Что можно делатьс вещественными числамии нельзя делать с целыми

числами

Часть 2. Десятая проблема Гильберта

Ю.В.Матиясевич

Санкт-Петербургское отделениеМатематического института им. В. А. Стеклова РАН

http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

Что можно делатьс вещественными числамии нельзя делать с целыми

числами

Часть 2. Десятая проблема Гильберта

Ю.В.Матиясевич

Санкт-Петербургское отделениеМатематического института им. В. А. Стеклова РАН

http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

Что можно делатьс вещественными числамии нельзя делать с целыми

числамиЧасть 2. Десятая проблема Гильберта

Ю.В.Матиясевич

Санкт-Петербургское отделениеМатематического института им. В. А. Стеклова РАН

http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]

10. Entscheidung der Losbarkeit einer diophantischenGleichung. Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchenUnbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten seivorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sichmittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden lasst,ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen losbar ist.

10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]10. Entscheidung der Losbarkeit einer diophantischenGleichung. Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchenUnbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten seivorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sichmittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden lasst,ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen losbar ist.

10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]10. Entscheidung der Losbarkeit einer diophantischenGleichung. Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchenUnbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten seivorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchen sichmittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden lasst,ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen losbar ist.

10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Греческий математик Диофант жил, скорее всего, в 3-ем векенашей эры.

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Греческий математик Диофант жил, скорее всего, в 3-ем векенашей эры.

Полиномиальные уравнения у древних греков

x2 = 2

1

1

������������

x

Полиномиальные уравнения у древних греков

x2 = 2

1

1

������������

x

Полиномиальные уравнения у древних греков

x2 = 2

1

1

������������

x

Полиномиальные уравнения у древних греков

x2 = 2

1

1

������������

x

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Целые рациональные числа – что это такое? – это числа 0,±1, ±2, ±3, . . .

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Целые рациональные числа

– это числа 0, ±1, ±2, ±3, . . .

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Целые рациональные числа – это числа 0, ±1, ±2, ±3, . . .

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах

От Диофанта до ГильбертаДиофант жил – когда?

От Диофанта до ГильбертаДиофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры.

От Диофанта до ГильбертаДиофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры.

Гильберт сформулировал проблемы – когда?

От Диофанта до ГильбертаДиофант жил, скорее всего, в 3-ем веке нашей эры.

Гильберт сформулировал проблемы в 1900 году

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]

10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Массовые проблемыВ современной терминологии 10-я проблема Гильбертаявляется массовой проблемой, то есть проблемой, состоящейиз счетного числа вопросов, на каждый из которых требуетсядать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит втребовании найти единый универсальный метод, которыйпозволял бы ответить на любой из этих вопросов.

Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта10-я является единственной массовой проблемой и она можетрассматриваться как проблема информатики.

Массовые проблемыВ современной терминологии 10-я проблема Гильбертаявляется массовой проблемой, то есть проблемой, состоящейиз счетного числа вопросов, на каждый из которых требуетсядать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит втребовании найти единый универсальный метод, которыйпозволял бы ответить на любой из этих вопросов.

Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта10-я является единственной массовой проблемой

и она можетрассматриваться как проблема информатики.

Массовые проблемыВ современной терминологии 10-я проблема Гильбертаявляется массовой проблемой, то есть проблемой, состоящейиз счетного числа вопросов, на каждый из которых требуетсядать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит втребовании найти единый универсальный метод, которыйпозволял бы ответить на любой из этих вопросов.

Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта10-я является единственной массовой проблемой и она можетрассматриваться как проблема информатики.

Массовые проблемыВ современной терминологии 10-я проблема Гильбертаявляется массовой проблемой, то есть проблемой, состоящейиз счетного числа вопросов, на каждый из которых требуетсядать ответ ДА или НЕТ. Суть массовой проблемы состоит втребовании найти единый универсальный метод, которыйпозволял бы ответить на любой из этих вопросов.

Среди двадцати трёх “Математических проблем” Гильберта10-я является единственной массовой проблемой и она можетрассматриваться как проблема информатики.

ОтветСегодня мы знаем, что 10-я проблема Гильберта решения неимеет. Это означает, что она неразрешима как массоваяпроблема:

Теорема (Неразрешимость 10-й проблемы Гильберта) Несуществует алгоритма, который по узнавал бы попроизвольному диофантову уравнению, имеет ли оно решения.

