Post on 21-Oct-2019
基本要求:1 熟练掌握二、三阶行列式的定义与计算方法;
2 了解n阶行列式的定义, 理解和熟练掌握行列式的基本运算性质,会计算简单的n阶行列式;
3 理解和掌握克拉默法则(Cramer’s rule).
行 列 式——determinant
用消元法解二元线性方程组⎩⎨⎧
=+
=+
.,
2222121
1212111
bxaxabxaxa ( )1
( )2
( ) :1 22a× ,2212221212211 abxaaxaa =+
( ) :2 12a× ,1222221212112 abxaaxaa =+
,得两式相减消去 2x
一、二阶行列式的引入
第一节 二阶与三阶行列式
;212221121122211 baabxaaaa −=− )(
;212221121122211 baabxaaaa −=− )(
,得类似地,消去 1x,211211221122211 abbaxaaaa −=− )(
时,当 021122211 ≠− aaaa 方程组的解为
,21122211
2122211 aaaa
baabx−−
= )(3.21122211
2112112 aaaa
abbax−−
=
由方程组的四个系数确定.
由四个数排成二行二列(横排称行、竖排
称列)的数表
)4(2221
1211
aaaa
)5(
4
2221
1211
21122211
aaaa
aaaa
行列式,并记作
)所确定的二阶称为数表(表达式 −
即 .aaaaaaaa
211222112221
1211 −=
11a 12a
22a21a
主对角线
副对角线
对角线法则对角线法则
2211aa= .2112aa−
二阶行列式的计算
若记 ,2221
1211
aaaa
D =
⎩⎨⎧
=+=+
.,
2222121
1212111
bxaxabxaxa
对于二元线性方程组
系数行列式
⎩⎨⎧
=+
=+
.,
2222121
1212111
bxaxabxaxa
,222
1211 ab
abD =
⎩⎨⎧
=+
=+
.,
2222121
1212111
bxaxabxaxa
.221
1112 ba
baD =
则二元线性方程组的解为
,
2221
1211
222
121
11
aaaaabab
DDx ==
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
.
2221
1211
221
111
22
aaaababa
DDx ==
例例11
⎩⎨⎧
=+=−
.12,1223
21
21
xxxx
求解二元线性方程组
解1223 −
=D )4(3 −−= ,07 ≠=
11212
1−
=D ,14=12
1232 =D ,21−=
DDx 1
1 =∴ ,27
14==
DDx 2
2 = .3721
−=−
=
二、三阶行列式
333231
232221
131211
)5(
339
aaaaaaaaa
列的数表行个数排成设有
记记
,312213332112322311
322113312312332211 )6(aaaaaaaaa
aaaaaaaaa−−−
++=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
(6)式称为数表(5)所确定的三阶行列式三阶行列式.
列标 行标
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
332211 aaa=
.322311 aaa−
对角线法则对角线法则
注意 红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三
元素的乘积冠以负号.
说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
322113 aaa+312312 aaa+
312213 aaa− 332112 aaa−
如果三元线性方程组
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
;,,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
的系数行列式
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
D = ,0≠
利用三阶行列式求解三元线性方程组
三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
;,,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
,
33323
23222
13121
1
aabaabaab
D =若记
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
D =或
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
1
2
1
bbb
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
;,,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
,
33323
23222
13121
1
aabaabaab
D =记
,
33323
23222
13121
1
aabaabaab
D =即
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
;,,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
D =
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
;,,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
,
33331
23221
13111
2
abaabaaba
D =
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++
得
=++
;,,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
D =
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
;,,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
,
33331
23221
13111
2
abaabaaba
D =得
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
;,,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
.
33231
22221
11211
3
baabaabaa
D =⇒
,
33331
23221
13111
2
abaabaaba
D = .
33231
22221
11211
3
baabaabaa
D =
则三元线性方程组的解为:
,DDx 1
1 = ,22 D
Dx = .33 D
Dx =
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
D = ,
33323
23222
13121
1
aabaabaab
D =
2-43-122-4-21
D =计算三阶行列式例2例2
解解 按对角线法则,有
=D 4)2()4()3(12)2(21 ×−×−+−××+−××
)3(2)4()2()2(2411 −××−−−×−×−××−
24843264 −−−+−−=
.14−=
例4 解线性方程组
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−=−++−=+−
.0,132,22
321
321
321
xxxxxx
xxx
由于方程组的系数行列式解解
111312
121
−−−
−=D ( )111 −××= ( ) ( ) ( )132 −×−×−+
121 ××+ ( )111 −××− ( ) ( )122 −××−− ( ) 131 ×−×−5−= ,0≠
同理可得
110311
122
1
−−
−−=D ,5−=
101312
121
2
−−−
−=D ,10−=
011112221
3
−
−−=D ,5−=
故方程组的解为:
,111 ==
DDx ,22
2 ==DDx .13
3 ==DDx
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.
