensionali efficaci sono ANC-A;BNC-B; CNC-C
Poiché la prova avviene in condizioni non drenate il volume dei provini non cambia, quindi i percorsi ESP si muovono su piani a volumecostante (paralelli a q; p’)
vC
vB
vA
NCL
Proiezione CSL
CSL
Proiezione CSL
p'
q'
v
A1
B1
C1
C
CNC
BNC
A
ANC
B
10
Stato CriticoStato CriticoCorso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
Rappresentazione tridimensionale dei percorsi efficaci ESPnel caso di prova TX-CID, cioè drenata, su campioni NC
Se su un provino consolidato isotropicamentesi esegue una prova TX-CID, il percorso tensionale efficacesi muove su un piano inclinato 3:1 Poiché la prova avviene in cond. drenate il volume del provino si riduce: per ridurre il volume durante la prova, il percorso ESP deve attraversare diversi piani a v=cost
3
1
C
v
q'
p'
Proiezione CSL
CSL
Proiezione CSL
NCL
C'NC
C1
Stato CriticoStato CriticoCorso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
Rappresentazione tridimensionaledella superficie di ROSCOE
-NCL: linea di normal-consolidazione-CSL: linea di stato critico-Proiezione di CSL sul piano q’;p’-Proiezione di CSL sul piano p’;v
q'
Superficie di ROSCOE
NCL
Proiezione CSL
CSL
Proiezione CSL
p'
v
C
B
B2
A2
A
C2 A1
B1
C1
11
Stato CriticoStato CriticoCorso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
PRESSIONE EQUIVALENTEPRESSIONE EQUIVALENTE
p’e : pressione equivalente per un dato v
p’e è la pressione equivalente sulla linea di normal-consolidazione, NCL.
Punto A: (vA;p’A)
( )[ ]λ/exp' vNp e −=
( ) ( )[ ]λ/exp' AAe vNp −= (p'e)A
(p'e)C
C
v
q'
p'
Proiezione CSL
CSL
Proiezione CSL
NCL
vA
vB
vC
B(p'e)B
C1
B1
A1
ANC
BNC
CNC
A
CSL
NCL
p'e
vAA
v
0 p'p'A
SL
CSL
NCL
p'=1 kPa
vK
N1
lnp'0
v
1k
Stato CriticoStato CriticoCorso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
PIANO NON DRENTO PIANO NON DRENTO –– CAMPIONE NCCAMPIONE NC
In una prova TXIn una prova TX--CIU non si CIU non si verifica cambiamento di volume:verifica cambiamento di volume:
v=vv=v00=v=vff
Coordinate del punto B=BCoordinate del punto B=B11 di rottura:di rottura:A1
E
D
C
A
B
B1
v
q'
p'
Proiezione CSL
CSL
Proiezione CSL
NCL
λλ0vvp f
f−Γ
=−Γ
='ln ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −Γ
= λ0v
f ep'
ff Mpq '= ( )[ ]λ/0vf Meq −Γ=
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Stato CriticoStato CriticoCorso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
PIANO DRENTO PIANO DRENTO –– CAMPIONE NCCAMPIONE NC
In una TXIn una TX--CID si verifica CID si verifica cambiamento di volumecambiamento di volume
Coordinate del punto B=BCoordinate del punto B=B11 di rottura:di rottura:
Mpp f −
=33 0''
)''(' 03 ppq ff −=
A1
A
C
NCL
Proiezione CSL
CSL
Proiezione CSL
p'
q'
v
B1
B
1
3
ff Mpq '= 033 0 =+− ''' ppMp ff
MMpq f −
=33 0''
'ln pv λ−Γ=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−Γ= M)(33p'lnv 0
f λ
ff pv 'lnλ−Γ=
Stato CriticoStato CriticoCorso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
Rappresentazione di percorsi drenatiRappresentazione di percorsi drenatie non drenati per campioni NCe non drenati per campioni NC
Percorsi non drenati
Percorsi drenati
v
p'
Proiezione CSL
CSL
Proiezione CSL
NCL
q'
CSL
B
DA
C
E
0 p'
q'
Rappresentazione tridimensionale
Rappresentazione bidimensionale
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Stato CriticoStato CriticoCorso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
Curva di snervamento normalizzata rispetto alla pressione pCurva di snervamento normalizzata rispetto alla pressione p’’eeequivalenteequivalente
Tutta la superficie di Roscoe può essere rappresentata da una sola curva, ottenuta normalizzando q’ e p’rispetto a p’e (pressione che quel volume specifico avrebbe su NCL)
Il percorso A1-B3 è un’unica curva che rappresenta tutti i percorsi drenati e non drenati
Distribuzione sperimentale dei punti ottenuti da prove TX drenate, non drenate e a p’ cost
Il punto A1 è la normalizzazione della NCL
Il punto B3 è la normalizzazione della CSL.