В этом смысле говорят об отрицательном решении 10-йпроблемы Гильберта.

ОтветСегодня мы знаем, что 10-я проблема Гильберта решения неимеет. Это означает, что она неразрешима как массоваяпроблема:

Теорема (Неразрешимость 10-й проблемы Гильберта) Несуществует алгоритма, который по узнавал бы попроизвольному диофантову уравнению, имеет ли оно решения.

В этом смысле говорят об отрицательном решении 10-йпроблемы Гильберта.

ОтветСегодня мы знаем, что 10-я проблема Гильберта решения неимеет. Это означает, что она неразрешима как массоваяпроблема:

Теорема (Неразрешимость 10-й проблемы Гильберта) Несуществует алгоритма, который по узнавал бы попроизвольному диофантову уравнению, имеет ли оно решения.

В этом смысле говорят об отрицательном решении 10-йпроблемы Гильберта.

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]

10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Первая неразрешимая массовая проблема в чистойматематике

A. A. Марков (сын) Emil L. Post1903–1979 1897–1954

Recursively enumerable sets ofpositive integers and their deci-sion problems. Bulletin AMS,50, 284–316 (1944); reprintedin: The Collected Works ofE. L. Post, Davis, M. (ed),Birkhauser, Boston, 1994.

Hilbert’s 10th problem “begs foran unsolvability proof” Emil L. Post

1897–1954

Хронология

I Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул MartinDavis.

I Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достиглиMartin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson.

I 1970 год: последний шаг сделал Ю.Матиясевич.

ХронологияI Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул Martin

Davis.

I Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достиглиMartin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson.

I 1970 год: последний шаг сделал Ю.Матиясевич.

ХронологияI Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул Martin

Davis.I Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достигли

Martin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson.

I 1970 год: последний шаг сделал Ю.Матиясевич.

ХронологияI Начало 50-х годов: гипотеза, которую выдвинул Martin

Davis.I Начало 60-х годов: частичный прогресс, который достигли

Martin Davis, Hilary Putnam и Julia Robinson.I 1970 год: последний шаг сделал Ю.Матиясевич.

An e-mail

Dear Professor,

you are wrong. I am a brilliant young programmer andlast night I wrote a sophisticated program in Java##.My program solves Hilbert’s tenth problem in the__positive__ sense. Namely, for every Diophantineequation given as input, the program will print 1 or 0depending on whether the equation has a solution ornot.

The attachment contains my ingenious program. You canrun it on your favorite Diophantine equations and seehow fast my program works.

Have a fun, Professor!

An e-mailDear Professor,

you are wrong. I am a brilliant young programmer andlast night I wrote a sophisticated program in Java##.My program solves Hilbert’s tenth problem in the__positive__ sense. Namely, for every Diophantineequation given as input, the program will print 1 or 0depending on whether the equation has a solution ornot.

The attachment contains my ingenious program. You canrun it on your favorite Diophantine equations and seehow fast my program works.

Have a fun, Professor!

Точка зрения студента

Для любого многочлена M:

S

-M = 0

-1, если существует хотя бы одно

решение

0, если решений вообще не суще-ствует

Точка зрения студента

Для любого многочлена M:

S-M = 0

-1, если существует хотя бы одно

решение

0, если решений вообще не суще-ствует

Точка зрения студента

Для любого многочлена M:

S-M = 0

-1, если существует хотя бы одно

решение

0, если решений вообще не суще-ствует

Точка зрения студентаДля любого многочлена M:

S-M = 0

-1, если существует хотя бы одно

решение

0, если решений вообще не суще-ствует

Точка зрения профессора:

Существует многочлен MS такой, что

S-MS = 0

-

0, но решение существует1, но решений не существуетДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответане останавливаетсяи ничего не печатает

Точка зрения профессора:Существует многочлен MS такой, что

S-MS = 0

-

0, но решение существует1, но решений не существуетДРУГОЙ ОТВЕТ

ОШИБКА

остановка без ответане останавливаетсяи ничего не печатает

Точка зрения профессора:Существует многочлен MS такой, что

S-MS = 0

-

0, но решение существует1, но решений не существуетДРУГОЙ ОТВЕТ

ОШИБКА

остановка без ответане останавливаетсяи ничего не печатает

Точка зрения профессора:Существует многочлен MS такой, что

S-MS = 0

-

0, но решение существует

1, но решений не существуетДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответане останавливаетсяи ничего не печатает