对角线法则二阶与三阶行列式的计算
.211222112221
1211 aaaaaaaa
−=
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
−−−
++=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
三、小结
一、全排列及其逆序数引例 用1、2、3三个数字,可以组成多少个没
有重复数字的三位数?
解 1 2 3
1 2 3百位 3种放法
十位 1 2 31
个位 1 2 3
2种放法
1种放法
种放法.共有 6123 =××
第二节 n阶行列式
同的排法?
,共有几种不个不同的元素排成一列把 n问题
定义1 由 个不同地正整数组成的一个有序数组,称为一个n元排列。
n n
个不同的元素的所有排列的种数,通常用 表示.
nnP
由引例 1233 ⋅⋅=P .6=
nPn = )1( −⋅ n )2( −⋅ n 123 ⋅⋅⋅⋅L !.n=同理
在一个排列 中,若数则称这两个数组成一个逆序.
( )nst iiiii LLL21
st ii >定义2
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数,规定由小到大为标准排列或自然排列.
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
例如 排列32514 中,逆序数为3+1+0+1+0=5.
计算排列逆序数的方法
方法1
分别计算出排在 前面比它大的数码之和即分别算出 这 个元素
的逆序数,这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.
n,n,,, 121 −Ln,n,,, 121 −L n
逆序数为奇数的排列称为奇排列;
逆序数为偶数的排列称为偶排列.
排列的奇偶性
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数,这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
方法2
例1 求排列32514的逆序数.
解 在排列32514中,
3排在首位,逆序数为0;
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
3 2 5 1 40 1 0 3 1
于是排列32514的逆序数为
13010 ++++=t .5=
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;
1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
定理1 对换一次改变排列的奇偶性。
证明: (1) 对换的两数相邻。设n元排列为
其逆序数为 ,将相邻两数i,j对换,得到新排列
其逆序数为 ,于是
当 i>j 时,
当 i<j 时,
ml bbijbaaa KK 2121
ml bbjibaaa KK 2121
1τ
2τ
112 −=ττ
112 +=ττ
所以,一次相邻对换改变排列的奇偶性。
(2) 一般情况。设n元排列为
将两数i,j对换,得到新排列
(2)可看作是由(1)把i依次和 对换,即作了m次相邻对换得到的排列
pml ccicbbjbaaa KKK 212121
mbbb ,,, 21 K
后,再将(3)中的j依次和 作m+1次对换而得。这样由(1)经2m+1次相邻对换可得到排列(2),由前面证明可知,排列(2)和(1)奇偶性不同。 证毕
mbbbi ,,,, 21 K
pml ccijcbbbaaa KKK 212121
pml ccjcbbibaaa KKK 212121
二、 n 阶行列式的定义
三阶行列式
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
D = 322113312312332211 aaaaaaaaa ++=
332112322311312213 aaaaaaaaa −−−
说明
(1)三阶行列式共有 项,即 项.6 !3(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积.
(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列.
例如 322113 aaa 列标排列的逆序数为
( ) ,t 211312 =+=
322311 aaa 列标排列的逆序数为
( ) ,t 101132 =+=
偶排列
奇排列
正号+
,负号−
.)1(321 321
333231
232221
131211
∑ −=∴ pppt aaa
aaaaaaaaa
nnnn
n
n
npppt
aaa
aaaaaa
D
aaa
nnn
n
L
MMM
L
L
L
21
22221
11211
21
2
.)1(21
=
−∑
记作
的代数和
个元素的乘积取自不同行不同列的
阶行列式等于所有个数组成的由
).或det( ija简记作
定义4
的元素.称为行列式数 )det( ijij aa
ija
为这个排列的逆序数.