Stato CriticoStato Critico
Prova TXTX--CIDCID: risultati tipici per campione OCcampione OC
Corso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
Normal Consolidation Line
1.8
1.7
1.6
p' (kN/m )2
v (/
)
0
2p' (kN/m )1208040
Failureq
0
q'(k
N/m
)2
v (%
)
-2
2
0
50 10 15 20 25Axial Strain (%)
2q'
(kN
/m )
Axial Strain a (%)
Failure
252015100 5
100q
50
( a)F
OCR=24
-4
20
40
60
End of test
End of test
Failure
1208040
14
Stato CriticoStato CriticoProva TXTX--CIUCIU: risultati tipici per campione OCcampione OC
Corso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
2q;
q'(k
N/m
)
0
q;q'2
u(kN
/m )
Axial Strain a (%)252015100 5
u
q
100
50
50 10 15 20 25
Failure
Axial Strain a (%)
q'(k
N/m
)2
p;p' (kN/m )2
2p' (kN/m )
p;p'
-50
-25
0
25
Failure
OCR=24
100
50
75
25
Failure
1
3
A'40 80 120
TSP-uf
u<0
u>0
1.55
1.65
1.75
v (/
)
v0
FailureA''
40 80 1200
Normal Consolidation Line
ESP
Stato CriticoStato CriticoProva TXTX--CIUCIU: risultati tipici per campione OCcampione OC
Corso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
A
B
0 p'
q
B'
ESP TSP ESP TSP
TSP ESP
q
p'0
B
A
B' u u
A
B
0 p'
q
B'
OCR=1 OCR=4 OCR=8
15
Stato CriticoStato CriticoSezione a volume costanteSezione a volume costanteProve TXProve TX--CIU: percorsi ESP di provini OCCIU: percorsi ESP di provini OC
Corso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
q
0 p
q/p=3p'4
B4
A4
B3
A3
p'3 p'2
A2
B2,B1
A1
p'1
OCR=1
Argilla NC
Stato Critico (CSL)v=v1
Stato CriticoStato CriticoSezione a volume costanteSezione a volume costanteProve TXProve TX--CID a pCID a p’’ costante: percorsi ESP di provini OCcostante: percorsi ESP di provini OC
Corso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
OCR
=1.5
OCR
=20
OCR
=8
OCR
=4
Riduzione di volume
Aumento di volume
NCL
Superficie di HVORSLEV
p/p'e
q/p'e
0
q/p=3OCR=1
Superficie di ROSCOE
CSL
16
Stato CriticoStato CriticoSUPERFICIE DI HVORSLEV (SH)SUPERFICIE DI HVORSLEV (SH)Retta nel piano q’;p’:Con: α; β= costantiMa la NCL:
Sostituendo
La SH interseca la CSL, a rottura
L’equazione della SH diventa:
Lo sforzo q’f è composto da un termine proporzionale a p’ e da un termine che dipende da v e da altre costanti del terreno.