Точка зрения профессора:Существует многочлен MS такой, что

S-MS = 0

-

0, но решение существует1, но решений не существует

ДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответане останавливаетсяи ничего не печатает

Точка зрения профессора:Существует многочлен MS такой, что

S-MS = 0

-

0, но решение существует1, но решений не существуетДРУГОЙ ОТВЕТ

остановка без ответане останавливаетсяи ничего не печатает

Точка зрения профессора:Существует многочлен MS такой, что

S-MS = 0

-

0, но решение существует1, но решений не существуетДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответа

не останавливаетсяи ничего не печатает

Точка зрения профессора:Существует многочлен MS такой, что

S-MS = 0

-

0, но решение существует1, но решений не существуетДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответане останавливаетсяи ничего не печатает

Программа профессора

P-S

-MS = 0

S - ОШИБКА

Программа профессора

P

-S

-MS = 0

S - ОШИБКА

Программа профессора

P-S

-MS = 0

S - ОШИБКА

Программа профессора

P-S

-MS = 0

S - ОШИБКА

Программа профессора

P-S

-MS = 0

S -

ОШИБКА

Программа профессора

P-S

-MS = 0

S - ОШИБКА

Усовершенствованная программа профессора

P-SS-MS = 0 - ОШИБКА

Усовершенствованная программа профессора

P-SS-MS = 0 - ОШИБКА

Формальное доказательство того,что S ошибется на MS

-�

Усовершенствованная программа профессора

P-SS-MS = 0 -

0, но решение существует1, но решений нетДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответане останавливается

Формальное доказательство того,что S ошибется на MS

-�

Усовершенствованная программа профессора

P-SS-MS = 0 -

0, но решение существует1, но решений нетДРУГОЙ ОТВЕТостановка без ответане останавливается

Доказательство того, что:

I если S выдает 0, то уравнениеMS = 0 имеет решение

I если S выдает 1, то уравнениеMS = 0 решений не имеет

-�

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах

Диофантовы уравненияОпределение. Диофантово уравнение имеет вид

M(x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами.

Диофант искал решения в (положительных) рациональныхчислах

Гильберт спрашивал про решение диофантовых уравнений вцелых числах

Можно также ограничиться только решениями вположительных целых числах или только в неотрицательныхцелых числах

Натуральные числа против целых

(x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3

Имеет ли это уравнение решение в целых числах?Да, и это тривиально: y = −1, z = x .

Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целыхчислах?Нет, не имеет, но это нетривиально (частный случай Великойтеоремы Ферма).

Натуральные числа против целых

(x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3

Имеет ли это уравнение решение в целых числах?

Да, и это тривиально: y = −1, z = x .

Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целыхчислах?Нет, не имеет, но это нетривиально (частный случай Великойтеоремы Ферма).

Натуральные числа против целых

(x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3

Имеет ли это уравнение решение в целых числах?Да, и это тривиально: y = −1, z = x .

Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целыхчислах?Нет, не имеет, но это нетривиально (частный случай Великойтеоремы Ферма).

Натуральные числа против целых

(x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3

Имеет ли это уравнение решение в целых числах?Да, и это тривиально: y = −1, z = x .

Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целыхчислах?

Нет, не имеет, но это нетривиально (частный случай Великойтеоремы Ферма).

Натуральные числа против целых

(x + 1)3 + (y + 1)3 = (z + 1)3

Имеет ли это уравнение решение в целых числах?Да, и это тривиально: y = −1, z = x .

Имеет ли это уравнение решение в неотрицательных целыхчислах?Нет, не имеет, но это нетривиально (частный случай Великойтеоремы Ферма).

От целых чисел к натуральнымДиофантово уравнение

P(x1, . . . , xm) = 0

имеет решение в целых числах x1, . . . , xm тогда и только тогда,когда диофантово уравнение

P(p1 − q1, . . . , pm − qm) = 0.

имеет решение в натуральных числах p1, . . . , pm, q1, . . . , qm.