的一个排列,,,,为自然数其中
tnppp n LL 2121
( ) ( )n
n
nnppp
ppp
pppt
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaaaaa
D
L
L
LLLLLLL
L
L
L
L
21
21
2121
21
22221
11211
1∑ −=
=
说明
1、行列式是一种特定的算式,它是根据求解方
程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;
2、 阶行列式是 项的代数和;n !n
3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;
nn
4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;aa =
5、 的符号为nnppp aaa L21 21
)( 211)( npppt L−
例2 计算行列式
0004003002001000
分析
展开式中项的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa
41 ≠p若 ,011 =⇒ pa 从而这个项为零,
所以 只能等于 , 1p 4 同理可得 1,2,3 432 === ppp
解
0004003002001000
( ) ( ) 43211 4321 ⋅⋅⋅−= t .24=
即行列式中不为零的项为 .aaaa 41322314
例3 计算上三角行列式
nn
n
n
a
aaaaa
L
LLLLLLL
L
L
00
0 222
11211
分析
展开式中项的一般形式是 .21 21 nnppp aaa L
,npn = ,11 −=− npn ,1,2,3 123 ==−=− ppnpn L
所以不为零的项只有 .2211 nnaaa L
nn
n
n
a
aaaaa
L
LLLLLLL
L
L
00
0 222
11211
∴ ( ) ( )nn
nt aaa LL
2211121−=
.2211 nnaaa L=
解
nλ
λλ
N2
1
( ) ( )[ ]11,21
2111 nnnnnt aaa L
L
−−−=
( )( )
.1 2121
n
nnλλλ L
−−=
证明 第一式是显然的,下面证第二式.
若记 ,1, +−= inii aλ 则依行列式定义
1
1,2
1
n
n
n
a
aa
N−=
证毕
定理2 n阶行列式 的一般项可以记为ijaD =
njijiji n
njjjniii aaa KKK
21 21
)21()21()1( ττ +−
推论 n阶行列式也可以定义为
∑ −n
n
niii
iiiniii aaa
K
KK
21
21
)21(
21)1( τ
证明略,见书上Page7
1 、行列式是一种特定的算式,它是根据求解
方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.
2、 阶行列式共有 项,每项都是位于不同行、不同列的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.
nn
!n
三、小结
性质性质11
定义:行列式 称为行列式 的转置行列式. TD D
设
nna
aa
O22
11
M
L
L
n
n
aaa
2
112
L
M
21
21
nn aa
a=D
第三节第三节 行列式的性质行列式的性质
nna
aa
O22
11
M
L
L
2
121
n
n
aaa
L
M
nn aa
a
21
12=TD
DDT =
一、行列式的性质
证明 的转置行列式记令 )det(, ijjiij aDab ==
nnnn
n
n
T
bbb
bbbbbb
D
L
LLLLLLL
L
L
21
22221
11211
= ( )n
nnppp
ppp bbb LL
21
2121
)(1∑ −= τ
( )∑ −= nppppppt
n
n aaa LL
21)(
21
211
.)72( DPage =的推论根据上节定理
性质性质11 DDT =
性质性质22 互换行列式的两行 ,行列式变号.
证明证明 由行列式定义
== nijaD )det(
(列)
,
21
21
21
11211
nnnn
knkk
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
L
LLLL
L
LLLL
L
LLLL
L
1D
交换D的i,k行,得D1
,
21
21
21
11211
nnnn
inii
knkk
n
aaa
aaa
aaa
aaa
L
LLLL
L
LLLL
L
LLLL
L
=
( )nki
nkinjijkjj
jjjj aaaa LLLLLL
1
11
)(1∑ −= τ
( )nik
nkinjkjijj
jjjj aaaa LLLLLL
1
11
)(1∑ −= τ
( )nik
niknjkjijj
jjjj aaaa LLLLLL
1
_11
1)(1∑+
−= τ
)1()1()1()1( njijkjjnjkjijj LLLLLL ττ
−−=−
根据定理一,对换一次改变行列式得奇偶性,即:
( )nik
nnjkjijj
jjjj aaaa LLLLLL
1
ik11
)(1∑ −= τ-上式
D=- 即:D1=-D 。任意互换行列式的两行
(列),行列式变号!证毕!
( )nik
nkinjkjijj
jjjj aaaa LLLLLL
1
11
)(1∑ −= τ
( )nki
nkinjijkjj
jjjj aaaa LLLLLL
1
11
)(1∑ −= τ
例如
推论 如果行列式有两行(列)完全相同,
证明 互换相同的两行,有 ,DD −=
473212101
.0=∴ D
21 cc ↔
32 rr ↔,
212473101
−
.437221110
−
则此行列式为零.
473212101
性质性质3 3 行列式某行(列)的公因子可以提到行列式符号的外面,即:
.