Corso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
ee pp
pq
''
' βα ''' ppq e βα +=
( )[ ]λ/exp' vNp e −=
( )[ ] '/exp' pvNq βλα +−=
ff Mpq '' =
ff pv 'lnλ−Γ=
( )[ ]λαβ /exp'' vNpq −=− ( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
Γ−=− ff pNpM 'lnexp'
λαβ
( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −Γ
−=λ
βα NM exp
( ) ( ) 'exp' pvMq βλ
β +⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −Γ
−=
Stato CriticoStato CriticoSezione a volume costanteSezione a volume costanteSuperficie di Superficie di RoscoeRoscoe e di e di HvorslevHvorslev
Superficie di Superficie di RoscoeRoscoe::Superficie per terreni normalconsolidati e leggermente sovraconsolidati (WET)
Superficie di Superficie di HvorslevHvorslev::Superficie per terreni molto sovraconsolidati (DRY)
ZONA WET:ZONA WET: punti a destra di CSL (terreni NC o poco OCR): i percorsi tensionali toccano la superficie di snervamento di Roscoe e poi la seguono fino a CSL Si generano ∆u positive (comportamentocontraente)
ZONA DRY:ZONA DRY: punti a sinistradi CSL (terreni molto OCR) : i percorsi tensionalitoccano la superficie di Hvorslev e poila seguono fino a CSLSi generano ∆u negative con dilatanza
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h
Superficie di HVORSLEV
p'
q
0
Superficie di ROSCOE
CSL
b
Materiale fortemente sovraconsolidato
Materiale leggermente sovraconsolidato
Curva di consolidazione normale
p'
v
0
A
BH
G
b h
Curva di consolidazione normale
Linea dello stato critico
DRY OF CRITICAL
WET OF CRITICAL
Trazione nulla
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Stato CriticoStato CriticoSuperfici di Superfici di RoscoeRoscoe e di e di HvorslevHvorslev nello spazio tensionalenello spazio tensionale
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σ’b
Stato CriticoStato CriticoSezione della superficie di Sezione della superficie di RoscoeRoscoe e di e di HvorslevHvorslev
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Stato CriticoStato CriticoEquazioni delle superfici di snervamentoEquazioni delle superfici di snervamento
NCL: (giace sul piano v;p’)
SH:
SR:
(Cam-Clay originale)
CSL: (proiez. piano q;lnp’)
(proiez. piano v;lnp’)
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'ln pNv λ−=
( ) ( ) 'exp' pvMq βλ
β +⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −Γ
−=
1=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−Γ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
kvp
kMpq
λλλ 'ln
''
'Mpq =
'ln pv λ−Γ=
CamCam--ClayClayMODELLI DI COMPORTAMENTO MECCANICOMODELLI DI COMPORTAMENTO MECCANICO
Le tre superfici precedentemente definite (a trazione nulla, Hvorslev e Roscoe) sono superfici di snervamento (o di potenziale plastico) che delimitano gli stati possibili di un terreno = SUPERFICI DI STATO
Le equazioni di queste superfici possono essere ottenute interpolando, con una funzione di forma nota, dati sperimentali ottenuti da prove di laboratorio oppure sulla base di considerazioni teoriche sul comportamento dei terreni
Una espressione della superficie di stato molto chiara e relativamente semplice èstata ottenuta dai ricercatori dell’Università di Cambridge durante gli anni ’60 ed è nota con il nome di CAM-CLAY
Negli anni si è cercato di migliorare la corrispondenza fra la formulazione e il reale comportamento costitutivo dei terreni perdendo però la semplicità e l’eleganza della formulazione iniziale
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CamCam--ClayClay
Caratteristiche essenziali dei modelli della famiglia di CAMCaratteristiche essenziali dei modelli della famiglia di CAM--CLAYCLAY
Cam-Clay iniziale: archi spirale logaritmica Schofield e Wroth (1968)Cam-Clay modificato: curve ellittiche Roscoe e Burland (1968)
I due modelli sono simili fra loro:- Resistenza del terreno di tipo attritivo- Compressibilità espressa da equazione logaritmica- Superficie di stato è superficie di snervamento- Incrudimento legato alle def. volumetriche plastiche
I modelli si distinguono solo per le diverse equazioni delle curve di snervamento
Il Cam-Clay è un MODELLO TEORICO, ossia un insieme di equazioni adatte a descrivere il comportamento elastoplastico di un materiale argilloso
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CamCam--ClayClayCAMCAM--CLAY ORIGINALECLAY ORIGINALE
Legge di flusso:
Curva di snervamento:
Approssimo con una sola superficie le tre precedenti (sup. di resistenza a trazione nulla, Hvorslev, Roscoe)
Punto x: v=vx, p’=p’x
(giace sulla CSL)
oppure
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''
pqM
dd
plq
plp −=
εε
1=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
xpp
Mpq
''ln
''
p'
x
CSL
0
q
p'x
q'/p'=M
q'/p'=MM
M q'/p'=0
xxk pkvpkvv 'ln'ln +=+=
xx pv 'lnλ−Γ= xx Mpq '=
( )'ln'' pvkk
Mpq λλλ
−−−+Γ−
=
1=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−Γ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
kvp
kMpq
λλλ 'ln
''
20
CamCam--ClayClayCAMCAM--CLAY MODIFICATOCLAY MODIFICATOSuperficie di snervamento: con:
La superficie di snervamento rappresentata nel modello Cam-Clay assume una forma semplificata ELLISSOIDALE
p’0 = pressione media isotropa che compete a quella superficie di snervamento (valore che si ha sulla NCL)
Ip: condizione di normalità def.pl. componente volumetrica
def.pl. componente deviatorica
Con la cond. di normalità assumo che la superficie semplificata del Cam-Clay coincida con quella del potenziale plastico, nell’ipotesi di flusso associato.