Говорят, что массовая проблема распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в целых числах сводится к массовойпроблеме распознавания разрешимости диофантовыхуравнений в натуральных числах.

От целых чисел к натуральнымДиофантово уравнение

P(x1, . . . , xm) = 0

имеет решение в целых числах x1, . . . , xm тогда и только тогда,когда диофантово уравнение

P(p1 − q1, . . . , pm − qm) = 0.

имеет решение в натуральных числах p1, . . . , pm, q1, . . . , qm.

Говорят, что массовая проблема распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в целых числах сводится к массовойпроблеме распознавания разрешимости диофантовыхуравнений в натуральных числах.

От натуральных чисел к целымДиофантово уравнение

P(p1, . . . , pm) = 0

имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда,когда диофантово уравнение

P(w21 + x2

1 + y21 + z2

1 , . . . ,w2m + x2

m + y2m + z2

m) = 0.

имеет решение в целых числах.

Теорема (Joseph-Louis Lagrange [1770], знал и PierreFermat, но не опубликовал) Каждое натуральное числоявляется суммой четырех квадратов.

Таким образом, массовая проблема распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в натуральных целыхчислах сводится к массовой проблеме распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числах.

От натуральных чисел к целымДиофантово уравнение

P(p1, . . . , pm) = 0

имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда,когда диофантово уравнение

P(w21 + x2

1 + y21 + z2

1 , . . . ,w2m + x2

m + y2m + z2

m) = 0.

имеет решение в целых числах.

Теорема (Joseph-Louis Lagrange [1770], знал и PierreFermat, но не опубликовал) Каждое натуральное числоявляется суммой четырех квадратов.

Таким образом, массовая проблема распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в натуральных целыхчислах сводится к массовой проблеме распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числах.

От натуральных чисел к целымДиофантово уравнение

P(p1, . . . , pm) = 0

имеет решение в натуральных числах тогда и только тогда,когда диофантово уравнение

P(w21 + x2

1 + y21 + z2

1 , . . . ,w2m + x2

m + y2m + z2

m) = 0.

имеет решение в целых числах.

Теорема (Joseph-Louis Lagrange [1770], знал и PierreFermat, но не опубликовал) Каждое натуральное числоявляется суммой четырех квадратов.

Таким образом, массовая проблема распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в натуральных целыхчислах сводится к массовой проблеме распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числах.

Натуральные числа против целыхУ нас есть два сведения:

I массовая проблема распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в целых числах сводится кмассовой проблеме распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных числах.

I массовая проблема распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных целых числахсводится к массовой проблеме распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числах.

Таким образом, массовая проблема распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числахэквивалентна массовой проблеме распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных числах.

Мы будем заниматься решением уравнений в натуральныхчислах 0, 1, 2, . . .

Натуральные числа против целыхУ нас есть два сведения:

I массовая проблема распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в целых числах сводится кмассовой проблеме распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных числах.

I массовая проблема распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных целых числахсводится к массовой проблеме распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числах.

Таким образом, массовая проблема распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числахэквивалентна массовой проблеме распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных числах.

Мы будем заниматься решением уравнений в натуральныхчислах 0, 1, 2, . . .

Натуральные числа против целыхУ нас есть два сведения:

I массовая проблема распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в целых числах сводится кмассовой проблеме распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных числах.

I массовая проблема распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных целых числахсводится к массовой проблеме распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числах.

Таким образом, массовая проблема распознаванияразрешимости диофантовых уравнений в целых числахэквивалентна массовой проблеме распознавания разрешимостидиофантовых уравнений в натуральных числах.

Мы будем заниматься решением уравнений в натуральныхчислах 0, 1, 2, . . .

Давид Гильберт, “Математические проблемы” , [1900]10. Решение проблемы разрешимости для произвольногодиофантова уравнения. Пусть дано произвольноедиофантово уравнение с произвольным числом неизвестных ицелыми рациональными коэффициентами; требуется указатьобщий метод, следуя которому можно было бы в конечноечисло шагов узнать, имеет ли данное уравнение решение вцелых рациональных числах или нет.