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
L
LLLLLLL
L
LLLLLLL
L
推论推论11 用数k乘行列式D等于D中某一行(列)所有元同乘以数k。
( )ni npipp
t akaa LL )(111∑ −=左
( )ni npipp
t aaak LL111∑ −= .右=
=
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
21
21
11211
L
LLLLLLL
L
LLLLLLL
L
k k k k
证明
290184317012826330
−−
−−−
例:
29018431706416330
2
−−
−−−
19018231706413330
22
−−
−−−
××
KK=
−−
−−−
××
13018211702413130
34
22 ÷r
24 ÷c
33 ÷c
推论推论22 行列式中如果有两行(列)对应元素成比例,
证明
nnnn
inii
inii
n
aaa
kakaka
aaa
aaa
L
LLLLLLL
L
LLLLLLL
L
LLLLLLL
L
21
21
21
11211
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
k
L
LLLLLLL
L
LLLLLLL
L
LLLLLLL
L
21
21
21
11211
.02 =的推论,根据性质
krj ÷
则此行列式为零.
性质性质44 若行列式的第i行(列)的每一个元素都可以表示为两数之和,则该行列式可表示为两个行列式之和,即:
=
′+
′+
′+
nnnininn
nii
nii
aaaaa
aaaaaaaaaa
LL
MMMM
LL
LL
)(
)()(
21
2222221
1111211
nnnin
ni
ni
aaa
aaaaaa
LL
LLLL
LL
LL
1
2221
1111
.
1
2221
1111
nnnin
ni
ni
aaa
aaaaaa
LL
LLLL
LL
LL
′
′′
+
(1):(1):
(2):(2):
=′+′+′+
nnnn
ininiiii
n
aaa
aaaaaa
aaa
L
MMM
L
MMM
L
21
2211
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
L
MMM
L
MMM
L
21
21
11211
.
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
L
MMM
L
MMM
L
′′′+
性质性质55 把行列式的第j行(列)元的k倍加到第i行(列)的对应元上,行列式的值不变,即:
nnnjnin
nji
nji
aaaa
aaaaaaaa
LLL
MMMM
LLL
LLL
1
22221
11111
;
)(
)()(
1
222221
111111
nnnjnjnin
njji
njji
ji
aakaaa
aakaaaaakaaa
kcc
LLL
MMMM
LLL
LLL
+
++
+
×kji ckc ×+:(1)
nnnn
jnjj
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
L
MMM
L
MMM
L
MMM
L
21
21
21
11211
×k
+
ji krr +
nnnn
jnjj
jninjiji
n
aaa
aaa
kaakaakaa
aaa
L
MMM
L
MMM
L
MMM
L
21
21
2211
11211
+++
ji rkr ×+:(2)
例1
21010446147531240259733
13211
−−−−−
−−−−−
=D计算
◆计算行列式的基本方法:
.ji krr +
二、行列式性质应用举例
三角化.
◆计算行列式的主要手段:
21010446147531240259733
13211
−−−−−
−−−−−
=D计算
3×⊕
解
12 3rr +
例1
210104461475312402
13211
−−−−−
−−
D0 0 1− 0 2−
( )2−×
⊕
2101044614753
2010013211
−−−−
−−−−
( )2−×
⊕
( )3−×
⊕13 2rr −
解
12 3rr +
2101044614753
−−−−
12402
13211
−
−−
D0 0 1− 0 2−
0 2 0 4 1−
14 3rr −
( )4−×
2101044614753
2010013211
−−−−
−−−− ( )3−×
⊕13 2rr − 0 2 0 4 1−
⊕
2101044
1402020100
13211
−−
−−−
−−
0 2− 1 5− 3
14 3rr −
( )4−×
⊕
2101044
1402020100
13211
−−
−−−
−−
0 2− 1 5− 3
351201402020100
13211
−−−−−
−−
15 4rr −
0 0 2 2 2−
2220020100
3512013211
−−−
−−−−
−23 rr +
⊕
42 rr ↔
222002010014020
3512013211
−−−−
−−−−
− ⊕
0 0 1 1− 2
34 rr +( )2−×
⊕
2220020100
3512013211
−−−
−−−−
−23 rr +
⊕0 0 1 1− 2
22200