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22
2
0 η+=
MM
pp'' '/ pq=η
( )[ ] 0022 =−−= ''' pppMqf
fg ≡
ηη
δεδε
2
22 −=
∂∂
∂∂
=M
qg
pg
plq
plp '
'pg∂
∂
qg∂
∂
CamCam--ClayClayCorso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
La sup. Cam-Clay coincide con il potenziale plastico, in cond. di flusso associatoIp: la superficie di snervamento si espande mantenendo la stessa forma; la dimensione, controllata da p’0, è legata alla NCL
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CamCam--ClayClayCorso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
M: parametro dipendente dal materiale, funzione di φ’
η: variabile dipendente dallo stato tensionale, cioè da dove ci si trova rispetto alla superficie
η=0 asse ascisse q=0 (solo componente volumetrica)η=M stato critico (solo sforzo di taglio) η=M=1η= asse ordinate p’=0
λ: parametro dipendente dal materiale: misura l’espansione della superficie di snervamento. Esprime la compressibilità del terreno(λ minore terreno meno deformabile vol. spec. minore Sup. Snervamento maggiore)
k: parametro dipendente dal materiale(k elevati per argille e terreni con minerali argillosi)
Zona WET:
Zona DRY:
∞
00 ''
2' ppp
<<
2''0 0pp << (1)
(2)
pl
plM=1
p'0/2
q
0
CSL
p'p'0
45°
[ ])(1plε
[ ])(2plε
CamCam--ClayClayCAMCAM--CLAYCLAY
NCL
Def. plastiche:
Al limite
Legge di incrudimento &
La legge dipende solo da δεppl e non da δεqpl
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'ln pNv λ−=
vv plplp
δδε −=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
01
02
01
02
''ln
''ln
ppk
ppv pl λδ
k
p'02p'01
B
A
vpl
elv
v NCLSL
p'0
v
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
01
02
''ln)(
ppkv pl λδ
0
0
'')(
ppkv pl δ
λδ −−=0
0
'')(
pp
vkpl
pδλδε −
=
kvpp
plp −
=∂∂
λε00 '' 00 =
∂∂
plq
pε'
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CamCam--ClayClayCAMCAM--CLAYCLAY: MODELLO COMPLETOMODELLO COMPLETO
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Linea di ricompressione e rigonfiamento isotropi
Sezione della superficie di stato lungo una curva di rigonfiamento: dominio elastico
Curva di snervamento
CamCam--ClayClayELASTICITAELASTICITA’’Legge costitutiva
Condizione di assial-simmetria
Per separare gli effetti delle variazioni di volume e di forma:
In assenza di accoppiamento tra effetti volumetrici e distorsionali:
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{ } [ ]{ }'δσδε C=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
r
a
r
a
E ''
'''
δσ
δσ
νν
ν
δε
δε
1211
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
qp
GJJK
q
p
δ
δδε
δε ''/
'/31
1
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
qp
GK
q
p
δ
δδε
δε ''/
'/31001
)'(''ν213 −
=EK
)'(''ν+
=12EG
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CamCam--ClayClay
Poiché:
Dalle def. plastiche:
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'ln pkvv k −= )'/'( ppkv δδ −=
'p)'vp/k(vvp δδδε =−=
kvpK ''= k/)'21('vp3E ν−=
CamCam--ClayClayCAMCAM--CLAY MODIFICATOCLAY MODIFICATOMODELLO COMPLETOMODELLO COMPLETO
matrice simmetrica per ipotesi di flusso associato
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⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
qp
Gvpk
elq
elp
δ
δ
δε
δε ''/
'/3100
( ) ( ) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
+−
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
qp
M
M
Mvpk
plq
plp
δ
δ
ηηη
ηη
ηλ
δε
δε '' 22
2
22
22 422