Уравнения с параметрамиСемейство диофантовых уравнений имеет вид

M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменныекоторго разделены на две группы:

I параметры a1, . . . ,an;I неизвестные x1, . . . ,xm.

Рассмотрим множествоM такое, что

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.

Множества, имеющие такие представления называютсядиофантовыми.

Уравнения с параметрамиСемейство диофантовых уравнений имеет вид

M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменныекоторго разделены на две группы:

I параметры a1, . . . ,an;

I неизвестные x1, . . . ,xm.Рассмотрим множествоM такое, что

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.

Множества, имеющие такие представления называютсядиофантовыми.

Уравнения с параметрамиСемейство диофантовых уравнений имеет вид

M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменныекоторго разделены на две группы:

I параметры a1, . . . ,an;I неизвестные x1, . . . ,xm.

Рассмотрим множествоM такое, что

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.

Множества, имеющие такие представления называютсядиофантовыми.

Уравнения с параметрамиСемейство диофантовых уравнений имеет вид

M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменныекоторго разделены на две группы:

I параметры a1, . . . ,an;I неизвестные x1, . . . ,xm.

Рассмотрим множествоM такое, что

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.

Множества, имеющие такие представления называютсядиофантовыми.

Уравнения с параметрамиСемейство диофантовых уравнений имеет вид

M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0,

где M – многочлен с целыми коэффициентами, переменныекоторго разделены на две группы:

I параметры a1, . . . ,an;I неизвестные x1, . . . ,xm.

Рассмотрим множествоM такое, что

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{M(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}.

Множества, имеющие такие представления называютсядиофантовыми.

Примеры диофантовых множеств

I Множество всех полных квадратов, представленоуравнением

a− x2 = 0

I Множество всех составных чисел, представленоуравнением

a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0

I Множество всех нестепеней числа 2, представленоуравнением

a− (2x1 + 3)x2 = 0

Примеры диофантовых множествI Множество всех полных квадратов, представлено

уравнением

a− x2 = 0

I Множество всех составных чисел, представленоуравнением

a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0

I Множество всех нестепеней числа 2, представленоуравнением

a− (2x1 + 3)x2 = 0

Примеры диофантовых множествI Множество всех полных квадратов, представлено

уравнениемa− x2 = 0

I Множество всех составных чисел, представленоуравнением

a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0

I Множество всех нестепеней числа 2, представленоуравнением

a− (2x1 + 3)x2 = 0

Примеры диофантовых множествI Множество всех полных квадратов, представлено

уравнениемa− x2 = 0

I Множество всех составных чисел, представленоуравнением

a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0

I Множество всех нестепеней числа 2, представленоуравнением

a− (2x1 + 3)x2 = 0

Примеры диофантовых множествI Множество всех полных квадратов, представлено

уравнениемa− x2 = 0

I Множество всех составных чисел, представленоуравнением

a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0

I Множество всех нестепеней числа 2, представленоуравнением

a− (2x1 + 3)x2 = 0

Примеры диофантовых множествI Множество всех полных квадратов, представлено

уравнениемa− x2 = 0

I Множество всех составных чисел, представленоуравнением

a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0

I Множество всех нестепеней числа 2, представленоуравнением

a− (2x1 + 3)x2 = 0

Примеры диофантовых множествI Множество всех полных квадратов, представлено

уравнениемa− x2 = 0

I Множество всех составных чисел, представленоуравнением

a− (x1 + 2)(x2 + 2) = 0

I Множество всех нестепеней числа 2, представленоуравнением

a− (2x1 + 3)x2 = 0

Программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒

∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0

}

D-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

for (y=0;;y++)

for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP

Программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒

∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0

}

D-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

for (y=0;;y++)

for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP

Программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

D-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

for (y=0;;y++)

for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP

Программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

D-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

for (y=0;;y++)

for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP

Программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

D

-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

for (y=0;;y++)

for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP

Программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

D-〈a1, . . . , an〉

-остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

for (y=0;;y++)

for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP

Программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

D-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

for (y=0;;y++)for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP

Программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒ ∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

D-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

for (y=0;;y++)

for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP

Перечислимые множества

Определение. МножествоM, состоящее из n-ок натуральныхчисел называется перечислимым, если можно написатьпрограмму R, такую что

R-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

Эквивалентное определение. МножествоM, состоящее изn-ок натуральных чисел называется перечислимым, еслиможно написать программу P которая (работая бесконечнодолго) будет печатать только элементы множестваM инапечатает каждое из них, быть может, много раз.