211003512013211
−
−−−−−
−
0 0 0 1− 0
01000211003512013211
−−−−−−
−35 2rr −
4×⊕
34 rr +( )2−×
⊕22200
211003512013211
−
−−−−−
−
0 0 0 1− 0
0 0 0 4 6−
01000211003512013211
−−−−−−
− ( )( )( )612 −−−−=45 4rr +.12=
01000211003512013211
−−−−−−
−35 2rr −
4×⊕0 0 0 4 6−
0 0 0 0 6−
例2 计算 阶行列式n
abbb
babbbbabbbba
D
L
LLLLL
L
L
L
=
解
( )( )( )
( ) abbbna
babbnabbabnabbbbna
L
LLLLL
L
L
L
1
111
−+
−+−+−+
=D
将第 列都加到第一列得n,,3,2 L
[ ]
abb
babbbabbb
bna
L
LLLLL
L
L
L
1
111
)1( −+=
[ ]
ba
baba
)b(na,n,j
bcc j
−
−−
−+=======
−
001
011
0001
12
1
L
OM
M
L
L
[ ] .)()1( 1−−−+= nbabna
例3 ,
0
1
111
1
111
1
111
nnn
n
nkn
k
kkk
k
bb
bb
cc
ccaa
aa
D
L
MM
L
L
MM
LL
MM
L
=设
,
1
111
1
kkk
k
aa
aaD
L
MM
L
= ,
1
111
2
nnn
n
bb
bbD
L
MM
L
=
.21DDD =证明
问题:是不是所有的行列式都可以化为三角行列式?
证明
kkk pp
pD
L
OM
1
11
1
0=设为
化为下三角形行列式把作运算对 11 , DkrrD ji +
化为下三角形行列式把作运算对 22 , DkrrD ji +
nnn qq
qD
L
OM
1
11
2
0=设为
;11 kkpp L=
.11 nnqq L=
,
0
1
11
1
111
1
11
nnnnkn
k
kkk
q
dd
ddpp
p
D
L
OM
L
MM
LL
OM
=
化为下三角形行列式把算
列作运,再对后行作运算的前对
Dkcc
nkrrkD
ji
ji
,+
+
nnkk qqppD LL 1111 ⋅=故 .21DD=
例4 .
14013072200002/100069
5
−
−=
fedcbaD计算
=5D解: ⋅02/169
140130722
−
−
⋅−= 314
132
−⋅− )7()2()3( −⋅−⋅−= .42−=
性质1 行列式与它的转置行列式相等。性质2 任意互换行列式的两行(列),行列式变号。推论 如果行列式有两行(列)完全相同,行列式为0。性质3 行列式某行(列)的公因子可以提到行列式符号
的外面。推论1 用数k乘以行列式D等于D中某一行(列)所有元素同乘以数k。推论2 若行列式的任意两行(列)对应元成比例,则行列式为0。性质4 若行列式的第i行(列)的每一个元都可表示为
两数之和,则该行列式可表示为两个行列式之和。性质5 把行列式的第j行(列)元的k倍加到第i行(列)
的对应元上,行列式的值不变。
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
−−−
++=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
例如
( )3223332211 aaaaa −= ( )3321312312 aaaaa −+( )3122322113 aaaaa −+
3332
232211 aa
aaa=
第四节第四节 行列式按行(列)展开行列式按行(列)展开
一、余子式与代数余子式
.131312121111 AaAaAa ++=
3331
232112 aa
aaa−
3231
222113 aa
aaa+
在 阶行列式中,把元素 所在的第 行和第列划去后,留下来的元按原来的次序构成阶行列式叫做元素 的余子式,记作
n ija i j1−n
ija .M ij
( ) ,记 ijji
ij MA +−= 1 叫做元素 的代数余子式.ija
例如
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaaaaaaaaaaaaaa
D =444241
343231
141211
23
aaaaaaaaa
M =
( ) 2332
23 1 MA +−= .23M−=
定义5:
引理 一个 阶行列式,如果其中第 行所有元素除 外都为零,那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积,即 .ijij AaD =
n iija ija
44434241
33
24232221
14131211
000aaaa
aaaaaaaaa
D =
3333 Aa= ( )
例如
.1
444241
242221
141211
3333
aaaaaaaaa
a+−=
二、行列式按行(列)展开
证 当 位于第一行第一列时,ija
nnnn
n
aaa
aaaa
D
L
MMM
L
L
21
22221
11 00
=
.1111即有 MaD =
又 ( ) 1111
11 1 MA +−= ,11M=
从而 .1111AaD =
对于一般情形,
n
n
n
n
n
n
n
n
n
njjjjj
jj