Перечислимые множестваОпределение. МножествоM, состоящее из n-ок натуральныхчисел называется перечислимым, если можно написатьпрограмму R, такую что

R-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

Эквивалентное определение. МножествоM, состоящее изn-ок натуральных чисел называется перечислимым, еслиможно написать программу P которая (работая бесконечнодолго) будет печатать только элементы множестваM инапечатает каждое из них, быть может, много раз.

Перечислимые множестваОпределение. МножествоM, состоящее из n-ок натуральныхчисел называется перечислимым, если можно написатьпрограмму R, такую что

R-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

Эквивалентное определение. МножествоM, состоящее изn-ок натуральных чисел называется перечислимым, еслиможно написать программу P которая (работая бесконечнодолго) будет печатать только элементы множестваM инапечатает каждое из них, быть может, много раз.

Вторая программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

for (y=0;;y++)for (a1=0;a1<y;a1++).......................for (an=0;an<y;an++)for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0)

print(a1,...,an)

Вторая программа Диофанта

〈a1, . . . , an〉 ∈ M⇐⇒∃x1 . . . xm{P(a1, . . . , an, x1, . . . , xm) = 0}

for (y=0;;y++)for (a1=0;a1<y;a1++).......................for (an=0;an<y;an++)for (x1=0;x1<y;x1++)........................for (xm=0;xm<y;xm++)if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0)

print(a1,...,an)

Пример

P(a1, x1, x2) = a1 − (x1 + 2)(x2 + 2)

for y dofor a1 to y dofor x1 to y dofor x2 to y doif a1 - (x1 + 2)*(x2 + 2)=0 thenprint(a1) fi

od od od od

4, 4, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 8, 8, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 4, 6, 6, 8, 8, 9,10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 12,12, 4, 6, 6,. . .

Пример

P(a1, x1, x2) = a1 − (x1 + 2)(x2 + 2)

for y dofor a1 to y dofor x1 to y dofor x2 to y doif a1 - (x1 + 2)*(x2 + 2)=0 thenprint(a1) fi

od od od od

4, 4, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 8, 8, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 4, 6, 6, 8, 8, 9,10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 12,12, 4, 6, 6,. . .

Пример

P(a1, x1, x2) = a1 − (x1 + 2)(x2 + 2)

for y dofor a1 to y dofor x1 to y dofor x2 to y doif a1 - (x1 + 2)*(x2 + 2)=0 thenprint(a1) fi

od od od od

4, 4, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 8, 8, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 4, 6, 6, 8, 8, 9,10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 12,12, 4, 6, 6,. . .

Перечислимые множества

Определение. МножествоM, состоящее из n-ок натуральныхчисел называется перечислимым, если можно написатьпрограмму R, такую что

R-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

Эквивалентное определение. МножествоM, состоящее изn-ок натуральных чисел называется перечислимым, еслиможно написать программу P которая (работая бесконечнодолго) будет печатать только элементы множестваM инапечатает каждое из них, быть может, много раз.

Перечислимые множестваОпределение. МножествоM, состоящее из n-ок натуральныхчисел называется перечислимым, если можно написатьпрограмму R, такую что

R-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

Эквивалентное определение. МножествоM, состоящее изn-ок натуральных чисел называется перечислимым, еслиможно написать программу P которая (работая бесконечнодолго) будет печатать только элементы множестваM инапечатает каждое из них, быть может, много раз.

Перечислимые множестваОпределение. МножествоM, состоящее из n-ок натуральныхчисел называется перечислимым, если можно написатьпрограмму R, такую что

R-〈a1, . . . , an〉 -остановка, если 〈a1, . . . , an〉 ∈ M

вечная работа в противном случае

Эквивалентное определение. МножествоM, состоящее изn-ок натуральных чисел называется перечислимым, еслиможно написать программу P которая (работая бесконечнодолго) будет печатать только элементы множестваM инапечатает каждое из них, быть может, много раз.

Гипотеза Martin’a Davis’а

Тривиальный факт. Каждое диофантово множество являетсяперечислимым.

Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимоемножество является диофантовым.

Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году.

DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество идиофантово множество совпадают.

Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson, Юрий Матиясевич

Гипотеза Martin’a Davis’а

Тривиальный факт. Каждое диофантово множество являетсяперечислимым.

Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимоемножество является диофантовым.

Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году.

DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество идиофантово множество совпадают.

Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson, Юрий Матиясевич

Гипотеза Martin’a Davis’а

Тривиальный факт. Каждое диофантово множество являетсяперечислимым.

Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимоемножество является диофантовым.

Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году.

DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество идиофантово множество совпадают.

Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson, Юрий Матиясевич

Гипотеза Martin’a Davis’а

Тривиальный факт. Каждое диофантово множество являетсяперечислимым.

Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимоемножество является диофантовым.

Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году.

DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество идиофантово множество совпадают.

Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson, Юрий Матиясевич

Гипотеза Martin’a Davis’а

Тривиальный факт. Каждое диофантово множество являетсяперечислимым.

Гипотеза M. Davis’а (начало 50-х). Каждое перечислимоемножество является диофантовым.

Гипотеза M. Davis’а была доказана в 1970 году.

DPRM-теорема. Понятия перечислимое множество идиофантово множество совпадают.

Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson, Юрий Матиясевич

Перечисление диофантовых уравнений

M1(a, x) = 0, . . . , Mk(a, x) = 0, . . .

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . , Mk(a, x) = 0, . . .

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

S(Mk(k , x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

S(Mk(k , x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MS(k , x) = 0}

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0)

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) =?

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) = 0

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) = 0 ⇒ kS ∈MS

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) = 0 ⇒ kS ∈MS ⇒ ∃x{MkS (kS , x) = 0}

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) = 1

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?

S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) = 1 ⇒ kS 6∈ MS

Программа профессора

Генератор уравнений

?

M1(a, x) = 0, . . . ,

?

Mk(a, x) = 0, . . .?

. . . . . .S(M1(1, x) = 0) S(Mk(k, x) = 0)

? ?

if S outputs 0then print(1)

if S outputs 0then print(k). . . . . .

? ?S(Mk(k, x) = 0) = 0 ⇔ k ∈MS ⇔ ∃x{MkS (k, x) = 0}

S(MkS (kS , x) = 0) = 1 ⇒ kS 6∈ MS ⇒ ¬∃x{MkS (kS , x) = 0}

Универсальное уравнение

Список всех однопараметрических уравнений:

M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . ,Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . .

〈a, k〉 ∈ U⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0}

〈a, k〉 ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

Универсальное уравнениеСписок всех однопараметрических уравнений:

M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . ,Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . .

〈a, k〉 ∈ U⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0}

〈a, k〉 ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

Универсальное уравнениеСписок всех однопараметрических уравнений:

M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . ,Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . .

〈a, k〉 ∈ U⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0}

〈a, k〉 ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

Универсальное уравнениеСписок всех однопараметрических уравнений:

M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . ,Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . .

〈a, k〉 ∈ U⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0}

〈a, k〉 ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

Универсальное уравнениеСписок всех однопараметрических уравнений:

M1(a, x1, . . . ) = 0, . . . ,Mk(a, x1, . . . ) = 0, . . .

〈a, k〉 ∈ U⇔ ∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0}

〈a, k〉 ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

∃x1, . . . {Mk(a, x1, . . . ) = 0} ⇔ ∃y1 . . . yn{U(a, k , y1, . . . , yn) = 0}

Текущие рекордыЗадача о решении произвольного параметрическогодиофантова уравнения может быть сведена к решениюэквивалентного диофантова уравнения, имеющего степень D иN неизвестных, где в качестве 〈D,N〉 можно взять любую изследующих пар:

〈4, 58〉, 〈8, 38〉, 〈12, 32〉, 〈16, 29〉, 〈20, 28〉, 〈24, 26〉, 〈28, 25〉, 〈36, 24〉,〈96, 21〉, 〈2668, 19〉, 〈2× 105, 14〉, 〈6.6× 1043, 13〉, 〈1.3× 1044, 12〉,

〈4.6× 1044, 11〉, 〈8.6× 1044, 10〉, 〈1.6× 1045, 9〉.