njjjjj
jj
njjjjjj
jjj
aaa
aaa
aaa
L
L
L
L
L
L
L
L
L
2
21
2
2
21
2
21
21
21
2)(
11
211)1(
21)(
)1(
)1(
)1(
∑
∑
∑
−=
−=
−=
τ
τ
τ
,1,2,1 行对调第行第行行依次与第的第把 −− iiiD
得
nnnjn
ij
nj
aaa
a
aaa
D
LL
MMM
LL
MMM
LL
1
1111
00= ija
( )
nnnjn
nijii
ij
i
aaa
aaa
a
D
LL
MMM
LL
MMM
LL
1
,1,11,11
00
1 −−−−−=
ija
对于一般情形,
设
,1,2,1
对调
列第列第列列依次与第的第再把 −− jjjD得
( ) ( )
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
D
LL
MMM
LL
MMM
LL
1,
,11,1,111
00
11
−
−−−−−− −⋅−=
ija
得 ( )
nnnjn
nijii
ij
i
aaa
aaa
a
D
LL
MMM
LL
MMM
LL
1
,1,11,11
00
1 −−−−−=
ija
( )
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
LL
MMM
LL
MMM
LL
1,
,11,1,12
00
1
−
−−−−−+−=
ija
( ) ( )
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
D
LL
MMM
LL
MMM
LL
1,
,11,1,111
00
11
−
−−−−−− −⋅−=
ija
( )
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
LL
MMM
LL
MMM
LL
1,
,11,1,12
00
1
−
−−−−−+−=
ija
( )
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
LL
MMM
LL
MMM
LL
1,
,11,1,1
00
1
−
−−−−+−=
ija
( )
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
LL
MMM
LL
MMM
LL
1,
,11,1,1
00
1
−
−−−−+−=
ija
( ) ⋅−= + ji1 ⋅ija ijM
.ijij Aa=
定理3 n阶行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
),,,2,1( 22111
niAaAaAaAaD ininiiii
n
jijij LL =+++== ∑
=
证
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
D
L
LLLL
LLLL
LLLL
L
21
21
11211
000000 +++++++++=
).,,2,1( 22111
njAaAaAaAaD njnjjjjj
n
iijij LL =+++== ∑
=
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
L
LLLL
L
LLLL
L
21
1
11211
00=
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
L
LLLL
L
LLLL
L
21
2
11211
00+
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
L
LLLL
L
LLLL
L
L
21
11211
00++ .2211 ininiiii AaAaAa +++= L
( )ni ,,2,1 L=
例1
335111024315
2113
−−−−−
−
=D
0355010013111
1115
−−
−−−
( ) 31 2 cc −+
34 cc +
0551111
115)1( 33
−−−−−= +
055026115
−−−
5526
)1( 31
−−−
−= + .40=
12 rr +
定理4 n阶行列式任一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 ;,02211 jiAaAaAa jninjiji ≠=+++ L
,
1
1
1
111
111
nnn
jnj
ini
n
jnjnjj
n
kjkjk
aa
aa
aa
aa
AaAaAaD
L
MM
L
MM
L
MM
L
L =++== ∑=
, 时当 ji ≠证
.,02211 jiAaAaAa njnijiji ≠=+++ L
有行展开按第把行列式 ,)det( jaD ij=
nnn
jninji
ini
n
ij
nnn
jnj
ini
n
aa
aaaa
aa
aa
rr
aa
aa
aa
aa
L
MM
L
MM
L
MM
L
L
MM
L
MM
L
MM
L
1
11
1
111
1
1
1
111
++====
+
按 j 行展开: jk
n
kjkik Aaa∑
=
+=1
)(
jk
n
kjkjk
n
kikjk
n
kjkik AaAaAaa ∑∑∑
===
+=+=111
)(
01
=∑=
jk
n
kik Aa所以: 另一条同理可证。证毕!
证 用数学归纳法
212
11xx
D =Q 12 xx −= ,)(12
∏≥>≥
−=ji
ji xx
)式成立.时(当 12=∴ n
例2 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
∏≥>≥
−−−
−==1
112
11
222
21
21
).(
111
jinji
nn
nn
n
n
n xx
xxx
xxxxxx
D
L
MMM
L
L
L
)1(
)()()(0
)()()(00
1111
12
132
3122
2
1133122
11312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
D
nnn
nn
nn
n
n
−−−
−−−−−−
=
−−− L
MMMM
L
L
L
Q
,阶范德蒙德行列式成立)对于假设( 11 −n
)()()(0
)()()(00
1111
12
132
3122
2
1133122
11312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
D
nnn
nn
nn
n
n
−−−
−−−−−−
=
−−− L
MMMM
L
L
L
Q
=
223
22
3211312
111
)())((
−−−
−−−=
nn
nn
nn
xxx
xxxxxxxxx
L
MMM
L
L
L
)()()(0
)()()(00
1111
12
132
3122
2
1133122
11312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
D
nnn
nn
nn
n
n
−−−
−−−−−−
=
−−− L
MMMM
L
L
L
Q=
n-1阶范德蒙德行列式
)()())((2
11312 jjin
in xxxxxxxx −∏−−−=≥>≥
L ).(1
jjin
i xx −= ∏≥>≥
解
例3 计算
.
0
00
0
2
dcdc
dc
ba
baba
D n
ON
NO
=
对行列式按第一行展开,得:
=nD2 +1aD 21)1( Dd n+−
0
0
)1(2 −= nadD +
.
0
00
0
2
dcdc
dc
ba
baba
D n
ON
NO
=
计算
解
例3
对行列式按第一行展开,得:
=nD2 +1aD 21)1( Dd n+−
0
0
)1(2 −= nadD + )1(2111 )1()1( −
+−+ −− nnn Ddc
.
0
00
0
2
dcdc
dc
ba
baba
D n
ON
NO
=
计算
解
例3
对行列式按第一行展开,得:
=nD2 +1aD 21)1( Dd n+−
0
0
)1(2 −= nadD + )1(2111 )1()1( −
+−+ −− nnn Ddc )1(2 −− ndcD )1(2)( −−= nDdcad
解 对行列式按第一行展开,得:
=nD2 +1aD 21)1( Dd n+−
)1(2 −= nadD )1(2 −− ndcD )1(2)( −−= nDdcad
)2(22)( −−= nDdcad
21)( Ddcad n−−=
dcba
dcad n 1)( −−=
.)( ndcad −=
L=
递推法
解
计算
.
0
00
0
2
dcdc
dc
ba
baba
D n
ON
NO
=
例3
)1(22222
2 )1()1( −−− −⋅−= n
nnn D
dcba
D
最后一行和最后列逐次向上和向左换行和换列,得
.)( )1(2 −−= nDbcad
◆ 行列式按行(列)展开是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.
,1
ij
n
kkjki DAa δ=∑
=
,1
ij
n
kjkik DAa δ=∑
=
⎩⎨⎧
≠=
=.,0
,1jiji
ij当
,当其中 δ
三、小结
◆
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++=+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
L
LLLLLLLLLLLL
L
L
2211
22222121
11212111
设线性方程组
,,,, 21 不全为零若常数项 nbbb L 则称此方程组为
非齐次线性方程组; ,,,, 21 全为零若常数项 nbbb L
此时称方程组为齐次线性方程组.
非齐次线性方组与齐次线性方程组的概念
如果线性方程组
)1(
2211
22222121
11212111
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++=+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
L
LLLLLLLLLLLL
L
L
的系数行列式不等于零,即
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
D
L
LLLLLLL
L
L
21
22221
11211
= 0≠
一、定理5 克拉默(Cramer)法则
.,,,, 33
22
11 D
DxDDx
DDx
DDx n
n ==== L
nnjnnjjnn
njjj
aaaaa
aaaaaD
LL
LLLLLLLLLLL
LL
1,1,1
11,111,111
+−
+−
=
那么线性方程组 有解,并且解是唯一的,且
解可以表示为( )1
jnb
bL
1其中:
证明
( ) 得个方程的依次乘方程组
列元素的代数余子式中第用
,1
,,, 21
n
AAAjD njjj L
证明
( ) 得个方程的依次乘方程组
列元素的代数余子式中第用
,1
,,, 21
n
AAAjD njjj L
)1(
11
222121
111111
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=++++
=++++
在把 个方程依次相加,得n
=++++
nnnnjnjn
nnjj
nnjj
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
LL
LLLLLLLLLLLL
LL
LL( ) jA1 jA1
)2(
11
1 xAan
kkjk ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑=
j
n
kkjkj xAa ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ ∑