Непростой многочлен для простых чиселТеорема (J.P.Jones, D.Sato, H.Wada, D.Wiens, [1976])Множество всех простых чисел – это в точности множествовсех положительных значений, принимаемых многочленом

(k + 2) { 1 −[wz + h + j − q]2

− [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h − z]2

− [2n + p + q + z − e]2

−[16(k + 1)3(k + 2)(n + 1)2 + 1− f 2]2

−[e3(e + 2)(a+ 1)2 + 1− o2]2

−[(a2 − 1)y2 + 1− x2]2

−[16r2y4(a2 − 1) + 1− u2]2 − [n + l + v − y ]2

−[((a+ u2(u2 − a))2 − 1

)(n + 4dy)2 + 1− (x + cu)2

]2−

[(a2 − 1)l2 + 1−m2]2

−[q + y(a− p − 1) + s(2ap + 2a− p2 − 2p − 2)− x

]2−

[z + pl(a− p) + t(2ap − p2 − 1)− pm

]2− [ai + k + 1− l − i ]2

−[p + l(a− n − 1) + b(2an + 2a− n2 − 2n − 2)−m

]2 }при натуральных значениях 26 переменных a, b, c , . . . , x , y , z .

Диофантовы машиныФормализация недетерминизма

Leonard Adleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятиенедетерминированной диофантовой машины, NDDM .

NDDM

P(a, x1, . . . , xm)?= 0 �-

? --

входa

угадатьx1, . . . , xm

ДА НЕТ

принять a отвергнуть

DPRM-теорема: NDDM имееют такую же вычислительнуюсилу как, например, машины Тьюринга, то есть любоемножество, принимаемое некоторой машиной Тьюринга,принимается некоторой NDDM, и, очевидно, наоборот.

Диофантовы машиныФормализация недетерминизма

Leonard Adleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятиенедетерминированной диофантовой машины, NDDM .

NDDM

P(a, x1, . . . , xm)?= 0 �-

? --

входa

угадатьx1, . . . , xm

ДА НЕТ

принять a отвергнуть

DPRM-теорема: NDDM имееют такую же вычислительнуюсилу как, например, машины Тьюринга, то есть любоемножество, принимаемое некоторой машиной Тьюринга,принимается некоторой NDDM, и, очевидно, наоборот.

Диофантовы машиныФормализация недетерминизма

Leonard Adleman и Kenneth Manders [1976] ввели понятиенедетерминированной диофантовой машины, NDDM .

NDDM

P(a, x1, . . . , xm)?= 0 �-

? --

входa

угадатьx1, . . . , xm

ДА НЕТ

принять a отвергнуть

DPRM-теорема: NDDM имееют такую же вычислительнуюсилу как, например, машины Тьюринга, то есть любоемножество, принимаемое некоторой машиной Тьюринга,принимается некоторой NDDM, и, очевидно, наоборот.

Диофантова сложностьОпределения

NDDM

P(a, x1, . . . , xm)?= 0 �-

? --

входa

угадатьx1, . . . , xm

ДА НЕТ

принять a отвергнуть

SIZE(a)=минимально возможное значение |x1|+ · · ·+ |xm|, где|x | обозначает длину двоичной записи x .

Диофантова сложностьОпределения

NDDM

P(a, x1, . . . , xm)?= 0 �-

? --

входa

угадатьx1, . . . , xm

ДА НЕТ

принять a отвергнуть

SIZE(a)=минимально возможное значение |x1|+ · · ·+ |xm|, где|x | обозначает длину двоичной записи x .

Диофантова сложностьD vs NP

Leonard Adleman и Kenneth Manders [1975] ввели врассмотрение класс D состоящий из множествM имеющихпредставления вида

a ∈M ⇐⇒⇐⇒ ∃x1 . . . xm

[P(a, x1, . . . , xm) = 0& |x1|+ · · ·+ |xm| ≤ |a|k

].

Открытая проблема. D ?= NP.

Диофантова сложностьD vs NP

Leonard Adleman и Kenneth Manders [1975] ввели врассмотрение класс D состоящий из множествM имеющихпредставления вида

a ∈M ⇐⇒⇐⇒ ∃x1 . . . xm

[P(a, x1, . . . , xm) = 0& |x1|+ · · ·+ |xm| ≤ |a|k

].

Открытая проблема. D ?= NP.