=1L n
n
kkjkn xAa ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ ∑
=1L
,1∑=
=n
kkjk Ab
( ) jA2 jA2
( ) njA njA
,1
111
11
∑
∑∑∑
=
===
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
n
kkjk
n
n
kkjknj
n
kkjkj
n
kkjk
Ab
xAaxAaxAa LL
由上一节定理3和定理4可知,
( ).,,2,1 njDDx jj L==
DDx
DDx
DDx
DDx n
n ==== ,,,, 33
22
11 L
,Dx j的系数等于上式中
( ) ;0的系数均为而其余 jixi ≠ .jD又等式右端为
于是 ( )3
当 时, 方程组 有唯一的一个解0≠D ( )3
DDx
DD
xDDx n
nj
j === ,,,,11 LL
也是方程组的 解.( )1
另外,可以证明
有 ,,,2,1 ni KQ =∀
nnnnn
iinii
n
baaa
baaa
baaa
L
MMMM
L
MMMMM
L
21
21
111211
iinii baaa L21
,0=
in
inj
iji bDDa
DD
aDDa =+++ LL1
1
nnnnn
iinii
n
baaa
baaa
baaa
L
MMMM
L
MMMMM
L
21
21
111211
iinii baaa L21
,0=
得行展开按第 , 1 11
1 )1( +−ia 11)1( Dn−−
2ia+ 2221 )1()1( Dn−+ −−
jjnj
ij Da −+ −−++ )1()1( 1L
nnnn
in Da −+ −−++ )1()1( 1L
Db ni
)1(1)1( ++−+ ,0=
Db
DaDaDan
i
nn
injn
ijn
i
1
111
11
)1(
)1()1()1(+
+++
−=
−+−++− LL
DbDaDaDa ininjiji =+++∴ LL11
.11 i
nin
jiji b
DDa
DD
aDDa =+++∴ LL
例1 用克拉默则解方程组
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+−+−=+−
=−−=+−+
.0674,522
,963,852
4321
432
421
4321
xxxxxxxxxx
xxxx
解
674121206031
1512
−−
−−−
=D ,027 ≠=
674021256039
1518
1
−−−
−−−
=D ,81= ,1082 −=D
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+−+−=+−
=−−=+−+
.0674,522
,963,852
4321
432
421
4321
xxxxxxxxxx
xxxx
674121206031
1512
−−
−−−
=D 27=
,27 ,27 43 =−= DD
,311 ==∴
DDx ,42
2 −==DDx .1 ,1 4
43
3 ==−==DDx
DDx
例2 已知多项式函数
).(.6)2(,6)2()1()1(
2,1)( 33
2210
xfffff
xxxaxaxaaxf
试求
处的值:
在
−=−−=−=
==+++= +−
+−
解 将 代入函数.由题设得到关于 的线性方程组:
2,2,1,1 −+−+=x3210 ,,, aaaa
结论1 如果线性方程组 的系数行列式
则 一定有解,且解是唯一的 .( )1
( )1,0≠D
结论2 如果线性方程组 无解或有两个不同的
解,则它的系数行列式必为零.( )1
二、重要结论
)1(
2211
22222121
11212111
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++=+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
L
LLLLLLLLLLLL
L
L
齐次线性方程组的相关定理
( )2
0
00
2211
2222121
1212111
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++=+++
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxaxaxaxa
L
LLLLLLLLLLLL
L
L
定理
0,,0,0 21 === nxxx L
.)2( 的零解称为方程组
.)2(, 的非零解称为方程组不是零解的解
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=+−=++
000
31
321
321
xxxxxxxx
,0321 === xxx.0,1,1 231 =−== xxx
⎩⎨⎧
=−=+
00
21
21
xxxx
.无非零解
.,
有零解则该齐次线性方程组只
数行列式不为零若齐次线性方程组的系
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++=+++
0
00
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxaxaxaxa
L
LLLLLLLLLLLL
L
L
必有非零解.
另外,以后将证明:若系数行列式 0=D
定理6 齐次线性方程组有非零解的充要条件
是系数行列式等于零.
◎
.,
零解则该齐次性方程组只有
数行列式不为零若齐次线性方程组的系
例3 问 取何值时,齐次方程组
( )( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−++=+−+=+−−
,01,032,0421
321
321
321
xxxxxxxxx
λλ
λ有非零解?
λ
解
λλ
λ
−−−−
=111
132421
D
因为D=0时,齐次方程组有非零解
所以 或 时齐次方程组有非零解.20 == λλ , 3=λ
( )( ),23 λλλ −−=
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数(方形的).
(2)系数行列式不等于零.
2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.
三、小结
3. 克拉默法则的不足或缺点:
一般来说, 其计算量较大.